Phương pháp giải các bài toán liên quan Đến Đường tròn

16 4 Các bài toán về khoảng cách đường tròn, hình quạt và cát tuyến 22 1 Bài toán xác định hệ thức lượng trong tứ giác nội tiếp đường tròn 33 2 Giải bài toán xác định hệ thức lượng trong

NGUYỄN THỊ THANH TRIM

Đà Nẵng – Năm 2024

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -

NGUYỄN THỊ THANH TRIM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN

Ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MỤC LỤC

1 Các khái niệm cơ bản 12

2 Bài toán tính diện tích 16

3 Giải bài toán tính diện tích 16

4 Các bài toán về khoảng cách đường tròn, hình quạt và cát tuyến 22

1 Bài toán xác định hệ thức lượng trong tứ giác nội tiếp đường tròn 33

2 Giải bài toán xác định hệ thức lượng trong tứ giác nội tiếp 35

3 Bài toán về xác định đường cao của tứ giác nội tiếp đường tròn 41

4 Kết luận 44

1 Định lí đường thẳng Simson 45

2 Định lí tứ giác nội tiếp đường tròn của Ptolemy 48

3 Áp dụng chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 52

4 Các bài toán về tứ giác tuần hoàn 54

5 Một số bài toán liên quan đến yếu tố đường tròn 58

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi Trong

quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả của các nhà khoa học với sự

trân trọng và biết ơn

Tác giả

NGUYỄN THỊ THANH TRIM

DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮC

p nửa chu vi của đường tròn

S diện tích của đường tròn

R bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

r bán kính đường nội ngoại tiếp tứ giác ABCD

c − g − c cạnh-góc-canh tam giác ABC

DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 1.1 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O)

Hình 1.2 Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O)

Hình 1.3 Góc ở tâm và góc nội tiếp chắn cung AC

Hình 1.5 Minh hoạ diện tích đường tròn tâm (O)

Hình 1.7 Minh hoạ diện tích tứ giác ABCD

Hình 1.8 Độ dài các cạnh của tứ giác nội tiếp ABCD

Hình 1.9 Tứ giác ABCD nội tiếp

Hình 1.10 Minh hoạ Ví Dụ 1.1

Hình 1.11 Hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn

Hình 1.12 Hình thoi ABCD nội tiếp đường tròn

Hình 1.13 Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn

Hình 1.14 Minh hoạ diện tích cung có số đo góc θ

Hình 1.15 Minh hoạ diện tích của đoạn cung ACB

Hình 1.16 Hai dây cung AB,CD vuông góc tại E

Hình 1.17 Minh hoạ Bài toán 1.1

Hình 1.18 Minh hoạ Bài toán 1.2

Hình 1.19 Minh hoạ Bài toán 1.3

Hình 1.20 Minh hoạ diện tích của đoạn cung AO

Hình 1.21 Minh hoạ Bài toán 1.4

Hình 1.22 Đường tròn đường kính MN

Hình 2.1 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

Hình 2.2 Hai góc đối diện trong tứ giác nội tiếp đường tròn

Hình 2.3 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường chéo AC,BD

Hình 2.4 Hai góc liên tiếp trong tứ giác nội tiếp đường tròn

Hình 2.5 Tứ giác nội tiếp biết độ dài các cạnh

Hình 3.1 Minh hoạ Định lí đường Simson

Hình 3.3 Minh hoạ Định lí Ptolemy

Hình 3.4 Minh hoạ chứng minh Định lí Ptolemy

Hình 3.10 Minh hoạ Bài toán 3.1

Hình 3.11 Minh hoạ Bài toán 3.2

Hình 3.12 Minh hoạ Bài toán 3.3

Hình 3.13 Minh hoạ Bài toán 3.4

Hình 3.14 Minh hoạ Bài toán 3.5

Hình 3.15 Minh hoạ Bài toán 3.6

Hình 3.16 Minh hoạ Bài toán 3.7

Hình 3.17 Minh hoạ Bài toán 3.8

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Bài toán liên quan đến đường tròn là một dạng thường gặp trong Toán học,

