Cơ kết cấu giao thông Đề tài thanh chịu tải trọng kéo

ĐẠ I HỌC QU C GIA TPHCM Ố TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA  BÁO CÁO PHƯƠNG PHÁP Môn: Cơ kế ất c u giao thông Đề tài: Thanh chịu tả ọi tr ng kéo... Trong h u hầ ết các trường hợp, các điểm Ga

ĐẠ I HỌC QU C GIA TPHCM Ố TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA



BÁO CÁO PHƯƠNG PHÁP

Môn: Cơ kế ất c u giao thông

Đề tài: Thanh chịu tả ọi tr ng kéo

MỤC L C Ụ

1 Bài toán 1 1.1 Mô hình v t lý 1 ậ 1.2 L i gi i gi i tích 1 ờ ả ả

2 R i r c hóa b ng ph n t h u h nờ ạ ằ ầ ử ữ ạ 2

2.1 R i r c hóa 2 ờ ạ 2.2 Hàm d ng 2 ạ 2.3 Ph n t tham kh o 4 ầ ử ả 2.4 Hàm d ng c a ph n t tham kh o trong t ạ ủ ầ ử ả ọa độ tham kh o 4 ả 2.5 Bi u th c tính bi n d ng trong m t ph n t 5 ể ứ ế ạ ộ ầ ử 2.6 Bi u th ể ức tính năng lượ ng t ng c a h 6 ổ ủ ệ 2.7 Năng lượng biến dạng 6 2.8 Công ngo i l c 7 ạ ự 2.9 Th ế năng tổ ng d ng c a h 7 ừ ủ ệ 2.10 Tính toán ma tr ận độ ứ c ng ph n t K 9 ầ ử 2.11 Tính toán vecto t i ph n t 9 ả ầ ử 2.12 L p ráp ma tr n và vecto ắ ậ 𝐾𝑒 , 𝐹𝑒 vào ma tr ận độ ứ c ng t ng th và vecto ổ ể tải t ng th K, F 10 ổ ể

3 Gi i h KU=Fả ệ 12

4 Tính toán các k t qu khácế ả 13 4.1 Tính bi n d ng 13 ế ạ 4.2 Tính ng su t 13 ứ ấ 4.3 So sánh l i gi i gi i tích và l i gi i r i r c 14 ờ ả ả ờ ả ờ ạ 4.4 Phân tích 14

5 Tính toán v i ph n m m ph n t h u h nớ ầ ề ầ ử ữ ạ 15

5.1 Gi i thi u 15 ớ ệ 5.2 Tích phân s 15 ố 5.3 Tích phân s v i m ố ớ ột điể m Gauss 16 5.4 Tích phân s v ố ới hai điể m Gauss 17 5.5 K t qu tính toán 18 ế ả 5.6 Ví d v k t qu tính toán v i m ụ ề ế ả ớ ột điể m Gauss 18 5.7 Ví d v k t qu tính toán v ụ ề ế ả ới hai điể m Gauss 19

2 R i r c hóa b ng ph n t h u h n ờ ạ ằ ầ ử ữ ạ

2.1 R i r c hóa ờ ạ

Thanh được rời rạc hóa thành 4 phần tử thanh dựa trên 5 nút:

Số liệu c n tính ầ ở đây là:

- Trường chuyển vị u(x) t i b t kạ ấ ỳ điểm nào trên thanh

- Trường biến dạng 𝜀(𝑥) t i b t k m nào trên thanh ạ ấ ỳ điể

- Trường ứng suất 𝜎(𝑥) t i b t k ạ ấ ỳ điểm nào trên thanh

𝜙 𝑥𝑖( 𝑖) = 1 𝜙𝑖 𝑗) = 0 (𝑥𝜙𝑗(𝑥𝑗) = 1 𝜙𝑗(𝑥𝑖) = 0

Chuy n v c a mể ị ủ ột điểm thu c ph n tộ ầ ử được bi u diể ễn dưới dạng đa

thức bậc mộ t:

𝑢(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

Với điều kiện:

𝑢(0 = 𝑢) 𝑖 𝑢(1) = 𝑢𝑗

𝜙 (𝑥) = (𝑖 𝑥 −𝑥𝑥𝑗𝑗−𝑥𝑖)

𝜙𝑗(𝑥) = (𝑥−𝑥𝑖

𝑥 −𝑥𝑗 𝑖)

2.3 Ph n t tham ầ ử khảo

- Trong h u hầ ết các trường h p, các hàm dợ ạng được bi u th bể ị ằng tọa độ tham khảo được liên kết tới một phần tử tham khảo

