Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1 tích phân bất Định

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP... ĐỀ TÀI: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH... Chúng em xin chân thành cảm ơn!... YÊU C ẦU ĐỀ TÀII.. "Giáo Trình Giải Tích 1".

ĐẠ I H C QUỐC GIA TP H CHÍ MINH Ọ Ồ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA H C VÀ NG D Ọ Ứ ỤNG





GVHD: NGUY N TH XUÂN ANH Ễ Ị

LỚP: L15

NHÓM: 14

TP H Ồ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2022

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA KHOA H C VÀ NG D Ọ Ứ ỤNG





BÁO CÁO BÀI T P L N Ậ Ớ

MÔN GIẢ I TÍCH 1

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

GVHD: NGUY N TH XUÂN ANH Ễ Ị

3 NGUYỄN QUANG HOÀNG 2211100

4 TRẦN QUỐC HÙNG VĨ 2213985

5 NGUYỄN TRƯƠNG THÁI BẢO 2210251

ĐỀ TÀI: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

LỜI C ẢM ƠN

Đầ u tiên cho chúng em xin trân tr ng g i lời c ọ ử ảm ơn chân thành và sự kính trọ ng t i các Th y và Cô Khoa Khoa h c Ứng dụng trường ĐH Bách Khoa - ớ ầ ọ ĐHQG TPHCM và đặ c bi ệt là giáo viên hướ ng dẫn là cô Nguyễn Thị Xuân Anh đã tạo điề u ki ện, cơ hộ i và t ận tình hướ ng dẫn, chỉ bảo chúng em trong suố t quá trình th c hi n bài t p l n này ự ệ ậ ớ

Do ki n th c còn h n h p và th i gian g p rút nên không tránh kh i nh ng ế ứ ạ ẹ ờ ấ ỏ ữ thiếu sót trong cách hiểu, cách di ễn đạt và đôi khi vẫ n còn m c l ắ ỗi trình bày

Em r t mong nh ấ ận đượ ự đóng góp ý kiế c s n c ủa cô để báo cáo bài t p l ậ ớn này đượ c hoàn thi ện và đạt đượ c kết quả t ốt hơn.

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

MỤC L C Ụ

LỜI CẢM ƠN 4

YÊU CẦU ĐỀ TÀI 6

I V I MỚ ỖI LOẠI HÀM SAU CHO 1 VÍ D V TÍCH PHÂN BỤ Ề ẤT ĐỊNH: 7

1 Cho 2 ví d cho hàm h u tụ ữ ỉ 𝒇 7

Ví d 1.1 ụ 7

Ví d 1.2 ụ 7

2 Cho 2 ví d cho hàm vô t ụ ỉ𝒇(𝒙)𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙+ 𝒄 với 𝒇(𝒙) ần lượt là đa l thức b c 1,0 7 ậ Ví d 2.1 ụ 7

Ví d 2.2 ụ 8

3 Cho 1 ví d v hàm vô t d ng: ụ ề ỉ ạ 8

Ví d 3.1 ụ 8

II Cho ít nh t 3 ví d là các bài toán th c t ấ ụ ự ế trong các lĩnh vực khác nhau dẫn đến việc tính tích phân bất định: 10

Ví d 1 ụ 10

Ví d 2 ụ 10

Ví d 3 ụ 11

KẾT LUẬN 13

YÊU C ẦU ĐỀ TÀI

I Yêu c ầu:

1 Với m i lo i hàm sau,cho ví d tích phân b ỗ ạ ụ ất định:

• 2 ví d cho hàm h u t ụ ữ ỉ 𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙) v ới 𝒇(𝒙) ần lượt là đa thức l

bậc 1,2 và 𝒈(𝒙) là tam th c b c 2 không có nghi m th ứ ậ ệ ực

√𝒂𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄 v ới 𝒇(𝒙) ần lượt là đa l

thứ c b c 1,0 ậ

(𝒎𝒙+𝒏) 𝒂𝒙 √ 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄

2 Cho ít nh t 3 ví d là các bài toán th c t ấ ụ ự ế trong các lĩnh

vực khác nhau dẫn đế n việc tính tích phân b ất đị nh

II Tài li u tham kh ệ ảo:

[1] "Google," [Online] Available: www.google.com

[2] G v T Đ H B K "Giáo Trình Giải Tích 1"

[3] J S "Calculus 1"

Bài t p l n Gi i Tích 1 Tích phân b ậ ớ ả – ất đị nh

I VỚI MỖI LO I HÀM SAU CHO 1 VÍ D V TÍCH Ạ Ụ Ề

PHÂN B ẤT ĐỊNH:

1 Cho 2 ví d cho hàm h u t ụ ữ ỉ 𝒈(𝒙)𝒇(𝒙) v ới 𝒇(𝒙) ần lượt là đa l thứ c b c 1,2 và ậ 𝒈(𝒙) là tam th c b c 2 không có nghi ứ ậ ệm

thực:

Ví d 1.1 ụ : Tìm nguyên hàm c a phân thủ ức: 𝐼 = ∫𝑥24𝑥+1+2𝑥+2𝑑𝑥

𝐼 = ∫ 𝑥24𝑥 + 1 + 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 = ∫ 2 2𝑥 + 2 − 3 ( 𝑥2+ 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 )

𝐼 = 2 ∫ 𝑥22𝑥 + 2 + 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 − ∫ (𝑥 + 1) + 1 3 2 𝑑𝑥

