Năng lượng của một Điểm hà nội, 2023 tên học phần hình học cho dạy học toán phổ thông

Cụ thể, nếu IO,R là đường tròn có tâm O bán kính R nếu ta xét dây XY đi qua tâm O tức là ta chọn đường kính đường tròn di qua P thi: PX.PY = |Juw® Ê wŠ | Ta nói rằng những điểm nằm trê

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HA NOI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

=>

GIAO DUC Ti NGÀY MAI EQUCATION FoR TOMeRnOW

NANG LUONG CUA MOT DIEM

Tén hoc phan : Hinh hoc cho day hoc Toan phé thong

Lép hoc phan : TMT2016

Giáng vién huéng dan: Th.S Dao Thi Hoa Mai

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Vân Giang

Mã sinh viên : 20010059

Khoa > QH2020 - Su pham Vat ly

Hà Nội, 2023

CHUONG I: NANG LUQNG CUA MOT DIEM

I Ly thuyét trong tam:

Định lý 1.1 Cho Ï' là một đường tròn và P là một điểm Cho một đường thăng qua P cắt I tại các điểm A va B va để một đường thăng khác qua P cắt Ï tại các

điểm C và D Khi đó:

PA.PB=PC.PD

Chứng minh:

Trường hợp 1: Diễm P nam bên ngoài (O)

KY

\ ——>

Xét hai tam giac PCB va PAD co:

hung

'dtHHụ ( cùng chắn cung AC)

00 ?QDC " ?QBE (gg)

=> HE 6 He

HH — HH

=> PA.PB =PC.PD

Trường hợp 2: Diễm P nằm bên trong (Ó)

+ —_ `

I

\ I— /

| ww gˆ

Xét hai tam giác PCB và PAD có:

“ppp ( cùng chắn cung BD)

1T: ( cùng chắn cung AC)

60 ?QDC " ?PQBE (g.g)

5 HE HE

HỊ — HH

=> PA.PB = PC.PD

Trwéng hop 3: Diém P nằm bên ngoài (O) và AC tiếp xúc với (O) tai P

Xét hai tam giác PCA và PBC có:

hung

'dùtHHH ( cùng chắn cung AC)

00 ?QDB" ? QCD (gg)

=> HE HE

HH ` HH

=> PA.PB = PC?

Định lý 1.2 Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt Cho đường thăng AB và CD cắt

nhau tại P Giả sử rằng P nằm trên cả hai đoạn thăng AB và CD hoặc P không nằm

trên đoạn thăng nào Khi đó A, B, C, D đồng tuyến khi và chỉ khi PA.PB = PC.PD

Chứng minh:

Ta có: PA.PB =PC.PD

HH — HH

=>?QBD"?QEC

=>

=> HẦIHHỤ (2 góc tương ứng)

Mà hai góc này cùng nhìn cạnh BC dưới hai góc bằng nhau

=> 4 diém A,B,C,D củng thuộc một đường tron

Đường thẳng XY đi qua điểm P ( với X, Y thuộc đường tròn) có giá trị PX, PY không đối Hằng số này được gọi là lũy thừa của P đối với đường tròn đang xét

Cụ thể, nếu I(O,R) là đường tròn có tâm O bán kính R nếu ta xét dây XY đi qua

tâm O( tức là ta chọn đường kính đường tròn di qua P) thi:

PX.PY = |Juw® Ê wŠ |

Ta nói rằng những điểm nằm trên đường tròn L có lữu thừa bằng 0

II Cac dang bai tap:

Bai 1: (IMO 2011 Shortlist) Cho A1A2A3Auq 1a mét tir giác không nội tiếp Gọi O¡

và r¡ là tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A2A2Aa Xác định O;, O3, Ôi và T›, ra, rạ theo cách tương tự Chứng mình rằng:

WHEE” Wop” Wop E GG” won E we °°

Gọi M là giao điểm của hai đường chéo A¡As và A2A¿

Trên mỗi đường chéo, chọn một hướng và gọi x, y, z và w lần lượt là khoảng cách có dấu từ M đến các điểm Ai, A2, As, Ag

Gọi w là đường tròn ngoại tiếp tam giác A2AaAa và gọi Bì là giao điểm thứ hai

wi và AiÁ¿ ( do đó Bị = A¿ khi va ci khí AiA¿ tiếp xúc với w)

Vì biểu thức : Oig$ Ể HỶ là lũy thừa của điểm A: đối với w, nên ta có:

H;HỆ Ê Hỗ Ö H;H;i Hy

Mặt khác, từ đăng thức N C;¡N Bạ Ở N Bạ¡ NE¿, ta thu được:

NC, O a

a

Do đó, theo sau:

Hạu? Ê BO — E pity E pti ` Ể mựh

Làm tương tự cho ba biểu thức còn lại, ta được:

7 A7 He hw Ho

Te 3 Ih —— E—.—110 6

norte E My HHEHH HEM HEM HEMH HbÈk

Bai 2: (Euler’s Theorem) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn O, nội tiếp

đường tròn I, bán kính đường tròn ngoại tiếp R và bán kính nội tiếp r Chứng minh rằng: #u8 Ö mliw Ể 8l

Gọi D là giao điểm của AI với (O)

Ta có:

JB¡JE Ô S8 Ể PJ8

Vì vậy, muốn chứng minh JBị JE 0 8Ss

Đầu tiên, lưu ý rằng JB Ỏ a ( vẽ đường vuông góc từ I đến AB và áp dụng

J0 3

định luật sin cho về phải tam giác mà ta thu được) Tiếp theo, lưu ý rằng:

wee pe ype Ò nHỀ upp Ò nHỀ muu Ô pL

Do do: JE 0 CE 0 88tjo s trong đó đẳng thức cuối cùng xuất phát từ định luật

sIin ( mở rộng) trong tam giác ABC, do đó ta có:

S

tjog

JBiJE 0 ¡856 Ø 8Ss B„,

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC và D là chân đường cao kẻ từ A Cho H là một điểm trên đoạn AD Chứng minh H là trực tâm của tam giác khi và chỉ khi

EC|;ED O BE;I E

Gọi A' là giao điểm của AD với (O)

A” là điểm đối xứng với H qua BC

Vậy, nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì ta có:

EC¡ED Ỏ BE¡ EBi O BEjI E Ngược lại, ta có: EC¡ED§ Ô BE¡LI E và EC¡ED O BEjI Be

Do đó, I E 01 Bi

Vậy: H phải là trực tâm của tam giác ABC

Bài 4: ( USA TSTST 2012) Trong tam giác cân ABC, gọi chân các đường cao từ

A đến BC, B đến CA, C đến AB là Ai, Bị, C¡ A2 là giao điểm của BC và BỊC

Định nghĩa B› và C2 tương tu Goi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,

CA, AB Chứng minh rang: Cac đường vuông góc từ D đến AAz, E đến BB› và F đến CC; đồng quy

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC

Goi A3 là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AA¿

Vị AA¡i L BC và DA: L AA; nên tứ giác A:A:DA cùng thuộc một đường tròn

Theo lũy thừa điểm, ta có: AzC¡ AzBi = A2AÁš AoA

Tương tự, theo lũy thừa điểm: A2Ai.A2D = A¿C: A2B¡

Kết hợp với phương trình: AzCi A2B¡ = A2Aa A2A

=> Tử giác AsC:B¡A cùng thuộc một đường tròn ( theo định lý 1.2)

Những H nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, vì HC¡ L AB và HBILAC

=> 1 yP*6A Ể I C;B 0 56A

=> 3 diém H, H A; thang hang

Tương tự đối với Ba và Ca, lập luận tương tự cho các diém E, H, Bs va F, H, C3 ciing thang hang

=> Các đường thăng trong bài đồng quy tại điểm H

Bai 5: ( IMO Shortlist 1998) Goi I la tâm nội tiếp của tam giác ABC K, L và M là các điểm tiếp tuyên của đừng tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AB, BC,

CA tương ứng Đường thăng l đi qua B và song song với KL Các đường MK và

ML cắt ] tại các điểm R và S tương ứng Chứng minh rằng Htcấp tính

A

Lưu ý đầu tiên:

HHHH O ppp O ppp

va

Mippp O ppp O pap

=> PCLT" ?CSM

=> CT;CS O CMB

Goi X là trung điểm của KL

Ta có: X nằm trên đường cao từ I dén RS va CY O CMdpt = va CJ O —t

8

=> CY;CJ O CS;CT

Do đó, theo câu 3, X là trực tâm của tam giác RIS

Nhưng vì X là hình chiếu của I lên đường thăng KL

Nên X nằm bên trong tam giác RIS

Một cách khác để chứng minh X là trực tâm của tam giác RIS là chứng minh tam giác RXS tự phân cực đối với đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 6: ( USAMO 1998) Cho C¡ và C2 là các đường tròn đồng tâm, với Ca nằm bên trong C¡ Từ một điểm A trên C¡ kẻ đường tiếp tuyến AB cắt C¿ (B& C2) Gọi C là

giao điểm thứ hai của AB với C¡ D là trung điểm cua AB Duong thang di qua A cắt Ca tại E và F sao cho các đường trung trực của DE và CF cắt nhau tại điểm M trên AB Tìm và chứng minh tỉ số "m

Gọi O là tâm chung của các đường tròn đồng tâm C¡, C2

Điểm tiếp tuyến B là trung điểm của dây cung AC

Vi AC L OB là bán kính của đường tròn C¿ và O là tâm của đường tròn C¡

Ta có hệ thức của điểm A với đường tròn Cạ là BF¡ BG Ỏ BC?

Nhưng vì B là trung điểm của AC và D là trung điểm của AB nên ta có:

BE¡ BD Ỏ = i8BC 0 BC8

Do đó, theo định lý 1.2 Tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp

Giao điểm M của đường trung trực với các đường chéo CE, DF là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó

Nếu tâm đường tròn này nằm bên cạnh CD thì nó là trung điểm của cạnh này

Do đó: EN OND O

Vi ED 0 BC, nén ta cé: EN O ND O BC

Và BN Ô BE Ề EN Ö “—Ề ?Bc 0 „BC

Vi vậy a © 3

Bai 7: ( IMO 2009) Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp O Các điệêm

P và Q lần lượt là các điểm trên các cạnh CA và AB Gọi K, L và M lần lượt là

trung điểm của BP, CQ và PQ Gọi I là đường tròn đi qua ba điểm K, L và M Giá

sử đường thắng PQ tiếp xúc với đường tròn I Chứng minh: OP = OQ

Vì đường thẳng PQ là tiếp tuyến của (1) nên ta có:

wep

Vì MK là đường trung bình của tam giác PQB, nên ta có:

MK// AB nên awe

=> Hàn

Tương tự ta có: đÑjt# => ?N LM" ? APQ

=> 0 00 Là Ô Ty ÔÔ Hi MỤ Ö HH HH

Như vậy, P và Q cũng có lũy thừa đối với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

=> OP =OQ (ĐPCM)

Bai 8: ( Haruki’s Lemma) Cho hai dây cung AB và CD không cắt nhau trên một đường tròn và một điểm P thay đổi trên cung AB cách xa điểm C và D Gọi E và F

là giao điểm của dây cung PC, AB và của PD, AB tương ứng Chứng minh rằng:

HH HH

HH

Không phụ thuộc vào vị trí của P

Chứng minh dựa trên thực tế là thông đôi

Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác PED

G là giao điểm của đường tròn này với AB

Vì các góc này không đổi khi khi P thay đổi trên cung AB

=> Đối với mọi vị trí của P thì pyẫw có định

=> Điểm G vẫn cô định trên đường thăng AB

=> BG là hằng số

Mặt khác, theo lũy thừa điểm, ta có: BG¡GC Ở QG¡GE và FG¡GH O QG;GE

=> IIBF Ề FGilGC Ô FG¡ltGC CHU

Và BF¡GC O FG|CH

=O pu OT yohte

Bai 9: (Butterfly Theorem) Goi M la trung diém day PQ cua một đường tròn Qua

đó vẽ hai dây AB va CD khác AD cắt PQ tại X và BC cắt PQ tại Y Khi đó, M

cũng là trung điểm của XY

A và C là hai điểm bất kỳ trên đường tròn Khi đó, bố đề Haruki co chúng ta

biết rằng:

Hb EL, HH

Do NQ Ỏ NR, nên ta có:

HH HEE

HH — HH

Thêm I1 vào cả hai về ta được:

uụ Ề uụ ¿HH Ê mụ

Áp dụng lại NQ O NR, ching ta thu duoc YN O ZN

Vậy: M là trung điểm của XY

HI Một số bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn Cho đường thẳng qua B vuông góc với ÁC cắt đường tròn đường kính AC tại các điểm P và Q, đường thắng qua C vuông góc với

AB cắt đường tròn đường kính AB tại các điểm R và S Chứng minh răng P,Q.R,S đồng quy

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn có tâm ngoại tiếp O va truc tâm H Chứng minh

rằng:

HụÖ Ö w®l7 Ê *wwuWNHHHHHHHHÌ

Bài 3: Cho tam giác ABC và gọi D, E, F là chân đường cao, có D trên BC, E trên CA, F trên AB Cho đường thắng song song qua D đến EF cắt AB tại X và

AC tại Y Gọi T là giao điểm của EF với BC và M là trung điểm củ BC Chứng minh rằng: các điểm T, M, X, Y đồng quy

Bai 4: (Kazakhstan MO 2008) Giả sử B¡ là trung điểm của cùng AC chứa B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và gọi lu là tâm của đường tròn B Giả sử đường phân giác ngoài của /gắM AC tại B2 Chứng minh rằngBa[ vuông góc với Bila, trong đó I la tâm nội tiếp của tam giác ABC

Bài 5: (TMO 2000) Hai đường tròn TI và T2 cắt nhau tại M và N Gọi l là tiếp

tuyến chung củ TI và T2 sao cho M gần hơn N Duong thang | cat T1 tai A va T2 tại B Đường thăng qua M song song với l và cắt đường tròn TI tại C, cắt T2 tại D Đường thăng CA và DB cắt nhau tại E; đường thắng AN và CD cắt nhau tại P; đường thắng BN và CD cắt nhau tại Q Chứng minh răng: EP = EQ

Bài 6: Gọi C là điểm nằm trên hình bán nguyệt I đường kính AB và D là trung

điểm của cung AC Gọi E là hình chiếu của D lên BC và F là giao điểm của đường thăng AE với hình bán nguyệt Chứng minh rằng: đường thắng VF chỉ đôi đoạn

thắng DE

Bài 7: Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn I có AB = BC Các tiếp tuyến tại

A và B cắt nhau tại D DC cắt (¡) tại E Chứng minh rằng: Đường thắng AE chia đôi đoạn BD

Bài 8: (EGMO 2012) Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp O Các điểm

D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho DE vuông góc với CÔ và

DF vuông góc với BO ( chúng ta muốn nói rằng điểm D nằm trên đường thăng BC

và D nằm giữa B và C trên đường thắng đó) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFE Chứng minh rằng: Hai đường thăng DK và BC vuông góc với nhau

Bai 9: (IMO Shortlist 2013) Cho tam giác ABC có gỖ g Cho P và Q là hai

điểm khác nhau trên đường thăng AC sao cho puppy Ỏ nụ và A nằm giữa

P và C Giả sử tôn tại một điểm D trong đoạn BỘ sao cho PD = PB Cho tia AD

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R Ố A Chứng minh rằng: QB = QR