Là giáo viên dạy toán, đã từng dạy học sinh yếu kém, cũng nh bồi dỡng học sinh khá giỏi, tôi lại càng thấu hiểu những khó khăn mà các gặp phải khi học tập cũng nh vận dụng toán học vào c
Trang 1A- đặt vấn đề
i/ Lời nói đầu
Cũng nh các ngành khoa học khác, Toán học là một ngành khoa học đã ra đời từ rất sớm Nó không chỉ làm thoả mãn các nhu cầu tính toán của con ngời mà còn giúp chúng ta phát triển khả năng t duy lô gíc có tính trừu tợng cao, cũng nh khả năng lập luận thật chặt chẽ và chắc chắn Chính vì toán học có tình trừu tợng cao đó mà
để học đợc toán và đặc biệt là vận dụng toán học vào đời sống để tính toán và giải các bài toán của xã hội lại càng trở nên khó khăn hơn
Là giáo viên dạy toán, đã từng dạy học sinh yếu kém, cũng nh bồi dỡng học sinh khá giỏi, tôi lại càng thấu hiểu những khó khăn mà các gặp phải khi học tập cũng nh vận dụng toán học vào cuộc sống, đặc biệt là sử dụng kiến thức toán học kết hợp với phơng tiện hiện đại nh máy tính điện tử để giải các bài toán thực tế thì lại càng khó khăn, phức tạp hơn rất nhiều Vì vậỵ, bản thân tôi luôn phân vân trăn trở và làm mọi cách để tìm ra phơng pháp dạy học tốt nhất cho học sinh dễ dàng tiếp thu cũng nh vận dụng vào thực tế những kiến thức
đã học, đặc biệt là là môn giải toán bằng máy tính cầm tay, khi học sinh còn thiếu tự tin, thậm chí là hoang mang, lo sợ
Những khó khăn, cản trở ấy đã thôi thúc tôi tìm ra nhiều phơng pháp, sáng kiến dúp học sinh tự tin hơn, ngay từ buổi đầu ôn luyện, tạo động lực để các em học tập đạt kết quả cao hơn cũng nh thành công trong thi cử
II- thực trạng vấn đề nghiên cứu
1) Thực trạng
Tôi là giáo viên đã từng công tác nhiều năm ở trờng THCS Thanh Tân, một năm ở trờng THCS Phú Nhuận, hai năm ở trờng THCS Hải Vân (hiện nay) Vì vậy, ở mỗi trờng có những điều kiện thuận lợi, khó khăn khác nhau
a Tình hình địa phơng:
* Thuận lợi:
- Xã Thanh Tân là xã khó khăn, 135 của huyện nên có học sinh ngoan ngoãn, dễ nghe lời
Trang 2- Xã Phú Nhuận có truyền thống hiếu học, địa phơng quan tâm
đến phong trào khuyến học, khuyến tài
- Xã Hải Vân ở gần trung tâm nên thuận lợi cho việc đi lại
* Khó khăn:
- Xã Thanh Tân đo điều kiện kinh tế khó khăn nên sự quan tâm của địa phơng cha đợc nhiều
- Xã Phú Nhuận do tôi về công tác cha nhiều nên việc tìm hiểu
về học sinh cũng cha đầy đủ
- Xã Hải Vân ở gần trung tâm huyện, phần lớn học sinh khá giỏi chuyển ra học ngoài thị trấn, do tâm lí gời dân hoang mang khi chia tách trờng, nên việc ôn luyện lại càng khó khăn
b Tình hình nhà trờng:
* Thuận lợi:
- Trờng THCS Thanh Tân thuộc xã khó khăn, 135 của huyện nên
đợc đầu t phòng học đủ để học hai ca
- Trờng THCS Phú Nhuận có quan tâm đến phong trào khuyến học, khuyến tài, động viên học sinh trong học tập
- Trờng THCS Hải Vân ở gần trung tâm nên thuận lợi cho việc đi lại, số lợng học sinh ít nên dễ quản lí
* Khó khăn:
- Trờng THCS Thanh Tân thuộc xã khó khăn, 135 của huyện nên trình độ dân trí thấp, không muốn cho con đi học nhiều, lắm lúc phải đến nhà động viên đi học, nên việc duy trì sĩ số đã khó thì việc chọn đội tuyển học sinh giỏi lại càng khó hơn Giáo viên ở xa tr-ờng, phòng học thiếu thốn…
- Trờng THCS Phú Nhuận vẫn phải học hai ca nh Thanh Tân nên không có phòng cho việc ôn luyện nhiều, giáo viên còn phải tranh thủ
ôn vào tiết 5 trống vì nhà xa trờng(bản thân tôi)
- Trờng THCS Hải Vân ở gần trung tâm nhng lại không có nguồn học sinh khá giỏi nên khó khăn trong việc ôn luyện cũng nh làm thế nào cho học sinh tốt nghiệp tiểu học không chuyển ra thị trấn, đặc biệt là gây đợc niềm tin cho phụ huynh Điều đó đặt trên vai chúng tôi một trọng trách vô cùng nặng nề mà cha trờng nào trong huyện gặp phải
2) kết quả của thực trạng trên
Trang 3Từ những thực trạng trên đã đa đến những kết quả không mong muốn khi mới ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay nh sau:
Tại trờng THCS Thanh Tân:
Năm học 2004 – 2005
Số học sinh tự
tin không tự tinSố học sinh Số học sinh lo sợ
Năm học 2005 – 2006
Số học sinh tự
tin không tự tinSố học sinh Số học sinh lo sợ
Năm học 2006 – 2007
Số học sinh tự
tin không tự tinSố học sinh Số học sinh lo sợ
Năm học 2007 – 2008
Số học sinh tự
tin không tự tinSố học sinh Số học sinh lo sợ
Năm học 2008 – 2009
Số học sinh tự
tin
Số học sinh không tự tin
Số học sinh lo sợ
Trang 4Tại trờng THCS Phú Nhuận:
Năm học 2009 – 2010
Số học sinh tự
tin
Số học sinh không tự tin
Số học sinh lo sợ
Tại trờng THCS Hải Vân:
Năm học 2010 – 2011
Số học sinh tự
tin không tự tinSố học sinh Số học sinh lo sợ
Năm học 2011 – 2012
Số học sinh tự
tin không tự tinSố học sinh Số học sinh lo sợ
Kết quả là nhiều học sinh cha tự tin trong quá trình ôn luyện
do gặp phải nhiều bài tập khó, dẫn tới việc ôn luyện kém hiệu quả
Từ những thực trạng trên, để công việc ôn luyện học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay đạt hiệu quả cao, đặc biệt là giúp các em học sinh tự tin trong việc ôn luyện ngay từ đầu, cũng nh trang bị cho các em một đơn vị kiến thức quan trọng, đầy đủ, nhằm nâng cao chất lợng ôn luyện cũng nh làm bài, tôi xin mạnh dạn
đa ra sáng kiến:
Trang 5“ Kinh nghiệm ôn luyện thi học sinh giỏi môn giải toán bằng máy tính cầm tay”
Bằng cách đa ra phơng pháp hợp lí cho nhiều bài toán khó, giúp các em tránh đợc hoang mang và vững tin hơn trong khi ôn luyện cũng nh làm bài thi
B- giải quyết vấn đề
I- các giải pháp thực hiện
Nhận thức đợc những khó khăn trên, tôi đã đa ra nhiều giải pháp phù hợp nhất trong quá trình ôn luyện của mình.Trong đó phải
kể đến nh:
- Cho học sinh làm quen với nhiều dạng toán từ dễ đến khó
- Nhắc lại những kiến thức liên quan và có sự liên hệ giữa chúng
- Nghiên cứu tài liệu, học tập đồng nghiệp để nâng cao chuyên môn
- Khuyến khích động viên học sinh, tạo cảm giác thoải mái
- Tìm ra phơng án hay cho cho những bài toán khó
- Dặn dò học sinh về cách làm bài cũng nh sử dụng đồng hồ trong khi thi
Tất cả những yếu tố trên đã giúp thầy trò chúng tôi vợt qua khó khăn, và dành đợc thành công nhất định
II- biện pháp để tổ chức thực hiện
1 Cho học sinh làm quen với bài toán từ lớp 6 đến lớp 9, với mức
độ khó tăng dần: ƯCLN, BCNN, tính giá trị bểu thức, đa thức…
2 Ngoài những kiến thức sách giáo khoa còn bổ sung cho các
em một số nội dung liên quan ở lớp trên:
+
+ công thức gần đúng: Khi x>o, rất nhỏ hơn 1 thì:
Trang 6+ định lí hàm sin, hàm cos ở lớp 10.
