Skkn một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Phương trình vơ tỷ bất phương trình vơ tỷ nội dung hay khó tốn THPT, phần nằm đề thi HSG, đại học, cao đẳng Tuy nhiên đa số em lúng túng giải phương trình vơ tỷ bất phương trình vơ tỷ Phương trình vơ tỷ bất phương trình vơ tỷ có nhiều cách giải nhiều dạng Nên chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ bất phương trình vơ tỷ” Ở tơi đưa số dạng phương trình bất phương trình cách giải với mong muốn củng cố cho em kiến thức bản, nhận dạng toán rèn kĩ giải tốn qua dạng tập Mục đích sáng kiến giúp em làm dạng toán này, tránh sai lầm dễ mắc phải Tên sáng kiến: “Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ bất phương trình vơ tỷ” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Trần Thị Yến - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Triệu Thái – Lập Thạch– Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0975638835 - E_mail: tranthiyen.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Không Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:  Phạm vi: Phương trình phương trình vơ tỷ  Đối tượng: Học sinh từ lớp 10 đến lớp 12 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 15/10/2017 Mô tả chất sáng kiến: - Về nội dung sáng kiến: skkn A MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ CƠ BẢN I.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Phương trình – Bất phương trình thức 1) 2) 3) 4) 5) * Lưu ý Đối với phương trình , bất phương trình thức khơng có dạng chuẩn , ta thực theo bước : Bước Đặt điều kiện cho thức có nghĩa Bước Chuyển vế cho hai vế khơng âm Bước Bình phương hai vế để khử thức Một số phương trình – Bất phương trình vơ tỷ thường gặp khác Dạng Ta có Thay Dạng vào (2) ta với Biến đổi dạng : skkn Bình phương , giải phương trình hệ  Lưu ý: Phương pháp biến đổi hai dạng la đưa phương trình hệ Do , để đảm bảo khơng xuất nghiệm ngoại lai phương trình , ta nên thay kết vào phương trình đầu đề nhằm nhận , loại nghiệm xác II.CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Giải phương trình : Trích đề thi Cao đẳng Nhà Trẻ - Mẫu Giáo TW1 năm 2004 Bài giải Vậy nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình : Đề thi thử Đại học năm 2010- THPT Thuận Thành- Bắc Ninh Bài giải Vậy nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình : Trích đề thi Cao đẳng sư phạm Ninh Bình khối M năm 2004 skkn Bài giải Điều kiện : Kết hợp điều kiện , nghiệm phương trình x=9 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài Giải phương trình : Cao đẳng Lương Thực – Thực phẩm năm 2004 ĐS : x=5 Bài Giải phương trình : Đại học Văn Hóa năm 1998 ĐS : Bài 3.Giải phương trình : Đại học Dân Lập Đơng Đơ khối B năm 2001 ĐS: Bài 4.Giải phương trình : Đại học Xây Dựng năm 2001 ĐS: x=1 B- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH SỐ HOẶC TỔNG HAI SỐ KHƠNG ÂM I- KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Sử dụng biến đổi Dùng phép biến đổi, đồng kết hợp với việc tách, nhóm , ghép thích hợp để đưa phương trình dạng tích đơn giản biết cách giải Một số phép biến đổi thường gặp skkn * với hai nghiệm * Chia Hoocner để đưa dạng tích số * Các đẳng thức thường gặp * * …………… 2/ Tổng số không âm Dùng biến đổi ( chủ yếu đẳng thức ) tách ghép đưa dạng 3/Sử dụng nhân liên hợp - Dự đoán nghiệm MTBT ( SHIFT – SOLOVE hay ALPHA – CALC ) - Tách ghép phù hợp để sau nhân liên hợp xuất nhân tử chung bội phương trình nhằm đưa phương trình tích số - Các cơng thức thường dùng nhân liên hợp Biểu thức Biểu thức liên hợp Tích 4/Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Đặt ẩn số phụ khơng hồn tồn hình thức phân tích thành nhân tử Khi đặt ẩn phụ t biến x tồn ta xem x tham số Thơng thường phương trình bậc hai theo t ( tham số x ) giải cách lập skkn II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 1/ Sử dụng biến đổi đẳng thức để đưa phương trình tích số Ví dụ Giải phương trình : Cao đẳng Sư Phạm Cần Thơ khối M năm 2005 Bài giải Điều kiện : Kết hợp với điều kiện , nghiệm phương trình Nhận xét: Ta giải toán phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình gần đối xứng loại II : giải tìm x Dạng tổng quát toán : lấy vế trừ vế ta , Ví dụ Giải phương trình : Đại học Dược Hà Nội năm 1999 Bài giải Điều kiện : skkn Ta có nên (1) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x=-3 Ví dụ Giải phương trình : Bài giải Vậy phương trình có nghiệm x=-1 v x=0 Nhận xét: Trong hai ví dụ tơi sử dụng phân tích thành tich tam thức bậc hai: với hai nghiệm BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Giải phương trình : Cao đẳng Sư Phạm Kỹ Thuật Vinh năm 2001 ĐS: Bài Giải phương trình : Đại học Sư Phạm Hà Nội khối D năm 2000- CĐ Sư Phạm Hà Nội năm 2005 ĐS: Bài Giải phương trình : Tạp trí Tốn Học Tuổi Trẻ số 420 tháng năm 2012 skkn ĐS: Bài Giải phương trình : Đại học Dân Lập Hải Phịng khối A năm 2000 2/ Biến đổi tổng hai số khơng âm Ví dụ Giải phương trình : Bài giải Điều kiện : Kết hợp với điều kiện , nghiệm phương trình x=3 Ví dụ Giải phương trình : Bài giải Điều kiện: So với điều kiện , nghiệm phương trình x=1 Ví dụ Giải phương trình : skkn Bài giải Điều kiện : So với điều kiện , phương trình có nghiệm BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Giải phương trình : ĐS: x=-1 Bài Giải phương trình : ĐS: x=2 Bài Giải phương trình : ĐS: x=1 Bài Giải phương trình : Đề thị olympic 30/04 – THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam ĐS: x=-1003 3/ Sử dụng nhân liên hợp Ví dụ Giải phương trình : Đề thi thử Đại học lần khối D năm 2013 – Trường THPT Lê Xoay skkn Nhận xét: sử dụng máy tính , ta tìm nghiệm ta có nên ta có lời giải sau: Bài giải Điều kiện : Ta có nên (1) Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ Giải phương trình : Đề thi Đại học khối A năm 2007 Nhận thấy : nên ta có lời giải sau: Bài giải Điều kiện : 10 skkn Vậy phương trình có nghiệm x=3 Ví dụ Giải phương trình : Đề thi thử Đại học lần khối A, B năm 2013 _ THPT Hà Trung- Thanh hóa Nhận xét: Sử dụng ALPHA – CALC cho biểu thức với giá trị nguyên khoảng tập xác định , ta nhận f(x)=0 x=3, nghĩa x=3 nghiệm phương trình Một cách tự nhiên , ta suy nghĩ tách ghép phù hợp cho nhân lượng liên hợp xuất nhân tử (x-3) bội Ta khơng nên ghép cặp với nhau, xuất nhân tử (x-3) đặc biệt biểu thức không xuất (x- 3) Hơn , sau nhân liên hợp xuất hạng tử mẫu số mà chưa khẳng định âm hay dương tập xác định x , điều gây khó khăn cho ta giải ( đánh giá ) biểu thức g(x)=0 Do ta suy nghĩ tìm hai số hai biểu thức để sau nhân lượng liên hợp , hai xuất Vì hai số phải thỏa mãn đồng Nên ta có lời giải sau Bài giải 11 skkn Điều kiện : Xét hàm số Xét hàm số thấy (2) nghịch biến Từ (2), (3) hàm số f(x) g(x) có đồ thị khơng thể cắt Do (1) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x=3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Giải phương trình : Đại học Tổng Hợp năm 1992 ĐS: Bài Giải phương trình : Đề thi thử Đại học lần năm 2013 – THPT Dương Đình Nghệ - Thanh Hóa ĐS: x=1 Bài Giải phương trình : Đại học Ngoại Thương năm 1997- Đề số ĐS x=1 12 skkn 4/ Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Ví dụ Giải phương trình sau: Đại học Quốc Gia hà Nội khối A- Học Viện Ngân Hàng khối A năm 2001 Bài giải Đặt lúc : Lúc ta xem (1) phương trình bậc hai theo biến t x tham số Với vô nghiệm Với Vậy phương trình có hai nghiệm Ví dụ Giải phương trình : Bài giải Đặt Lúc ta xem (1) phương trình bậc hai theo biến t x tham số Với Với Vậy phương trình có hai nghiệm BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Giải phương trình : 13 skkn ĐS: Bài Giải phương trình : ĐS: Bài Giải phương trình : ĐS: Bài Giải phương trình : ĐS: C- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ BẰNG ĐẶT ẨN SỐ PHỤ I.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Đặt ẩn phụ Tìm mối liên hệ biến để đặt ẩn phụ thích hợp Một số dạng thường gặp: 1) 2) 2/ Đặt hai ẩn phụ Thông thường , ta tìm mối liên hệ biến để đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp ( đồng bậc ) phương trình đối xứng loại II , đẳng cấp … Ta thường gặp số dạng sau: 1) 2) đặt đặt 14 skkn 3) đưa hệ đối xứng loại II : 4) đặt đưa hệ đối xứng loại II Lưu ý:  Sau đặt ẩn phụ , ta cần tìm điều kiện cho ẩn phụ , tức tìm miền xác định cho tốn Tùy vào mục đích ẩn phụ mà ta phải tìm điều kiện cho hợp lý ( dễ , khơng gây sai sót) , chung quy, ta có hai cách tìm điều kiện : tìm điều kiện tìm điều kiện thừa  Cần lưu ý số khai triển biến đổi sau :  hay tổng quát :      II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 1/ Đặt ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình : Đại học Cảnh Sát Nhân Dân năm 1999 Bài giải 15 skkn Đặt Với Vậy phương trình có hai nghiệm x=5 x=-5 Ví dụ Giải phương trình : Cao đẳng Sư Phạm Trung Ương năm 2006 Bài giải Đặt lúc Với Vậy nghiệm phương trình x=0 v x=-2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1.Giải phương trình : Đề thi thử Đại học 2013 lần khối D – THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh ĐS : Bài 2.Giải phương trình : Đại học Xây Dựng Hà Nội khối A năm 1998 ĐS: Bài 3.Giải phương trình : Đại học Nơng Nghiệp I khối A năm 1999 ĐS: x=1 2/ Đặt hai ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình : 16 skkn Đề thi Đại học khối A năm 2009 Bài giải Điều kiện : Đặt Lúc So với điều kiện nghiệm phương trình x=-2 Ví dụ Giải phương trình : Đề thi Đại học khối A năm 2009 Bài giải Điều kiện : Đặt Lúc (1) So với điều kiện nghiệm phương trình x=-2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Giải phương trình : Học Viện Cơng Nghệ Bưu Chính Viễn Thơng năm 1996 ĐS: x=40 v x=-25 Bài Giải phương trình : 17 skkn Đại học Tài Chính Kế Tốn Hà Nội năm 2000 ĐS: x=1 v x=2 v x=10 Bài Giải phương trình : Đại học An Ninh năm 2000 ĐS: D- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định lí Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f(x)=k (kỴR) có khơng q nghiệm khoảng (a;b) Định lí Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) "u, v Ỵ(a,b) ta có Định lí Nếu hàm f tăng g hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x)=g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục đoạn [a;b] tồn F'(x) khoảng (a;b) : Khi áp dụng giải phương trình: có F(b) – F(a) = có nghiệm thuộc Định lý Rơn: Nếu hàm số lồi hoăc lõm miền D phương trình khơng có q hai nghiệm thuộc D Từ tính chất ta có phương án biến đổi sau: Phương án 1: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy phương trình có nghiệm 18 skkn Phương án 2: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = g(x), nhẩm nghiệm dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến g(x) nghịch biến hàm suy phương trình có nghiệm Phương án 3: Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu ta có: u = v II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Giải phương trình : Nhận xét: Vế trái (*) có dạng tổng, nên có nhiều khả hàm đồng biến theo x miền xác định , theo định lí 1, phương trình có nghiệm ta dùng máy tính bỏ túi (SHIFT – SOLVE ) tìm nghiệm Bài giải Điều kiện : Xét hàm số khoảng ta có: đồng biến khoảng có nghiệm nghiệm Nhận thấy Thử lại thấy thỏa mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ Giải phương trình: Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B, D – Đại học Ngân Hàng khối D năm 2001 19 skkn Bài giải Điều kiện : Nhận thấy nghiệm phương trình (*) Xét hàm số nửa khoảng đồng biến Mà nghiệm phương trình (*) Vậy phương trình có nghiệm BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Giải phương trình : Đại học khối B năm 2010 ĐS: x=5 Bài Giải phương trình : ĐS: Bài Giải phương trình : Cao đẳng khối A, A1, B, D năm 2012 ĐS: Bài Giải phương trình : Đề thi thử Đại học 2013 lần khối A _ THPT Tuy Phước ĐS: - Về khả áp dụng sáng kiến: Kết đạt 20 skkn Tôi giảng dạy mơn Tốn trường Triệu Thái gần năm Năm học 2017 – 2018, mạnh dạn sử dụng “Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ bất phương trình vơ tỷ” vào giảng dạy lớp 11A1, 11A6, thu kết đáng khích lệ Kết chuyển biến phong cách học tập học sinh tiếp nhận trải nghiệm đầy thú vị lớp học Các em học tập tích cực, chủ động hơn, sơi hơn, thảo luận nhiều hơn, hăng hái phát biểu ý vào giảng Các em học sinh nắm bắt nhận cách giải phương trình vơ tỷ bất phương trình vơ tỷ cách dễ dàng Sự hứng thú ham học hỏi học sinh giúp giáo viên có thêm động lực hứng khởi để tiếp tục tìm tịi, sáng tạo, mang đến học bổ ích, lý thú Kết học tập mơn Tốn lớp 11A2, 11A6 năm học 2017 – 2018 khả quan với tỉ lệ giỏi nâng lên Lớp Giỏi Khá Loại khác 11A1 30% 50% 20% 11A6 15% 40% 45% Những thông tin cần bảo mật: Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Đòi hỏi giáo viên phải chuẩn bị công phu vất vả Trình độ nhận thức học sinh phải từ mức TB trở lên, đồng Phương trình bất phương trình vơ tỷ nội dung quan trọng, đòi hỏi học sinh phải biết cách tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp giải phù hợp Cơ sở vật chất, thiết bị dạy học đảm bảo 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả Đã trang bị số kiến thức giải phương trình bất phương trình vơ tỷ nhằm nâng cao lực học mơn tốn cho học sinh Gây hứng thú cho học sinh giải tập SGK, SBT sách tham khảo 21 skkn Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm thường gặp giải phương trình bất phương trình vơ tỷ Giúp học sinh năm vững cách có hệ thống phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ áp dụng thành thạo phương pháp để giải tập Việc triển khai tiết học theo chủ đề mang lại hiệu nhiều Đó điều mong mỏi tơi viết sáng kiến Mong muốn có chủ đề dạy học vừa bám sát chương trình học – thi, vừa cung cấp cho em hệ thống tri thức phương pháp 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến Sáng kiến nêu lên dạng phương trình bất phương trình, phương pháp giải phù hợp Tuy nhiên, là một nội dung rộng, nên việc đưa các phương pháp còn mang tính tương đối Hi vọng qua bài viết này phần giúp cho học sinh có tư tốt hơn, thành thạo kỹ giải toán số kiến thức liên quan Các kiến thức sáng kiến áp dụng với học sinh lớp dạy thu số kết khả quan Tuy nhiên sáng kiến chưa áp dụng nhiều đối tượng nên chắn cịn nhiều thiếu sót Hi vọng nhận góp ý thầy cơ, anh chị đồng nghiệp để sáng kiến hoàn thiện có ứng dụng rộng rãi 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ chức/cá TT nhân Lớp 11A1, 11A6 , ngày tháng năm Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THPT Triệu Phương trình phương trình Thái – Vĩnh Phúc vơ tỷ , ngày tháng năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) 22 skkn ……., ngày tháng năm Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Trần Thị Yến MỤC LỤC Lời giới thiệu Tên sáng kiến: Tác giả sáng kiến: Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Mô tả chất sáng kiến: I.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Phương trình – Bất phương trình thức 2 Một số phương trình – Bất phương trình vơ tỷ thường gặp khác II.CÁC VÍ DỤ MINH HỌA .3 B- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH SỐ HOẶC TỔNG HAI SỐ KHƠNG ÂM I- KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Sử dụng biến đổi .4 2/ Tổng số không âm 3/Sử dụng nhân liên hợp 4/Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 1/ Sử dụng biến đổi đẳng thức để đưa phương trình tích số 2/ Biến đổi tổng hai số không âm 3/ Sử dụng nhân liên hợp 4/ Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn .13 C- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ BẰNG ĐẶT ẨN SỐ PHỤ .14 I.KIẾN THỨC CƠ BẢN 14 1/ Đặt ẩn phụ 14 2/ Đặt hai ẩn phụ 14 II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 15 1/ Đặt ẩn phụ 15 2/ Đặt hai ẩn phụ .16 D- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 18 I KIẾN THỨC CƠ BẢN 18 II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 19 Những thông tin cần bảo mật: Không .21 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 21 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức 21 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả 21 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến 22 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): 22 23 skkn ...A MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ CƠ BẢN I.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 .Phương trình – Bất phương trình thức 1) 2) 3) 4) 5) * Lưu ý Đối với phương trình , bất phương trình. .. 1 .Phương trình – Bất phương trình thức 2 Một số phương trình – Bất phương trình vơ tỷ thường gặp khác II.CÁC VÍ DỤ MINH HỌA .3 B- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH... thường gặp giải phương trình bất phương trình vơ tỷ Giúp học sinh năm vững cách có hệ thống phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ áp dụng thành thạo phương pháp để giải tập Việc