là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 cũng như kì thi

tuyển sinh vào trung học phổ thông Ngoài ra, các bài toán liên quan đến đường

tròn cũng được xem như một dạng câu hỏi khó trong các kì thi học sinh giỏi

cấp tỉnh, thành phố, quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế

Các bài toán liên quan đến chủ đề đường tròn thường rất đa dạng, yêu cầu

sự tưởng tượng, suy luận logic để đưa ra các lập luận, chứng minh, tính toán

chính xác, thu hút sự quan tâm, nghiên cứu dẫn đến sự phát triển của các định

lí, thu được nhiều kết quả thú vị về mặt lý thuyết Tuy nhiên, lý thuyết đường

tròn còn khá nhiều và dễ gây rối, nhầm lẫn cho người học dẫn đến sự lúng túng

và tâm lý e ngại đối với đa số học sinh, từ đó các em gặp nhiều khó khăn trong

việc suy nghĩ và đưa ra phương pháp giải chính xác

Brahmagupta là một nhà toán học người Ấn Độ, ông nổi tiếng với những

đóng góp đến nhiều lĩnh vực toán học bao gồm lý thuyết số và hình học Công

thức của ông về diện tích tứ giác nội tiếp đã quá quen thuộc với chúng ta Vận

dụng định lý tính diện tích của Brahmagupta, nhiều bài toán liên quan đến yếu

tố cạnh của một tứ giác nội tiếp đường tròn được giải quyết

Trong đề tài khóa luận tốt nghiệp em chọn nghiên cứu nội dung “Phương

pháp giải các bài toán liên quan đến đường tròn” nhằm tìm hiểu, nghiên

cứu hơn nữa các tính chất của đường tròn cùng với các định lí liên quan, tổng

hợp lại các phương pháp áp dụng trong việc giải các bài toán ở bậc trung học

cơ sở và phổ thông làm phong phú hơn nữa nội dung lý thuyết về đường tròn,

đưa ra các phương pháp giải tương ứng với từng dạng, giúp cho học sinh dễ

dàng tiếp cận, nắm bắt kiến thức, có phương giải đúng đắn và góp phần trong

việc giảng dạy, truyền đạt, định hướng phương pháp giải các bài toán về đường

tròn cho giáo viên Đó là lý do chính để em theo đuổi đề tài này

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu nghiên cứu

2.1 Đối tượng: Một số phương pháp giải các dạng toán về chủ đề đường

tròn và xây dưng hệ thức lượng trong tứ giác nội tiếp

2.2 Phạm vi: Hình học sơ cấp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống, tổng hợp các kiến thức cơ bản về phương pháp giải các dạng toán

về chủ đề đường tròn

4 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp giải một số dạng toán về chủ đề đường tròn

5 Phương pháp nghiên cứu

ˆ Thu thập, tổng hợp các tài liệu trong và ngoài nước đã được công bố liênquan

ˆ Hỏi ý kiến chuyên gia

ˆ Nghiên cứu một số định lí cần sử dụng

6 Kết cấu của luận văn

NỘI DUNG CHI TIẾT

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC TỔNG QUAN VÀ BÀI TOÁN LIÊN

QUAN ĐẾN YẾU TỐ DIỆN TÍCH CỦA ĐƯỜNG TRÒN

1 Các khái niệm cơ bản

2 Bài toán tính diện tích

1 Giải bài toán tính diện tích

2 Các bài toán về khoảng cách đường tròn, hình quạt và cát tuyến

CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ

GIÁC NỘI TIẾP

1 Bài toán về hệ thức lượng trong tứ giác nội tiếp

2 Bài toán về xác định đường cao của tứ giác nội tiếp đường tròn

3 Bài toán xác định hệ thức lượng trong tứ giác nội tiếp đường

2 Định lý tứ giác nội tiếp đường tròn của Ptolemy

3 Áp dụng chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

4 Các bài toán về tứ giác tuần hoàn

5 Một số bài toán liên quan đến yếu tố đường tròn

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC TỔNG QUAN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN YẾU TỐ DIỆN TÍCH CỦA ĐƯỜNG

