Giải tích II và III - Phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến - Trần Bình.pdf

Giải tích II và III - Phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến - Trần Bình.pdfGiải tích II và III - Phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến - Trần Bình.pdf

TRẦN BÌNH

BIẢI TÍCH II + III

PHÉP TÍNH VI PHÂN & TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Dùng cho sinh viên k ỹ thuật (Cao đẳng, đại học, sau đại học)

(In lần thứ ba có sửa chữa và bổ sung)

T Ỉ - I٤ i ì u V ، 1 ■.i

NHÀ XUẤT B Ẫ N KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT

HÀ NÓI

LỜI GIỚI T H IỆ U

Trong những nám gần đây yên cầu về giang dạy va học tặp môn íoan cao cảp trong các trường Đội học kỹ thnặt (Cao dẳng, Đại học và sau ه و ا

học) ngày càng cấp bách về số ỉượng và chất lượng Các sinh viên kÿ thuật

cần ìihlều g؛áo trinh toán cao cấp theo hướng hiện dại vể lý thuyết cũng như bài tạp Cấc thầy giáo cũng cần nhiều bộ glấo trinh như thế dể t.ham khảo, chuẩn bj bài giảng và chọn cho minh một chiến lưỢc gịảng dạy t.hích hdp Trong lúc dó số lưỢng các giấo trinh về toán cao c dành cho các t.rường kỹ thuật ch! dếm dược t-rên dẩu ngOn tay Nhiều bộ gỉáo t.rĩnh về toán cao cà'p

dã dược xuất, bản hiện nay chưa dật trinh độ cao, sâu sắc, dáp ứng dưỢc yêu cẩu học toán và dạy t.oán cho các kỹ sư trong thời dại khoa học kỹ thuật và thông tin phát triển bùng nổ như hiện nay.

Giáo t.rình này của tác giả ra dời dáp ứng nhiều nhu cầu hết sức cấp bách hiện nay về mặt giáo trinh toán cao cấp cho sinh viên các trưòng 1ه و học kỹ thuặt (Cao dẳng, 1ه و học và sau 1ه و học), về toàn cục nội dung cUa giáo trinh này bao gồm các vấn dể cơ bản và quan t.rọng nhất của toán học cao cấp cẩn thìết cho một kỹ sư: dó la những cơ sở quan trọng của phdp tinh

vl phân cUa hàm một, biê'n và hàm nhiều biến, các định lý và phương phấp

cơ bản của phép tinh t.ích phân cUa hàm một, biến và hàm nhiều biến, cơ sỏ của giả! t.ích vecteur, hlnh học vl phân, lý thuyết cơ bản vể phương trinh vi phân, chuỗi hầm, chuỗi Fourier và t-ích phâi١ Fourier Các t.hỗng tin dề cặp dốn cac vấn dề trên của tác giả là cơ bản, dảm bảo tinh chinh xác về nội dung toan học Cấc chứng minh dưa ra dều ngắn gọn, chặt- chẽ.

؛ )ặc biệt phầiỉ dề cập đến !ý ih io ítt vể hàm nh؛ồا l l)ĩỗ'n là mộ! vàn dể rất tinh tê' trong glảỉ tích toốn học, v ì ở dây nhiể١i tinh hnô'ng xảy ГЯ ỉ)hức

tạp hdn nhiềti ة troiìg Ị٦opo nhỉển chíểtỉ so với ٢٢opo mội chiều Do nắm vttng các kiến t.hức cơ bản của giải tích toằn học dựa trên kinh nghiệm giảng dạy toán học cho các trơờng Đạỉ học kỹ thuật trong va ngoai nước trong nhiê٦J nãm qua, tác glả trĩỉìh bày toàn bộ giáo trinh và nói riêng nội dung cUa phần này rất dầy đủ và hiện dậi (ví dụ phần dề cặp dến cực trị của hàm nhiều biến, t.ác glả da sử dụng nhuần nhuyễn các định ly về dạng toàn phương dể chứng minh các diều kiện đủ của cực tri).

Giáo trình dược viết một, cách sáng sủa và chặt chẽ theo một, dây chuyền t.ư duy logique, d'ó la hai yếu tô'rất khó khi đề cặp dến một vấn dề toán học Thông thương dể vấn dề dặt ra dảm bảo tinh chặt chẽ và chinh xấc cUa toán học thi n^tời dọc sẽ rất khó hiểu, hoặc phải cố một khả nàng

tư duy tô't, nói cấch khác la một thOi quen tư duy toán học ở dây tác glả kết hỢp dược hai diều nói trên: vẫn không mất chinh xác mà vẫn dảm bảo t.ính

dễ hiểu cho sinh viên (ví dụ phần xây dựng hệ tiên dề về sỏ' thực, phần tích phân phụ thuộc tham sô', tlch phấn suy rộng ).

Giáo trình này đã dề cặp dến một số vấn dề khấ hiện dậi của toán học

mà trước dây trong các glấo trình về toán cao cấp ít dề cặp tới như khái n؛ệm không ^an métrique, hội tụ dều, chuỗi Fourier tổng quát, Ngoài ra tác giả cồn dưa vào những bổ sung rất cần thiết cho ngươi ky sư như các phần: toán tử Laplace ^ ải phương trình vl phân, các bài toán cơ bản của vặt

lý toán học (truyền nhiệt, truyền sOng, .), phần phự lục các công thức cơ bản nhất của toán học Việc mạnh dạn dưa vầo ^áo trình các vấn dề như thế la một việc làm rất cần thiết dể nâng cao chất lượng đào tậo ngươi kỹ

sư, vì ngày nay n^tồl kỹ sư cần toán học ơ mức độ sâu sắc v a hiện dặl trong quá trinh học tặp dể tiếp cận với công nghệ v a tin học hiện đậi.

Hà ĩiội, ĩigày 30 tliang 4 тшт 1997

G S T S K I! L ê H ù n g S ơ n

LỜI N Ó I D Ầ U

Trong những nàm vừa qiia, khoa toán trường Đại học Bấch khoa Hà Nộ؛ đã ngh؛êi١ cứu đề tài: " Xây dựng nộỉ dung chương trinh toán cao cấp cho cấc ngành kỹ thuật trên cơ sồ trung học, học sinh dã học toán theo chương trinh mớ12) ؛ năm)" và đã dề ra dưỢc một chương trinh toán cao cấp t.heo yêu cầu dó.

Qua giảng dạy môn giải tích ỏ Dại học kỹ thuẶt trong và ngoầì nước trong nh؛ều nãm qua, vầ dựa theo chương trinh toán dã dể ra, tôi vỉết giáo trinh này, nhằm mục dích gliip các sinh v؛ên kỹ thuật có tài liệu tham khảo, góp phẩn nâng cao chất, lượng dào tạo, dể trinh độ toán của n^tơi kỹ sư c ia

ta dược hoà nhập vầo khu vực và quô'c tế

Trong phần dầu của g؛áo trinh, vl sinh viên dà dưỢc học một sO nội dung ồ trung học, nên mục dích là hệ thô'ng hoấ và nâng lên một mức độ tương đô'؛ hiện dại (Phương pháp tiên dề về số thực) nhằm glUp sinh viên có một t.ư duy logique chặt chẽ t.rong việc học tập toán và các ngành khác.

Trong phẩn sau cUa g؛áo tHnh, dựa trên cơ sở phần dầu dâ trinh hày, giáo t.rình cung cấp những kiến t.hức cơ bản cUa glả؛ tích từ thấp dến cao phù hdp vớ؛ yêu cầu của ngươi kỹ sư trong hiện tậi và t.ương lai.

Giáo trinh này có thể dung làm tài lỉệu t.ham khảo cho cấc sinh viên kỹ thuật ỏ cả ba đô'؛ tượng: cao đẳng, đậỉ học, và sau đại học.

G؛áo trinh dược chia thành hai tộp:

Tập I: Phếp tinh vi phân và tích phân cUa hầm một biến (Giải tích 1)

Tập U: Phép tinh V؛ phân và tích phan của hàm nh؛ền b؛ến ỉ)hưưng t-rính vi phân và lý thưyết chuỗi (حذؤذ tJch II + III).

Các phần nâng cao và các bai t.ặp khó đều ứánh dấu *.

(t٩fơng ứng vOi ba học kỳ đầu của mỗi khoá học theo chương tĩính cUa bộ đã ban hành).

٦٦ôì rất cảm ơn Hộỉ dồng khoa học khoa Toán trường Đại học Bấch khoa Hà Nội và các bạn dồng nghiệp trong khoa dã glUp dỡ và tậo diều kiện cho tôi viết giáo tHnh này, nhất là các dồng chi Trần Xuân Hiến, Đặng

K h ả i, Lê Hùng Sơn, Dương Quô'c Việt, N ^ y ễ n c ả n h Lương dã đọc rất kỹ bản thảo và cho nhiều ý kiến quý báu.

Gỉáo trinh này !uy xuất bản lần liai, van không t-ránh khỏi thỉếu sót mong bạn dọc cho nhiều ý kiến.

