Giáo trình: Toán cao cấp T2

Do đó rất cần thiết có một bộ giáo trình riêng về Toán cao cấp dành cho khối kỹ thuật của Trường ĐH Hải Phòng để thống nhất nội dung giảng dạy và học tập cho giảng viên và sinh viên, phù

UBND THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

Giáo trình

TOÁN CAO CẤP (DÀNH CHO KHỐI NGÀNH KỸ THUẬT)

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 2

1.1 GIỚI HẠN - LIÊN TỤC 2

1.1.1 Tập hợp trong n 2

1.1.2 Hàm nhiều biến số 4

1.1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến 5

1.1.4 Sự liên tục của hàm số 8

1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN 11

1.2.2 Đạo hàm riêng 12

1.2.3 Vi phân của hàm nhiều biến 15

1.2.3 Đạo hàm riêng của hàm hợp 19

1.2.4 Đạo hàm hàm số ẩn 21

1.2.5 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao 23

1.3 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 25

1.3.1 Cực trị tự do 25

1.3.2 Cực trị có điều kiện 27

1.3.3 Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng và bị chặn 32

1.4 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 35

Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI 38

2.1 TÍCH PHÂN HAI LỚP 38

2.1.1 Khái niệm và tính chất 38

2.1.2 Cách tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Đề các 42

2.1.3 Phép đổi biến trong tích phân hai lớp 48

2.1.4 Ứng dụng hình học và cơ học của tích phân kép 54

2.2 TÍCH PHÂN BA LỚP 60

2.2.1 Khái niệm và tính chất 60

2.2.2 Cách tính tích phân ba lớp trong hệ tọa độ Đềcác 61

2.2.3 Đổi biến trong tích phân ba lớp 63

2.2.4 Ứng dụng của tích phân ba lớp: 65

2.3 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 68

Chương 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT 73

3.1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT 73

3.1.1 Khái niệm và tính chất: 73

3.1.2 Cách tính 74

3.1.2 Ứng dụng của tích phân đường loại một 75

3.2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI 78

3.2.1 Khái niệm và tính chất 78

3.2.2 Cách tính 79

3.2.3 Mối liên hệ giữa tích phân đường loại II và tích phân kép - công thức Green: 80

3.2.4 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân: 84

3.3 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT 87

3.3.1 Khái niệm và tính chất: 87

3.3.2 Cách tính 87

3.3.3 Ứng dụng 89

3.4 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI 90

3.4.1 Khái niệm và tính chất: 90

3.4.2 Cách tính 92

3.4.3 Công thức Stokes 93

3.4.4 Công thức Ostrogradsky 94

3.5 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 95

Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 98

4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 98

4.1.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp một 98

4.1.2 Phương trình biến số phân ly 99

4.1.3 Phương trình thuần nhất 101

4.1.4 Phương trình tuyến tính cấp một 102

4.1.5 Phương trình Bernoulli 104

4.1.6 Phương trình vi phân toàn phần 105

4.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 109

4.2.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp hai 109

4.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 110

4.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi 113

4.3 ỨNG DỤNG 117

4.3.1 Vật thể rơi 117

4.3.2 Mô hình chuyển động của lò xo 117

4.3.3 Dao động tắt dần 118

4.3.4 Dao động cưỡng bức 119

4.3.5 Mạch điện 120

4.3.6 Phương trình chuyển động của hành tinh trong hệ mặt trời 120

4.4 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 122

TÀI LIỆU THAM KHẢO 124

LỜI MỞ ĐẦU Toán cao cấp gồm những học phần cơ sở, cung cấp các kiến thức bổ trợ cho sinh viên đại học các ngành kỹ thuật như công nghệ thông tin, xây dựng, điện, cơ khí tiếp thu các kiến thức chuyên ngành Hơn nữa, trong môi trường đại học đòi hỏi sinh viên phải làm việc độc lập nhiều hơn, lấy tự học, tự nghiên cứu là chính Vì thế giáo trình phải được coi là tài liệu cơ bản và quan trọng nhất Do đó rất cần thiết có một bộ giáo trình riêng về Toán cao cấp dành cho khối kỹ thuật của Trường ĐH Hải Phòng để thống nhất nội dung giảng dạy và học tập cho giảng viên và sinh viên, phù hợp với mục tiêu đào tạo sinh viên của nhà trường

Hiện tại, trường ĐH Hải Phòng đã có giáo trình Toán cao cấp dành cho khối kỹ thuật tập một Tiếp nối giáo trình này, chúng tôi tiếp tục biên soạn giáo trình Toán cao cấp dành cho khối kỹ thuật tập hai để phục vụ cho học phần “Toán cao cấp A2” với đối tượng là sinh viên các ngành xây dựng, điện

cơ, chế tạo máy Giáo trình trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản nhất về hàm nhiều biến số, tích phân kép, tích phân bội ba, tích phân đường, tích phân mặt và phương trình vi phân Những kiến thức này là điều kiện tiên quyết để sinh viên có thể tiếp thu các kiến thức của vật lý, cơ học, hóa học, một số môn chuyên ngành của khối kỹ thuật

Ngoài việc cung cấp kiến thức cơ sở, giáo trình cũng chú ý đến các ứng dụng thực tế của các kết quả lý thuyết, giúp sinh viên tiếp thu môn học một cách hứng thú và “nhẹ nhàng” hơn Trong phần lý thuyết, một số kết quả được bỏ qua phần chứng minh phức tạp, mà được nêu bật ý nghĩa thông qua các ví dụ minh họa được xây dựng khá đa dạng, phong phú

Giáo trình gồm 4 chương:

Chương 1 Hàm số nhiều biến số

Chương 2 Tích phân bội

Chương 3 Tích phân đường, tích phân mặt

Chương 4 Phương trình vi phân

Giáo trình do các thầy cô trong tổ Giải tích và Toán ứng dụng biên soạn gồm: TS Đỗ Duy Thành, chủ biên, biên soạn chương 1, Ths Đỗ Thị Hoài biên soạn chương 2, TS Trần Thị Hoàng Anh biên soạn chương 3, Ths Vũ Thị Mai biên soạn chương 4

Các tác giả

Chương 1 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Chương này trình bày về định nghĩa hàm nhiều biến số, phép tính giới hạn, tính chất liên tục, đạo hàm riêng, vi phân của hàm nhiều biến Sau đó áp dụng các kiến thức này vào bài toán cực trị, và bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm hai biến số, đây là bài toán có ý nghĩa rất lớn về mặt ứng dụng, tạo cơ sở toán học cho các bài toán tối ưu hóa trong thực tế

n n n

Mỗi phần tử của V gọi là véc tơ, hoặc gọi là điểm

* Tích vô hướng Tích vô hướng của hai véc tơ x và y là một số thực, ký hiệu là x y (có tài liệu viết là x y,  ) xác định bởi:

Tọa độ điểm M trong  được ký hiệu 2 M x y  ,

Trong phần còn lại của chương này, các kết quả được trình bày chủ yếu trong

2

 Nhiều kết quả tương tự còn đúng cho  n

b Phân loại tập hợp trong  n

 Lân cận Cho an;  lân cận của điểm a (còn gọi là hình cầu mở tâm a , bán kính ), kí hiệu U a  là tập hợp xác định bởi:

   n:  , .

U a  x d x a 

Điểm a được gọi là điểm trong của tập hợp E nếu E chứa một n

hình cầu mở nào đó tâm a : U a E, 0  Đồng thời, tập E gọi

là một lân cận của điểm a

 Tập mở Tập hợp E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của E đều là

điểm trong của nó Dễ nhận thấy rằng, tập hợp U a  là tập mở

 Điểm biên Điểm x được gọi là điểm biên của E nếu trong một  

lân cận bất kì của x đều chứa ít nhất một điểm thuộc E và một điểm

không thuộc E Tập các điểm biên của E kí hiệu là  E gọi là biên

của E

Rõ ràng, điểm trong của E nằm trong E , điểm biên của E có thể

thuộc E có thể không thuộc E

 Tập đóng E được gọi là tập đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó:

+ Hình cầu đóng tâm a , bán kính .+ Mặt cầu đóng tâm a , bán kính .

Ví dụ 1.1 Cho các tập hợp sau đây trong 2

Người ta còn dùng ký hiệu tích Descartes để chỉ các hình chữ nhật đó: D 1

được kí hiệu bởi    a b,  c d, , ,D3 bởi    a b,  c d,

D tập xác định, :f hàm số; :x biến số (hay đối số)

Lưu ý rằng, biến số có n thành phần, mỗi thành phần xem như một biến

độc lập (cho nên hàm số trên  hay được gọi là hàm nhiều biến) n

n n hội tụ về điểm 1,0 khi n , vì:

Ví dụ 1.4 Chứng minh

1 0

x y

    2 2

2 2 , 0,0

   

2 2 , 0,0

2lim

Giải a)

    2 2

2 2 , 1,0

2lim

Giới hạn trên không tồn tại, nên cũng không tồn tại giới hạn

limlim0 0 sin sin 1 1

Từ định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm nhiều biến

số, ta chứng minh được định lý sau đây về hàm liên tục

Định lý 1.3 Giả sử f M g M là hai hàm số của biến điểm n chiều    ;

 1, , ,2 n

M x x x liên tục tại điểm M0 Ta có:

 Các hàm số f M g M và   f M g M cũng liên tục tại điểm    

Định lý 1.4 Giả sử hàm số f M của biến điểm n chiều   M x x 1, , ,2 x nxác định và liên tục trên miền D với

 Hàm số f M đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền   D

 Giả sử A B, là hai điểm thuộc miền D sao cho f A f B   0 thì tồn tại một điểm C D sao cho  f C 0

Nói riêng các định nghĩa và định lý nói trên đều đúng cho trường hợp 2

    ,lim0,0 ( , ) 0

  Vậy f x y liên tục tại  ,  0,0

 Trường hợp 2:   Xét 1    x y,  0,0 theo đường y x

f x y không liên tục tại  0,0

Ví dụ 1.9 Xét tính liên tục của hàm số sau trên 2.

1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN

1.2.1 Số gia riêng và số gia toàn phần

Một hàm nhiều biến u f x x 1, , ,2 x có thể xem như là hàm số của một nbiến số khi ta cố định giá trị của các biến còn lại Từ đây có thể định nghĩa số gia riêng của một hàm nhiều biến đối với một biến số nào đó Trước hết ta xét với n2

Xét hàm số z f x y , xác định trên miền D và M x y0 0, 0 là một điểm thuộc miền D

Cố định giá trị y  y và cho x thay đổi một lượng x thì giá trị của hàm số 0thay đổi một lượng là:

 0 , 0  0, 0

 xz f x  x y  f x y

Ta gọi xz là số gia riêng theo biến x của hàm số z f x y  ,

Tương tự số gia riêng theo biến y của hàm số z f x y tại điểm  ,

x x

uu

Đạo hàm riêng thực chất là đạo hàm hàm số một biến số khi tất cả các biến còn lại nhận giá trị cố định Do đó, khi tính đạo hàm riêng theo biến nào thì ta coi các biến còn lại như là hằng số, và tính đạo hàm theo biến đang xét

Trong trường hợp n2, xét hàm số u f x y , xác định trong một miền

x

f ta coi hàm số chỉ phụ thuộc vào biến số x, ngược lại khi tính fy' ta coi hàm số chỉ phụ thuộc vào biến số y

Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng

Cho hàm z f x y , biểu diễn bởi mặt S Giả sử f a b ,  nên điểm c

 , , 

P a b c  Cố định S y b

Đường cong C là giao của S và mặt phẳng 1 y b

Phương trình của đường cong C là 1 g x  f x b ,

Hệ số góc của tiếp tuyến T với đường cong 1 C là 1 g a'  f 'x a b,

Đạo hàm riêng theo x của z f x y , là hệ số góc của tiếp tuyến T với 1đường cong C tại 1 P a b c , , 

Hình 1-5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng

Tương tự, đạo hàm riêng theo y của z f x y , là hệ số góc của tiếp tuyến T với đường cong 2 C tại 2 P a b c , , 

Ví dụ 1.11 Cho hàm f x y ,  4 x22 y2 Tìm f ' 1;1x  và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này

Mặt bậc hai f  f x y , được biểu diễn ở hình 1-6 Mặt phẳng y cắt 1ngang đường cong C 1

Hệ số góc của tiếp tuyến với C tại 1 1,1,1 là đạo hàm riêng cần tìm

Biểu diễn hình học của f ' 1,1x  với   2 2

f x y  x  y

Ví dụ 1.12 Tính các đạo hàm riêng của hàm số sau:

1.2.3 Vi phân của hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.5 Cho hàm số z f x y , xác định trong tập mở D Trong Dlấy các điểm x y0, 0, , x y x0 x y, 0  Nếu số gia toàn phần của yhàm f x y tại  , x y f0; 0  có thể biểu diễn dưới dạng

f         A x B y  x  y

trong đó ,A B là những hằng số không phụ thuộc vào   (chỉ phụ thuộc x, yvào ( ,x y ), 0 0)    x y, 0,   x y,  khi 0   và x 0   thì ta y 0nói:

+ Hàm số f x y , có vi phân (hay khả vi) tại x y0, 0

+ Biểu thức A x B y   gọi là vi phân toàn phần của hàm z tại x y0, 0 (ứng với số gia   của đối số ,x y, x y tương ứng), kí hiệu là dz x y 0, 0 hay

 0, 0

df x y

Như vậy dz x y 0, 0   A x B y

Hình 1-7 Ý nghĩa hình học của vi phân

* Hàm số z f x y , gọi là khả vi trên D nếu có khả vi tại mọi điểm của D Định lý 1.5 Cho hàm f x y , xác định trong tập mở D và 2 x y0, 0D

(i) (Điều kiện cần để hàm khả vi) Nếu f x y khả vi tại điểm  , x y 0, 0

thì tồn tại các đạo hàm riêng f 'xx y0, 0, 'f yx y Các hằng số ,0, 0 A B trong định nghĩa vi phân cho bởiA f 'xx y0, 0, B f 'yx y0, 0; nói cách khác,

2 2 2 3

yz

1.2.3 Đạo hàm riêng của hàm hợp

Trước hết ta nêu khái niệm hàm số hợp của hai hàm hai biến số

 

f f

u v là các hàm liên tục trong  D và nếu u v, có các đạo hàm riêng    ; ; ;

   

u u v v

x y x y trong D thì trong D tồn tại các đạo hàm riêng  ;

cho tương ứng mỗi biến điểm x x1, , ,2 x với một giá trị n w g x  1, ,x n

Chú ý 1.3 Sau đây là một số trường hợp đặc biệt của hàm số hợp, ta đưa ra

công thức đạo hàm hàm hợp để sử dụng thuận tiện hơn

a) Khái niệm

Định nghĩa 1.6 Cho trước một hệ thức giữa hai biến x và y :

F x y ,  (1.2) 0Trong đó F U:  là một hàm số xác định trên tập hợp U  2

Nếu tồn tại một hàm số :f I  xác định trên một khoảng I   sao cho ( , ( ))x f x  và ( , ( )) 0U F x f x  với mọi x I thì ta nói hàm số y f x( ) gọi

xác định hàm ẩn b 2 2

a

  là hàm số của x trên a a,  Không phải lúc nào cũng tìm được biểu thức tường minh của hàm ẩn Chẳng hạn, ta không thể giải x qua y hay y qua x từ biểu thức

xy  yx 1 ,x y , 0

mặc dù tồn tại mối quan hệ hàm (ẩn) từ ràng buộc này Khi đó phải xét hàm

số y f x( ) gián tiếp dưới dạng phương trình (1.2)