TRÒN

Chương này nhằm cung cấp một số định nghĩa liên quan đến đường tròn và

nghiên cứu các bài toán liên quan đến yếu tố diện tích của đường tròn Kết quả

của chương này được trích ra từ các tài liệu tham khảo [1, 2, 3, 4]

Định nghĩa 1.1 (Uyên-Sự [2]) Bài toán là khái niệm quen thuộc trong toán

học, thường được dùng để chỉ một vấn đề cần được giải quyết bằng cách sử dụng

các phương pháp suy luận logic, thuật toán, công thức hay tính toán Bài toán

được phân loại dựa trên các tiêu chí như độ khó, độ phức tạp, tính chính xác, độ

tổng quát, Bài toán có thể có một hoặc nhiều điều kiện cho trước, một hoặc

nhiều mục tiêu cần đạt được, và một hoặc nhiều phương pháp để giải quyết

Định nghĩa 1.2 (Grigorieva [3], Hartshorne [4])

(i) Giải đường tròn là đi tìm các yếu tố chưa biết của đường tròn (bán

kính, chu vi, diện tích, góc) khi đã có một số yếu tố của đường tròn đó

Muốn giải đường tròn ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với

các yếu tố chưa biết của đường tròn thông qua các hệ thức giữa chúng

(ii) Hệ thức lượng đường tròn là bao gồm định lý cosin, định lý sin, công

thức tính diện tích và các hệ quả đi kèm Việc nắm vững các công thức hệ

thức lượng giúp tìm chính xác độ dài, diện tích hoặc yếu tố nào đó của

đường tròn nhanh chóng hơn

Định nghĩa 1.3 (Hartshorne [4])

(i) Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách đều một

điểm cho trước, gọi là tâm đường tròn

(ii) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác là đường tròn đi qua bốn đỉnh của một

tứ giác

Hình 1.1: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O)

(iii) Đường tròn nội tiếp tứ giác là đường tròn tiếp xúc với bốn cạnh của

một tứ giác

Hình 1.2: Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O)

Định nghĩa 1.4 (Grigorieva [3])

(i) Góc ở tâm của đường tròn là một góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn

(ii) Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai

dây cung của đường tròn đó

Hình 1.3: Góc ở tâm và góc nội tiếp chắn cung AC

Nhận xét 1.1

Để tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn một điều kiện cần và đủ là tổng các

góc đối diện của tứ giác đó bằng 180◦

Định nghĩa 1.5 (Grigorieva [3], Hartshorne [4])

(i) Chu vi của một đường tròn có bán kính r kí hiệu là C và được tính bằngcông thức C = 2πr

Hình 1.4: Đường tròn tâm (O)

(ii) Diện tích của đường tròn đó kí hiệu là S và được tính bằng công thức

S = πr2

Hình 1.5: Minh hoạ diện tích đường tròn tâm (O)

(iii) Chu vi tứ giác là tổng độ dài bốn cạnh của tứ giác đó

Hình 1.6: Tứ giác ABCD tuỳ ý

(iv) Diện tích tứ giác là phần mặt phẳng nằm trong tứ giác đó

Hình 1.7: Minh hoạ diện tích tứ giác ABCD

2 Bài toán tính diện tích

Phát biểu bài toán (xem Trim-Sự [1]) Cho tứ giác ABCD có 4 cạnh

a, b, c, d > 0 nội tiếp được trong một đường tròn (O) (Hình 1.8) Hãy xâydựng công thức tính diện tích tứ giác nội tiếp theo nửa chu vi p và các cạnh

a, b, c, d > 0 của tứ giác ABCD, ở đây nửa chu vi p = a + b + c + d

Hình 1.8: Độ dài các cạnh của tứ giác nội tiếp ABCD

3 Giải bài toán tính diện tích

Định lý 1.1 (Trim-Sự [1]) Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp có 4 cạnh là

a, b, c, d > 0 Khi đó, diện tích được tính bởi công thức

S =

q(p − a) (p − b) (p − c) (p − d),

trong đó p là nửa chu vi của tứ giác ABCD

Chứng minh

Vì tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn nên

\ABC +\ADC = 1800

Sử dụng tính chất hai góc lượng giác bù nhau của các hàm số lượng giác

Hình 1.9: Tứ giác ABCD nội tiếp

Áp dụng Định lí côsin trong tam giác ABC và ADC dẫn đến

AC2 = a2 + b2 − 2ab cos\ABC = c2 + d2 − 2cd cosADC.\

= 2 (ab + cd) + a2 + b2 − c2 − d2

= (c + d)2 − (a − b)2×(a + b)2 − (c − b)2

= 16 (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) Rút gọn 16 cho 2 vế và sau đó lấy căn bậc 2 của 2 vế trong đẳng thức trên

ta được

S =

q(p − a) (p − b) (p − c) (p − d)

Điều phải chứng minh ⊡

Rõ ràng S ̸= S′ và chúng ta kết thúc việc kiểm tra ⊡

Phương pháp vận dụng Tính diện tích của một tứ giác nội tiếp đường

tròn khi biết độ dài 4 cạnh ta tiến hành như sau:

Bước 1 Xác định độ dài các cạnh (a, b, c, d) của tứ giác đó

Bước 2 Tính nửa chu vi p = a + b + c + d

Bước 3 Tính diện tích S = p(p − a) (p − b) (p − c) (p − d)

Ví dụ 1.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có số đo các cạnh là

AB = 4cm; BC = 2cm; CD = 5cm; DA = 3cm Tính diện tích tứ giácABCD

hai tam giác vuông có đường chéo là cạnh huyền (xem Ví dụ 2.4 )

Hệ quả 1.1 (Diện tích hình bình hành) (Trim-Sự [1, tr.2]) Cho ABCD làmột hình bình hành nội tiếp có 2 cạnh liên tiếp nhau là a, b > 0 Khi đó, diệntích hình bình hành được cho bởi công thức

= (p − a) (p − b)

= ab

Điều phải chứng minh ⊡

Nhận xét 1.3

Công thức tính diện tích Hệ quả 1.1 dùng trong tam giác được gọi là công

thức Hêron, công thức tính diện tích trong Hệ quả 1.1 áp dụng cho hình chữ

nhật cạnh a, b là

S = ab

và hình vuông cạnh a là

S = a2

Hệ quả 1.2 (Trim-Sự [1, tr.2]) Hình bình hành mà nội tiếp đường tròn cũng

chính là hình chữ nhật, hình thoi mà nội tiếp đường tròn chính là hình vuông

và hình thang mà nội tiếp đường tròn chính là hình thang cân

Hình 1.11: Hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn

Chứng minh

Gọi ABCD là hình bình hành nội tiếp đường tròn có 2 cạnh liên tiếp nhau

là a, b Áp dụng Hệ quả 1.1 , ta có diện tích hình bình hành ABCD là

Mặt khác,diện tích hình bình hành ABCD bằng tổng diện tích của 2 hìnhtam giác ABC và ADC nên

Hình 1.12: Hình thoi ABCD nội tiếp đường tròn

Tương tự như trên ta cũng chứng minh được hình thang nội tiếp đường tròn

là hình thang cân

Điều phải chứng minh ⊡

Ví dụ 1.2 Cho hình thang ABCD (AD > BC) nội tiếp đường tròn Chứngminh ABCD là hình thang cân

Giải

Ta có

\

Hình 1.13: Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn

Vì ABCD là hình thang nên

Mà

\ADB = ACB\ (cùng chắn cung AB)suy ra

\ADC = ADB +\ BDC\

Từ (1.3), (1.4) và (1.5) suy ra \BAD = ADC\

Tứ giác ABCD là hình thang có hai góc kề đáy AD là bằng nhau nênABCD là hình thang cân Điều phải chứng minh ⊡

4 Các bài toán về khoảng cách đường tròn, hình quạt và cát tuyến

Kết quả phần này được dựa trên tài liệu tham khảo [3, tr 143] Tổng hợp

lại các bài toán về khoảng cách đường tròn, diện tích quạt, và

Hình 1.14: Diện tích cung có số đo góc θ

Nhận định Dựa vào Hình 1.14, ta nhận định rằng khi biết một cung có số

đo góc là θ ta có thể tính được độ dài x của nó bằng

x = rθ

và phần diện tích cung là

y = θr

22với θ theo đơn vị radian

Định lý 1.2 Nếu số đo góc ở tâm \AOB = θ, OA = OB = r thì ta có thểbiểu thị diện tích Ω của đoạn ACB (phần được gạch chéo) bằng công thức

Hình 1.15: Minh hoạ diện tích của đoạn ACB

= r

2(θ − sin θ)

Vây công thức (1.6) đúng Điều phải chứng minh ⊡

Bài toán 1.1 Trong đường tròn tâm O, hai dây cung AB, CD vuông góc tại

E Chứng minh rằng tổng bình phương các đoạn AE, BE, CE, DE bằng bìnhphương đường kính của đường tròn

Hình 1.16: Hai dây cung AB, CD vuông góc tại E

Giải

Hình 1.17: Minh hoạ Bài toán 1.1

Dựng đường kính AF nghĩa là ta cần chứng minh

\ACF = 90◦ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà

\ADC = \AF C (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

\DAE = \CAF ⇒ DAB =\ \CAF

Mặt khác \DAB là góc nội tiếp chắn cung BD suy ra

\

2 sđ

⌢BD

và \CAF là góc nội tiếp chắn cung CF dẫn đến

Điều phải chứng minh ⊡

Bài toán 1.2 Cho đường tròn đường kính AB có CD là một dây cung (ABkhông vuông góc với CD) Chứng minh rằng các đường vuông góc AE, BF hạ

từ các đầu mút của đường kính cắt dây cung CD thành các đoạn DE và CFbằng nhau

Giải

Dựng thêm đường kính M N sao cho M N//CD Gọi H, K lần lượt là giaođiểm của AE, BF với M N Từ giả thiết ta có

Hình 1.18: Minh hoạ Bài toán 1.2

OA = OB = R

\AOH = BOK\ ( đối đỉnh)

Do đó

Suy ra

OH = OK (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Từ O vẽ OL⊥CD ⇒ L là trung điểm của CD nên

suy ra F KLO, HELO là các hình chữ nhật và dẫn đến

Điều phải chứng minh ⊡

Bài toán 1.3 Hình vuông có các cạnh a là đường kính của hình tròn Tìmdiện tích của phần tạo bởi các cung của bốn hình bán nguyệt cắt a bên tronghình vuông

Hình 1.19: Minh hoạ Bài toán 1.3

Dễ thấy cung AO có góc ở tâm \AM O = π

2, M A = M O =

a

2 (hình vuông

có hai đường chéo vuông góc, bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi

đường) nên có diện tích là

Ω =

a2

Vậy phần diện tích của toàn bộ hình là

Điều phải chứng minh ⊡

Bài toán 1.4 Cho hình thang ABCD có hai đáy AD = a, BC = b nội tiếptrong đường tròn tâm O bán kính r Tâm đường tròn nằm bên trong của hìnhthang Hai đoạn của hình tròn được cắt bởi hai đáy của hình thang và phản xạ

đoạn tương ứng qua hai đáy, tìm diện tích của phần được giới hạn bởi hai cạnh

bên của hình thang và ranh giới tạo bởi ảnh của các đoạn phản xạ (Xem hình

1.21)

Hình 1.21: Minh hoạ Bài toán 1.4

Giải

Dựng đường kính M N ⊥AD tại F nên M N ⊥BC tại E

Mà∆BOC và∆AODlà các tam giác cân tạiO suy raE, F lần lượt là trungđiểm của BC, AD và OE, OF lần lượt là đường phân giác của \BOC, \AOD.Gọi S là diện tích của hình thang ABCD trong đó:

Hình 1.22: Đường tròn đường kính M N

S1 là diện tích phần phản xạ của cung BM C và bằng diện tích cung BM C,

S2 là diện tích phần phản xạ của cung AN D và bằng diện tích cung AN D,

S3 là diện tích phần cần tìm (gạch chéo)

Ta có

S = S1 + S2 + S3 ⇒ S3 = S − S1 − S2.

Để tính diện tích phần cần tìm ta cần tính những diện tích còn lại

ˆ Tính S : Ta có ∆OEC vuông tại E nên

OE = OC cosEOC = r cos\ α

2.Tương tự ∆OF D vuông tại F nên

OF = OD cosF OD = r cos\ β

2.Hình thang ABCD có EF là đường cao và

EF = OE + OF

= r cosα

2 + r cos

β2

= r

cosα

2 + cos

β2



2 + cos

β2



Vì vậy

S = 1

2 r (a + b)

cosα

2 + cos

β2

2 + cos

β2

Điều phải chứng minh ⊡

Kết luận Chương này đã nghiên cứu các bài toán tính diện tích tứ giác

nội tiếp đường tròn và đề xuất phương pháp vận dụng chúng Bên cạnh đó, các

bài toán về khoảng cách đường tròn, hình quạt và cát tuyến cũng được nghiên

cứu và vận dụng vào giải một số bài toán liên quan Kết quả trong phần này

được trích ra một phần từ bài báo của tác giả và cộng sự [1] và một số bài toán

liên quan khác được trích ra từ tài liệu tham khảo [3]

CHƯƠNG2 BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ

GIÁC NỘI TIẾP

Chương này nghiên cứu lời giải cho bài toán xác định hệ thức lượngsin, cos, tan

và cot cho các góc bên trong của tứ giác nội tiếp đường tròn theo chiều dàicác cạnh của tứ giác nội tiếp Bài toán về tính chiều dài đường cao hạ từ một

đỉnh của tứ giác đến đến các cạnh đối diện của nó cũng được đề xuất Kết quả

chương này chủ yếu trích ra từ bài báo nghiên cứu của tác giả và cộng sự [1]

tròn

Xây dựng hệ thức lượng trong một tứ giác nội tiếp có vai trò quan

trọng trong hình học, giúp chúng ta tính toán được các giá trị sin, cos, tan và

cot của các góc bên trong một tứ giác nội tiếp khi đã biết độ dài 4 cạnh tứ giác

đó mà không nhất thiết phải có độ dài đường chéo của nó, làm cơ sở để nghiên

cứu hệ thức lượng trong một đa giác nội tiếp tổng quát sau này

Phát biểu bài toán (xem Trim-Sự [1]) Cho tứ giác ABCD có 4 cạnh

a, b, c, d > 0 nội tiếp được trong một đường tròn (O) Bài toán được đặt ralà: Hãy xác định các giá trị sin, cos, tan và cot của các góc bên trong tứ giácABCD theo a, b, c, d

Nhận xét 2.1

Phân tích bài toán trên ta thấy:

(i) Nếu biết được độ dài một đường chéo của tứ giác ABCD thì dễ dàngtính được sin, cos, tan và cot của các góc bên trong tứ giácABCD theo

a, b, c, d > 0 bằng cách sử dụng các định lý sin và côsin trong một tamgiác (xem Uyên-Sự [2])

Hình 2.1: Tứ giác nội tiếp ABCD

(ii) Nếu không biết được độ dài đường chéo của tứ giác ABCD thì đây là mộtvấn đề tương đối khó đối với người làm toán hình học Xét với bài toán

trên, thay vì đi xác định độ dài một đường chéo trong tứ giác, chúng ta

biết được diện tích tứ giác ABCD theo cách tính của Brahmagupta (xem[3]) Bằng cách phân tách tứ giác ABCD thành 2 tam giác có cạnh chung

là đường chéo và sử dụng công thức tính diện tích tam giác (với độ dài 2

cạnh đã cho và sin của góc nằm giữa 2 cạnh đó), chúng ta dễ dàng tìm

được sin của góc nằm giữa 2 cạnh dựa vào giả thiết tứ giác nội tiếp sẽ có

tổng 2 góc đối diện luôn bằng 1800 Cách xác định sin, cos, tan và cot

sẽ thông qua các hệ thức lượng trong một tam giác với độ dài các cạnh

đã cho

Với cách làm theo phương pháp trên, bài toán sẽ có lời giải Bên cạnh đó,

việc giải được bài toán giúp người học có thể nhìn nhận một cách tổng thể hơn

về hệ thức lượng trong một tam giác như một tam giác tùy ý luôn nội tiếp

được trong đường tròn (O) và tứ giác nội tiếp đường tròn (O) chính là sự chènthêm 1 đỉnh nằm trên đường tròn (O) sao cho đỉnh đó không trùng với 3 đỉnhcủa tam giác cho trước

2 Giải bài toán xác định hệ thức lượng trong tứ giác nội tiếp

Định lý 2.1 Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp có 4 cạnh là a, b, c, d > 0.Khi đó

cos\ABC = a

2 + b2 − c2 − d2

2 (ab + cd) ;cosBCD =\ b

⇒ cos\ADC = − cosABC\

= −a

2 + b2 − c2 − d2

2 (ab + cd)

cosADC =\ −a2 − b2 + c2 + d2

2 (ab + cd) .Các trường hợp còn lại được lập luận tương tự bằng cách áp dụng định lí

côsin trong tam giác BAD và BCD, ta cũng có được

Ví dụ 2.1 Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp có 4 cạnh là a, b, c, d > 0 Chứngminh rằng tổng bình phương hai đường chéo tứ giác bằng tổng bình phương các

cạnh tứ giác khi và chỉ khi

ab + cd

ad + bc = −

cosBCD\cos\ABC.Giải

Hình 2.3: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường chéo AC, BD

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC và ADC ta có

AC2 = a2 + b2 − 2ab cos\ABC = c2 + d2 − 2cd cosADC.\

Lập luận tương tự như trên ta được

BD2 = 1

2 a

2 + b2 + c2 + d2
− (ad + bc) cosBCD.\

Cộng hai đẳng thức trên lại với nhau, suy ra

AC2+ BD2 = a2 + b2 + c2 + d2
− (ab + cd) cosABC − (ad + bc) cos\ BCD.\

Do đó

AC2 + BD2 = a2 + b2 + c2 + d2
khi và chỉ khi

(ab + cd) cos\ABC + (bc + da) cosBCD = 0.\

Đẳng thức trên tương đương với

ab + cd

ad + bc = −

cosBCD\cos\ABC

sinBCD =\ 2

p(p − a) (p − b) (p − c) (p − d)

Hình 2.4: Hai góc liên tiếp trong tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

Làm một cách tương tự ta cũng có

sinBCD =\ 2

p(p − a) (p − b) (p − c) (p − d)

Điều phải chứng minh ⊡

Hệ quả 2.1 Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp có 4 cạnh là a, b, c, d > 0 vàgọi p là nửa chu vi của tứ giác ABCD Khi đó

sinADC =\ 2

p(p − a) (p − b) (p − c) (p − d)

sinDAB =\ 2

p(p − a) (p − b) (p − c) (p − d)

Chứng minh

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn nên

\ABC +\ADC = 1800

Ta luôn có

sinADC = sin\ 1800 −\ABC = sin\ABC