T á c g iả

6

MỤC LỤC

Lời giới thiệu

Lời nói đầu

Chương 8

ÁP DỤNCx PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀO HÌNH HOC

A- ĐƯỜNG CONG PHANG

§1 Khảo sát sơ bộ

1.1 Phương trình của đường cong

1.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến

3.3 Toạ độ của tâm cong

§4 Đường túc bế và đường thản khai

4.1 Định nghĩa

4.2 Tính chất

§5 Hình bao của một họ đường cong

5.1 Điểm bất Ihưòng của đường cong

5.2 Hình bao của họ đường cong

B- ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN

§1 Sơ lược về giải tích vecteur

1.1 Hàm vecteur đối vô hướng

1.2 Đạo hàm của hàm vecteur

§2 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường

15 15 16

40 43 15

C- MẶT TIẾP DIỆN VÀ PHÁP TUYẾN VỚI MỘT MẶT

§1 Măt cho theo phương trình không giải

§2 Mạt cho theo phương trình tham số

Bài tập

Hướng dẫn và trả lời bài tập

43

4 ٩ 49 49 ٠٩2 57

58

61

63 67

Chương 9 TÍCH PHÂN BỘI

2.2 Tọa độ cong - quy tắc tổng quát đổi biến số

§3 Áp dụng của tích phân bội ba

73 73

74 74 76

77

77

86 9(1

95 95

1(11

1(13 193

1(14

1(15 1(15

11(1

118

8

3.1. Áp dụng liìnlì học 1 IK

c - TÍCH PHÂN BỘI SUY RỘNG

1.1. Miền lấy tích phân là vô hạn (không bị chặn) 122

2.1 Định nghĩa 173

§3 COng ỉhức G reen, sự độc lập cUa tích phân đốị với

3.2 Sự dộc lập của tích phan dối với dường lấy tích phan 182

4.1 Moment tĩnh, tọa độ trọng tam, moment quấn tinh cUa

§4 Các yếu tố cùa gíảỉ tích vecteur (ly thuyết về trường) 209

10

Bàỉ tập

Tra lời bà؛ tặp

227 238

Chương 72 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

§1 K há؛ níệm cơ bản

ا

؛ Các bài toíìn mở đẩu

2 ا Định nghĩa phương trinh V؛ phân

Í.3 Bài toán Cauchy Nghiệm riêng, nghiệm tổng ٩uát của

phương trinh vi phân cấp một

1.4 Điểm và nghiệm bất thương

§2 Một số dạng dạc bỉệt của phương trinh V! phản

cấp in ộ t y ١ = f(x١ y)

2.1 Phương t.rlnh biê'n số phần ly

2.2 Phương trinh dẳng cấp

2.3 Phương trinh tuyến tinh

2.4 Phương trinh Bernoulli

2 ؟ Phương trinh vi phần toàn phần Thừa số tích phân

2.6 Phương trinh Lagrange và Clairaut

§3 Bà؛ toán quỹ dạo góc a ٠ quỹ dạo tri.rc giao

3.1 Phương irlnh vi phân của một liọ dường cong

3.2 Bài toán quỹ dạo góc

§4 Giả! gần dUng phương trinh V؛ phân cấp một

§5 Phương trinh V! phần cấp cao

1 و Khái niệm cơ bản

5.2 Pỉiương trinh cấp cao cO thể hạ thấp cấp

a) Phươ!ig trinh dạng y(") = f(x)

b) Phương trlnli dạng y ’ = f(x, y ١)

c) Phương trinh dạng y ٠١ = f(y ١ y ١)

§6ا Phương trinh tuyCn tinh cấp cao

6.1 Dinh nghĩa

6.2 Phương trinh vi phân tuyê.n tinh cấp hai

6.3 Phương trinh vi phân tuyến tinh cấp

§7 Phương trinh tuyến tinh cẩp cao vơi hệ sổ hàng số

246 246

277

281 284 284

8.1 Định nghĩa - Bài toán Cauchy

8.2 Giải hệ phương trình vi phân

8.3 Hệ phương trinh vi phân tuyến tính cấp một

33Ơ 332 332 335 340 356 356 357 359

360

366 378

Chương 13 LÝ THUYẾT VỂ CHUỖl

A - CHUỖI SỐ

§1 Khái niệm cơ bản

1.1 Định nghĩa

1.2 Điều kiện hội tụ (điều kiện cần, điều kiện Cauchy)

1.3 Tính chất của chuỗi hội tụ

§2 Chuỗi dương

2.1 Định nghĩa và điều kiện hội tụ

2.2 Tiêu chuẩn so sánh

2.3 Tiêu chuẩn D.Alambert

2.4 Tiêu chuẩn Cauchy

2.5 Tiêu chuẩn Raabe

2.6 Tiêu.chuẩn tích phân Cauchy

§3 Chuỏỉ có dấu bất kỳ

3.1 Định nghĩa

3.2 Điều kiên hôi tu

389 389 391 393 394 395

396 398 400

401

403

405 405

12

c - CHUỖI VÀ TÍCH PHÂN FOURIER

Điều kiện để f(x) khai triển được theo chuỗi Fourier 465 Khai triển hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 2/ theo chuỗi Fourier 468 Khai triển hàm f(x) trên đoạn |0 /| theo chuỗi Fourier 471

5.1 Không gian L2 |a ١ bỊ

5.2 Chuỗi Fourier trong không gian định chuẩn

5.3 Sự hội tụ theo norme của chuỗi Fourier theo các dãy

hàm đặc biệt trong L2 Ịa, b|

§6 Tích phàn Fourier

6.1 Hàm khả tích tuyệt đối

6.2 Tích phân Fourier

6.3 Tích phân Fourier củấcác hàm chẵn và lẻ

6.4 Tích phân Fourier dưới dạng phức Biến đổi Fourier

§7 Áp dụng chuỗi Fourier vào vật lý

7.1 Bài toán dao động của dây

7.2 Bài toán truyền nhiệt trong thanh

488 491 491

Phụ chương CÁC CỒNG THỮC THÔNG DỤNG

IV Chuỗí (Chuỗi số, chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourier) 558

V Các hàm dặc biệt (Legendre, Hermite, Laguerre, Tchecbichef,

14

Chương 8

ÁP DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀO HÌNH HỌC

Trong hình học giải lích ta đã nghiên cứu các đường cong trong một hệ tọa

độ nào đó Ta thấy các đường cong có những tính chất hoàn toàn phụ thuộc vào

hệ tọa độ đã chọn, chẳng hạn: độ dốc của tiếp tuyến, bề lồi, lõm Tuy nhiên các đường cong còn có các tính chất chỉ phụ thuộc vào chính đường cong, gọi là các tính chất nội tại của chúng Trong bài này sẽ nghiên cứu một số tính chất đó, vì phương tiện nghiên cứu là phép tính ví phân, nên môn học này gọi là hình học vi phân.

A- ĐƯỜNG CONG PHANG

[ a < t < p)

§1 KHẢO SÁT sơ BỘ1.1 Phương trình của đường cong

Ta biết nếu cho đường cong c trong mặt phẳng thì phương trình của c hoặc

hoặc có dạng r = / ( (p) ( a < (p < P)

gọi là phương trình độc cực của c.

Cho đường cong c có phương trình tham số

X = x{t)

^ y = A ‘)

Xét cung AM của c, A ứng với tham số ÍQ, M ứng với tham số t.

Rõ ràng độ dài ،y của cung AM phụ thuộc vào tham số t : s = sịt).

Ngược lại f sẽ phụ thuộc s : t = t(s)

( a < í < p )

Do đó: X : x(/) = x[í{s

y = A ‘) = y\'[s

h a y

) (

Đó cũng là phương trình tham số của đường cong, nhưng tham số là .V Như

vậy, thay cho tham số bất kỳ Î ta có thể dùng tham số đặc biệt s là độ dài cung ẤÃ? của đường cong, với A cố định, còn M là điểm chạy trên đường cong Người

ta gọi ١■ là hoành độ cong và phương trình tham số ،V là phương trình lự hàm của đường cong.

Thí dụ: Ta biết phương trình tham số của đường tròn tâm ồ bán kính R là;

X = R xost

0 < ì < 2 tĩ

R.sìĩU

Với ĩ là góc giữa trục Ox và bán kính OM {M (a٠j )) mặt khác ta biết độ dài

cung AM = ،V ứng với góc ở tâm t là s - Rĩ suy r d t = — Thay lai phương trình

1.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến:

Ta biết nếu dương cong cho theo phương trinh y :f { x ) thl phương trinh của

tiếp tuyến và cUa pháp tuyến vơí d ư ơ g cong tại điểm (0د'هازر) là;

y Nếu dương cong cho theo phương trinh tham số A = A'(0١

ếp tuyến và pháp tuyến vớỉ dương cong tai

؛ v' = Z i nên phương trinh cUa t

,

V

0

sẽ la , - :

ت

0 (

V ày - y

د

-

= ئ

0 ﺰﻟا 0

X ا

د'ه در'ه

Vì Ig a = v'j؛ = nên các cosin chí hướng của tiếp tuyến lại một điểm bất

kỳ (.v,y) cUa đường cưng y = f{x) sc ! ﻷ :

r١٠

،؛

M / f a (

٠ 2

~ Í7T

— -

،^

\ d

Ncu c cho theo phương trình tham sô

hay Js = ٦/T^y'٦،'/-١٠ hay í/.v" = í/.v“ + í/v٦

Công thức này gọị Ịà công thức vi phân cung của dường cong y =

A = a (/)

