Vẽ quỹ Đạo của vật khi có phương trình chuyển Động

MATLAB cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trnh máy tính viết trên

ĐẠI H C QU C GIA TP.HCM Ọ Ố TRƯỜNG ĐẠI H C BÁCH KHOA Ọ

ĐẠI H C QU C GIA TP H CHÍ MINH Ọ Ố Ồ

TRƯỜNG ĐẠI H C BÁCH KHOA Ọ

2 Nguy n Cao Minh Hào ễ

3 Nguyễn Phước Hậu

Hình 5.1 Hình ảnh đoạn code được th c hiự ện

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

MATLAB (tên viết tắt của Matrix laboratory) là phần mềm cung cấp môi trường tính toán số và lập trnh MATLAB cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trnh máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trnh khác.MATLAB dùng để giải quyết các bài toán về giải tích số, xử lý tín hiệu số, xử

lý đồ họa mà không phải lập trnh cổ điển Hiện nay, MATLAB có đến hàng ngàn lệnh và hàm tiện ích Ngoài các hàm cài sẵn trong chính ngôn ngữ, MATLAB còn có các lệnh và hàm ứng dụng chuyên biệt trong các Toolbox để mở rộng môi trường MATLAB, nhằm giải quyết các bài toán thuộc các phạm trù riêng Các Toolbox khá quan trọng và tiện ích cho người dùng như toán sơ cấp, xử lý tín hiệu số, xử lý ảnh, xử

lý âm thanh, ma trận thưa, logic mờ…

Trong Vật lý, ngày nay, con

người không chỉ xây dựng các kiến

thức dựa trên thực nghiệm mà còn dựa

vào những kết quả có được trên những

phần mềm được thiết kế để giả lập các

thực nghiệm Trong đó, cùng với một

số phần mềm khác, MATLAB được

xem như là một công cụ tiêu biểu để giả

lập các thí nghiệm vật lý; một số các

ứng dụng của MATLAB trong vật lý có

thể kể đến trong các lĩnh vực như cơ

học, điện từ, sóng, …

Hình 1.1 Ứng dụng của MATLAB trong Vật lý

(vatlymophong.com)

Ngoài ra, v Vật Lý thường được cho là một môn học khó hiểu và khô khan, khó ứng dụng thực tế nếu chỉ học cách sử dụng các công thức vật lý như thông thường, nên MATLAB còn được ứng dụng để giảng dạy cũng như giải các bài toán vật lý, góp phần khiến cho việc học một môn học đại cương không còn trở nên nhàm chán, khiến

cho sinh viên, học sinh trở nên dễ dàng hơn trong việc tiếp cận với các thí nghiệm, cũng như ứng dụng của Vật lý trong thực tế

V vậy, nhóm chúng em thực hiện đề tài “Vẽ quỹ đạo của vật khi có phương

trình chuyển động” để hiểu rõ hơn những ứng dụng của các công thức vât lý đã được

dạy và để tm ra những ưu nhược điểm của việc giải các bài toán vật lý bằng phần mềm MATLAB so với cách giải thông thường

1.2 Yêu cầu đề bài

- S dử ụng Matlab để ả gi i bài toán:

{𝑥 = 3𝑡2−43 𝑡3

𝑦 = 8𝑡

a Vẽ qu o cỹ đạ ủa vật trong khoảng th i gian tờ ừ t = 0 đến t = 5s

b Xác định bán kính cong R của quỹ đạ ạo t i thời điểm t = 1s

1.3 Điều kiện

- Có kiến thức lập trnh cơ bản trong MATLAB

- Tìm hi u các lể ệnh cơ bản liên quan đế symbolic và đồ ọa n h

1.4 Nhiệm vụ

- Xây dựng chương trnh Matlab:

1) Nhập các giá tr ban d u (nhị ầ ững đại lượng đề cho)

2) Thiết lập các phương trnh tương ứng S d ng các lử ụ ệnh symbolic để ải hệ giphương trnh

3) Vẽ hình

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 T ng quan ổ đề tài

- Để xác định vị trí của một chất điểm M trong không gian, người ta gắn vào hệ trục tọa độ, hệ tọa độ thường dùng là hệ tọa độ Descartes với ba tr c Ox, Oy, và Oz ụvuông góc v i nhau tớ ừng đôi một, h p thành m t tam di n thu n V trí cợ ộ ệ ậ ị ủa điểm M s ẽ

hoàn toàn được xác định nếu ta xác định được các thành ph n x, y, z cầ ủa vectơ vị trí 𝑂𝑀

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = 𝑟 (x, y, z) ( g𝑟 ọi là bán kính vectơ được v t g c c a h tẽ ừ ố ủ ệ ọa độ đến v trí cị ủa chất điểm M)

