Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Khảo sát sự phụ thuộc của tín hiệu sóng điều hòa bậc cao và xác suất ion hóa của ion phân tử H2+ vào góc định phương khi xét đến dao động hạt nhân

Tuy nhiên, trong các công trình trên, quy luật sự phụ thuộc của cường độ HHG và xác suất ion hóa của phân tử vào góc định phương khi có xét đến dao động hạt nhân chưa được nghiên cứu, đâ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUONG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA VAT LY

TRAN AI NHAN

KHAO SAT SU PHU THUOC CUA TIN HIEU SONG DIEU

LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC

TP Hỗ Chí Minh - Năm 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUONG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA VAT LÝ

TRAN AI NHAN

KHAO SAT SỰ PHU THUQC CUA TÍN HIEU SONG DIEU

HOA BAC CAO VA XAC SUAT ION HOA CUA ION PHAN

TỬ H‡ VÀO GÓC ĐỊNH PHƯƠNG KHI XÉT DEN DAO

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến cô hướng dẫn TS Phan Thị Ngọc Loan — người đã tận tinh hướng dẫn và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn

thành luận văn này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thay cô ở tô bộ môn Vật lý lý thuyết Trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã truyền thụ những kiến thức

khoa học cơ bản trong suốt quá trình học, giúp tôi tiếp cận nghiên cứu một cách dễ

dang.

Tôi xin cảm on các thành viên trong nhóm nghiên cứu đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho

tôi nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.

Tôi xin cám ơn phòng Đào tạo, trường Dai học sư phạm Thành pho Hồ Chí Minh

đã tận tình hướng dẫn và hỗ trợ mọi thủ tục trong thời gian tôi học tập tại trường.

Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc đến ba mẹ, anh chị và bạn bè tôi đã

luôn quan tâm, động viên giúp tôi vững tâm học tập và hoàn thành luận văn này.

TP Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 4 năm 2015

Trần Ai Nhân

Mục Lục

Danh mục các ký hiệu, các chữ viẾt tit «- 5s s6 sscsvvsevsckerkeerserssessrrssre ii

Weitere iii

Danh mục các bảng con nh TH TH TT TT TT T000 1800008000104.0080001 1.1198 Y

LOIMO ĐẦ (sa so ninuiniiookoioitidtidiiitoiliiitogioikiiigsistligiii030651005A/G08n89 1

CHUONG 1: Lý thuyết phát xạ sóng điều hòa bậc cao và quá trình ion hóa

1.3 Phương pháp TDSE cho ion phân tử Hỷ và phương pháp tính xác suất ion héa 1 I

1.3.1 Phương pháp TDSE cho ion phân tử Hỷ với hat nhân đứng yên II

1.3.2 Phương pháp TDSE cho ion phân tử HZ với hạt nhân dao động 14

1.3.3 Phương pháp tính xác suất ion lÓa 2 2s 221221 2112231 2232242222222 e2 15

CHUONG 2: Sự phụ thuộc của HHG phân tử H2 vào góc định phương 17

2.1 HHG của ion phân tử Hỷ khi hat nhân đứng yên va dao động 17

2.2 Sự phụ thuộc của HHG vào bac dao động v của hat nhâần 21

CHUONG 3: Sự phụ thuộc của xác suất ion hóa của phân tử H} vào góc định

DRHWTElG0i2G4021302160216011621103543651501155346313665ã439565853634369389358658ã656565166935635365586585%8213533365556532 25

Kêt luận và hướng phát triển Gd Gl scsccsccsccsocssssecvsovosecsnsssossvesvvssesseossesstussessecssesoes 33

Tài liệu tham Khao c- << sọ TH II HH I0 00006880 35

Z Z eA Z ~w ok 4

Danh mục các ký hiệu, các chữ viêt tat

BO: Born — Oppenheimer

HHG: High order Harmonic Generation (Sự phát xạ sóng điêu hòa bậc cao)

TDSE: Time-Dependent Schrödinger Equation (Phương trình Schrödinger phụ

thuộc thời gian)

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Hình I.1: Mô hình khảo sát, laser được chiếu lệch góc Ø so với trục của phan tứ 12

Hình 1.2: Đường biểu diễn các giá trị hằng số “soft-Coulomb” theo khoảng cách

BGT Tt NHẪN RR 602 i:4202020422221211021222112321222122211201122202531421512231221121439505531333123359362132312835682 13