>' = 3Ì/)

thì dễ dàng suy ra: (Is = + y'~ dí

Nếu c cho theo phương trình dộc cực /■ = /( cp )

thì cũng dỗ dàng có: ds = ^[r~ + r'~ d(p

§2 ĐỘ CONG2.1 Định nghĩa:

Xét một cung đường cong (Hình 88) giâ sử lại mỗi dicm cúa nó chỉ có một

tiếp tuyến Ta thấy khi một điếm M chuyến rò٠i trên dường cong thì liếp luyến lại

M với đường cong sẽ quay một góc lớn hay nhỏ tùy theo "mức cong" của dường

cong Đậc biệt đối với đường thẳng thì góc quay dó luôn luôn bằng không vì tiếp tuyến với đường thẳng trùng với chính đường thẳng Như vậy góc quay cúa tiếp tuyến đặc trưng cho "mức c^g" của đường cong.

Bây giò xét cung MM'

của đường cong, giả sử độ dài

cúa MM' là A،v và góc lệch

cúa liếp luyến tại M, M' là Aa

(tính theo đơn vị dài) Xét tỉ

số ầ a

As ١

tí số này đạc trưng

cho "mức cong" của đường

cong trôn một đơn vị dài của

cung đường cong Người ta

gọi lỉ số đó là độ cong trung

bình của đưòng cong trên

Thí dụ Đòi với ckrừng tròn bán kính R thì A.v = R\A a|do dó dộ cong trung

Aa

lim K, = lim

\\ 0 ' \> >( A،v (A.V ^ 0 : M ^ M)

là dặc trưng cho "mức cong" của dường cong tại dicm và gọi giới hạn dó

là độ cong của dường cong tại diêm M.

2.2 Công thức tính độ cong:

Công thức (1) có the viôì K " d a dx

Theo công thức vi phân cung:

Đường cong cho theo phương trinh tham s ố x = x(t), y : y ( t

ا ا

ا _ ٠ ش

y \ = L

لل

\٠2

٠٠.٠ ! ٠٠٠٠ !

(b))

n ê r có thể coi đương cong là cho theo tham số tp, tinh đạo hàm cùa A'١ y theo

cp rồi thay vào công thức (b)

1) Tim độ cong của parahole y = tại gốc 0.

Ta tinh y' = 2aX) y" = la tại gốc 0 ا X 0 ت thi y' = 0ا y'' = 2ứ١ thay vào cOng

2) ỉim độ cong cUa dường ellipse: X = ẩ o s / y = hsìnt.

Tại một điểm hất kỳ và tại đỉnh Ta tinh:

20

.v' = -ơsln/, A.” = -í/cosl, v' = /?cos/١ v” = -/:»sin/

Thay vào công ihức (b) ta cổ:

-a sin /(-/)sin /) -(-a co s/)(/? co s/)

3) Tim độ cong của đường cardioide r = ٥( 1 + cos cp ) (٥ > 0),

Tại điểm (0, 2٥) Ta tính r' “ -٥sin cp, /■'’ = -٥ cos (p

Tại (p = 0 thì /٠ - 0, /■" = -٥١ thay vào công thức (c) ta có:

ta định nghĩa; Ta gọi đường tròn mật tiếp hay đường tròn chính khúc với đường cong tại điểm M của đường cong là đường tròn:

Tiếp xúc với đường cong tại M.

Rề lõm của nó trùng với bề lõm của đường cong tại M.

Độ cong cúa nó bằng độ cong của đường cong tại M (Hình 48) Tâm của đường tròn mật tiếp gọi là lâm cong (tâm chính khúc) và bán kính của đường tròn mật tiếp gọi là bán kính cong (khúc bán kính) của đường cong tại M.

tlu!i bán kínlì cong ٠

'

ﺀ

„ - ' (

ﺀ٠

ا

2

ا,.

١٠٠٠١

'

-A٠٠yLA٠٠٠٠v /.2 + 2r٠2-rr.'

