Vành chia D được gọi là vành chia định giá nếu nó được trang bị một hàm địnhgiá v thỏa các diéu kiện của Dinh nghĩa 3.1.1.. Khéa luận này được viết với mong muốn tìm hiểu về K-lý thuyết
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TAO) TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHÔ HO CHÍ MINH
KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP
Thuộc nhóm ngành khoa học: Đại Số và Lý thuyét sô
SV thực hiện: Nguyễn Đức Anh Khoa Nam
Trang 2Thanh phố Hỗ Chí Minh, ngày 12 tháng 05 năm 2024
Xúc nhận của Giảng viên hướng dẫn
TS Huỳnh Việt Khánh
Thanh phố Hỗ Chí Minh, ngày 12 tháng 05 năm 2024
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng
PGS TS My Vinh Quang
Trang 3Mục lục
1 Mở dau 1
2 Vành chia định giá và các ví dụ 3
21 Vành chia định giá " ¬ ¬ a be 3
2.3 Nhóm SK, và TK, của đại số chia hữu han chiêu trên tam 9
3 Vành chia định giá hữu han chiều trên tam 10
3.1 Mot số kiến thức cd bản về vành chia định giá hữu han chiều trên tâm — 10
3.2 Nhóm con xoắn của nhóm 1 + Mp của trường định giá 12
4 Dinh ly thang du cho vanh chia dinh gia 15
4.1 Dinh lý thang dư cho nhóm SK)(D) ee 15
4.2 Dinh lý thang dư cho nhóm TK¡(O)) 18
Két Luan 21
&t
Trang 4Chương 1
Mo dau
Trong suốt hon 70 nam qua, lý thuyết về dai số chia bữa han chiều trên tam da được
quan tâm bởi nhiéu nhà toán học lớn và đã có nhiéu công trình quan trong được xuất
ban Quan trọng hơn cả có thể kế đến là ví dụ đại số chia non-crossed product của
Amitsur và lời giải Bài toán Tannaka-Artin của Platonov Cả hai công trình này đền
được phát triển dựa trên lý thuyết định giá (valuation theory) Sự phát triển của lý
thuyết định giá của đại số chia đã mang lại rit nhiều kết quả và trở thành cong eu
chuẩn giúp chúng ta xây dựng nhiều cách xây đựng mới về đại số chia thoả một số
điền kiên cho trước
Cho Ð là một vành chia hữu hạn chiên trên tam F của nó và Nrdp : D > F là
ánh xa chuẩn rút gọn Nhóm Whitehead K,(D) và nhóm Whitehead rút gon SK)(D)
của D được định nghĩa là các nhóm thương
K,(D) = D*/|D",D") và SK¡(D) = D" /[D*, D*),
trong đó D là nhóm con của D bao gồm tất cả các phan tử có chuẩn rút gon bằng
1 và (D*, D*] hay D’ là nhóm sinh bởi các giao hoán tit nhân của D, nghĩa là
D = {a€ D*: Nrdp(a) =1} và D'= (aba"'%-ˆ|a,b € Dy.
Cho D là vành chia hit han chiéu trên tam, nhớ xoẩn của nhớm Whitehead, ký hiện
la TK¡(Ð) được định nghĩa TK;(Ð) = 7 (K)(D)) Do K;(Ð) là nhóm giao hoán nênTK,(D) trùng với tap hợp gồm tắt cả các phan tử xoắn của Ky(D)
Vành chia D được gọi là vành chia định giá nếu nó được trang bị một hàm địnhgiá v thỏa các diéu kiện của Dinh nghĩa 3.1.1 Khi đó D có các tập con Mp,Vp và
vành chia thương D lin lượt được định nghĩa tương ứng với hàm định giá v trong Dinh nghĩa 2.1.3 Từ đó, ta có thể nghiên cứu mỗi quan hệ giữa các tập con Mp, Vp với các
nhóm trong K-lý thuyết của vành chia D Một trong những kết quả nổi bật là định
lý thăng dư cho nhóm SK;(Ð) của vành chia định giá D được nêu ở [3, Theorem B1,
trang 154) Bản thao (8) cũng đã nêu được một số kết qua đẹp của vành chia định giá
Trang 5hữu hạn chiều trén tam, phát biểu một phiên bản định lý thăng du cho nhóm TK,(D)
của vành chia đình giá D Khéa luận này được viết với mong muốn tìm hiểu về K-lý
thuyết cũng như lý thuyết định giá cho đại số chia hữu han chiều trên tâm, trình bay
lại một phần định lý thang du cho nhóm SK¡(Ð) cũng như một số kết quả trong ban
thảo [8] và từ đó đưa ra phiên bản định lý thang dư manh hơn cho nhóm TK;¡(Ð) của
vành chia định giá D hữu hạn chiều trên tâm Cu thể, nội dung chính của khóa luận
được chia làm ba chương:
e Chương 2: Vanh chia định giá Chương này trang bị các kiến thức cơ bản
về vành chia định giá cũng như K-lý thuyết cơ ban cho vành chia hữu han chiếntrên tâm nhằm phục vụ cho việc tìm hiểu các nội dung các ở chương sau
se Chương 3: Vành chia định giá hữu han chiều trên tâm Chương này đưa
va các tính chat của vành chia định giá hữu hạn chiều trên tâm với hàm định giáHenselian phục vu cho định lý thang dư.
