Khóa luận tốt nghiệp Toán học: Khảo sát không gian

Nhờ vào việc nghiên cứu để tài này mà em hiểu hơn về kiến thức của không gian L® cũng như của tích phân Lebesgue, Mục đích của luận van này là tìm hiểu một số tính chất chủ yếu củakhông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM

Giáo viên hướng dan : TS Lê Hoan Hóa

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Chinh

Ta

erie

THU-ViEW

-Trưng Đo) Hạc, 3 ‹

18 nS cone. 2

TP HCM 04/2002 ee

LỜI NÓI ĐẦU

-oOO Không gian L® được rất nhiều tấc giả Việt Nam giới thiệu nhưquyển * Giải Tích Hàm” của Nguyễn Xuân Liêm Đậu Thế Cấp vàDương Minh Đức, quyển “Phương Trình Đạo Hàm Riêng” của Nguyễn

Minh Chương nhưng chưa hoàn chỉnh và chưa đi sâu vào tính chất chủ

yếu.

Nhờ vào việc nghiên cứu để tài này mà em hiểu hơn về kiến thức

của không gian L® cũng như của tích phân Lebesgue,

Mục đích của luận van này là tìm hiểu một số tính chất chủ yếu củakhông gian L® như tính phản xạ, tinh khả li và đối ngẫu của L? Luận van này bao gồm ba chương,

Chương |: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương Il: Khảo sát không gian L7

Chương Ill: Bổ sung một số vấn dé của không gian L°

Trong quá trình làm luận văn, em được sự giúp đỡ tận tình của thấy

TS Lê Hoàn Hóa Bằng tấm lòng biết ơn vô hạn em xin gởi đến thầy lời

cảm on chân thành nhất Nhân đây em xin bày tỏ lòng biết ơn với các

thấy cô trong tổ giải tích đã tạo điểu kiện thuận lợi cũng như vốn kiếnthức cơ bản Mặc dù bản thân đã cố gắng nổ lực làm việc để hoàn thành

luận văn này, nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế, em chưa hài

lòng với kết quả đạt được Em hy vọng sẽ có điểu kiện để nghiên cứu sâuhơn về để tài này, nhất là những diéu thú vị ở chương III.

KHẢO SÁT KHÔNG GIAN L° GVHD : TS LE HOÀN HOA

MỘT VÀI KÝ HIỆU

oa =: Tập mở bất kỳ của %Ỳ,

4» C\(Q): Không gian của những hàm liên tục có giá compac trong

ˆ.p : Là số mũ liên hợp với p (1 < p So) nghĩa là BD ÔNG,

PP

s4 C(Q) : Không gian những ham liên tục trên ©,

“ C\(Q) :Không gian những ham có đạo hàm cấp k liên tục trên 3, k EN

+ C”(Q) =ƒ}C? (Q): Không gian những ham khả vi vô hạn.

* ¢) : Tích vô hướng trong đối ngẫu E', E.

«& — :noiw adv.

SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 2

KHAO SÁT KHÔNG GIAN 7 GVHD : TS LÊ HOÀN HÓA

Chương I; MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN BI

§I: MỘT SO KẾT QUA VE TÍCH PHAN

Dinh nghĩa 1.1.1:

Cho Q là mội tập mở của %†` gin độ do Lebesgue dx L'(Q) là không gian

những hàm khả tích trên Q có giá trị trong Vì

Đặt |(/[, = flor

Qui ước: L'(Q) thường được viết là ¿!

[7xx thường được viết là ff

Định lý I.1.2: (định lý về sự hội tụ don điệu của Beppo-levi)

Chol, } là một day tăng các hàm của LÌ thỏa: sup fu <œ.

Khi đó: (Cx) hội tụ hầu khấp nơi về một giới hạn hữu han /(x).

Hơn nữa: fe # và |/,~ /J =0.

Dinh lý 1.1.3: (định lý về sự hội tụ và bị chan Lebesgue)

Cho gel’ và {f,} là một dãy những hàm thuộc ? thỏa:

al f(x) => f(x) hầu khấp nơi trên Q.

b/ Với mỗi n, |/4(x)|< g(x) hầu khấp nơi trên Q.