Thí dii: Theo các thi dụ ة Ộ2.2 tliì:

Bán kínli cong cUa Parabole V = Cix tg؛ gOc 0 !à:

R =

Bán kính cong của đường ellipse tại một diểm bất kỳ là

D - ١ (ơ^ sin^ /+/?2 COS؛ .٠١٠ ٠ ٠■w b~

R = — = - - i— và lại dinh (،/, 0) \‘d R = —

Bán kính cong của đường cardioide lại diểm (0, 2a) là:

؛ 1

= 1 / , =

3.3 Toạ độ của tàm cong:

Theo định nghĩa thì tâm

cong của đường cong tại M

phải nằm trên pháp luyến

với dường cong tại M về

phía lõm của đường cong

(Hình 89) Ta sẽ tìm các

công thức xác định tọa độ

cúa lâm cong:

Đầu tiên xét đường

cong cho theo phương trình

V = f(x) Giả sứ lâm cong

của dường cong lại M(.v,y)

là I(.v٥, Vo)·

Theo định nghĩa MI = R

22

Giái hệ gồm (1) và (2) ta sẽ cỏ toạ độ .V ( ) , V o của tâm cong

Cụ the thay (2) vào (1) ta cổ:

hay:

٠ ٦

Suy ra: vế phải của (3)

phải dương nhưn

Nếu y"<0 thì dường cong là

lồi, lúc dó y٧- V < 0 suy ra: vế

phai của (3) phải âm,

nhưng l i z l < 0 (do y'<0),

v٠'

(3)

M (x,ỵ)

пСп ta vẫn phíil chọn dấu t 'róm !ạỉ, ta phd؛ !ấy:

Mạt khác thay (3') vào (2) ta sẽ suy la:

( μ / ỵ

У ’ Vậy dối VỚI dương cong y : f ix ) thl toạ độ cUa tầm cong ﺪﻫا Уо ứng với d؛ểm

bất kỳ (л'١у) của dưCmg cong dược xác dinh bởĩ:

=د٠

ÿ

2 ا

Dối vớ؛ dường cong cho theo tham số

x = xự) y=y{t)

thi theo các cồng thức lièn hệ:

và các cOng thức (ى)ا {h) ta suy ra các cOng thức xác định tọa độ của tâm

cong XQy Уо ứng với một dlểm bất kỳ (x١y) của dường cong ỉà:

Thi dụ:

cong và vtè١ phương tilnh

của ،lưưng t!-،١ n mật tỉê.p

vOi parabole \ ل = ax taỉ

dinh (٧ ١()') của nO Ta linh

V' = 2ũể\, ỵ" = 2a, tại dinh

Ta biết bán kinh cong

của parabole lại dinh là

R =

\2a\

Vậy phương trinh của

dương tròn mật tiếp vOí

ết phương trinh dương trơn mật tỉếp tại đỉnh {a, 0) cùa nó (Hlnh 92), ta tinh

a b s ì n t + a b c o s t

١ ﻢﺛ

ر 2 ة ٠ ح 2 + ه ﻢﺛ 2

s ỉ n 2

،ﻢﻟ ٠

ﻢﺛ

COS

ة

ứ +

ﻢﺛ

SІn2

ض

hay rUt gọn có:

.

a - b

-ﺎﻤﻟ ٢١

؛ 5 ب

=

ﺮ ﻫ

٥ Đỉnh (í/, ٧) ứng VỚI ﻢﻟ= ﻻ, !úc

Ta lại biêt bán kinh cong

cUa ellipse tại đính (،/, ﻻ) là

R rb iỊa

Vậy phương tí.Inh của dường

tiOn mật tiếp tại dinh dó là:

ت

\ 2

gọi là dương túc bê' cùa c ,

còn c th١ gọi là dương

thân khai của dường tức bế

dó (Hình93).

Đế lập phương trinh

dường tdc bế của C) dầu

tiên xét c có phương trinh

٠ اا

ة ٧

66

0

:

ز ا ﺀ

0 ﻻ 1 اا أﻻ 1

! ز

\ا ٠ \

1 (\'

ز ا 0

ﺀ أ 0 ا 1 ٠ \

٧ 60 ا 1 ا

!ااا ٦

!

¥ ) X

؛ﺎﺗﺀ

ئ 1

! 0 لى اا'ل؛ا 111

د 1 ا!

ا 1 'ﻼﻟ ٠ 1

!اىأااإز ٦

!

!ة 1 ا 1 ا'ل 1 ﺀا (ا)

!!؛' 1 آا ٦ إؤا 1

ئ 'ا 1 3

[

6

) Y

(د ١

ز '(ﻢﻟ)

= ز ١ (/) ٠

ل \

=

^ ا ٦ ااااا!

ة'.ا-!- ا! ! ااا

اى ،ﻹ !اﺈﺑ 1

أو 0 ااا 1 0 ا 1 ﻷ ح أ 0

\ ) ■ ١ ﺈﺛا(

آ ذ ح.

ا'نﻷ ﻵر

3٤ ١ ا \ا) ١

=

٠١٠ ل ﺀ 2 + ز ٠ 'ت

٠ا٠

)

٠٠٠

\٠ -

٠

ز ا٠٠

-ا٠ر٠١

^

؛ ١ ١ اة

ج ةآﻵ 3 ل ٦ ا 0

ل ؛ 0

ﺀ ﻶ ﺟ

؛أ ٧

66

0 0

ﻢ ﺛ)

٧ 60 ا 11 ρhu

’ ر

.\ا

٧

( (

٧ 60 ا 1 أ lụ ا

ﻷ اﺀﺎﺗﺀج0لﺎﻤﺛؤنﻷ0

^ة'اﻻﻵ٦ﺀ!

