Báo cáo bài tập mô tả ý tưởng phương pháp method of line trong giải phương trình Đạo hàm riêng

Những bài giảng sáng tạo và phương pháp giảng dạy linh hoạt của Cô đã tạo điều kiện cho sự hiểu biết sâu sắc về chủ đề và kỹ năng sử dụng thông tin một cách linh hoạt.. Biến các phương

DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHi MINH

DAI HOC BACH KHOA KHOA CO KHI

BO MON TOAN UNG DUNG

BAO CAO BAI TAP

MO TA Y TUONG PHUONG PHAP METHOD OF LINE TRONG GIAI

PHUONG TRINH DAO HAM RIENG

Lop: LO5 - NHOM 06

GVHD: ThS Hoang Hai Ha

SVTH: Nguyén Thai Son

MSSV:2212946

DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHi MINH

DAI HOC BACH KHOA KHOA CO KHI

BO MON KHOA HOC UNG DUNG

BAO CAO BAI TAP

MO TA Y TUONG PHUONG PHAP METHOD OF LINE TRONG GIAI

PHUONG TRINH DAO HAM RIENG

Lớp: L05 - NHÓM 06

GVHD: ThS Hoàng Hải Hà

SVTH: Nguyễn Thái Sơn

MSSV: 2212946

Tp Hồ Chi Minh, tháng 12/2023

1

LOI CAM ON

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến Cô về sự hướng dẫn và sự chăm sóc trong kỳ

học vừa qua Cô đã mang lại cho em những kiến thức quý báu và kỹ năng quan trọng, giúp em phát triên không chỉ trong lĩnh vực học thuật mà còn trong cuộc sóng hàng ngày

Sự nhiệt huyết, sự tận tâm của Cô đã tạo nên một môi trường học tập tích cực và khích lệ

chúng em vươn lên hơn Những bài giảng sáng tạo và phương pháp giảng dạy linh hoạt

của Cô đã tạo điều kiện cho sự hiểu biết sâu sắc về chủ đề và kỹ năng sử dụng thông tin

một cách linh hoạt

Em biết ơn không chỉ về kiến thức mà Cô đã chia sẻ mà còn vẻ tinh thần lạc quan và sự

hỗ trợ mà Cô đã mang lại Cô đã truyền đạt đam mê về học thuật một cách đầy hứng thú,

và điều này đã là nguồn động viên lớn đối với em

Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn Cô Hoàng Hải Hà vì sự đóng góp to lớn của Cô vào

su phat trién của em Em luôn trân trọng những giảng viên như Cô, người giúp đỡ và tạo

điều kiện cho sinh viên như em có cơ hội học tốt nhất

TOM TAT

Trong bai nay, tập trung chủ yếu xử lý các phương trình đạo hàm riêng bằng phương

pháp đường —- Method of line (MOL) Biến các phương trình vi phân phức tạp thành

phương trình vi phân thông thường với việc rời rạc hóa đạo hàm riêng theo biến không gian Phương trình kết quả sau đó có thê được giải băng phản mềm giải hệ phương trình

vi phân thông thường Phương pháp này không chỉ cung cấp một cách tiếp cận hiệu quả

cho việc giải quyết phương trình phương trình đạo hàm riêng mà còn mang lại những ý

nghĩa to lớn trong ứng dụng của phương pháp MOL đề giải các phương trình.

MỤC LỤC

0700/0007 -”':âÃ-.sxà 7

©.0Ie 0250: 109) 0 .Ả Ô 8

9003 -:::::ÃA ÔỎ 8

II - I,(|ỈÄÃAÀä ,ÔỎ 9

„8500.101077 10 CODE BAI TAP ĐƠN GIẢN: . 5c 22 222tr set vekrerrrrrrrrree 14 L{ÄIŸ' rktủủ44444 ÒÔỎ 15

DANH MUC HINH ANH

Hình 3.1 Các sắp xỉ được xác định dọc theo đường nét đứt 5-5 <cc<c+<cs2 8 Hình 3.2 Phương trình trong không g1an s5 S5 5S 5 xxx 12

Hinh 3.4 Két Qua Vi Gu 2 .TH ,.,H,HHHA , 13

Hình 3.5 Charpy, oo — You ys veeeeeeesseeceesseeseessssecesssnssceesssseceessssecesssueenesssnsecersnnseeeen 13 Hinh 3.6 So dd Gidi PNAD oo .,ÔỎ 14