Ta có định lý sau về sự tồn tại tính liên tục và tính khả vi của các hàm số

ẩn

Định lý 1.7 Cho phương trình

F x y ,  0Trong đó :F U  là một hàm số có các đạo hàm riêng liên tục trên một tập

b) Cách tính đạo hàm hàm ẩn

Giả sử các điều kiện của Định lý 1.5 thoả mãn, khi đó phương trình (1.2) xác định một hàm số ẩn y f x( ), liên tục và có đạo hàm liên tục trong một khoảng nào đó Trong khoảng ấy ta có F x f x ,    Lấy đạo hàm 2 vế 0theo x ta được

xy y

1.2.5 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

a) Đạo hàm riêng cấp cao

Ta biết đạo hàm cấp cao của hàm một biến số được định nghĩa theo quy nạp: đạo hàm cấp k bằng đạo hàm của đạo hàm cấp k Đối với hàm 1

nhiều biến, khái niệm tương ứng là đạo hàm riêng và đạo hàm riêng cấp cao Cho hàm số u f x x 1, , ,2 x có đạo hàm riêng theo các biến n x trong imiền D Khi đó các đạo hàm riêng '

i

x

f cũng là các hàm số của n biến số Đạo hàm riêng theo biến x của đạo hàm riêng cấp một j '

i

x

f được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của hàm số u f x 1, ,x theo biến n x và i x và được ký jhiệu là:

Tương tự ta định nghĩa theo quy nạp các đạo hàm riêng cấp cao hơn

Khi n2, xét hàm hai biến z f x y , xác định trên miền D Ta có 4 đạo hàm riêng cấp hai được ký hiệu như sau:

2

x y xx

Định lý 1.8 (Schwarz) Nếu trong một lân cận của điểm x y tồn tại các 0, 0

đạo hàm riêng f"xy x y f, , "yx x y và các đạo hàm riêng này liên tục tại ,

x y thì chúng bằng nhau tại 0, 0 x y 0, 0

f "xyx y0, 0 f "yxx y0, 0.

Như vậy, với các điều kiện của định lý, đạo hàm riêng hỗn hợp không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Định lý còn đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của hàm n biến số với n 3

Giải Các đạo hàm riêng cấp một của hàm z là:

Vậy d z2 2cosydx2 4 sinx ydxdy x 2cosydy2

1.3 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

1.3.1 Cực trị tự do

Định nghĩa 1.8 Cho hàm số u f x x( , , , )1 2 xn xác định trên một tập mở D

và M0D Ta nói hàm số f x x( , , , )1 2 x đạt cực trị tại điểm n M nếu tồn tại 0một số r0 sao cho với mọi điểm M D thỏa mãn d M M( , 0)r thì hiệu

0

f M f M không đổi dấu

Nếu f M( ) f M( 0) 0 thì M0 là điểm cực tiểu, nếu f M( ) f M( 0) 0 thì

0

M là điểm cực đại Điểm M0 được gọi là cực trị của hàm số

Trong giáo trình này chúng ta chỉ xét quy tắc tìm cực trị của hàm hai biến ( , )

Định lí 1.9 (Điều kiện cần của cực trị) Giả sử hàm số z f x y , đạt cực trị tại M x y , và tại đó tồn tại các đạo hàm riêng 0 0, 0 f    M0 , f M0

Định nghĩa 1.9 Điểm M x y là nghiệm của hệ '0 0, 0 f x  f 'y  gọi là điểm 0tới hạn hay điểm dừng của hàm z f x y ,

Định lý 1.10 (Điều kiện đủ của cực trị) Cho D là một tập mở của  Giả 2

sử hàm hai biến z f x y   , , ,x y  có các đạo hàm riêng cấp hai Dliên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng x y0, 0 Đặt D

z z M z M z M z M   . 1.3.2 Cực trị có điều kiện

Bài toán Tìm cực trị của hàm z f x y , (2.1) với điều kiện g x y ,  (2.2) 0Phương án 1 Từ điều kiện g x y ,  giải ra 0 y y x( ), thế vào hàm đã cho

ta được z f x y x , ( ) Đây là bài toán cực trị của hàm một biến đã biết

Ví dụ 1.22 Tìm cực trị của hàm số z  6x 2xy2 với điều kiện 1

2

Giải Từ điều kiện, ta được 2y2     2 x 0 x 2

là -11, đạt được tại  2;0

Tuy nhiên không phải khi nào chúng ta cũng tìm được hàm y y x( ) từ điều kiện g x y ,  Do đó, không phải khi nào bài toán tìm cực trị có điều 0.kiện cũng đưa về bài toán tìm cực trị tự do Trong trường hợp đó ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange được trình bày dưới đây

Phương án 2 (Phương pháp nhân tử Lagrange)

Xuất phát từ hàm ban đầu và điều kiện cho trước, ta lập hàm Lagrange:

L x y , , f x y , g x y ,  2.3

Trong đó biến  được gọi là nhân tử Lagrange

a) Điều kiện cần của cực trị có điều kiện

Định lý 1.11 Giả sử U là một tập mở trong  , : U2 f  và M x y là 0 0, 0điểm cực trị của hàm f với điều kiện g x y ,  Hơn nữa, giả sử rằng 0

i) Các hàm f x y và  , g x y có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân  ,cận của điểm M x y , 0 0, 0

ii) g'yx y0, 0 0

Khi đó, tồn tại 0 sao cho x y0, ,0 0 là nghiệm của hệ phương trình:

b) Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện

Gọi x y0, ,0 0 là điểm dừng của hàm Lagrange, tức là một nghiệm của hệ phương trình (2.4) Giả sử các hàm số f x y và  , g x y có các đạo hàm  ,riêng liên tục, tại điểm M x y Tính vi phân cấp hai của hàm Lagrange 0 0, 0tại điểm x y0, ,0 0

xy

    , làm tương tự trên, x y2, 2    là điểm cực 2, 2

đại điều kiện và zCD z x y 2, 217

Vậy   là cực tiểu điều kiện,2, 2 zCT  z x y 1, 1  1

* Với   2   , làm tương tự trên, 1 x y2, 2   2,2 là điểm cực đại điều kiện và zCD z x y 2, 2 1

1.3.3 Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng và bị chặn

của D thì điểm trong đó phải là điểm tới hạn Cũng có thể GTLN-GTNN đạt được trên biên Dẫn đến quy tắc sau:

Quy tắc (Tìm GTLN - GTNN trên miền đóng, bị chặn)

 Tìm những điểm tới hạn của hàm f bên trong của D M: 1, ,M k,

 Tìm những điểm tới hạn của hàm f trên biên của D N: 1, ,N l,

 Tính giá trị hàm số tại các điểm này:

 1 ; ;    k ; 1 ; ;  l ,

 Kết luận: GTLN - GTNN của hàm là Max, Min nhận được

Hình 1-9 Các điểm tới hạn bên trong và trên biên của miền đóng, giới nội

Vậy Max z  đạt được tại 4 2,0 

Min z   đạt được tại 4 0; 2  

Ví dụ 1.28 Tìm GTLN - GTNN của hàm số z x 22xy4x8y trong hình chữ nhật giới hạn bởi x0,x1,y0,y 2

Giải Tọa độ điểm dừng thỏa mãn hệ:

x y

+ Tại x , ta có 0 z8 , 0y   Từ đó suy ra 0y 2  z 16

+ Tại x , ta có 1 z10y3, 0  Từ đó suy ra 3y 2   z 17 + Tại y , ta có 0 z x 2 4 , 0x   x 1.

Min z Min 3;0;16 3đạt được tại  1;0

Bài 7 Tính vi phân của các hàm số sau:

1 z x y , sin(x2  y) 2 z x y , ex(sinycos )xy

Bài 8 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: