SKKN kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán tìm tỉ số diện tích của hai hình phẳng dựa vào tích phân

1 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong vài năm gần thi mơn tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, câu hỏi diện tích mức độ vận dụng cao xuất với số lượng nhiều đề thi Nội dung câu hỏi khai thác nhiều khía cạnh khác nhau, nhiều dạng câu hỏi thực gây khó cho thí sinh Nhiều em gặp số loại tốn diện tích cịn lúng túng, đơi không Qua thời gian giảng dạy, nhận thấy rằng, nguyên nhân em chưa nắm vững lý thuyết, chưa biết cách suy nghĩ vận dụng Do vậy, để giúp học sinh tự tin có khả giải tốt câu hỏi diện tích thi đó, việc trang bị cho em kiến thức cách suy nghĩ, kỹ điều cần thiết Với lí đó, thân tơi mạnh dạn nghiên cứu viết đề tài “ Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải số dạng tốn tìm tỉ số diện tích hai hình phẳng dựa vào tích phân” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giúp học sinh biết cách tiếp cận giải tốn Từ tạo hứng thú, động lực để học sinh học môn toán tốt đạt kết cao kỳ thi 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Sách giáo khoa, đề thi thử trường THPT toàn quốc, đề thi THPT QG - Học sinh trường THPT Thọ Xuân 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tham khảo tài liệu: Tìm tịi, hệ thống kiến thức thu thập - Đúc rút kinh nghiệm giảng dạy qua dự giờ, kiểm tra học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy kiểm tra nhiều đối tượng học sinh, kiểm tra nhiều lần nhiều hình thức khác - Tổng hợp phân tích thu thập NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM : Nghị Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ương khóa XI đổi bản, tồn diện giáo dục đào tạo rõ: “ Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực” [1] Trong nhà trường phổ thơng, mơn Tốn giữ vị trí quan trọng vì: + Mơn Tốn mơn học cơng cụ + Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách Như vậy, phát triển tư Tốn học nói chung tốn liên quan đến tính tỉ số diện tích hình phẳng nói riêng góp phần quan trọng vào hình thành phẩm chất, lực người Việt Nam thời đại Trên sở quy tắc bỏ dấu giá trị tuyệt đối phép biến đổi đồ thị, cơng thức tính diện tích Trong mục tơi trình bày lại số phép biến đổi đồ thị số nhận xét quan trọng Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong: Nếu hàm số f ( x) liên tục đoạn [ a; b ] diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng x = a; x = b; y = tính theo b cơng thức: S=∫ a b  ∫ f ( x )dx a f ( x ) dx =  b (1) − f ( x)dx  ∫  a Để khử dấu giá trị tuyệt đối biểu thức f ( x) ta thường thực hiện: Cách 1: Sử dụng “định lí dấu nhị thức bật nhất”và “định lí dấu tam thức bậc hai” để xét dấu biểu thức f ( x) b ( Chú ý: Nếu f ( x) khơng đổi dấu [ a; b ] ta có: S = ∫ f ( x) dx = a b ∫ f ( x)dx ) a Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đoạn [ a; b ] để suy dấu f ( x) đoạn - Nếu đoạn [ a; b ] đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía trục hồnh f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] - Nếu đoạn [ a; b ] đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía trục hồnh f ( x) ≥ 0; ∀x ∈ [ a; b ] Nếu phương trình f ( x) = có k nghiệm phân biệt x1 , x2 ., xk thuộc ( a; b ) khoảng (a; x1 ), ( x1 ; x2 ), ( xk ; b) biểu thức f ( x) có dấu khơng đổi b Khi để tính tích phân S = ∫ f ( x ) dx ta tính sau : a b S = ∫ f ( x ) dx = a x1 ∫ f ( x )dx + a x2 ∫ x1 b f ( x )dx + + ∫ f ( x)dx xk Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong hai đường thẳng x = a; x = b Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x); y = g ( x) liên tục đoạn [ a; b ] hai đường thẳng x = a; x = b , ta có công thức sau: b S = ∫ f ( x) − g( x) dx a Trong công thức trên: Trường hợp hình 1: ta có cơng thức khai triển S: b b a a S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx = ∫ [ f ( x ) − g ( x ) ]dx f ( x) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] Trường hợp hình ta có cơng thức khai triển S : b b a a S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx = ∫ [ g( x ) − f ( x ) ]dx g( x) ≥ f ( x) , ∀x ∈ [ a; b ] Trường hợp hình ta có cơng thức khai triển S : b c b a c S = ∫ f ( x ) − g ( x) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx + ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a c b a c = ∫ ( f ( x) − g ( x )) dx + ∫ ( g ( x) − f ( x)) dx (2) ( Trong c hoành độ giao điểm hai đồ thị hai hàm số y = f ( x); y = g ( x) ) Một cách thức chung người ta thường thực bước sau: Bước1: Nếu hai đường x = a; x = b đề cho thiếu hai giải phương trình f ( x) = g( x) để tìm Bước 2: Áp dụng công thức (2) Bước 3: Rút gọn biểu thức f ( x) − g ( x) , sau xét dấu hiệu Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối 2.2 THỰC TRẠNG VÂN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN Đơn vị công tác bên cạnh thuận lợi quan tâm nhà trường, phụ huynh xã hội giảng dạy tơi nhận thấy cịn nhiều khó khăn, là: Học sinh lớp phân công giảng dạy em khả tiếp thu hạn chế, ham chơi, chưa ý thức tự giác học tập Nhiều học sinh chưa làm toán tính tỉ số diện tích điểm cực trị liên hệ với biểu thức, chưa biết cách tiếp cận, có số em làm khơng giải sai khơng nắm phép biến đổi đồ thị công thức biến đổi tính diện tích 2.3 GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trong phần tơi trình bày hai dạng toán thường gặp định hướng cách giải Dạng 1: Tính tỉ số diện tích hình phẳng giới hạn hàm số bậc 4, đường thẳng x = a; x = b Trong cực trị hàm bậc liên hệ với biểu thức Trường hợp 1: Hàm bậc nhận trục Oy làm trục đối xứng Đối với trường hợp hướng dẫn học sinh thực bước sau: +Tìm hồnh độ điểm cực trị +Tìm hàm số bậc +Tính diện tích phần từ tính tỉ số Bài toán 1: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Biết y = f ( x) đạt cực trị x1 < x2 < x3 , cho x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng với công sai f ( x1 ) = f ( x3 ) = −2 f ( x2 ) Gọi S1 , S2 diện tích phần gạch S1 chéo hình Tính S A 112 118 B 112 