Giáo trình: Toán cao cấp T2

Do đó rất cần thiết có một bộ giáo trình riêng về Toán cao cấp dành cho khối kỹ thuật của Trường ĐH Hải Phòng để thống nhất nội dung giảng dạy và học tập cho giảng viên và sinh viên, phù

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

GIỚI HẠN - LIÊN TỤC

1.1.1 Tập hợp trong  n a Không gian  n

Xét V là tập hợp các bộ n số thực có thứ tự xx1, ,x n ,x i 

Trong V đưa vào phép cộng và phép nhân với vô hướng: xx1, ,x n ,yy1, ,y n , ,x y i i ,

Mỗi phần tử của V gọi là véc tơ, hoặc gọi là điểm

* Tích vô hướng Tích vô hướng của hai véc tơ x và y là một số thực, ký hiệu là x y (có tài liệu viết là x y, ) xác định bởi:

* Khoảng cách Khoảng cách giữa xx1, ,x n và yy1, ,y n  ký hiệu bởi

  , d x y , xác định theo công thức:

Khoảng cách này còn gọi là khoảng cách Euclide, có các tính chất sau đây:

  ,   ,   , d x y d y z d x z : bất đẳng thức tam giác

Tọa độ điểm M trong  2 được ký hiệu M x y   ,

Trong phần còn lại của chương này, các kết quả được trình bày chủ yếu trong

 Nhiều kết quả tương tự còn đúng cho  n b Phân loại tập hợp trong  n

 Lân cận Cho a n ;  lân cận của điểm a (còn gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính ), kí hiệu U a    là tập hợp xác định bởi:

U a   x d x a  Điểm a được gọi là điểm trong của tập hợp E n nếu E chứa một hình cầu mở nào đó tâm a: U a   E ,  0  Đồng thời, tập E gọi là một lân cận của điểm a

 Tập mở Tập hợp E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong của nó Dễ nhận thấy rằng, tập hợp U a    là tập mở

Điểm biên của một tập hợp E được định nghĩa là điểm x, nếu trong bất kỳ lân cận  nào của x đều có ít nhất một điểm thuộc E và một điểm không thuộc E Tập hợp các điểm biên này được ký hiệu là (E), được gọi là biên của E.

Rõ ràng, điểm trong của E nằm trong E, điểm biên của E có thể thuộc E có thể không thuộc E

 Tập đóng E được gọi là tập đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó:

Hình 1-1 (a) Hình cầu mở, (b) tập mở, (c) hình cầu đóng,

(d) mặt cầu (tập đóng) trong  2

Chẳng hạn, các tập sau đây là đóng (xem hình 1.1):

+ Hình cầu đóng tâm a, bán kính .

+ Mặt cầu đóng tâm a, bán kính .

Ví dụ 1.1 Cho các tập hợp sau đây trong  2 (xem hình 1.2):

D  x y a x b c   y d : tập hợp mở (Không chứa biên),

D  x y a x b c   y d : tập hợp đóng (chứa biên)

Người ta còn dùng ký hiệu tích Descartes để chỉ các hình chữ nhật đó: D 1 được kí hiệu bởi    a b,  c d, , ,D3 bởi     a b ,  c d ,

Hình 1-2 Hình chữ nhật trong  2

1.1.2 Hàm nhiều biến số a Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho D n Ánh xạ

 1, , n     1, , n  x x x  f x  f x x  được gọi là hàm số trên D

D tập xác định, :f hàm số; :x biến số (hay đối số)

Biến số có n thành phần được coi là các biến độc lập, do đó hàm số này thường được gọi là hàm nhiều biến Miền xác định của hàm số này rất quan trọng để hiểu rõ cách thức hoạt động và ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác nhau.

Cho hàm số z f x 1, ,x n  Miền xác định của z là tập hợp các điểm

Ví dụ 1.2 Miền xác định của hàm z 4x 1 2 x 2 2 x 3 2 là hình cầu đóng tâm

1.1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến a Định nghĩa Định nghĩa 1.2 Ta nói dãy điểm M x ,x , ,x k  1 k 2 k n k   có giới hạn là (hội tụ đến) điểm M x ,x , ,x 0  1 0 0 2 n 0  nếu lim  k  k d M ,M = 0

Hình 1-3 Điểm dần đến ( , )x y 0 0 theo những đường khác nhau

M n n n hội tụ về điểm  1,0 khi n   , vì: lim 1; lim1 0.

Cho hàm số f từ D đến R, và một điểm M = (x₀, x₁, , xₙ) trong Rⁿ, với điều kiện tồn tại các dãy điểm {Mₙ} thuộc D hội tụ về điểm M₀ khi n tiến tới vô cùng Định nghĩa 1.3 nêu rõ rằng nếu với mọi dãy số {Mₙ} hội tụ về điểm M₀, thì tồn tại giới hạn.

  thì ta nói hàm số u f x x 1, , ,2 x n  có giới hạn l khi M M 0 Ký hiệu:

Thật vậy, chọn dãy điểm M x yn  n , n   bất kỳ hội tụ đến điểm   1,0 tức là: lim n 1; lim n 0. n x n y

Theo định nghĩa ta có:

  b Tính chất Định lý 1.1 Giả sử f M g M     ; là hai hàm số có giới hạn hữu hạn khi

M A f M f M g M g M nếu M lim  A g M    0 Định lý 1.2 (Nguyên lý kẹp) Giả sử g x y( , ) f x y( , )h x y( , ) với mọi ( , )x y thuộc lân cận của M x y 0 ( , ) 0 0 và

Ví dụ 1.5 Tính các giới hạn sau: a)     , 1,0  2 2  2 2 lim sin 1 x y x y x y

 b) Hàm số xác định trên  2 \ 0,0     Ta có

    x y , lim |  0,0 f x y   , | 0       x y , lim  0,0 f x y   ,  0 c) Xét hai dãy điểm 1 1

 là không tồn tại d) Ta có,      x y ,  0;0 thì

Khi nghiên cứu giới hạn hai biến, cần phân biệt rõ giữa hai giới hạn lặp, đó là giới hạn theo biến x trước và giới hạn theo biến y sau, hoặc ngược lại, khi cả x và y đều tiến đến điểm (0, 0).

Giới hạn đồng thời và giới hạn lặp là hai khái niệm không liên quan đến nhau, có thể tồn tại một giới hạn đồng thời mà không có giới hạn lặp, và ngược lại.

Ví dụ 1.6 Xét giới hạn

Ta có: 0   x y   sin sin 1 1    | x y | 0 x y khi ,x y0

Tuy nhiên từng giới hạn lặp không tồn tại Thật vậy do vai trò của ,x y như nhau nên ta xét giới hạn theo x trước, y sau Với y0 :

1 1 1 1 lim sin sin sin limsin x x

Giới hạn trên không tồn tại, do đó giới hạn lim (x, y) → (0, 0) của hàm (x + y) sin(1/x) sin(1/y) cũng không tồn tại Định nghĩa về giới hạn vô hạn và giới hạn khi (x, y) tiến tới vô hạn tương tự như đối với hàm một biến.

Ví dụ 1.7 Tính giới hạn sau:

1.1.4 Sự liên tục của hàm số

Hàm nhiều biến số liên tục được định nghĩa tương tự như hàm số một biến số Cụ thể, cho hàm số f: D → R xác định trên miền D ⊆ R^n, và M₀ là một điểm thuộc miền D.

Hàm số f M   được gọi là liên tục tại M 0 nếu    

Hàm số f(M) được coi là gián đoạn tại điểm M₀ nếu nó không liên tục tại điểm đó Ngược lại, nếu hàm số f(M) liên tục tại mọi điểm M₀ trong miền D, thì ta nói rằng f(M) liên tục trên miền D.

Từ định lý về giới hạn của các phép toán như tổng, hiệu, tích và thương của hàm nhiều biến, chúng ta có thể chứng minh định lý liên quan đến hàm liên tục Định lý 1.3 khẳng định rằng nếu f và g là hai hàm số của biến điểm n chiều, thì những tính chất liên quan đến sự liên tục của chúng sẽ được xác lập.

M x x x liên tục tại điểm M 0 Ta có:

 Các hàm số f M    g M   và f M g M     cũng liên tục tại điểm

  f M g M cũng liên tục tại điểm M 0

Các định lý về hàm số một biến liên tục trên đoạn [a, b] cũng có thể được mở rộng cho hàm nhiều biến liên tục trên miền D Định lý 1.4 nêu rằng nếu hàm số f(M) của biến điểm n chiều M(x₁, x₂, , xₙ) được xác định và liên tục trên miền D, thì các tính chất liên quan đến sự liên tục vẫn giữ nguyên.

 Hàm số f M   bị chặn trên miền D, nghĩa là tồn tại một hằng số

 Hàm số f M   đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền D

 Giả sử A B, là hai điểm thuộc miền D sao cho f A f B      0 thì tồn tại một điểm C D sao cho f C    0

Nói riêng các định nghĩa và định lý nói trên đều đúng cho trường hợp

Ví dụ 1.8 Xét tính liên tục của hàm số sau trên  2

Giải: Rõ ràng hàm liên tục tại mỗi điểm x y0, 0  0,0 (vì là thương hai hàm liên tục, mẫu khác 0)

Tại x y0, 0  0,0 , theo bất đẳng thức Cauchy, ta có

 Trường hợp 1:  1, khi đó do

  nên theo nguyên lý kẹp, thì

 Trường hợp 2:  1 Xét     x y ,  0,0 theo đường y x

    không dần tới 0 khi x0 Vậy

Ví dụ 1.9 Xét tính liên tục của hàm số sau trên  2

 Do đó, f x y   , liên tục trên

Ta có, x 2  y 2 2 xy, xy x  2  y 2   xy x  2  y 2 

Vậy hàm số liên tục tại  0,0 do đó nó liên tục trên  2

ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN

1.2.1 Số gia riêng và số gia toàn phần

Hàm nhiều biến u = f(x₁, x₂, , xₙ) có thể được coi là hàm số của một biến khi các biến còn lại được cố định Từ đó, ta có thể định nghĩa số gia riêng của hàm nhiều biến đối với một biến số cụ thể Đặc biệt, chúng ta sẽ xem xét trường hợp với n = 2.

Xét hàm số z  f x y   , xác định trên miền D và M x y0  0, 0  là một điểm thuộc miền D

Cố định giá trị y  y 0 và cho x thay đổi một lượng x thì giá trị của hàm số thay đổi một lượng là:

Ta gọi  x z là số gia riêng theo biến x của hàm số z  f x y   ,

Tương tự số gia riêng theo biến y của hàm số z  f x y   , tại điểm

Số gia toàn phần thể hiện sự biến đổi giá trị của hàm số khi cả hai biến x và y đồng thời thay đổi Khi x thay đổi một lượng x và y thay đổi một lượng y, số gia toàn phần của hàm số được xác định.

Ví dụ 1.10 Cho hàm số: z  f x y   ,  xy

Các số gia riêng theo biến x và biến y tại điểm x y0, 0  là:

Số gia toàn phần của hàm số là:

Tổng quát, xét hàm số của biến điểm n chiều u f x x 1, , ,2 x n  Số gia riêng theo biến , 1x i  i n, tại điểm M x x 0  1 0 , , , 2 0 x n 0  là:

Số gia toàn phần của hàm số tại điểm đó là:

Hình 1-4 Cách lập số gia riêng của hàm hai biến số

1.2.2 Đạo hàm riêng Định nghĩa 1.4 Đạo hàm riêng của hàm n biến u f x x 1, , ,2 x n  theo biến

Giới hạn hữu hạn của tỉ số giữa số gia riêng theo biến x_i của hàm số và số gia của biến x_i khi số gia này tiến tới 0 được ký hiệu là lim0.

Đạo hàm riêng là quá trình tính đạo hàm của một hàm nhiều biến khi giữ cố định các biến khác Khi thực hiện đạo hàm riêng theo một biến cụ thể, các biến còn lại được coi là hằng số để tính toán chính xác.

Trong trường hợp n2, xét hàm số u  f x y   , xác định trong một miền

D M x y0  0; 0  là một điểm thuộc D Đạo hàm riêng của f đối biến x và biến y tại điểm M 0 là:

Để tính đạo hàm riêng tại một điểm, ta sử dụng công thức đã đề cập Đối với hàm số được cho bởi công thức, phương pháp tính toán sẽ được áp dụng như đã nêu.

Đạo hàm riêng của hàm số phụ thuộc vào biến số x được ký hiệu là f'x, trong khi khi tính đạo hàm riêng theo biến y, ký hiệu là f'y Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng thể hiện độ dốc của mặt phẳng tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị của hàm số, phản ánh sự thay đổi của hàm số khi chỉ thay đổi một biến trong khi giữ biến còn lại cố định.