Hình 2.1: Sự phụ thuộc của cường độ HHG vào góc định phương khi ion phan tử

Hi tương tác với trường laser cường độ 3x10" W/cm, độ dai xung 21 fs, bước

song 800 nm, trong hai trường hợp: hạt nhân đứng yên và hạt nhân dao động với

v = 1, khi xét tại bậc 25 (hình a), bậc 31 (hình b), bậc 41 (hình c) 18

Hình 2.2: Pho HHG ứng với góc định phương từ 0° đến 70° trong trường hợp hạt

nhân đứng yên (hình a) và hạt nhân đao động v = 1 (hình b) Laser tương tác có

"108120 U08 Ả 19

Hình 2.3: Cường độ HHG của HZ phụ thuộc vào góc định phương khi tương tác với

xung laser có độ dai xung 27 fs, bước sóng 800 nm với các cường độ lần lượt là2x10!“ W/cm, 3x10'* W/cm’, 4x10" W/cm”, xét trong hai trường hợp: hạt nhânđứng yên (đường đứt nét) và hạt nhân đao động với = 1 (đường liền néU, tại bậc

31 Gina) Val Ode SO! Cnn D) sss sesassscessesessescessscesssasceesscesesceessossscassesssessssesseacssessseess0e 20

Hình 2.4: Sự phụ thuộc của cưởng độ HHG vào góc định phương khi ion phan tử

Hỷ tương tác với trường laser cường độ 3x10'* W/em”, độ đài xung 8 fs, bước sóng

800 nm với v = 0, v = 1, v = 2, xét tại bậc HHG 23 - . 22

Hình 2.5: Pho HHG ứng với góc định phương từ 0° đến 70° trong trường hợp hạt

nhân đao động v = 0 (hình a), v = 1 (hình b), v = 2 (hình c) Laser tương tac có

0101801101107 1 45444 Ả 23

Hình 2.6: Sự phụ thuộc của cường độ HHG vào góc định phương khi ion phan tử

Hi tương tác với trường laser cường độ 2x10'* W/em” và 4x10" Wiem?, độ dài

xung 8 fs, 10 chu ki, bước sóng 800 nm với v = 0 (đường đứt nét), v = 1 (đường

liền nét) Xét tại bậc HHG 25 (hình a) và bậc 35 (hình b) 2-.2-c- 24

Hình 3.1: Xác suất ion hóa của phân tử Hỷ khi tương tác với xung laser có cường

độ 3x10'* W/em’, độ dài xung 21 fs, bước sóng 800 nm trong trường hợp hạt nhân

đứng yên (hình a), hạt nhân dao động với v = 0 (hình b), = 1 (hình c), v= 2 CHUB) i:is:ti:371055112210111103011210112002316358535588289338983353353853553538ã389849885885888883882868ã3333533335885 27

Hình 3.2: Xác suất ion hóa của phân tử HZ khi tương tác với xung laser có cường

độ 3x10'* W/cm’, độ dài xung 21 fs, bước sóng 800 nm, góc định phương Ø = 0°

(hình a) và Ø = 90° (hình b), trong trường hợp hạt nhân đứng yên và hạt nhân dao MGT VOU HO) 25 Bs ca scecnscscancsscastuasuscusssaussasseassnasseassvsssiesticnsesstuanssauivassssaaseaucsasies 28

Hình 3.3: Sự phụ thuộc của khoảng cách liên hat nhân vào thời gian, ứng với các góc định phương khác nhau, trong trường hợp hạt nhân dao động với v = 1 (hình

a), w = 2 (hình b), w = 3 (hình c) Laser sử dụng có thông số như hình 3.2 29

Hình 3.4: Xác suất ion hóa (hình a) và khoảng cách liên hạt nhân (hình b) của phan

tử Hỷ ở các thời điểm cuối cùng trong các trường hợp hạt nhân đứng yên và dao

động với v = 0,1,2, 3 trong toa độ cực khi tương tác với xung laser có cường độ

3x10!“ W/cm°, độ dài xung 21 fs, bước sóng 800 nm -2:s+5- 30

Hình 3.5: Xác suất ion hóa của phân tử Hj khi tương tác với xung laser có cường

độ 4x10" W/em’, độ dài xung 27 fs, bước sóng 800 nm, 10 chu kì trong trường hợp

hạt nhân đứng yên (hình a), hạt nhân dao động với v = 0 (hình b) hạt nhân dao động VO S 1(( HC] angncinaitii4iii4i140010110621444116413165156515549134114613328158118149552 31

Hình 3.6: Xác suất ion hóa của phân wr Ht ở các thời điểm cuỗi cùng trong các

trường hợp hạt nhân đứng yên và dao động với v = 0,1 trong tọa độ cực khi tương

tác với xung laser bước sóng 800 nm, 10 chu ki, cường độ 2x10'* W/em” (hình a) và

4X10" Wier? (hình b) Sóc 01g 2111111211221 01 1121122111.