e Chương 4: Dinh lý thang du cho vành chia định giá Chương nay trình
bày lại một phần định lý thang du cho nhóm SK¡(Ð) trong j3, Theorem B1,
trang 154] và kết qua tương tự cho nhóm TK,(D) của vành chìa định giá D
Các bồ dé và hệ quả trong phần Nhém con roắn của nhám 1+ Mp của trường định
gia, Dinh lý 4.2.3 đã được viết thành một phan của bản thảo [8] và hiện đang được
phản biên Trong khóa luân nay, Dinh lý 4.2.3 đã được phát triển tổng quát hơn thành
Dinh lý 4.2.4 và hệ quả 4.2.5.
Trang 6Chương 2
Vành chia định giá và các ví dụ
2.1 Vành chia định giá
Định nghĩa 2.1.1 ([1; 1.1.1, trang 2]) Cho D là một vành chia, T là nhóm công
Abel không tam thường sắp thứ tự toàn phần Gọi oo là một ký tự thỏa mẫn + < %=
và + + = % + + =œ + ® = 00 với mọi + € I’ Hàm định giá trên vành chia D là
hàm số
œ:DSTU{œ=}
thoả mãn ba điền kiện sau day với mọi x,y € D:
{i} u{z) = oo khi va chỉ khi z = 0.
(ii) tu{z + ) > min (v(x), w(y)).
(1) 0(r} = vl) + u(y).
Ti định nghĩa trên, ta dé dang có các tính chat sau:
Nhận xét 2.1.2.
1 Từ điển kiện (iii) trong định nghĩa trên, rút gọn ánh + trên nhóm nhân D* gồm
các phần tử khả nghịch của D, ta được đồng cấu nhóm v : D* => F Do đó,
u{1) = 0 và wf?) = —»(z) với mọi x € D*
2 Vì T' là nhóm không xoắn (do là tập hợp sắp thứ tu toàn phan có không ít hơn
hai phan tử), đồng thời
0 = u{1) = ev ((—1)?) = o(-1) + t(—1) = 2u(—1)
nến u{— 1) = 0 Từ đó suy ra ?(—z) = 0(—l) + v(x} = v(x) với mọi z € D.
Trang 73 Bằng cách viết z = (2 +) = g, từ điều kiện (ii), ta có v(x) > mìn{te(z +} t(w)}.
Do đó, nếu v(y) > v(x) thì v(x) > (2 +) và 0(z+ +} > min{e(z), ®()}} = e),
suy ra (a + y) = v(x) Tương tự, nếu vf) > v(y) thì #2 + y} = ví) Do đó
v(a + } = min{olxr), 0(y)} nếu (2z) # uly)
Định nghĩa 2.1.3 Tương ứng với hàm định giá v trong Định nghĩa 2.1.1, ta có định
nghĩa các tap hợp sau:
1.Tp =v (D*), là tap giá trị của +.
2 Vp = {x € D|e(z) > 0} là sành định giá của D.
3 Mp = {x € D|v(x) > 0}.
Nhân xét 2.1.4.
1 Tập giá trị Pp là nhóm con của I theo tính chất đồng cấu v : DX > F
2 Vanh định giá Vp là vành con của D Thật vậy, hiển nhiên Vp #£ Ø do 0 € Vp.
Lấy 2,y tuỳ ý thuộc Vp, ta có v(x — y) > min{t{r).v(y)) > 0 và e(zy) = u(x) + 0(y) > 0, do đó x — ụ € Vp và zụ € Vp.
