Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Nghiệm Schwarzshild

đã biết trong phần giải tích định thức Jacobi sẽ bằng không nếu các tọa độ mới phụ thuộctuyến tính với nhau.. Nói chung A“ # A, Tuy nhiên trong không gian phẳng với hệ trục tọa độ vuông

IIÌNYÄN 101 NGHIEP

ĐỀ TÀI:

LỜI NÓI ĐẦU

Thuyết tương đối rộng là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của nửa đấu thế kỷ

XX nó mô tả lực hấp dẫn và cấu trúc cực vĩ của vũ trụ Tuy nhiên đây là một thuyết khó

vi nó đòi hỏi công cụ toán học rất phức tạp:phép tính tenxd trong không gian cong Riemann 4 chiều, đồng thời có nhiều khái niệm rất mới, hoàn toàn xa lạ với cơ học

Newton,

Sau khi tìm ra phương trình Einstein, Einstein nghĩ rằng chắc phải rất lâu mới có thể

giải được vì đây là phương trình phí tuyến tính Thế nhưng chỉ hai tháng sau,

Schwarzschild đã giải xong phương trình này và tìm ra nghiệm Schwarzschild nổi tiếng.

Cách giải của Schwarzschild hay tới mức mà Einstein phải thốt lên: “Việc tìm ra nghiệm

của bạn thật tuyệt vời” Luận văn của em sẽ trình bày chi tiết cách giải phương trình

Einstein _tìm nghiệm Schwarzschild,

Luin văn này gồm các phần sau:

+ Chương Il: Phép tính Tenxơ: xem tài liệu.

+ Chương Il; Phương trình Einstein:xem tài liệu.

+ Chương HI : Nghiệm Schwarzschild: nghiên cứu tài liệu.

+ Chương IV : Cách tìm nghiệm Schwarzschild: tự làm.

Khi bắt tay thực hiện dé tài nay, em gặp nhiều khó khăn vì phép tính Tenxơ còn mới

lạ đối với sinh viên và tài liệu bằng tiếng Anh Mặc dù đã được nhà trường trang bị khá tốt

về ngoại ngữ nhưng em cũng gặp nhiều khó khăn khi đọc các tài liệu chuyên ngành bằng

tiếng Anh Với sự nỗ lực của bản thân em, sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy hướng dẫn công với những kiến thức đã được học trong chuyên để thuyết tương đối rộng, em đã cố gắng hoàn thành cả những yêu cầu mà thầy hướng dẫn đặt ra.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy Lê Nam_ giảng viên khoa Vật Lý đã nhiệt tình

hướng dẫn em hoàn thành luận văn này Xin chân thành cảm ơn Quý Thây cô khoa Vật

Ly trường Đại Học Sư Phạm Cảm ơn Ba mẹ, anh chị, bạn bè, những vị ân nhân đã luôn

thương yếu, giúp đỡ em trong những năm qua để em có thể hoàn thành luận văn hôm nay,

Với tất cả sự cố gắng của mình em mong bài luận văn này sẽ là một món quà kínhtăng Quý Thầy Cô, Ba mẹ, bạn bè với tấm lòng ghí ơn sâu xa

Ngày | tháng 5 năm 2002

Sinh viên thực hiện

Nguyễn thị Nhị Hà

đã biết trong phần giải tích định thức Jacobi sẽ bằng không nếu các tọa độ mới phụ thuộc

tuyến tính với nhau

Nếu các #X“ độc lập tuyến tính với nhau thì Jacobi sẽ khác zero

§3 TENXƠ PHẢN BIẾN VÀ TENXƠ HIỆP BIẾN

1.Để đơn giản ta xét không gian hai chiéu phẳng với tọa độ x', x” và hai véctơ cơ

sử Z,,Z; như hình vẽ

Nếu hai trục toa độ của ta không vuông góc nhau ta có hai cách mô tả vectơ A

I Chiếu vuông góc véctơ A lên hai trục ta được

A, = AcosÕÖy =A,

A, = Acos®, = Aé,

Chiếu véctơ A song song theo từng trục ta được A‘, A*khi đó:

A=A'é, + A?Z, Như vậy nếu biết Ay, A, và A',A? ta déu xác định được véctơ A

Ai,Á; gọi là thành phẩn hiệp biến của véctơ A A',AŸ gọi là thành phẩn phản biến của véctơ A

Ta viết A= (43,42 hoặc A=(A,,A;)

Vẻ thuật ngữ khi ta nói véctơ hiệp biến Á ,nào đó có nghĩa ta chỉ chú ý tới thành phần

hiệp biến của nó Tương tự cho véctơ phản biến.