ا1اا١إ!-ئlưoIiاρة1إا٦1ا١1ا)2(

phương

ﺀ

sẽ

؛حآ ) 2 ( 0 ؤ 0 ة (!) ة أ!اا ٤ ا!ا

fợc

ﻰﻓا ﺎﻛةأز

!ﺎﺟ'اا ا-ةاﺬﺟ ۶

ح!ااذ

ح:

تﻻ 0 ٠ ﺢﺟ اﺄﺗﺀ نﻷ 0

1 اأأ ( 1 أأ ■

1) ٣ اا ٦ ا أى 0 ﺔﺟ' 0 تﻷpﻻlﻻb oíe -\راد =2 ﻝﺃ

ج ٧ 2 ٦ ةﺔﻟا 0

؛ل 0 وا".

١ زا' ا

ﺎﺟ ( 1 0

؛ا ٧

ược

ﻵ ا ٦ ا ١ أ ﺎﻤﺛذذا ٧ وا' ١ ر'

ي

2 p

/ﻶﺗو 2

’ ز

2 p

ر 2 -/;

2p

ب 1

ز

p:

ﻵ ﺄﺛ ل

2 ذ

2

ر ر-

+^

ر ر

١

Do đó phương irình lúc bế của parabole theo tham số V là:

2) Tìm túc bế của ellipse JC = acosr, y = hsìnĩ

Theo các công thức tính tọa độ của tâm cong của ellipse tại một điểm bất kỳ

của nó ờ thí dụ 2, §3.3 ta có ngay phương trình túc bế của ellipse theo tham số t

là:

X = - cos t,

a

3 ٠

d a ds Rúnada = Ểĩ- ^ xỉa = dy

2 '١ - Nếu tiên cun؛; AM cLÌa đường cong, bán kính C 01M١ R biến iliién đơn

dicu thì hicu giữa bán kính cong R lai M và đô dài cung licn túc bê ứng với cung

AM là mòt đụi lương không dổi.

Chứnu minh: Goi vi phân cung ticn tiìc bô là dơ thì:

í/o " = (Ị)C + í/K" th cơ các cớím thức (1 )٠ dc d à n g su y ra;

(/ơ = sin' acỉR~ + cos~a(iR' = (IR'

Theo giá thiết trcn cung AM, R biến thiên dơn diệu iìRỊds chi luôn luôn

dương hoặc âm

o(M)~ o(A) = R{M)-R{A).

Nhưng o{M) - ơ(A) là độ dài cung lúc bế ứng với cung AM còn R{A) = r không đối Vậy o = R ~ í' hay R - o = c.

Đó là diều phái chứng minh.

Từ hai tính chất này suy ra cách dựng cơ học đường thân khai nếu cho lúc bế của nó như sau:

Đật một sợi dây không dàn trên cung PQ của đường túc bế buộc dầu Q còn đầu A hướng theo liếp tuyến tại p vói lúc bố và cách xa p một đoạn AP=C.

Nếu cãng sợi dây (không trượt) theo cung PQ của túc bế Ihl dẩu A của sợi

dây sẽ vẽ nôn đường thân khai, ta thấy: cho một đường túc bế thì có thể dựng vô

số đường thân khai tương ứng vì có thể lấy vô số giá trị của í (hình Í)t0.

30

T ììí dit: D ir iiii d irty iig

d ư ờ í i u t r o n اا

! ا :, 0 اا

٢ỉoí gdc' (V Uun cda AB

ﻢﻟ

π

،/(

= ١

іу clìính là phương irlnh lliatii số của dương than khai của dương tròn

Hhìh 97

cr'r;i dii.ơ.iig c o iig

ل ﺎﻌﺋ ٠ ذ ( ٠ ااﻻ

؛ 5.1 -

Đ iể iir b â t

,:

١

١ ٠ ١ ١ ١ ا

κ~ có p iiU d u g

١ g С«di(، 'í

أ ا ن ١

= )

٠ν ,f.T / ;

c u a X t r o n g íĩ ١ ố t )، h o a n g (a , b) là h à ỉ n â ì ١ ا

\ اا ١ ةاأ

п с и (1) x á c

ỉìé s ô c i ia t ỉ ẻ p t u ỵ ê n c ủ a c Í a í

(

ت ٠ ردﺀ*

ĩĩ /í ỉ/ đ ỡ

(//,'

و ١٠ ؤﺮﻣ.