DANH MUC BANG

Bang 2 Chuan

1 DAT VAN DE:

Trong những năm gần đây, đã trở nên ngày càng rõ ràng rằng nhiều hiện tượng vật

lý có thê được mô tả băng phương trình vi phân riêng phan hyperbolic, với một điều kiện tích phân thay thé cho điều kiện biên có điền Nhằm đáp ứng nhu cầu tính toán nhanh

hơn, đơn giản hóa mô hình phương trình vĩ phân riêng trên, phương pháp đường (method

of line) da duoc tim hiéu va wng dung

2 CO SO LY THUYET:

Xét bài toán phương trình sóng một chiều với điều kiện không cục bộ ta có ví dụ

sau:

Tae t,œ& « L&@&tT (1.1)

Với các điều kiện ban đầu

Va

(1.3)

Và điều điều kiện ranh giới Dirichlet

@,} =W )0 <t<l (1.4)

Và điều kiện không cục bộ

|

0

Cách tiếp cận bài toán dùng phương pháp đường thăng đề giải quyết được giải thích theo

hướng dùng phương pháp xấp xỉ cho bài toán đạo hàm trong không gian băng phương

pháp rời rạc trong không gian, từ đó còn lại các phương trình vi phân thông thường

(ODE) với giá trị ban đầu rồi dùng các bộ tích phân thời gian để giải hệ ODE trên Với

độ chính xác có thẻ tăng lên nhờ vào điều chỉnh các bộ ODE giá trị ban đầu có độ tin cậy

hiệu quả cao, dẫn đến việc có thê đạt được các giá trị chính xác tương đương mà không

phải dùng các bước thời gian cực nhỏ Dẫn đến có thẻ đạt được các Xap Xi bac cao hon trong việc tách rời các đạo hàm không gian mà không làm tăng độ phức tạp của bài toán

3 GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN:

Áp dụng vào bài toán trên, chúng ta sẽ rời rạc tọa độ x với M (M chãn) và các điểm được

cách đều nhau một khoảng =x.„+ h x =0, x, = | E 1, 2,8, Mvới hae hoặc có thẻ

viết x_= it Chúng ta sẽ Sắp xỉ sai phân bậc 2 cho đạo hàm bậc 2 trong x và các điệm

voi i =1,2,3, ,.M-1 va sap xi sai phan bac 4 cho dao ham bac 2 trong x tai các điểm

voi i =2,3, ,.M-2

a MOLI

Sắp xi sai phân bậc 2 cho đạo hàm bậc 2

V($ sắp xi W X 9, các đường dọc theo phép gan đún‡(9 được xác lập Sắp xi sai phân

trung tâm bậc 2 cho đạo hàm bậc 2 trong phương trình:

Hình 3.1 Các sắp xi được xác định dọc theo đường nét đút

Tương tự, các điều kiện có thẻ được rút gọn thành:

Với quy tắc gần đúng Sipmson, có thê tính gần đúng điều kiện như sau:

Sử dụng công thức (2.4) (2.5) ta có công thức #ho

Uy 4 (t) = at

Phuong trinh cua (2M-2) bién thanh

du V.—2V+ Y

at h? = 4x, It nrg | he ,@ 4 ;đ |}

a =W } E1, M-1,0< k T

b MOL II

Sắp xi sai phân bậc 4 với đạo hàm bậc 2

¬ Vi42 — 160,41 +300; —16v;_1 +0;-2

12h -

wa [heog: (t)—92(t)) +042 (16+ 2) vy 2 (30+)

+ UM 3 ( 5 ng )—»w 4 (1+ = je ye c;v;(t)

12h?