IV

Danh mục các bảng

Bảng 3.1: So sánh tỉ lệ giữa xác suất ion hóa của hạt nhân dao động và hạt nhân

đứng yên khi Ø = 0° và khi Ø = 9(2 ng Hn nhanh gen gang 30

V

LOI MỞ DAU

Trong hon hai thập ki qua cùng với sự phat triển của kỹ thuật laser, tương tac

giữa chùm laser mạnh, xung cực ngắn với nguyên tử, phân tử đã được nghiên cứu

rộng rãi [8] Trong đó sự phát xạ sóng điều hòa bậc cao và quá trình ion hóa của

nguyên tử và phân tử trong trường laser mạnh thu hút rat nhiều sự chú ý cả tronglĩnh vực thực nghiệm và lý thuyết [13] Một trong những mô hình gan đúng đượcchấp nhận và sử dụng rộng rãi là mô hình ba bước Lewenstein đã giải thích thànhcông cơ chế phát xa sóng điều hòa bậc cao (HHG) Theo đó đầu tiên điện tử bị ion

hóa theo phương thức xuyên ham, tiếp theo điện tử sẽ bị gia tốc bởi trường điện của

laser, cuối cùng khi điện trường đôi chiều, điện tử bị kéo trở lại kết hợp với ion mẹ

và phát ra photon, chính là HHG.

Ngoài nguyên tử, các nhà khoa học đã mở rộng tính toán phát xạ HHG của

phân tử khi tương tác với trường laser cường độ cao xung cực ngắn Rất nhiều công

trình lý thuyết và thực nghiệm đã chỉ ra rằng pho HHG và xác suất ion hóa của phân

tử phụ thuộc nhiều vào sự định hướng và khoảng cách liên hạt nhân của phân tử [Š].

(6] [7] [13] Một trong những hiệu ứng quan trọng đó là xuất hiện bậc HHG mà tại

đó cường độ HHG dat cực tiêu trong phô sóng điều hòa bậc cao của phân tử [6]

Khảo sát sự phụ thuộc cường độ HHG của phân tử Hỷ vào góc định phương [6] chi

ra rằng, tồn tại một góc định phương "tới hạn” mà tại đó, cường độ HHG đạt cực

tiểu và tại góc định phương nảy có sự nhảy pha Z radian Sau đó vào năm 2003, Lein nghiên cứu ảnh hưởng của góc định phương lên phô HHG của phân tử ba tâm H‡* và đã thu được phô HHG trong đó tồn tại hai cực tiêu nằm cạnh nhau và gọi là cực Liêu kép [7] Năm 2007, Telnov và Chu [13] đã tính toán sự phụ thuộc của HHG

và xác suất ion hóa đa photon của Hỷ vào góc định phương, trong trường hợp điện

tử được kích thích từ trạng thai cơ bản va hai trạng thái kích thích dau tiên Tuynhiên trong những công trình [6] [7] [10] thành phan dao động hạt nhân chưa được

tính đến.

Khi nghiên cứu về HHG của phân tử, dao động của hạt nhân đã được quan

tâm trong hơn một thập ki trở lại đây Năm 2005, bằng cách thêm vào mô hình ba

bước các hàm sóng mô tả chuyền động hạt nhân lên HHG, Chirilé và Lein đã thu

được kết quả là cường độ HHG phát ra nhạy với chuyển động của hạt nhân [4].Trước đó vào năm 2001, khi tinh đến sự chuyên động của hạt nhân Qu và cộng sự

đã thay rằng sự ion hóa Hf trong trường laser cường độ cao tăng lên đáng kẻ so với khi hạt nhân có định [12] Từ kết quả của những nghiên cứu này chúng ta có thé

thay rằng HHG sẽ có những thay đối đáng kế khi xem xét đến chuyền động của hạt

nhân.

Khảo sát ảnh hưởng của định phương phan tử lên phô HHG và xác suất ion hóa tính đến chuyên động hạt nhân mới được quan tâm trong một vài công trình gần đây Bằng phương pháp bán cô điển Gonoskov đã dự đoán rằng vị trí điểm giao

thoa bị biến mắt khỏi phổ phát xạ HHG khi xét đến dao động hạt nhân [5] Tuynhiên, tính toán bằng phương pháp giải số phương trình Schrödinger phụ thuộc thời

gian (TDSE) đã chứng minh rằng khi hạt nhân dao động, cường độ sóng HHG đạt

cực tiêu tại bậc nhỏ hơn so với khi hạt nhân có định [11], phù hợp với kết quả thực

nghiệm đã được quan sát trước đó [3] Tuy nhiên, trong các công trình trên, quy luật

sự phụ thuộc của cường độ HHG và xác suất ion hóa của phân tử vào góc định

phương khi có xét đến dao động hạt nhân chưa được nghiên cứu, đây chính là

hướng nghiên cứu mà chúng tôi muốn thực hiện Do đó chúng tôi quyết định chọn

dé tài luận văn: “Khảo sát sự phụ thuộc của tín hiệu sóng điều hòa bậc cao và xác

suất ion hóa của ion phân tử Hỷ‡ vào góc định phương khi xét đến đao động hạt

nhân”.