Nói chung A“ # A, Tuy nhiên trong không gian phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc

nhau thì thành phần hiệp biến và phản biến bằng nhau.-Không gian Euclide với hệ tọa độ

Trong hệ toa độ cũ x`,xỶ, ,x” vectơ trên sẽ có thành phin là dx',dx’, ,dx"

Trong hệ tọa dộ mới #`, # , ,X” các thành phin tương ứng của véctơ trên sẽ là đš”

Do x" = ƒ“(t!,x3, x")= #“(x) nên de“ = —.dv? (1)

ax?”

Bây giờ ta định nghĩa:

Véctơ phản biến hay tenxơ phản biến hạng ! là tập hợp những đại lượng X” trong hệ

tọa độ x! xÊ, , x” tại điểm P mà tuân theo quy luật.

Từ đây ta tổng quát hóa:

Tenxơ phản biến hạng 2 là tập hợp các đại lượng X “ trong hệ toa độ - x”

Mà tuân theo quy luật biến đổi sau khi chuyển hệ tọa độ từ x“ —> ¥°:

a b

ad : OR ye (3)

ax® ax!

Các đại lượng Ä'"“” là thành phan của tenxơ hạng 2 trên nhưng tính trong hệ tọa độ - Xế

Hoàn toàn tương tự ta có định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng | (véctơ hiệp biến)

Ta thường ký hiệu tenxơ hang p phản biến, hang q hiệp biến (”)

Tenxơ hang không là vô hướng và ta thường ky hiệu bằng chữ ®

3 Tại sao tenxơ lại được các nhà vật lý chú ý ?

Xét hai tenxơ X” và ¥ trong hệ tọa độ nào đó (với các nhà vật lý thì đó là hệ quy

Hiểu thức (8) chính là phương trình (7) được xét trong hệ tọa độ mới (hệ quy chiếu mới)

‘Tir đây ta phát biểu: Nếu phương trình tenxơ hay đẳng thức tenxơ đúng trong hệ tọa độ

nào thì cũng đúng trong hệ tọa đô bất kỳ khác.

Nói cách khác phương trình tenxơ không phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính hay

không quán tính Như vậy tenxơ là công cụ toán học rất phù hợp để xây dựng thuyết tương

đối rong(thuyét tương đối tổng quát).

§4 ĐẠI SỐ TENXƠ

1 Phép cộng được thực hiện với các tenxơ cùng loại với các chỉ số giống nhau:

Yo 42% =XƑ

2 Phép nhân tenxơ - phép nhân ngoài - outer product

Tenxơ loại nhân với tenxơ ai” sẽ cho ta tenxơ loại [ A a

k 4 a +4

YS Zea = Xu

Tenxơ hạng hai nhân với tenxơ hạng 2 cho ta tenxơ hạng 4 Nếu ta có véctơ A

Và véctơ thì nhân tenxơ giữa hai vectơ trên được ký hiệu như sau:

A@B=A“B° Nếu cả hai đều là vectơ phan biến

3 Phép nhân trong - inner product.

Y/Z„ =X, cho ta tenxơ hạng 2 Hoặc ta có: T”U,„ = V, cho ta tenxơ hạng |

Nhận xét: Hai tenxơ nhân với nhau, nếu tất cả các chỉ số khác nhau thì ta có phép nhân ngoài còn nếu ta có các cặp chỉ số giống nhau thì ta có phép nhãn trong.