Sử dụng phép biến đôi như trên, phương trình thu được:

dt h2

du; Vi42 —16v;41 +300; -—160;-1+0;-2 — -

<t<T,

, cy 1 Cy 2

duy—2 0M 1 (16—*) —om 2 (30+ °M )

UM 3 (16 >) UM (14 _ ) + = yo eiv;(t)

+ —i—|heog, (t) — ø(Đ], 0<t<T,

12hŸe

lu; um-2{1— cj —um-1( 2+ c "sư Yi 1 civ; (t)

¬" “lems

— = [hoon (t)- 9 (t)], 0<t<T,

Cu

dv;

Giải hệ thống phương trình trên bằng các bộ giải Như vậy, với một biến độc lập còn lại,

chúng ta có phương trình vi phân thông thường gần đúng với PDE ban đầu Khi được

thực hiện, chúng ta có thẻ áp dụng bát kỳ thuật toán tích phân cho ODE giá trị ban đầu để tính toán nghiệm số gần đúng cho PDE Trong bài này, để giải hệ ODE thu được, chúng

ta sử dụng bộ giải ode45 trong MATLAB dựa trên công thức rõ ràng Runge-Kutta (4, 5),

cặp Dormand-Prince

4, ViDU KIEM TRA:

Vi du 1:

Như ví dụ đầu tiên, hãy xem xét các phương trình (1.1);(1.2);(1.3);(1.4);(1.5) với I=1 và

T=4;

f, (x) =9, f (x) = wcos (ra),

g; (t) = sin (zt), go (t) = 0

Taco W,x)t cost sing

10

tuyệt đôi ith

Giá trị chính xác | °°

điều kiện biện cô Sai số tuyệt đôi 1 bởi Sai số tuyệt đôi ¡ bởi

Xi dién MOL | MOL II

0,1 0.95105651629515) 3,3x10 —5| 1,5970339260263x10-5 | 9.1695313453322x10 —8 0,2 0.80901699437495| 3,0x10 -5| 2,2782454249470x10-s | 8.0261219004285x10 —8

0,3 0,587785252 3,2x10 -5| 2.0901699376741x10-5_ | 5,9441112476577x10 —§ 0,4 0.30901699437495] 3,1x10 -5| 1,2281581424911x10 —5 3.3507949526168x10 —8

0,5 0 3,3x10 -5| 1.612449505348880x10 -I| 1,087626749329525x10 -—I 0,6 —0.30901699437495 | 3,4x10 —5| 1,2281581424800x10-s | 3.3507949692702x10 —8 0,7 —0,58778525229247 | 3,1x10 —5| 2.0901699376519x10—-5 | 5,9441111255332x10 -8 0,8 —0.80901699437495 | 3,2x10 -5| 2,2782454249470x10—-5 | 8.0261216561794x10 —8

0,9 —0,95105651629515 | 3,4x10 —5| 1,5970339258931x10—-5 | 9.1695316228879x10 —8

Bảng 1: Kết qua tính toán

Xi MOL | MOL II

0,1 1.9404299881232x10—-5| 1,0078024292870x10 —7

0,2 2,9082139621384x10-5) 1,0395382088468x10 —7

0,3 2,7979999464800x10-5[_ 9,519132848634x10 —8

0,4 1,6949536840560x10—-5) 6.254244772075x10 —8

0,5 1.109874786267721x10 —] 2.177963786387436x10 —|

0,6 1,6949536832678x10-5| 6.254244200310x10 —8

0,7 2,7979999469574x10-5|_ 9,519131310975x10 —8

0,8 2,9082139622272x10-5) 1,0395382143980x10 —7

0,9 1.9404299884340x10-5| 1,0078024492710x10 —7

1 5,933031843596837x10 —] 2,680078381 4451 28x10 —|

Bang 2 Chuan |Y — Vero xi»

11

Do tính rời rạc trong MOL chỉ được áp dụng cho biến không gian nên làm tăng thời gian cuối cùng T nhưng không làm giảm độ chính xác của lời giải và có thẻ thu được lời giải

chính xác hơn băng cách sử dụng bộ tích phân chính xác hơn đề giải hệ ODE, nhưng

trong các phương pháp sai phân hữu hạn, thường có những hạn ché khi thời gian cuối cùng T tăng

4đ^— kz2

0.8 € —k=3

04 `“ \

k=9

0 “

0.4

-0.6 j \ [

~0.8

t

Hình 4.2 Sơ đồ giải pháp

Như có thê thấy trong Bảng 1 , các kết quả thu được bằng MOL I nhìn chung có độ chính

xác tương tự như kết quả thu được từ phương pháp sai phân hữu hạn, nhưng MOL II có

Vẻ chính xác hơn

Ví dụ 2: Xét bài toán (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) với l=1, T=5;

q(z, t) = 0,

f, (x) = cos (ra), fo (x) = 0,

Ơ (t) = cos (xt) , 90 (t) = 0

12

1 Giải chính xácv(x, }=—(cosự & t

Với h=0.01 và sai số tuyệt đối ¡ của T là 1⁄2

Xi Giá trị chính xác đan đệ Sai số tuyệt đối i bởi MOL 1 |_ 32! SỐ yết đội bởi MỌI,

điển

01 | 06724985119639ổ 5,2x1I0-3 | 1,2923596914405x10-3| 8.6007681532330x10-8

02 0,572061403 51x10 5 | 1,7467564661144x10-5| 8.9389747826019x10-8 0,23 | 0.41562693777744 5/1x10 5 | 1,3423564604209x10-5| 1,/31384369208x10-9 0/4 | 0.2185080122244{ 5/3x10 5 | 7.057215508699x10-6| 9,28636417763x10-10

05 0 5,0x10 -5_ | 1.312806175591734x10 _| 6.396931098296924x10 -I 0,6 | 021850801222441| 5,2x10-5 | 7.057215509060x10 6| 9,28636584296x10 -10 0,7 | 041562693777745| 54x10 5 | 1,3423564604320x10-5L 1,731384868808x10-9 Ô/Ô | 057206140281768| 5,3xi10-5 | 1,7467564658924x10-5| 8.9389752599978x10-8 0,9 | ~0.67249851196396 | _5,5x10 —5 | 1,2923596913073x10 —5| 8.6007680755174x10 —8

1 | 070710678118655| 5,4x10-5 | 3.952393967665557x10 —| 2.198241588757810x10 —

Hinh 4.3 Két qué vi di 2

Xi MOL | MOL II

0,1 3.204176544324699x10 —] 1.984972012314401x10 —

0,2 4,558331840376351x10 —] 1.679581814739706x10 —

0,3 4.182611406278181x10-4 1,219577727695764x10 -

0,4 2,458643023162122x10 —] 1.137402102918683x10 —

0,5 1,242518910410138x10 —1 2,811945523278168x10 —I

0,6 2,458643024139118x10 -4 1.137402084530614x10 —

0,7 4.182611405878500x10 -4 1,219577708821973x10 —

0,8 4,558331840875951x10 —] 1.679581880242864x10 —

0,9 3.204176544702175x10 —] 1.984971881308084x10 —

1 3.06643599401 4682x10 —]| 3.248512570053208x10 —1

Hinh 4.4 Chuan |V - woul "

1

0.8 a ` Qe E 5

13

0.6 |

0.4

0.2 k II

0.2

-0.4

0.6

-0.8

Hình 4.5 Sơ đồ giải pháp

5 CODE BÀI TẬP ĐƠN GIẢN:

2

eel Bose với u(x,†) là hàm biến đổi sóng, c là

Ví dụ phương trình sóng I chiều

vận tốc truyền sóng, x là vị trí và t là thời gian Tính đạo hàm riêng tại x0=2 và t0=0

f, x9, h f_prime nộ f(x8

sa Ora C=

x, t, c

sin(x

x9

du_dx at_ x9 x: u(x, c), x@

{x@}: {du_dx_at_x@}

ras

du_dt c*y

dv_dt = c * du dx at xô

du dt, dv dt

y9

+ _values

solution

2a] —— u(x=2, t)

re

tri »

Thời gian

6 Kết luận:

Phương pháp đường (Method of lines) được công nhận là một cách tiếp cận toàn diện và đơn giản hơn cách truyền thông để giải bài toán phương trình vi phân có điều kiện xác định Phương pháp được tiến hành theo hai bước: đạo hàm không gian được thay thé bang các phép sai phân hữu hạn, sắp xỉ, đưa về phương trình ví phân thông

thường theo biến thời gian, sau đó được tích phân theo thời gian bởi các bộ giải ODE Sự thành công này dựa trên các bộ giải ODE có chất lượng và độ tin cậy cao Bên cạnh đó sự

độ chính xác mà phương pháp này mang lại cũng vô cùng rực rỡ qua MOL † và càng

được nâng cao với MOL 2 Vì vậy, phương pháp đường (Method of lines) rõ ràng là

bước tiến và cách đề chúng ta tìm hiểu nhiều hơn về các thế giới cũng như giải các vấn

đè được biểu diễn bằng phương trình một cách đơn giản hơn

15