Định lý 2.1.5 Tap hợp Mp là ideal tối đại duy nhắt của vành định giá Vp và vành
thương 2 = Vpj/Mp là vành chia.
Chứng minh Hiển nhiên Mp C Vp và Mp # Ø do 0 € Mp Lấy x,y € Mp tuỳ ý, ta
có u(x) > 0,(y) > 0, suy ra v(x — y) > mún{+{z).»{)} > Ú, nên + — € Mp Lay
2 € Mp,y € Vp tuỳ Ý, ta có 0(#) = t(z} = 0(+) + v(w) > 0 do v(x) > 0 và e(ụ) > 0,
suy ra zự,z € Mp Vậy Mp là ideal của Vp Gọi Vp là nhóm nhân của Vp.
Ta chứng minh Vf = {2 € D|e(z) = U} That vậy, lay z € VZ tuỳ ý, ta có2) € Vp Suy ra ø(z),» (£-Ì) > 0 Mà v(x) + v (a7!) = uv (ar) = (1) = 0 nénv(x) = v (27!) = 0 Vậy Vỹ C {x € Dlu(z) = 0} Lấy z € D tuỳ ý thoả v(x) = 0
Ta có v (a?) = —w(z) = 0 nên z~! € Vp, suy ra x là phan tử khả nghịch của Vp nên
z€ VX Vay {x € D|e(z) = 0} C VỆ Vay VỆ = {a € D|e() = 0} = Vp/Mp.
Ta chứng minh Mp là ideal tối dai duy nhất của Vp Giả sử tốn tai ideal J # Mp
thoả mãn Mp C TC Vp Tà chứng mình J = Vp That vậy, vì Mp # 1 và Mp CIC Vp
nên tổn tại € (Vp/Mp) 1 Do „ € Vp/Mp = VZ nên yu! € Vp Vì I là ideal của
Vp và € J nẽn 1 = yy"! € J Lấy z € Vp tuỳ ý, ta có z = Le € J, suy ra Vp CI
Vậy I = Vp, do dé Mp là ideal tối dai cha Vp Gia sử tốn tai ideal t6i dai J 4 Mpcủa Vp, khi đó tổn tại 7 € Vp/Mp OJ Do j € Wp/Afp = Vĩ nên j khả nghịch trong
Vp, do đó 77! € Vp Vì 7 là ideal của Vp và j € J nên 1 = 9797? € J Lay z € Vp tuỳ
Ý, ta cô —= Lx € J, suy ra Vp C J Vay J = Vp, mau thuẫn với J là ideal tối đại của
Vp Vay Mp là ideal tối đại duy nhất của Vp Do đó Vp là vành địa phương nén D là
vành chia ñ
Trang 82.2 Ví dụ vành chia định giá
Ví dụ 2.2.1 Chuỗi Laurent xoắn (twisted Laurent series)
Cho A là một vành chia và o là một tự đẳng cầu của A Khi đó, vành chuỗi
Laurent xoắn 4((z;2}) là một tap hợp gỗm các chuỗi hình thức
oo
Yas", trong d6k € Z va a, € A với mọi 2.
t=k
với phép cộng được định nghĩa theo kiểu thông thường và phép nhãn được cho bởi
3 2a >» = Yo aio! (by) với moi đ,,b, € A.
Dat D = A((z;ø2)) Vai d= ›» ax’ € D, ta định nghĩa giá của d là tập hợp sau:
tmk
supp(d) = {i € Sla; # 0} và v{d) = min{supp(d)}) (do đó e;(0) = 00).
Nếu v,(d} > 0 thi phan tử 1 + d+ đ®+ được xác định trong D và
(1— đ)(1+ d+®+ )=1=(1+đd+đ®+ )(1L— đ).
Do đó, 1 = d kha nghịc h Hon nữa, ta nhận thấy rằng D là một vành chia That vay,
với phan tử thy ý d= > az’ € D với a, #0, ta có
Trang 9Suy ra
aẺ (ac') +*q = a "ard =Ì— dg,
với dọ = — aW* (a; 'a,) x*t? € Div, (dy) > 0
e= kel
Một cách tương tu, ta có
dư~* {az")a-* = da *ar! = 1~— dị,
Ma 1 — dp và 1 — ad) khả nghịch nên đ khả nghịch Vi vậy, D là một vành chia Ta
dé đàng kiểm tra được v, là một hàm định giá trên D với Tp = Ngoài ra, Uy CỒN
được goi là hàm định giá z-adic {x-adic valuation) trên D Rõ ràng D = A.
