Phương pháp số giải phương trình vi phân cấp 2

Đề tài 5 Vẽ quỹ đạo của vật theo phương trình chuyển động 1.Yêu cầu Sử dung Matlab dé giai bai toán sau: “Một khí cầu bay lên từ mat dat với vận tốc không đôi vo.. Gió truyền cho khí cầu

PHUONG PHAP SO GIAI PHUONG TRINH VI PHAN CAP 2

Giảng viên hướng dẫn : Tiến sĩ Đặng Văn Vinh

Điêm nộp và gửi

File bài đúng yêu cầu oo điểm _ aig i‘ ne Tổng điểm

Đề tài 5

Vẽ quỹ đạo của vật theo phương trình chuyển động

1.Yêu cầu

Sử dung Matlab dé giai bai toán sau:

“Một khí cầu bay lên từ mat dat với vận tốc không đôi vo Gió truyền cho khí cầu thành phần vận tốc theo phương ngang V„—=đY, y là độ cao Cho trước các giá trị Vo, a

a Xác định phương trình chuyên động của vật

b Xác định phương trình quỹ đạo của vật

c Vẽ quỹ đạo của vật trong khoảng thời gian từ t=0 đến t—5s

2 Điều kiện

1) Sinh viên cần có kiến thức vẻ lập trình cơ ban trong MATLAB

2) Tìm hiểu các lệnh Matlab liên quan symbolic và đồ họa

3 Nhiệm vụ

Xây dựng chương trình Matlab:

1) Nhập các giá trị ban dầu (những đại lượng đề cho)

2) Thiết lập các phương trình tương ứng Sử dụng các lệnh symbolic đê giải hệ phương trình 3) Vẽ hình

Chú ý: Sinh viên có thê dùng các cách tiếp cận khác

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích hàm số một biến số là một môn học quan trọng đối với sinh viên các ngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật Giải tích I trình bảy các kiến thức cơ bản về giới hạn của dãy SỐ, giới hạn và tính liên tục của hàm số một biến số, phép tính đạo hàm và tích phân của hàm số

một biến số và giới thiệu sơ lược về phương trình vi phân thường Ngoài ra sinh viên còn có

thé tu ôn tập và thực hành cơ bản phan mềm MatLab Bên cạnh đó, nhờ sự phát triển của

công nghệ và sự lan rộng của công nghệ thông tin đã mang lại những cơ hội mới để ứng

dụng kiến thức toán học và thực hiện các thí nghiệm và tính toán phức tạp một cách hiệu quả

hơn Và như ta đã biết, phần mềm ứng dụng Matlab đã giải quyết được các vấn đề đó Vì thế việc tìm hiểu matlab và ứng dụng matlab trong việc thực hành môn học giải tích 1 rất quan trọng và có tính cấp thiết cao

Với mong muốn hiểu rõ hơn về phương trình vi phân cấp 2, cũng như muốn biết chuyên

động của người lính khi thả dù, nhóm đã tìm hiểu và quyết định chọn đề tài này để làm

nghiên cứu và báo cáo cũng như nhằm đề chia sẻ về những thứ nhóm đã đúc kết được Đề tài

đã đem cho chúng ta một góc nhìn tông quan hơn về việc khám phá và áp dụng phương trình

vi phân cấp 2 đề mô tả và hiệu rõ hơn về chuyên động của người lính khi thả dù

2.2.2 Định nghĩa phương trình chuyên động

2.2.3 Biểu diễn vecto vị trí trong hệ tọa độ -Sc ST TH HH 21 1212221 g run 7 2.3 Khải niệm quỹ đạo và phương trỉnh quy ỞạO: - G0 201211211 1122111101111 11101 181101181111 tre 7

DANH MỤC HÌNH ANH

Hình I Minh họa hình ảnh khinh khí cầu 22 52 2221 2512112211271 11122712111 2 21121 re 9 Hình 2 Lưu đồ thuật toán ©5621 21 122111122112111 2112211221221 11H21 ea 12 II 0v o0.280.13)ii0/ìÌ(ngaiiiầẳáâẳiẳáiaáắảẳâẳỶ.444Ả4ÝỶÝÝÝÝÝ 13

Hình 5 Đoạn code từ 8-20Ô cccccccccccececececsescnseececsessceceecsecceessenseecsecsesscneeeeesenrecneeesteeserenseee 14

Hình 7 Hình ảnh khinh khí cầu chuyên động .- 2 SE 2E 122121 21021 1 rer re 16

CHƯƠNG I MỞ ĐẦU

1.1 Đề tài

VE QUY DAO CUA VAT THEO PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỘNG

1.2 Yêu cầu

SU DUNG MATLAB DE GIAI BAI TOÁN SAU

“Một khí cầu bay lên từ mat dat với vận tốc không đôi Vạ Gió truyền cho khí cầu thành phần vận tốc theo phương ngang Y4, y là độ cao.Cho trước cac gia tri Vo, a”

a) Xác định phương trình chuyên động của vật

b) Xác định phương trình quỹ đạo của vật ;

c) Vẽ quỹ đạo của vật trong khoảng thời gian từ t=0 đên t=5s

1.3 Điều kiện

1) Sinh viên cần có kiến thức về lập trình cơ ban trong MATLAB

1.4 Nhiệm vụ

Xây dựng chương trình MATLAB theo yêu cầu sau:

1) Nhập các giá trị ban đầu (những đại lượng đề cho)

2) Thiết lập các phương trình tương ứng Sử dụng các lệnh symbolic đề giải

hệ phương trình

3) Vẽ hình

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Việc ứng dụng công cụ tin học trong quả trình giải thích các cơ sở dữ liệu của vật lý Như ta đã biết, phần mềm ứng dụng matlab là một công cụ hỗ trợ đắc lực đề giúp chúng ta giải quyết các vấn đề đó một cách có hệ thống đồng thời cũng biêu diễn cho ta mô hình đồ thị trực quan và sinh động Vì thế việc tìm hiêu và ứng dụng công cụ matlab vào thực hành môn vật lý 1 đại cương rat quan trọng và có tính cấp thiết cao Thông qua đề tài mà chúng em đã chọn, ta sẽ nghiên cứu cách viết và chạy một chương trình matlab giúp chúng ta thông qua dữ kiện của bải toán, biến đôi điều kiện và áp dụng quy tắc toán học rồi từ đó tìm ra được phương trình chuyên động và phương trình quỹ đạo Để trực quan hóa phương trình chuyên động và phương trình quỹ đạo, ta vẫn sẽ vận dụng tính năng vẽ hình của phần mềm matlab giúp ta quan sát được quỹ đạo của vật trong

khoảng thời gian cụ thể nào đó một cách chỉ tiết

CHƯƠNG II, CO SO LY THUYET

2.1 Khái niệm chuyền động:

2.1.1 Chuyén động của một vật là sự thay đổi liên tục vị trí của vật đó theo thời gian

2.1.2 Hệ vật được quy ước là đứng yên dùng đê xác định vị trí của các vật khác chuyên động đối với nó được gọi là hệ quy chiếu Người ta thường gắn điểm góc của một hệ trục tọa

độ vào hệ quy chiếu, và hệ trục tọa độ này cũng được gọi là hệ quy chiếu

2.2 Khái niệm phương trình chuyển động:

2.2.1Trong hệ trục tọa độ Deseartes, chất điểm M được xác định bởi

các thành phần x.y, điểm MỊ).z của vectơ vi ti OM = R (xy.z) ( gọi là bán kính vecto được vẽ từ

gốc của hệ tọa độ đến vị trí của chất

điểm M theo từng thời điểm cụ thê

2.2.3 Khi chat diém M chuyên động, vectơ vị trí R sẽ thay đối theo thời gian

2,3 Khái niệm quỹ đạo và phương trình quỹ đạo:

2.3.1 Khái niệm quỹ đạo:

+ Qũy đạo là đường mà chất điêm M vạch nên trong không gian trong suốt quá trình chuyền

động

+ Qũy đạo tròn được hiểu là tập hợp tất cả các vị trí mà chất điểm đi qua trong quá trình chuyên động

2.3.2 Khái niệm phương trình quỹ đạo:

Phương trình quỹ đạo là phương trình mối liên hệ giữa các tọa độ không gian của chất điểm 2.4 Vecto vận tốc :

Vectơ vận tốc là đạo hàm của vectơ vị trí theo thời gian, có gốc đặt tại điểm chuyển động, phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại điêm đó, chiều là chiều chuyên động và có độ lớn là :

y= lim Ar _dt

ar.o At dt

2.4.1Vecto van téc trung binh

* Vecto van tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian tir tl đến t2 bằng thương số cua M,M, vecto d6 dời và khoản thời gian At=t 2—-t1

* Vecto van tốc trung bình có phương và chiều trùng với M,M, vecto độ dời

® _ Trong chuyên động thăng, khi chọn trục Ox trùng với đường thắng quỹ đạo, vectơ vận tốc

trung bình có độ lớn:

_x2-x1l_ Ax

2.4.2 Vectơ vận tốc tức thời

® - Vecto vận tốc tức thời: là đại lượng đặc trưng cho chuyển động về sự nhanh, chậm và về

phương, chiều

+ Géc: tai vat chuyén dong

+ Hướng: là hướng của chuyển động

+Độ dài: tỉ lệ với độ lớn của vận tốc tức thời theo một tỉ lệ xích nào đó

Chuyên động thăng đều là chuyên động có quỹ đạo là đường thắng có vận tốc không thay đôi theo thời gian

Một sô công thức: đconst

vÏ—~vậ=2a(s—sg)

Hinh 1: Minh hoa chuyén động khinh khí cầu

2.6 Hướng dẫn giải bài

Xác định phương trình chuyển động của khí cầu bay lên theo phương thẳng đứng theo trục Oy ta có :

Vậy phương trình quỹ đạo của vật là :

v_ vot” _ayt_ ay’

CHƯƠNG IT MATLAB

3.1 Giới thiệu về MATLAB

4 Tổng quan về MATLAB

1 MATLAB là viết tắt của "matrix laboratory", là ngôn ngữ lập trình cao cấp thế hệ thứ 4 của Mathworks MATLAB cung cấp môi trường tương tác đề thực hiện tính toán và lập trình,

2 MATLAB là ngôn ngữ lập trình do MathWorks phat triển, cho phép người dùng xây dựng

ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ đữ liệu, thực hiện các phép toán, tạo các giao diện

người dùng, liên kết các chương trình máy tính được viết trên nhiều ngôn ngữ khác nhau, bao

gồm cả C, C++, Java, và FORTRAN, phân tích dữ liệu, phát triển các thuật toán, tao ra các

mô hình và ứng dụng

3 MATLAB được tích hợp nhiều lệnh và các hàm toán học, giúp người dùng thực hiện tính toán các con số, vẽ đô thị và thực hiện các phương pháp sô

3.2 Giới thiệu một số hàm thường dùng trong MATLAB

Syms Syms x,y,z Dùng đề khai báo các biến là các ký hiệu

Subs Subs(hàm biến,giá tri | Dung dé thay giá trị mong muốn vào biến của l

của biến cần điển) hàm

Int int(hảm biến) Dung dé tính tích phân của hàm theo biến If-end If (điều kiện) Dùng đê xác định điều kiện để cho chương trình

thực thinếu không thỏa điều kiện thì chương

trình sẽ không thực thi đoạn code

Plot Plot(x,y) Tạo đồ thị Oxy

Lable xlable(‘ten cua truc x’) ylable(‘ ten cua truc y `) Hiền thị tên của trục x và trục y

3.3 Lưu đồ thuật toán

Bắt đầu > nhập phương trình y=v0*t ; Vx=a*y

Tìm phương trình quỹ đao dựa trên phương trình chuyễn động ——” Nhâp giá trị hằng số a và vận tốc v0 /

hình vẽ quỹ đạo của khí cầu / kết thúc

Hình 2 Lưu đỗ thuật toán 3.4 Bài code

3.41 Tong quan

15

1 %Nhap các thông sô cho trước v0,a

2 v9 = input('Khí câù bay Lên với vận tôé ban đâù Là: vô =');

3 if vO>0 %Điêù kiện cũa thông sô /

4 a= input('Hệ sô ti Lệ của hàm vận tôé theo phương 0x Là: a =');

5 %In đê`bài hoàn chỉnh khi đủ dữ kiện

6_ string=strcat('Một khí câù bay Lên tu mat dat voi vận tôé không

đôi Là :',num2str(v6),'(m/s) Gió truyêh cho khí câù thanh phan vận

tôé theo phương ngang với vận tôé vx=',num2str(a),'y, y Là độ cao.');

29 disp(['Phương trình quỹ đạo của khí Là: y=',char(y1)]);

21 %In quỹ đạo chuyêñ động của vật

Doan code tir dong 1 — 4 ta khai báo thông số có từ dữ kiện của đề bai 1a vO va a, tiếp đến, dựa

vào thực tế ta có thê biết rằng một khí cầu bay lên sẽ có vận tốc theo phương thăng đứng

hướng từ dưới lên một giá trị dương nên ta thêm điều kiện v0>0 Nếu điều kiện thỏa thì sẽ in ra

đề bài hoàn chỉnh với các thông số thiếu và tiến hành giải trong các bước sau, nêu không

%Nhạp cac thong sö cho trươc vØ,a

v@ = input('Khí cầu bay lên với vận tốc ban đầu là: vô =');

1f vØ>Ø %Điều kiện của thông số

a = input('Hệ số tỉ lệ của hàm vận tốc theo phương 0x là: a =');

%In đề bài hoàn chỉnh khi đủ dữ kiện

strning=strcat('Một khí cầu bay lên từ mặt đất với vận tốc không đổi là

„num2str(v9), '(m/s) Gió truyền cho khí cầu thành phần vận tốc theo phương

ngang với vận tốc vx=',num2str(a),'y, y là độ cao.');

chương trình sẽ dừng lại

Hình 4 Dòng code từ I-7

17

Đoạn code từ dòng 8-20 gồm các lệnh đề giải phương trình chuyên động của khí cau theo phương Ox và

Oy cũng như phương trình quỹ đạo y theo x của nó.Đề giải phương trình chuyên động, đầu tiên ta khai báo t

là biến vi x và y đều là các hàm theo thời gian Ta có dx/d=vx.dy/dtˆvy nên để tìm phương trình tọa độ của

x và y nên nguyên hàm trực tiếp vx.vy bằng lệnh ïnt luôn thay(Ở đây ta dé dàng thấy khi nguyên hàm lên thì

hệ số tự do C1 C2 của hai phương trình x(t) va y(t) bằng 0 vi ta chọn điểm xuất phát là gốc tọa độ, nên ta dùng lệnh int thay vì dùng finction đề giải phương trình vi phân).Khi đã có 2 phương trình tọa độ, ta xuất ra màn hình bằng lệnh disp().Đề cả câu được năm trên cùng | hang ta biến x.y thành kiêu string bang lénh char(), sau đó dùng phép núi kí tự [].Đề giải phương trình quỹ đạo, hay y(x) ta can chuyén x(t) vé t(x) bang hàm ngược finverse() rồi thế vao y(t) bằng lệnh compose().Cuối cùng xuất ra phương trình quỹ đạo

tl=finverse(x);

Hình 5 Dòng code từ 8-20

Cuối cùng đề ¡n ra quỹ đạo của vật ta cho chạy t từ 0 đến 5 với quãng dừng là 0.05 „sau đó ta nhập lại các hàm x,y là x2,y2 theo công thức mà ta đã tính ra trước đó Dùng lệnh plotQ biêu diễn quỹ đạo chuyên động của vật, dùng title() va label() đê đặt tên biêu đô, chu thich gia tri cac truce Ox Oy

Hình 6 Dòng code 21-29

Sau khi đã xuất ra màn hình các phương trình chuyên động và phương trình quỹ đạo đã thế số và rút gọn như ta mong muốn, chương trình sẽ xuất ra tiếp một đồ thị như hình biểu diễn quỹ đạo của khí cầu

là một đường parabol đi qua trục tọa độ

Với vŨ=l và a=2 ta có kết quả:

>> untitled

thí cầu bay lên với vận tốc ban đầu là: vũ z

1

Hệ số tï lệ của hàn vận tốc theo phương Ox là: a =

Một thí cầu bay lên từ nặt đất với vận tốc không đối là :1{m/s} 6ió truyền cho khí cầu thành phân vận tốc theo phương ngang với vận tốc vx=2y, y là độ cao,

tỉ đủ:

Phueng trình chuyển động của khí cä3u theo phương 0x là: x=t*2

Phưcng trình chuyên động của khí câu theo phương 0y là: yzt

Phương trình cuỷ đạo của khi lã: y=x*{1/2}

›»

20

Quỹ đạo của khí càu trong khoảng thời gian !£ 2 ‹=i'? @ ©) ⁄j

CHUONG IV KET LUAN

Thiết kế của phần mềm Matlab tương đối đơn giản nên sẽ dễ tiếp cận cho những người chưa từng sử

dụng

4.1 Ưu điểm:

Việc sử dụng Matlab sẽ giúp ta tính toán nhanh hơn và độ chính

xác cao hơn so với cách thông thường

Chỉ một đoạn code ta có thê tính toán liên tục một bài toán với

nhiều số liệu khác nhau Qua đó sẽ thuận tiện hơn cho việc tính

toan các bài toản thực tê

4.2 Khuyết điểm:

Xây dựng đoạn code tốn khá nhiều thời gian, công sức

Đoạn code rườm rà, khó tìm lỗi sai nêu ta không kiểm tra kỹ

Vẫn còn quá bó buộc trong chủ đề được chỉ định, không thể tự chuyên qua thực hiện các chủ đề

khác

4.3 Bài học:

Với sự phân công kỹ lưỡng, cố gắng chuân bị sớm nhất có thê nên nhóm đã có thời gian tìm và hạn chế tối đa các lỗi có thê mắc phải trong bài tập lớn này.Nhóm hoàn thành đề tài được giao và Matlab cũng

da cho ra ket qua như mong muôn

Qua bai tập lớn này nhóm chúng em đã rút ra được những kinh nghiệm quý báu cho bản thân:

Biết được thao tác giải toán trên MATLAB

Giúp nâng cao hứng thú với môn học

Trau dồi kỹ năng làm việc nhóm

Nâng cao tỉnh thần trách nhiệm

22