+ hằng đẳng thức bậc n theo tam giác pascal(lớp12)
3 Phơng pháp giải cho một số bài toán khó thờng gặp: Tài
liệu này tôi viết cho máy tính Casio 570 MS Hoặc Vinacal 570 MS, vì
đây là máy tính có đủ chức năng và giá thành rẻ, chất lợng đảm báo hơn dòng 570 Es nên học sinh có thể mua đợc
3.1-Dạng toán 1: Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình:
Ví dụ1: Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình: x+ (1) Với bài toán này, việc giải bình thờng với một giáo viên đã là khó chứ cha nói gì đến học sinh
Vậy phải làm thế nào?
Ta có thể làm nh sau: dùng phép lặp
-Ta có (1) x=
- chọn x bằng số bất kỳ: x=2 Chẳng hạn
- Nhập 2= 1 - 5 Shift Ans= = =…
x=1,63511843 hoặc x= -0,103341218
nó sẽ tính kết quả 1- nhiều lần đến khi kết quả thay đổi không đáng kể nên máy tính dừng lại ở một số nhất định, đó chính
là x
Ví dụ2: tìm nghiệm gần đúng của phơng trình sau:
(2)
Ta có thể làm nh sau :
(2)
Chọn x=3
3+16 Shift (5-Ans) ===…
x=1,08975622
là nghiệm gần đúng của phơng trình
Trang 7Cách 2: dạng toán này còn có một cách nữa sau:
Ta nhập nguyên phơng trình với dấu bằng màu đỏ
Rồi ấn Shift Solve hai lần
Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình:
Ta làm nh sau:
Nhập vào màn hình: (từ bài toán này về sau, ta bỏ qua việc trình bày ấn phím SHIFT và AlPHA khi nhập biểu thức
để bài toán nghắn gọn, dễ hiểu)
Rồi ấn: Shift Solve Shift Solve
đợi một lúc máy giải đợc: x=-0.61803…
Nhng cách này ta lại không giải đợc bài toán: nên tùy từng trờng hợp cụ thể ta có thể ta có thể vận dụng 1 trong 2 phơng pháp để giải bài toán
Nh vậy, thông qua dạng toán này, chúng ta có thể tìm đợc nghiệm gần đúng của rất nhiều bài toán khó khác nhau, thậm chí là
chính xác, và học sinh “giỏi toán” có thể nhẩm đợc nghiệm và tìm
ra cách biến đổi
3.2- Bài toán 2: Tìm x chữ số tận cùng:
Ví dụ 1: 1: a tìm hai chữ số tận cùng của:
b tìm hai chữ số tận cùng của:
Với bài toán dạng này mà tính trực tiếp thì quả thật là khó, vì kết quả tràn màn hình hay máy không tính đợc
Vậy phải làm nh thế nào?
Ta có thể làm nh sau:
Nhận thấy: 25 = 20 + 5
344 = 340 + 4
Vậy 1 chữ số tận cùng là số d trong phép chia cho 10
Tơng tự 2 chữ số tận cùng là số d trong phép chia cho 100
3 chữ số tận cùng là số d trong phép chia cho 1000
n chữ số tận cùng là số d trong phép chia cho
Trang 8Mà dựa vào hằng đẳng thức bậc n thì: (a.b+r)n khi chia cho b thì số d phụ thuộc vào mỗi rn ở cuối cùng nên ta làm giảm dần giá trị của chúng:
Mỗi lần tính ta chỉ để lại hai chữ số tận cùng rồi tính toán với nhau
b Tơng tự: = (1+2+22)=7
nên hai số tận cùng là: 68.7=476 vậy 76 là số cần tìm
Đây cũng là bài toán rất khó, khi học sinh gặp phải, sau khi h-ớng dẫn cho các em, học sịnh của tôi rất hứng thú và tự tin hơn
nhiều, dúp cho các em học tập tự giác, tích cực hơn
3.3 -Dạng 3: tìm công thức tổng quát của dãy số và chứng minh
tìm công thức truy hồi của dãy số và chứng minh
Ví dụ 1: a cho dãy số (1)
Với: và (n )
Tìm công thức tổng quát và chứng minh
b nếu dãy số có công thức tổng quát sau đây thì công thức truy hồi là gì, chứng minh công thức đó:
(2)
Ta có thể thực hiện nh sau:
xét phơng trình đặc trng sau: (1)’
hệ số của x2, x, hệ số tự do lần lợt là: hệ số của
(1)’ nên x1=2+ và
Vì nên ta chó hệ phơng trình:
Giải ra ta đợc: rổi thay vào (*)
(3) là công thức tổng quát cần tìm
Ta chứng minh phơng trình: (3)
Thật vậy: (3)
Trang 9(Thêm bớt để xuất hiện 4 )
(1) Vậy điều phải chứng minh
b Ta làm tơng tự nhng ngợc lại:
Xét phơng trình:
Nên công thức tổng truy hồi là: (4)
Ta chứng minh tơng tự câu a: (2) (4) hay (4) (2) nên (4) là công thức cần tìm
Rõ ràng, đây là một dạng toán rất khó mà nhiều đề thi đa ra, nhng hầu nh các phơng pháp giải là dài dòng, không có cơ sở chặt chẽ, nên việc tìm ra phơng pháp này có tác dụng rất lớn đến học sinh
3.4 Dạng 4: thực hiện phép tính tràn màn hình:
Ví dụ: tính chính xác kết quả của phép nhân sau:
23456.789101112
Nếu dùng máy tính sẽ đợc kết quả nh sau:1,850915568.1013 nh vậy chúng ta cha thể biết đợc những số còn ở ngoài màn hình là gì:
Vậy phải làm thế nào đây?
Tôi đã hớng dẫn học sinh của mình nh sau:
Ta nhận thấy: số 8 cuối cùng trong kết quả có thể không đúng, còn những chữ số bên trái nó đều là số đúng: 185091556
Di chuyển dấu phẩy về bên trai tám chữ số thì kết quả là:
185091556.105
Chứng tỏ còn 5 chữ số cha biết: ta nhân 5 số cuối của chúng với nhau
23456 01112 = 23456.1112 = 26083072 vậy 5 số cuối là 5 số không nhìn thấy ta cần tìm, nên kết quả là: 18509155683072
Nếu vẫn cha tìm hết ta lại tiếp tục nh trên rồi ghép chúng lại với
nhau
Trang 10Đây cũng là một dạng toán rất hay, nhằm khặc phục nhợc điểm của màn hình máy tính
3.5 Dạng 5: Gán nhiều biến thay đổi, tính giá trị biểu thức :
Ví dụ: Tính tổng M=
Ta có thể làm nh sau:
Gán 3 cho A
Gán 10 cho B
Gán 0 cho M
Nhập nguyên biểu thức M=M+Bx2A:A=A+1:B=B-1 ( với = và : màu đỏ)
Rồi ấn = = =… bội của ba dấu bằng
Dấu bằng đầu tiên tính đến số hạng thứ nhất của tổng 10.23 Dấu bằng thứ 2: A thêm 1 đơn vị
Dấu bằng thứ 3: B bớt 1 đơn vị
Dấu bằng thứ t: M mới bằng M cũ cộng với B mới nhân với 2 mũ A mới
… cứ lặp lại đến khi B=1 Thì ấn bằng để tính M và dừng lại Khi giải toán dãy số mà biến sau phụ thuộc vào một biến trớc…
thì chúng ta chỉ cần nhập theo Ans rất đơn giãn Nhng, với những
bài toán có nhiều biến nh thế này thì quả thật là phải gán và cho máy tính lần lợt từng biến một Quan trọng là phải biết cách nhập để
đỡ phải bấm nhiều, mà chỉ cần:= = =…
3.6 Dạng 6: Kiểm tra một số lớn có phải là nghuyên tố hay
không:
Ví dụ: 2011 có phải là nguyên tố không, nếu là hợp số thì tìm
một ớc nguyên tố của nó? Ta kiểm tra xem 2011 có chia hết cho số nguyên tố nào mà bình phơng không vợt quá 2011
( kết quả là 44,84…) Vì 2011 lẻ nên ta chỉ cần kiểm tra xem chia hết cho số lẻ nào nhỏ hơn hoặc bằng 43
Gán 3 cho A rồi nhập :
2011 A:A=A+2( : và = màu đỏ trên máy, là phép chia)
Rồi ấn = =….đến khi 2011 A nguyên hoặc A=43 thì dừng
Ta thấy 2011 A không nguyên nên 2011 là nguyên tố
Với những số nhỏ thì đây là dạng toán không khó Nhng với số lớn, chẳng nhẽ cứ thử chia từng số một thì quá lâu, có thể sẽ hết giờ thi
mà làm vẫn cha xong
Trang 113.6 Dạng 7: Bài toán lãi suất mà tiền gửi cứ mỗi tháng lại gửi
thêm đều đặn, nhng lãi không lấy về mà đập vào gốc
Ví dụ: Bác Năm gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng lãi 0.9%/
tháng ( sau mỗi tháng, lãi đợc cho vào gốc)
a Sau bao nhiêu tháng có 120 triệu tất cả
b. Nếu mỗi tháng gửi thêm 5 triệu thì sau 10 tháng tổng tiền là bao nhiêu
Ta có thể làm nh sau:
a Gọi a là vốn, A là cả gốc và lãi thì, t là số tháng, λ là % thì : A=a.(1+ λ)t
Cách 1: sử dụng công thức gần đúng
(1+ λ)t Khi λ rất nhỏ so với 1(λ=0.009)
Nên t ≈ 22.2 nên t = 23 tháng
Cách 2: sử dụng kiến thức lô ga rít: Từ công thức A=a.(1+ λ)t Suy ra: =(1+ λ)t
Vậy: log( ) = t log(1+λ) hay t = log( ) : log(1+λ) ≈ 20,34 nên t =
21 tháng
Hai cách làm lêch nhau vì cách 1 là công thức gần đúng, λ nhỏ hơn 1 cha nhiều
Nếu λ càng nhỏ thì độ chính xác càng cao
b Tính riêng gốc và lãi của 10 tháng: B=5
gán 2 cho A
1,009 cho M
Nhập vào màn hình:
rồi ấn = = =…khi A= 10 thì đợc M rồi nhân 5
(M là biểu thức trong ngoặc)
B= 52.5 triệu
A=a(1+0.009)10 nên A= 100(1,009)10
= 109,37 triệu
Tổng tền là: A+B= 161,9 triệu
Bài toán gửi tiền thêm đều đặn lại liên quan đến dạng toán gán, học sinh rất lúng túng khi làm bài này mà các em chỉ giải câu b
Trang 12nh câu a.Nên khi hớng dẫn các em rất chăm chú lắng nghe và có hiệu quả
3.8 Dạng 8 : số x là lũy thừa có bao nhiêu chữ số:
Ví dụ: có bao nhiêu chữ số
Cách 1: ấn máy tính có kết quả là: 5,70899…x10 45 nên có 46 chứ số
Nhng nếu thay số 2 bằng 11 thì máy báo lỗi Vậy phải làm nh thế nào
Cách 2: giả sử = 0,abc… thì có n chữ số
Mà
coi 0,abc… là 1 thì nên log
158,29=152log11=n khi 0.abc…tăng lên thành 1 thì n phải giảm để = 158,29
Nên n=159 vậy có 159 chữ số
Coi 0,abc…là 0.1 thì 158,29=152log11=n-1
Nên n=159,29 vì 0,abc giảm xuống thì n phải tăng để
=159,29 nên n thật là 159
Cũng có 159 chữ số
Nh vậy ta có thể coi 0,abc =0,1 hay 1 là tùy ý cũng thu
đ-ợc một kết quả nh nhau
áp dụng cách 2 cho thì n= 152log2 =45,75 vì ta coi
0,abc…tăng thành 1 nên n đã bị giảm vậy n = 46 nên có 46 chữ số
Quả thật, đây là một dạng toán rất khó, tôi đã nghĩ rất lâu mới tìm ra cách giải.Với bài nay, một số tài liệu cũng tính tơng tự nhng lại không chứng minh đợc nên không có giá trị sử dụng mà không biết 45,75… (có ý nghĩa gì)
ở đây: 0,abc…là số thập phân nếu nó tăng lên bằng 1 thì n
ch-a thể giảm đến một đơn vị ( vì n giảm 1 đơn vị thì giá trị giảm
10n thành10n-1nên 0,abc… lại đúng là1 mà điều này trong mấy bài toán trên không sảy ra) nên chỉ có thể làm tròn lên một phần thập phân nào đó.Hơn thế nữa, n là số tự nhiên nên n=x,zcv…thì n=x+1 ( dù phần thập phân nhỏ hơn 0.5 vẫn làm tròn)
Trờng hợp đặc biệt: A=1.10n hay 0,1.10n đều là dạng 10n thì
đơn giãn, nhng bài thi sẽ không ra.Chỉ cần nhìn vào các chữ số của
A khác 1000…thì ta làm nh cách ở trên
3.9 Dạng 9 : Tìm chữ số thập phân thứ n trong phép chia