(S00 2=0 a, coy sae! (1z?! = » ‹ơt(a()1+!t) & a, =a (a);
tk tuk imk ink
oo oo œ x
3 ae’ b=6 Ye az’ ÂẦ Ye ao" (b}z` = So be {a,) 2° & ayo" (bi) = bay.
imk i=È imk im
Như vậy, ta có thé mo tả Z(D) dưới dang tap hợp như sau
Z(D)= SS ai2"|e (a) =a, va ba; = ayo’ (b;) với mọi i và be A
=k
Cu thé, trường thang du của Z(D) là trường con của Z(4) cố định đối với o,
Z(D) = Z(U”.
Đẳng cau 6(D) : & + Aut(Z(A)/Z(A)?) bién 1 € 5 thành z|z(4y
Ví dụ 2.2.2 Chuối Laurent lặp (iterated Laurent series)
Cho A là một vành chia và ¢ là một tự đẳng cầu của A Ta có thể lap cách xây
dựng chuỗi Laurent: Nếu 7 là một tự đẳng cấu của A((z:z)} thì ta có thé xây dựng
Trang 10vành chia 4((2;Z))((w:7)) Vành chia này chứa hàm định giá y-adic vy với tap giá trị
© Tuy nhiên, vành chia này còn chứa hàm định giá tổng hợp v, + uy với tập giá trì #2,
được trình bay và chứng minh dưới đầy.
Trong suốt ví du này, A là một vành chia và ø là một tự đẳng cấu của A.
Mệnh dé 2.2.3 ([1, Proposition 1.1]) Moi tư ding cắu 7 của 4((z:ø)) déu bao
toàn giá trị của mọi phần tử theo hàm định giá x-adie v,, nghĩa là t;(r(d)} = »„(đ)
với mọi d € A{{x,a)) {bay nói cách khác v, e7 = ty}.
Chứng minh Lay d € A((z, ø)} tuỳ ý, ta chứng minh bến khẳng đình sau:
1 Äếu 0„(d) > 0 thì e;(7(d)) > 0 Gọi mœ là số nguyên dương tuỳ ý nguyễn tố cùng
nhau với đặc số của A, khi đó n.1 # 0 (1 là kí hiệu cho phan tử đơn vj của A)
Xét ánh xa ø: @ — A với phép cho ảnh ; > (p.1)(g.1)~1.
Với mỗi chuỗi võ hạn hệ số hữu ti ƒ(#) = a + aye + a¿z? , ta định nghĩaf?(x) = play) + p(ay)+ + plaz}x® + khi đó nếu k(x) = ƒ(z}.g(z) là các da
thức hệ số hữu tí thì h°*{z} = ƒ“(#).ø°(z}
Goi s(x) là đa thức thu được khi khai triển Taylor hàm ÿT + z, ta có s(x) là đa
thức hệ số hữu tỉ Lai có (s(r})" = 1+z suy ra (s°(z})* = 1+z Đặt s = s°(d),
3 Nếu 0„(d) = 0 thì v,(r(d)) = 0 Giả sử v,(d) = 0 Lay z € 8 tùy ý, ta có
uy ((đfz)) = zu¿(đ) + v(x) = 1 > 0, suy ra v, (7 (d*x}) > 0 theo ý 1 Do dézx(7(đ)) + „(r(z)) > 0 vai mọi z € ©, điều này dẫn đến 0„(r(đ)) = 0
3 Nếu d #0 thì u„(7(4)) = t„(đ).0„(7(x)) That vậy, lay d 4 0 tùy ý, ta có
0(4)-.(r{z)) — velr(d)) =v» (r(2)") + (7 (a)
=% (- (=2) :
Mà ?; (ø=9.4) = x(4)u,(#) + 0z (d-*) = 0;(đ) — 0;(d) = 0, theo ý 2, ta có
Vy (= (=4) =0 Do đó t,(đ).ez(7(z}) = „(r(3)).