Cho hàm z  f x y   , biểu diễn bởi mặt S Giả sử f a b   ,  c nên điểm

P a b c S Cố định y b Đường cong C 1 là giao của S và mặt phẳng y b

Phương trình của đường cong C 1 là g x    f x b   ,

Hệ số góc của tiếp tuyến T 1 với đường cong C 1 là g a'   f ' x  a b, Đạo hàm riêng theo x của z  f x y   , là hệ số góc của tiếp tuyến T 1 với đường cong C 1 tại P a b c  , , 

Hình 1-5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng

Tương tự, đạo hàm riêng theo y của z  f x y   , là hệ số góc của tiếp tuyến T 2 với đường cong C 2 tại P a b c  , , 

Ví dụ 1.11 Cho hàm f x y   ,   4 x 2  2 y 2 Tìm f ' 1;1 x   và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này

Mặt bậc hai f  f x y   , được biểu diễn ở hình 1-6 Mặt phẳng y1 cắt ngang đường cong C 1

Hệ số góc của tiếp tuyến với C 1 tại  1,1,1  là đạo hàm riêng cần tìm

Biểu diễn hình học của f ' 1,1 x   với f x y   ,   4 x 2  2 y 2

Hình 1-6 Biểu diễn hình học của f x ' (1,1)

Ví dụ 1.12 Tính các đạo hàm riêng của hàm số sau: a) z x  y ,  x  0  , b) z arctan , x  y 0 

Vì lí do đối xứng giữa x và y, ta có

1.2.3 Vi phân của hàm nhiều biến Định nghĩa 1.5 Cho hàm số z  f x y   , xác định trong tập mở D Trong D lấy các điểm x y0, 0 , , x y x0 x y, 0 y Nếu số gia toàn phần của hàm f x y   , tại x y0; 0  f có thể biểu diễn dưới dạng

16 trong đó ,A B là những hằng số không phụ thuộc vào  x, y(chỉ phụ thuộc vào ( ,x y 0 0 )),      x y ,  0,      x y ,  0 khi   x 0 và   y 0 thì ta nói:

+ Hàm số f x y   , có vi phân (hay khả vi) tại x y0, 0 

+ Biểu thức A x B y   gọi là vi phân toàn phần của hàm z tại x y0, 0 

(ứng với số gia  x y, của đối số ,x y tương ứng), kí hiệu là dz x y 0, 0  hay

Hình 1-7 Ý nghĩa hình học của vi phân

* Hàm số z  f x y   , gọi là khả vi trên D nếu có khả vi tại mọi điểm của D Định lý 1.5 Cho hàm f x y   , xác định trong tập mở D 2 và x y0, 0 D

Để hàm f(x, y) khả vi tại điểm (x₀, y₀), cần có sự tồn tại của các đạo hàm riêng f'x(x₀, y₀) và f'y(x₀, y₀) Các hằng số A và B trong định nghĩa vi phân được xác định bởi A = f'x(x₀, y₀) và B = f'y(x₀, y₀).

(ii) (Điều kiện đủ để hàm khả vi) Nếu f x y   , có các đạo hàm riêng liên tục tại lân cận của điểm x y0, 0  thì khả vi tại đó và df x y 0, 0  f ' x x y0, 0  x f ' y x y0, 0 y.

(ii) Với  x y, đủ nhỏ thì,

              Áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến, dẫn đến

Chú ý 1.2 Giống như trường hợp hàm một biến, nếu ,x y là biến độc lập thì, dx x dy;  y.

Từ đó, df x y 0, 0  f ' x x y dx0, 0   f ' y x y dy0, 0 

Hệ quả 1.1 Nếu fx ' ,  x y f, y ' ,  x y liên tục trong tập mở D thì df x y   , f x y   , dx f x y   , dy x y

Ví dụ 1.13 Xét sự khả vi và tính vi phân dz x y   , (nếu có) của hàm số sau: z x 4 3xy 3 y 2

  , là những hàm liên tục trên  2 nên hàm số khả vi trên  2 và dz(4x 3 3 )y dx 3 (9xy 2 2 ) y dy

*Ứng dụng vi phân để tính gần đúng

18 từ định nghĩa vi phân, ta có

Dẫn đến công thức xấp xỉ

Khi áp dụng công thức tính giá trị xấp xỉ của biểu thức A nào đó chúng ta phải:

+ Xác định điểm x y0, 0 , ở đó dễ tính f x y 0, 0 , các đạo hàm riêng

+ Xác định các số gia  x y, , các số gia này phải đủ bé

Ví dụ 1.14 Tính xấp xỉ a) A 3 (1,02) 2 (0,05) 2 b) B  ln  3 1,03  4 0,98 -1 

Giải a) Xét hàm số z 3 x 2  y 2 tại lân cận điểm (1,0)

Xét hàm số z  ln  3 x  4 y  1  Ta có,

1.2.3 Đạo hàm riêng của hàm hợp

Trước hết ta nêu khái niệm hàm số hợp của hai hàm hai biến số

Cho D là một tập hợp trong  2 Xét ánh xạ

: D 2 ;  x y , u x y v x y    , ; ,  và hàm số hai biến f :    D ; f u v   , 

Xét hàm số F  f :D được xác định như sau:

F x y D  u x y v x y  D  f u x y v x y F x y Hàm số F được xác định như trên được gọi là hàm số hợp của hàm f và  Định lý 1.6 Nếu hàm số f có các đạo hàm riêng  ;

  f f u v là các hàm liên tục trong    D và nếu u v , có các đạo hàm riêng    ; ; ;

    u u v v x y x y trong D thì trong D tồn tại các đạo hàm riêng  ;

Tổng quát giả sử w=f u u 1, , ,2 u m , w D:  m  n , và mỗi biến số ui ; 1   i m lại là hàm số của n biến u i u x x i  1, , ,2 x n  Xét hàm số:

20 cho tương ứng mỗi biến điểm x x1, , ,2 x n  với một giá trị w g x  1, ,x n  như trên

Quy tắc này cho ta hàm số hợp của các hàm số nhiều biến w=f u 1, ,u m  và

 1, , ,2 ; 1 i i n u u x x x  i m Đạo hàm riêng của hàm số w theo biến x i được tính theo công thức:

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày về công thức đạo hàm của hàm số hợp, đặc biệt là trong trường hợp z = f(u(x, y)) Việc nắm vững công thức này sẽ giúp bạn áp dụng một cách thuận tiện hơn trong các bài toán liên quan đến hàm hợp.

    ii) Trường hợp z  f x y y   , ,  y x     z f x y x  ,   (hàm một biến) thì dz f f dy. dx x y dt

  iii) Trường hợp z  f x y x x t y ,  ,    ,  y t  z f x t y t     ,  thì dz f dx f dy. dt x dt y dt

Ví dụ 1.15 Tính đạo hàm của hàm số hợp a) z  ln  u 2  v 2  với u xy v  ;  x y b) z  f x y ( , )  e xy  x y y 2 ,  ln  x  1  x 2  c) z x 1 y 2 , x t e , 2 t y e  t

1 xy xy dz f f dy ye xy xe x dx x y dx x

1.2.4 Đạo hàm hàm số ẩn a) Khái niệm Định nghĩa 1.6 Cho trước một hệ thức giữa hai biến x và y:

F x y   ,  0 (1.2) Trong đó F U:  là một hàm số xác định trên tập hợp U  2

Nếu hàm số \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) được xác định trên khoảng \( I \subset \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( (x, f(x)) \in U \) cùng với \( F(x, f(x)) = 0 \) cho mọi \( x \in I \), thì hàm số \( y = f(x) \) được gọi là hàm số ẩn xác định bởi phương trình (1.2).

 a  là hàm số của x trên   a a , 

Không phải lúc nào cũng có thể tìm ra biểu thức tường minh cho hàm ẩn Ví dụ, từ biểu thức xy = yx + 1 (với xy > 0), chúng ta không thể giải x qua y hay y qua x, mặc dù vẫn có mối quan hệ hàm ẩn giữa chúng Trong trường hợp này, cần xem xét hàm số y = f(x) một cách gián tiếp thông qua phương trình (1.2).

Ta có định lý sau về sự tồn tại tính liên tục và tính khả vi của các hàm số ẩn Định lý 1.7 Cho phương trình

Hàm số F(x, y) = 0 có các đạo hàm riêng liên tục trên một tập mở U ⊂ ℝ² Giả sử (x₀, y₀) ∈ U và F(x₀, y₀) = 0 Nếu F_y(x₀, y₀) ≠ 0, thì phương trình xác định một hàm số ẩn y = f(x) duy nhất trong lân cận của x₀, với giá trị y = y₀ khi x = x₀ Hàm số này liên tục và có đạo hàm liên tục trong lân cận đó Cách tính đạo hàm của hàm ẩn cũng được trình bày trong bài viết.

Giả sử các điều kiện của Định lý 1.5 được thỏa mãn, phương trình (1.2) xác định một hàm số ẩn y = f(x), liên tục và có đạo hàm liên tục trong một khoảng nào đó Trong khoảng này, ta có F(x, f(x)) = 0 Bằng cách lấy đạo hàm hai vế theo x, ta sẽ thu được kết quả cần thiết.

Vì F y ' 0, ta có x ' ' y dy F dx  F

Ví dụ 1.17 Tìm y biết ' x y  f x   là hàm ẩn xác định từ phương trình:

' 2 xy xy xy x y xy x xy y

1.2.5 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao a) Đạo hàm riêng cấp cao

Đạo hàm cấp cao của hàm một biến số được định nghĩa theo quy nạp, trong đó đạo hàm cấp k là đạo hàm của đạo hàm cấp (k - 1) Đối với hàm nhiều biến, khái niệm tương ứng là đạo hàm riêng và đạo hàm riêng cấp cao.

Cho hàm số \( u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) có đạo hàm riêng theo các biến \( x_i \) trong miền \( D \) Khi đó, các đạo hàm riêng \( f'_{x_i} \) cũng là các hàm số của \( n \) biến số Đạo hàm riêng theo biến \( x_j \) của đạo hàm riêng cấp một \( f'_{x_i} \) được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của hàm số \( u = f(x_1, \ldots, x_n) \) theo biến \( x_i \) và \( x_j \), và được ký hiệu là: \( f''_{x_ix_j} \).

    i j i j x x x x i j i j u f u f x x x x Tương tự ta định nghĩa theo quy nạp các đạo hàm riêng cấp cao hơn

Khi n2, xét hàm hai biến z  f x y   , xác định trên miền D Ta có 4 đạo hàm riêng cấp hai được ký hiệu như sau:

Ví dụ 1.18 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số a) z x 4 x y 3 2 x 2  y 2 b) z  1 3  x 2  y 2  3

' 12 - 6 2, " -6 , " -6 , " -2 x y xx xy yx yy z x x y x z x y z x xy z x y z x y z x

'' , '' , '' 2 x y xx xy yx yy z x y x x x y z y x y x x y z x y x y x y xy xy x y z z z x y x y x y

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

1.3.1 Cực trị tự do Định nghĩa 1.8 Cho hàm số u f x x( , , , ) 1 2 x n xác định trên một tập mở D và M 0 D Ta nói hàm số f x x( , , , ) 1 2 x n đạt cực trị tại điểm M 0 nếu tồn tại một số r0 sao cho với mọi điểm M D thỏa mãn d M M( , 0 )r thì hiệu ( ) ( 0) f M f M không đổi dấu

Nếu f M( ) f M( 0 ) 0 thì M 0 là điểm cực tiểu, nếu f M( ) f M( 0 ) 0 thì

M0 là điểm cực đại Điểm M 0 được gọi là cực trị của hàm số

Trong giáo trình này chúng ta chỉ xét quy tắc tìm cực trị của hàm hai biến ( , ). z f x y

Hình 1-8 Cực trị của hàm 2 biến

Ví dụ 1.20 Xét cực trị hàm số z x 2 4x y 2 2y10

Ta có: z   x  2   2  y  1  2   5 5 Dấu bằng đạt được   x 2,y1 Vậy   2;1  là điểm cực tiểu của hàm số đã cho, zCT  z 2;1 5

26 Định lí 1.9 (Điều kiện cần của cực trị) Giả sử hàm số z  f x y   , đạt cực trị tại M x y0  0, 0 , và tại đó tồn tại các đạo hàm riêng f     0 , f 0

Điều ngược lại không đúng khi tại điểm \( (x, y_0) = (0, 0) \), cả hai đạo hàm riêng \( f'_x = f'_y = 0 \) nhưng hàm số không đạt cực trị tại \( M(0, 0) \) Điểm \( M(0, 0) \) được gọi là nghiệm của hệ \( f'_x = f'_y = 0 \), hay còn gọi là điểm tới hạn của hàm \( z = f(x, y) \) Định lý 1.10 nêu rõ điều kiện đủ cho cực trị: Cho \( D \) là một tập mở trong \( \mathbb{R}^2 \) Nếu hàm hai biến \( z = f(x, y) \) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng \( (x, y_0) \in D \), thì có thể xác định điều kiện cực trị tại điểm đó.

Khi phân tích hàm số, có bốn trường hợp cần lưu ý: i) Nếu Δ < 0 và A > 0, thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm M0 ii) Nếu Δ < 0 và A < 0, thì hàm số f đạt cực đại tại điểm M0 iii) Nếu Δ > 0, thì M0 không phải là điểm cực trị iv) Nếu Δ = 0, chưa thể kết luận M0 có phải là điểm cực trị của hàm số hay không.

Ví dụ 1.21 Tìm cực trị của các hàm số sau a) z x 3 y 3 3xy, b) z2x 4  y 4 x 2 2 y 2

Giải a) Tọa độ điểm dừng thỏa mãn hệ

+ Tại M 0 :A0;B 3;C    0 9 0 : Không đạt cực trị

Vậy M 1 là điểm cực tiểu của z, zCT z  1;1  1 b) Ta có z' x 8x 3 2x z' y 4y 3 4 y

Cho z' x z' y 0 ta thu được 9 điểm dừng sau:

Tính các đạo hàm riêng cấp hai

    8 0 nên M 0 là điểm cực đại, z CD z M  0 0. Tại các điểm M M 1 , 2 , ta có A 2;B0;C 8.

  16 0 nên M 1 , M 2 không là điểm cực trị

Tại các điểm M M 3 , 6 , ta có A4; B0; C 4.

  16 0 nên M M 3 , 6 không là điểm cực trị

Tại các điểm M M M M 4 , 5 , 7 , 8 , ta có A 4;B0;C 8

    32 0 nên M M M M 4 , 5 , 7 , 8 là các điểm cực tiểu

1.3.2 Cực trị có điều kiện

Bài toán Tìm cực trị của hàm z  f x y   , (2.1) với điều kiện g x y   ,  0 (2.2)

Phương án 1 Từ điều kiện g x y   ,  0 giải ra y  y x ( ), thế vào hàm đã cho ta được z  f x y x  , ( )  Đây là bài toán cực trị của hàm một biến đã biết

Ví dụ 1.22 Tìm cực trị của hàm số z  6x 2xy 2 1 với điều kiện x2y 2 2

Giải Từ điều kiện, ta được 2y 2     2 x 0 x 2

Ta có bảng biến thiên x  -2 2 ' z + 0 - z

Như vậy cực đại điều kiện là 5, đạt được tại    2; 2 , cực tiểu điều kiện là -11, đạt được tại   2;0

Không phải lúc nào cũng có thể xác định hàm y = y(x) từ điều kiện g(x, y) = 0 Vì vậy, bài toán tìm cực trị với điều kiện không nhất thiết phải chuyển thành bài toán tìm cực trị tự do Trong những trường hợp này, phương pháp nhân tử Lagrange sẽ được áp dụng như sẽ được trình bày dưới đây.

Phương án 2 (Phương pháp nhân tử Lagrange)

Xuất phát từ hàm ban đầu và điều kiện cho trước, ta lập hàm Lagrange:

Biến được gọi là nhân tử Lagrange trong bài toán tối ưu hóa có điều kiện Theo định lý 1.11, nếu U là một tập mở trong ² và M(x₀, y₀) là điểm cực trị của hàm f với điều kiện g(x, y) = 0, thì cần có các điều kiện sau: (i) Các hàm f(x, y) và g(x, y) có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của điểm M(x₀, y₀), và (ii) g'(x₀, y₀) ≠ 0.

Khi đó, tồn tại  0 sao cho x y0, ,0 0  là nghiệm của hệ phương trình:

Định lý trên chỉ ra rằng để hàm số (2.1) với ràng buộc (2.2) đạt cực trị, cần phải thỏa mãn điều kiện cần của hàm Lagrange (2.3) đạt cực trị tự do Ngoài ra, còn có điều kiện đủ để xác định cực trị có điều kiện.

Điểm dừng của hàm Lagrange được ký hiệu là \( (x, y_0, 0, \lambda_0) \), là nghiệm của hệ phương trình (2.4) Giả sử các hàm số \( f(x, y) \) và \( g(x, y) \) có đạo hàm riêng liên tục tại điểm \( M(x_0, y_0) \) Bài toán yêu cầu tính vi phân cấp hai của hàm Lagrange tại điểm \( (x, y_0, 0, \lambda_0) \).

(2.5) Trong đó ,dx dy liên hệ bởi biểu thức g( , ) 0 0 g( , ) 0 0 0. x y dx x y dy x y

Thay vào (2.5) ta được d L x y 2  0, ,0 0 G x y 0, ,0 0 dx 2 Định lý 1.12 i) Nếu G x y 0, ,0 0 0 thì M x y 0 ( , ) 0 0 là điểm cực tiểu có điều kiện ii) Nếu G x y 0, ,0 0 0 thì M x y 0 ( , ) 0 0 là điểm cực đại có điều kiện

Ví dụ 1.23 Tìm cực trị của hàm số sau: z x y  , với điều kiện x 2  y 2 1;

       điểm dừng tương ứng là

       , khi đó dx dy , liên hệ bởi hệ thức

, , 2 2 2 0. dx dy dy dx d L x y  dx dx dx

  là cực tiểu điều kiện,z CT z x y 1, 1   2.

   là điểm cực đại điều kiện và z C D z x y 2, 2  2

Ví dụ 1.24 Tìm cực trị của hàm số sau: z x 2  y 2 2 - 2x y1, với điều kiện x 2  y 2 8;Giải Đặt L x y  , ,    x 2  y 2  2 - 2 x y   1   x 2  y 2  8 

      điểm dừng tương ứng là

     , khi đó ,dx dy liên hệ bởi hệ thức

, , 2 0. dx dy dy dx d L x y  dx dx dx

Vậy  2,2 là cực tiểu điều kiện,z CT z x y 1, 1 1.

   2, làm tương tự trên, x y2, 2    2, 2 là điểm cực đại điều kiện và z C D z x y 2, 2 17

Ví dụ 1.25 Tìm cực trị của hàm số sau:

     điểm dừng tương ứng là

* Với   11,x y1, 1    2, 2, khi đó ,dx dy liên hệ bởi hệ thức

8 8 4 dx dy dy dx d L x y  dx dx dx

Vậy    2, 2  là cực tiểu điều kiện,z CT  z x y 1, 1  1.

* Với   2  1, làm tương tự trên, x y2, 2    2,2 là điểm cực đại điều kiện và z C D z x y 2, 2 1

1.3.3 Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng và bị chặn Định nghĩa 1.11 Cho hàm số f x y     , , , x y   D  2 , M 0 D

Nếu f M  f M  0 , M D, thì giá trị A f M  0 được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm f trên D

Nếu f M  f M  0 , M D, thì giá trị A f M  0 được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm f trên D

Chúng ta biết rằng, nếu hàm f liên tục trên miền đóng, bị chặn D thì đạt GTLN - GTNN trên đó Vậy nếu GTLN (GTNN) đạt tại một điểm trong

33 của D thì điểm trong đó phải là điểm tới hạn Cũng có thể GTLN-GTNN đạt được trên biên Dẫn đến quy tắc sau:

Quy tắc (Tìm GTLN - GTNN trên miền đóng, bị chặn)

 Tìm những điểm tới hạn của hàm f bên trong của D M: 1 , ,M k ,

 Tìm những điểm tới hạn của hàm f trên biên của D N: 1 , ,N l ,

 Tính giá trị hàm số tại các điểm này:

 Kết luận: GTLN - GTNN của hàm là Max, Min nhận được

Hình 1-9 Các điểm tới hạn bên trong và trên biên của miền đóng, giới nội

Ví dụ 1.26 Tìm GTLN - GTNN của hàm số

Giải Tọa độ điểm dừng thỏa mãn hệ:

Giải hệ trên, ta được 4 điểm dừng: 1 2   3   4  

Tuy nhiên chỉ có điểm 1 2 2

2 2 4 x z     z  z  Vai trò ,x y như nhau, so sánh mọi giá trị đã tính, ta thấy:

Ví dụ 1.27 Tìm GTLN - GTNN của hàm số z x 2  y 2 trong hình tròn x 2  y 2 4.

Giải Tọa độ điểm dừng thỏa mãn hệ:

Xét cực trị trên biên: x 2  y 2 4 suy ra y 2  4 x 2

Vậy Max z 4 đạt được tại   2,0 

Ví dụ 1.28 Tìm GTLN - GTNN của hàm số z x 2 2xy4x8y trong hình chữ nhật giới hạn bởi x0,x1,y0,y2.

Giải Tọa độ điểm dừng thỏa mãn hệ:

 Điểm dừng M0 4;6 không thuộc hình chữ nhật Do đó, ta chỉ cần tìm cực trị trên biên

+ Tại x0, ta có z8 , 0y  y 2 Từ đó suy ra 0 z 16.

+ Tại x1, ta có z10y3, 0 y 2 Từ đó suy ra   3 z 17

+ Tại y2, ta có z x 2 16, 0 x 1 Từ đó suy ra16 z 17 Vậy Max z Max   0,16,17   17 đạt được tại   1;2

Min z Min    3;0;16    3đạt được tại   1;0

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Bài 1 Tính giới hạn (nếu có) của các hàm số sau khi ( , )x y (0,0):

 Bài 2 Tính giới hạn (nếu có) của các hàm số sau khi ( , )x y   ( , ):

2 (x 2  y e 2 )   ( x y ) Bài 3 Xét tính liên tục của các hàm số sau:

Bài 4 Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau:

Bài 5 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau:

Bài 6 Tìm cực trị của các hàm số sau:

Bài 7 Tính vi phân của các hàm số sau:

Bài 8 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: z e  (x 2  y ) 2 (2 x 2 3 y ) 2 trong miền D: x 2  y 2 1

Bài 9 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số z 1 xy x y  trong miền đóng D giới hạn bởi các đường y x y 2 ; 9

Bài 10 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:z x 2 2xy4x8y1 trong miền D giới hạn bởi các đường thẳng: x = 0, y = 0, x = 2, y = 3

Bài 11 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: z x y  2  4   x y  trong miền D: x0;y0;x y 8.

TÍCH PHÂN BỘI

TÍCH PHÂN HAI LỚP

2.1.1 Khái niệm và tính chất

Bài toán thể tích của vật thể hình trụ

Giả sử z = f(x, y) là một hàm số xác định, liên tục và không âm trong miền D đóng, bị chặn, với biên L trong mặt phẳng Oxy Chúng ta cần tính thể tích của vật thể hình trụ được giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt z = f(x, y) và mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, tựa trên biên L.

Chia miền D thành n mảnh nhỏ, với tên và diện tích lần lượt là S 1 , S 2 , , S n Mỗi mảnh nhỏ được sử dụng làm đáy để dựng vật thể hình trụ, có mặt xung quanh với đường sinh song song với trục Oz, và phía trên được giới hạn bởi mặt cong z = f(x, y) Qua đó, vật thể hình trụ được chia thành n vật thể hình trụ nhỏ.

Trong mỗi mảnh S i i , 1, 2, ,n ta lấy một điểm tùy ý M x y i ( , ) i i

Tích ( , )f x y i i S i là thể tích hình trụ thẳng có đáy là S i và chiều cao là ( , ) i i f x y , nó khác rất ít thể tích V i của vật thể hình trụ nhỏ thứ i nếu mảnh y z x o z=f(x,y)

 có đường kính khá nhỏ, vì hàm số ( , )f x y liên tục Vậy có thể xem thể tích Vcủa vật thể hình trụ xấp xỉ bằng

Phép tính gần đúng sẽ đạt độ chính xác cao hơn khi số lượng n tăng và các ∆Si có đường kính nhỏ hơn Đường kính của một miền bị chặn được xác định là khoảng cách lớn nhất giữa các điểm trên biên của miền đó.

Thể tích V của vật thể hình trụ có thể được xác định bằng giới hạn của tổng khi n tiến tới vô cực, với điều kiện rằng đường kính lớn nhất trong các đường kính d_i của các mảnh ΔS_i dần tiến tới 0 Giới hạn này không phụ thuộc vào cách chia miền.

D thành các mảnh nhỏ cũng như cách chọn điểm M i trong S i max 0 1 lim ( , ) . i n i i i d i

Tích phân hai lớp là một khái niệm quan trọng trong toán học, được định nghĩa như sau: cho hàm f(x, y) xác định trong miền đóng và bị chặn D Miền D được chia thành n mảnh nhỏ, với tên và diện tích của từng mảnh lần lượt là ΔS₁, ΔS₂, , ΔSₙ Trong mỗi mảnh ΔSᵢ, ta chọn một điểm tùy ý M(xᵢ, yᵢ) và lập tổng cho các mảnh này.

Tích phân hai lớp của hàm số ( , )f x y trong miền D được định nghĩa là giới hạn của tổng tích phân I n khi n tiến tới vô hạn, với điều kiện rằng kích thước phần tử maxd i tiến tới 0 Nếu giới hạn này không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm M i trong mỗi phần tử S i, thì nó được ký hiệu là ( , ).

( , ) f x y được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D là miền lấy tích phân, dS là yếu tố diện tích, x y, là biến lấy tích phân

Nếu tồn tại tích phân (2.1) thì hàm ( , )f x y được gọi là khả tích trong miền D

Nếu ( , )f x y liên tục trong miền D thì ( , )

 tồn tại, tức là ( , )f x y khả tích trong miền D

Các tính chất của tích phân hai lớp

Giả sử D được chia thành hai miền D 1 và D 2 không dẫm lên nhau Khi đó f khả tích trên D 1 và D 2 , hơn nữa

Giả sử ( , ), ( , )f x y g x y khả tích trên D; ,a b

Khi đó af x y( , )bg x y( , ) khả tích trên D và

D D D af x y bg x y dxdy a f x y dxdy b g x y dxdy

Nếu ( , ), ( , )f x y g x y khả tích trên D; f x y( , )g x y( , ) trên D thì

  d) Nếu m  f x y ( , )  M ,    x y ,  D , m M là hằng số, thì

D mS  f x y dxdy MS ( Slà diện tích miền D) e) Giả sử ( , )f x y khả tích trên D thì ( , )f x y cũng khả tích trên D và

  f) Định lí giá trị trung bình Định lý 2.1 Giả sử D là miền đóng, bị chặn và liên thông; ( , )f x y liên tục trong D Khi đó tồn tại   a b ,  D sao cho ( , ) ( , ) ( ),

Giả sử ( , )f x y liên tục trong D Khi đó ( , )f x y đạt sup, inf trong D.Tức là

Ta nối (x1, y1) với (x2 , y2) bởi một đường gấp khúc nằm hoàn toàn trong D

Hàm ( , )f x y liên tục dọc theo đường gấp khúc, nên nó nhận mọi giá trị trung gian giữa m và M

    S D  Định nghĩa 2.2 Giả sử ( , )f x y là hàm bị chặn trên một miền đóng và bị chặn D trong mặt phẳng Oxy với phép phân hoạch    D Đặt

    là dao độ của f trên D k

I * inf{S ( )} *  là tích phân trên Darboux, kí hiệu * ( , )

I   là tích phân dưới Darboux, kí hiệu * ( , )

Nếu I * = I* thì ( , )f x y khả tích trên D và tích phân của nó là

Ta có điều kiện khả tích sau : Điều kiện khả tích Điều kiện cần và đủ để hàm số ( , )f x y khả tích trên miền

Hệ quả 2.1 Nếu hàm số ( , )f x y liên tục trong một miền bị đóng và bị chặn

D thì nó khả tích trong miền đó

2.1.2 Cách tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Đề các a Miền D là hình chữ nhật

Giả sử phải tính tích phân ( , ) ,

 trong đó D là hình chữ nhật

; a x b c x d    và hàm ( , )f x y liên tục trong D Định lí 2.2.(Định lí Fubini trên hình chữ nhật)

Cho hình chữ nhật D[ , ] [ , ]a b  c d Giả sử :f D khả tích trên D, sao cho [ , ], ( ) ( , ) d c x a b I x f x y dy

Khi đó ( )I x khả tích trên   a b , và ( , ) b ( )

Thực hiện phép phân hoạch  chia D thành các hình chữ nhật P i k , bởi các điểm chia: x 0   a x 1 x 2    x i x i  1   x n b, y 0  c y 1  y 2   y i y i  1   y n d.

Ta có các hình chữ nhật :

Do f khả tích trên D, nên: * *

   Định lí được chứng minh

Trong trường hợp D là hình chữ nhật D = [a, b] × [c, d] và hàm f(x, y) khả tích trên D, thỏa mãn các điều kiện của định lý Fubini, ta có thể tính tích phân theo hai cách khác nhau.

D a c a c f x y dxdy dx f x y dy  f x y dy dx

D c a c a f x y dxdy dy f x y dx  f x y dx dy

 , trong đó D là miền: 0 x 1,0 y 1. Giải Ta có

 , trong đó D là miền: 1  x 2,0 y 1. Giải Ta có I

 e = 3(e1) b) Miền D là miền bất kỳ Định lí 2.3 (Định lí Fubini trên tập hợp bị chặn) a) Giả sử ( , )f x y liên tục trên D, trong đó

   (2.2) b) Giả sử ( , )f x y liên tục trên D, trong đó

Chứng minh a)Vì  1 ( ), ( )x  2 x liên tục trên đoạn   a b , , nên bị chặn trên   a b , , ta giả sử

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x x x d d c c x x x f x y dy f x y dy f x y dy f x y dy f x y dy

   b) Chứng minh tương tự với miền D là phần gạch chéo (hình 2-3 )

   Định lí được chứng minh

Giả sử mỗi đường thẳng song song với Oxvà Oy đều cắt biên của miền

D nhiều nhất tại hai điểm Dựng hình chữ nhật a x b c x d  ;   mà các cạnh của nó tiếp xúc với biên của D tại các điểm M N P Q, , , Các điểm x y o c x = x(y)

M Pchia biên của D thành hai cung MNP và cung MQP có các phương trình theo thứ tự là: y y x y 1 ( ),  y x 2 ( )

Các điểm N Q, chia biên của miền D thành hai cung NMQ và cung

NPQ có các phương trình theo thứ tự là x x y x x y 1 ( ),  2 ( ) ( hình 2-4)

Nếu ( , )f x y liên tục trên D, ta có thể tính ( , )

    Đó là công thức đổi thứ tự lấy tích phân.

 , D là miền giới hạn bởi Ox Oy x y, ,  1 Giải Ta có D: 0 x 1; 0  y 1 x;

D xy x x xydxdy dx xydy dx x dx

I  x y dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi các đường: 1

Giải Miền D được xác định bởi 1

I  ydxdy, trong đó Dlà miền giới hạn bởi các đường

Giải Trước hết ta tìm giao điểm của hai đường y x 4,y 2 2x

Miền D được xác định bởi (hình 2-6)

 , trong đó Dlà miền giới hạn bởi các đường y x y x ,  1,y1,y3. x y o

Giải Dựa vào hình 2-7 Ta có miền D được xác định bởi:

2.1.3 Phép đổi biến trong tích phân hai lớp a) Công thức tổng quát

 , trong đó ( , )f x y liên tục trên D

Giả sử ta có công thức đổi biến số \( x = x(u, v) \) và \( y = y(u, v) \) thỏa mãn các điều kiện sau: i) Các hàm \( x(u, v) \) và \( y(u, v) \) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên miền đóng \( D^* \) của mặt phẳng \( (O_{uv}) \); ii) Các công thức trên xác định một song ánh từ miền \( D^* \) lên miền \( D \) của mặt phẳng \( (O_{xy}) \); iii) Định thức Jacobi \( J(u, v) \) khác không trong miền \( D^* \).

Khi đó ta có công thức:

Ví dụ 2.7 Tính tích phân  2 2  4 2  ,

Khi đó các đường thẳng trên biến thành các đường

0, 3, 1, 1 u u v  v trong mặt phẳng (Ouv) (hình 2-8)

Ví dụ 2.8 Tính tích phân ,

, 4 , 1, 2, 0, 0. y x y  x xy xy x y Giải D được giới hạn bởi 2 hyperbole và 2 đường thẳng (hình 2-9)

Khi đó các đường trên biến thành các đường u1,u2,v1,v4 trong mặt phẳng (Ouv)

51 b) Đổi biến trong tọa độ cực

Chọn hệ tọa độ Đề các , trục cực trùng chiều dương của Khi đó tọa độ điểm sang tọa độ cực là , nên ta có

Khi đó, định thức Jacobi trừ tại gốc O, nên (2.5)

Trong trường hợp miền D được giới hạn bởi các đường cong và tia cực, công thức tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực sẽ được áp dụng Nếu miền D chứa gốc tọa độ O và biên của miền D có phương trình, mọi tia xuất phát từ O sẽ cắt biên của miền D tại một điểm Đặc biệt, khi D là hình tròn với tâm O và bán kính R, công thức này sẽ có những đặc điểm riêng biệt.

Hình 2-10 c) Nếu miền D có biên đi qua O và có tại đó hai tiếp tuyến xác định bởi và biên của D có phương trình thì:

Ví dụ 2.9 Tính tích phân , D giới hạn bởi

Ví dụ 2.10 Tính tích phân :

Ví dụ 2.11 Tính I = , D là miền

Chú ý 2.4 Nếu D là miền giới hạn bởi đường elip thì chuyển sang tọa độ cực bằng cách đặt: định thức Jacobi và miền D * được xác định bởi:

Nếu D là miền giới hạn bởi đường tròn thì chuyển sang toạ độ cực bằng cách đặt: định thức Jacobi và miền D * được xác định bởi

2.1.4 Ứng dụng hình học và cơ học của tích phân kép a) Ứng dụng hình học của tích phân kép

Tính diện tích hình phẳng

Diện tích của hình phẳng được cho bởi công thức:

Ví dụ 2.12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Giải Miền được xác định bởi (hình 2-14):

= Ví dụ 2.13 Tính diện tích hình phẳng xác định bởi

Tính diện tích mặt cong

Giả sử có một mặt cong với phương trình nhất định, được gọi là hình chiếu của mặt cong lên mặt phẳng Hàm và các đạo hàm riêng cấp một của nó liên tục trên miền này.

Ký hiệu Khi đó diện tích của mặt được tính theo công thức:

Ví dụ 2.14 Tính diện tích của phần mặt nằm trong mặt trụ

Tính thể tích vật thể

Nếu có một vật thể hình trụ với mặt xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song, thì miền bị chặn đo được trong mặt phẳng liên tục và không âm xác định Thể tích của vật thể này có thể được tính bằng tích phân kép, và ứng dụng của tích phân kép trong cơ học rất đa dạng và quan trọng.

Tính khối lượng của một bản phẳng không đồng chất

Một bản phẳng chiếm một miền trong mặt phẳng với khối lượng riêng tại mỗi điểm được xác định bởi hàm liên tục, sẽ có khối lượng tính theo công thức cụ thể.

Ví dụ 2.15 Tìm khối lượng của một bản phẳng chiếm miền giới hạn bởi các đường , biết rằng khối lượng riêng tại mỗi điểm là

Theo hình 2-18, ta có giới hạn bởi:

= Momen quán tính của bản phẳng

Cho một bản phẳng không đồng chất chiếm một miền trong mặt phẳng với khối lượng riêng tại mỗi điểm là một hàm liên tục Momen quán tính của bản phẳng này đối với trục và gốc tọa độ được tính toán dựa trên khối lượng riêng và hình dạng của miền.

Ix Iy Io Ví dụ 2.16 Tìm momen quán tính đối với trục của bản phẳng giới hạn bởi đường , biết rằng

= Trọng tâm của bản phẳng

Trong một bản phẳng không đồng chất chiếm một miền trong mặt phẳng, khối lượng riêng tại mỗi điểm được xác định bởi một hàm liên tục Tọa độ trọng tâm của bản phẳng này được tính toán theo một công thức cụ thể.

Nếu bản phẳng đồng chất thì không đổi, do đó

Trong đó là diện tích của miền

Ví dụ 2.17 Xác định tọa độ trong tâm của bản phẳng đồng chất xác định bởi:

Giải Do miền là một phần tư hình tròn đơn vị, nên

= = Vậy tọa độ trọng tâm

TÍCH PHÂN BA LỚP

2.2.1 Khái niệm và tính chất a Khái niệm Định nghĩa 2.2 Cho hàm xác định trong một miền đóng, giới nội trong không gian Chia miền một cách tùy ý thành miền nhỏ, gọi tên và diện tích của các miền đó lần lượt là Trong mỗi mảnh lấy một điểm tùy ý , gọi d i là đường kính của mảnh

Tổng được gọi là tổng tích phân của hàm số trong miền

Nếu khi sao cho mà dần tới một giới hạn xác

Tích phân ba lớp của hàm số f(x, y, z) trong miền V được xác định bằng cách không phụ thuộc vào cách chia miền và cách lấy điểm trong mỗi miền ΔVi.

Nếu tồn tại tích phân (2.5) thì hàm được gọi là khả tích trong miền b Các tính chất của tích phân ba lớp ( tương tự tích phân kép)

2.2.2 Cách tính tích phân ba lớp trong hệ tọa độ Đềcác

Giả sử miền liên tục trên là một miền đóng trong không gian Gọi D là hình chiếu của miền này lên mặt phẳng, được giới hạn bởi các mặt liên tục: z = z₁(x, y) và z = z₂(x, y).

Nếu miền được giới hạn bởi

Ví dụ 2.18 Tính , giới hạn bởi

Giải Ta có, miền được xác định bởi (hình 2-21)

Ví dụ 2.19 Tính , giới hạn bởi

Giải Ta có, miền được xác định bởi: trong đó là hình tròn:

2.2.3 Đổi biến trong tích phân ba lớp a) Công thức tổng quát:

Xét tích phân ba lớp , trong đó liên tục trong

Giả sử ta có công thức đổi biến số

Để thỏa mãn điều kiện (2.6), cần có các hàm liên tục với các đạo hàm riêng cấp một cũng liên tục trên miền đóng của không gian Các công thức (2.6) tạo ra một song ánh từ miền này lên miền khác trong không gian Ngoài ra, định thức Jacobi cũng phải được xem xét trong bối cảnh này.

Khi đó ta có công thức: b) Công thức đổi biến trong tọa độ trụ

Trong không gian cho là hình chiếu của lên

Ví dụ 2.20 Tính tích phân , giới hạn bởi

Khi đó miền được xác định bởi :

Vậy c) Công thức đổi biến trong tọa độ cầu

Trong không gian cho là hình chiếu của lên (hình 2-24)

OM r Ox OM   Oz OM  

2.2.4 Ứng dụng của tích phân ba lớp: a Tính thể tích vật thể

Thể tích vật thể giới hạn bởi miền :

Ví dụ 2.22 Tính thể tích hình cầu

    * cos sin sin sin cos ; , , , , , x r y r z r x y z V r V

( , , ) ( sin cos , sin sin , cos ) sin2

 cos sin sin sin ,0 2 ,0 1,0 cos x r y r r z r

Nếu là vật thể hình trụ: là miền bị chặn, đo được trong mặt phẳng liên tục, không âm xác định trên Khi đó:

Ví dụ 2.23 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi

Giải Ta có b Tính khối lượng vật thể

Cho vật thể trong R 3 với khối lượng riêng liên tục trên

Khi đó khối lượng của :

V T dxdydz cos sin sin sin ,0 2 ,0 ,0 cos x r y r r R z r

Ví dụ 2.24 Tính khối lượng vật thể giới hạn bởi Biết khối lượng riêng

Khối lượng của vật thể: c Xác định toạ độ trọng tâm vật thể

Cho vật thể trong không gian với khối lượng riêng liên tục trên Khi đó trọng tâm của :

Nếu vật thể đồng chất thì không đổi và có thể coi = 1, do đó:

Ví dụ 2.25 Tìm tọa độ trọng tâm của hình đồng chất giới hạn bởi các mặt sau

Vậy tọa độ trong tâm

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Bài 1 Tính , trong đó là miền giới hạn bởi các đường

Bài 2 Tính , trong đó là miền giới hạn bởi các đường

Bài 3 Tính , trong đó là tam giác với

Bài 4 Tính , trong đó là miền xác định bởi

Bài 5 Tính , trong đó là miền xác định bởi

Bài 6 Tính , trong đó là miền giới hạn bởi các đường

Bài 7 Tính , trong đó là miền xác định bởi

Bài 8 Tính tích phân , trong đó là miền xác định bởi

Bài 9 Tính tích phân , trong đó là miền xác định bởi

Bài 10 Tính , trong đó là miền xác định bởi

Bài 11 Tính , trong đó là miền giới hạn bởi các đường

Bài 12 Tính , trong đó là miền xác định bởi

Bài 13 Tính , trong đó là miền giới hạn bởi các đường

Bài 14 Tính , trong đó là miền xác định bởi

Bài 15 Tính diện tích miền , trong đó là miền xác định bởi

Bài 16 Tính , trong đó là miền xác định bởi

Bài 17 Tính diện tích miền , trong đó là miền xác định bởi

Bài 18 Tính , trong đó là miền xác định bởi

Bài 19 Tính , trong đó là miền xác định bởi

Bài 20 Tính diện tích miền , trong đó là miền xác định bởi

Bài 21 Tính , trong đó là miền xác định bởi

Bài 22 Tính diện tích của miền , trong đó là miền xác định bởi

Bài 24 Tính diện tích của miền , trong đó là miền xác định bởi

Bài 25 Tính diện tích miền , trong đó là miền giới hạn bởi các đường có phương trình trong tọa độ cực là

Bài 26 Tính các tích phân sau:

Bài 27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Bài 28 Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt

Bài 29 Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi các mặt:

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

3.1.1 Khái niệm và tính chất: Định nghĩa 3.1 Cho hàm số ( )f M  f x y( , ) xác định trên một cung phẳng

AB Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia A0 A A, , ,1 A n B. Trên cung A A j  1 j lấy một điểm tùy ý M a bj  j , j , gọi độ dài cung này là S j

Khi n  sao cho max  S j 0 tổng

Giới hạn xác định không phụ thuộc vào cách chia cung và cách chọn điểm trên cung, được gọi là tích phân đường loại một của hàm số f(x, y) dọc theo cung AB.

Nhận xét : Tích phân đường loại I không phụ thuộc vào cách chọn hướng trên AB tức là

  và nó các tính chất giống như tích phân xác định

Giả sử cung AB là trơn hoặc trơn từng khúc, và hàm số f liên tục trên cung AB Chúng ta sẽ xem xét các trường hợp sau: a) Giả sử cung AB được mô tả bởi phương trình tham số ( ) 1 2.

 Khi đó vi phân cung ds x t'( ) 2  y t dt'( ) 2 và ta có công thức:

  b) Giả sử cung AB có phương trình y y x( ), a x b 

Khi đó vi phân cung ds 1 y x dx'( ) 2 và ta có công thức:

  c) Giả sử cung AB được cho bởi phương trình tham số 1 2

Khi đó vi phân cung ds x t'( ) 2  y t'( ) 2 z t dt'( ) 2 và ta có công thức:

xds trong đó L là đoạn parabol y x 2 từ x1 đến x3

 trong đó L có phương trình tham số là cos

zds trong đó C là đường x t cos ,t y t sin ,t z t

3.1.2 Ứng dụng của tích phân đường loại một a) Độ dài cung 

AB  ds b) Khối lượng của cung

Giả sử cung AB có khối lượng riêng tại điểm M x y( , )là ( , ) x y Khi đó khối lượng của cung AB là M 

  c) Trọng tâm của cung đường

Giả sử khối lượng riêng của cung AB tại M x y z( , , )là ( , , ) x y z , M là khối lượng của cung AB Khi đó trọng tâm G có tọa độ :

Với đường cong đồng chất thì khối lượng riêng ( , , ) x y z là không đổi, có thể coi bằng 1 Khi đó M  AB ( độ dài cung AB)

Ví dụ 3.4 Tính khối lượng của cung parabol 2 2 (0 )

2 y  px  x p biết khối lượng riêng ( , )x y  y

Do tính đối xứng của parabol đối với Ox,

M x y ds px p dx px p dx x px p p p

Ví dụ 3.5 Xác định trọng tâm của đường cong đồng chất

Vậy tọa độ trọng tâm của đường cong là:

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

3.2.1 Khái niệm và tính chất

Khái niệm. Định nghĩa 3.2 Cho các hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y xác định trên một cung phẳng AB Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia

Gọi  x j , y j lần lượt là hình chiếu củaA A j  1 j lên các trục Ox Oy, Trên cung

Nếu khi n  sao cho max x j 0, axm  y j 0, tổng

Giới hạn xác định không phụ thuộc vào cách chia cung và cách chọn điểm trên cung được gọi là tích phân đường loại II của các hàm số.

( , ), ( , )P x y Q x y trên cung AB, kí hiệu:

Nhận xét : Tích phân đường loại II phụ thuộc hướng trên cungAB

Các tính chất tương tự như tích phân xác định i i x y o

3.2.2 Cách tính a) Giả sử cung AB được cho bởi phương trình tham số ( )

  gọi ,t t A B lần lượt là giá trị của tham số ứng với các đầu mút ,A B Khi đó ta có công thức:

  b) Giả sử cung AB có phương trình y y x( ) gọi ,a b tương ứng là hoành độ của ,A B

Khi đó ta có công thức:

 trong đó L là cung của parabol y = x 2 từ A(-1,1) đến B(1, 1)

L x xy dx y xy dy x x x x x dx

2 2. dx dt dy cos t dt

0 0 0 sin 2 2 2 2 t t t dt cos dt tcos dt

2 2 2 t t t dt tcos dt t t t dt t dt

3.2.3 Mối liên hệ giữa tích phân đường loại II và tích phân kép - công thức Green:

Giả sử D là miền bị chặn với biên L bao gồm một hoặc nhiều đường kín trơn hoặc trơn từng khúc, không giao nhau Định lý 3.1 khẳng định rằng nếu P(x, y) và Q(x, y) là hai hàm liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp I liên tục trên miền D, và biên L thỏa mãn điều kiện trên, thì các kết quả liên quan sẽ được xác lập.

Khi đó ta có công thức:

Nếu D là miền đơn liên, chiều dương của L sẽ ngược chiều kim đồng hồ Trong trường hợp D là miền đa liên, với L bao gồm nhiều đường kín rời nhau, chiều dương của L được xác định bằng cách một người đi trên L theo hướng đó sẽ thấy miền giới hạn bởi L nằm ở bên tay trái.

Trường hợp1: D là miền đơn liên

Giả sử biên L của D gồm 1 đường cong kín và mọi đường thẳng song song với Ox, Oy cắt L tại nhiều nhất 2 điểm (Hình 3- 3)

Giả sử phương trình của cung ANB y y x a x b:  1 ( );  

Phương trình của cung AMB y y x a x b:  2 ( );  

Bây giờ xét miền đơn liên D là miền có biên là đường L gồm hai cung 

IJ và KHcó phương trình lần lượt là y y x y 1 ( ),  y x a x b 2 ( ),   và hai đoạn thẳng IH và KJ song song với Oy

 vì đường IH và KJ có phương trình

Pdxdy Pdx Pdx Pdx Pdx P x y dx dy

Trường hợp 2 : D là miền đa liên

Khi đó biên của D gồm nhiều đường kín Giả sử L 1 , L 2 là hai đường cong kín rời nhau Chia D thành 2 miền D1, D2

Pdx Qdy Pdx Qdy P x y dx Q x y dy

Hệ quả 3.1 Nếu đường kín L là biên của D thì

2   L xdy ydx S(D) là diện tích của miền D

Ví dụ 3.8 Tính I =  2 cos  3 3 2 cos ,

L x y xy dx x xy x x xy dy

  L là đường tròn x 2 y 2 1theo chiều dương

Ta áp dụng công thức Green với

  trong đó L là đường tròn x 2 +y 2 = 2y theo chiều dương

Ta áp dụng công thức Green với

3.2.4 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân: Định lí 3.2 Giả sử ( , ), ( , )P x y Q x y là các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp một trong một miền đơn liên D nào đó Khi đó bốn mệnh đề sau là tương đương:

  dọc theo mọi đường kín Lnằm trong D

 chỉ phụ thuộc hai mút A, B mà không phụ thuộc đường đi từ A đến B, trong đó AB là một cung nằm trong D

4) Biểu thứcPdx Qdy là vi phân toàn phần của một hàm số ( , )u x y nào đó trong D

1)2) Giả sử L là một đường kín nằm trong D.Gọi D1 là miền giới hạn bởi

Theo công thức Green ta có : 0

Giả sử L1, L2 là hai đường cong trơn ( trơn từng khúc) đi từ A đến B

Trường hợp1: L 1 , L 2 chỉ có 2 điểm chung là A và B

Pdx Qdy  Pdx Qdy  Pdx Qdy 

Trường hợp 2 : L1, L2 đi từ A đến B, có nhiều hơn 2 điểm chung

Gọi L3 là đường cong chỉ có 2 điểm chung với cả L1, L2 là A và B được định hướng từ A đến B

Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy

Cố định A x y( , ) 0 0 thuộc D và lấy ( , )B x y thuộc D bất kì Đặt ( , )

AB f x y   Pdx Qdy (Tích phân lấy theo đường cong định hướng từ A đến B)

Ta chứng minh f khả vi và

AB AB f x h y  f x y   Pdx Qdy   Pdx Qdy x h y

BB BB x h x h f x h y f x y Pdx Qdy Pdx

Vậy f khả vi và ( , ) f ( , ) f ( , ) df x y x y dx x y dy x y

Ta có df x y( , )P x y dx Q x y dy( , )  ( , )

Mặt khác ( , ) f ( , ) f ( , ) df x y x y dx x y dy x y

  liên tục, theo bổ đề Schwarz, ta có

Ví dụ 3.10 Tính (cos sin )

Vậy tích phân không phụ thuộc đường lấy tích phân Ta chọn đường nối (0,0)

O với ( , )A a b là đường gấp khúc qua (0, )B b

(cos ) (cos ) cos cos cos cos 1 cos cos 1 cos x x

I e ydx sinydy e ydx sinydy sinydy e bdx y e b b e b b e b

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT

3.3.1 Khái niệm và tính chất Định nghĩa 3.3 Cho mặt cong và hàm số xác định trên Chia thành mảnh nhỏ Gọi tương ứng là đường kính của tương ứng là diện tích của

Trong mỗi mảnh lấy một điểm tùy ý

Nếu một hàm số có tổng dần tới một giới hạn xác định khi chia thành các mảnh nhỏ và lấy điểm trong mỗi mảnh mà không phụ thuộc vào cách chia, thì giới hạn đó được gọi là tích phân mặt loại một của hàm số trên mặt Ký hiệu cho tích phân này thường được sử dụng trong các lĩnh vực toán học và vật lý để mô tả các hiện tượng liên quan đến diện tích và thể tích.

Nhận xét: Tích phân mặt loại một không phụ thuộc vào hướng của mặt và có các tính chất giống như tích phân kép

Giả sử có phương trình liên tục có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên là hình chiếu của lên mặt phẳng

Ví dụ 3.11 Tính là phần mặt phẳng , nằm trong góc phần tám thứ nhất

Giải Hình chiếu của lên mặt phẳng là tam giác

Ví dụ 3.12 Tính trong đó là mặt

Hình chiếu của lên mặt phẳng là hình tròn

     Đổi sang tọa độ cực n   maxd i 0 I n

Ví dụ 3.13 Tính S là mặt biên vật thể

Hình nón là một vật thể có hai mặt, trong đó mặt nón được coi là mặt đáy, và mặt đáy này có hình chiếu là một hình tròn.

Với mặt đáy cho nên

3.3.3 Ứng dụng a) Diện tích của mặt b) Khối lượng của mặt trong đó là khối lượng riêng của tại điểm c) Trọng tâm của mặt:

S D ds z z dxdy dxdy x y dS x y dxdy 

Giả sử khối lượng riêng của mặt tại điểm là là khối lượng của mặt Khi đó trọng tâm của có tọa độ:

Ví dụ 3.14 Tìm khối lượng của mặt cầu biết khối lượng riêng

Giải trong đó là nửa mặt cầu đã cho

Hình chiếu của lên mặt phẳng là hình tròn

Ví dụ 3.15 Tìm trọng tâm của nửa mặt cầu , với khối lượng riêng là hằng số

Trọng tâm của nửa mặt cầu có tâm bán kính a được xác định qua phương trình nửa mặt cầu Nhờ tính đối xứng của nửa mặt cầu, chúng ta chỉ cần áp dụng công thức tính toán phù hợp để tìm ra kết quả.

Hình chiếu của lên mặt phẳng là hình tròn

Trọng tâm có tọa độ:

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI

3.4.1 Khái niệm và tính chất

Mặt cong định hướng Nói chung mặt không kín có hai phía: phía trên, phía dưới; mặt kín có phía trong, phía ngoài

Mặt định hướng được xác định bằng véc tơ pháp tuyến, cho phép M dịch chuyển theo một đường cong kín mà không chạm vào biên, trở về vị trí xuất phát mà không thay đổi chiều.

Mặt định hướng được: mặt cầu, mặt nón, mặt phẳng,

Mặt không định hướng được là dải Mơbiut được tạo thành khi dán 2 cạnh đối AB, CD ( sau khi đảo hướng) của 1 mảnh giấy hình chữ nhật ABCD

Tích phân mặt loại hai được định nghĩa cho một miền trong của một mặt định hướng, với véc tơ pháp tuyến tương ứng Giả sử có các hàm liên tục trong miền này và được chia thành nhiều mảnh Tại mỗi mảnh, ta chọn một điểm và xem xét tổng của các giá trị hàm tại những điểm này.

Nếu khi sao cho (d i là đường kính của ), tổng dần tới một giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia thành các mảnh nhỏ

M dS dxdy d rdr a a x y a r zdS a x y a dxdy a dxdy a a x y

Tích phân mặt loại hai của các hàm số trên mặt được xác định bởi giới hạn của 92 và cách lấy điểm trong mỗi mảnh Ký hiệu cho các góc giữa véc tơ pháp tuyến và các trục cũng được đề cập trong nội dung này.

Nhận xét: Tích phân mặt loại II phụ thuộc vào hướng của mặt cong.

Giả sử có một phương trình với các đạo hàm riêng liên tục trên một miền xác định, và hình chiếu của phương trình này lên mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến tương ứng.

Khi xem xét các trường hợp về góc giữa hai đường thẳng, nếu góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn, ta áp dụng công thức tương ứng Ngược lại, nếu góc giữa hai đường thẳng là góc tù, ta sử dụng công thức khác.

Ví dụ 3.16 Tính , là mặt phía ngoài 1/8 mặt cầu :

Giải Hình chiếu của lên mặt phẳng là 1/4 hình tròn

Ví dụ 3.17 Tính với S là mặt phía ngoài của mặt cầu

Gọi là các nửa mặt cầu ứng với và

Trên ta có: và khi đưa về tích phân kép thì lấy dấu âm (do vectơ pháp tuyến hướng xuống dưới), nên:

Giả sử rằng có một mặt định hướng trơn từng mảnh với biên là một đường kín trơn từng khúc Các hàm liên tục và các đạo hàm riêng cấp một của chúng cũng được giả định tồn tại trên mặt đó.

Ta có công thức Stokes :

Chiều tích phân được chọn để một người di chuyển dọc theo hướng pháp tuyến, đồng thời hướng từ chân đến đầu sẽ giúp họ nhìn thấy mặt kề bên trái của mình.

Chú ý Công thức Stokes thường dùng ở dạng liên hệ giữa tích phân đường loại hai và tích phân mặt loại một cos cos cos

Với ncos ,cos ,cos   vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt cong

Ví dụ 3.18 Tính tích phân với là giao tuyến của mặt và mặt phẳng theo hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ hướng dương của trục

R Q P R Q P dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz y z z x x y

Gọi S là hình tròn với biên là đường tròn Theo định lý Stokes ta có:

I    dydz dzdx dxdy         dS là các cosin chỉ hướng của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Ta có:

Giả sử là các hàm liên tục cùng các đạo hàm riêng liên tục trong là miền đóng, giới nội trong có biên là mặt kín trơn từng mảnh

Tích phân mặt lấy theo phía ngoài của mặt

Hệ quả 3.1 Thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt cong kín

Ví dụ 3.19 Tính , là mặt cầu định hướng bởi véc tơ pháp tuyến ngoài của nó

Giải Theo công thức Ostrogradsky, ta có:

Ví dụ 3.20 Tính tích phân Trong đó là phía ngoài mặt cầu:

Giải Theo công thức Ostrogradsky, ta có:

Chuyển qua tọa độ cầu, ta được:

BÀI TẬP CHƯƠNG 3

Bài 1 Tính có phương trình:

Bài 2 Tính có phương trình:

Bài 3 Tính tích phân , là đường

Bài 4 Tính tích phân , là đường

Bài 5 Tính tích phân , là đường

Bài 6 Tính tích phân , là đường

Bài 7 Tính khối lượng của a) Đường , biết khối lượng riêng b) Đường đinh ốc , biết khối lượng riêng

Bài 8 Xác định trọng tâm của đường đồng chất

Bài 9 Tính tích phân , là nửa dưới của đường tròn x 2 y 2 4 theo chiều dương

Bài 10 Tính tích phân , là cung tròn , từ A(3;0) đến B(0;3)

Bài 11 Tính tích phân , là cung tròn , từ A(2,0) đến B(-2;0)

Bài 12 Tính tích phân , có phương trình

Bài 13 Tính tích phân , có phương trình

Bài 14 Tính tích phân , là cung của parabol

Bài 15 Tính tích phân , là cung của parabol

Bài 16 Tính tích phân , nửa trên của elip , theo chiều dương

Bài 17 Tính , là đường , từ đến

Bài 19 Tính , là đường , theo chiều dương

Bài 20 Tính , là biên của miền giới hạn bởi các đường và y = 3x theo chiều dương

Bài 21 Tính , là biên của miền giới hạn bởi các đường và y = x theo chiều dương

Bài 22 Tính tích phân mặt là nửa mặt cầu

Bài 23 Tính , là nửa mặt cầu

Bài 24 Tính , là nửa mặt cầu

Bài 25 Tính , là phần mặt

Bài 26 Tính , có phương trình

Bài 27 Tìm khối lượng của a) Mặt xác định bởi , nếu khối lượng riêng b) Mặt xác định bởi nếu khối lượng riêng

Bài 28 Xác định trọng tâm của mặt đồng chất cho bởi

Bài 29 Tính các tích phân mặt

, là mặt ngoài của phần hình cầu xác định bởi

, là mặt ngoài của phần hình cầu xác định bởi

, là mặt ngoài của phần hình cầu xác định bởi

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

4.1.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp một a Định nghĩa Định nghĩa 4.1 Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng

F x y y  , , '   0 (4.1) hay y '  f x y   , (4.2) Trong đó x là biến độc lập,y là hàm phải tìm, y là đạo hàm cấp 1

Chú ý 4.1 Biến độc lập và hàm phải tìm có thể không có mặt nhưng bắt buộc phải có mặt đạo hàm cấp mộty b Bài toán Cauchy

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (4.1) yêu cầu thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0 Theo Định lý 4.1, nếu hàm f(x, y) liên tục trong miền D của mặt phẳng Oxy và (x0, y0) thuộc miền D, thì trong một lân cận của điểm x = x0 tồn tại ít nhất một nghiệm y(x) của phương trình (4.2), với giá trị y(x0) = y0.

 liên tục trong miền D thì nghiệm đó là duy nhất d Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp một

Nghiệm tổng quát của phương trình (4.1) trong miền G được định nghĩa là hàm y    x, C , nếu hàm này có đạo hàm riêng liên tục theo x trong miền biến thiên của x và C Để hàm này được coi là nghiệm tổng quát, nó cần thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, từ hệ thức y    x, C  có thể giải được C =   x, y ; thứ hai, hàm y    x, C  phải thỏa mãn phương trình (4.1) với mọi giá trị của C được xác định từ C =   x, y  khi (x, y) biến thiên trong miền G.

Nếu nghiệm tổng quát của phương trình (4.1) được cho dưới dạng ẩn:

  hay    x y ,  Cthì nó được gọi là tích phân tổng quát

* Nghiệm riêng: Nghiệm của phương trình (4.1) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được đảm bảo được gọi là nghiệm riêng

Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị cụ thể của hằng số C là nghiệm riêng

Nghiệm kỳ dị là nghiệm của phương trình (4.1), trong đó tại mỗi điểm của nghiệm này, tính duy nhất của nghiệm bài toán Cauchy bị phá vỡ.

4.1.2 Phương trình biến số phân ly a Dạng phương trình

M x dx N y dy  , (4.4) trong đó M x N y     , liên tục b Cách giải

Tích phân 2 vế của phương trình (4.4) được nghiệm tổng quát dưới dạng tích phân tổng quát: M x dx   N y dy C    c Ví dụ

Ví dụ 4.1 Giải phương trình vi phân: xdx ydy 0

Giải Tích phân 2 vế của phương trình ta được:

Ví dụ 4.2 Tìm nghiệm của phương trình: xdx   y  1  dy  0 thỏa mãn điều kiện y   0  0

Giải Tích phân 2 vế của phương trình ta được:

Vậy nghiệm cần tìm là: 2 2 0

  y d Phương trình biến số phân ly được

M x N y dx P x Q y dy  (4.5) trong đó M x N y P x Q y        , , , liên tục

Nếu N y P x      0, chia cả 2 vế của phương trình (4.5) cho N y P x     ta được:

P x  N y  (phương trình biến số phân ly)

Nếu P x    0, N y    0tương ứng tại x a y b ,  thì x a y b ,  là nghiệm của phương trình (4.5)

Ví dụ 4.3 Giải phương trình:  y 2  xy dx 2    x 2  yx dy 2   0

Giải.Phương trình  y 2  1  x dx x   2  1  y dy   0

Nếu xy0, thì chia 2 vế của phương trình trên cho x y 2 2 ta được:

Tích phân 2 vế của phương trình:

1 1 1 1 ln ln ln dx dx dy dy x

Ngoài ra x0,y 0 cũng là nghiệm của phương trình ban đầu

Ví dụ 4.4.Tìm nghiệm của phương trình 1 2

3 tan 0 cos x ex e ydx dy y

Với  1  e x  tan y  0, chia cả 2 vế của phương trình trên cho  1  e x  tan , y ta được

1 cos sin x x x x C x e dx dy e y y e dx dy C e y e e y y

Vậy nghiệm cần tìm là:  1  e x  3 tan y  8

4.1.3 Phương trình thuần nhất a Định nghĩa Định nghĩa 4.2 Hàm f x y   , gọi là hàm thuần nhất bậc k nếu: f tx ty  ,   t f x y k   ,   t 

Chẳng hạn f x y   ,  x 2  xy  y 2 Ta có

 ,  2  2 2  f tx ty t x xy y hàm f x y   , là hàm thuần nhất bậc 2

Phương trình \( M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \) được gọi là phương trình thuần nhất khi \( M \) và \( N \) là các hàm thuần nhất cùng bậc Tương tự, phương trình \( y' = f(x, y) \) được coi là phương trình thuần nhất nếu \( f(x, y) \) là hàm thuần nhất bậc 0.

Nếu (4.6) là phương trình thuần nhất thì có thể đưa về dạng:

Nếu    u    u 0 dx x     u du  u (phương trình biến số phân ly)

Nếu    u   u 0 tại u u 0 Kiểm tra trực tiếp y u x 0 thỏa mãn phương trình đã cho

Ví dụ 4.5 Giải phương trình: x y ydx x dy   2 0

   Đặt y ' 2 du 2 du 2 dx ( 0) u y ux u x u u u x u x x         dx    u  x 

Dễ thấy x0,y0 là nghiệm của phương trình, y0,x 0 là nghiệm kỳ dị của phương trình

Ví dụ 4.6.Giải phương trình: ' y y  x Đặt

Dễ thấy x0,y0 là nghiệm của phương trình, y0, x 0 là nghiệm kỳ dị,

, 0 y x x  là nghiệm riêng của phương trình

4.1.4 Phương trình tuyến tính cấp một a Dạng phương trình

' y  p x y q x , (4.8) trong đó p x q x     , liên tục trên   a b ,

Nếu ( ) 0q x  thì (4.8) gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất

Nếu q x    0 thì (4.8) gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một không thuần nhất b Cách giải

 Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng:

 Bước 2: Trong (4.9) coi C C x    Tìm C x  để (4.9) thỏa mãn phương trình (4.8)

Từ (4.9) y '  C e '   p (x) dx  C p x e     p (x) dx , thay vào phương trình (4.8) ta được:

(4.10) Thay (4.10) vào (4.9) được nghiệm tổng quát của phương trình (4.8): y q x e    p (x)dx  K e   p (x)dx

Ví dụ 4.7 Giải phương trình: y' 2y x

2 2 ln dy dy dx dy dx y C y Cx dx x y x y x

Coi C C x    , từ (4.11) ta có y'C x' 2 2Cx, thay vào phương trình ban đầu, ta được:

Thay C vào (4.11) có nghiệm tổng quát của phương trình y x 2 ln x Kx 2

Ví dụ 4.8 Giải phương trình: y ' 2  y e   x , y   0  0

 y Ce  2x (4.12) Coi C C x    , từ (4.12) ta cóy'C'.e  2 x 2e C  2 x , thay vào phương trình ban đầu được:

Thay C vào (4.12) ta có: y e  x Ke  2 x (4.13) Thay x0,y0 vào (4.13) được K  1

Vậy nghiệm cần tìm là: y e  x e  2 x

4.1.5 Phương trình Bernoulli a Dạng phương trình

' 0;1 y  p x y q x y    (4.14) trong đó p x q x     , liên tục trên   a b , b Cách giải

Với y0, chia 2 vế phương trình (4.14) cho y  được: y y '    p x y   1    q x   Đặt 1 '  1  ' ' '

 (4.15) (phương trình tuyến tính cấp một)

Giả sử z     x C , là nghiệm của phương trình (4.15)

Vậy tích phân tổng quát của phương trình (4.14) là: y 1      x C ,  c.Ví dụ

Ví dụ 4.9 Giải phương trình: ' 2

 Giải : Với y0 chia 2 vế phương trình cho

 thay vào phương trình ban đầu được:

(y0 là nghiệm kỳ dị của phương trình)

Ví dụ 4.10 Giải phương trình: y ' 1 y y 2 ln x ; y   1 1 x x

Giải Với y0 chia 2 vế phương trình trên cho y 2 được: y 2 ' 1 1 lnx y  x y  x Đặt 1 2 ' 1 ln

1 1 ln 1 ln 1 ln 1 z Kx x Kx x y y Kx x

4.1.6 Phương trình vi phân toàn phần a Định nghĩa Định nghĩa 4.3 Phương trình M x y dx N x y dy  ,  ( , ) 0 (4.17) gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm U x y   , khả vi sao cho: dU x y   , M x y dx N x y dy  ,  ( , ) b Định lý Định lý 4.2 (4.17) là phương trình vi phân toàn phần M N , x y D y x

 Điều kiện cần: (4.17) là phương trình vi phân toàn phần dU Mdx Ndy

    liên tục và bằng nhau

 Điều kiện đủ: giả sử M N y x

  Tìm hàm U x y   , thỏa mãn dU x y   , M x y dx N x y dy  ,  ( , )

(Chọn x y0, 0 Dsao cho M x y N x y    , , , không đồng thời bằng 0)

Ta chọn hàm    y sao cho U N x y   , y

Chọn x y0, 0 Dsao cho M x y N x y    , , , không đồng thời bằng 0

Nghiệm của phương trình là:

0, y , xM x y dy N x y dy C x  y  d Ví dụ:

Ví dụ 4.11: Giải phương trình:  3 x 2  6 xy dx 2    6 x y 2  4 y dy 3   0

  nên phương trình trên là phương trình vi phân toàn phần Chọn

, 0,1 , x 3 6 y 4 3 1 x y  U x y  x  xy dx y dy x  x y y  Vậy tích phân tổng quát của phương trình là: x 3 3x y 2 2  y 4 C

Cho phương trình M x y dx N x y dy  ,    , 0 (4.19) Nếu tồn tại    x y , sao cho phương trình

 M x y dx   ,   N x y dy   ,  0 (4.20) là phương trình vi phân toàn phần thì    x y , gọi là thừa số tích phân

* Sự tồn tại thừa số tích phân Định lý 4.3 Giả sử phương trình (4.20) trong miền D có tích phân tổng quát

U x y C, trong đó U x y   , có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục Khi đó nó có thừa số tích phân Định lý 4.4 Nếu 0  x y, là thừa số tích phân của phương trình (4.20) và

U x y C là tích phân tổng quát tương ứng của nó thì

 x y, 0  x, y U x y0  ,  với là hàm khả vi liên tục bất kì, cũng là thừa số tích phân của phương trình (4.20)

Phương trình (4.20) có vô số thừa số tích phân theo điều kiện đã nêu Định lý 4.5 chỉ ra rằng hai thừa số tích phân μ0 và μ1 của phương trình này liên hệ với nhau qua hệ thức μ1 = ψ(U0), trong đó ψ là một hàm khả vi liên tục bất kỳ Cách tìm thừa số tích phân sẽ được trình bày cụ thể trong các phần tiếp theo.

Giả sử phương trình (4.20) là phương trình vi phân toàn phần, khi đó

 Trường hợp 1:      x thì từ (4.21) ta có

 Trường hợp 2:      y thì từ (4.21) ta có

 Trường hợp 3:         ,    x y , thì từ (4.21) ta có

Ví dụ 4.12 Giải phương trình: a)  x 2  y dx    x y 2 2  x dy   0 b) 2 ln xy ydx   x 2  y 2 y 2  1  dy  0 c) y dx 3  2  x 2  xy dy 2   0

       là phương trình vi phân toàn phần Khi đó ta tìm được nghiệm của phương trình là

  là phương trình vi phân toàn phần Khi đó ta tìm được nghiệm của phương trình là x 2 ln y  1 3  y 2  1  3 dy C  b) Ta có

  là phương trình vi phân toàn phần Khi đó ta tìm được nghiệm của phương trình là

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI

4.2.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp hai a Định nghĩa Định nghĩa 4.3 Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng

F x y y y( , , , '') 0  (4.22) hoặc y f x y y( , , ) (4.23) trong đó x là biến độc lập, y là hàm cần tìm, y y , là đạo hàm cấp 1, cấp 2 của hàm cần tìm

Chú ý rằng biến độc lập, hàm cần tìm và đạo hàm cấp một có thể không xuất hiện một cách rõ ràng, nhưng đạo hàm cấp hai là điều kiện bắt buộc phải có Các loại nghiệm cũng cần được xem xét kỹ lưỡng trong bối cảnh này.

* Nghiệm tổng quát: nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 là hàm số yx C C, ,1 2  trong đóC C 1 , 2 là hằng số

Hệ thức f x y C C , , ,1 2 0 xác định nghiệm tổng quát của phương trình (4.23) dưới dạng ẩn gọi là tích phân tổng quát

* Nghiệm riêng: nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho

C  C  sao cho hàm số y( ,x C C 1 0 , 2 0 ) thoả mãn

0 , yx x  y yx x  y gọi là nghiệm riêng

Khi cho các giá trị cụ thể C1 = C và C2 = C0 từ tích phân tổng quát, ta nhận được hệ thức f(x, y, C, C0) = 0, được gọi là tích phân riêng Định lý này khẳng định sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm.

Trong miền D nào đó trong không gian 3 chiều, nếu (x₀, y₀, y'(x₀)) là một điểm thuộc D, thì tồn tại một nghiệm duy nhất y = y(x) của phương trình (4.23) trong lân cận của điểm x₀, thoả mãn các điều kiện y(x₀) = y₀ và y'(x₀) = y₀' Bài toán tìm nghiệm của phương trình (4.23) với các điều kiện (4.24) được gọi là bài toán Cauchy.

4.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai a Định nghĩa Định nghĩa 4.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số thay đổi là phương trình vi phân có dạng y p x y( ) q x y( )  f x( ) (4.25) trong đó p       x q x f x , , là những hàm số liên tục

- Nếu f x( ) 0 thì (4.25) được gọi là phương trình thuần nhất

- Nếu f x( ) 0 thì (4.25) được gọi là phương trình không thuần nhất b Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất

* Các định lý về cấu tạo nghiệm Định lý 4.6 Nếu y x y x1    , 2 là hai nghiệm của (4.25) thì y C y x 1 1 ( )C y x 2 2 ( )

(C C 1 , 2 : const) cũng là nghiệm của phương trình thuần nhất (4.26)

111 Đặc biệt nếu y x y x1    , 2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4.26) (tức là

Nếu y(x) khác không, thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (4.26) được biểu diễn dưới dạng y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) Định lý 4.7 chỉ ra rằng nếu ta đã biết một nghiệm riêng y1(x) (với y1(x) khác không) của phương trình này, ta có thể xác định được nghiệm riêng thứ hai y2(x) độc lập tuyến tính với y1(x) bằng cách sử dụng một phương pháp thích hợp.

Chú ý 4.1 Để tìm nghiệm riêng thứ 2 ta có thể sử dụng công thức Liouville:

Ví dụ 4.13 Giải phương trình (1x y 2 ) 2xy2y0 biết một nghiệm riêng của nó lày x 1 ( )x

Giải Đặt y x 2 ( )uxy x 2 ( ) u xu, y x 2 ( ) 2 uxu thay vào phương trình ta được

(1x )(2uxu) 2 ( x u xu ) 2 xu0 hay (x x u ) (2 4 ) x u0 Đặt u  p, phương trình trở thành (x x dp 3 ) (4x 2 2)pdx Suy ra

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là 1 1 2 ln1 2

Nhận xét Để tìm nghiệm riêng y x 2 ( )ta có thể sử dụng công thức Liouville và có kết quả tương tự 2 ( ) 1 1 ln1

 c Phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất

Định lý 4.8 khẳng định rằng nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (4.27) được biểu diễn dưới dạng tổng của nghiệm tổng quát ycủa phương trình thuần nhất (4.26) và một nghiệm riêng Ynào đó của phương trình không thuần nhất (4.20), ký hiệu là y = y + Y Theo Định lý 4.9, nếu y xi (i = 1, n) là nghiệm riêng của phương trình y'' + p(x)y' + q(x)y = f(xi), thì tổng y(x) = y1(x) + y2(x) + + yn(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4.28) Cuối cùng, Định lý 4.10 chỉ ra rằng nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (4.27), thì y(x) = y1(x) - y2(x) sẽ là nghiệm riêng của phương trình thuần nhất (4.26).

* Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

Nếu biết rằng y = C1y1 + C2y2 (với C1, C2 là hằng số) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (4.26), ta có thể tìm nghiệm tổng quát của phương trình (4.27) dưới dạng y = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) Để xác định C1(x) và C2(x), cần giải hệ phương trình tương ứng.

C  x dx  x K C  x dx  x K (K K 1 , 2 : const) Vậy nghiệm tổng quát của (4.27) là y K y 1 1 K y 2 2   1 ( )x y 1   2 ( )x y 2 (K K 1 , 2 : const)

Ví dụ 4.14 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y y x x

Giải Xét phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng y 0 y x

   Phương trình không chứa hàmy, do đó nó có một nghiệm riêng y 1 1

Nghiệm riêng y 2 tìm bằng công thức Liouville

2 x dx x y x e    dx Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất lày C x 1 2 C 2 , (C 1 ,C 2 : const)

Ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange Nghiệm tổng quát có dạng

1( ) 2( ) y C x x C x trong đó C x C x 1  ( ), 2  ( ) là nghiệm của hệ

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

Ví dụ 4.15 Giải phương trình: ''

 Giải Xét phương trình: ''y  y 0 có 2 nghiệm độc lập tuyến tính: y 1 e y x , 2 e  x

Tìm một nghiệm riêng *   1 2 x x y x C e C e  của phương trình trên bằng phương pháp Lagrange, giải hệ

4.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi a Phương trình thuần nhất

* Dạng phương trình: y   py   qy  0 (4.29) trong đó p q, là các hằng số thực

Tìm nghiệm riêng của nó dưới dạng y e kx trong đó klà hằng số Ta có

Thế vào (4.29) ta được, e kx  k 2  pk q    0 , suy ra k 2  pk q 0 (4.30) (4.30) được gọi là phương trình đặc trưng của (4.29)

- Nếu phương trình (4.30) có 2 nghiệm thực k 1 k 2 thì nghiệm tổng quát của phương trình (4.29) là y C e 1 k x 1 C e 2 k x 2 (C C const 1 , 2 : )

- Nếu phương trình (4.30) có nghiệm kép k 1 k 2 k thì nghiệm tổng quát của phương trình (4.29) là y C e 1 k x 1 C xe 2 k x 2 (C C const 1 , 2 : )

- Nếu phương trình (4.30) có nghiệm phức k   i thì nghiệm tổng quát của phương trình (4.29) là y e  x ( cosC 1 x C 2 sinx) (C C const 1 , 2 : )

Ví dụ 4.16 Giải các phương trình vi phân sau: a) y5y6y0 b) y2y3y 0 c) y4y4y0

Phương trình đặc trưng cho bài toán đầu tiên là \(k^2 - 5k + 6 = 0\) với nghiệm \(k_1 = 2\) và \(k_2 = 3\), do đó nghiệm tổng quát là \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}\), với \(C_1, C_2\) là hằng số Trong bài toán thứ hai, phương trình đặc trưng là \(k^2 - 2k + 3 = 0\) dẫn đến nghiệm \(k = 1 \pm i\), từ đó nghiệm tổng quát là \(y = e^x (C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x))\) Cuối cùng, phương trình đặc trưng của bài toán ba là \(k^2 - 4k + 4 = 0\) với nghiệm \(k = 2\), do đó nghiệm tổng quát là \(y = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x}\).

* Dạng phương trình: y   py   qy  f x   (4.31) trong đóp q, là các hằng số thực

Để giải phương trình (4.31), trước tiên cần giải phương trình thuần nhất tương ứng (4.29) và áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange Trong một số trường hợp đặc biệt của vế phải, có thể tìm ra một nghiệm riêng cho (4.31) thông qua việc giải các phương trình đại số Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (4.31) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (4.29) và một nghiệm riêng của (4.31).

Trường hợp 1 f x( )e P x  x n ( ) trong đó  là hằng số thực, P xn   là đa thức bậc n của x

- Nếu  không là nghiệm của phương trình đặc trưng (4.30) thì ta tìm nghiệm riêng của (4.31) dưới dạng Y e Q x  x n ( )

- Nếu  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (4.30) thì ta tìm nghiệm riêng của (4.31) dưới dạng Y xe Q x  x n ( )

- Nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (4.30) thì ta tìm nghiệm riêng của (4.31) dưới dạng Y x e Q x 2  x n ( )

Trong đó Q xn  là đa thức cùng bậc n với Pn  x

Trường hợp 2 f x( )e  x P xn ( )cosx Q x m ( )sinx trong đó  , là hằng số thực, P x Q xn     , m lần lượt là các đa thức bậc n m, của x

- Nếu i không là nghiệm của phương trình đặc trưng (4.30) thì ta tìm nghiệm riêng của (4.31) dưới dạng Y e  x R xl ( )cosx H x l ( )sinx.