15 C 16k D 128 15 Hướng dẫn học sinh giải +Tìm hồnh độ điểm cực trị Theo giả thiết từ hình vẽ ta suy x1 = −2, x2 = 0, x3 = +Tìm hàm số bậc 1  ( k > 0) Suy f ( x) = k ∫ ( x − x )dx = k  x − x + c ÷ 4  4 1 Do f (−2) = f (2) = −2 f (0) ⇒ k (c − 4) = −2kc ⇒ c = Vậy f ( x) = k  x − x + ÷ 3 4 Và f ′( x) = kx( x − 4), +Tính diện tích phần tính tỉ số Gọi S = S1 + S , suy S phần diện tích hình chữ nhật hình vẽ Suy S = 4.4k = 16k ,  8k  128 − x + ÷+ dx = k 3 15   −2 128 112 k= k Suy S = S − S2 = 16k − 15 15 S1 112 Vậy S = 118 S2 =  1 ∫  k  x Bài toán Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) đồ thị ( C ) hình bên, biết ( C ) nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm số y = f ( x ) đạt cực trị điểm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x3 = x1 + 4, f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) = Gọi S1 , S2 , S3 diện tích hình phẳng S1 đánh dấu hình bên Tính tỉ số S + S + S A 30 B 32 30 C 16 15 D 512 15 Hướng dẫn học sinh giải +Tìm hồnh độ điểm cực trị Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng nên f ( x ) hàm số bậc bốn trùng phương Đặt f ( x ) = ax + bx + c Lại có x3 = x1 + , suy x1 = −2, x2 = 0, x3 = +Tìm hàm số bậc Đồng thời cực trị x1 nghiệm phương trình f ′ ( x ) = , với f ′ ( x ) = 4ax3 + 2bx Suy f ′ ( x1 ) = ⇔ −32a − 4b = ⇔ b = −8a Khi f ( x ) = ax − 8ax + c Ta có f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) = ⇔ ( 16a − 32a + c ) + 8c = ⇔ c = Vậy f ( x ) = ax − 8ax + 16 a 16 16   a = a  x4 − 8x2 + ÷ 5  +Tính diện tích phần tính tỉ số  Ta có S1 + S2 + S3 = ( x3 − x1 ) ( f ( x2 ) + f ( x1 ) ) =  16 64  a + a ÷ = 64a   Diện tích phần S S2 = x3 ∫ f ( x ) − f ( x3 ) dx = S1 =  ∫ f ( x ) − f ( x ) dx = ∫ a  x − 8x + −2 x1  ∫ a  x − 8x2 + −2 x1 x2 16  64 512 a ÷+ a dx = 5 15 16  16 224 a; ÷− a dx = 5 15 S tính đối xứng nên S3 = S1 Vậy S + S + S = 30 Trường hợp 2: Hàm bậc không nhận trục Oy làm trục đối xứng hướng dẫn học sinh thực bước sau +Tịnh tiến đồ thị hàm bậc cho đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng + Tìm tọa độ điểm cực trị +Tìm phương trình hàm bậc + Tính diện tích phần tính tỉ số Bài tốn Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Biết hàm số đạt cực trị điểm x1; x2 ; x3 cho x1 + x2 + x3 = 2 f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) = , đồ thị nhận đường thẳng x = x2 làm trục đối xứng Gọi S1 ; S2 diện tích hai hình phẳng gạch hình vẽ bên Tính tỉ số A B C S1 S2 D Hướng dẫn học sinh giải + Tịnh Tiến đồ thị cho có trục đối xứng trục Oy Ta tịnh tiến đồ thị sang trái cho trục đối xứng trùng với Oy , ta hàm số y = g ( x ) , rõ ràng diện tích S1 ; S khơng đổi +Tìm cực trị Theo đề f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) = mà f ( x1 ) = f ( x3 ) = ⇒ f ( x2 ) = Mà x1 + x2 + x3 = 2 , nên hàm số g ( x ) đạt cực trị điểm x1; x2 ; x3 − x1 + + x3 = 2 ( 1) Mặt khác lúc hàm g ( x ) có dạng y = g ( x) = ax + bx + (a > 0) ⇒ g ′( x ) = 4ax + 2bx Mà x1 = − x3 kết hợp ( 1) ⇒ x3 = ⇒ g ′ ( ) = 8a + 2b = ⇔ b = −4a + Tìm hàm số ⇒ g ( x) = ax − 4ax + , g( x3 ) = f ( ) = ⇒ a = Vậy ta có hàm số g( x) = x − x + +Tính diện tích tính tỉ số Gọi S diện tích hình chữ nhật ghép từ S1 ; S2 suy S2 = ∫ − ( x − x + 4)dx = 32 15 S = ⇒ S1 = S − S = − S 32 28 = ⇒ = 15 15 S2 Bài toán Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Biết hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị x1 , x2 , x3 thỏa mãn x3 − x1 = f ( x2 ) = −4 , đồ thị nhận đường thẳng x = x2 làm trục đối xứng Gọi S1 S S1 diện tích hai hình phẳng gạch hình vẽ Tỉ số S A B C D +Tịnh tiến đồ thị Tịnh tiến đồ thị hàm số cho trục Oy qua điểm cực trị x2 , diện tích hình phẳng khơng thay đổi Khi ta có y = f ( x ) hàm số bậc bốn trùng phương Gọi f ( x ) = ax + bx + c với a < Biết f ( x2 ) = f ( ) = −4 ⇒ c = −4 , f ( x ) = ax + bx − + Tìm cực trị Lại có theo x3 − x1 = nên tịnh tiến đồ thị ta có điểm cực trị x1 = −2, x2 = 0, x3 = + Tìm hàm số Mà f ′ ( x ) = 4ax + 2bx ⇒ f ′ ( ) = 32a + 4b = ⇒ b = −8a Vậy f ( x ) = ax − 8ax − + Tính diện tích tỉ số Theo hình vẽ ta có  ax 8ax  −448a S = ∫ ( f ( x ) − ( −4 ) ) dx = ∫ ( ax − 8ax ) dx =  − ÷ = 0 15  0 Lại có f ( ) = −16a − nên độ dài đoạn AB = 4, BC = −16a 2 Suy S1 = S ABCD − S = AB.BC + S1 512 448a 448a −512a = −64a + = 15 15 15 Vậy S = 448 = Bài toán Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) có đồ thị đường cong hình Biết hàm số y = f ( x) đạt cực trị ba điểm x1; x2 ; x3 thỏa mãn x1 + = x2 = x3 − Gọi S1 diện tích hình phẳng tơ đậm S diện tích hình phẳng S1 gạch chéo hình bên Tỉ số S A 891 297 B 17 20 C 17 60 D 227 15 Hướng dẫn học sinh giải Tịnh tiến đồ thị y = f ( x) sang trái cho điểm cực trị x2 trùng với gốc tọa độ Ta thấy diện tích S1 ; S khơng thay đổi Đồ thị y = f ( x) chuyển thành đồ thị y = g ( x)  x2 =  Dựa vào đồ thị ta có  x1 = −3 ba điểm cực trị hàm số y = g ( x) nên suy  x =1  g'( x) = a ( x + ) x ( x − 1) , ( a > 0)  x x3 3x  ⇒ g ( x) = a ∫ ( x + ) x ( x − 1) dx = a ∫ ( x + x − 3x ) dx = a  + − ÷+ C    x x3 3x  − Vì đồ thị hàm số qua điểm ( 0;0 ) nên C = Suy g ( x) = a  + ÷     x x3 3x  297 a S = − a −   + ÷dx = ∫  20 S 891  −3  ⇒ = Khi  S 17  S = − a  x + x − 3x  dx = 17a ∫0  ÷  60  Bài toán 6.Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Biết hàm số đạt cực trị điểm x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng có cơng sai f ( x1 ) = f ( x3 ) , gọi S1, S2 diện tích hai hình phẳng S1 gạch hình bên Tính tỷ số S A 15 B 15 C D 16 Hướng dẫn học sinh giải Tịnh tiến đồ thị y = f ( x ) sang phải cho đường thẳng ∆ ≡ Oy ( ∆ vng góc với Ox x2 ) ta hàm số y = g ( x ) Khi ta thấy đồ thị hàm số y = g ( x ) đối xứng qua trục Oy ⇒ y = g ( x ) hàm số chẵn đồ thị hàm số qua điểm O ( 0; ) Mà y = g ( x ) hàm số bậc bốn suy g ( x ) = ax + bx ( a < ) Từ giả thiết ta có g ′ ( x ) = 4ax3 + 2bx = có nghiệm tương ứng −1; 0;1 ⇒ b = −2a ⇒ g ( x ) = ax − 2ax S1 = ∫ ( ax −1 S1 ) − 2ax dx = − 14 16 a; S2 = Shcn − 2S1 = −2a + a = − a 15 15 15 Vậy S = 16 Bài toán 7.Cho đồ thị hàm bậc bốn y = f ( x ) hình vẽ minh họa bên Biết hàm số đạt cực trị ba điểm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x3 = x1 + f ( x2 ) = , đồ thị đối xứng qua đường thẳng x = x2 Gọi S1 S diện tích 24S1 hình phẳng xác định hình Tính tỉ số S 10 A 24 B 21 C 24 15 D 21 Hướng dẫn học sinh giải r Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) theo vectơ v = ( − x2 ;0 ) ta thu đồ thị hàm số y = g ( x ) đối xứng qua trục Oy nên hàm số y = g ( x ) hàm trùng phương Ta thấy S1 , S trở thành S1′ , S2′ tương ứng không thay đổi giá trị Vì y = g ( x ) hàm trùng phương nên có dạng y = ax + bx + c ( a > ) có ba điểm cực trị x1′ , x2′ , x3′ thỏa mãn x2′ = 0; x3′ = − x1′ x3′ = x1′ + Khi ta x1′ = −2, x3′ = Ta có g ( x′ ) = 4ax + 2bx có ba nghiệm x1′ = −2, x2′ = 0, x3′ = Suy g ′ ( ±2 ) = ⇔ 8a + b = ⇔ b = −8a Mặt khác, g ( ) = ⇔ c = Do đó, g ( x ) = ax − 8ax + Tại x = g ( ) = −16a + Khi  ax 8ax  224 ′ S1 = ∫ ( − ax + 8ax − 1) dx =  − + a ÷ =  −2 15  −2 2  ax 8ax  256 − + 16ax ÷ = a Và S2′ = ∫ ( ax − 8ax + + 16a − 1) dx =    15 224 24 a ′ 24 S1 24S1 15 = = = 21 Vậy 256 S2 S 2′ a 15 Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn hàm bậc ba đường thẳng x = a; x = b Bài toán Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị đường cong hình bên Biết hàm số f ( x) đạt cực trị hai điểm x1 , x2 thỏa mãn x2 = x1 + f ( x1 ) + f ( x2 ) = Gọi S1 S diện tích hai hình phẳng gạch S1 hình bên Tỉ số S 11 A B C D Hướng dẫn học sinh giải Kết tốn khơng đổi ta tịnh tiến đồ thị sang phải cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ O Gọi g ( x ) = ax + bx + cx + d hàm số, ta dễ thấy g ( x ) lẻ nên b = d = g ( x ) = ax + cx có điểm cực trị tương ứng −2; nghiệm 3ax + c =  x3  g ' ( x ) = k ( x − ) ( x + ) = k ( x − ) ⇒ g ( x ) = k  − x ÷ với k <   32 Xét diện tích hình chữ nhật S1 + S2 = −2.g ( −2 ) = k 0 S x 20 32 20 S = ∫ g ( x )dx = k ∫ − x dx = k Nên S1 = k − k = 4k = S2 3 3 −2 −2 Bài toán Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị đường cong hình vẽ, với f ( x) hàm số bậc ba Biết hàm số f ( x) đạt cực trị điểm x1;x2 thỏa mãn x2 = x1 + f ( x1) + f ( x2 ) = Gọi S1, S2 diện tích hai hình phẳng tơ hình vẽ Tỷ số A B 11 S1 S2 C 13 D 21 12 Hướng dẫn học sinh giải Kết tốn khơng thay đổi ta tịnh tiến đồ thị sang trái cho I º O Khi chọn đồ thị hàm số g( x) = ax + bx + cx + d Khi dễ thấy g( x) lẻ nên b = d = g( x) = ax + cx có hai điểm cực trị tương ứng - 1;1 , nghiệm 3ax2 + c = Do g( x) = a ( x - 3x) ,a > S 5 11 S1 + S2 = 2g( - 1) = 4a S1 = aò x3 - 3x dx = a Þ S2 = a Vậy = S2 11 4 - Bài toán 10 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Biết hàm số y = f ( x ) đạt cực trị hai điểm x1 , x2 thoả mãn x2 = x1 + f ( x1 ) = − f ( x2 ) Gọi S1 S diện tích hai hình phẳng tơ màu S2 hình Tỉ số S bao nhiêu? A B C D Hướng dẫn học sinh giải Gọi g ( x ) = ax + bx + cx + d hàm số có sau tịnh tiến đồ thị y = f ( x ) sang trái cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ O Ta thấy đồ thị g ( x ) 13 đối xứng