Sáng kiến “ Tìm bội và ớc thật đơn giản” nói về cách tìm bội, ớc và các vấn đề liên quan thật đơn giản là một trong số các sáng kiến của tôi, xin mạnh dạn giới thiệu cùng bạn đọc.. Từ nh
Trang 1A- đặt vấn đề
i/ Lời nói đầu
Toán học là một môn khoa học tự nhiên đầy trí tuệ và bổ ích, tuy nhiên để học đợc toán và đặc biệt là vận dụng toán học vào cuộc sống để giải quyết các bài toán của xã hội thì lại là cả một vấn đề Nhiều khi đối với các thầy cô giáo còn là cả một khó khăn chứ cha giám nói gì đến học sinh Đặc biệt là các em mới bắt đầu đợc tiếp xúc với toán học
Là giáo viên dạy toán và đặc biệt là dạy học sinh yếu kém, tôi luôn phân vân trăn trở và làm mọi cách để tìm ra phơng pháp dạy học cho các em dễ dàng tiếp thu cũng nh vận dụng vào thực tế
Sáng kiến “ Tìm bội và ớc thật đơn giản” nói về cách tìm
bội, ớc và các vấn đề liên quan thật đơn giản là một trong số các sáng kiến của tôi, xin mạnh dạn giới thiệu cùng bạn đọc
II- thực trạng vấn đề nghiên cứu
1) Thực trạng
a Tỡnh hỡnh địa phương:
* Thuận lợi:
- Xó Hải Võn ở gần trung tõm nờn thuận lợi cho việc đi lại học tập cũng như tiếp cận những cỏi mới
* Khú khăn:
- Xó Hải Võn ở gần trung tõm huyện, do tõm lớ người dõn hoang mang khi chia tỏch trường cũng như cú nhiều nờn phần lớn học sinh khỏ giỏi chuyển ra học ngoài thị trấn, việc ụn luyện lại càng khú khăn
b Tỡnh hỡnh nhà trường:
* Thuận lợi:
- Trường THCS Hải Võn ở gần trung tõm nờn thuận lợi cho việc đi lại, số lượng học sinh ớt nờn dễ quản lớ
* Khú khăn:
- Trường THCS Hải Võn ở gần trung tõm nhưng lại khụng cú nguồn học sinh khỏ giỏi nờn khú khăn trong việc ụn luyện cũng như làm thế nào cho học sinh tốt nghiệp tiểu học khụng chuyển ra thị trấn, đặc biệt là gõy được niềm tin cho phụ
Trang 2huynh Điều đó đặt trên vai chúng tôi một trọng trách vô cùng nặng nề mà chưa trường nào trong huyện gặp phải
2) kết quả của thực trạng trên
Từ những thực trạng trên đã đưa đến những kết quả không mong muốn khi mới ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay như sau:
Tại trường THCS Thanh Tân:
Năm học 2004 – 2005
Số học sinh tự tin Số học sinh không
tự tin
Số học sinh lo sợ
Năm học 2005 – 2006
Số học sinh tự tin Số học sinh không
tự tin
Số học sinh lo sợ
Năm học 2006 – 2007
Số học sinh tự tin Số học sinh không
tự tin
Số học sinh lo sợ
Năm học 2007 – 2008
Số học sinh tự tin Số học sinh không
tự tin
Số học sinh lo sợ
Trang 3Năm học 2008 – 2009
Số học sinh tự tin Số học sinh không
tự tin
Số học sinh lo sợ
Tại trường THCS Phú Nhuận:
Năm học 2009 – 2010
Số học sinh tự tin Số học sinh không
tự tin
Số học sinh lo sợ
Tại trường THCS Hải Vân:
Năm học 2010 – 2011
Số học sinh tự tin Số học sinh không
tự tin
Số học sinh lo sợ
Năm học 2011 – 2012
Số học sinh tự tin Số học sinh không
tự tin
Số học sinh lo sợ
Trang 4Kết quả là nhiều học sinh chưa tự tin trong quỏ trỡnh ụn luyện do gặp phải nhiều bài tập khú, dẫn tới việc ụn luyện kộm hiệu quả
Từ những thực trạng trờn, để cụng việc ụn luyện học sinh giỏi giải toỏn bằng mỏy tớnh cầm tay đạt hiệu quả cao, đặc biệt là giỳp cỏc em học sinh tự tin trong việc ụn luyện ngay từ đầu, cũng như trang bị cho cỏc em một đơn vị kiến thức quan trọng, đầy đủ, nhằm nõng cao chất lượng ụn luyện cũng như làm bài, tụi xin mạnh dạn đưa ra sỏng kiến:
2) Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên
Từ thực trạng trên học sinh trờng tôi cũng nh nhiều trờng khác ở miền núi, các em tiếp thu rất chậm những nội dung của môn toán và kết quả trong học tập toán của các em còn rất thấp
Đặc biệt là việc tìm “ ớc” “ bội” “ quy đồng mẫu” cũng nh “ rút gọn phân số” còn rất lúng túng và nhiều em còn không làm đợc khiến giáo viên chúng tôi không khỏi lo lắng, suy nghĩ và
tìm ra giải pháp tối u cho những khó khăn trên Bản thân tôi là giáo viên ôn luyện học sinh giỏi cũng nh bồi dỡng học sinh yếu kém nên lại càng trăn trở, lo lắng Thế là những sáng kiến của tôi
đã ra đời, trong đó có: sáng kiến “ tìm ớc và bội thật đơn giản”
đã đáp ứng đợc nhu cầu tìm ớc, bội cũng nh quy đồng mẫu, rút gọn không hề khó khăn
B- giải quyết vấn đề
I- Các giải pháp thực hiện
Với bản thân! tôi luôn tìm hiểu, tham khảo các tài liệu để bồi dỡng cho mình Đặc biệt là các tài liệu về kiến thức lớp 6, kiến thức mở đầu nhng vô cùng quan trọng để học sinh bớc vào một chân trời rộng lớn hơn ( cấp 2, cấp 3)
Song song với việc nhắc nhở học sinh chăm chỉ học tập, h-ớng dẫn các em cách tự tìm ra lời giải ( cách suy luận) để giải một bài toán bất kỳ, bản thân tôi còn tung ra vấn đề và tạo hứng thú để các em tìm hiểu và tự rút ra kiến thức cho bản thân với
sự trợ giúp hớng dẫn của giáo viên
II- các biện pháp tổ chức thực hiện
Sau đây là quan điểm và một số ví dụ minh hoạ cho sáng
kiến “ tìm ớc và bội thật đơn giản.
1) Kiến thức sách giáo khoa
Trang 51.1 Về số tự nhiên
a) Ước:
- Ta có thể tìm ớc của một số tự nhiên a bằng cách lần lợt chia cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem a chia hết cho số nào, khi đó các số ấy là ớc của a
- Ước chung của hai hay nhiều số là ớc của tất cả các số đó
- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập ớc chung của các số đó
- Muốn tìm ớc chung lớn nhất của hai hay nhiều số tự nhiên lớn hơn một ta thực hiện ba bớc nh sau:
+ Bớc 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố
+ Bớc 2: Chọn thừa số nguyên tố chung
+ Bớc 3: Lập tích các thừa số nguyên tố đã chọn Mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất Tích đó là ớc chung lớn nhất phải tìm
- Để tìm ớc chung của các số đã cho ta có thể tìm ớc của ớc chung lớn nhất
b) Bội
- Ta có thể tìm bội của một số bằng cách nhân số đó lần lợt với 0, 1, 2,
- Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó
- Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó
- Muốn tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số lớn hơn
1 ta thực hiện ba bớc nh sau:
+ Bớc 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố
+ Bớc 2: Chọn ra thừa số nguyên tố chung và riêng
+ Bớc 3: Lập tích các thừa số nguyên tố đã chọn với số mũ lớn nhất Tích đó là bội chung nhỏ nhất phải tìm
- Để tìm bội chung có thể tìm bội của bội chung nhỏ nhất
1.2 Với số nguyên
Trang 6Cho a, b thuộc tập số nguyên, b # 0 Nếu có số q thuộc tập
số nguyên sao cho: a = b q thì ta nói a chia hết cho b; a là bội của b; b là ớc của a
2) Quan điểm của bản thân
Với những đơn vị kiến thức nh trên thì đặt ra trớc học sinh các bài toán nh sau:
Bài toán 1 : Tìm tập các ớc của:
a) 16
b) 320
Giải: Học sinh sẽ làm nh sau:
a) 16 : 1 = 16; 16 : 2 = 8; 16 : 3; 16 : 4 = 4; 16 : 5 ; 16 : 8
= 2; 16 : 16 = 1
Vậy Ư ( 16) = { 1; 2; 4; 8; 16}
Nhng với câu b thì quả thật là khó khăn và chia cho các số
từ 1 đến 320 thì cực kỳ lâu và có thể hết thời gian làm bài mà vẫn chừa làm đợc
Vậy phải làm thế nào?
Nếu là học sinh của tôi thì bài này không hề khó khăn
Ta có thể làm nh sau:
32 16 8 4 2 1
2 2 2 2 2
Nh vậy 320 = 26 5
Trang 7Nên Ư ( 320) = { 1; 2; 22; 23; 24; 25; 26; 5; 5 2; 5 22; 5 23;
5 24; 5 25; 5 26}
Đây là diễn tả thế thôi chứ thực ra đó là:
Ư ( 320) = { 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 10; 20; 40; 80; 160; 320} Vậy để tìm ớc của một số bất kỳ ta làm thế nào?
2.1- Quan điểm 1: là tìm ớc của một số bất kỳ
- Bớc 1: Ta có thể phân tích số đó thành tích của nhiều số chỉ có hai ớc là 1 và chính nó ( sau này gọi là số nguyên tố)
320 = 26.5 ( nếu số tận cùng là 0, có nghĩa chia hết cho 2.5
= 10); (hai số tận cùng là 0 thì chia hết cho 22.52 = 100)
- Bớc 2: Các ớc sẽ là:
+ Số 1
+ Các số đó với số mũ từ 1 đến cao nhất
+ Kết hợp các số đó với nhau với số mũ từ thấp đến cao
5.22; 5.23; 5.24 thực ra là 5.2; 5.4; 5.8; 5.16; 5.32; 5.64;
* Với nguyên tắc là xé nhỏ các số hạng, làm giảm các giá trị
để số lớn thành số bé
Ví dụ 1:
17 lớp học của trờng THCS Thanh Tân có 700 học sinh, nếu tập trung lại để trồng cây thì có thể chia đợc bao nhiêu nhóm với số ngời bằng nhau (có ít nhất một nhóm trởng, một phó)
Giải:
- Số ngời mỗi nhóm phải là ớc của 700
- Ước đó phải lớn hơn hoặc bằng 2
Ta có: 700 = 22.52.7
- Ta lấy 1; các luỹ thừa từ trái sang phải, kết hợp hai luỹ thừa với nhau, kết hợp ba luỹ thừa với nhau
Ư ( 700) = { 1; 2; 4; 5; 25; 7; 10; 50; 20; 100; 14; 28; 35; 175; 70; 350; 140; 700}
Vậy ta có thể chia đợc 2; 4; 5; 25; 7; 10; 50; 20; 100; 14; 28; 35; 175; 70; 350; 140; 700 Nhóm tuỳ ý
Ví dụ 2:
Trang 8Vào đầu năm học phòng giáo dục Nh Thanh có phát động cuộc thi học sinh giỏi máy tính Casio Trong cuộc thi có 235 học sinh tham gia, ban tổ chứa đang băn khoăn không biết nên chia phòng nh thế nào để số thí sinh ở mỗi phòng là nh nhau Nếu
em đợc tham gia chia phòng thi thì em có thể chia đợc mấy phòng?
Giải:
Số phòng thi phải là ớc của 235
Ta có:
235 47 1
5 47
Vậy 235 = 47 5
Ư ( 235) = { 1; 5; 47}
- Nếu một phòng thi thì quá đông thí sinh, không thể thi
- Nếu 47 phòng thi thì mỗi phòng quá ít thí sinh, cần nhiều giám thị, gây lãng phí
- 5 phòng thi là phù hợp, mỗi phòng 47 thí sinh
Ví dụ 3:
Nhân dịp đầu năm mới, Huyện Nông Cống có tổ chức cuộc thi đua thuyền Trong lúc đi ngang qua tôi có nghe thấy ban tổ chức nói mời 250 vận động viên tập trung tại bến đua để chuẩn
bị xuất phát Nhng do vội quá nên tôi không kịp đếm xem có bao nhiêu ngời mỗi đội Bạn có thể giúp tôi xem mỗi đội có bao nhiêu vận động viên tham gia? ( biết rằng họ chỉ đua từ 4 đến 8 vận
động viên mỗi đội)
Giải:
Số ngời mỗi đội phải là ớc của 250 lớn hơn 4 và nhỏ hơn 8
Trang 9250 50 10 2 1
5 5 5 2
Vậy 250 = 2.53
Nên Ư ( 250) = { 1; 2; 5; 25; 125; 10; 50; 250}
Kết luận: Mỗi đội có 5 vận động viên.
Bài toán 2 :
a) Tìm ƯCLN ( 40.5; 40.6)
b) ƯC ( 40.5; 40.6) = ?
Giải:
a) 40.5 = 23.52
40.6 = 24.3.5
Vậy ƯCLN ( 40.5; 40.6) = 23.5 = 40
b) ƯC ( 40.5; 40.6) = Ư ( 40) = { 2; 4; 8; 5; 10; 20; 40}
Với cách giải nh trên thì máy móc và không sáng suốt, đặc biệt khi gặp các số lớn lại càng khó khăn và rất dễ nhầm lẫn với cách tìm BCNN
Vậy phải làm thế nào?
Nếu là học sinh của tôi thì có thể làm nh sau:
40.5 = 40.5
40.6 = 40.2.3
Nhận thấy chỉ có 40 là phần thừa số chung lớn nhất nên ƯCLN
là 40
Thế thì tại sao lại có điều này?
2.2 Quan điểm 2
Ta biết rằng ớc của một số là số mà số đó chia hết cho Nh vậy nếu a là ớc của b thì b = a.k ( phân tích b thành tích của các thừa số, trong đó phải có a)
- Để tìm ớc chung của a và b ta làm thế nào?
Ta thấy nếu a = n.x
Trang 10b = n.y
Rõ ràng n là thừa số chung trong phân tích của a và b Vậy
n là ớc chung của a và b Muốn tìm ớc chung lớn nhất của a và b
ta phải tìm thừa số chung lớn nhất ( không nói đến thừa số nguyên tố)
Ví dụ 1:
a) Tìm ƯCLN (400; 120)
b) ƯC ( 400; 120)
Giải a) 400 = 40.10 = 10.4.2.5
120 = 12.10 = 10.4.3
Vậy ƯCLN ( 400; 120) = 10.4 = 40 ( 40 là phần thừa số chung lớn nhất)
b) ƯC ( 400; 120) = Ư ( 40)
40 = 23.5
Vậy ƯC ( 400; 120) = { 1; 2; 4; 8; 5; 10; 20; 40}
Bạn có thấy đơn giản hơn không
Ví dụ 2:
Tìm ƯCLN (35.40; 35.48)
Giải Với bài này lại càng đơn giản hơn
35.40 = 35.8.5
35.48 = 35.8.2.3
Vậy ƯCLN ( 35.40; 35.48) = 35.8 = 280
Ví dụ 3:
Bạn Nam có một tấm bìa hình chữ nhật kích thớc 75cm và
105 cm Nam muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa cắt hết không thừa mảnh nào, số đo cạnh hình vuông có thể lớn nhất là bao nhiêu cm ( biết rằng số đó là một số tự nhiên)
Giải:
Số đo của mỗi cạnh phải là: ƯCLN ( 75; 105)
Trang 1175 = 5.3.5
105 = 5.3.7
ƯCLN ( 75; 105) = 3.5 = 15cm
Vậy mỗi cạnh hình vuông là 15cm
Bài toán 3:
Tìm bội của số nguyên sau: -12;
Giải:
Học sinh sẽ lo lắng bỡ ngỡ: viết (-12) k nhng không biết biểu diễn tập các bội nh thế nào
Vậy ta phải làm sao?
2.3- Quan điểm 3:
Nhận thấy khi ta học về số tự nhiên thì bội của a là a.0; a 1;
a 2
Vậy bội của -12 là số âm thì sao?
- Số tự nhiên a có bội là a.k ( k là số tự nhiên)
- Số nguyên có bội cũng là a.k ( k là số nguyên)
Nh vậy ngoài số nguyên dơng là bội của -12 còn có số nguyên âm là bội của -12:
Ngoài bội: (- 12) 0; (- 12) 1; (- 12) 2
Còn có: (- 12) (-1); (- 12) (-2)
* Vậy nội dung là tôi muốn nói là gì? Muốn tìm bội của một
số nguyên ta tìm bội của số tự nhiên tơng ứng ( ví dụ: 2 là 2; (-5)
là 5)
Rồi viết thêm các số đối của nó:
Ví dụ: tìm bội của 15
Bội của 15 là: 0; 15; 30; 45
Ngoài ra còn có: -15; - 30; - 45
Tập bội của 15 là: A = { ; -45; -30; -15; 0; 15; 30; 45 }
* Tơng tự khi tìm ớc của một số nguyên a ta tìm ớc của số
tự nhiên tơng ứng, rồi viết thêm các số đối của các ớc đó
Trang 12VÝ dô:
a) T×m íc nguyªn cña 30
b) Béi nguyªn cña -16 = ?
