Phương pháp simpson 1:3 trong tính tích phân kép trên miền hình chữ nhật

Khái quát về phương pháp Simpson Trong phần này chúng ta sẽ đi tìm hiểu khái quát về phương pháp simpson và nêu ra ứng dụng, cách tính 1.2 Khái niệm và ví dụ phương pháp Simpson 1/3 Công

ỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NĂM HỌC 2022 – 2023

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

LỜI CẢM ƠN

Chúng em muốn gửi một lời cảm ơn chân thành đến cô Đoàn Thị ThanhXuân Trong thời gian học tập và làm việc cùng nhau, chúng em thực sựcảm nhận được sự tâm huyết của cô trong từng bài giảng Nhờ sự hướngdẫn và giảng dạy tận tâm của cô, chúng em đã thu thập được lượng kiếnthức vững chắc về môn học Phương Pháp Tính Một lần nữa chúng em xinchân thành cảm ơn cô chúng em chúc cô nhiều sức khỏe và thành công!

Phần 1:Lý Thuyết

1 Khái quát về phương pháp Simpson

Trong phần này chúng ta sẽ đi tìm hiểu khái quát về phương pháp simpson và nêu ra ứng dụng, cách tính

1.2 Khái niệm và ví dụ phương pháp Simpson 1/3

Công thức Simpson 1/3 áp dụng tính xấp xỉ tích phân của f(x) trên miền [a,b]:

Khi ta chia càng nhỏ miền thì phương pháp lấy tích phân càng chính xác Ta có phương pháp Simpson cải tiến:

2 Phương pháp Simpson 1/3 trong tính tích phân kép trên miền hình chữ nhật

Để tính tích phân kép trên miền hình chữ nhật ta có thể

tách riêng rồi tính tính phân đơn lần lượt từng biến Tương tự

với phương pháp Simpsom 1/3, ta có thể tính trên trục thứ nhất

trên từng miền giá trị biến thứ 2 không đổi

Xét hàm số f(x,y), ta có tích phân kép của hàm trên miền

[a,b]x[c,d] được xác định như Hình 1 Áp dụng phương pháp

Simpson 1/3 ta chọn một điểm ở giữa mỗi miền:

trên miền hình chữ nhật [a,b]x[c,d].

Từ (1), (2) và (3) áp dụng phương pháp Simpson cho miền y:

Từ đó ta tính được xấp xỉ tích phân kép bằng phương pháp Simpson 1/3 Ta có thể tăng số khoảng chia để thu được kết quả có độ chính xác cao hơn

Ví dụ: Giả sử nhiệt độ (0C) tại điểm (x, y) trên một tấm kim loại phẳng được cho bởi

T(x,y)=5xy+y^2

Trong đó x, y tính theo m Tính nhiệt độ trung bình của tấm kim loại đó trên miền hình chữ nhật [0,4]x[0,3]

This is referred to as the logistic model The analytical solution to this model is

Simulate the world's population from 1950 to 2000 using

a) the analytical solution,

b) the modified Euler's method, the fourth-order Runge-Kutta method with a step size of 5 years Employ the following initial conditions and parameter values for your simulation: (in 1950) million people, , and 12,000 million people

Have the function generate output corresponding to the dates for the following measured population data (in million) Establish the table to compare your result along with these data

Year 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000256

0

2780

3040

3350

3710

4090

4450

4850

5280

5690

6080

1.2 Kết quả

a) Phương trình (1.14) được viết lại thành

Kết quả tính toán được thể hiện ở cột thứ tư của Bảng 1.4

b) Phương trình của phương pháp Euler được viết lại thành

Phương pháp Euler cải tiến:

Áp dụng công thức của phương pháp Euler:

b) After studying the results of the test marketing, the company will set a single selling price throughout the country Given a manufacturing cost of per unit, the total profit(per city, per week) is ) dollars Use the results ofthe preceding least squares approximation to find the sell price for which the company's profit will be maximized.

2.2 Kết quả

a) Ta có:

b) Ta có công thức tổng lợi nhuận: khi đó, thay là hàm vừa tìm được là hàm lợi nhuận Tìm giá bán mà lợi nhuận của công ty tôi đa tức là tìm giá trị cực trị của

Vậy công ty bán với giá đơn lẻ $ trong các thành phố trên sẽ đạt lợi nhuận tối đa.

3 Bài toán mở rộng 3

3.1 Nội dung

Một trại nghiên cứu về sự biến thiên trong số lượng cá thể của quần thể thỏ trong tự nhiên tại Australia Chúng đãđược tiêm một loại thuốc và các nhà khóa học xem xét sự ảnh hưởng của loại thuốc này tới quần thể Tuy nhiên trong thời gian đo đạc máy gặp trục trặc và chỉ lấy được 3 lần số liệu đo đạc như bảng bên dưới Hãy vẽ đồ thị về

số lượng loài thỏ theo thời gian và áp dụng hàm spline tự nhiên

3.2 Kết quả

Tìm đa thức spline bậc 3 của hàm

Ta thay các giá trị tìm được vào phương trình

Ta được hình

Theo sơ đồ ta thấy số lượng loài có tăng và giảm sau đó nhưng vẫn cao hơn mức ban đầu.

Phần 3: Bài tập Project 3 Problem 1

I Cơ sở lý thuyết

1 Phương pháp chia đôi

– Phương pháp được sử dụng với mục đích tim nghiệm gần đúng của phương trình f(x)= 0 với f(x) là hàm liên tục trong miền xác định của nó

– Phương pháp này chỉ áp dụng với những nghiệm đơn nghĩa là trong 1 khoảng [a;b] chỉ có 1 nghiệm duy nhất và ta sẽ luôn luôn có f(a)*f(b) < 0.

pháp chia đôi như sau:

( ) (a *f b) < 0 Đặt 0 = a a, b0= b

Ta có:

c= a b 2

Nếu f (a)*f (c) < 0 thì đặt b=c tiếp tục chia đôi và ngược lại

– Công thức đánh giá sai số:

 Sai số tương đối :

Nhận xét:

 Ưu điểm : đơn giản dễ lập trình

 Nhược điểm : tốc độ hội tụ chậm độ chính xác không cao

2 Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy hay còn gọi là bài toán điều kiện ban đầu:

Với y= y t ( ) là hàm khả vi cần tim, khả vi với t ≥ t 0 y0 , là giá trị ban đầu cho trước của hàm tại thời điểm t =t 0 f (t , y ) và là hàm hai biến liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó

Đối với bài toán Cauchy ta chỉ có thể tim được nghiệm đúng của một số phương trình

pháp giải

Ngoài ra, trong những trường hợp có thể tim ra nghiệm đúng của bài toán Cauchy quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng Vì vậy, việc tim những phương pháp giải gần đúng bài toán Cauchy có vai trò rất quan trọng trong thực tế

a) Phương pháp Euler’s

– Giả sử bài toán Cauchy trên có nghiệm gần đúng trên [a;b] thì ta chia đoạn [a;b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau:

h= b a n

– Khi đó t 0=a, t k=t 0 +kh, với k=0,1,2,3 , ,n ,t n=b

[a;b] thì ta luôn có trên đoạn [t k ; t k +1 ¿ ∈[ a ; b ] với k=0,1,2,…,n-1 :

− t )+ y ,, ( ε ) k +1 k

– Công thức Runge-Kutta có độ chính xác cao hơn công thức Euler, vì dùng khai

trình xây dựng trên đối với công thức Taylor bâc cao hơn, ta có thể xây dựngPhương pháp Runge - Kutta với các bậc cao, và phổ biến nhất là bậc 4

{

yk +1= y ( tk + h)=

y k

1+ (

A bungee jumper jumps from a mountain with the downward vertical velocity v

described by the mathematical model:

h = 1(s) by using modified Euler’s and Runge-Kutta’s method.

Compare the results to the exact values found in a)

c) Using the result of a) and the bisection method, the secant method to

and the velocity = 46(v m/s) after 10 seconds of fall until the relativeerror is less than 5%(Guess the isolated interval containing root)

1 Bài giải thường:

(

f ( c )=√m∗g ∗tanh

C d

C d ∗g

∗t −46 m

Thay số vào ta được:

Nghiệm của phương trình ban đầu là giao của 2 phương trình này:

Ta thấy phương trình có nghiệm trong khoảng [0.4 ; 0.5] nên khoảng cách li nghiệm

sẽ là khoảng này

)

Dạng của hàm cần xác định f(x) phụ thuộc vào nhiều yếu tố Tuy nhiên, các dạng đơn

giản nhất thường gặp trong thực tế là:

 

f x  A Bx, f x  A Bx Cx 2, f x Acosx B sinx,…

2 Nội dung và kết quả có được

Enzymes đóng vai trò là chất xúc tác để đẩy nhanh tốc độ các phản ứng hóa học

trong những tế bào sống Hầu hết các trường hợp, chúng chuyển đổi một cơ chất thành

một sản phẩm nào đó Phương trình Michaelis-Menten thường được dùng để mô tả các

phản ứng như vậy:

2

m s

v S v





a) Mối quan hệ giữa S và v được cho trong bảng sau:

mô hình tuyến tính

tính rằng mô hình nào (tuyến tính hoặc parabol) cho giá trị gần đúng hơn không?

Bảng số liệu được thay thế:

19

481

136

164

1811

v

100

7

10013

5011

4011

20067

207

259

Áp dụng công thức bình phương nhỏ nhất cho trường hợp f x  A Bx:

Bài 3: Trong sinh học, mô hình kẻ săn mồi – con mồi được sử dụng để quan sát sự tương tác giữa các

loài Một mô hình được Lotka-Volterra đưa ra:

dxdtdydt

= ax − bxy

= -cy + dxyTrong đó x,y lần lượt là số lượng con mồi và kẻ săn mồi, a là tỉ lệ sinh trưởng của con mồi, c là tỉ lệ suygiảm kẻ săn mồi , b và d lần lượt là hằng số dương mô tả sự tương tác giữa hai loài, t là thời gian được

đo bởi tháng

a/ Cho a= 1.2, b = 0.6, c = 0.8, d = 0.3 với điều kiện đầu là x = 2 và y = 1 Tìm số lượng kẻ săn mồi và

b/ Với dữ liệu vừa tìm được, xây dựng spline bậc 3 tự nhiên Vẽ đồ thị x , y(t) (t )

y’ = −0.8y + 0.3xy

g(t, x, y = −0.8y + 0.3xy)

Áp dụng công thức Euler cải tiến ta có :

t t

… … …

x t15( ) = a + b15 15(t − t + c t – tO) 15( O)2 + d15(t− tO)3

Đầu tiên ta tìm a với công thức a = x ta có :i i

Tương tự với hàm y(t) ta cũng chia y(t) thành 16 khoảng với bước chia h=0.0625 nên có 16 phương trình tương ứng :

Phần 4: Lập trình giải mã đề PPT_đề thi-ck-bk-hk3-2019-2020

b = 'Phan tu U55 la:'; disp(b); disp(u55);

c = 'Gia tri x5 la:';

disp(c); disp (x5)

a22 = sum(double(subs(f2^2,x,X)));

b11 = sum(dot(Y,double(subs(f1,x,X))));b21 = sum(dot(Y,double(subs(f2,x,X))));

A = [a11,a12;a12,a22];

B = [b11;b21];

ANS = A\B;

disp("Gia tri cua A ka:");

m = input('Nhap so hang don vi MSSV: ');

n = input('Nhap so hang chuc MSSV: ');

% Tính giá trị của hàm f tại các điểm

fxy = x.*y + sqrt(x).*y;

% Tính I

I= pi*I1;

% Tính sai số của I

deltaI = deltapi*deltaI1;

syms x y01 y02 y03 pt1 pt2 pt3 h;

mn = input( 'Nhap 2 so cuoi MSSV: ');

pt1 = subs(pt1, x, x0+h);

pt2 = (r-2*p/(h^2))*y02 + ((p/(h^2))+(q/(2*h)))*y03 - f + ((p/(h^2))-(q/(2*h)))*y01;

pt2 = subs(pt2, x, x0+2*h);

pt3 = (r-2*p/(h^2))*y03 + ((p/(h^2))+(q/(2*h)))*y04 - f + ((p/(h^2))-(q/(2*h)))*y02;