Trang 114 0,(7(z)) = 1 Lấy rn € N tùy ý Chọn d € A((z;ø)} sao cho r(đ) = x”, khi đó
u,(d) # (theo ý 2 Mặt khác, từ ý 3 ta có œ = 0„(đ).ex(7(z)), suy ra ®„(7(#))Ín với
moi số tự nhién n Do đó 0z(z{z)) = £1 Lại có t„(z} = 1 > 0 nên è;(7(z}) > 0
theo ¥ 1, suy ra 0;{7{z)) = 1.
Từ ý 3 và ý 4, ta có 0;(7(4)) = u„{3) với mọi d € 4((+;Ø)) ñ
Trong định lý sau, ta xem 2 là tập hợp được trang bị quan hệ thứ tự từ điển phảisang trái, nghĩa là (a,#) < (e, đ) khi và chỉ khi b < đ và nếu b = đ thì a < e
Định lý 2.2.4 Cho 7 là một tự đẳng cắu của A((+;2}) Gai E là vành chia E =
A((z;ø))((/:7}) và uy, vy lần lượt là ham định giá z-adic trên A{((z;ø}) và y-adie trên
E Khi đó xét hàm số
Uy: E > £7U {oo}
được định nghĩa hỏi phép cho ảnh bién 0 thành oo và biến mỗi tổng s= ` diy’ dụ # 0
tùy ý thành (x, (dy), uy(s)} Khi đó, hàm số v„„ là hàm dinh giá trên Dã được gọi là
hàm định giá (+, y)-adie của B.
Chứng mình Lay s = duy" + 3,„„ dy! và sĩ = dịu +O) dy’ € E tày ý Không mat
tính tổng quát, giả sử k < ! Khi đó, ta có các điều sau:
1z u(s} = œ khi và chi khi s = 0 theo định nghĩa ?; u.
2 vay (s +s’) > min (ez,y(S), vey (s)) Thật vay, nếu & = Í, ta có
Ury (s +s") > (wz (dy + dh) k) > (min {v, (dx), vs (dy) #)
= min ((e (d¿).k) (ve (ch) -k))
Trang 12Lai có uy (du7® (di) = vs (di) + vy (đ) theo Bồ dé 22.3 Do đó
try (sts!) = (- (a, (4)) be ) = (vz (dx) -k) + ( (4) t)
= Usy(8) + Vay (s) :
Tit ba khẳng định trên, ta có v,y là hàm định giá trên £ E1
2.3 Nhóm Sk, và TK; của đại số chia hữu hạn chiều
trên tam
Cho D là dai số chia hữu hạn chiền trên tam với Nrdp : D — K là ánh xa chuẩn
rút gọn Nhóm Whitehead K,(D)} và nhóm Whitehead rút gon SK,(D)} của D lần lượt
được định nghĩa như sau
K,(D) = D*/|D',P'] và SK,(D) = D /{D", D’),
hay viết gọn là D*/' và DD’, trong đó DỨ là nhóm con của D bao gồm tắt cả
các phan tit có chuẩn rút gọn bằng 1 và [D*, D*] hay D’ là nhóm sinh bởi các giaohoán tử nhân của D, nghĩa là
D ={ae D*:Nrdp(a)=1} và D= (aba a,b € D’).
Với mỗi nhóm G tùy ý, ta ký hiện r(G) là nhóm con nhỏ nhất của G chứa tat cả phan
tử xoắn của G Với G là nhóm giao hoán thì 7(G} gồm đúng tắt cả các phan tử xoắncủa G Với vành chia 2 hữu hạn chiều trên tam Í, nhóm roắn của nhám Whitehead,
ký biệu là TK;(/2) dude định nghĩa
Do K,(D) là nhóm giao hoán nên TK;(Ð) là tập hợp gồm tat cả các phan tử xoắn
của Ay (D).
Trang 13Chương 3
Vành chia định giá hữu hạn chiều
trên tâm
Cho D là vành chia tâm F Khi đó, ta có thể xem D như là một không gian vector trên
F Ta sé dùng ký hiệu (D : F| để chỉ số chiều của D trên F Ta biết rằng nếu (D : F|
hữu han thì nó sẽ là một số chính phương ([5, Corollary 5, trang 31]) Khi đó ta ký
hiện ind{D) = v/[D : F] Từ day cho đến khi kết thúc quyển khoá luận này, chúng tôichỉ xem xét các vành chia hữu hạn chiéu trên tâm
3.1 Một số kiến thức cơ bản về vành chia định giá
hữu hạn chiều trên tâm
Cho trường F với hàm định giá vw Khi đó hàm định giá v trên được gọi là hàm
đình giá Henselian trên F nếu và chỉ nếu œ có thể mé rồng một cách duy nhất lên mdi
trường Ù là mở rộng đại số trên F Hiển nhiên v cũng là hàm định giá Henselian trên
L Cho D là đại số chia hữu han chiều trên tâm F Theo (4, Corollary 1.7, trang 13),
nếu v là hàm định giá Henselian trên trường F thì v có duy nhất một cách mở rộng
lên D.
