Tiểu luận môn toán cao cấp c1 Đề tài 01

TRUONG DAI HOC CONG THUONG TPHCM KHOA KHOA HOC UNG DUNG BO MON TOAN TIỂU LUẬN MÔN TOÁN CAO CÁP CI DE TAI: 01 Giảng viên hướng dẫn: Dào Thị Trang Lớp học phần: 15DHNH01 Sinh viên t

TRUONG DAI HOC CONG THUONG TPHCM

KHOA KHOA HOC UNG DUNG

BO MON TOAN

TIỂU LUẬN MÔN TOÁN CAO CÁP CI

DE TAI: 01

Giảng viên hướng dẫn: Dào Thị Trang

Lớp học phần: 15DHNH01

Sinh viên thực hiện:

Trần Lê Thảo Vi MSSV: 2023240481 (Nhóm trưởng)

Võ Gia Trung MSSV: 2023240447

Lư Thị Như Tuyết MSSV: 2023240464

Hưỳnh Mai Phương Uyên MSSV: 2023240468

Nguyễn Thúy Vi MSSV: 2023240479

Lê Thị Yến Vy MSSV: 2023240490

Nguyễn Kiều Vy MSSV: 2023240493

Trần Nguyễn Yến Vy MSSV: 2023240502

Trương Tường Vy MSSV: 2023240505

10 Võ Hoàng Thanh Trúc MSSV: 2023240444

TP.HCM, LI- 2024

MUC DONG GOP

LỚP HOC PHAN: 15DHNHO1 NHOM 6 MA DE TAI: 01

2 V6 Gia Trung 2023240447 Soạn nội dung

bai 8

3 Lu Thi Như 2023240464 Soạn nội dung

4 Huỳnh Mai 2023240468 Soạn nội dung

bài 6

bài 2

bài 4

8 Tran Nguyén Yén | 2023240502 Soạn nội dung

9 Trương Tường 2023240505 Soạn nội dung

10 Võ Hoàng Thanh | 2023240444 Soạn nội dung

Nhóm Trưởng (ký và ghi rõ họ tên)

NHAT KY LAM VIEC

LOP HOC PHAN: 15DHNHO1 NHOM 02 MÃ ĐỀ TÀI: 01

trưởng

Cau trúc tiêu luận Lư Thị Như Tuyết | 2023240464

Nguyễn Kiêu Vy | 2023240493

Trình bày tiểu Trương Tường Vy | 2023240505

luận Lê Thị Yến Vy 2023240490

Trân Nguyễn Yến | 2023240502

Vy

Võ Hoang Thanh | 2023240444

Trúc

Trân Lê ThảoVi | 2023240481

( Nhóm trưởng )

Võ Gia Trung 2023240447 Nguyễn Thúy Vi | 2023240479

Nhóm trưởng (ký và ghi rõ họ và tên)

DE TAI: 01

Bai 1 (1.0 điểm) Một doanh

nghiệp sản xuất độc quyền

một loại sản phẩm có hàm

cầu ngược là

P= 222- 1,50 va ham téng

chỉ phí là

C(Q) = Q°- 3Q? + 132Q+ 250

Trong đó, © là sản lượng,

P là đơn giá sản phẩm

a) Hãy xác định mức sản

lượng và giá bán đề tôi đa

hóa lợi nhuận

Doanh thu

R= PQ = (222 — 1,5Q)Q = 222Q — 1,5Q?

Lợi nhuận

ma = R— = 222 - 1,5Q° - Q° + 3Q° — 132Q — 250 = —Q” +1

z' = —3Q” + 3Q + 90

©Q”—(Q—30=0

Qi=6

(2s = —S(loại)

Vậy Q = 6 là điểm tối đa của

hàm lợi nhuận

Q=6=> P= 222—-1,5x6= 213

Vậy mức sản lượng la Q = 6;

giá bán đề tối đa hóa lợi nhuận

làP=213

b) Tính và nêu ý nghĩa của

hệ số co giãn của hàm cầu

theo giá tại mức giá làm cho

lợi nhuận tối đa

c——2 «23 — 95, 67

Vậy hệ sỐ co giãn của hàm

cầu theo giá tại mức giá làm

cho lợi luận tối đa là

€ = —23, 67

Ý nghĩa: tại mức giá P = 213

nếu tăng 1% thì câu sẽ giảm

khoảng 23,67%

Bài 2 (1.0 điểm)

a) Một khách hàng gửi ngân

hàng 20 triệu đồng, kỳ hạn 3

tháng, với lãi suất 0,65

?⁄2/tháng, theo phương thức lãi kép

ï Hỏi sau 5 năm, số tiền gốc cộng lãi khách hàng này

nhận được là bao nhiêu ?

Ta có: 5 < 12 — 6Utháng

Số tiền gốc cộng lãi khách

hàng này nhận được sau 5

năm là:

20 x (1 + 0,0065)89 = 29, 5

triệu đồng

ii Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm khách hàng này mới có

số tiền lãi nhiều hơn số tiền

gốc ban đầu gửi ngân hàng? Lãi suất theo kỳ hạn 3 tháng

là:

3 x 0,0065 = 0,0195

Goin la sé ky han can tim

Thời gian đề khách hàng này

có số tiền lãi nhiều hơn số tiền

gốc ban đầu gửi ngân hàng là

20 x (1 + 0195)” — 20 = 20

<= (1+ 0,0195)” = 2

<= n = 1081 0195 2 © 36

n = 36 chu kỳ, mỗi kỳ hạn à 3

tháng nên thời gian cần tìm là

36 < 3 = 108thang

Vậy sau ít nhất 108 tháng, tức

là sau 9 năm thì khách hàng

này mới có số tiền lãi nhiều

hơn số tiền gốc ban đầu gửi

ngân hàng

b) Ông A gửi tiết kiệm 200

triệu đồng vào ngân hàng

Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi)

ông A có được sau 6 năm?

¡ Biết lãi suất hàng năm là

83⁄% và được nhập gốc hang

tháng

Lãi suất hàng tháng là

8%12 8%12

= 0,67%

Ta có: số tháng trong 6 năm

là < 12 = 72

Số tiền (ca vốn lẫn lãi) ông A

có được sau 6 năm là

200 x (1 +0,0067)”” = 323, 47

triệu đồng

Vậy số tiền (cả vốn lẫn lãi)

ông A có được sau 6 năm là

323,47 triệu đông

ii Biết lãi suất hàng năm là

10% va lãi được tính là lãi

kép liên tục

Ta có:

a = 200 triệu đồng

n=6năm

r= 10%

Sử dụng công thức, số tiền sau

6 năm là

A = ae"" = 200 x e8*9! = 364, 42

triệu đồng

Vậy số tiền (cả vốn lẫn lãi)

ông A có được sau 6 năm với

lãi suất hàng năm là 10% là

364,42 triệu đồng

Bài 3 (1.0 điểm)

a) Một người gửi tiết kiệm

tại ngân hàng một số tiền là

100 triệu đồng vào đầu mỗi

năm theo thể thức lãi kép kỳ

han một năm với lãi suất cô

định 6%/ năm.

i Héi sau 4 nam, sé tien gốc

cộng lãi mà người đó nhận

được là bao nhiêu ?

Sau 4 năm, số tiền gốc cộng

lãi mà người đó nhận được là

100 x (1 + 0,06) = 126, 2477

triệu đồng

ii Hỏi sau ít nhất bao nhiêu

năm thì tông số tiền nhận

được lần đầu vượt quá 900

triệu đồng

Gọi n là số năm cần tìm

100 x (1 + 0,06)” = 900

<> (1+ 0,06)” =9

> n= 37,7

Vay sau it nhat 38 nam thi

tong số tiên nhận được lần đầu

vượt quá 900 triệu đồng

b) Giả sử khối lượng vật tư

dự trữ là 350 triệu tấn Nhu

cầu sử dụng là 24 triệu tấn

một năm và dự kiến tăng

thêm 3% sau mỗi năm Sau

bao nhiêu năm thì nguồn dự

trữ này sẽ hết?

Gọi n là số năm cần tìm

Tổng cộng khối lượng sử

dụng (triệu tan) sau n năm sẽ

là

24 + 24(1,03) + 24(1,03)?+ +24(1,03)”"?

Day la tong riêng của chuỗi

cấp số nhân với số hạng đầu

tiên là a=24 và công bội r

=1,03 nén bang

24( G37) = 800(1, 03” — 1)

Tim n dự trữ vượt quá 350

triệu cần giải phương trình với

an n

800(1, 03” — 1) = 350

Ta co:

(1,03” — 1) = 0, 4375

a)

1,03” = 1,4375

n = 12,27

Vậy dự trữ vật tư sẽ hết sau 13

năm

Bài 4 (1.0 điểm) Cho biết

hàm cung và hàm cầu đôi

với một loại sản phâm lần

Q.=vP- I1

f

cầu 2a = VIS Pop là

giá của san phẩm)

Thị trường cân bằng:

Q@Q.=Q¿©VP_—1=V113—P

©> P?— 113 † 3136 =0

© P=64

=> @Q —= V64_— 1 = 7

a) Tính thặng dư của nhà

sản xuất

Thặng dư sản xuất (PS): từ

=> P= (Qs + 1)?

Do do, ta co:

27

oO

b) Tính thặng dư của người

tiêu dùng

Thặng dư của người tiêu dùng

/113- P

(C8): tir Qa VHả-

=> P=113— Q23

Do do, ta co:

7

OCS(7) = / (113 — Q2)dQa — 7.64 = 228,67

FO

Bai 5 (1.0 diém) Ap dung

đại lượng vô cùng bé, tính

các giới hạn sau:

1—cos3x

lim————————

°° 2tan? x +3(e" —1)+sin‘ x

«0 4x7? + 6x3 + 2a4 x0 đ>|

Aa?

a —

b) x>0 SI1I x+2X

i —g3 i —a3 —1

._ ln(eosx)

lim

c) xa9 41+ x2 —Ị

} 2

lim Xt 2 +* -l

d) xo0 sin 4x

20 4x ro Ax 8

Bai 6 (1.0 diém)

Tinh tich phan suy rong

I= | xe “dx

0

b

I = lim œc “da

Đặt

b

Oo D— + oc

b—>-+-œ

b) Từ kết quả của câu a),

hãy xét sự hội tụ của tích

phân suy rộng

+

1= | đe Tá

0

Ta có:

0< 4ze * < xe “vớ

1 mọi |0; + ox|

-Eœ

Ma Jo hội tụ

+o

=> Vae "dư _

tụ

a)

Bài 7 (1.0 điểm)

Cho biết

2 / ƒ(a)dx~ + 5 / S(x2)da = 14

` /#(ø+ -L 1)đz 6

2

[fF QD ade

Hay tinh °

1

[fe +Dar =6

Xét °

Dat: 6 =x +1=> dt =ax

Suy ra

J S(2 + 1)cđa — G <=> J S(t)dt = 6

Ta co:

2 [yG+5 [G0 =14

Vay:

ff Gode = [7 Gde + [fF Goede =-8+6=-2

b) — Chohàm số /Ö¿¿

đạo hàm liên tục trên L0: Ì

thỏa

2ƒ(z)+3/(1- x)= Lx?

1 =)&

Tính tích phân Ủ

Ta có:

_ 2

2f () +37 (0) =0 z@) =

Vay:

1 fF Ge =f OY, =f > fO=342 =1 Bài 8 (1.0 điểm) Một doanh

nghiệp có hàm doanh thu

cận biên:

MR(Q) =960 0,150" Hay

tim tong doanh thu néu

doanh nghiép dinh gia san

phẩm la 715

TR(Q)= {(s60 - 0,150 )dQ =9600 - 0,050° +C

TR(O)=0+C = C =0

= TR(Q)=9600 - 0,050?

TR(Q) =pO =9060 - 0,050? =7150

= Q =70 = TR(Q) =50050

Bài 9 (1.0 điểm) Cho hàm số

y =lIn(ax),a>0,x >0

a) Tinh dao ham cấp 3 của

ham so

b) Dự đoán đạo hàm cấp n

của hàm số và dùng quy nạp

toán học dé chứng minh dự

đoán đó đúng

Từ câu a) ta dự đoán hàm cấp

n của hàm số

y” =( 1” (n- 1)!

x nH

Dung quy nap toan hoc dé

chứng minh dự đoán đó đúng

Với n=l, ta có:

11

a)

y=C)

Điều này đúng

Gia str 7 =A , suy ra hàm số

có dạng:

+ (k- 1)!

w =(- p* ‘

x

Lấy đạo hàm của ` theo X:

= y*! =(-1)" G- DS

Vay ta da chứng minh được

cong thire ding cho ” =k +1

+ + Kk!

yo = pe ki

x

Do đó, theo quy nạp toán học,

dự đoán đạo hàm câp n của

hàm số:

„ nei (n- 1)!

y=

Xx

Bai 10 (1.0 diém) Cho hai

— 2ntl

2

chuỗi số sau ”” “ (+1}

X(+zÏ aeR

(1), "4 (2)

Xét sự hội tụ của chuỗi số

(1) băng các bước như sau:

n

Bước 1 Tinh tong riêng _"

limS,

Bước 2 Tính :-“ ˆ và kết

luận

n*{¡+1ŸÝ

11

1p

L1

2? 3?

1 1

S =u, tu,t+ ¢u,=—- —+

lim §, =Lim | 1 - Ị

n> œ@ n> œ@ (n + 1y

Vay (1) hoi tu

?+

m2(m + 1)?

B

hội tụ của chuỗi số băng các

bước như câu a)

Với 3

„ 2( /3\""

4 |8)

` 13)

a

"3

<ul

n Hộ

ay sO tui, ua, là cấp sô nhân

D

1

với công bội 3

- nH

S, =U, tu, + +u,, =U

I-q

i -

13

5 ahGl cil cặn 1 Ta | | 4)"

3

Vậy (2) hội tu

- Tìm tất cả các gia tri cua a

để chuỗi số (2) hội tụ

Đề chuỗi số (2) hội tụ thì:

I+z|<1 © -2<a<0

14