Mục tiêu của luận văn là kháo sát sự ảnh hưởng của góc định phương lên phỏ HHG và xác suất ion hóa của ion phân tử Hỷ khi tương tác với laser cường độ cao

xung cực ngắn Chúng tôi khảo sát trong hai trường hợp: khi hạt nhân đứng yên và

khi khi hạt nhân dao động Dé tài góp phan b6 sung định hướng cho việc nghiên

cứu trích xuất thông tin phân tử mà cụ thê là hiệu ứng giao thoa điện tử

nN

Phương pháp được sử dụng nghiên cứu trong luận văn bao gồm: phươngpháp giải số phương trình Schrédinger phụ thuộc thời gian (TDSE), mô phỏng phéHHG so sánh và phân tích kết quả.

Đề thực hiện được mục tiêu trên, chúng tôi đặt ra các nhiệm vụ cụ thẻ như

sau Trước tiên, đẻ tiến hành nghiên cửu, chúng tôi can có nên tảng cơ bản về van

dé quan tâm, do đó đầu tiên chúng tôi tìm hiểu về cơ chế phát xạ HHG, dang phô

HHG đặc trưng và cơ chế ion hóa của phân tử Sau đó, đẻ tính toán HHG và xác

suất ion hóa, chúng tôi tìm hiểu về ngôn ngữ lập trình FORTRAN, phần mém dé

biểu dién các đồ thị kết quá, phương pháp TDSE bao gồm phương pháp thời gian ảo

và tách toán tử, phương pháp tính HHG từ hàm sóng phụ thuộc thời gian Tiếp theo

với các phương pháp và nguồn code có được, chúng tôi sẽ phân tích phô HHG của ion phân tử Hỷ ứng với các góc định phương khác nhau và so sánh phô này trong

hai trường hợp: khi hạt nhân đứng yên và khi hạt nhân dao động Cuối cùng chúngtôi sẽ kiểm tra kết qua thu được bằng cách cho phân tử Hỷ tương tác với laser cócác thông số cường độ hoặc xung khác nhau

Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận có 3 chương Trong

chương đầu tiên, chúng tôi trình bày về lý thuyết phát xạ sóng điều hòa bậc cao

phương pháp giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian, cách tính toán phát

xa HHG và xác suất ion hóa Trong chương hai, chúng tôi trình bày về phd HHG

của HZ phụ thuộc vào góc định phương thu được từ phương pháp TDSE đã trình

bay trong chương |, trong trường hợp hạt nhân đứng yên va hạt nhân dao động.

Dong thời chúng tôi cũng trình bay kết quả sự phụ thuộc của HHG của Hf vào trạng thái dao động v của hạt nhân Trong chương cudi cùng, chúng tôi tính xác suất

ion hóa của ion phân tử Hỷ trong trường hợp hạt nhân đứng yén và dao động Đồngthời khảo sát mối liên hệ giữa xác suất ion hóa và khoảng cách liên hạt nhân ứngvới các góc định phương thay đổi từ 0° đến 90°

Trong chương 1, ở mục 1.1, chúng tôi sẽ trình bày chỉ tiết về mô hình ba

bước Lewenstein giải thích sự phát xạ sóng điều hòa bậc cao khi nguyên tử, phân tử

tương tác với laser cường độ cao, xung cực ngắn Sau đó, phương pháp TDSE giải

phương trình Schrédinger sẽ được chúng tôi trình bày ở mục 1.2 Phương pháp

TDSE bao gồm: phương pháp thời gian ảo giải phương trình Schrödinger không

phụ thuộc thời gian tìm hàm sóng của electron ban đầu, phương pháp tách toán tử

tim hàm sóng của electron khi đã tương tác với laser và cuối cùng lả phương pháp

tính phô phát xạ HHG Ở mục 1.3, chúng tôi áp dụng cụ thé phương pháp TDSE

cho phân tử ion Hỷ trong hai trường hợp hạt nhân đứng yên vả dao động Khi hạt nhân đứng yên, hàm sóng chỉ là hàm sóng cua electron; khi hạt nhân dao động, hàm

sóng bao gồm cả hàm sóng của electron và của hạt nhân Cuối cùng chúng tôi trìnhbày về phương pháp tính xác suất ion hóa cho phân tử ion Hỷ

Trong chương 2, đầu tiên ở mục 2.1 chúng tôi so sánh phô HHG của phân tử

H} trong hai trường hợp hạt nhân có định và hạt nhân dao động ứng với các gócđịnh phương từ 0° đến 90° đẻ rút ra những kết luận vẻ ảnh hướng của dao động và

của góc định phương lên HHG Đôi với trường hợp hạt nhân đứng yên, chúng tôi

xét trường hợp hạt nhân được cố định ở vị trí cân bằng có R = 2 a.u., phân tử ởtrạng thái cơ bản tương tác với chùm laser cường độ cao, xung cực ngắn Đối với

trường hợp hạt nhân dao động, chúng tôi xét hạt nhân dao động ở trạng thái kích

thích đầu tiên w = 1 O mục 2.2, chúng tôi sẽ trình bày kết quả về sự phụ thuộc của

HHG theo số lượng tử dao động v của hạt nhân và góc định phương Trong các

trường hợp chúng tôi quan tâm đặc biệt đến vị trí của góc định phương mà tại đó

xây ra hiện tượng cực tiêu giao thoa.

Trong chương 3, đầu tiên chúng tôi tính xác suất ion hóa của ion phân tử Hf

trong trường hợp hạt nhân đứng yên và dao động liên hệ với cường độ HHG mà

chúng tôi đã thu được từ kết quá trong chương 2 Sau đó chúng tôi khảo sát mối liên

hệ giữa xác suất ion hóa và khoảng cách liên hạt nhân R ứng với các góc định

phương thay đôi từ 0° đến 90°

Kết luận là phần cuỗi cùng của luận văn Trong phan này, chúng tôi tóm tắt lại các kết quả da đạt được Từ đó, chúng tôi nêu lên hướng phát triển của đề tài.

CHUONG 1: Lý thuyết phát xa sóng điều

hòa bậc cao và quá trình ion hóa phân tử

Trong chương này chúng tôi trình bày các vấn đẻ liên quan đến sự phát xạsóng điều hòa bậc cao (HHG) của nguyên tử, phân tử Trong phần đầu của chương,chúng tôi sẽ trình bày lý thuyết giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian

khi nguyên tử, phân tử có một điện tử tương tác với trường laser mạnh, xung cực

ngắn Phương pháp cụ thé được áp dụng là phương pháp thời gian ao và tách toán

tử Trong phan sau của chương chúng tôi sẽ trình bày phương pháp TDSE áp dụng

cụ thê cho phân tử Hf trong hai trường hợp là hạt nhân đứng yên và hạt nhân dao động Cuối cùng chúng tôi sẽ trình bày phương pháp tính xác suất ion hóa của ion

phân tử H}.

1.1 Mô hình ba bước Lewenstien

Sự phát xạ sóng điều hòa bậc cao là hiệu ứng quang phi tuyến xảy ra trong quá trình tương tác giữa laser và nguyên tử, phân tử Trong phô phát xạ HHG, ở một vài bậc đầu, cường độ HHG rất mạnh và giảm nhanh Sau đó, một miền phăng (plateau region) xuất hiện với HHG có cường độ gần như giống nhau Cuối cùng,

miễn phăng kết thúc bởi một điểm dừng (cutoff) mà từ đó cường độ HHG giảm

mạnh.

Năm 1994, Lewenstein dé xuất mô hình mang tên ông dé giải thích nguồn gốc vật lý của HHG với nguyên tử [9] Ở mô hình này, HHG được giải thích dựa trên ba

bước: điện tử ion hóa xuyên ham từ trạng thái cơ bản ra miền liên tục, sau đó điện

tử được gia tốc trong trường điện của laser và sau nửa chu kì laser nó bị kéo ngược

vẻ tái kết hợp với ion mẹ và phát ra HHG.

Dau tiên, do laser băn vào làm lệch rào the Coulomb nên nguyên tứ, phân tử

bị ion hóa Sự ion hóa có thê xảy ra theo cơ chế ion hóa xuyên ham, vượt rào hay đa

ca

photon tùy thuộc vào hệ số đoạn nhiệt y = ST Fe Trong đó, I, là thé ion

Pp

Eg

2

hóa nguyên tử, Ủy = a là động nang trung bình của electron khi dao động trong

trường laser Khi hệ số đoạn nhiệt ý < 1 hay trường laser có cường độ cao và tần

số thấp, sự lon hóa của điện tử là sự ion hóa xuyên ham hoặc vượt rào, tỉ lệ electon

bị ion hóa theo cơ chế đa photon rất nhỏ có thể bỏ qua Khi y > 1, tức là laser cótần số cao và cường độ thấp, khi đó sự ion hóa đa photon sẽ xảy ra, electron chi birt

ra khi hap thụ liên tiếp nhiều photon Đề có HHG, chúng ta xét thé ion hóa nguyên

tử J, < 1 và laser có thông số cường độ điện trưởng Ep, tần số œ phù hợp, tức là

động năng trung bình của điện tử U, trong trường laser có lớn hơn hoặc bằng I,

nhưng vẫn nhỏ hon mức bão hòa U;„¿ Khi đó, sự ion hóa xuyên ham sẽ chiếm ưu

thể.

Sau đó electron chuyển động trong miễn liên tục gây ra bởi trường laser và

trường Coulomb gây bởi hạt nhân Với điều kiện trường laser cường độ cao, vai trò

của thé Coulomb không đáng kẻ Trong quá trình chuyên động, electron được gia

tốc trong trường laser và thu được vận tốc lớn

Khi trường laser đôi chiều sau nửa chu kỳ quang hoc, electron có động nang lớn bị kéo ngược trở về hạt nhân Khi electron quay về ion mẹ, nó có thẻ tán xa không đản hôi, tán xạ đàn hỏi hoặc dich chuyên bức xạ về trạng thái cơ bản Nếu electron có thé kết hợp trở vẻ trạng thái co bản thì sự chuyên trạng thái này sẽ

chuyên động năng của electron thành năng lượng photon và phát xạ HHG có tan số

@ ứng với các quỹ đạo khác nhau của electron Nếu giả sử vận tốc ban đầu của

electron bứt ra bằng không thì động năng cực đại của electron quay trở về bang

3.17Up Do electron tái kết hợp trở vẻ trạng thái ban đầu nên động năng của elctron

quay về tại thời điểm va cham va năng lượng ion hóa I, sẽ chuyên thành năng

lượng của photon phát ra Nang lượng photon lớn nhất sẽ ứng với động năng cực

đại của electron quay về và tần số photon phát ra trong trường hợp này chính là tần

sô của điềm dừng.

Ì(Òeuterr = 3.17U, + Íp (1.1)

1.2 Phương pháp TDSE tính HHG

Đề tính phát xạ HHG, đầu tiên chúng ta cần giải phương trình Schrödinger

phụ thuộc thời gian (TDSE) cho nguyên tử, phân tử trong trường laser mạnh Sau

đó từ phương trình phụ thuộc thời gian sẽ tính được gia tốc lưỡng cực, khai triển

Fourier của gia tốc lưỡng cực sẽ thu được phô phát xạ HHG Đề giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian chúng ta phải dùng phương pháp tách toán tử dé tính hàm sóng phụ thuộc thời gian bắt đầu từ hàm sóng ban đầu, hàm sóng ban đầu này sẽ giải bằng phương pháp thời gian ảo Như vậy trong phần này chúng tôi sẽ tập

trung trình bày về phương pháp thời gian ảo và phương pháp tách toán tử

Sau khi đã tim được hàm sóng y(7,t) phụ thuộc thời gian, chúng ta có thé

tính HHG thông qua gia tốc lưỡng cực là đạo hàm bậc hai của momen lưỡng cựcdich chuyển a(t) = d(t) Sử dụng định lý Ehrenfest ta viết lai gia tốc lưỡng cực

đưới dạng sau

l d?

a(t) =d(t)= ae” = =(Œ, t)|VV Œ, t)|Œ, t))

= -(UŒ, t)| We) + EO WG, t)) (1.2)

Sau đó ta thực hiện phép biến đôi Fourier gia tốc lưỡng cực này từ không gian

thời gian vào không gian tần số

H(w) = F{—(Œ, t)|VVc(®) + ÊŒ)|ụŒ, Ð))} (1.3)

Từ đây chúng ta tính được HHG

S(@, 0) = |H(w)|? (1.4)

1.2.1 Phuong pháp thời gian áo giái phương trình

Schrodinger dùng

Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian:

¡2= = ñụŒ, t) (1.5)

Điểm mau chốt của phương pháp thời gian ảo là phép đôi biến số z = it Với

phép đôi biến số này ta được phương trình

UŒ,t) = e"TH Đa Caba(P) = Seo Cre nF), (19)

trong đó E,, là các mức năng lượng riêng tương ứng với hàm riêng „Œ).

Dù hàm sóng ban đầu (7,0) đã được chuẩn hóa thì sau thời gian T, tính

chuẩn hóa này sẽ giảm đi do sự xuất hiện của các thừa số e~** Hàm sóng ở (1.6)

sau khi được chuân hóa được viết lại như sau

- » (€HÌ„=r(En~FoÌny (ý

2+ ĐT na Cre TER ali) to+Ènso(E")e tha09

VỐN m=—=—— 1.10

pe ) En là |2e~?2rEn Cc 2 ( )

n=ol*n Jt*E(8) e~?t(En~=Eo)

với Wo, Ep lần lượt là hàm sóng và năng lượng của trạng thái cơ bản trong phương

trình Hy, = EnU„ Ta có E, — Ey > 0 nên eTTa=Êa) = 0 khi r @ 09, Như vậy khi

cho thời gian r tiến tới vô han, hàm sóng 1Œ, r) sẽ tiễn về hàm sóng ở trạng thái cơ

ban tạ Vì vay dé giải phương trình Hy,, = E„t„ chúng ta xuất phát từ một trạng

thái ban đầu bat kì (Ÿ, 0), tác dung số hạng e~?# lên hàm sóng này và cho + > 00,

chúng ta sẽ thu được hàm sóng và mức năng lượng của trạng thái cơ bản.

Đối với các trạng thái kích thích chúng ta cũng tiền hành tương tự Khi đó

dé tim trạng thái kích thích, chúng ta loại bỏ các trạng thái trước đó Trang thái kích

thích thứ nhất được tìm xuất phát tir biéu thức

ỰŒ, t) = (L— Pa)e”*f (, 0) = (1 — lbp ole? Œ,0) (1.11)

với Py = |yo){Wol là mật độ của trạng thái cơ bản Với các trạng thái kích thích n

cao hơn, chúng ta loại bỏ trạng thái cơ bản, trạng thái kích thích thứ nhất, trạng

thái kích thích thứ n-1, ta sẽ thu được hàm sóng va năng lượng của trạng thái kích

Đặt A = —iAt, A=T, B = VŒ, t) chúng ta sẽ áp dụng phương pháp chia lên

toán tử mũ này Các công thức đối xứng có thé đạt được với độ chính xác bậc A?"*!

bởi

exp[A(A + B)] = Sony, + 0(A2n*1), (1.14)

O đây chúng tôi xét công thức SŠ;(Â) với độ chính xác bậc hai cùng bậc với

0(A?) Như vậy chúng tôi cần xác định $,(A) Dé thực hiện điều này chúng tôi tách

` - : > B V(r, P x Š ~

toán tử VŒf,t) thành hai phan „= — chúng ta sẽ thu được toán tử mũ

exp [_:Atc +T+ 2] Sử dụng hệ thức Zassenhaus chúng tôi thu được công thức

; V V (-lát)®ƒV „V

@Tiât(V4T) — QTÍAtš ,~fat(+T) 6S š7+;| + O(At*) (1.15)

Tương tự tiếp tục áp dung hệ thức Zassenhaus với số hạng thứ hai Cuỗi cùng chúng

ta đã tách về phải của (1.10) thành tích của ba toán tử

Pes va

PF, t+ At) = e Meets WCF, t) + O(AE?) (1.16)

Từ (1.13), dé thu được hàm sóng phụ thuộc thời gian chúng tôi thực hiện các

bước tính toán sau:

V

-iãt>

e Pau tiên, chúng ta tic dụng toán tử e lên hàm sóng ban đầu (Œ,0).

Đây chẳng qua là phép nhân hai hàm số

WG) = exp {—ide “} 0Œ,0) (1.17)

© Tiếp theo chúng ta tiếp tục tác dụng toán tử xung lượng e~"*? lên hàm sóng

Wir).

o Đầu tiên chúng ta sẽ chuyển ham sóng từ không gian toa độ vào không

gian xung lượng qua phép biến đồi Fourier

© Cuối cùng chuyên hàm sóng về không gian toa độ băng phép biên đôi

1.3 Phương pháp TDSE cho ion phân tử HZ và

phương pháp tính xác suất ion hóa

1.3.1 Phương pháp TDSE cho ion phân tử HZ với hat nhân đứng yên

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của cường độ HHG và

xác suất ion hóa vào góc định phương Ø - là góc hợp bởi trục của phân tử và vec-tơ

phân cực của laser chiếu vào Chúng tôi xét mô hình hai chiều cho hệ điện tử và một chiều cho hạt nhân phân tử (hình 1.1).

Z2

Hình 1.1: Mô hình khảo sát, laser được chiều lệch góc Ø so với trục của phân tứ

Phương trình Schrödinger với phân tử /1‡ khi tương tác với trường laser

trong hệ đơn vị nguyên tử có dạng

a? a a?

20y 24d R? + VŒ,y,R) + V(,y,£)) Woy, RO),

(1.22)

trong đó (x,y) là tọa độ của điện tử, R là khoảng cách giữa hai hạt nhân, ø là khối

lượng rút gọn của hai hạt nhân, V(x,y,R) là thé Coulomb, V(x,y,£) là thé năng

tương tác giữa điện từ với trường laser.

Đề tránh điểm ki dj trong thé Coulomb, một hang số được thêm vào là a(R),

gọi là thế “soft-Coulomb” Vì không có số liệu thực nghiệm về thé năng thực tế của ion phân tử Hỷ nên chúng tôi sử dụng mô phỏng Gaussian dé so sánh và chọn hang

số “soft-Coulomb” phù hợp Khoảng cách liên hạt nhân được chọn trong bài luận văn này có giá trị từ 0.2 a.u đến 10.2 a.u và chia thành 64 khoảng giá trị Với mỗi

giá trị R chúng tôi chon một giá trị “soft-Coulomb” a phù hợp sao cho giá trị năng

lượng thu được sau khi giải phương trình Schrödinger dừng gần đúng với giá trịnăng lượng khi giải bằng Gaussian Kết quả vẻ các giá trị “soft-Coulomb” được thé

hiện trên hình 1.2.

Khoảng cách liên hạt nhân (a.u.)