Nhắc lại rằng, cho trường F với ham định giá Henselian œ® Một mở rộng trường L
với số chiêu hữu han được gọi là phân nhánh thuận hay thuần trên P nếu tương ứng
ie P sẽ =a, Am “ fo
với hàm định giá v, L tach được trên F và char(F) { == Tương tự, ta có định
“«-nghĩa về một số trường hợp đặc biệt của đại số chia trên tam
Dinh nghĩa 3.1.1 Cho F là trường với hàm định giá Henselian v và 2 là đại số chia
tâm F Khi đó D được goi là dai sé chia thuần trên tâm F nếu Z(D) là mở rộng tach
được của F và char(#)} + _ind(D)
ind{D)[Z(D) °F]
Trang 14Dinh nghĩa 3.1.2 Cho F là trường với ham định giá Henselian v và D là dai số chia
tâm F Khi đó D được gọi là dai số chia thuận manh trên tam F nêu Z{D) là mỡ rong
tách được của F và char(#) + ind(D).
Nhận xét 3.1.3 Từ định nghĩa nến D là đại sẽ chia thuẫn mạnh trên tam F thì 2
là dai số chia thuần trên tâm F
Cho trường F với hàm định giá Henselian 0 Trường mở rộng L của F được goi là
không phân nhánh trên F nếu (L : FƑ} = ( ; F) Tương tự, ta cũng có định nghĩa một
số trường hợp đặc biệt cho đại số chia định giá D trên tam #Ƒ' Chú ý rằng, khi nói về
số chiêu [D : F}, theo đình lý Owtrowski ((3, trang 124]), néu D là đại số chia định giá
hữu han chiều trên tam F thì
(D: F] =g'(P: Flo : T:Ì,
trong đó qg = char(Ð) và k € N (quy ước g* = 1 nếu char(D) = 0) Từ đó, ta _CÔ
định nghĩa một số vành chia định giá đặc biệt dựa trên các số chiều |D : F], [Ds FÌ,
[Fo : EÌ.
Định nghĩa 3.1.4 Cho F là trường với hàm định giá Henselian œ với tap đích I’ và
D là đại số chia tam F Khi dé D được gọi là
© không phân nhánh trên tâm F nếu Tp = Fz.
® phan nhánh hoàn toàn trên tam F nếu (D: F] = (lp : Te}.
© bán phân nhánh trên tam P nếu D là trường và (D : F) = [Pp : Py] = ind(Ð).
Ngoài ra, đại số chia đình giá hữu hạn chiều trên tâm còn một số tính chất được
sử dung để chứng minh định lý thang dư Việc chứng minh các kết quả này sử dụng
nhiều kiến thức về đại số đơn tâm, tích ten-xo và nhiều kiến thức chuyên sâu khác
Do đó, chúng tôi xin được phép liệt kẽ lại để tiện cho người doc mà không néu chứng
minh đẩy đủ trong khoá Ian
Bổ dé 3.1.5 ({3, Lemma B2, trang 154]) Cho D là dại số chia tam F và L là trường md rộng của F với LL : F| = 1 Khi đá, nễu a € D và a @ 1 € (D& LY thì
at c DỊ,
Mệnh đề 3.1.6 ((3, Proposition 4.6, trang 136]) Cha F < K là các trường với
hàm định giá Henselian t thoả mãn |K : F] < s và K là mở rộng thuần trên F Khi
đó Nee (1 + My) = 1 + Mp, trong đó Nyyp là chuẩn của mở rộng trường KƑE.
Hệ quả 3.1.7 ([3, Corollary 4.7, trang 137]) Cho F là trường với hàm định giá
Henselian v và D là đại số chia thuần trên tâm F Khi đó Nrdp {1 + Mp) = 1+ Mp