Bài tập lớn giải tích 1 – mt1003 Đề tài Ứng dụng của tích phân trong sinh học

Trong đó, tích phân – một công cụ cơ bản của giải tích toán học – đã được ứng dụng rộng rãi để mô tả các hiện tượngsinh học, từ quá trình trao đổi chất của tế bào, sự lan truyền của bệnh

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 – MT1003

ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG CỦA

TÍCH PHÂN TRONG SINH HỌC

Giảng viên hướng dẫn: ThS Đặng Hải Long

Lớp: L04 Nhóm: 06

BTL Giải tích 1 L04 - Nhóm 06

Danh sách thành viên

STT Thành viên nhóm MSSV Công việc

4 Phạm Trường Thịnh 2413336 Code Latex và làm báo cáo

BTL Giải tích 1 L04 - Nhóm 06

Mục lục

Lời nói đầu 3

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 5 1.1 Nguồn gốc 5

1.2 Tích phân 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Ý nghĩa của tích phân trong sinh học 6

1.2.3 Phương trình vi phân và tích phân trong mô hình sinh học 6

2 ỨNG DỤNG CỦA TRONG SINH HỌC 7 2.1 Mô hình quần thể và sự tái sinh 7

2.1.1 Dự đoán quy mô quần thể sau T năm 7

2.1.2 Tổng quần thể sau T năm 8

2.2 Lưu lượng máu 9

2.3 Cung lượng tim 11

3 MATLAB 14 3.1 Tổng quan về MATLAB 14

3.2 Giải các bài toán bằng MATLAB 14

3.2.1 Bài toán cá hồi 14

3.2.2 Bài toán lưu lượng máu: 16

3.2.3 Bài toán cung lượng tim: 17

4 TỔNG KẾT 20 4.1 Kết luận 20

4.2 Lời cảm ơn 21

4.3 Tài liệu tham khảo 22

Lời nói đầu

Trong lĩnh vực sinh học, toán học đóng vai trò quan trọng trong việc hỗ trợ phân tích vàhiểu sâu các quá trình phức tạp diễn ra trong tự nhiên Trong đó, tích phân – một công

cụ cơ bản của giải tích toán học – đã được ứng dụng rộng rãi để mô tả các hiện tượngsinh học, từ quá trình trao đổi chất của tế bào, sự lan truyền của bệnh dịch, đến việc môhình hóa sự biến đổi của các quần thể sinh vật theo thời gian

Báo cáo này sẽ giới thiệu và phân tích các ứng dụng nổi bật của tích phân trong sinh học,với mục tiêu giúp người đọc hiểu rõ hơn về cách tích phân góp phần vào việc giải quyếtcác vấn đề sinh học thực tiễn Từ việc tính toán diện tích dưới đường cong để mô tả tốc

độ tăng trưởng, đến việc giải các phương trình vi phân nhằm dự đoán sự thay đổi của cácquần thể, tích phân cho thấy vai trò thiết yếu của nó trong việc cung cấp các giải pháp

mô hình hóa và dự đoán trong sinh học

Hy vọng rằng qua báo cáo này, người đọc sẽ có cái nhìn cụ thể và sâu sắc hơn về mốiliên hệ giữa toán học và sinh học, cũng như khả năng ứng dụng của các công cụ toán họcvào việc giải quyết các bài toán sinh học phức tạp, góp phần vào sự phát triển của khoahọc và công nghệ

cả hai đều được công nhận với những đóng góp to lớn trong lĩnh vực này.

Sau Newton và Leibniz, các nhà toán học như Euler, Cauchy, và Riemann tiếp tụchoàn thiện lý thuyết tích phân Cauchy đặt nền tảng chặt chẽ cho phân tích toán học,trong khi Riemann đưa ra khái niệm tích phân Riemann, mở rộng ứng dụng và độ chínhxác của phép tính tích phân Đến thế kỷ 20, với tích phân Lebesgue của Henri Lebesgue,tích phân trở thành một công cụ mạnh mẽ, ứng dụng rộng rãi trong toán học, vật lý, sinh

• Tích phân bất định:Biểu diễn tập hợp các nguyên hàm của một hàm số, ký hiệu

là :R

f(x) dx = F(x) + C, với C là hằng số Tích phân bất định thường được dùng để

xác định hàm ban đầu khi biết đạo hàm của nó.[2]

• Tích phân xác định: Xác định diện tích dưới đường cong của hàm số trên mộtkhoảng [a, b], ký hiệu làR a

b f(x) dx Trong sinh học, tích phân xác định rất hữu ích

để tính toán các giá trị tích lũy như tổng lượng chất trong một khoảng thời gian hoặc

tổng dân số của một quần thể sau một khoảng thời gian nhất định.[2]

1.2.2 Ý nghĩa của tích phân trong sinh học

Trong sinh học, tích phân là công cụ giúp mô hình hóa và phân tích các quá trình liêntục Một số ứng dụng điển hình bao gồm:

• Mô hình hóa sự tăng trưởng quần thể:Tích phân giúp tính toán và dự đoán sốlượng cá thể của một quần thể sinh vật trong tương lai dựa trên tốc độ sinh trưởnghiện tại

• Lưu lượng máu và cung lượng tim:Trong y sinh học, tích phân được dùng để tínhlưu lượng máu chảy qua một điểm trong mạch máu và cung lượng tim (lượng máutim bơm ra mỗi phút) Các giá trị này giúp các nhà nghiên cứu hiểu rõ hơn về sứckhỏe tim mạch và các bệnh lý liên quan

1.2.3 Phương trình vi phân và tích phân trong mô hình sinh học

Nhiều quá trình sinh học được mô tả bằng phương trình vi phân Ví dụ, sự thay đổi sốlượng quần thể qua thời gian có thể được biểu diễn bằng một phương trình vi phân, trong

đó tích phân sẽ cung cấp hàm số biểu diễn số lượng quần thể tại một thời điểm nhất định.Điều này rất quan trọng trong các mô hình dự đoán quần thể sinh vật hoặc mức độ lantruyền của bệnh dịch

Chương 2

ỨNG DỤNG CỦA TRONG SINH HỌC

2.1 Mô hình quần thể và sự tái sinh

Một quần thể có thể liên tục bổ sung các thành viên mới trong khi một số thành viênhiện có sẽ mất đi Nếu có thể mô hình hóa những thay đổi này bằng các hàm thích hợp,chúng ta có thể dự đoán quy mô của quần thể tại bất kỳ thời điểm nào trong tương lai.Giả sử rằng ban đầu có một quần thể P0 và các thành viên mới được bổ sung với tốc

độ R(t), trong đó t là số năm kể từ thời điểm hiện tại Chúng ta gọi R(t) là một hàm táisinh (renewal function) Bên cạnh đó, tỉ lệ quần thể còn tồn tại ít nhất t năm kể từ thời

điểm hiện tại được biểu diễn bằng một hàm tồn tại S(t) [Ví dụ, nếu S(5)=0.8, có nghĩa

là 80% quần thể hiện tại sống sót sau 5 năm.]

2.1.1 Dự đoán quy mô quần thể sau T năm

Để dự đoán quần thể sau T năm, trước tiên chúng ta cần lưu ý rằng S(T) P0 đại diệncho số lượng thành viên ban đầu còn tồn tại sau thời gian T năm Để tính đến các thànhviên mới được bổ sung, chúng ta chia đoạn [0, T ] thành n đoạn con, mỗi khoảng có độdài ∆ t = Tn, và để ti là điểm cuối của đoạn thứ i

Trong khoảng thời gian này, số lượng thành viên mới bổ sung là khoảng R(ti)∆, và tỷ

lệ phần trăm của những thành viên này tồn tại cho đến thời điểm T được mô tả bởi hàmS(T - ti) Do đó, số lượng thành viên mới sống sót từ khoảng thời gian này là:

(tỷ lệ sống sót)(số lượng thành viên) = S(T - ti)R(ti)∆t

Do đó, số lượng thành viên còn tồn tại trong khoảng thời gian này xấp xỉ là

n

∑i=1

S(T − ti)R(ti)∆t

Khi n → ∞, tổng các giá trị này trở thành tổng Riemann và tiến tới tích phân:

Z T 0

S(T − t)R(t) dt

Bằng cách cộng tích phân này với số lượng thành viên ban đầu còn tồn tại, ta sẽ tính

được tổng số quần thể sau T năm.[3]

2.1.2 Tổng quần thể sau T năm

Một quần thể bắt đầu với P0 thành viên, và các thành viên mới được thêm vào với tỷ

lệ cho bởi hàm tái sinh R(t), trong đó t được đo bằng năm Tỷ lệ phần trăm của quần thểcòn lại sau t năm được cho bởi hàm sống sót S(t) Khi đó, quần thể sau T năm sẽ đượctính theo công thức:

P(T ) = S(T ) · P0+

Z T 0

S(T − t)R(t) dt(1)

Ví dụ 1: Dự đoán quy mô quần thể trong tương lai

Hiện tại có 5600 con cá hồi trong một hồ và đang sinh sản với tốc độ R(t) = 720e0.1tcon cá mỗi năm Tuy nhiên, ô nhiễm đang giết chết nhiều cá hồi; tỷ lệ cá còn sống sausau t năm cho bởi hàm tồn tại S(t) = e0.2t Vậy sau 10 năm, số lượng cá hồi trong hồ sẽ

S(10 − t)R(t) dt

= 5600e−0.2(10)+

Z 10 0

e−0.2(10−t)· 720e0.1tdt

= 5600e−2+ 720

Z 10

e0.3t−2dt

BTL Giải tích 1 L04 - Nhóm 06

Lại có e0.3t−2 = e0.3te−2, khi đó:

P(10) = 5600e−2+ 720e−2

Z 10 0

Vậy, ta dự đoán sẽ có khoảng 6960 con cá hồi trong hồ sau 10 năm.

Mặc dù chúng tôi đã trình bày Công thức 1 trong bối cảnh quần thể, nhưng nó vẫn

áp dụng cho các lĩnh vực khác cũng như cài đặt, chẳng hạn như sử dụng thuốc theo thờigian khi cơ thể hoạt động để loại bỏ thuốc Các bài tập điều tra các ứng dụng bổ sung

2.2 Lưu lượng máu

Hình 2.1: Lưu lượng máu động mạch

Để tính toán tỷ lệ dòng máu, hay còn gọi là dòng chảy (thể tích theo đơn vị thời gian),chúng ta xem xét các bán kính nhỏ hơn, cách đều nhau r1,r2, Diện tích xấp xỉ của mộtvòng tròn có bán kính trong ri−1và bán kính ngoài ri là:

(Hình 2.2) Nếu ∆r là rất nhỏ, thì vận tốc gần như không thay đổi trong suốt vòng này và

có thể được xấp xỉ bằng v(ri) Do đó, thể tích máu chảy qua vòng này trong một đơn vịthời gian sẽ được xấp xỉ là:

(2πri∆r)v(ri) = 2πriv(ri)∆r

Hình 2.2: Lưu lượng máu động mạch

Và tổng thể tích máu chảy qua một mặt cắt trong một đơn vị thời gian được xấp xỉ là:

n

∑i=1

2πriv(ri) ∆r

Xấp xỉ này được minh họa trong Hình 2.3 Lưu ý rằng vận tốc (và do đó thể tích mỗiđơn vị thời gian) tăng dần về phía trung tâm của mạch máu Độ chính xác của xấp xỉ nàycàng cao khi số lượng các vòng chia (số n) tăng lên Khi ta lấy giới hạn của n → ∞, ta có

một tích phân cho giá trị chính xác của lưu lượng (hoặc dòng chảy), tức là thể tích máu

qua mặt cắt trong một đơn vị thời gian:

BTL Giải tích 1 L04 - Nhóm 06

F =

Z R 0

2πrv(r) dr

=

Z R 0

2πr P4πη(R

2− r2) dr

= π P2ηl

Z R 0

2.3 Cung lượng tim

Hình 2.3: Tim và mạch máu liên quan

Hình 2.3 mô tả trái tim con người và các mạch máu liên quan Máu từ cơ thể trở lại qua

các tĩnh mạch, đi vào tâm nhĩ phải của tim và được bơm ra phổi qua động mạch phổi đểoxy hóa Sau đó, máu chảy trở lại tâm nhĩ trái qua các tĩnh mạch phổi và tiếp tục chảy

ra phần còn lại của cơ thể qua động mạch chủ Cung lượng tim của tim là thể tích máu

được bơm ra khỏi tim mỗi đơn vị thời gian, tức là tốc độ chảy vào động mạch chủ

Phương pháp pha loãng chất chỉ thị màu (dye dilution method) được sử dụng để đocung lượng tim Chất chỉ thị màu được tiêm vào tâm nhĩ phải và chảy qua tim vào độngmạch chủ Một đầu dò được đưa vào động mạch chủ để đo nồng độ chất chỉ thị màu rờikhỏi tim tại các thời điểm cách đều trong một khoảng thời gian từ [t0, T ] , cho đến khichất chỉ thị màu hoàn toàn bị loại bỏ Gọi c(t) là nồng độ chất chỉ thị màu tại thời điểm t.Nếu chúng ta chia khoảng thời gian [t0, T ] thành các đoạn con có độ dài bằng nhau

∆t, thì lượng chất chỉ thị màu chảy qua điểm đo trong đoạn con từ t = ti-1 đến t = ti sẽxấp xỉ là:

(nồng độ chất chỉ thị màu trong máu)(Thể tích máu) = c(t)(F∆t)

Trong đó, F là tốc độ dòng chảy mà chúng ta đang cố gắng xác định Do đó, tổng lượngchất chỉ thị màu là xấp xỉ:

c(t1)(F∆t) + c(t2)(F∆t) + + c(tn)(F∆t)

Và khi để n → ∞, chúng ta tìm thấy rằng lượng chất chỉ thị màu là:

A=

Z T 0

c(t)F dt = F

Z T 0

các phép đo nồng độ.[3]

Hướng dẫn: Ở đây A = 5 và T = 10 Chúng ta có thể sử dụng Quy tắc Trung điểm

với n = 5 phân đoạn để xấp xỉ giá trị tích phân của nồng độ Khi đó ∆t = 2 và

Z 10 0

3.1 Tổng quan về MATLAB

MATLAB (Matrix Laboratory) là một phần mềm khoa học được thiết kế để cung cấpviệc tính toán số và hiển thị đồ họa bằng ngôn ngữ lập trình cấp cao MATLAB cungcấp các tính năng tương tác tuyệt vời cho phép người sử dụng thao tác dữ liệu linh hoạtdưới dạng mảng ma trận để tính toán và quan sát Các dữ liệu vào của MATLAB có thểđược nhập từ "Command line" hoặc từ "mfiles", trong đó tập lệnh được cho trước bởiMATLAB

MATLAB cung cấp cho người dùng các toolbox tiêu chuẩn tùy chọn Người dùngcũng có thể tạo ra các hộp công cụ riêng của mình gồm các "mfiles" được viết cho các

ứng dụng cụ thể.[4]

3.2 Giải các bài toán bằng MATLAB

3.2.1 Bài toán cá hồi

Hiện tại có 5600 con cá hồi trong một hồ và đang sinh sản với tốc độ R(t) = 720e0.1tcon cá mỗi năm Tuy nhiên, ô nhiễm đang giết chết nhiều cá hồi; tỷ lệ cá còn sống sausau t năm cho bởi hàm tồn tại S(t) = e0.2t Vậy sau 10 năm, số lượng cá hồi trong hồ sẽ

là bao nhiêu?

1 Nhập các thông số đầu vào:

• p = 5600; Số dân ban đầu

• t = 10; Thời gian được xét (tính bằng năm hoặc đơn vị thời gian nào đó)

• S = @(t) exp(-0.2 * t); Hàm thể hiện khả năng sống sót, mô phỏng theo dạng giảm

mũ với hệ số suy giảm 0.2

• r = @(t) 720 * exp(0.1 * t); Hàm sinh sản mô phỏng tỷ lệ sinh tăng theo thời gianvới hệ số 0.1

• Ý Nghĩa:Số dân tại thời điểm t là tổng của hai phần:

– Số dân ban đầu p, giảm đi theo khả năng sống sót S(t).

– Số dân mới sinh ra A, được tính từ tích phân trên.

Liệt kê và giải thích các hàm đã sử dụng:

• Tính tích phân xác định của một hàm fun trong khoảng [a,b]

• Sử dụng để tính tổng số lượng cá hồi được sinh ra trong khoảng thời gian từ 0 đến

t, cân nhắc tỷ lệ sống sót

4 fprintf(format, values):

• In kết quả với định dạng cụ thể Trong bài toán, nó in dân số cá hồi sau 10 năm

3.2.2 Bài toán lưu lượng máu:

Động mạch ngay cách tay có bán kính ống R = 2cm và chiều dài L = 30 cm, tính lưulượng máu với sự chênh lệch áp suất của 2 đầu đoạn mạch 120/80, biết độ nhớt của máu

Liệt kê và giải thích các hàm đã sử dụng:

