Phân tích qr bằng 2 trong 3 phương pháp gram smith, householder, given

Việc ứng dụng tin học trong quá trình giải thích các cơ sở dữ liệu của đại số tuyến tính để giải các bài toán đã giúp rút ngắn thời gian đề giái các bài toán phức tạp và mang lại hiệu q

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BOWIE PO BOW BGG BBG

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Hiệp

BK

DE TAI PHAN TÍCH QR BẰNG 2 TRONG 3 PHƯƠNG PHÁP:

GRAM-SMITH, HOUSEHOLDER, GIVEN MÔN: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Lớp: L04— Nhóm: 2

Danh sách thành viên:

TP.HO CHI MINH, thang 4 nam 2023

BANG PHAN CONG CONG VIEC VA MUC BQ HOAN THANH CONG

VIỆC CỦA CÁC THÀNH VIÊN

Vũ Minh Hiếu 2211022! Tim hiéu vé code matlab

Phạm Lê Gia Hân 2210949 Tìm hiểu chương 1, tổng hợp word

Lê Minh Hiêu 2210989] Tìm hiểu chương 2

Vii Tran Ngoc Hiếu 2113367

V6 Thanh Hao 2210915 Tim hiéu chuong 3

Nguyén Huy Hoang 2211092] Tìm hiểu chương 4

BAO CAO DSTT GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp

LOI MO DAU

Môn học Đại số tuyến tính là môn đại cương có tìm quan trọng đối với sinh viên Đại học

Bách Khoa - ĐHQG TPHCM nói riêng và sinh viên thuộc các khói ngành khoa học kỹ thuật

— công nghệ nói chung Vì vậy, việc dành ra một thời gian đề nghiên cứu và thực hành là điều

tất yếu để giúp cho sinh viên hiêu sâu sắc về môn học và có được cơ sở vững chắc từ lý thuyết

đề áp dụng vào thực tế Những bài toán về ma trận phức tạp sẽ khiến chúng ta tồn rất nhiều thời gian và đôi khi hiệu quả công việc không cao néu chúng ta chỉ giải bài toán theo phương pháp truyèn thông Sự ra đời và phát triển của toán tin đã góp phần hỗ trợ rất lớn trong quá trình phát triển của các lĩnh vực trong đại số tuyến tính Việc ứng dụng tin học trong quá trình

giải thích các cơ sở dữ liệu của đại số tuyến tính để giải các bài toán đã giúp rút ngắn thời gian

đề giái các bài toán phức tạp và mang lại hiệu quả cao hơn Một trong những phản mèm ứng dụng giúp giải quyết những vấn đề đó là phàn mèm ứng dung Mailab Vì vậy, việc tìm hiều

và ứng dụng phản mèm Mailab trong việc thực hành môn Đại số tuyền tính là rất quan trọng

và có tính cấp thiết cao Ở bài tập lớn này, nhóm tập trung thực hiện nội dung “Phân tích QR

bằng phương pháp: Gram-smith, Householder, Given” thông qua phần mềm Matlab Day la

một nội dung khá quan trọng của bộ môn Đại số tuyến tính

MỤC LỤC 0:10/9)ic00,0607 100 8ẽẽẻẽẻẽẻe.a.114 1.1 Giới thiệu về đề tài s cv tt vn Ty ng ng ng gưyg 1

CHƯƠNG II CƠ SỞ LÝ THUYẾT St tt ga 1

2.1 Giới thiệu thuật toán A=QH: ch nh nh 1 2.2 Phương pháp Gram-SChmidff: - LH KH kh khe 2

2.3 Phép biến đổi Household@: :-¿- ¿c0 212122 152115121 1821181111211 1E 90:0019)195110 /918:90 009001757 ố 8

3.1 Phương pháp Gram-SchmiHdl: LH KH khe 8

3.2 Phép biến đổi HouseholdL: - -¿- 2:3: 22123 22121121331 3318151815121 krei ¢

4.1 Ứng dụng phân tích QR cho hệ phương trình tuyên tính: .- -‹- 13 4.2 Ánh xạ tuyến tính trong phân tích mã QB: 5: St Series 1⁄ 4.3 Sử dụng phương pháp QR đề tìm trị riêng của ma trận: . :- :-:++ 15

CHUONG V LẬP TRÌNH BẰNG PHẢN MÈM MATLAB: cv ccccececerei 20 5.1 Phương pháp Gram-SChmiidl: ee nhu 20

5.2 Phép biến đổi Household: ¿c1 19111232111 113532151 E03 111211111111 Hrg 2 CHƯƠNG VI TÀI LIỆU THAM KHÁO - -.- 222122 3332323 2EE1518151E1 1xx crrrkrrea 24 LỜI CẢM ƠN cv nề nh HH HH HH HH HH HH 111111111115111 1tr1 11111 25

BAO CAO DSTT GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp

CHƯƠNG I MỞ ĐẦU

1.1 Giới thiệu về đề tài

Trong đại số tuyến tính, phân rã QR, còn được gọi là phân tích nhân tó QR hoặc phân tích nhân tó QU là phân rã ma trận A thành tích A = QR của ma trận trực giao Q và

ma trận tam giác trên R Phân rã QR thường được Sử dụng đề giải quyết vấn đề bình phương

tối thiêu tuyến tính và là cơ sở cho một thuật toán eigenvalue cụ thẻ, thuật toan QR Tronng

đó là hai phép phân tích A=QR qua phép biến đổi Householder và Gram-Schmidi 1.2.1 Đối tượng nghiên cứu

Thuật toán phân rã A = QR bằng phép biến đổi Householder, Gram-Schmidt

1.2.2 Phạm vi nghiên cứu

° Ma trận vuông

° Ma trận hình chữ nhật

1.2.3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng thuật toán đề giái các bài toán, chạy chương trình Matlab để phân rã A = QR bằng phép biến đôi Householder, Gram-Schmidi

1.2.4 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nhằm đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh, sinh viên Giái quyết các bài toán liên quan dén trực giao ma trận với sai số nhỏ nhằm giải quyết các bài toán và các ứng dụng

thực tế chính xác hơn

CHƯƠNG II CO SO LY THUYET

2.1 Giới thiệu thuat toan A=QR:

Phân rã QR, còn được gọi là phân tích nhân tô QR hoặc phân tích nhân tó QU là phân rã

ma trận A thành tích A = QR của ma trận trực giao Q và ma trận tam giác trên R Phân tích

thừa số A = QR của ma tran A là một kỹ thuật hữu ích đề ước tính giá trị riêng Nó luôn tôn tại khi số hạng của A bằng só cột của A Vì thế néu A là ma trận vuông cáp n thì Q là

ma trận trực giao cáp n

Trong đó :

e Alama tran ban dau can phan rã

e _Q là ma trận có cac cét truc giao (cé nghia 1a Q7Q = QQ? = 1)

e _ R là ma trận tam giác trên cap m khá nghịch

b Các phương pháp thực hiện phân rã A=QR

2.2 Phwong phap Gram-Schmict:

e Tap hop con M được gọi là ho tryc giao, néu x L y, Vx, y € Mva x#y

BAO CAO DSTT GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp

Định nghĩa 3.4.2:

Tập hợp con M được gọi là họ trực chuân, nếu: M là họ trực giao IIxIl = 1, vx € M

Dinh ly 3.4.1:

Cho E = ƒel,e2, - - - ,en} là cơ sở trực chuân của không gian V

1/vx € V Giả sử [X]E = (X1; X¿; ' ' '¡Xn) T Khi đó Vi = †1 - - -n, xi = (x,e);

2/ Giá sử [X]E = (Xi; Xa; - - - ; Xa) T và [y]E = (V1; Y2; ' - ' ¡Vn) Khi đó: (x, y) = X1V1 + X2V2 + ' ' ' + XnYn

Định lý 3.4.2:

Cho E = {©:,@s, - - - ,en} là một họ độc lập tuyến tính Khi đó có thể xây dựng một

họ trực giao F = {f:, fa, - - -, ím} sao cho không gian con được sinh ra bởi F trùng với không gian con duoc sinh ra boi E

e Xem xét quy trình Gram — Schmidi được áp dụng cho các cột của ma trận xếp hạng cột

đầy đủ A=[a: ,an], với sản phâm bên trong (u,w} =v'Ïw (hoặc là (u,w) =vw đối

Bây giờ chúng ta có thê thẻ hiện a¡ dựa trên cơ sở chuân mực mới được tính toán:

ai= (e1,a1) @\

8a= (@1,a2) €1+ @2,a2) 2

as= (@1,83) €1+ (2,83) G2+ (3,83) ©3

any iat (@,ak) @j

G day (e,ai) =lluill

Điều này có thê được viết dưới dạng ma trận:

Phép chiéu Householder cho phép thực hiện phân tích QR: Mục tiêu là tìm một phép biến

đôi tuyến tính biến đổi vector X thành một vector có cùng độ dài và song song với e1 Chúng ta có thê sử dụng phép chiếu trực giao (Gram-Schmidt) nhưng điều này sẽ không ôn

BAO CAO DSTT GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp định số học nếu các vector x và e1 gần với trực giao Thay vào đó, phép phản Xạ Householder phản chiếu qua đường cham (duoc chon dé chia đôi góc giữa x và e1) Góc tối đa với phép biến đối này là 45 độ

[xll:e,

Householder chiếu vectơ qua một “tắm gương” Chúng ta có vectơ x mà chúng ta muốn

phán chiếu vectơ Qx Để phán chiếu, chúng ta sẽ sử dụng ma trận trực giao Q

Nội dung phản chiếu:

Từ trước, chúng ta biết rằng hình chiếu x lên u là:

ulx

—u ulu

Từ biêu đồ phản chiếu cua Householder, chung ta c6 thé thay rang néu chung ta lay x

trừ đi hai lần thành phần song song với u, chúng ta sẽ nhận được Qx:

Qx =x - 2x) Thanh phan song song là hình chiêu x của chúng ta với u, vì vậy chúng ta có thẻ viết:

2.3.2 Lý thuyết và các bước hiện thực thuật toán:

a) Đối với ma trận vuông:

BAO CAO DSTT GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp

b) Đối với ma trận hình chữ nhật:

Chúng ta có thê tính đến một ma trận mxn phức tạp A, với m >n, là tích của ma trận đơn

nhát Mxm Q và ma trận hình tam giác trên mxn R Vì các hàng dưới cùng (m—n) của ma

trận hình tam giác trên mxn bao gòm hoàn toàn các sô không, nó thường hữu ích cho phân vùng R hoặc cả R va Q:

A=qR=Ql 0= lo, ,o; lÍR']= ọ¡&,

Trong đó: RI là n x m ma trận tam giác trên, 0 là ma trận 0 (m - n) x n, Q1 là m xn,

Q2 là m x (m— n), Q1 và Q2 đều có cột trực giao

c) Thuật toán phép biến đổi Householder:

Giả sử 1 là vectơ khác không tùy ý, khi đó hình chiếu vuông góc của vectơ ø lên

không gian con F sinh bởi vecto u la pru(v) = uuTv

Vectơ œ được phân tích thành ø = a + b, với a là hình chiếu vuông góc của + lên F và b

là hình chiếu vuông góc của 0 lên F

Ta có:

—— —— — —— T T T

ON = OH + HN =>y = ON=(I-—») — —_y=1-22y

Vậy ta có phép đối xứng qua F1 là:

tru

I—2——

uu

(phép biến đôi này được gọi là phép biến đổi Householder)

CHUONG III MOT SO Vi DU

BAO CAO DSTT GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp

13 4

ues me ma (0 a)

6 8 1 0.1562 0.5619 —0.8124

0.308 —0.511 —0.802

13 6.692 —14.49 R=Q,Q,A=Q'A= ( 0 402 —1.66 )

GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp

Đầu tiên, chúng ta cần dùng phép phản chiếu để biến đôi cột đầu tiên của ma trận A,

Lấy (1,1) phụ hợp, sau đó áp dụng lại quy trình cho

0 0

—5 2 Bằng phương pháp tương tự ở trên, ta có được ma trận của phép biến đôi Householder

100 0 _(0 0 0 -1

9; =(§ 0 1 0)

0-10 0

Tiếp theo ta tính

23 2 _ —_ara_ (0 =5 2)

*Lưu ý: Đây là trường hợp đặc biệt, ở những trường hợp khác sẽ có thể phải làm

thêm 1 bước biến đôi Householder tương tự

0.5 —0.5_ 0.5 0.5

0.5 05 —0.5 —0

Q=Q19? = (8 05 0.5 —0.5

0.5 —0.5 —0.5 —0.5

CHƯƠNG IV UNG DUNG

- Phân rã QR có thê hữu ích trong các ứng dụng học máy Ví dụ: Tự động xóa một đối tượng khỏi hình ảnh

- Phan tach QR được sử dụng trong hệ thống xử lý tín hiệu và hệ thong MIMO

BAO CAO DSTT GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp

- Phân hủy QR bằng đường chéo và ứng dụng đề thiết kế mã cho trước

- Phân tích phân biệt trọng số dựa trên hạt nhân với phân rã QR và ứng dụng của nó dễ nhận

đạng khuôn mặt

- Phân tích QR được sử dụng trong các mô hình hồi quy nêu các đầu vào có tương quan

cao

- Phép biến đổi cho ma trận Q với các vectơ cột độc lập

4.1 Ứng dụng phân tích QR cho hệ phương trình tuyến tính:

- Phân tích QR có thẻ giải quyết trên cá ma trận vuông và ma trận hình chữ nhật

- Các phương pháp phân tích thừa số có thê sử dụng để giái quyết bài toán về ma trận, điền hình là giải hệ phương trình tuyến tính

- NéeuA € R™*" có các cột độc lập tuyến tính thì

A=QR

Q: - Làmxñn với các cột trực giao (Q7@ = 1)

- Nếu A là ma trận vuông (m = n), thì Q truc giao (Q7Q = QQ? =!)