Khi đó:

fel và |f - f|i 49

Bổ để 1.1.4: (bổ để Fatou)

Cho {/,} là một day những ham thuộc / thỏa:

af Với mỗi n /,(x) >0 hầu khấp nơi trên ©.

b/ sup IÚ <œ,

SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 3

KHẢO SÁT KHÔNG GIAN /7 GVHD : TS L HOÀN HÓA

Với mỗi xeQ đặt /(x)=liminf f(x)

Nếu fiFex wildy <o hầu hết xeQ, va fax [Fox sey <0

KHẢO SÁT KHÔNG GIAN L’ GVHD : TS LE HOÀN HÓA

§2 MỘT SỐ KIEN THỨC VỀ KHÔNG GIAN PHAN XA - KHẢ LI - ĐỐI NGẪU

000 Dinh nghĩa 1.2.1:

Cho E là không gian vectơ trên trường giao hoán K Không gian vectơ L(E.K)

là không gian những dang tuyến tính trên E gọi là không gian đối ngẫu của E Ký

hiệu là E'.

Định nghĩa 1.2.2:

Cho E là không gian Banach và J là đơn ánh chính tấc E được gọi là phản xạ

nếu J(E)=E"”", với E'" là song đối ngẫu của E

® Nếu E là không gian phản xạ thì ta có thể đồng nhất E với E`` nhờ vào phép đẳng cấu J.

Định nghĩa 1.2.3:

Không gian Banach E được gọi là lổi đều nếu với mọi £ > 0 cho trước, tồn tại

ở >0 sao cho (x, ye E.b|<I.bl<sk~sl>=|#2? <l-ổ

Định nghĩa 1.2.4:

Không gian khả mêtric E được gọi là khả li nếu tổn tại một tập đếm được P

của E trù mật trong E.

Dinh lý 1.2.5: (Kakutani)

Cho E là không gian Banach,

E là không gian phin xạ @ B, ={xe £:|xj|<l} là tập compac đối với Tôpô yếu

OEE),

Dinh ly 1.2.6: (Milman-Pettis)

Tất cả không gian Banach lôi déu là không gian phản xạ.

SVTH : NGUYÊN THỊ CHINH Trang 5

KHẢO SÁT KHÔNG GIAN L’ GVHD : TS LÊ HOÀN HÓA

Cho E là không gian Banach.

E là khong gian phan xa <> E' là không gian phản xa.

Cho E là không gian Banach suo cho E` là không gian khả li Khi đó E cũng là

không gian khả li.

Dinh lý 1.2.9:

Cho E là không gian Banach.

E là không gian phản xa và khả li <> E' là không gian phản xạ và khả lí

Định lý 1.2.10:

Cho không gian Banach E phản xạ và {x,} là dãy bi chặn trong E Khi đó tổn

tai một day con {x, } hội tụ đối với tôpô yếu ơ(£ £')

Định lý 1.2.11; (Banach-A laoglu-Bourbaki)

Tập B, = (xe £':|x|< 1} là tập compac đối với tôpô yếu *ơ(E' E)

Định lý I.2.12:

Cho không gian Banach E khả li và {x,} là day bị chan trong E' Khi đó tổn

tại một đây con {x,} hội tụ đối với tôpô yếu *ø(£',£).

Định lý 1.2.13: (Tietze-Urysohn)

Cho P và Q là 2 tập đóng rời nhau của không gian mêtric E.Khi đó tổn tại một

nh xa liên tục / WE vào [0,1] của ® lấy giá trị 0 tại những điểm thuộc P và giá

trị | tại tại những điểm thuộc Q.

SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 6

KHẢO SÁT KHÔNG GIAN L° GVHD : TS LÊ HOÀN HOA

Chương II: KHAO SÁT KHÔNG GIAN L”

$1 ĐỊNH NGHĨA VA MỘT SỐ TÍNH CHAT SƠ CAP CUAL"

+ Định nghĩa:

Định nghĩa HH.I.1: Chop eR với Ì < p<, đặt:

LQ) = {/ :€ —» 9† sao cho ƒ đo được và |/[ e #(@)}.

, !

Ký hiệu: |/{, “(j0 dv]”

Khi đó [|| ; là một chuẩn

Định nghĩa 1.1.2:

L”(Q)= 1: =9; / do được và có một hằng số C sao cho |/(x} 4€ h.k.n trên ©}

Đặt: |/Ï > inf{C {/(x) <C hầu khắp nơi trên Q }

Cho fel’ và gef” với Ì<p<%

Khi đó /ge # và Í|/.g|<|f{,»Ïe|,› (1)

SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 7

KHAO SÁT KHÔNG GIAN ¿7 GVHD : TS LÊ HOÀN HÓA

Đầu tiên ta chứng minh bất đẳng thức Young: giả sử 1< p <=, p` là số mũ liên hợp

coup ta có:

ub < Lie + lg: Vu,b>0

P P

Việc chứng minh bất đẳng thức Young dựa vào định lý hàm Idi (bất đẳng thức Jensen)

Cho f(x) và x,.xạ x, € (a,b) và n là số dương ứ,(¡ = l.m) sao cho:

Inf + zs | nar )+= nib") = Ina+Inb = Inab

& <a" + zo > ab (bất đẳng thức Young đã được chứng minh)

Bây giờ ta chứng minh định lý (1I.1.4):

Với p=! hay p= thì hiển nhiên fg e /' và bất đẳng thức (1) đúng.

Với I<p<œ: Nếu một trong hai tích phân fia’ fe!” bing không thì hiển nhiên ta

KHẢO SÁT KHÔNG GIAN L’ GVHD : TS LÊ HOÀN HÓA

„1Ï „1 Sel,

iia +15 Pin.” Piel’.

xuy ra; f.gel’ va fit-gis Ae dl,

a- Nếu p=p’ = 2, ta có bất đẳng thức BunhiakØpski:

JI«|<1⁄|,› lel,› =f’? a fig"?

b- Bất ding thức Holder tổng quát:

Giả sử /,./ƒ; /, là những hàm sao cho : f.elˆ(Q)1<¡<k và Le tà ví

Khi đó : ƒ= ƒ,,/; /, EL" và |/{+ SUI edn

3 Nếu fel’ NL" với I<psq<z thì fel’ Wr: psrsq và ta có bất đẳng thức vẻ

Ap dụng bất đẳng thức Holder cho các hàm (/|”.|/;|Ï” |#|j” trong dé

nl" € *(@) với 1<¡<k (do [if = If)" <œ) tà có:

fatAl slay 9 9.4119)

SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 9

KHAO SÁT KHÔNG GIAN L° GVHD : TS LE HOÀN HOA

<(JIsÍ” )/ nA Ab ) %

St Aly aly’ <x (áo F&O),

Điều đó chứng tỏ rằng / = fifo €/(@) và Ue <1/|,a-{/⁄|,"

b/ Da /6/f(Q)^*(Q)1<pSg<z,suyra fel’ và fel’

LF là không gian vectơ định chuẩn, với chuẩn || „, với mọi p, 1s p < œ

Dễ dàng kiểm tra /7 là một không gian vectơ Do đó ta chỉ cẩn chứng minh || „ là

môi chuẩn |< p<z Thật vậy:

Với ø =1 và p =s thì hiển nhiên ||Í „ là một chuẩn (theo nhận xét 1I.1.3)

Giả sử I<p<s và fig © L" ta có:

SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 10

KHAO SÁT KHÔNG GIAN (/ GVHD : TS LE HOÀN HOA

Uv iff, >0.|/|,„ =0 © ý =0 hấu khắp nơi trên Q

i jaf} = la||/{,;.f el’.ae®D (®=3 hay C).

iif Chofe © L" tạ có:

If + xl" SUA] + |g)” <2? maxis" Jel") 52°" +|e|f)

