Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài luận văn và kết thúc khóa học, với tình cảm chân thành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện cho em có m

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Giảng viên hướng dẫn: T.S Lê Hải Trung

Sinh viên: Nguyễn Thị Kiều Trâm

Đà Nẵng – 2024

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành đề tài luận văn và kết thúc khóa học, với tình cảm chân thành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện cho em có môi trường học tập tốt trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu tại trường

Em xin cảm ơn thầy Lê Hải Trung đã hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình thực hiện đề tài để em có thể hoàn thành khoá luận một cách tốt nhất

Sau khi nghiên cứu đề tài và kết thúc khóa học, em đã học hỏi và tích lũy được kiến thức và kinh nghiệm từ thầy cô đi trước để hoàn thiện và phát triển bản thân Bên cạnh đó, đây cũng là cơ hội giúp em nhận ra mình cần hoàn thiện thêm những gì để chuẩn bị cho một hành trình dài phía trước

Do kiến thức của bản thân còn hạn chế và thiếu kinh nghiệm thực tiễn nên nội dung bài nghiên cứu khó tránh những thiếu sót Em rất mong nhận sự góp ý, chỉ dạy thêm từ quý thầy cô

Em xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 2

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cửu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Giả thuyết nghiên cứu 1

5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

8 Cấu trúc của khoá luận 2

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

1.1 Đại cương về phương trình vô tỷ 3

1.1.1 Khái niệm phương trình một ẩn 3

1.1.2 Phương trình tương đương 3

1.1.3 Phương trình hệ quả 3

1.1.4 Phương trình vô tỷ 4

1.1.5 Phương pháp giải tìm tập xác định của phương trình 4

1.2 Các bất đẳng thức 4

1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy 4

1.2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 5

1.2.3 Bất đẳng thức Minkowski 5

1.2.4 Bất đẳng thức vectơ 5

1.3 Tiểu kết chương 1 5

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 6 2.1 Phương pháp nâng lên lũy thừa 6

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 12

2.2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp 12

2.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình cơ bản 20

2.2.3 Phương Pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng 24

2.2.4 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 29

2.2.5 Phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác 32

2.3 Phương pháp đánh giá 36

2.4 Phương pháp hàm số 39

2.5 Tiểu kết chương 2 41

PHẦN KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

các phương pháp giải là vô cùng quan trọng Vì vậy chúng tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ” để hệ thống lại các kiến thức về cách giải

phương trình vô tỷ cũng như việc vận dụng vào giải bài toán Qua đó chúng tôi hi vọng có thể giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp nhằm nâng cao hiệu quả học tập, đồng thời tạo thêm tài liệu tham khảo cho giáo viên

2 Mục đích nghiên cửu

• Nghiên cứu nhằm đưa ra các phương pháp giúp học sinh giải các phương trình vô tỷ tốt hơn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Trên cơ sở mục đích nghiên cứu, đề tài có nhiệm vụ hệ thống hoá lại các phương pháp giải phương trình vô tỷ

4 Giả thuyết nghiên cứu

Phương trình vô tỷ là một nội dung quan trọng đòi hỏi nhiều thao tác tư duy nên học sinh có thể gặp nhiều khó khăn trong việc nắm vững lí thuyết và vận dụng

để giải bài tập Do thời lượng dành cho nội dung này có hạn nên trong quá trình dạy học, các giáo viên thường đưa ra các dạng thường gặp và phép biến đổi để giải chúng, do đó việc tiếp cận từng phương pháp giải phương trình vô tỷ của học sinh còn nhiều khó khăn

Việc hệ thống lại từng dạng, từng phương pháp giải phương trình vô tỷ giúp cho việc học tập của học sinh trở nên dễ dàng hơn Qua đó giúp học sinh phát triển

2

tư duy sáng tạo, rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp nhằm nâng cao hiệu quả học tập

5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phương trình vô tỷ và các bài toán có liên quan đến phương trình vô tỷ

Phạm vi nghiên cứu: Nội dung về phương trình vô tỷ ở trung học phổ thông

6 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp và hệ thống hóa lí thuyết để nghiên cứu các tài liệu giáo khoa có liên quan đến nội dung phương trình vô tỷ

Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu thuộc lĩnh vực toán học, các tài liệu và bài viết có liên quan đến luận văn

Phân loại và hệ thống hóa các phương pháp giải phương trình vô tỷ

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài giúp chúng ta hệ thống hoá lại một số kiến thức về phương trình vô tỷ (chương 1) và đưa ra một số phương pháp giải phương trình vô tỷ (chương 2) Những kết quả này là tài liệu tham khảo tốt cho các giáo viên, học sinh để phục vụ cho việc dạy và học được tốt hơn

8 Cấu trúc của khoá luận

Chương 1 Cơ sở lý thuyết

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức chuẩn bị về phương trình, phương trình vô tỷ, các bất đẳng thức liên quan

Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

Đây là chương trọng tâm của luận văn Trong chương này, chúng tôi trình bày các phương pháp giải phương trình vô tỷ thông qua các ví dụ Trong mỗi ví dụ chúng tôi sẽ đưa ra lời giải cụ thể để người đọc dễ nắm bắt từng phương pháp

Phần kết luận

Chúng tôi trình bày các kết quả đạt được thông qua luận văn

Tài liệu tham khảo

1.1 Đại cương về phương trình vô tỷ

1.1.1 Khái niệm phương trình một ẩn

Cho hàm số y= f x( ) và y= g x( ) có tập xác định lần lượt là D và f D g.ĐặtD=D f D g. Mệnh đề chứa biến “ ( ) f x =g x( )” được gọi là phương trình một

ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình Số x0D gọi

là một nghiệm của phương trình f x( )=g x( ) nếu “ f x( )0 =g x( )0 ”

1.1.2 Phương trình tương đương

Định nghĩa 1.1.1 Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu

Định nghĩa 1.1.2 Phương trình f2( )x =g2( )x có tập nghiệm là S2 được

gọi là phương trình hệ quả của phương trình f1( )x =g1( )x có tập nghiệm S1 nếu

1 2

S S Khi đó ta viết f1( )x =g1( )x  f2( )x =g2( )x

Khi bình phương hai vế của một phương trình (đã đáp ứng điều kiện cho phép),

ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho:

• Nếu phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm

tìm được vào phương trình đã cho để phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai

1.1.4 Phương trình vô tỷ

Định nghĩa 1.1.3 Phương trình f x( )=g x( ) được gọi là phương trình vô

tỷ nếu f hoặc glà hàm số đại số vô tỷ (chứa đối số trong căn thức và

không thể biểu diễn bằng một công thức chỉ chứa bốn phép tính số học) 1.1.5 Phương pháp giải tìm tập xác định của phương trình

Điều kiện xác định của phương trình f x( )=g x( ) là tất cả điều kiện để

giá trị của f x( ) ( ),g x cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

Điều kiện xác định của biểu thức:

• Với a , b 0 ta có a b+ 2 ab Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a= b

• Với a b c , , 0 ta có a b c+ + 33 abc Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a= = b c

Cho u =(a b, ), v =(x y, ) Ta có được các bất đẳng thức vectơ sau đây:

• u + v  +u v Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng hay a b 0

6

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Để giải phương trình vô tỷ, trước tiên ta cần tìm tập xác định D của phương trình Để đơn giản hoá, ta chỉ cần nêu điều kiện để x thuộc D Điều kiện đó gọi là điều kiện xác định của phương trình Sau đó ta lựa chọn các phương pháp thích hợp

để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn Sau đây chúng tôi sẽ trình bày một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

2.1 Phương pháp nâng lên lũy thừa

Những bài toán sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là những phương trình thuộc dạng cơ bản hoặc phương trình chứa các hằng đẳng thức Điều quan trọng của phép nâng lên lũy thừa đó là ta thu được phương trình tương đương hay phương trình

hệ quả Để có thể biến đổi chính các phương trình ta cần kiểm tra dấu của hai vế phương trình xem có cùng dấu hay không, khi đó ta sẽ quyết định được phương trình thu được là phương trình tương đương hay phương trình hệ quả

Ở phương pháp này, ta tiến hành giải phương trình vô tỷ bằng cách nâng lên lũy thừa với số mũ thích hợp cả hai vế của phương trình Sau đó giải phương trình

hệ quả để tìm nghiệm Ta có các dạng phương trình cơ bản sau đây:

200,

7

Dạng 4: 3 f x( )+3 g x( ) = 3 h x( ),

hay f x( )+g x( )+ 33 f x g x( ) ( ) (3 f x( )+ 3 g x( ) ) =h x( ).

Thay 3h x( ) =3 f x( )+3 g x( ) nhận được phương trình hệ quả, sau đó

ta giải phương trình hệ quả

6 7 0,

3 2

x x

x x

x x

=



 =



x x x

322

x x

; 2 2

x x x x

x x

= −



  =

So với điều kiện ban đầu, ta nhận x= −3, x=4

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = − 3; 4 

Ví dụ 2.1.6 Giải phương trình:

2

2 x +2x+ = +6 x 5

x x

x x

;1 3

Lời giải Phương trình đã cho có thể biến đổi về dạng: f x( )+ g x( ) = h x( )

Điều kiện xác định của phương trình là

3 0

2 8 0

x x x

So với điều kiện ban đầu, ta nhận x=5;x= 6

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S={5; 6}

Ví dụ 2.1.8 Giải phương trình sau:

x+ − − =x x−

26 181

.5

So với điều kiện ban đầu, ta nhận x = 3.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 3

2.2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp

Các dạng phương trình cơ bản (trong đó a b c d, , , ,e, , ,a b c   là các số cho trước)

x x x

2 2 3

4 8 0

2 2 3

x x

So với điều kiện ban đầu, ta nhận x=1;x= − −2 2 3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệmS =1; 2 2 3− − 

2

, 3x +2x+ =7 m x+1 +n x+3

m n

 hệ phương trình này vô nghiệm

So với điều kiện ban đầu, ta nhận x = 1

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 1

16

ta nhận được nghiệm là: 6

1

m n

=



 =

Khi đó ta sẽ phân tích 2 ( ) ( 2 )

37 1509

.2

1 61

.6

x + + = −x x − phương trình này vô nghiệm

So với điều kiện ban đầu, ta nhận 1 61

x

x x

So với điều kiện, ta nhận x=2; x= −2 3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S =2;2− 3

So với điều kiện, ta nhận x = 1.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 1

Với x= −2a = −x 2 7x− phương trình này vô nghiệm 6,

So với điều kiện ban đầu, ta nhận x=1; x= 6

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 1; 6

2.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình cơ bản

Các dạng phương trình cơ bản ( trong đó k m p, , là các số cho trước)

• Phương trình dạng m f x( )n g x( ) = k

Ta đặt hai ẩn phụ a=m f x( ),b=n g x( ) rồi tìm quan hệ giữa hai ẩn a và b Kết hợp

với phương trình ban đầu ta được hệ phương trình Phương trình này được giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình khi f x( ), g x( ) cùng là biểu thức

bậc nhất hoặc f ( )x , g x( ) có điểm chung

p

f x + k f x =

−

Với b =1, ta có x =  = So với điều kiện, ta nhận 1 x 1 x = 1.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 1

So với điều kiện, ta nhận x = 1

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S ={1}

2

a b

a b

a b

Điều kiện xác định của phương trình là x 

Với x = 0 không thoả mãn phương trình

Với x  0 phương trình đã cho tương đương 3 1 3 1

0

a b

a b

a b

Lời giải Phương trình đã cho có dạng m f x( )−n g x( ) = k.

Điều kiện xác định của phương trình là x 

So với điều kiện, ta nhận x = 1

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S ={1}

2.2.3 Phương Pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng

Các dạng phương trình cơ bản ( trong đó a b c m n p k, , , , , , là các số cho trước)

• Phương trình dạng x n+ =a b bx n − a

Ta đặt t= n bx − rồi đưa về hệ phương trình đối xứng loại II a

n n

n n

Lời giải Phương trình đã cho có dạng x n+ =a b bx n − a

Điều kiện xác định của phương trình là 9

2x −6x− =3 4x+ 9hay 2

a a

27

So với điều kiện, ta nhận x = −1 3; x = 4

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S =1− 3;4 

3x −8x+ 3 0,lúc này phương trình trở thành: ( ) (2 ) ( ) ( )( ) ( )

1 3− x − − + =x 1 2−x 2−x 1 3− x + − + x 1Đặt a = − 1 3 x , 2

hệ phương trình vô nghiệm

So với điều kiện, ta nhận 1 13

.6

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 1 13

.6

9x +9x +9x+2x +4x+ = phương trình này vô nghiệm 4 0,

So với điều kiện, ta nhận 3 5

;2

.2

m n p là các số cho trước) Ta đặt t = mx2 +nx+ rồi đưa phương trình về phương p

A

− − 

=

sử dụng ẩn phụ không hoàn toàn

Điều kiện xác định của phương trình là 3

t − x− t+ x − x= tiến hành giải phương trình ta nhận được nghiệm:

22

trình này vô nghiệm

Với t= − ta được: x 1, 2x− = −3 x 1,tiến hành bình phương hai vế của phương trình ta có: ( )2

,

2x− =3 x−1 hay 2

4 4 0,

x − x+ = giải phương trình ta nhận được nghiệm x =2

So với điều kiện, ta nhận x =2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S ={2}

So với điều kiện, ta nhận x = 8.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 8

ta sẽ sử dụng ẩn phụ không hoàn toàn

Điều kiện xác định của phương trình là x 

.2

2.2.5 Phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác

Một số dấu hiệu của phương trình giải bằng phương pháp lượng giác hoá

33

Ví dụ 2.2.21 Giải phương trình:

4x −3x= 1−x

Lời giải Điều kiện xác định của phương trình là −   1 x 1.

Đặt x=cos ,t t 0; , suy ra 1−x2 = 1 cos − 2t = sin2t = sin t =sin t

Khi đó: 4cos3t−3cost=sint cos3t=sint cos3 cos

cos ; cos ; cos

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm π 5 3

cos ;cos ;cos

So với điều kiện, ta nhận x = 2.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S={ 2}

2

11

x x

x

++

−

Lời giải Điều kiện xác định của phương trình là:

101

x x x

6sin 0

x =

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 3

.3

nên ta tiến hành đánh giá bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Điều kiện xác định của phương trình là x R  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Lời giải Ta nhận thấy x− =7 1.(x− và 7) 9− =x 1 9( −x) đều có dạng ab

nên ta tiến hành đánh giá bằng việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Điều kiện xác định của phương trình là 7  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy x 9

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 8

mà 1  nênx 3 x =2 So với điều kiện, ta nhận x =2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 2

Lời giải Ta thấy vế trái phương trình có dạng ax by+ vớia= =b 1 nên ta tiến hành

đánh giá bằng cách sử dụng đẳng thức Bunhiacopxki với điều kiện 4 2

x +x − + x −x +  x Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x =1

So với điều kiện, ta nhận x = 1

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 1

− − So với điều kiện, ta nhận

1.5

x =

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 1

.5

Ta tính đạo hàm f x'( ) sau đó chứng minh f x ( ) 0 hoặc f x ( ) 0 từ đó suy

ra hàm số f x( )luôn đồng biến hoặc nghịch biến Tìm giá trị x0 sao cho f x( )0 =k rồi kết luận phương trình có nghiệm duy nhất

• Phương trình có dạng f x( )=g x( ) trong đó f x( ) đồng biến, g x( )nghịch biến hoặc f x( ) nghịch biến, ( )g x đồng biến

Ta tính đạo hàm f x'( ), g x'( ) rồi từ đó suy ra tính đồng biến và nghịch biến của ( )

f x và g x( ).Tìm giá trị x0 sao cho f x( )0 =g x( )0 rồi kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x = x0

• Phương trình có dạng f u( )= f v( ) trong đó f v( ) luôn đồng biến

Ta nhận xét hàm đặc trưng f t( ) rồi chứng minh f t( ) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến Từ đó f u( )= f v( ) ta suy ra được u v =