4 Phép rút gọn tenxơ - contraction.

Cho tenxơ Ri, khi ta cho chỉ số a=c thì Ri, thì là tenxơ hiệp biến hạng 2 Vì vậy ta

ký hiệu: Ra = Rg

Hoặc ta có: JVT, rệt = Reg = Ru

5 Tenxơ là đối xứng với hai chi số trên hoặc đưới nếu ta hoán vị các chi số đó cho

nhau mà tenxơ không đổi:

Xa = Xba

Nếu không gian của ta là n chiều thì ta có thể biểu điển tenxơ trên dưới dang ma trận n

hàng ø cột Do các phần tử của ma trận là tenxơ đối xứng nên ta có n(n +1) thanh phan

1 Xét không gian n chiéu Ta chọn hệ toa độ chuẩn x! x x1, „*” sao cho độ dài vô

cùng bé nối hai điểm lận cận nhau có dạng:

ds? = dx" dx" (1)

Vi du: ta có biểu thức quen thuộc ds? = dx* + dy? + đ? trong tọa độ Descartes trong

không gian 3 chiều.

Bay giờ ta chuyển (1) sang hệ tọa độ mới xÌ, xÊ, , x"

ds* = dx“ dx? = si Eat SE ae ist

ox” âx” ax? ax!

Nếu ta đặt = Road = 8„¿ (2) thì ds’ = 8„„dx°dx” (3)

Ox” Ox

8,» ọi là tenxơ metric hiệp biến.

yg” tenxơ metric phản biến được xác định từ biểu thức

Sap8 = 5's (4)

= Ta lập ma trận gồm các ø,„ Tim ma trận nghịch đảo của ( Ø,„ ) Ma tran nghịch đảo

chính là ma trận ( @“”).

2 Ta có cách định nghĩa thứ hai:

dk = dx“é, = dv”ẽ, ; Ổ„: veetd CƠ SỞ

ds? = di.dx = xả dx’ es =6,é,.dx"dx” = g,,.dx“dx°

Với = ah (5)

Ta viết tích võ hướng của hai ves nhữ tenxơ metric:

A.B = g,,A°B” = 9” A,B, = A°B, = A,B" (6)

3 Ta định nghĩa không gian Riemann :

Không gian với hệ tọa độ (x" có ds? = 8„dx°aà? gọi là không gian Riemann.

Vi dụ: bể mặt của quả đất là không gian Riemann 2 chiéu nằm trong không gian ba

chiều thông thường rĐ$_ -Ta có khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên mặt câu ds và

được tính theo công thức:

Nếu tại mỗi điểm của không gian Riemann ứng với một giá trị của thì ta được một

trường vô hướng hay trường tenxơ hạng không.

Tương tự tenxơ T,,, được xác định tai mỗi điểm trong vùng nào đó thuộc không gian

Riemann thì kết quả ta có trường tenxơ hạng tương ứng

2 Cho hai trường vectơ bất kỳ X và Y , giao hoán tử Lie của hai vectơ trên tác dụng lên

hàm £ được định nghĩa:

[x.Y]/ =(xY - Yx)/ = X(Yf)- Y(X/) (1)

[X.Y le +⁄;) = ø[X,Y]⁄¿ + B{X Y Ì⁄; (2)

Với fy f; hai hàm bất kỳ ; a, = const thực, va Lie giao hoán tử thỏa mãn:

[X.Y 7.«)= /[x.Y]¿ + s|X.Y]/ @)

Từ ba biểu thức trên, ta thấy giao hoán tử Lie là toán tử tuyến tính và toán tử này giống

phép vi phân.

Trong hệ tọa độ x“ ta định nghĩa vectơ X :

Bây giờ ta xét thành phan thứ a của giao hoán tử Lie

[X.Y] ¢ =(xY - xy ƒ =(X*ê,Y*—Y*ô,X*)ƒ

Z“ƒ =(X°ô,Y"-Y°"2,X*)/

=[X.Y]' =z* =(X"ô,Y*-Y*a,x*)

Từ đây ta định nghĩa đạo hàm Lie của vectø Y theo hướng vectơ X được viết như sau:

LyY =[X.Y]= -[Y.X]= =LyX

1 Ly Toy =X°ô,T„„ + Tyg gX* +T1„0„X”

Đạo ham Lie một tenxơ theo hướng X là đạo hàm riêng mà không cẩn sử dung tenxơ

métric (không can sử dụng hệ số liên thông)

§7.ĐẠO HÀM HIỆP BIẾN

1.Khái niệm dich chuyển song song

Trong không gian phẳng dịch chuyển song song một vectơ có nghĩa là di chuyển nó sao cho lúc nào vectơ cũng song với chính nó Nói cách khác, ta dịch chuyển sao cho độ lớn và hướng của nó không thay đổi.

Trong không gian cong Remann dich chuyển song một vectơ doc theo C nghĩa là dich

chuyển nó sao cho góc tạo giữa nó và đường cong C luôn không đổi Lúc này các thành

phần của vectơ sẽ thay đổi cho dù độ lớn của nó không thay đổi.

2 Đạo hàm hiệp biến

Xét một trường vectơ phản biến bất kỳ A” Tại điểm P tương ứng với toa độ x” vectơ

có gid trị là z4“

A" A"+ðA“#t DA

LS +dA a:

Tai điểm Q ứng với tọa độ x" + dx“ vectơ có giá trị là A“ + đA“

Bay giờ ta dịch chuyển song song vectơ A“ đến điểm Q Vectơ sẽ thay đổi một lượng

được ký hiệu ÔA”

Ta lập hiệu: A* + 4A“ -ÈlA“ +8A*)= (4A“ ~ðA“Ìz DA“ (1)

Dai lượng 44" hoàn toàn có thé đặt bằng: -TQA*dx” (2)

Trong đó : [7ƒ là một hàm nào đó phụ thuộc vào hệ tọa độ ta chọn Có thể bằng không

hoặc khác không thế có tên là hệ số liên thông hay ký hiệu Christoffel loại hai.

Còn dấu (-) hoàn toàn là do quy ước của ta

Thay (2) vào (1); DA“ = đA” — (- 3, A‘dx”

Và ký hệu : V,A° =A*s=

(dấu chấm phẩy (;) có nghĩa là dao hàm hiệp biến)

Ta có thể xây dựng phép đạo hàm phản biến (xem Landau trang 310)

3.Dao hàm hiệp biến vectơ hiệp biến

Như đã biết nếu ta dịch chuyển song song một vô hướng thì đại lượng này không thay đổi Nói cách khác tích vô hướng của hai vectơ sẽ không thay đổi khi dịch chuyển song

song.

Xét tích vô hướng của hai vectơ A,B“ Do không thay đổi khi dich chuyển song song

nen:

8(A,„B”)= 0 => B"8A, + A,8B" =0

=> B’SA, = -A,5B" =~A,(—T"B*dx")=+T*+vA,B'ax° (7)

vé mat cấu trúc:

TA, Bo dx” =T*°¿»A,B“dx”

nên ta viết lại (7):

B“ŠA„ =T“„A,B“dx°

Sau khi giản ước B* ở hai vế : 8A, = F°„øA dx” (8)

Tương tự như (1): DA, = dA, —5A, (9)

Thay (8) vào (9) DA, = A, dx” =I°abA,dx” = (Ss —I aA, Just (10)

để trả lời câu hỏi trên ta xét:

V,„Y“ =0,Y° +T“xY” (14)

VX" =ô,X” +T“xX* (15)

10

nhân từ trái (14) với X” và (15) với ¥° rồi trừ cho nhau:

X°V,Y* —Y°V,X* = X°ô,Y* —Y°2,X* +T*“v(X?Yy* ~xry*

Ta chỉ xét cho hệ số liên thông :[£{ = Ï'' nên hai số hạng cuối cùng có cùng cấu trúc

Do vậy chúng triệt tiêu nhau Cuối cùng ta được:

X°V,Y"°—Y°V,X" =X°ð,Y° -Y°3,X" (16)

Trong biểu thức của dao hàm Lic ta có thể thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp

biến Với diéu kiện là TS, đối xứng với hai chỉ số dưới.

song song sao cho nó trùng với vects A“ tại điểm mới Trường hợp này chi xảy ra khi