Suy rủ; fy +g|” <2" fir’ + fal’) <2

Theo định lý (11.1.6) /” là một không gian định chuẩn với chuẩn {{„ Dé chứng

mình L” là không gian Banach, ta chỉ cẩn chứng minh /? đẩy đủ hay chứng minh mọi dayCauchy đều hội tụ trong £°,

SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 11

KHAO SÁT KHÔNG GIAN L"” GVHD : TS LÊ HOÀN HÓA

Thật vậy với p=œ: gid sử {/Q} là dãy Cauchy trong /*, khi đố:vớđisốtự nhiên

&>l chotrước,có N, sao cho ƒ„- /(||„ Š xYm.n 2N,

Do đó tồn tai tập E, có dé do không sao cho : |g} Sys Hài cQ'£, (3)

Dat £ =LJE, thi E là tập có độ đo không.

‹

Với mọi xe@\£, {/(x)} là dãy Cauchy trong ® Do 3 đẩy đủ nên /(x) hội tụ về

AX).

Dat lim / (x)= /(x) ,VxeQ@\£

Chuyển giới han của (3) khi m — œ, ta được:

|Zœ)- foo) st , Wee Q\E, Vn>N,

Điều đó chứng tỏ rằng:

ƒeL*” và |ƒ - fille sz vn > ÁN,

suyra: |f-/f,], 0Vậy với mọi số tự nhiên & 21 cho trước, có N, sao cho Wn2 N, thi ||f-/,), +0

Như vậy L7 là không gian Banach.

Với 1< p<: Giả sử {f,} là dãy Cauchy trong / Khi đó tổn tại day con ] của {f}

sao cho: |f, - -/4| F ch weeI (fade nhà sous dn, véo cho Nf ~ {atụt SS Foy

m 4a4 Aitp thưo ng>n, s&o -cho l/ “jnlự š & Amn Zn, iv)

Ta sé chứng minh { Tuy } hội tu trong ¿*, thật vậy:

Để đơn giản ta viết fi thay cho fn h thì ta cbf -⁄1, < srw >l (4)

KHAO SÁT KHÔNG GIAN L” GVHD : TS LÊ HOÀN HOA

Từ định lý hội tụ đơn điệu ta suy ra g„(x) hội tu hẳu khắp nơi trên Q về một giới hạn

If„(x)— £ (x}" +0 hầu khắp nơi.

Theo định lý hôi tụ và bị chặn Lebesgue Ta có :

/,„ - /|,; >0 sel

Vậy // là không gian Banach, với Is p<®.

lý H.1.8:

Cho {ƒ„} là một day thuộc L’ vafe L? sao cho [f, - /[,„ +0.

Khi đó tổn tai day con Ự | sao cho:

a /„(x) => f(x) hấu khắp nơi trên Q

b/ |Z„ (x|<b(x).VÉ_ và hấu khắp nơi trên, với h € 17.

Với p = z ;Ta có If i fo, =0 nên với mọi k > 0, tổn lại m sao cho n2n, thì

KHAO SAT KHÔNG GIAN L’ GVHD : TS LE HOÀN HOA

§ ]

Đặc biệt : - s-Jc biệt |/ Nis h

Nghĩa là |/ (x)- fix) <7 hấu khắp nơi trên Q

Hay /„ (x) > f(x) hẳu khắp nơi trên Q

Ngoài ra, ta có: le (x) s/f) + sso} 41, Wk và hau khắp nơi trên Q

Dat #(x)z f(x) +1 thì hel’

Do đó [f,, (x SAGx).Wk và hầu khắp nơi wen, với he L!

Vậy trường hợp p = da được chứng minh.

Giả sử 1s p<œ

a/ Vì (f,} là dãy Cauchy trong L’ nên tổn tại một dãy con tf, } sao cho;

Wa, - Sus» sar.V4

Theo chứng minh của định lý(F1.7) : | - fle st hầu khắp nơi

Hơn nữa, do (5) ta có:

/)- (x) < g(x) Wk hấu khắp nơi, với ge L’.