- Nếu  i là nghiệm của phương trình đặc trưng (4.30) thì ta tìm nghiệm riêng của (4.31) dưới dạng Y xe  x R xl ( ) cosx H x l ( )sinx

Trong đó R x H x l ( ), l ( ) là các đa thức bậc l l ,  max ,   n m

Ví dụ 4.17 Giải các phương trình vi phân sau: a) y4y3y e 4 x b) y4y5y e x x ( 1) c) y  y co xs

Giải a) Bước 1 Phương trình thuần nhất tương ứng y4y3y0có phương trình đặc trưng: k 2 4k   3 0 k 1 1; k 2 3

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là

Bước 2 Vì vế phải của phương trình đã cho là f x( )e 4 x ,  4 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm một nghiệm riêng của phương trình dưới dạng:

Thay Y Y Y, , ' '' vào phương trình đã cho ta được:

Vậy nghiệm riêng của phương trình là 1 4

Y  e x Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là: 1 2 3 1 4

3 x x x y C e C e  e b) Bước 1 Phương trình thuần nhất tương ứng y4y5y0có phương trình đặc trưng k 2 4k  5 0 k 1 1;k 2  5 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là y C e 1 x C e 2  5 x

Bước 2 Vì vế phải của phương trình là f x( )e x x ( 1), 1 là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên ta tìm một nghiệm riêng của phương trình dưới dạng:

Thay Y Y Y, , ' '' vào phương trình đã cho và rút gọn ta được:

Vậy nghiệm riêng cần tìm là 2 5

  Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là:

  c) Bước 1 Phương trình thuần nhất tương ứng y  y 0có phương trình đặc trưng k 2     1 0 k i Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:

Để giải phương trình, ta có vế phải là f(x) = cos(x), từ đó xác định nghiệm của phương trình đặc trưng là α ± iβ = ±0, với bậc của đa thức bằng 0 Do đó, cần tìm một nghiệm riêng của phương trình dưới dạng phù hợp.

Thay Y Y Y, , vào phương trình và rút gọn ta được :

Vậy nghiệm riêng của phương trình là sin

Y  x x Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là: 1 cos 2 sin sin

ỨNG DỤNG

Một vật thể rơi tự do từ độ cao tại thời điểm t=0 có thể được mô tả bằng các đại lượng h(t) là độ cao, a(t) là gia tốc và v(t) là vận tốc Mối quan hệ giữa gia tốc, vận tốc và độ cao của vật thể này có thể được biểu diễn một cách chính xác.

  Đối với vật thể rơi tự do thì a t   là hằng số và bằng với g  9,8 /m s 2

Kết hợp với phương trình trên ta được

Suy ra dh gt v 0 dt  

1 h t  2gt v t h (phương trình biểu diễn độ cao của một vật rơi từ độ cao ban đầu h 0 với vận tốc ban đầu v 0 )

4.3.2 Mô hình chuyển động của lò xo

Trong bài khảo sát này, chúng ta nghiên cứu chuyển động của một vật thể có khối lượng m treo ở cuối một lò xo thẳng đứng Theo định luật Hooke, lò xo sẽ tạo ra một lực đàn hồi tỉ lệ với độ kéo dãn (hoặc nén) x so với chiều dài tự nhiên của nó, được biểu diễn bằng công thức F = -k x, với k là hằng số đàn hồi dương Nếu không tính đến các lực cản bên ngoài như lực cản không khí hoặc ma sát, chúng ta có thể áp dụng định luật thứ hai của Newton để phân tích chuyển động của vật thể này.

118 đây là phương trình vi phân cấp hai, ta viết lại phương trình dưới dạng

2 0 md x k x dt   Giải phương trình trên ta được nghiệm tổng quát là

Viết lại ( )x t  Acos( t  ), trong đó k , 1 2 2 2 , cos C 1 , sin C 2

        Đây là loại chuyển động được gọi là dao động điều hòa (A: biên độ, : góc pha)

Chúng ta phân tích chuyển động của lò xo dưới tác động của lực ma sát trong trường hợp nằm ngang, hoặc lực giảm chấn khi lò xo thẳng đứng di chuyển qua chất lỏng Giả thiết rằng lực giảm chấn tỷ lệ với vận tốc của vật và hướng tác động ngược lại với chuyển động Do đó, lực giảm chấn được biểu diễn là gc.

  dt , trong đó clà hằng số dương, gọi là hệ số giảm chấn Do đó, theo định luật thứ hai Newton ta có

2 dh gc d x dx m F F kx c dt      dt Hoặc

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng được biểu diễn bằng công thức 2 0 d x dx m c kx dt  dt   Phương trình đặc trưng tương ứng là m 2 c  k 0, và nghiệm của phương trình này sẽ được xác định dựa trên các hệ số m, c và k.

Ta xét các trường hợp

Trường hợp 1: c 2 4mk 0(giảm chấn quá mức)

Khi đó   1 , 2 là hai nghiệm thực phân biệt và x C e 1  1 t C e 2  2 t

Vì c m k đều dương, ta có c 2 4mk < 0, do đó các nghiệm  1 và  2 phải âm Điều này cho thấy rằng x → 0 khi t → ∞, và lưu ý rằng các dao động không xảy ra Vật chỉ có thể đi qua vị trí cân bằng một lần, và chỉ duy nhất một lần.

Lực giảm chấn mạnh mẽ xuất hiện khi c 2 4mk, cho thấy sự ảnh hưởng của dầu hoặc mỡ có độ nhớt cao so với lò xo yếu hoặc vật có khối lượng nhỏ.

Trường hợp 2: c 2 4mk 0(giảm chấn tới hạn)

Khi đó phương trình đặc trưng có nghiệm kép

Trường hợp này tương tự như trường hợp 1, nhưng việc giảm xóc chỉ đủ để ngăn chặn các dao động Bất kỳ sự giảm nào về độ nhớt của chất lỏng đều sẽ dẫn đến sự xuất hiện của dao động trong tình huống này.

Trường hợp 3: c 2 4mk 0(giảm chấn quá yếu)

        và 2  1cos 2sin  c t x e  m C t C t Ở đây các dao động tắt dần bởi thừa số 2 c t e  m Vì c m, 0 nên c/ 2m0

Vậy 2 0 c t e  m  khi t  , điều này nghĩa là x0khi t 

Giả sử rằng, ngoài lực cản đàn hồi và lực giảm chấn, chuyển động của lò xo còn chịu tác động từ một ngoại lực F t Theo định luật thứ hai của Newton, ta có thể phân tích ảnh hưởng của lực này đến chuyển động của lò xo.

2 2 d x dx m dt FdhFgc F t   kx c dt F t

Vì vậy, chuyển động của lò xo bị chi phối bởi phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất sau

Có một dạng ngoại lực thường hay xuất hiện, đó là lực có dạng tuần hoàn

   m Trong trường hợp này và với điều kiện lực giảm chấn không tồn tại, ta tìm được nghiệm phương trình trên

Mạch điện bao gồm một sức điện động E, được cung cấp bởi ắc quy hoặc máy phát điện, cùng với một điện trở R, một cuộn cảm L và một tụ điện.

C Nếu điện tích trên tụ điện tại thời điểm t là Q Q t   , thì cường độ dòng điện tỷ lệ với sự biến thiên của Qtheo t I , dQ

Sự sụt áp đi qua điện trở, cuộn cảm và tụ điện là , dI Q,

RI Ldt C Định luật Kirchhoff về điện áp nói rằng tổng các sụt áp này bằng với điện áp cung cấp, nên ta có

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng được biểu diễn như sau: L d²Q/dt² + R dQ/dt + Q/C = E(t) Nếu biết điện tích Q0 và cường độ dòng điện I0, chúng ta có thể xác định được điều kiện ban đầu cho hệ thống.

4.3.6 Phương trình chuyển động của hành tinh trong hệ mặt trời

Xét chuyển động của một hành tinh xung quanh mặt trời, với mặt trời được coi là cố định tại gốc tọa độ trong không gian ba chiều Hành tinh được giả định là tương đối nhỏ, do đó lực tác động lên mặt trời là không đáng kể Theo định luật hấp dẫn của Newton, mặt trời tạo ra một lực tác động lên hành tinh ở vị trí x thuộc không gian ba chiều, hướng về phía mặt trời, với độ lớn được tính bằng công thức Gm_s m_p / r^2, trong đó m_s là khối lượng của mặt trời, m_p là khối lượng của hành tinh, G là hằng số hấp dẫn, và r là khoảng cách giữa mặt trời và hành tinh Áp dụng định luật thứ hai của Newton, ta có thể thiết lập phương trình vi phân mô tả chuyển động của hành tinh.

3 p 2 s p d x x m Gm m dt   x Để đơn giản, ta có thể đổi đơn vị sao cho các hằng số bằng 1 và nhận được phương trình vi phân

Chú ý rằng ( )F x là một trường lực xuyên tâm và bảo toàn, do đó

3   x gradU x x  ở đó thế năng Ucho bởi

Trong nghiên cứu đường cong nghiệm của phương trình, momen góc l và năng lượng toàn phần E được xem là hằng số theo thời gian, giữ giá trị không đổi tại mọi điểm trên đường cong Trường hợp l = 0 tương ứng với chuyển động thẳng hướng về hoặc ra xa mặt trời, do đó ta giả định l ≠ 0 Trong hệ tọa độ cực (r, θ), các biến này là hàm của thời gian (r(t), θ(t)) Momen góc được xác định bởi công thức 2 d l r dt.

  là hằng số khác 0 nên dấu của d dt

Động năng không giữ nguyên theo mỗi đường cong nghiệm, mà luôn tăng hoặc giảm theo thời gian Do đó, ta có thể coi r là hàm của θ dọc theo đường cong nghiệm Đặt W(t) = r(t)1, lưu ý rằng W cũng là hàm của θ và W = -U.

W dr d d d dt dt dt l dt

  r Thay các biểu thức này vào biểu thức ở trên của động năng K ta có được

Bây giờ ta tìm một phương trình vi phân liên hệ giữa W và K

  Đạo hàm hai vế theo , sau đó chia cho 2dW d và dùng dE 0 d  (bảo toàn năng lượng) ta nhận được phương trình

Chú ý rằng đây chính là phương trình dao động điều hòa với ngoại lực hằng số 1 2 l

BÀI TẬP CHƯƠNG 4

Bài 1 Giải các phương trình sau

3 y'cos 2ysiny0 4 x 2  y dx 2  xdy ydx

Bài 2 Tìm nghiệm các phương trình sau

Bài 3 Giải các phương trình sau

Bài 4 Một lò xo có chiều dài tự nhiên là 0,75mvà một vật có khối lượng 5kg Người ta cần một lực 25Nđể giữ lò xo bị kéo giãn với độ dài 1m Nếu lò xo bị kéo giãn với độ dài 1,1mvà sau đó được thả ra với vận tốc 0 Hãy tìm vị trí của vật sau tgiây?

Bài 5 Một lò xo treo một vật có khối lượng 2kgcó hệ số giảm chấn là 14 Người ta cần một lực 6N để giữ lò xo bị kéo giãn thêm 0,5mso với chiều dài tự nhiên của nó Lò xo bị kéo giãn thêm 1m so với chiều dài tự nhiên và sau đó thả ra với vận tốc 0 a) Tìm vị trí của vật tại thời điểm t bất kỳ b) Tìm khối lượng của vật nặng sao cho tạo ra giảm chấn tới hạn

Bài 6 Một lò xo treo một vật có khối lượng 8kg bị kéo giãn thêm 0,4m với chiều dài tự nhiên bằng một lực 32N Lò xo bắt đầu tại vị trí cân bằng của nó và được cho một vận tốc ban đầu là 1 /m s Tìm vị trí của vật tại thời điểm t bất kỳ

Bài 7 Người ta cần một lực 13Nđể kéo giãn một lò xo gồm một vật nặng có khối lượng 2kgthêm 0,25mso với chiều dài tự nhiên của nó Hệ số giảm chấn của lò xo là c8 Nếu vật bắt đầu tại vị trí cân bằng với vận tốc 0,5 /m s Tìm vị trí của vật tại thời điểm t

Bài 8 Tìm điện tích và cường độ dòng điện tại thời điểm t trong mạch điện nếu R  40 ,   L 1 , H C  16 10   4 F E t ,    100cos10 t, với điện tích và cường độ dòng điện đều bằng 0

Bài 9 Một mạch điện nối tiếp chứa một điện trở R 24 , một cuộn cảm với 2

L H, một tụ điện với C0,005F, và một ắc quy 12V Điện tích ban đầu 0,001

Q Cvà cường độ dòng điện ban đầu bằng0 Tìm điện tích và cường độ dòng điện tại thời điểm t

Bài 10 Một mạch điện nối tiếp chứa một điện trở R 20 , một cuộn cảm với 1

L H , một tụ điện với C0,002F, và một máy phát điện làm sản sinh một

124 điện áp E t    12sin10 t Nếu điện tích và cường độ dòng điện ban đầu đều bằng0, hãy tìm điện tích và cường độ dòng điện tại thời điểm t.