Bài thảo luận ứng dụng của Định thức trong giải toán thực tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA MARKETING ---boœøElÌw›c--- BÀI THẢO LUẬN ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC TRONG GIẢI TOÁN THỰC TẾ Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Thu Thủy... Ly do chon dé tai: Đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

KHOA MARKETING -boœøElÌw›c -

BÀI THẢO LUẬN ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC TRONG GIẢI TOÁN

THỰC TẾ

Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Thu Thủy

MỤC LỤC ĐÁNH GIÁ THÀNH VIÊN VÀ ĐIẾM THẢO LUẬN - 5c Scctnnenererrye 3

MỞ ĐẦU - S2 n2 112 122122121212 12112122 trưng 4 LỜI CẢM ƠN 0 2s nh HH HH H1 t1 111gr ererre 5 LỜI CAM KKẾT 5 2s 2E 211211211 2E 21 2t 2t E1 HH HH tr te rau 5

I Khái niệm định thức - 2 2s SE 1 E5 2112211 21121 HH ren 6

2 Tính chất của định thức 5 HH HH HH HH ngu 6

II Ứng dụng của định thức 52 s 1 E711 1121217121 EE tre egreo 7

1, Tìm l,Hg CA HH [ẬNH à TT SH TH nh HH Hà HH Hà He 7

VN maa 16 1 , 5N NNỚỹỢẠ.Ặ ẶẶDỤŨ aenaeteeeeeeits 7

3 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính nnHHng Hye 8 CN j 060, 0n n6 (ANƠLALA 8 3.2 Phương pháp sứ dụng ma trận nghịch (ÌẢO: ác Tình Hy 9

Ill Mộtsố bài toán thực tế là ứng dụng của định thức Sex rerxreg 10

1 Sử dụng định thức để tính diện tích tam giác khi biết tọa độ 3 đĩnh 10

2 Ứng dụng trong việc bảo mật thông tỉn 5c ng Hee uên 10 3 Ứng dụng trong thực tiễn, tính toán số Hgười che II

4 Tĩnh doanh thu của doaqHh nghiỆp à Q cho 12

TÀI LIỆU THAM KHẢO - 5 - + 1SEE12112112512112 1211211 E1 11 11T HH HH Hee 14

ĐÁNH GIÁ THÀNH VIÊN VÀ ĐIỂM THẢO LUẬN

STT Họ và tên MSV Nội dung công việc Diem

1 Tran Việt Hoàng (nhóm 23D121016

trưởng)

2 | Tran Quang Phuc Hoang 23DI21069

(thư kí)

3 |Trần Quang Huy 23DI21017

4 Phạm Khải Huyền 23DI21070

23DI21019

5 Pham Thi Thu Huyén

6_ | Nguyễn Hữu Khang 23D121020

Nguyễn Văn Khánh

7 23D121021

8 | Pham Ngoc Khanh 23D121022

Nguyên Đức Khiêm 23D121071

10 | Phạm Trung Kiên 22D100156

MO DAU

1 Ly do chon dé tai:

Đại số tuyến tính là một bộ môn toán nghiên cứu về không gian vecto, hệ phương trình tuyến tính, và các phép biến đôi tuyến tính giữa chúng, là một trong những

môn học có vai trò quan trọng cho sự phát triển của toán học, là môn học cơ sở

trong chương trình toán cao cấp ngày nay Đại số tuyên tính được sử dụng nhiều trong toán học như đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích Nó cũng có

vô vàn ứng dụng trong vật lý, tin học,

Định thức là một trong những công cụ rất quan trọng và có nhiều ứng dụng trong toán học Phương pháp định thức cho phép tiếp cận những kiến thức toán học một cách gọn gàng, đồng thời sử dụng định thức còn mang lại cho chúng ta những phương pháp giải toán rất hiệu quá Nó cũng có tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy cho người học toán

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này, chúng em lựa chọn dé tài “ Ứng dụng của định thức trong giải toán thực tế ” dé thực hiện bai

thảo luận của nhóm mình

2 Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống, logic về định nghĩa và một số tính chất của định thức ma trận, một số phương pháp tính định thức và một số ví đụ

minh họa về ứng dụng của định thức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Đưa ra những kiến thức về định thức, những kiến thức về ứng dụng của chúng trong giải toán thực tế

Tìm hiểu, nghiên cửu về các định nghĩa, tính chất, các phương pháp định thức của

ma trận, và đưa ra các ví dụ minh họa cho các phương pháp đó

Đưa ra hệ thông bài tập về các bài toán ứng dụng của định thức

4 Đối tượng nghiên cứu:

Nghiên cứu xung quanh các vân đề về định thức cũng như là ứng dụng thực tê của

chúng trong toán học

5 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về các vấn đề cần nghiên cửu như: định thức, các phương pháp tính định thức, ứng dụng của định thức Phương pháp lây ý kiến chuyên gia: Gồm ý kiến của các giảng viên hướng dẫn và các giảng viên khác trong Bộ môn Toán Đại Cương Trường

LỜI CÁM ƠN

Trước khi đến với bài thảo luận, nhóm 4 chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học Thương Mại Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên bộ môn cô Nguyễn Thu Thủy đã truyền đạt những kiến thức quý báu cho chúng em trong suốt thời gian học tập vừa qua Trong thời gian tham gia lớp học của cô, chúng em

đã có thêm cho mình rất nhiều kiến thức bồ ích, tinh thần học tập hiệu quả, nghiêm túc

Đây chắc chắn sẽ là những kiến thức quý báu, là hành trang để chúng em có thê vững bước sau này

Mặc dù đã dành nhiều thời gian và nỗ lực để hoàn thành bài tiêu luận này, nhưng do hạn

chế về mặt kiến thức nên chúng em làm bài khó tránh khỏi những thiếu sót Chủng em kính mong nhận được những lời góp ý của quý thây, cô đề bài làm được hoàn thiện hơn

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

LOI CAM KET

Bài thảo luận của chúng em trong thời gian qua là thành qua của quá trình học hỏi và tiếp thu kiến thức từ Cô Nguyễn Thu Thủy và kinh nghiệm thực tế Vì vậy chúng em xin cam đoan tất cả nội dung báo cáo là sản phâm cá nhân của riêng nhóm em và không có bất ki gian dối hay sao chép nào Các tài liệu tham khảo và trích dẫn đều được ghi rõ nguồn gốc Chúng em xin chịu trách nhiệm hoàn toàn với lời nói của mình trước Hội đồng kỷ luật Trường

Hà Nội, ngày 01 tháng 03 năm 2024

Đại diện nhóm 4

L Khái niệm định thức

1 Định thức

Cho một ma trận vuơng A, Định thức của ma trận A là một sơ, kí hiệu đet (A), được định nghĩa quy nạp như sau:

A là ma trận vuơng cấp l:

A=|a,,| thi det|A)=a,,

ay

A la ma tran vuéng cap 2: =

Gy, Gy)

| thi det [A|= G11 Gy9— Ay 9,

A là ma trận vuơng cấp 3: ( Áp dụng quy tắc Sarrus )

Gi, đụ đa

G3, As, 33

đet(A) = địi: đạ;c đa đị; đa đại + Oy Ag+ y3~ Gy 3- yy Ag, - Ay), đị;, địa + địy, địa địi

A là ma trận vuơng cấp n: Xét ma trận A = LaÏj)„ „ Ta cĩ ký hiệu Mj là ma trận cĩ được

từ A bằng cách bỏ đi dịng I và cột J Khi đĩ đet ( A ) được tính bằng cơng thức sau:

[AI=>, (—1)””.a|M,

Trong đĩ [ là một dịng tuỳ ý của ma trận A

2 Tính chất của định thức

1 Nếu A và B là các ma trận vuơng cùng cỡ thì ta cĩ |A: B|E|A|' |B|

2 Nếu A cĩ đạng tam giác thì định thức của A bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính

IAE|Al

._ Định thức A =0 nêu cĩ một dịng ( cột ) tồn 0

._ Nếu ra đơi chỗ hai dịng ( hoặc hai cột ) của địnht hức thì định thức đổi dau

Nếu nhân các phan tử của một dịng ( hoặc một cột ) với số k thì định thức mới

bằng định thức cũ nhân với k

7 Nếu nhân một địng nào đĩ với một số bắt kỳ rồi cộng vào dịng khác thì định thức

khơng thay đơi

IL Ung dung cua dinh thirc

1 Tim hang cua ma tran

Cho ma tran A # 0 Ta go cap cao nhất của một định thức con khác 0 của A là hạng của

ma trận A Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng hoặc cột để đưa ma trận A

về dạng đơn giản Hạng của ma trận bằng số dòng khác 0 của ma trận sau biến đôi Các phép biên đôi sơ cập:

- Đôi chõ hai dòng của ma trận

-_ Nhân các phân tử của một dòng với một sô khác 0

-_ Nhân một dòng với một sô rồi cộng vào khác

Vị dụ:

A=2 1 4| đ.2+¿¿I0 3 2|đ,2+¿¿|l0 3 2

Có da(D) = | 1I=1#0

Số dòng khác 0 là 2 Vậy hạng của ma trận là 2

2 Tìm ma trận nghịch đảo

Cho: Ma trận vuông Â; „ ma trận con ứng với phân tử ø; là ma trận vuông cấp n-Ì thu

được từ A bằng cách bỏ đi dong i va cột J, kí hiệu là Mạ

Ä⁄Í;: ma trận con của Á khi bỏ đi hàng 1, cột j

A= (—1)"

ay Mị| : phân bu dai so cua phân tử đ;

Ay Ái Aas

=> ma trậnnghịch đảo: A7'= AI poe "2 Í( đetA # 0)

Ai, Aon Ann

(Phần bù đại số của hàng viết thành cột)

Ví dụ: Cho ma trận A dưới đây, tìm ma trận nghịch đảo cua A

NNR WRN

Bài làm

Xét: detA = L2 => Có ma trận nghịch đảo

itj

Ap dung céng thite Cy= (-1)"’|M,

Ta có: Cal | s Cu= (=1) E ‘a4

Tương tự, ta nhận được: C¡z=4

=> Ta duoc ma tran nghich dao: A= 75/4 12 -5 1 23) 3/=|/> [3 = 12 7 4

3 Giải và biện luận hệ phương trình tuyén tính

3.1.Phương pháp Cramer:

-Hệ Cramer là hệ thỏa mãn điều kiện:

+ Ma tran vuông

+ đetA # 0

-Phương pháp:

|4] „

TAI ;0=1,n)

Trong đó:

+ Alama tran hé sé

¢ A, lama tran co duge ti ma trận 4 bằng cách thay cột 7 bởi cột tự do -Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

X,+4X,+2X,=7

5X, +X,=5

Vi D=-7 £0 nén hé co nghiém duy nhat:

_Dx, 21 ©

8

_ Dx, 0_

_ DX; _~35_,

BD 7

3.2 Phương pháp sử dụng ma trận nghịch đảo:

- Bước l: Đặt A, X, B Dạng ma trận của hệ: A.X = B

-_ Bước 2: Nếu dtA#0=>X=A"',B

- Bước 3: Tìm A'' sau đó tìm X và suy ra nghiệm

mm 3x†+5y=—1

- Vị dụ: x+2y=4

, 13 2 ||Jx| |18

Ta có: 1 -1/y|— n

1M i

Co detA = -5 # 0 => co ma tran nghịch đảo Ap dụng công thức C;= (—1)

eel Ht 3

Giải hệ phương trình bằng cách nhân hai về của phương trình A.X = B véi AM:

A'.A.X=A".B=>X=A™".B

Thay A'ˆ và B vào phương trình ta được:

| 18

2

1 2

1-3 Vậy nghiệm của hệ phương trình la x = 22 va y = 16

_ {22

~ 116

°

Ill Mộtsố bài toán thực tế là ứng dụng của định thức

1 Sứ dụng định thức đê tính diện tích tam giác khi biết tọa độ 3 dĩnh

Cho: A(%1, ¥i6, B(X2 ¥2), C(X%35 36

Vi du 1: Tính diện tích hình tam giác với các đỉnh A(I, -5), B(3, 9) và C(15, 6)

xX, ¥, 1

Str dung céng thite giai nhanh bang may tinh Casio: Sagc = 5 detlx; y, 1

X3 y3 1

Thay tọa độ 3 đỉnh A, B, C vào công thức ta được: Sasc = 7 detl3 9 1|l787

15 6 1

Ví dụ 2: Cho 3 điểm A(1,2), B(3,5), C(4,7) Tinh điện tích tam giác tạo bởi 3 diém A,B,C

Tổng ong quat: quát: S„„e => | AB.AE||E > [det 2asc — 2 | | 2 Yo7¥1

Vs Vi

Ta có: AB= (2, 3), AC = (3,5)

_1 2 3| _1 -1

Sane = 5 (det 3 | = 5 |2#5-343)|=5

2 Ứng dụng trong việc bảo mật thông tin

Cho ma trận A = và một sự tương ứng giữa các ký tự và số như sau:

2

5

0 mw

10

TỰ J2 PP B§N tr | Ƒ

Một bạn trai muốn gửi dòng tin nhắn đến cho bạn gái Đề đảo bảo bí mật, anh ta dùng bảng tương ứng trên đề chuyền tin nhắn của mình thành một dãy số và viết dãy số nay thành ma trận B Theo nguyên tắc: Lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính D=B.A và chuyền D về dãy số thì tìm được dãy 1 2 1 2 0 3

3 14 Hãy giải mã thông tin trên

D=B.A > B=D.A”' mà A"' cỡ 3x3 => D có 3 cột mà dãy số của D có 9 phần tử => mỗi cột của D có 3 phần tử => D cỡ 3x3

D=

C22 C

Ta có: det(A) = 40 + 6— 15 — 32 =-l #0 = tồn tại A''

=40

A.=- 1) 6 ;

Az (-1)""der|? 2 =-13

2 5)_

1 | s

A, = (— 1)”det 0

Tương tự ta có: 2= -l6; A¿= 5; Áz=2; A¡=-9; Az=3; A= 1

40 -16 -9 [-40 16 9

_ |5 2 1— 5_ -2 -1

-40 16 9 -9 4 2

1 2 1

=> B=D.A'=|2 0 3||13 —5 -3|=l|—-65 26 15

3 1 4J| 5 -2 -1] |-87 35 20

-9 4 2 -65 26 15 -87 35 20

A N H Y E U E M |

3 Ứng dụng trong thực tiễn, tính toán số người

Lớp K59CD có 10 bạn có điểm kiêm tra thấp nhất gồm các bạn điểm l, 2, 3 Biết rằng tông so diém cua 10 bạn là L7 và tông sô bạn có điểm 2 và 3 băng tông sô bạn có điểm 1

ll

3,

Gọi số bạn điểm 3, điểm 2, điểm I lần lượt là a, b, e (0 < a, b, c< 10)

Theo giả thuyết đề bài cho ta có phương trình:

1 1 1| la 10

1 1 -I1Ị Ịc 0

GọiA=|3 2 1 |; X=b);B517

Khi do (*) <=> A.X=B => X=B A™

Det(A) =-2+1+3-2-(-3)-1=240=tdntai A"

1

A= (—1)'**det ° " =4

+ 3 2

Az=(-1} ch | =1

Tương tự ta có : Ay= 2; Ay= -2; Ay= 0; As\= -1; Az 2; Age -1

-3 2 -1 15 -1 0,5

> At=—|4 -2 2|=|-2 1 -1

1 0 -1 =0,5 0 0.5

10 15 —1 0,5 2

0||_-05 0 045 5

> a=2, b=3, c=5

Vậy lớp K59CD có 2 bạn điểm 3; 3 ban diém 2 va 5 ban diém 1

4 Tính doanh thu của doanh nghiệp

Một xí nghiệp sản xuất ra 3 loại san pham G1, G2, G3 và phân phối hàng tháng cho 3 đại

lý A, B, C với số lượng cho bởi bảng sau:

12

GI G2 G3 Daily A 150 320 180

Dai ly B 170 420 190

Daily C 201 63 38

Giá bán lẻ của các sản phẩm tại các đại lý phân phối cho bởi bảng sau:

Gl G2 G3 Daily A 560 750 1580

Dai ly B 520 690 1390

Daily C 590 720 1780

(Don vi: nghin VND) Doanh thu hang thang la:

150 320 180||560 750 1580 608400

170 420 190}./520 690 1390} =| 64320

201 63 58) |590 720 1780 267190

Vậy doanh thu hàng tuần của dai li A là 608.400.000 VND, đại lí B là 64.320.000 VND, đại lí C là 267 190.000 VND

13

TÀI LIỆU THAM KHẢO

14