1 Hàm fprint:

• Mục đích:Hiển thị kết quả tính toán ra màn hình

• Cụ thể:Định dạng chuỗi văn bản, trong đó %.4f dùng để in giá trị số thực với 4chữ số thập phân

2 Hằng số Pi

• Mục đích:Đại diện cho số pi (≈ 3.14159) trong các phép tính toán học

• Cụ thể:Được dùng trong công thức tính lưu lượng máu

3.2.3 Bài toán cung lượng tim:

Một liều thuốc chỉ thị màu 5 mg (gọi là bolus) được tiêm vào tâm nhĩ phải Nồng độcủa chất chỉ thị màu (tính bằng miligam trên lít) được đo trong động mạch chủ tại cáckhoảng thời gian 1 giây, như được thể hiện trong bảng dưới đây Ước tính lưu lượng tim

1 Nhập các giá trị đầu vào:

• A = 5; Tổng lượng chất chỉ thị màu (đơn vị tùy theo bài toán, ví dụ: mg hoặc mol)

• n = 5; Số lượng điểm dữ liệu được đo lường

• t = [0, 1, 2, 3, 4]; Mảng thời gian (đơn vị tùy theo bài toán, ví dụ: giây hoặc phút)

• c = [0, 0.4, 2.8, 6.5, 9.8]; Mảng nồng độ của chất chỉ thị màu tại các thời điểm tươngứng (đơn vị tùy theo bài toán, ví dụ: mg/L hoặc mol/L)

2 Tính tích phân bằng phương pháp hình thang:

1 4 fprint( 'Lưu lượng máu F = %.4f\n' , F);

• Xuất giá trị lưu lượng máu F với 4 chữ số thập phân

Liệt kê và giải thích các hàm đã sử dụng: 1 Hàm trapz:

• Mục đích:Tính tích phân xấp xỉ theo phương pháp hình thang

• Cụ thể:trapz(t, c) tính tích phân của hàm c(t) trên các khoảng thời gian được địnhnghĩa bởi mảng t

2 Hàm fprintf:

• Mục đích:Xuất kết quả ra màn hình theo định dạng cụ thể

• Cụ thể:

– %.4f biểu thị số thực với 4 chữ số thập phân.

– Ví dụ: Nếu F = 1.234567, kết quả hiển thị sẽ là 1.2346.

• Mỗi người đều chủ động đóng góp ý kiến và hỗ trợ lẫn nhau khi gặp khó khăn.

2 Nội dung báo cáo được đầu tư kỹ lưỡng:

• Các chủ đề được nghiên cứu kỹ càng, tài liệu tham khảo được chọn lọc từ các nguồnđáng tin cậy

• Phần ứng dụng thực tiễn trong bài báo cáo, đặc biệt khi áp dụng tích phân vào lĩnhvực sinh học, được trình bày chi tiết và có tính thuyết phục

3 Công nghệ hỗ trợ tốt:

• Sử dụng công cụ như MATLAB để minh họa các bài toán, giúp tăng tính trực quan

và thực tế của báo cáo

• Việc minh họa các công thức toán học và các bước tính toán rõ ràng, dễ hiểu, phùhợp với đối tượng độc giả

BTL Giải tích 1 L04 - Nhóm 06

Hạn chế

1 Phân công công việc chưa hoàn toàn đồng đều:

• Có sự chênh lệch trong khối lượng công việc giữa các thành viên Một số ngườiphải đảm nhận phần việc nặng hơn, trong khi những người khác tham gia ở mức độvừa phải

2 Hạn chế về thời gian trao đổi:

• Do lịch trình cá nhân khác nhau, nhóm đôi lúc gặp khó khăn trong việc tổ chức cácbuổi họp nhóm, dẫn đến việc thảo luận ý tưởng và phản hồi chưa hiệu quả

3 Nội dung còn chưa đa dạng:

• Mặc dù bài báo cáo đã trình bày được nhiều nội dung quan trọng, nhưng một sốkhía cạnh của tích phân hoặc ứng dụng thực tiễn chưa được khai thác đầy đủ Cóthể mở rộng thêm các ví dụ hoặc ý tưởng sáng tạo

Chúng em hy vọng rằng với bài báo cáo này, nhóm có thể phần nào thể hiện được sự

cố gắng và kiến thức mà thầy đã truyền đạt Một lần nữa, chúng em xin gửi lời cảm ơnchân thành đến thầy!

Nhóm 06 - L04