- Khi chất điểm M chuyển động, vectơ vị trí 𝑟 s ẽ thay đổi theo thời gian:

2.2.1 Định nghĩa chuyể n đ ộng cơ học

- Chuyển động cơ học: S ự thay đổi vị trí ủ c a vật này đối với vật kh c hoá c sựthay đổi vị trí giữa các phần của một vật đối với nhau

2.2.2 Chất điểm

-Chất điểm là những vật có khối lượng nhưng kích thước không đáng kê so với

nh ng kho ng cữ ả ách khảo sát

2.2.3 Vector tọa độ và phương trình chuyển động

- Quỹ đạo chuyển động: Đường cong mà chất điểm v ch ra trong không gian ạkhi chuyển động

- Phương trnh quỹ đạo: Bi u di n m i quan h gi a c c tể ễ ố ệ ữ á ọa độ không gian của chất điểm

Phương trnh quỹ đạo Parabol:

𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥+ 𝑐(với a khác 0)

- Phương pháp tm phương trnh quỹ đạo:

+ Bước 1: Từ s chuy n dự ể ời tm phương trnh chuyển động theo th i gian ờ

𝑟 = 𝑟 (𝑡) + Bước 2: Khử t để tm phương trnh quỹ đạo có d ng ạ

- Theo định nghĩa của đạo hàm ta có th viể ết:

- Dấu xác định chi u chuyề ển động:

+ v > 0, quỹ đạo chuyển động theo chiều dương của quỹ đạo;

v < 0, chất điểm chuyển động theo chiều ngược lại

- Giá trị độ ớ l n của v xác định độ nhanh ch m c a chuyậ ủ ển động t i t ng thạ ừ ời điểm

Vậy: V n tậ ốc là đại lượng vật lý đc trưng cho chiều và độ nhanh ch m c a chuyậ ủ ển động chất điểm Để đc trưng một cách đầy đủ ề cả phương, chiều và độ nhanh chậm vcủa chuyển động chất điểm, người ta đưa ra một vectơ gọi là vectơ vận tốc

2.2.6 Gia tốc

- Định nghĩa vectơ gia tốc: Gia tốc là đại lượng ậ v t lý đc trưng cho sự thay đổi của ậ v n t c theo ố thời gian Nó là một trong những đại lượng cơ bản dùng để mô

tả chuyển động Cũng như vận tốc, gia tốc là đại lượng vector

- Chuyển động tăng tốc khi vectơ gia tốc cùng chiều với chiều chuyển động; giảm tốc khi vectơ gia tốc ngược chiều với chiều chuyển động; đổi hướng khi véc tơ gia tốc có phương khác với phương chuyển động

2.2.6.1 Gia t c trung bình ố

- Gia t c trung bình trong m t kho ng th i gian cố ộ ả ờ ụ thể là t s gi a sỉ ố ữ ự thay đổi

v n t c (trong kho ng thậ ố ả ời gian đang xét) và khoảng thời gian đó Gia tốc trung bình là

bi n thiên cế ủa vận t c chia cho bi n thiên c a thố ế ủ ời gian

𝑎𝑡𝑏

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 =𝑣 − 𝑣𝑡 − 𝑡󰇍󰇍󰇍󰇍0

𝛥𝑡2.2.6.2 Gia tốc tức th i ờ

- Gia t c t c thố ứ ời của m t vộ ật tại m t thộ ời điểm bi u diể ễn s ự thay đổi về vận tốc trong m t kho ng th i gian vô cùng nh quanh ộ ả ờ ỏ thời điểm đó chia cho khoảng th i gian ờ

vô cùng nh này Nó có th ỏ ể được tính theo công thức:

𝑎 =𝑑𝑣 𝑑𝑡

2.2.7 Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến

- Trong quá trình chuyển động, v n t c c a chậ ố ủ ất điểm có thể thay đổ ả ề đội c v

lớn cũng như về phương và chiều Vậy nên để biểu diễn sự thay đổi của vận tốc, gia

tốc được phân tích thành hai thành phần đc trưng cho sự thay đổ ủi c a v n t c t c v ậ ộ ố ề

độ ớ l n và về phương chiều:

𝑎 = 𝑎󰇍󰇍󰇍 + 𝑎𝑡 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑛Trong đó

- Gia t c ti p tuyố ế ến đc trưng cho sự biến thiên c a vector v n t c vủ ậ ố ề độ ớ , l nvector này có: Phương trùng với tiếp tuyến của quỹ đạo, có chiều là trùng với chuyển

động khi v tăng và ngượ chiềc u chuyển độn khi giv ảm, và độ n b lớ ằng đạo hàm độ n lớ

v n t c theo th i gian ậ ố ờ Biểu thức:

𝑎𝑡

󰇍󰇍󰇍 =𝑑𝑣 𝑑𝑡

- Gia tốc pháp tuyến đc trưng cho sự ế bi n thiên v ề phương của vector v n tậ ốc, vectơ gia tốc này có: Phương trùng với phương pháp tuyến của quỹ đạo, chiều hướng

Ta có thể giải bài toán như sau:

- Chọn tr c Oy chiụ ều dương hướng lên, g c O v ố ở ị trí ban đầu của vật

Phương trnh chuyển động của vật: {𝑥 = 3𝑡2−34𝑡3

b Tính bán kính cong tR ại thời điểm t=1s

CHƯƠNG 3 MATLAB 3.1 Các bước giải bài toán bằng MATLAB

- Bước 1: Xác đ nh nhi m v và yêu c u c a bài toán ị ệ ụ ầ ủ

- Bước 2: Tìm hiểu các cơ sở lý thuy t v t lý và các câu l nh MATLAB c n áp d ng ế ậ ệ ầ ụ

để giải bài toán

- Bước 3: Vẽ sơ đồ khối

- Bước 4: Giải bài toán b ng MATLAB ằ

- Bước 5: Đối chi u k t qu c a MATLAB vế ế ả ủ ới bài toán được gi i theo cách t ả ự luận

- Bước 6: Đưa ra kết qu , kả ết luận, ý nghĩa của đề tài

3.2 Gi i bài toán bả ằng sơ đồ khối

a V ẽ phương trình quỹ đạo c a v t trong khoủ ậ ảng thời gian t=0 đến t=5s

Hình 3.1 Sơ đồ khối A

b Tìm bán kính cong tR ại thời điểm t=1s

Hình 3.2 Sơ đồ khối B

3.3 Các câu lệnh MATLAB được s dử ụng

+ Lệnh syms: dùng để khai báo các biến được s d ng ử ụ

- Cú pháp: syms + (tên bi nế )

Trong lệnh syms, ta có th khai báo nhi u biể ề ến được dùng cùng một lúc

- Ví dụ: syms x, y, z

+ Các câu lệnh gán: dùng để gán giá tr cho bi n ị ế

- Cú pháp: (tên biến c n gán giá tr ầ ị) = (giá tr ị được gán)

Câu l nh trên còn có th gán các giá tr c a bi n này cho bi n khác ệ ể ị ủ ế ế

Lệnh lable: dùng để đt tên cho các trục của đồ thị

- Cú pháp: xlabel(‘(tên trục)’) được dùng để đt tên cho trục x

Tương tự ệnh lable cũng được dùng để, l đt tên cho các trục khác trong hệ tọa trục tọa

độ Decartes

- Ví dụ: xlable(‘Truc thoi gian’)

ylable(‘Truc van toc’)+ L nh gridệ : dùng để hiển th ị lưới của đồ thị

- Cú pháp: Grid on để ể hi n th ị lưới của đ thịồ

Grid off đề ắt hiể ị lưới cho đồ thịĐối với lệnh grid, MATLAB sẽ được đt mc định là Grid off Vậy nên khi không khai báo Grid on, máy tính s t hi u r ng không v ẽ ự ể ằ ẽ lưới cho đồ thị

+ Các lệnh để tính đạo hàm

- Cú pháp: diff(tên hàm c n tínhầ , tên bi nế ) để tính đạo hàm c p 1 ấ

diff(tên hàm c n tínhầ , tên bi nế , n) để tính đạo hàm c p n ấ

- Ví dụ: Tính đạo hàm c p 1 và c p 2 c a hàm ấ ấ ủ 𝑓 = 2𝑥2 có thể được viết như sau

- Cú pháp: (hàm chuyển đổi số) ((s cố ần được chuyển đổi))

Trong đó, hàm chuyển đổi số là mộ ố t s hàm cho trước trong thư viện c a MATLAB ủ

Hình 3.3 Một số các hàm chuy ển đổ ự liệu trong MATLAB i d

- Ví dụ: A đang có giá trị𝑎 = 8,15 sau khi tính toán, nế ực tiếu tr p xu t d u, ấ ữ liệoutput s có kẽ ết quả 𝑎 = 8 ậy nên để, v chính xác hơn ta dùng lệnh chuyển đổi sang sốthập phân b ng l nh: single(a) ho c double(a) ằ ệ 

3.4 Ti n hành gi i bài toán bế ả ằng phần m m MATLAB ề

3.4.1 Vẽ quỹ đạo

- Khai báo các biến cần x, y, t trong phương trnh chuyển động động vào cửa sổ Editor- cửa sổ chính để thực hiện các lệnh l p trình trong MATLAB Nhậ ập phương trnh chuyển động đã cho trước và bắ ầt đ u gi i bài toán ả

Hình 3.4 Nhập các d ữ kiệ n đ bài đã cho ề

- S d ng lử ụ ệnh fplot để ẽ v quỹ đạo c a v t trong h tủ ậ ệ ọa độ 𝑂𝑥𝑦 Điều chỉnh độ giá tr ị

bi n trong kho ng giá trế t ả ị [0; 5], độ ộ r ng c a nét v bủ ẽ ằng 1 Đt tên cho trục Ox là

“Truc x (x theo t)” và trục Oy là “Truc y (y theo t)”

- Đt tên cho đồ thị là “ Quy dao trong khoang thoi gian tu t = 0 den t = 5s” Sau đó, chọn Run để xuất kết quả của bài toán

3.4.2 Tính bán kính cong

- S d ng các câu l nh symbolic trong MATLAB k t h p v i các công th c vử ụ ệ ế ợ ớ ứ ật lý để

giải bài toán

- Tính các giá trị vx, v , a , ay x y ằb ng các lệnh tính đạo hàm Từ đó, tính ra gia tốc toàn

ph n và gia tầ a ốc tiếp tuy n ế atsau đó tính gia tốc pháp tuyến c a chuyủ ển động cong

- Gán giá trị t = 1 để tính t i thạ ời điểm t = 1s Sau đó áp dụng công thức để tính bán kính cong c a chuyủ ển động t i thạ ời điểm t = 1s Xu t giá tr R b ng l nh disp cùng ấ ị ằ ệ

lệnh double để ra kết qu ả chính xác hơn

Hình 3.5 Tính bán kính cong R của qu ỹ đạ o

CHƯƠNG 4 KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN

4.1 K t qu ế ả

4.1.1 Qu ỹ đạo chuyển động

- K t qu c a vi c v quế ả ủ ệ ẽ ỹ đạo b ng ph n m m MATLAB cho th y trong kho ng thằ ầ ề ấ ả ời gian t ừ t = 0 đến t = 5s, qu o cỹ đạ ủa vật là một đường hyperbol (Hình 4.1)

Hình 4.1 Quỹ đạo c a v t trong kho ng thủ ậ ả ời gian t = 0 đến t = 5s

- Trong đó, giá trị ủa y theo t tăng dầ c n từ 0 đến 40 đơn vị độ dài trong kho ng thả ời gian từ t = 0 đến t = 5s Giá tr cị ủa x ớn hơn 0 (nằ l m trong kho ng tả ừ 0 đến 1,5 đơn vị

độ dài) trong khoảng th i gian từ ờ t = 0 đến t = 2,25s, giá trị ủ c a x nhỏ hơn 0 (Giảm từ 0

v -ề 93 đơn vị độ dài) kho ng thả ời gian từ t = 2,25s đến t = 5s

4.1.2 Bán kính cong c a chuyủ ển động

- Sau khi nh p các dậ ữ liệu để tính bán kính cong c a chuyủ ển động t i thạ ời điểm t = 1s,

kết quả tính ra được tại thời điểm t = 1s, bán kính của quỹ đạo có giá tr ị là:

R = 35,0464 đơn vị độ dài

Hình 4.2 Bán kính cong t i thạ ời điểm t = 1s

4.2 Kết luận

+ Kết quả ủa bài toán đư c ợc gi i bằả ng MATLAB cho thấy:

- Quỹ đạ o chuyển động của vật là đường hyperbol đúng như đồ thị ủa phương ctrình quỹ o khi kh đạ ử t ở phương trnh chu ển độy ng

- Bán kính cong t i thạ ời điểm t = 1s trùng kh p vớ ới kết qu c a bài toán khi tính ả ủtoán bằng phương pháp thông thường

4.3 Nh n xét ậ

+ Ưu điểm:

- Tính toán chính xác, ít sai sót

- D ễ dàng để mô ph ng lỏ ại quỹ đạ o chuyển động của vật

- Xây d ng mự ột thuật toán có th ng dể ứ ụng để ải nhiề gi u bài toán khác nhau + Nhược điểm:

- Rườm rà, c n trang b thêm nhi u ki n thầ ị ề ế ức để ử ụ s d ng ph n m m ầ ề

- Khó tiếp c n vì MATLAB là mậ ột phần mềm cần tr ả phí để được sử ụ d ng, trong khi đó ta có thể ả gi i bài toán bằng tính toán thông thường

PHỤ Ụ L C

Hình 5.1 Đoạn code được thực hiện