𝐼 = 2𝑙𝑛|𝑥2+ 2𝑥 + 2 − 3 arctan 𝑥 + 1 + 𝐶| ( )

Ví d 1.2 ụ : Tìm nguyên hàm c a phân thủ ức: 2 2

5x 8x

x 4x 7

+

= + +



2

2

5x 8x

x 4x 7

+

=

+ +



2

5(x 4x 7) 12x 24 11dx 5dx 6 2x 4 dx 11 dx

x 4x 7 x 4x 7 (x 2) 3

2 11 x 2

5x 6ln x 4x 7 arctan C

+

 

= − + + −  +

 

2 Cho 2 ví d cho hàm vô t ụ ỉ 𝒇(𝒙)

√𝒂𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄 v ới 𝒇(𝒙) ần lượ l t là

đa thức bậc 1,0

Ví d 2.1 ụ : Hàm 𝑓(𝑥) là hàm đa thứ ậc b c 0:

Bài t p l n Gi i Tích 1 Tích phân b ậ ớ ả – ất đị nh

1

= 4 |𝑥 + 𝑙𝑛 1 2 + √(𝑥 + 1 2)2+ (√ 2 ) 7 2| + 𝐶

Ví d 2.2 ụ : Hàm 𝑓(𝑥) là hàm đa thứ ậ c b c 1:

2

1

3

x

−

3 Cho 1 ví d v hàm vô t d ụ ề ỉ ạng: 𝑪

(𝒎𝒙+𝒏) 𝒂𝒙 √ 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄

Ví d 3.1 ụ :

𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 3)√𝑥2+ 2𝑥 − 3

Bài t p l n Gi i Tích 1 Tích phân b ậ ớ ả – ất đị nh

Đặt 𝑥 + 3 =1𝑡 𝑑𝑥 = −𝑑𝑡 𝑡2 và 𝑥 =1𝑡− 3

𝑥2+ 2𝑥 − 3 = (1𝑡 − 3)2+ 2 (1𝑡 − 3) − 3

=𝑡12−6𝑡 + 9 +2𝑡 − 6 − 3 =𝑡12−4𝑡

=1 − 4𝑡𝑡2

 𝐼 = ∫1 1

𝑡 √1−4𝑡𝑡2

−𝑑𝑡

𝑡 2 = ∫√1−4𝑡−𝑑𝑡

= ∫ 𝑑( 1 − 4𝑡 )

4√1 − 4𝑡 =

1

2 √1 − 4𝑡 = 1 2 √1 − 4 1 𝑥 + 3 + 𝐶

Bài t p l n Gi i Tích 1 Tích phân b ậ ớ ả – ất đị nh

II Cho ít nh t 3 ví d là các bài toán th c t ấ ụ ự ế trong các lĩnh vực khác nhau dẫn đến vi c tính tích phân b ệ ất định:

Ví d 1 ụ : M t nghiên c u v ộ ứ ề môi trường tại một huyện nào đó cho th y r ấ ằng sau t năm tính từ ời điể th m hiện t ại, lượ ng CO

CO sẽ là bao nhiêu sau 3 năm?

Giải:

Gọi Q(t) là mức khí CO sau t năm

Tốc độ thay đổi mức khí CO sau t năm là

Vậy mức khí CO sau 3 năm là :

Ví d 2 ụ : Giá c n biên c a m t hàng A khi cung c ậ ủ ặ ấp x đơn vị trên thị trường là 𝑝′(𝑥) = 4𝑥 − 5𝑥 +3 20 Bi t giá hi n t i khi ế ệ ạ

Giải:

Gọi giá hi n t i là ệ ạ 𝑝(𝑥)

Bài t p l n Gi i Tích 1 Tích phân b ậ ớ ả – ất đị nh

Ví d 3 ụ : M t v t chuy ộ ậ ển độ ng v ới vậ ốc n t 10 𝑚/𝑠 thì tăng tốc

trong kho ng th i gian 10 giây k t lúc b ả ờ ể ừ ắt đầu tăng tốc

Gi i: ả

= ∫ 3𝑡 + 𝑡 ( 2)𝑑𝑡

= 3𝑡 2 +2 𝑡 3 + 𝐶3

Ta có: 𝑣(𝑡) = 3𝑡22+𝑡33+ 10

𝑠 = ∫ (103𝑡 2 +2 𝑡 3 + 10)3

= 𝑡 2 +3 12 + 10𝑡| 𝑡4 10 0 = 4300 3 (𝑚)

giâykể t lúc b ừ ắt đầu tăng tốc là 4300

Bài t p l n Gi i Tích 1 Tích phân b ậ ớ ả – ất đị nh

Bài t p l n Gi i Tích 1 Tích phân b ậ ớ ả – ất đị nh

KẾT LU N Ậ

Như vậ y, nhóm b ọn em đã hoàn thành bài báo cáo môn Giả i tích 1 về chủ đề “Tích phân bấ t định” bằng vi ệc đưa ra 1 số

ví d c ụ ụ thể ề ừng dạng toán, cũng như những bài toán v t thự c t Thông qua bài báo cáo, nhóm t i em hi ế ụ ểu sâu hơn

về những dạng toán, bài t p v ậ ề tích phân xác định Điều đó cũng là 1 phần hành trang cho kì thi cu i k s p t ố ỳ ắ ới