- Các hàm dạng độ ậc l p với độ dài hi n t i c a ph n t khi chúng ệ ạ ủ ầ ử

được bi u thị theo tể ọa độ tham khảo và chỉ được tính cho tọa độtham khảo chứ không ph i cho t ng ph n tả ừ ầ ử

2.4 Hàm d ng c a ph n t tham kh o trong tạ ủ ầ ử ả ọa độ tham kh o ả

Phần tử tham kh o c a thanh là ph n t sau: ả ủ ầ ử

𝑢(𝜉) = 𝑎𝜉 + 𝑏

Với điều ki n: ệ

𝑢(−1 = 𝑢) 𝑖𝑢(1 = 𝑢) 𝑗

Có th suy ra r ng: ể ằ

𝑎 =𝑢𝑗2 − 𝑢𝑖

𝑏 =𝑢𝑗+ 𝑢𝑖2

Và do vậy:

𝑢(𝜉) =𝑢𝑗− 𝑢𝑖2 𝜉 +𝑢𝑗+ 𝑢𝑖

2Hoặc:

2.5 Bi u th c tính biể ứ ến dạng trong m t ph n t ộ ầ ử

Xét vecto chuy n v nút c a ph n tể ị ủ ầ ử 𝑈𝑒 và ma trận các hàm n i suy ộtrong tọa độ tham kh o N(ả 𝜉):

𝑈𝑒= [𝑢𝑖𝑢𝑗] 𝑁(𝜉) = [𝜓𝑖(𝜉) 𝜓𝑗( )𝜉 ] Các chuy n v trong tể ị ọa độ tham kh o là: ả

𝑢(𝜉) = 𝑁( )𝑈𝑒𝜉Biến d ng trong tạ ở ọa độ tham kh o là: ả

𝜀(𝜉) =𝜕𝑢(𝑥)𝜕𝑥 =𝜕𝜉𝜕𝑥𝜕𝑢(𝜉)𝜕𝜉 =𝑥𝑗2− 𝑥𝑖𝜕𝑢(𝜉)𝜕𝜉 =21𝜕𝑁(𝜉)𝜕𝜉 𝑈𝑒

=21 [−12 12] 𝑈𝑒=11 [−1 1]𝑈𝑒

2.7 Năng lượng biến dạng

Biểu thức năng lượng biến dạng c a m t ph n t i là: ủ ộ ầ ử

Σ𝑖𝑒= ∫12 𝜀𝑖𝑒( )𝑉 𝜎𝑖𝑒( )𝑉 𝑑𝑉𝑣

Trường bi n d ng trên ph n tử đư c viế ạ ầ ợ ết dướ ạng: i d

𝜀𝑖𝑒=𝜕𝑢𝜕𝑉 =𝑖𝑒 𝜕𝑢𝜕𝑥 = 𝐵𝑖𝑒 𝑖𝑒𝑈𝑖𝑒Trường ng suất trên phần tử được viứ ết dướ ạng: i d

𝜎𝑖𝑒= 𝐸𝜀𝑖𝑒= 𝐸𝐵𝑖𝑒𝑈𝑖𝑒

Năng lượng biến dạng của ph n t có th ầ ử ể được bi u diể ễu:

𝜕Π

𝜕𝑈1 =𝜕𝑈1𝜕 (Σ1+ Σ2+ Σ3+ Σ4− 𝑊1 − 𝑊2 − 𝑊3 − 𝑊4 )

=𝜕𝑈𝜕

1(Σ1− 𝑊1 ) = 0

1 −𝐸𝑆1

−𝐸𝑆1 𝐸𝑆1 ] [

𝑢2𝑢3] = [𝑓𝑓23] [

𝑓2 + 𝑓2 = 0

𝑓3 + 𝑓3 = 0

𝑓4 + 𝑓4 = 0

𝑓54= 𝐹 𝑢1= 0

H có th ệ ể viế ại như sau:t l

𝑓1000

𝐹 ]

3 Gi i h KU=F ả ệ

H c n gi i là h ệ ầ ả ệ sau đây:

Hàng th ứ hai đưa ra các chuy n v ể ị chưa biết:

Hàng th ứ nhất đưa ra các ph n lả ực chưa biết:

𝐸𝑆 ]

𝑓 1 = −𝐹

4 Tính toán các k t qu khác ế ả

4.1 Tính biến dạng

B ng cách s d ng các chuy n v nút, bi n dằ ử ụ ể ị ế ạng trên các ph n t ầ ử có thể được tính toán:

𝜀1=1 [−1 1]𝑈1 1=4𝐿 [−1 1] [𝑢1𝑢2] =4𝐿 [−1 1] [ 𝐹𝐿0

4𝐸𝑆] =

𝐹

𝐸𝑆 𝜀2=1 [−1 1]𝑈1 2=4𝐿 [−1 1] [𝑢2𝑢3] =4𝐿 [−1 1] [

𝐹𝐿4𝐸𝑆𝐹𝐿2𝐸𝑆] =𝐸𝑆 𝐹

𝜀3=1 [−1 1]𝑈1 3=4𝐿 [−1 1] [𝑢3𝑢4] =4𝐿 [−1 1] [

𝐹𝐿2𝐸𝑆3𝐹𝐿4𝐸𝑆] =𝐸𝑆 𝐹

𝜀4=1 [−1 1]𝑈1 4=4𝐿 [−1 1] [𝑢4𝑢5] =4𝐿[−1 1] [

3𝐹𝐿4𝐸𝑆𝐹𝐿𝐸𝑆

] =𝐹𝐸𝑆

4.2 Tính ng suứ ất

Sử d ng các bi n d ng phụ ế ạ ần tử, có th ể tính được ứng su t trên các phấ ần tử:

𝜎1= 𝐸𝜀1=𝐹𝑆 𝜎2= 𝐸𝜀2=𝐹𝑆 𝜎3= 𝐸𝜀3=𝐹𝑆

𝜎4= 𝐸𝜀4=𝐹

𝑆

5 Tính toán v i ph ớ ần m ềm phầ ử ữ n t h u h ạn

5.1 Gi i thiớ ệu

Phương pháp tính toán được giới thiệu trước đây là một phương pháp tính toán b ng tay khằ ả thi: nó được s d ng b i vì hình dử ụ ở ạng đơn giản của phần t và s ử ố lượng n số ẩ đã giảm

Khi m t ph n m m ph n t h u h n tính toán mộ ầ ề ầ ử ữ ạ ột bài toán, các bước

m i s ớ ẽ được gi i thi u trong ph n gi i h : ớ ệ ầ ả ệ

- Tích phân s khi tính toán các ma trố ận độ ứ c ng và vecto lực

- Các k t qu tính toán tế ả ại các điểm Gauss (v m t toán h c, các ề ặ ọkết quả được tìm th y tấ ốt hơn tại các điểm Gauss)

Trong h u hầ ết các trường hợp, các điểm Gauss không được tính toán tại các nút

Các lo i tích phân s khác có th ạ ố ể dùng như: Legendre,…

5.3 Tích phân s v i mố ớ ột điểm Gauss

Ví d v tích phân s b ng cách s dụ ề ố ằ ử ụng điểm Gauss trên một phầ ửn t thanh:

𝜉𝑘) ∑ 𝑤𝑘𝑓12(

1 𝑘=1

𝜉𝑘)

∑ 𝑤𝑘𝑓21(

1 𝑘=1

𝜉𝑘) ∑ 𝑤𝑘𝑓22(

1 𝑘=1

𝜉𝑘)]

5.4 Tích phân s vố ới hai điểm Gauss

Ví d v tích phân s bụ ề ố ằng hai điểm Gauss trên m t phộ ần tử thanh:

𝜉𝑘) ∑ 𝑤𝑘𝑓12(

2 𝑘=1

𝜉𝑘)

∑ 𝑤𝑘𝑓21(

2 𝑘=1

𝜉𝑘) ∑ 𝑤𝑘𝑓22(

2 𝑘=1

𝜉𝑘)]

𝐾𝑖𝑒=2(𝑥 −𝑥𝐸𝑆

𝑗 𝑖 )[(𝑤1𝑓11(𝜉 1) + 𝑤2𝑓 11(𝜉2)) (𝑤1𝑓 12(𝜉1) + 𝑤2𝑓 12(𝜉2))(𝑤1𝑓21(𝜉1) + 𝑤2𝑓 21(𝜉2)) (𝑤 1𝑓 22(𝜉1) + 𝑤2𝑓 22(𝜉2))]

5.6 Ví d v k t qu tính toán v i mụ ề ế ả ớ ột điểm Gauss

Ứng dụng vào kết quả tính toán:

5.7 Ví d v k t qu tính toán vụ ề ế ả ới hai điểm Gauss

Ứng dụng vào kết quả tính toán: