Tính cấp thiết của đề tài Các bài toán hình học liên quan đến tam giác là một phần quan trọng củachương trình Toán phổ thông.. Việc giải các bài toán hình học về tam giác cần đượcnghiên
Công thức hệ thức lượng
6.1.1 Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Cho ∆ABC, Ab= 90 ◦ , AH⊥BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h.
Hình 1.7: Tam giác vuông với đường cao AH
Khi đó i) BH = c ′ được gọi là hình chiếu của AB xuống BC. ii) CH = b ′ được gọi là hình chiếu của AC xuống BC.
Mệnh đề 1.1 Cho ∆ABC vuông tại A (Hình 1.8) Khi đó i) AB 2 = BH.BC(c 2 = a.c ′ ), ii) AC 2 = CH.BC(b 2 = a.b ′ ), iii) AH 2 = CH.BH(h 2 = b ′ c ′ ), iv) AB.AC = AH.BC(b.c = a.h), v) 1
AC 2 ( 1 h 2 = 1 b 2 + 1 c 2 ), vi) BC 2 = AB 2 +AC 2 (a 2 = b 2 +c 2 ) (Định lí Pythagore thuận)
6.1.2 Hệ thức về góc-cạnh trong tam giác vuông
Mệnh đề 1.2 Cho ∆ABC vuông tại A (Hình 1.9) Khi đó i) b = a.sinB = a.cosC, ii) c = a.sinC = a.cosB, iii) b = c.tanB = c.cotC, iv) c = b.tanB = b.cotC.
Hình 1.8: Tam giác vuông ABC
Ví dụ 1.2 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 12cm,Cb = 40 ◦ Hãy tính độ dài AC, BC và tia phân giác BD.
Giải. Áp dụng Mệnh đề 1.2, ta có tan\ACB = AB
⇒AC = AB tan 40 ◦ = 12 tan 40 ◦ ≈14,3cm. Tương tự, ta cũng có sinACB\ = AB
⇒ BC = AB sin 40 ◦ = 12 sin 40 ◦ ≈18,7cm.
Vì BD là phân giác \ABC nên
ABD\ = 25 ◦ Tóm lại cosABD\ = AB
Định lý sin
Định lý 1.3 Trong tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R), ta có a sinA = b sinB = c sinC = 2R, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Hệ quả 1.1 Trong tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R), ta có a = 2RsinA; b = 2RsinB; c = 2RsinC, sinA = a
Trong tam giác ABC, với góc Bb = 35° và góc Cb = 50°, cạnh AC có độ dài 15 cm Cần tính toán các cạnh còn lại của tam giác ABC và xác định bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác này.
Ta có tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 ◦ , điều này nghĩa là
Ab+Bb+Cb = 180 ◦ Suy ra
Ab= 180 ◦ −Bb −Cb = 180 ◦ −35 ◦ −50 ◦ = 95 ◦ Áp dụng Định lý 1.3 trong tam giác ABC, ta có
BC sinA = AC sinB = AB sinC.
BC = AC.sinA sinB = 15.sin 95 ◦ sin 35 ◦ ≈ 20,05cm
AB = AC.sinC sinB = 15.sin 50 ◦ sin 35 ◦ ≈ 20,03cm. Áp dụng Hệ quả 1.1, ta được
Vậy BC = 20,05cm, AB = 20,03cm và R = 25√
Một người quan sát đỉnh núi từ hai vị trí khác nhau trong một tòa nhà cao 60m Từ tầng trệt, góc nhìn với phương nằm ngang là 35 độ, trong khi từ sân thượng, góc nhìn là 15 độ Dựa vào các thông số này, ta có thể tính được chiều cao của ngọn núi so với mặt đất.
Tại sân thượng của tòa nhà, vị trí A được xác định, trong khi vị trí B nằm ở tầng trệt C và D lần lượt là đỉnh và chân của ngọn núi Từ A, một đường thẳng AE được hạ xuống vuông góc với CD tại điểm E.
Theo đề bài, ta có
ABD\ = \ABC −DBC\ = 90 ◦ −35 ◦ = 55 ◦ , BAD\ = BAE\+DAE\ = 90 ◦ + 15 ◦ = 105 ◦ Suy ra
ADB\ = 20 ◦ Áp dụng Định lý 1.3 trong tam giác ABD, ta có
Xét tam giác CBD vuông tại C
⇔CD = 169,45.sin 35 ◦ ≈ 97,19.Vậy ngọn núi cao xấp xỉ 97,19m.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC 24
Các khái niệm cơ bản
Giải tam giác là quá trình xác định các đại lượng chưa biết của tam giác bằng cách áp dụng các định lý hình học như định lý cosin và định lý sin, cũng như sử dụng các công thức tính diện tích của tam giác.
Xét tam giác ABC với độ dài các cạnh a, b, c trong đó tổng độ dài hai cạnh bất kì luôn luôn lớn hơn độ dài của cạnh còn lại.
Ta có công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo Heron
S q p(p−a)(p−b)(p−c), (2.1) với p là nửa chu vi tam giác ABC p = a+b+c
Bài toán 2.1 Hãy biểu diễn công thức tính diện tích tam giác của Heron dưới dạng 2.3:
Bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong việc đánh giá hệ thức lượng trong tam giác mà không cần sử dụng yếu tố diện tích Các hàm nhiều biến X và Y được biểu diễn chỉ dựa trên các cạnh a, b, c mà không phụ thuộc vào p Tính ứng dụng của công thức (2.3) cho thấy rằng S ≤ X, và dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi điều kiện nhất định được thỏa mãn.
Do đó x, y, z là bộ số Pythagore.
Bài toán về tính diện tích tam giác
Trong một tam giác, độ dài các cạnh được ký hiệu lần lượt là a, b, c và chúng là các đại lượng thay đổi Các ánh xạ nhiều biến X được định nghĩa theo cách cụ thể trong nghiên cứu của Uyên-Sự [7].
Kết quả lời giải cho bài toán được trình bày trong bài báo [7] thông qua các định lý Định lý 2.1 đề cập đến diện tích tam giác, trong đó cho tam giác ABC với các cạnh a, b, c, diện tích S của tam giác này được tính theo công thức cụ thể.
Chứng minh Gọi S là diện tích tam giác ABC Áp dụng công thức tính diện tích trong tam giác, ta có
2bc và a 2 = b 2 + c 2 −2bccosBAC\ ⇒cos\BAC = b 2 +c 2 −a 2
2bc Áp dụng hệ thức sinBAC\
Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A, thì theo định lý Pythagore, ta có đẳng thức a² = b² + c² Từ công thức này, chúng ta có thể suy ra công thức tính diện tích của tam giác vuông tại A.
Ví dụ 2.1 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Tìm nghiệm của phương trình sau
2(a+b+c) Gọi S là diện tích tam giác ABC Sử dụng công thức Heron, ta được
Theo Định lý 2.1, ta có
16x(x−a) (x−b) (x−c) = 4b 2 c 2 − b 2 +c 2 −a 2 2 tương đương với x(x−a) (x−b) (x−c) =p(p−a) (p−b) (p−c).Suy ra x = p = 1
Ta chỉ ra x là duy nhất.
Nếu x > p thì x(x−a) (x−b) (x−c) > p(p−a) (p−b) (p−c). Nếu x < p thì x(x−a) (x−b) (x−c) < p(p−a) (p−b) (p−c) Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1
Định lý 2.2 trình bày công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC Trong đó, tam giác ABC có ba cạnh a, b, c và nội tiếp đường tròn bán kính R, đồng thời ngoại tiếp đường tròn bán kính r Bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp được xác định dựa trên các cạnh của tam giác.
2 (a+b+c) Chứng minh Áp dụng công thức tính diện tích S trong tam giác, ta được
Hình 2.2: Đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác.
2 (a+b+c) Lập luận tương tự cho các kết quả còn lại ta được điều phải chứng minh □
Ví dụ 2.2 Cho tam giác ABC có tỉ lệ giữa độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp là C Chứng minh rằng
Giải. Áp dụng Định lý 2.2, ta có
Ta có điều phải chứng minh □
Ví dụ 2.3 Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a, b, c và tỉ lệ giữa độ dài bán kính đường tròn nội tiếp và diện tích của tam giác là 2
3√ 3 abc Chứng minh tam giác ABC đều.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương a, b, c, ta có a+ b+ c ≥3√ 3 abc ⇒ 1 a+b+c ≤ 1
Do đó, từ chứng minh Định lý 2.2 dẫn đến
Bán kính đường tròn nội tiếp Diện tích tam giác ≤ 2
3√ 3 abc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Vậy tam giác ABC đều.
Ta có điều phải chứng minh □
Nghiên cứu tiếp theo tập trung vào việc giải quyết các bài toán tính diện tích tam giác, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tỉ lệ, dựa trên những kết quả tiêu biểu được nêu trong tài liệu tham khảo [3].
1.3 Bài toán về tính diện tích tam giác liên quan đến tỉ lệ Định lý 2.3 Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ nghịch với độ cao tương ứng.
Chứng minh Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c và không mất tính tổng quát ta xét trường hợp đơn giản a : b : c = x : y : z. Đặt a x = b y = c z = k (k > 0) ⇒a = xk; b = yk; c = zk.
Gọi ba chiều cao tương ứng là h a , h b , h c Ta có
2.zk.h c Suy ra xh a = yh b = zh c
Vậy chiều cao tương ứng với ba cạnh tam giác là 1 x,1 y,1 z Điều phải chứng minh □
Nhận xét 2.3.Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Thật vậy, giả sử ∆ABC ≡ ∆A ′ B ′ C ′ theo tỉ số k, ta có
Hình 2.3: Hai tam giác đồng dạng
Suy ra điều phải chứng minh □
Nếu hai tam giác có chung một đỉnh và hai cạnh đáy nằm trên cùng một đường thẳng, thì tỉ số diện tích của chúng sẽ bằng tỉ số của hai cạnh đáy tương ứng.
Thật vậy, tam giác ABC và tam giác DBE có chung đỉnh B, hai đáy tương ứng AC và DE cùng nằm trên một đường thẳng.
Hình 2.4: Tỉ lệ diện tích
Do đó tam giác ABC và tam giác DBE có chung đường cao BH Ta có
Suy ra điều phải chứng minh □
Hai đường thẳng n và m song song với nhau, với các điểm A và C nằm trên đường thẳng m, và các điểm B1, B2, B3, , Bi nằm trên đường thẳng n Mọi tam giác có đáy AC và một đỉnh nằm trên đường thẳng n đều có cùng diện tích.
S ∆AB 1 C = S ∆AB 2 C = S ∆AB 3 C = = S ∆AB i C Thật vậy, ta có
S ∆AB 1 C = S ∆AB 2 C = S ∆AB 3 C = = S ∆AB i C Nhận xét 2.6 Nếu hai tam giác có chung cạnh đáy thì tỉ lệ diện tích bằng tỉ lệ đường cao tương ứng.
Thật vậy, xét tam giác ABC và tam giác ABD, ta có
Suy ra điều phải chứng minh □
Trong tam giác ABC, nếu các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB, thì các đường thẳng AD, BE, CF sẽ đồng quy khi và chỉ khi một điều kiện nhất định được thỏa mãn.
Giả sử AD, BE, CF đồng quy tại điểm O.
F B (do cùng chung đường cao hạ từ O xuống AB). Tương tự, ta có
F B (do cùng chung đường cao hạ từ C xuống AB).
S ∆BOC Tương tự, ta có
S ∆AOB = 1 (điều phải chứng minh). ii) Điều kiện đủ.
Giả sử các điểm D, E, F thỏa mãn
F B = 1. Gọi O là giao điểm của AD, BE và F ′ là giao điểm của AB, CO Theo điều kiện cần chứng minh ở trên, ta có
F ′ B = 1. Kết hợp với giả thiết suy ra
Suy ra AD, BE, CF đồng quy □
Ví dụ 2.5 Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác Các đường thẳng AO, BO, CO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A 1 , B 1 , C 1 Điểm
O 1 nằm trong tam giác A 1 B 1 C 1 Các đường thẳng AO 1 , BO 1 , CO 1 lần lượt cắt các cạnh B 1 C 1 , C 1 A 1 , A 1 B 1 tại A 2 , B 2 , C 2 Chứng minh các đường thẳng
(do cùng đường cao hạ từ A xuống B 1 C 1 ),
(do cùng đường cao hạ từ O 1 xuống B 1 C 1 ).
S ∆O 1 AC 1 Tương tự, ta có
S ∆O 1 CB 1 Như vậy, ta được
C 1 A. Mặt khác, xét tam giác ABC có AA 1 , BB 1 , CC 1 đồng quy tại O Theo định lý Ceva, ta có
Từ định lý Ceva đảo với tam giácA 1 B 1 C 1 và các điểm A 2 , B 2 , C 2 suy ra các đường thẳng A 1 A 2 , B 1 B 2 , C 1 C 2 đồng quy Vậy ta có điều phải chứng minh.
2 Giải bài toán liên quan đến đánh giá hệ thức lượng trong tam giác
Công thức đánh giá sin
Mệnh đề 2.1 Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a, b, c Khi đó sin \BAC
2√ ab. Dấu “ = ” trong mỗi bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC cân lần lượt tại A, B, C tương ứng.
Chứng minh Áp dụng Định lý 1.4 trong tam giác ta có cosBAC\ = b 2 +c 2 −a 2
2ab Đẳng thức trên dẫn đến
Dấu "=" trong bất đẳng thức xuất hiện khi và chỉ khi b = c, c = a, a = b, tương ứng với tam giác ABC cân tại các đỉnh A, B, C Ngoài ra, có thể áp dụng công thức lượng giác để phân tích thêm về tính chất của tam giác.
2 ta có điều cần phải chứng minh □
Công thức đánh giá cosin
Mệnh đề 2.2 Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a, b, c Khi đó cos \BAC
1− b 2 4ab. Dấu “ = ” trong mỗi bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC cân lần lượt tại A, B, C tương ứng.
Chứng minh Ta có công thức lượng giác
2 (2.5) Áp dụng Định lý 1.4 và sau đó kết hợp đẳng thức 2.5 ta được a 2 = b 2 + c 2 −2bc 2cos 2 \BAC
2 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi b = c, hay tam giác ABC cân tại A Mặt khác, ta cũng có đẳng thức và đánh giá sau b 2 = a 2 + c 2 −2ac 2cos 2 \ABC
2 Dấu đẳng thức xảy ra cho trường hợp đầu là a = c và trường hợp sau là a = b Ta có điều phải chứng minh □
Chúng ta có thể đánh giá các chặn dưới của hàm lượng giác cosin bằng cách áp dụng hằng đẳng thức cos²α + sin²α = 1 Đồng thời, để đánh giá chặn trên của hàm lượng giác sin, chúng ta sẽ dựa vào Mệnh đề 2.2.
Chẳng hạn, xét trường hợp đánh giá chặn dưới cho công thức đầu tiên ta sử dụng cos \BAC
Công thức đánh giá tan và cotan
Mệnh đề 2.3 Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a, b, c Khi đó tan BAC\
√4ab−c 2 Dấu “ = ” trong mỗi bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC cân lần lượt tại A, B, C tương ứng.
Chứng minh Sử dụng hệ thức lượng giác kết hợp với Mệnh đề 2.1 và Mệnh đề 2.2 ta được tan \BAC
Dấu “ = ” xảy ra dựa vào kết quả trong Mệnh đề 2.1 và Mệnh đề 2.2 Ta có điều phải chứng minh □
Mệnh đề 2.4 Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a, b, c Khi đó cot\BAC
√4ab−c 2 c Dấu “ = ” trong mỗi bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC cân lần lượt tại A, B, C tương ứng.
Chứng minh Sử dụng công thức tích cotan và tan của góc lượng giác bằng hằng 1 và đánh giá chặn trên trong Mệnh đề 2.3, ta có
Dấu đẳng thức xuất hiện khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân tại các đỉnh A, B và C Điều này được chứng minh dựa trên Mệnh đề 2.3.
Tam giác ABC với ba cạnh a, b, c sẽ là tam giác cân hoặc đều nếu thỏa mãn một trong các đẳng thức sau Việc chứng minh tính chất này giúp khẳng định mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác và tính đối xứng của nó.
Theo chứng minh Mệnh đề 2.2 ta có đánh giá sau
2bc và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = c;
2ac và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = c;
2ab và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = a.
Tam giác ABC được coi là cân nếu thỏa mãn một trong các đẳng thức đã nêu Nếu hai trong số các đẳng thức này xảy ra, tam giác ABC sẽ là tam giác đều Điều này cần được chứng minh rõ ràng.
Nếu ABC là tam giác đều, thì các cạnh a, b, c đều bằng nhau Do đó, tất cả các đánh giá về các chặn trên và chặn dưới trong hệ thức lượng của tam giác đều đều đạt dấu "=".
Mệnh đề 2.5 (Công thức đánh giá đường cao) Cho ABC là một tam giác có 3 cạnh là a, b, c Gọi h a , h b , h c là độ dài 3 đường cao hạ từ các đỉnh
A, B, C xuống cạnh đối diện của tam giác tương ứng Khi đó h a ≤ bc a , h b ≤ ac b , h c ≤ ab c Dấu “ = ” trong mỗi bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông lần lượt tại A, B, C tương ứng.
Chứng minh Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta có
Do đó, ta có aha ≤bc.
Ta có điều phải chứng minh □
3 Vận dụng định lý Thales và định lý Menelaus vào giải bài toán liên quan đến tam giác
Định lý Thales
3.1.1 Định lý Thales thuận Định lý 2.4 (Xem [3, tr23]) Nếu có một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì đường thẳng đó sẽ định ra trên hai cạnh của tam giác những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Hình 2.5: Đoạn thẳng tỷ lệ
Hình thang ABCD với AB song song CD có một đường thẳng song song với hai đáy, cắt các cạnh bên AD và BC tại các điểm M và N Cần chứng minh rằng AM song song với MN.
CB = 1 Giải. a) Gọi I là giao điểm của đường chéo AC và M N. Áp dụng Định lý 2.4 vào hai tam giácACD vàACB có M I//CD, IN//AB ta được
Từ (2.6) và (2.7) ta suy ra
N C. b) Áp dụng Định lý 2.4 vào hai tam giácACDvàACB ta cóM I//CD, IN//AB ta đạt được
Ta có điều phải chứng minh □
Ví dụ 2.8 Tìm x của hình bên dưới và biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị đo.
Giải. Áp dụng Định lý 2.4 vào tam giác ABC có M N//BC ta được
3.1.2 Định lý Thales đảo Định lý 2.5 (Xem [3, tr24]) Nếu có một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh tam giác những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác đó.
Chú ý 4.3 Định lý Thales đảo 2.5 vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác.
Trong tam giác ABC, khi đường thẳng d cắt đoạn thẳng AB tại điểm D và cắt đoạn thẳng AC tại điểm E, theo Định lý Thales đảo 2.5, nếu có một trong ba tỷ số sau xuất hiện, thì sẽ có mối liên hệ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng.
Trong tam giác ABC với AB = 28cm và AC = 20cm, ta đặt điểm M trên cạnh AB sao cho AM = 7cm và điểm N trên cạnh AC sao cho AN = 5cm Cần chứng minh rằng MN song song với BC.
Xét tam giác ABC, ta có
Từ Định lý Thales đảo suy ra M N//BC Ta có điều phải chứng minh □
Ví dụ 2.10 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, phân giác góc AM C cắt
AC tại H, phân giác góc AM B cắt AB tại K Chứng minh rằng HK//BC.
Ta có M K là phân giác của góc AM B, suy ra
M B. Tương tự, ta có M H là phân giác của góc AM C, do đó
Từ Định lý Thales đảo suy ra KH//BC Ta có điều phải chứng minh □
Định lý Menelaus
Định lý 2.6 chỉ ra rằng, trong tam giác ABC, nếu A′, B′, C′ lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA và AB, thì điều kiện cần và đủ để ba điểm này thẳng hàng là một yếu tố quan trọng trong hình học.
Giả sử A ′ , B ′ , C ′ thẳng hàng ta cần chứng minh A ′ B
Từ C vẽ đường thẳng song song với AB cắt A ′ C ′ tại M Áp dụng Định lý Thales ta có
B ′ C ′ Mặt khác, ta cũng có
Do đó ta có điều cần chứng minh
Cho các điểm A ′ , B ′ , C ′ thỏa mãn đẳng thức của Định lý 2.6,ta chứng minh ba điểm A ′ , B ′ , C ′ thẳng hàng.
Giả sử B' và C' nằm trên hai cạnh của tam giác, trong khi A' thuộc phần kéo dài của cạnh còn lại Gọi D là giao điểm của A'C' và AC Theo chứng minh đã nêu, ta có thể rút ra các kết luận quan trọng về mối quan hệ giữa các điểm này.
Trong trường hợp ba điểm A ′ , B ′ , C ′ cùng thuộc phần kéo dài của các cạnh chứng minh tương tự Ta có điều phải chứng minh □
Ví dụ 2.11 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên AM lấy I sao cho
AI = 4M I Đường thẳng BI cắt AC tại P Chứng minh rằng: P A = 2P C.
Giải. Áp dụng Định lý Menelaus cho ∆AM C với cát tuyến BIP ta có
Ta có điều phải chứng minh □
Trong tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O), các tiếp điểm của đường tròn với các cạnh lần lượt là M, N, P, Q Để chứng minh rằng các đường thẳng NP, MQ và BD đồng quy, ta cần phân tích mối quan hệ giữa các tiếp điểm và các cạnh của tứ giác Việc chứng minh này có thể được thực hiện bằng cách áp dụng định lý về các đường chéo và tính chất của tứ giác ngoại tiếp.
Gọi I là giao của QM và BD Áp dụng Định lý Menelaus cho tam giác ABD với ba điểm Q, M, I thẳng hàng, ta có
Trong chương này, chúng tôi đã áp dụng Định lý Menelaus để chứng minh rằng ba điểm I, N, P thẳng hàng, từ đó dẫn đến việc các đường thẳng N P, M Q, BD đồng quy Chúng tôi đã nghiên cứu giải pháp cho bài toán tính diện tích tam giác dựa trên yếu tố cạnh-cạnh-cạnh và tỷ lệ Đồng thời, chúng tôi cũng đã khảo sát các bài toán liên quan đến giá trị sin, cosin, tan, cotan và độ cao của các góc trong tam giác ABC khi biết độ dài các cạnh Việc áp dụng các định lý nổi tiếng như Định lý Thales và Định lý Menelaus đã giúp giải quyết một số bài toán liên quan đến tam giác Kết quả trong chương này được chọn lọc từ tài liệu tham khảo [3].
KẾT LUẬN Đề tài nghiờn cứu ôPhương phỏp giải cỏc bài toỏn liờn quan đến tam giỏcằ đó đạt được một số kết quả sau đõy:
1 Nghiên cứu lời giải cho các bài toán liên quan đến công thức tính diện tích tam giác có độ dài các cạnh thay đổi.
2 Thiết lập lời giải cho các dạng bài toán liên quan đến công thức đánh giá hệ thức lượng trong tam giác.
3 Vận dụng một số định lý Thales và định lý Menelaus trong giải một số bài toán liên quan đến tam giác.
Một số hướng nghiên cứu tiếp theo trong tương lai:
1 Nghiên cứu lời giải cho các bài toán liên quan đến công thức tính diện tích tứ giác nội tiếp có độ dài các cạnh thay đổi.
2 Thiết lập lời giải cho các dạng bài toán liên quan đến công thức đánh giá hệ thức lượng trong tứ giác nội tiếp.
[1] A Gardiner (1997), The Mathematical Olympiad Handbook: An Intro- duction to Problem Solving based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996, Oxford University Press, Oxford.
[2] E Grigorieva (2001), Complex Math Problems and How to Solve Them, TWU Press, Library of Congress, Texas.
[3] E Grigorieva (2013), Methods of solving complex geometry problems, Birkhauser.
[4] R Hartshorne (2000),Geometry: Euclide and Beyond, Springer, New York.
[5] C.H Raifazen (1971), “A simple proof of Heron’s formula”, Math Mag vol
[6] D.O Shklarsky, N.N Chentzov, and I.M Yaglom (1993), The USSR Olympiad Problem Book: Selected Problems and Theorems of Elementary Mathematics Dover, New York.
Bài viết của N.T.B Uyên và T.V Sự (2024) trình bày đánh giá hệ thức lượng trong tam giác mà không cần sử dụng yếu tố diện tích Nghiên cứu này được đăng trên Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Vol 13, No 2, trang 108-115 Các tác giả đã áp dụng phương pháp mới nhằm làm sáng tỏ các mối quan hệ trong tam giác, mở ra hướng nghiên cứu tiềm năng trong lĩnh vực hình học.
108 ĐÁNH GIÁ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
KHÔNG SỬ DỤNG YẾU TỐ DIỆN TÍCH
Nguyễn Thị Bảo Uyên 1,2 và Trần Văn Sự 1*
1 Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, Đà Nẵng, Việt Nam
2 Trường Trung học cơ sở Nguyễn Văn Cừ, thành phố Đà Nẵng, Việt Nam
* Tác giả liên hệ: Trần Văn Sự, Email: vansudhdntt@gmail.com
Ngày nhận: 06/12/2023; Ngày nhận chỉnh sửa: 29/01/2024; Ngày duyệt đăng: 07/3/2024
Bài báo này nghiên cứu đánh giá chặn trên và chặn dưới cho các hệ thức lượng trong tam giác dựa trên số đo các cạnh mà không cần sử dụng yếu tố diện tích Chúng tôi xây dựng công thức tính diện tích tam giác từ các cạnh, cung cấp công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, đồng thời đưa ra đánh giá chặn trên của đường cao trong tam giác Ngoài ra, bài báo cũng trình bày các đánh giá chặn trên cho hàm lượng giác sin và tan của các góc, cùng với đánh giá chặn dưới cho hàm lượng giác côsin và côtan Cuối cùng, một số ví dụ áp dụng được đề xuất để minh họa các kết quả chính của nghiên cứu.
Từ khóa: Đánh giá hệ thức lượng giác, đường tròn, góc, mối quan hệ lượng giác, tam giác
EVALUATING TRIGONOMETRIC SYSTEMS IN TRIANGLES
Nguyen Thi Bao Uyen 1,2 and Tran Van Su 1*
1 The University of Danang - University of Science and Education, Da Nang 550000, Vietnam
2 Nguyen Van Cu Secondary School, Da Nang City, Vietnam
* Corresponding author: Tran Van Su, Email: vansudhdntt@gmail.com
Received: 06/12/2023; Received in revised form: 29/01/2024; Accepted: 07/3/2024
This article explores the evaluations of upper and lower boundedness for trigonometric systems in triangles, based solely on the measures of their sides We begin by establishing a formula to calculate the area of a triangle using its side lengths, alongside formulas for the radius of both the inscribed and circumscribed circles We then evaluate the upper boundedness of the triangle's altitude and the trigonometric functions sin and tan related to the triangle's angles Additionally, we derive lower bound evaluations for the cosine and cotangent functions The paper includes several examples to demonstrate the application of these trigonometric evaluations, highlighting key findings throughout the discussion.
Keywords: Angle, circle, evaluate trigonometric system, triangle, trigonometric relationships
DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.13.2.2024.1240
Trích dẫn: Nguyễn, T B U & Trần, V S., (2024) Đánh giá hệ thức lượng trong tam giác không sử dụng yếu tố diện tích
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 13(2), 108-115 https://doi.org/10.52714/dthu.13.2.2024.1240
Copyright © 2024 The author(s) This work is licensed under a CC BY-NC 4.0 License
Bài toán trong toán học được phân loại theo nhiều tiêu chí như độ khó, độ chính xác và tính phức tạp, nhằm chỉ ra những vấn đề cần giải quyết qua các công thức và thuật toán Chúng không chỉ là thách thức mà còn là nguồn cảm hứng cho việc nghiên cứu và khám phá tri thức mới Để giải quyết bài toán, cần có kiến thức lý thuyết kết hợp với kỹ năng phân tích, đánh giá và suy luận logic.
Gardiner (1997) và tài liệu trích dẫn trong đó)
Giải một bài toán là một quá trình học tập liên tục, đòi hỏi nhiều nỗ lực để phát triển kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
Giải tam giác là quá trình xác định các cạnh và góc chưa biết của tam giác thông qua các định lý nổi tiếng trong hình học cổ điển, bao gồm định lý côsin và định lý sin, cùng với các công thức tính diện tích tam giác (xem Hartshorne, 2000).
Hêron (Nelse, 2001) chỉ ra mối quan hệ giữa diện tích tam giác, nửa chu vi và các cạnh của tam giác Trong một tam giác có các cạnh a, b, c và nửa chu vi p, diện tích có thể được tính toán dựa trên các yếu tố này.
Trong công thức liên quan đến chu vi p, việc loại bỏ yếu tố này là cần thiết để đảm bảo tính ứng dụng cho học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông trong việc ước lượng các giá trị trên và dưới của các hàm số lượng giác (sin, côsin, tan, côtan) khi các cạnh của tam giác thay đổi Việc xây dựng lại công thức diện tích tam giác giúp người học có cái nhìn rõ hơn về miền giá trị của các hệ thức lượng trong tam giác Đánh giá các hệ thức lượng trong tam giác là một chủ đề nghiên cứu hấp dẫn và mới mẻ, nhằm cung cấp công cụ đánh giá cho sin, tan, côsin và côtan của các góc trong tam giác khi biết độ dài các cạnh Theo hiểu biết hiện tại, chủ đề này chưa được nghiên cứu bởi bất kỳ nhà khoa học nào trong nước và quốc tế, tạo động lực cho chúng tôi tiến hành nghiên cứu và hoàn thiện nội dung trong bài báo này với nhiều ứng dụng trong hình học và toán học.
Chúng tôi đã phát triển một công cụ tính diện tích cho tam giác dựa trên các cạnh a, b, c, nhằm đánh giá hệ thức lượng trong tam giác Bài viết cung cấp công thức tính bán kính của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp mà không cần sử dụng diện tích hay nửa chu vi Kết quả thu được sẽ là một công cụ hữu ích, giúp giáo viên và học sinh hiểu rõ hơn về sự biến đổi giữa các tam giác.
2 Bài toán tính diện tích tam giác và công thức
Trong một tam giác thay đổi, chúng ta quy ước ký hiệu độ dài các cạnh như sau: cạnh đối diện đỉnh A được ký hiệu là a, cạnh đối diện đỉnh B là b, và cạnh đối diện đỉnh C là c.
Để đảm bảo sự tồn tại của một tam giác, tổng độ dài của hai cạnh bất kỳ phải luôn lớn hơn cạnh còn lại Hình 2 minh họa đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc hình học này Diện tích của tam giác được ký hiệu là c a b.
110 luôn ký hiệu S và nữa chu vi tam giác luôn ký hiệu p Ta có các công thức tính sau:
Xét hàm thực 2 biến ( ) được xác định bởi ( ) ( ( )
)và hàm thực 3 biến được xác định bởi ( ) ( ( )
+, Để làm cơ sở đánh giá chúng ta cần sử dụng phép biến đổi sơ cấp đưa công thức tính diện tích S trên về dạng
√ (1) trong đó được biểu diễn theo a, b, c mà không theo p Tính ứng dụng của (1) thể hiện chỗ và dấu đẳng thức xảy ra khi