R: - Lànxn, gồm các ma trận tam giác trên với các phản tử đường chéo # 0

Có thẻ giải quyết hệ phương trình tuyến tính qua QR bằng 3 cách

I) QR theo phương pháp n xn

2) QR theo phương pháp m <n

3) QR theo phương pháp m>n

Nhac lai ly thuyét:

Hé phuong trinh tuyén tinh:

- Là tập hợp của hai hay nhiều phương trình có cùng tập ân số Khi giái hệ phương trình, ta

G11X1 + đ12X2 + -+ Q1InẤn = bị

3 SA Ai em unm dn eA the w= Ob Xy + AggX_ +++ AgyX, = D

tìm các giá trị cho từng ân sô thỏa mãn 411 ˆ “22”Z anon ee

An X1 + đm2X; fot AamnXn = Dm

đị+, đạ¡, , đ„„: hệ sô trong hệ phương trình tuyến tính

bị, b;, , b„: hằng số

X,X;, ,X„: ân sô

4.2 Ánh xạ tuyến tính trong phân tích mã QR:

*Anh xạ tuyến tính cho phép chuyển đổi một ma trán từ không gian n chiều sang không gian m chiều, vớ; điêu kiện n >= m

Trọng tâm: Phân tích mã QR bằng các phương pháp Gram-smith, Householder, Given sử

dụng ánh xạ tuyến tính dé giải quyết vấn đề xác định vectơ cột và ma trận Q

1.Phương pháp Gram-smith sử dụng ánh xạ tuyến tính đề biến đôi ma trận đầu vào sao cho

các vectơ trong ma trận đó trở thành đôi một vuông góc và có độ dài là 1 Kết quả của phương pháp này là một ma trận Q có các cột là những vectơ vuông góc có độ dài bằng 1

2.Phương pháp Householder cũng sử dụng ánh xạ tuyến tính đề biến đôi ma trận đầu vào

thành một ma trận tam giác trên Quá trình này tạo ra một ma trận Q thỏa mãn tính chất

14

BAO CAO DSTT GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp

Q.T =L trong đó T là ma trận tam giác trên thu được sau khi biến đôi đầu vào và I là ma tran don vi

3.Phương pháp Given sử dụng ánh xạ tuyến tính để xác định kỹ thuật xoay Givens, giúp biến đổi ma trận đầu vào thành một ma trận tam giác trên hoặc tam giác dưới Quá trình

này cho phép xác định ma trận Q với các cột tạo thành bởi các vectơ cột không thay đôi

=> Tóm lại, ánh xz tuyến tính là mót công cœ hữu ích trong phân tích mã QR bảng 2 trong

3 phương pháp Gram-smith, Householder, Given Nó cho phép biến đổi một ma tran dau

vào đề thu được ma trận Q với các cội là các vecfơ vuông góc hoặc thu được ma trận tam

giác trên hoặc ưm giác dưới

4.3 Sử dụng phương pháp QR để tìm trị riêng của ma trận:

GVHD: Nguyen Hữu Hiệp

BAO CAO DSTT GVHD: Nguyễn Hữu Hiệp

là ma trận 3 đường chéo, đối xứng

“+ Ta tinh si bang cách tìm trị riêng ma trận vuông 2x2 tạo bởi dòng thứ 2,3 va cột thứ 2, 3

3P

+ Ma trận trên có 2 giá trị riêng là mì = 2 và pe = 4

Ta phải chọn s¿ là 1 trong 1 trị riêng gàn với giá tri as = Ass = 3

(ở đây chọn 2 hay 4 đều được)

% Sau khi có A:Ðta tìm ma trận quay Pa

Từ dạng tổng quát của AK ta sẽ có dạng của A0 là:

x, Y, O

A, = b, ay bal > x1 = 1: b= 1

+* Từ công thức sx va Ck

% Ta có thẻ tính Aaf) = PsAz) nhưng không cần thiết

+ Sau khi có Pa và Pa, ta tìm ma trận A2