Gi¶i a) 30 = 5.2.3
VËy ¦ ( 30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
Bæ sung c¸c sè: -1; -2; -3; -5; -6; -10; -15; -30
VËy tËp c¸c íc nguyªn cña 30 lµ: B = { 30; 15; 10; 6; 5; -3; -2; -1; 1; 2; -3; 5; 6; 10; 15; 30}
b) B ( 16) = { 0; 16; 32 }
VËy tËp c¸c béi nguyªn cña 16 lµ: T = { ; - 32; - 16; 0; 16; 32 }
Bµi to¸n 4:
a) T×m BCNN ( 24; 40)
b) BC ( 24; 40)
Häc sinh sÏ gi¶i nh sau:
a) 24 = 23.3
40 = 23.5
VËy BCNN ( 24; 40) = 23.5.3 = 120
b) BC ( 24; 40) = B ( 120) = { 0; 120; 240 }
Víi bµi to¸n trªn th× häc sinh cã thÓ lµm dÔ dµng nhng nÕu gÆp bµi to¸n sau ®©y th× c¸c em sÏ lµm thÕ nµo?
VÝ dô: T×m BCNN ( 50.25; 50.40)
- C¸c em sÏ lµm: 50.25 = 54.2
50.40 = 24.53
VËy BCNN ( 50.25; 50.40) = 24.54 = 10.000
- NÕu lµ häc sinh cña t«i th× c¸ch gi¶i nh sau:
50.25 = 50.5.5
50.40 = 50.5.8
VËy BCNN ( 50.25; 50.40) = 50.5 8.5 = 10.000
T¹i sao l¹i cã ®iÒu nµy?
Trang 132.4: Quan điểm 4: Bội của một số a là số b thì b = a.k
( trong thừa số của b phải có a)
Nếu bội chung của a và b là c thì trong thừa số của c phải
có a và b Nói cách khác bội chung phải có tất cả các thừa số của a
và b
* Muốn là BCNN thì chọn số nhỏ nhất trong các số chứa thừa
số của cả a và b
Thế thì các thừa số này mới vừa đủ để chia hết cho a và b
Ta sẽ nhân a với phần thừa số của b mà nó không có
Ví dụ 1: BCNN ( 50.25; 50.40) ?
Giải 50.25 = 50.5.5
50.40 = 50.5.8
So với số trên thì số dới thiếu thừa số 5 vậy nhân 5 vào số d-ới
Ví dụ 2: BCNN ( 800; 2500) ?
document.doc
Giải:
800 = 23.100
2500 = 52.100
Vậy BCNN ( 800; 2500) = 800.25 = 20.000
- Với cách giải này ta tránh đợc việc lập tích các thừa số nguyên tố, đỡ nhầm lẫn giữa cách tìm ƯCLN với BCNN
- Ngoài ra ta không cần phải phân tích hết ra thừa số nguyên tố mà vẫn làm đợc
- Hơn thế nữa rút ngắn đợc thời gian đỡ rờm rà
Ví dụ 3: BCNN ( 260.7; 260.13) ?
Giải:
260.7 và 260.13 đều không thể phân tích số 7 và 13 thành tích của nhiều số tự nhiên #1
Vậy BCNN ( 260.7; 260.13) = 260.7.13
Trang 14Với việc phân tích này nếu các số có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng là chung thì đó là 10 luỹ thừa bấy nhiêu ( thuộc vào thừa số chung không phải phân tích)
Ví dụ 4: BCNN ( 7000; 6000) ?
Giải:
7000 = 7.103
6000 = 6.103
Vậy BCNN ( 7000; 6000) = 6.7000 = 42.000
Với bài này nếu giải theo cách của sách giáo khoa thì thật là khó khăn đối với học sinh
Với quan điểm trên ta có thể vận dụng vào việc quy đồng mẫu và rút gọn phân số thật đơn giản
Ví dụ 1: Rút gọn phân số
Giải:
350 = 10.7.5
2100 = 10.7.5.3.5
Vậy ƯCLN ( 350; 2100) = 10.7.5
Chia cả tử và mẫu cho 10.7.5
Nên: =
Ví dụ 2: Tính +
Giải:
35 = 5.7
21 = 3.7
Vậy BCNN ( 35; 21)= 7.3.5 = 105
Nên: + = + = + =
Nh vậy qua hai bài toán trên bạn có biết tôi muốn nói điều gì hay không?