đường cong x“ = x" (u) là đường rất đặc biệt gọi là đường trắc địa còn vectơ A“ lúc này

sẻ là vectơ tiếp tuyến với đường trắc địa

DA? dA* » ax®

Ở phan sau bằng nguyên lý tác dụng tối thiểu ta chứng minh được rằng đường ngắn nhất

giữa hai điểm trong không gian Riemann là đường trắc địa và phương trình của nó trùng

với (9)

§9.KÝ HIỆU CHRISTOFFEL VÀ TENXƠ METRIC

1 Xoắn - Torsion

Xét trường vô hướng ®

Mặc dù : 6,0,®=@,0,® nhưng trong trường hợp tổng quát chưa chắc

V,V,0=V,V,® Khi đó : (V„V, -V,V„kb =? (1)

Nếu ta đặt : V„Œ® =0,0=V,.

ŸV„V,=ê,V„—Iz,V, =ô VI N: ÉH (2)V,V, =Ø,V„ ~ F{„V, =ô,Ø,®—I%,ô,® (3)

12

Nếu không gian cong của ta không xoẩn thì 7,5, =0

=> T's =Ï“»„ ký hiệu Christoffel đối xứng với hai chỉ số dưới.

Ta lấy (5)-(6)-(7) và chú ý tới tính đối xứng của LÝ

2TA-8& + Ô„8u — Ôy8ạ — Ô,§„, =O

Hs, = 38 Orbea +Ô 8 ~ô¿8#,„) (9)

Vậy nếu Vig, = 0 thì Py có dạng như (9) Ta có thể nói ngược lại : Nếu như Tbe có dang như (9) thì sau khi tính toán trực tiếp ta thấy V ø, =0

§10 DUONG TRAC DIA

| Trong mục nay ta tim phương trình cho đường trắc địa xuất phát từ nguyên lý tác dung tốt thiểu Trong cơ học , cơ hệ sẽ chuyển động từ P đến @ sao cho biến phân của hàm tác

Vectơ null có độ đài bằng không nhưng các thành phan của nó khác không, trong khi

vectơ zero có độ dai bằng không với tất cả các thành phin bằng không

Đối với vat m chuyển động với vận tốc < c ta cũng áp dụng phương trình Lagrange-Euler

(phương trình đường trắc địa) nhưng:

Nếu ta dấu của mêtric Ses = (- +++)

Thi (8) lấy dấu

-§ 11.TENXƠ RIEMANN

Ta chú ý rằng nói chung đạo hàm hiệp biến không giao hoán Ta có :

Đạo hàm riên oe 28ao eng: ——

Tác dụng tiếp V, lên (1) và chú ý (1) là tenxơ 7”:

Nếu không gian của ta không oe nghĩa là : whe = re + thi Ry, gọi là tenxơ Riemann

- Christoffel Gọi tắt là tenxơ Riemann

Nếu [ƒ⁄_ = tại mọi điểm trong toàn không gian thì không gian gọi là phẳng

Ta có định lý : điểu kiện cần và đủ để không gian là phẳng là tenxơ Riemann=0

§ 13 TENXƠ RICCI

Ta viết lại định nghĩa tenxơ Riemann

Rig =Ô0.T&¿ — 00s + TTS —T TC, (1)

a — | 4

Với l7 = 38 "(OnBuc + Buy — Ôa8»„.) (2)

Nhìn vào định nghĩa ta nhận ra ngay tenxơ độ cong Riemann phản đối xứng với hai chỉ

SỐ cuối:

Ra = “ha : @)

=> Sea Khu s —BeaR nde => Ra = Rats (4)

16

Trong phần bài tập ta chứng minh được ;

Bang cách chọn hệ tọa độ trắc địa cho biểu thức (1) sau đó dao hàm hiệp biến rồi hoán

vị vòng quanh các chỉ số ta nhận được đồng nhất thức Bianchi:

Vy + Vy + V.Ñ„„, = 0

Ta có:

Ry = choa=c

nu = Roa = 8” Rau

R,, = 00x, —Og1h, +00 - P80, gọilà tenxe Ricci (9)

Từ Rone = | „„ suy ra tenxơ Ricci đối xứng

g“°R.„ = R : độ cong vô hướng, hay vô hướng Ricci

'Tenxơ Einstein được định nghĩa như sau:

Guy = Ray ~ 58a (10)

Ox“,

ôn

-Do x”(Â n) là đường trắc địa và uw" là vectơ tiếp tuyến của nó nên đạo hàm tuyệt đối

của u” sẽ bằng không: Vyu“ = 0

Tác dụng tiếp V,, lên (1)

VyVyu* =0

17

Công trừ hai vế với VV yu"

VvVụu“ + VụV gu” — VụV gu” =0

Nhờ dao hàm Lie ta chứng minh được trong trường hợp đặc biệt của ta (hai vectơ ” và

n° ) đạo hàm tuyệt đối sé bằng đạo hàm riêng (xem phan bài tập) nên ta có:

= 2 mô tả gia tốc tương đối giữa hai hạt.

R°wuu°n°u ' mô tả lực thủy triểu do hấp dẫn

Chú ý : phần chứng minh:

(V„Vụ ” VuVn k“ = Riu’ nut

Ban đọc có thể tham khảo trong Hughton va Tod - trang 79

§15 TENXƠ MẬT ĐỘ

'Tương tự cho tenxơ hạng cao hơn Với tenxơ tương đối trong công thức biến đổi luôn có

thêm thức số J" Ta nói T ” - tenxơ mật độ với trọng lượng w (Tensor density of weight

M' },

Ta chấp nhận mà không chứng ninh quy tắc đạo hàm hiệp biến tenxơ mật độ:

V„ Tụ" = các số hạng giống như T,,* là tenxơ thường - wÏ Tự"

Định thức métric g theo định nghĩa là mật độ vô hướng với trọng lượng +2, do giáo trình

của ta các mêtric có negative signature nên định thức g sé âm vậy ta viết:

(-g)=1?(-g)= (-8)? =2(_z}⁄? 6)

(- ) : mật độ vô hướng với trọng lượng +1 (7)

Với tenxơ bất kỳ 7; khi nó nhân với (- g}! sẽ tạo nên tenxơ mật độ với trọng lượng

Do V,T “=ô,T ° nên V, G gì? a a0) G gì? | (8)

Ta xét công thức sau: Cho ma trận (a; thì ma trận nghịch đảo

A?"

det\a,|

a= det\a,|

bì =

A” phần phụ đại số của ay

Nghia la a= da," (khai triển theo hang i) (9)

CHƯƠNG II

PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN

§1.CÁC NGUYÊN LÝ TRONG THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG

1.Nguyên lý Mach:

Sự phân bố vật chất xác định tính chất hình học của không gian quanh nó Nói cách

khác,vật chất sẽ nói cho không gian biết phải cong như thế nào còn không gian sẽ nói cho vật

chất biết phải chuyển động ra sao-John Wheeler

2.Nguyên lý tương đương - The principle of Equivalence

Thi nghiệm thang máy Einstein:

Thang máy đứng yên tại mặt đất, phi hành gia thả quả táo quả táo sẽ rơi tự do xuống

với gia tốc g.

Thang máy chạy thật êm tại khoảng không vũ trụ với gia tốc đ = —g Phi hành gia thảquả táo, quả táo vẫn rơi xuống sàn giống như trường hợp đứng yên tại mặt đất Nếu động

cư thang máy chạy thật êm thì sẽ có lúc phi hành gia không phân biệt được lúc nào thang

máy đứng yên tại mặt đất ,lúc nào thang máy chuyển động với gia tốc =—=tưrong

khoảng không vũ trụ.

Chuyển động tự do trong hệ qui chiếu không quán tính giống như chuyển động của vật

trong hệ qui chiếu quán tính có trường ngoài là trường hấp dẫn

Nếu thang máy quay ,ta luôn có thể thay thế bằng trường hấp dẫn tương đương có bản

chất đã tính đến lực ly tâm và lực Coriolis

Không thể áp dụng nguyên lý này cho toàn không gian vì tại vô cùng trường hấp dẫn

thật sẽ —> Otrong khi trường hấp dẫn tương đương có thể tiến tới vô cùng lớn (chuyển

đông quay chẳng han)

Nguyên lý này áp dụng cho vùng không gian hẹp.

1.Nguyên lý hiệp biến tổng quát

Mọi phương trình vật lý đều được diễn tả bởi phương trình hiệp biến (dưới dạng Tenxơ)

.Nghĩa là nó có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu Diéu này không có nghĩa mọi hệ

quy chiếu là tương đương nhau trong toàn không gian Kết quả đo được sẽ khác nhau nhưng dạng của phương trình thì không đổi.

21

Einstein lý luận rằng mọi người quan sát -quán tính hay không quán tính -đều có khả

năng tìm ra các định luật vật lý Nếu điều đó không đúng thì rõ ràng chúng ta đã không

thể tìm ra định luật vật lý nào hết vì quả đất của ta là hệ qui chiếu không quán tính

Hệ toa độ trong phép tenxơ = Hệ qui chiếu bất kỳ trong vật lý

4.Nguyên lý tương ứng-The correspondence principle

General relativity » Newton theory of gravitation

| |

Special relativity —————® Newton mechanics in the absence of gravitation

5 Hệ qua từ nguyên lý tương đương :

F=ma m: khối lượng quán tinh

Dike tại Princeton và Braginski tại Moscow đã đo và kết quả của sự sai khác giữa hai

loại khối lượng trên gần bằng 10°”.

22

§2 PHƯƠNG TRINH PALATINI

Theo định nghĩa tenxơ Rienann có dang :

Root = OT yg — Oa pe + Teale — TT 1

Tại điểm P bất ky ta chọn hệ toa độ trắc địa Khi đó : ”

[#(P)=0 (2)Lúc nay tenxơ Riemann sẽ có dang:

R„„=ô,T,—ô„T£ (3)

Chú ý: trong hệ toa độ trắc địa đạo hàm của hệ số liên thông sẽ khác không mặc dù

bản thân hệ số liên thông bằng không

Bây giờ ta thực hiện phép thay đổi sau:

I¿ — Tg = I +o (4)

Ol, :biến phân của hệ số liên thông Ta cũng chứng minh được bản thân hệ số liên thông

không phải là tenxơ nhưng biến phân của nó là tenxơ

Từ sự thay đổi này dẫn đến sự thay đổi của tenxơ Riemamn:

Rig —> Rig = Rica + OR ica (5)

ôR& „(P) = ð(ô,Tu ~ Og) = O(a) = Og (TS) (6)

Mặt khác V.X° =0.X° +[X°®=ô,X°

Nên thay vào(6):

OR Goa (P) = V.(ð„)— Vg (Ope) (7)

Do OF la tenxơ nên V (OT j).) cũng là tenxơ

=> phương trình (7) là phương trình tenxơ.Phương trình tenxơ này đúng trong hệ toa độ trắc

địa nhưng cũng đúng trong hệ toạ độ bất kỳ Ta có thể tổng quát hóa:

ðRÿ „ =V„(ôT„)— Vg (TK) (8) Nhân 2 vế của (8) với ổ hay nói cách khác cho đ = €

Ryea = Resa

ðR„„ = V„(ð12)~ Vy (rg, (9)

(8) và (9) có tên là phương trình Palatini.

Từ ý tưởng trên ta sẽ xây dựng hàm tác dụng cho trường hấp dẫn

1.Do phân bố vật chất quyết định tính chất hình học của không - thời gian mà tính chất

hình học của không -thời gian lại được đặc trưng bởi các tenxơ metric g., nên ta phải tính

đến sự có mặt của các Ø„„.

2.Tenxd Riemann của ta có chứa đạo hàm riêng 2 lắn của metric nên ta hy vọng phương

trình trường hấp dẫn sẽ có mặt tenxơ ® „ ( phương trình 2 Newton có đạo hàm hai lần qui

đạo theo L)

31.Hàm Lagrange của ta sẽ phải là vô hướng giống như trong thuyết tương đối hẹp và trong

điện - từ trường

Ta chọn: ⁄% =(- g)/?R =vô hướng (1)

Ta chon = Ø vì không — thời gian của ta có g âm.

Hàm tác dụng của trường / = Jey"? RdQ= f(g)? 2? R,,dQ (2)

9 Q

Hàm %; =(- gy? R gọi là hàm Einstein Lagrange.

(đây không phải là cách chon duy nhất Eddington chọn kiểu khác nhưng cách của

Einstein là đơn giản nhất)

Chú ý: R=g”R,,

Tích phân lấy trong vùng Qe không - thời gian 4 chiéu , Ta phải thêm điều kiện của

phương pháp biến phân là ổZ „ sẽ bằng zero tại biên dQ của vùng @

24

(piống như cơ lý thuyết)

Nếu ta ký hiệu : (- g)” g” = y” (3)

I= fg” RydQ = [dQ (4)

2 2

Bay giờ ta xét biểu thức sau:

Lun > Sor + By hay @ °Ô=>g ””°+đg”

Do 3! = gg nén:

(e% + de Ven +p )=52 + Oe Bie + BPR +057) — @)

6622 =0=5(g" 2.) = be” gu, + 8 ORs.

\i thee điều kiện phương pháp biến phân thì biến phan tại bể mặt của vùng Q sẽ phải

Chas: Ta đã sự dụng các công thức đã chứng minh ở chương 1- §l6:

cách chọn ham Lagrange tương ứng với trường hấp dẫn va nhờ nguyên lý tác dụng tối thiểu

ta tìm được phương trình Einstein - Lagrange:

ax, ô| 2% | 3 _

Bay Ox"| Oy | Bar

Phương trình này có tên phương trình Einstein dành cho chân không,(Vacuum) cho

không - thời gian nằm ngoài vật chất tạo ra trường.

§4 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN TỔNG QUÁT

Ở phan trước ta tim được phương trình Einstein cho chân không Muốn tìm phương trình

tổng quát ta phải cộng thêm hàm Lagrange tương ứng với sự có mặt của vật chất Ta gọi

T“°: tenxở hạng hai nào đó nói lên ảnh hưởng của vật chất trong vùng@ đang xét Nói

một cách khác tenxơ trên là đại lượng đặc trưng cho khối lượng và năng lượng Sau này sẽ

chứng minh được là 7® tenxơ näng- động lượng ( The energy — momentum tensor).

Tương tư như ở phan trước :

| 112v là phương trình vị phan xác định các tenxd metric Ø„„ từ tenxơ năng, động lượng

Tự Điều này phù hợp với nguyên lý Mach: Sự phân bố vật chất xác định tính chất hình

lốc của không gian, Khi 7, = 0 ta có phương trình cho vùng không gian nằm ngoài vật

chai sinh ra trương (chân không),

) Các phương trình Einstein rất khó giải vì nó là phương trình không tuyến tính = tìkhong thé áp dung nguyên lý chồng chất, Về mat vật lý có nghĩa là từ một vấn để vật lýplufe tap ta không thể phân tích thành các thành phan don giản hơn để nghiên cứu,

L J*hương trình vi phản không tuyến tính sẽ cho ta rất nhiều nghiệm trong đó có nhiều

nụiuem không có ý nghĩa vật lý vì vay các nghiệm cân phải được thực nghiệm kiểm chứng

Sau một vài biến đổi đơn giản ta đưa (11) về dang sau:

Dang thứ 2 của phương trình Einstein.

Sau này Einstein có đưa thêm số hạng Âg„„ : nên phương trình (11) có dạng :

Gay — AB ap = kT as

A :hằng số vũ trụ do Einstein đưa vào để phù hợp với mô hình vũ trụ khi đó là tĩnh SauHa) các quan sát của Hubble chứng minh rằng vũ tru dang nở ra.

Chứng minh trên đã dẫn đến việc Einstein từ chối hing số vũ trụ Ông nói: đó là sai lầm

lửn nhất trong đời mà tôi mắc phải

Ngày nay khi nghiên cứu vũ trụ người ta chia ra 3 trường hợp;

AiO ;A=0 ; A)0

Hệ số kết nếi (hệ số tỉ lệ) & =8 nếu xét trong hệ tương đối tính

- Hè số kết nối (hệ số tỉ lệ) A = nG nếu xét trong hệ SỈ

c1

Œ- hàng số hấp din: €: vận tốc ánh sáng trong chân không