Hình 1.2: Đường biéu diễn các giá trị hằng số “soft-Coulomb” theo khoảng cách

liên hạt nhân R

Khi tính HHG của phân tử Hỷ với hạt nhân đứng yên, phần động năng của

hạt nhân trong phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian được bỏ qua Do đó

trong phương trình Schrédinger chỉ còn lại động năng của electron, thé Coulomb và

thế năng tương tác giữa clectron và trường laser Đồng thời hàm sóng chỉ là hàm

sóng của điện tử Trước tiên chúng tôi giải phương trình Schrödinger dừng cho đề tìm trạng thái ban đầu của hệ

a* a?

20x? - 2äy?

Ew(x, y,0) = (- + V(x,y)) w(x, y, 0) (1.24)

Bang cách sử dụng phương pháp thời gian ao, chúng ta tim hàm sóng của điện tử

ban đầu khi chưa bắn xung laser Ở đây hai hạt nhân cô định (R = R = 2 a.u.) nên

thé Coulomb không phụ thuộc vào khoảng cách liên hạt nhân R và thé năng tương

tác giữa điện tử với trường laser sẽ có dang

V(x.y)=j————_- T—— (1.25)

VŒx,y,t) = (xEscos8 + yEssin8) (ƒ(t)sin(ðạt)) (1.26)

13

Với trạng thái ban đầu vừa tìm được, phân tử tương tác với laser và phát ra HHG.

Lúc này hàm sóng của điện tử W(x, y, 0) phụ thuộc thời gian được xác định bằng

phương pháp tách toán tử với

ae a?

p(x, y,t) = exp |- a (- 32x? — say? + VÉx,y) +VYy, ) ar p(x, y,0) (1.27)

Pho HHG đặc trưng cho phân tử HZ khi hạt nhân cô định tại vị trí cân bằng được

tính thông qua các bước tính toán và biến đôi Fourier như trong (1.2), (1.3) và (1.4).

1.3.2 Phương pháp TDSE cho ion phân tử H} với hat

nhân dao động

Đối với phân tử Hỷ có xét đến dao động hạt nhân thì phương trình

Schrodinger có dang day đủ như (1.22) Hàm sóng (%,y,R,£), nghiệm của phương trình (1.22) được viết dưới đạng

(- a2 NT +V(x,y, ®) w(x, y,R,0) = EU(‹, y,R,0) (1.29)

Dé giải được phương trình Schrédinger cua phân tử Hỷ chúng tôi phải sử

dụng xap xi BO Vì khối lượng của hạt nhân lớn hơn rất nhiều lần so với khối lượngcủa electron nên chuyên động của electron nhanh hơn rất nhiều so với chuyên độngcủa hạt nhân Do đó khi xét đến chuyền động của hệ điện tử tại một thời điểm xác

định ta có thé xem hệ ion đứng yên Còn khi xét chuyên động của hệ ion ta có thé

14

xem như hệ điện tử tạo ra một trường trung bình nào đó Với gần đúng này, chúng

ta viết hàm sóng ban dau của phân tử Hf dưới dang chong chập của các trạng tháiđao động điện tử và hạt nhân Nếu gọi v là bậc dao động động của hạt phan, ta có

ý(zx,y,R,0) = LC, @(%x,y,R)xv(R) (1:30)

Trong đó g(x, y,R) xy„(R) lần lượt là hàm sóng của điện tử và hạt nhân thỏa hai

phương trình Schrödinger

(- sam + Vy, ®) @(x,y,R) = Beg y,R), (1.31)

(- sae + E,())x,() = Ex,(R) (1.32)

Sử dung xắp xi BO, chúng ta sẽ giải hai phương trình (1.31) và (1.32) thay vi

giải phương trình (1.22) Hàm sóng @(x,y,R) được xác định bằng phương pháp thời gian ảo giải phương trình Schrödinger của điện tử chuyên động ứng với mỗi

khoảng cách hạt nhân R có định Sau khi giải phương trình này chúng tôi thu được

các trị riêng E„(R) và sử dụng năng lượng nay dé giải phương trình Schrödinger

cho hạt nhân (1.32) cũng băng phương pháp thời gian ảo đẻ thu được hàm sóng của

hạt nhân dao động x„(#) Với trạng thái ban dau g(x, y, R)y„(R) sử dụng phương

pháp tách toán tử chúng tôi giải phương trình (1.22) dé thu được (x, y,,£) Từ đó

chúng tôi thu được HHG thông qua gia tốc lưỡng cực (1.2) Sau đó thực hiện phép

biến đôi Fourier (1.3) của gia tốc lưỡng cực này từ không gian thời gian vào khônggian tần số, cuối cùng tính HHG theo công thức (1.4)

La , , A * 4

1.3.3 Phuong phap tinh xac suat ion héa

Dé tính xác suất ion hóa của phân từ Hỷ đầu tiên chúng tôi tiễn hành chọn

miễn ion hóa như sau

5; = [&»)/z? +y?> Ệ ¬ R))} (1.33)

15