qua O nên g ( x ) hàm số lẻ Suy b = d = g ( x ) = ax + cx nhận hai điểm cực trị tương ứng −3,3 Suy g ( x ) = k ( x − 27 x ) với k < g ( −3) = 54k S2 3 0 3 S1 = ∫ k ( x − 27 x ) dx = −k ∫ x − 27 x dx = −405 k Vậy S = Bài toán 11.Cho hàm số bậc ba có đồ thị đường cong hình bên Biết hàm số f ( x ) đạt cực trị hai điểm x1 , x2 thỏa mãn x2 = x1 + f ( x1 ) = − f ( x2 ) S Gọi S1 S diện tích hai hình phẳng gạch sọc hình Tỉ số S A B C D Hướng dẫn học sinh giải Gọi g ( x ) = ax + bx + cx + d hàm số có tịnh tiến đồ thị f ( x ) sang phải cho điểm uốn trùng gốc tọa độ O Dễ thấy g ( x ) hàm số lẻ nên g ( x ) = ax + cx có hai điểm cực trị tương ứng - 2, Suy g ( x) = k ( x3 - 12 x) với k > ; g (2) =- 16k Ta có: S1 = k x - 12 x dx = 20k S2 = k x - 12 x +16 dx = 12k Vậy S1 = ò ò - S2 Dạng 3:Tỉ số diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Bài toán 12 Cho hàm số y = f ( x) = ax + bx + c có đồ thị ( C ) , Biết f (−1) = Tiếp tuyến d điểm có hồnh độ x = −1 ( C ) cắt ( C ) điểm có hồnh độ 2, Gọi S1 ; S diện tích hình phẳng (phần gạch chéo S1 hình vẽ) Tính tỷ số S 14 A B 14 C 28 D 25 Hướng dẫn học sinh giải Từ đồ thị ( C ) nhận thấy { a > 0; b < 0; c > 0} Ta có: f (−1) = suy ra: a + b + c = (1); Gọi A ( −1; ) Phương trình tiếp tuyến A ( −1; ) ( d ) : y = y ' ( 1) ( x + 1) = ( −4a − 2b ) ( x + 1) Phương trình hồnh độ giao điểm tiếp tuyến ( d ) đồ thị ( C ) : ( −4a − 2b ) ( x + 1) = ax + bx + c ( *) −4a − 2b = c (2) −12a − 6b = 16a + 4b + c Mà x = 0, x = nghiệm (*) suy  {Hệ tạo (1) (2) vô số nghiệm} c = −a − b c = −a − b  c = 2a ⇔ ⇔ −4a − 2b = −a − b  b = −3a b = −3a  Từ (1) (2) ta có :  Ta có : S1 = ∫ ( ax + bx + c − ( −4a − 2b ) ( x + 1) ) dx = −1 ∫ ( ax −1 − 3ax + 2a − 2a ( x + 1) ) dx a = a ∫ ( x − x − x ) dx = −1 ( ) S = ∫ ( −4a − 2b ) ( x + 1) − ( ax + bx + c ) dx = a ∫ ( − x + 3x + x ) dx = 0 S1 28a = Vậy S2 28 Bài toán 13 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) hàm bậc hai y = g ( x ) có đồ thị hai đường cong hình vẽ bên Biết hàm số f ( x ) đạt cực trị hai điểm x1 , x2 thỏa mãn: x1 + x2 = f ( x1 ) + f ( x2 ) = Gọi S1 S2 diện tích hai hình phẳng gạch hình bên Tỉ số A 1; ÷  2 B  ; ÷ 2 4 S1 thuộc khoảng sau S2 C  ; ÷ 4  D (3; 11) Hướng dẫn học sinh giải Tỉ số không thay đổi với hàm số thỏa mãn 15 Chọn x1 = −1; x2 = ⇒ f ' ( x ) = a ( x + 1) ( x − ) = a( x − x − 2)  x3 x2  ⇒ g ( x ) = k ( x − x − ) ⇒ f ( x ) = ∫ a ( x + 1) ( x − ) dx = a  − − x ÷+ C   Chọn a = ⇒ f ( x ) = x − x − x + C 13 13 13 Mặt khác: f ( −1) + f ( ) = − + 2C = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = x − x − x + 6 13 13  13  Mà tọa độ  0; ÷ giao điểm hai hàm số ⇔ −2k = ⇔ k = − 12  6 −13 ⇒ g ( x) = ( x − x − 2) 12 1    39 Gọi I  ;0 ÷là giao điểm f ( x ) với trục Ox (x1 < 0) Þ h ( ±1) = - a Diện tích hình chữ nhật S1 + S = ( + a ) = + 2a ỉax 14a 16a ç S2 = + ÷ S = ax ax + a dx = - ax + ax÷ = Ta cú ũ( Suy ỗ ) ữ ữ ỗ 15 15 ố5 ứ - - 1 S1 Vậy S - = 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trước thực đề tài thân tơi thấy học sinh sợ phải học tốn đặc biệt dạng tốn tính tỉ số diện tích điểm cực trị liên hệ với biểu thức đơn giản phức tạp nêu Nhưng sau thực đề tài, học sinh cảm thấy thoải mái phải làm việc với tập này, tơi thấy vui mừng cải thiện tâm lí nặng nề học sinh Khơng thế, tinh thần giúp học sinh phấn chấn, hăng hái, thấy thích thú học chương Nhiều học sinh làm tốn tính tỉ số diện tích điểm cực trị liên hệ với biểu thức, nắm phép biến đổi đồ thị cơng thức biến đổi tính diện tích Tơi tiến hành thử nghiệm với hai lớp 12B3 12B4 Trong vận dụng đề tài cho lớp 12B3 thu kết sau: ĐIỂM 8-10 ĐIỂM 5-8 ĐIỂM DƯỚI LỚP SỐ HS SL TL SL TL SL TL 12B3 42 15 35,7% 27 64,3% 0% 12B4 42 7,1% 34 81% 11,9% KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Trên số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải số dạng tốn tìm tỉ số diện tích hình phẳng dựa vào tích phân, vấn đề tương đối khó học sinh Tuy nhiên q trình giảng dạy, sau tơi cho em tiếp xúc, giải tập cách có hệ thống tập chuyên đề em khơng gặp phải khó khăn việc vận dụng kiến thức để giải toán Nhất việc giải tập thể loại mức độ cao 3.2 Kiến nghị: Tôi xin đề xuất số ý nhỏ sau nhằm nâng cao chất lượng dạy học giáo viên học sinh : 17 - Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung chương trình sách giáo khoa, soạn giáo án cụ thể chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học TBDH cho sinh động thu hút đối tượng học sinh tham gia - Giáo viên cần tích cực học hỏi tham gia chuyên đề, hội thảo tổ, nhóm nhà trường, tham gia tích cực nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng thường xuyên - Học sinh cần học kĩ lý thuyết cố gắng hiểu kĩ kiến thức lớp - Học sinh nhà tích cực làm tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý Với kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều kiến thức nội dung đa dạng nên đề tài không tránh khỏi hạn chế định Rất mong góp ý chân thành từ quý thầy cô, đồng nghiệp! Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Thanh Hoá, ngày 15 tháng năm 2021 XÁC NHẬN CỦA Người viết THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Vũ Thị Lương 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO: Nghị Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ương khóa XI đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo Các đề thi thử THPT QG trường THPT, SGD nước Một số tài liệu khác internet 19 20 ... luận: Trên số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải số dạng tốn tìm tỉ số diện tích hình phẳng dựa vào tích phân, vấn đề tương đối khó học sinh Tuy nhiên trình giảng dạy, sau cho em tiếp xúc, giải tập... Gọi S1 S2 diện tích hai hình phẳng gạch hình bên Tỉ số A 1; ÷  2 B  ; ÷ 2 4 S1 thuộc khoảng sau S2 C  ; ÷ 4  D (3; 11) Hướng dẫn học sinh giải Tỉ số không thay đổi với hàm số thỏa... Gọi S1 , S2 , S3 diện tích hình phẳng S1 đánh dấu hình bên Tính tỉ số S + S + S A 30 B 32 30 C 16 15 D 512 15 Hướng dẫn học sinh giải +Tìm hồnh độ điểm cực trị Đồ thị hàm số nhận trục tung