Từ đó suyra /”€ / và => /ˆưong /*(định lý Lebesguc)

Do vậy /2 (x6) > £00 = /(x) hdu khấp nơi trên Q

h/ Đặt h= /°+g thì he/

SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 14

KHAO SÁT KHÔNG GIAN / GVHD : TS LÊ HOÀN HÓA

Mù |/„ (x)- f(x) < g(x) vk và hdu khấp nơi trên, với g e L!

Suy ra | f,, (x) < [f(xy + g(x) =A(x) Vk và hau khắp nơi trên Q, với he L’ Vậy ton

tại đầy con {f, } của day {/,} đều thoả (a) và (b),

(ms cần phon but {3 £ : lwcố fon — t “au P va fa, 0) = mes)

4, ii A hap ney dun & }

SVTH : NGUYEN THI CHINH Trang 15

KHAO SÁT KHÔNG GIAN L" GVHD : TS LÊ HOÀN HÓA

§2 TINH PHAN XA - TÍNH KHẢ LI - ĐỐI NGẪU CUA KHÔNG GIAN LL"

% Khảo sát không gian L”: |< p<

Định lý 11.2.1:

L'a không gian phản xa, vdi_ 1 < p<œ

Chứng minh bao gồm ba bước:

+Bước |: (bất đẳng thức Clarkson): cho 2 < p< #, tạ có:

+Bước 2: LP không gian phần xạ, 2 4 p<

Theo định lý (11.1.7), ta có ¿7 là không gian Banach Do đó ta chỉ can chứng minh

£"{2<p< œ) là không gian lồi đều, thật vậy:

Với mọi £ >0 cho trước, giả sử |/|,; <1 fal, <1 và |ƒ - g[,» >£

GAL, shan «Bssv-eez= i

SVTH : NGUYEN THỊ CHINH Trang 16

KHAO SÁT KHÔNG GIAN £7 GVHD : TS LÊ HOÀN HOA

Vậy / (2< p<) là không gian lỗi đều, Do đó áp dụng định lý(1.2.6).

Ta suy ra L” là không gian phản xa (với 2< p<),

+Bước 3: /' (1< p<2) là không gian phản xa

Chứng minh:

Cho |< p<2, ta xét toán tử T: L’ ->(1) được định nghĩa như sau: cố định

€1“, ánh xạ / € L" +» fuf là một dang tuyến tính liên tục trên ¿” Ky hiệu là 7,.

7„(|=|ƒ/|< full sel MA,

Điều đó chứng tỏ rằng 7, liên tục trên LY Vậy 7, là dạng tuyến tính liên tục trên L”

Dat <T,, f >= Jư.v/ «í"

Khi đó: |< 7„ >| Sf |/{,» V/ e "

SVTH : NGUYÊN THỊ CHINH Trang 17

KHẢO SÁT KHÔNG GIAN /? GVHD : TS LÊ HOÀN HOA

Suyra: |ƑÔ||,;, < ju}, (6)

Dar f(x) =haxy” ` u(x) (f(x) = 0 nếu u(x) = 0)Khi đó, ta có:

ffl” = Sed” sual)” = ful)” = full yrt = ful” <œ

Từ (6) và (7) suy ra: Thy = lu; (7)

Điều đó chứng tỏ rằng T là một phép đẳng cự từ /f vào không gian con đóng của

(L") (vì £“ là không gian đầy đủ ).

Mà | < p<2 nên 2< p<œ Do đó theo bước 2: /7 là không gian phản xạ

-Ap dụng định lý (1.2.7), ta có (L”) cũng là không gian phản xạ

Vì (17 ) là không gian phản xạ và 7(/”)c (L7) là không gian con đóng của

(17 ) nên 7(") được gắn cho một chuẩn sinh bởi (/ ) là không gian phản xa Do T là phépđẳng cự nên L'(1< p< 2) cũng là không gian phan xạ

Kết luận ; /7 là không gian phản xạ, với l < p <œ

Do đó, ta có thể viết (/7)'=/

SVTH : NGUYÊN THỊ CHINH Trang 18

il f

KHAO SÁT KHÔNG GIAN ¡7 GVHD : TS LÊ HOÀN HÓA

Bây giờ ta chứng minh định ly (11.2.3)

Xét toán tử 7: L° =»(fZ} được định nghĩa như sau:

Lay he(L’)" saocho <T,.h>=0,Vư e L’

Vì /” là không gian phản xạ nên (L")'= /Ƒ

Ta có Jur =<T_.h>=0 Chọn w=lhl h,whe L’

Từ đó suy ra u được xác định như trên là đuy nhất

Vậy tổn tại duy nhất một hàm we /” sao cho:

Ta biết rằng C (Q) trù mật trong L'(Q) nên với mọi e >0 cho trước và fel’,

tổn tại /4 EC, (Q)sao cho ||ƒ = fi <£

Từ (8) và áp dụng bất đẳng thức Holder, ta suy ra :

Trudrea uc! Iu¿22 Su Phan |

+“ "` |

KHAO SÁT KHÔNG GIAN L” GVHD : TS LÊ HOÀN HÓA

fed =| Jr find s [Ư - 6|<|V— fÄaM|,„ <ebd„ veeC.(®)

Đặt K, ={xeQ@: /(x)>e}

va K, ={xe@Q /(x)<-e€}

Khi đó K).K; là 2 tập compac rời nhau Do đó, ta có thể xây dựng dưa vào định lý

TictZe_Urysohn môi hàm „6€ (Q) như sau ;

Vilflse trên §3\ K nên tạ có :

[l= Jae [A ser2 [5| £+2øu()= eq+ 2.40)

n 3 Qn Qe

Dẫn đến :

Whe = |ƒ = # * /¿ si - ØÏ¿ +l < £ + ed + 2(@)) = 2£q + „(@))

Vậy với mọi £ > 0 nhỏ tuỳ ý thì f= 0 hấu khắp nơi trên Q

2/ Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát :Q =UQ,, với Q, là tập mở, Q, là tập compac

và Ö, c Mita có thể lấy Q, = (xe Q:d(x, Ca)>* và |d<n} khi đó 9, là những tập rời

nhau)

Ap dụng bước I với Q, và f|,, : ta thấy rằng ƒ=0 hầu khắp nơi trên Q,

Do đó f= 0 hầu khắp nơi trên Q

Dinh lý 11.2.7( định lý về sự trù mật)

Không gian €' (Q) trò mật trong L’(Q),1 5 p<œ

Ta biết rằng € (Q) trù mật trong 7'(Q) Vì vậy ta chỉ xét trường hợp 1 < p<œ

Ap dụng định ly Hahn-Banach:

Lấy he L thỏa [hu=0,VưeC,(9)

Ta có hel vì flr, | sla [uk] © <.VK là tập compac, K CQ

Theo bổ dé(11.2.6), ta có; A = 0 hầu khắp nơi

Vậy C (Q) trù mật trong /”(Q@)1< p<«œ

SVTH : NGUYÊN THỊ CHINH Trang 20

KHAO SÁT KHÔNG GIAN /7 GVHD : TS LÊ HOÀN HÓA

Do vậy ta chỉ cần chứng minh £ trù mật trong /“(Q),< p< Thật vậy:

Theo định lý (11.2.7) ta có, với € >0 cố định và fe /*, tổn tại /, eC (Q)

£

xao cho |f - fi] < =

Cho ẤŸ là một tập mở bị chan sao cho suppƒ/, c Q'c Q

Vì f, © C,(Q') nên ta có thể xây dựng ham /; € £ sao cho suppf, c @'

Vậy ¿7 là không gian khả li, 15 p < œ

* Khảo sát không gian /(Q):

Bay gid ta chứng minh định ly (11.2.9)

Đầu tiên ta chứng minh sự tồn tại của ham ứ

ete

SVTH - NGUYEN THỊ CHINH Trang 21