ìio ă c

( n ê u co i X là hctììi ả ìi c ủ a y: X = x(y))ị

N hư vày k h i ít ìih â t m o t t r o n g c á c đ ạ o h à m ﺮﻧ /;١ k h á c k h ô n g

tại M(x,y) e C : F ỵ 2 + Fyi / ớ thi đường cong có tiếp tuyên xác định tại

Nếu tạ i Μ(Χφ Уо) ﺀ С; Г'х(хо,Уо) = 0, Г'у(хо,уо) = о th i M( xq , У о ) g ọ i

là m ot dlcni b a t th ư ờ ng của с Nh.ư Μ ٥ (χο, ﻻ د ΐα m ôt diểĩH b ấ t tliu b n g cua dư ơng c nếu như to a ش ٠ cUa nO tlio a m ãn he:

liồ ìAng ІЯІ điổìTì l)A'i ihiíừiigcua c , c ώ !hổ có tlồ١) ĩio.ếìì hoặc hh(h١g.

b) P h a n Joạỉ: (ViH ihl(؟ ! Уо) rnột (liem 1)Α'ΐ ihư.ò.iìgcỉiH (liítiìig

C: F(x, y) = 0, ѴЯ tổn tại cAc dạo hAm 1'l^ng cA٦) hai khổng đổng thd؛ liìộ t

lidn:

0'٠ا : ﺮ ﻳ\٠(ل0,,ر٧) /ﺊ ﺗ ر:;١٠(-ا٠0اﺀا) r; = /٠:١r(A٠o٠٠vo).

t)ẠI \ : ì C w - b 2

t) Nến 0 < \ ل thi M gọi lA một điểm bất thtíOng cô lậỊ) (11.98).

2) Nến l \ < 0 thi M gọi là một điểm kép hay một điểm It lit, ( 1 9 9 ؛).

3) Nến Λ : 0 thỉ M có thể là điểm bất thitờng cô lập hay di(؟ m kép

(11.100).

Nến khOng 1'ơ؛ vào trường hựp này thi M gọi là một điểm lùì loa؛ một ( I ỉ l 0 l ١ hay một điểm lùi loạ؛ ha ؛ ( 11 ا0ذة).

32

2 X ổi đưò.n^ conỉí C:

điểm bất thường của c

(H.104)(điểm bâT thường

cô lập).

5.2 H ình bao củ a ho đường con g

a) Họ đườug cong: Trong mặt phẳng, xét phương trình F(x, y, c) = 0

(l) Trong đó c là một tham sô" nào đó Nếu ứng với c - C q , (1) xác định y là hàm ẩn của x :y - y(x) (hoặc X = x(y)) thì F(x, X c٥) - 0 là phương trình của một đường cong nào dó Tập hỢp các đường cong ứng với các giá trị khác nhau cửa c gợi là một họ đường cong phụ thuộc một tham sô" c và (l) gọi ìà phương trình của họ.

Tương tự, phương trình j P( x, y, Cj, Cọ) = 0 gọi là phương trình của họ

đường cong phụ thuộc hai tham sò'cj, Cg

T hí dụ:

1)' Phương trình (x -CÝ + y = /?٦ (i? > 0) là phương trình của 'họ đường

tròn tâm (c, 0) bán kính R, phụ thuộc tham sô'c.

اة Ị)hifơiìg trin h син họ ('MÌỊ)SÍ ٠ S (ỉổTig lAm () có tổ n g các bốn trự c

hhôtig ٢Í Ổ 5 =) ؛> phụ th^]ộ(^ ιίί^τη sô'c.

3) Phrtưng t.rình (x ơ ) 4 ừ 6 )2 =}<: (R : cosnt) là phương t.rĩnh của

họ (lường trOn) tâm ìà mội (J؛ổm l)A't kỷ vA có báìi kinh R t phụ t.huộc vào 2 tham sô a, b N ế u xét R (:ủ!ig 1 خtham sô' thi phương trĩnh dó là phương tĩình của họ dường trOn tân٦ bất kỳ vA bấn kinh l)ất kỷ phụ thu^ 3 t.ham số b) H ình b a của m ot liọ dưồiig coiig

٠

؟ >и\Ъ \\ ج \\\ ة ٠ Cho m( ٠ )t ho d ư Ờ T i g cong c p h n tìiu o c nxot th a m s ổ c

có p h ư ơ n g trin h

N êu có m ot đường L tiếp xủc với m oi đư ờn g củ a ho c và ngươc

lạ i ta i m oi đieiìi của رد đeii có m ot đường ﺀﺀذ ho c tie p xúc với L th i ٠

L g o i là ìiìn h bao của ho c ГН ỉ 00).

T h ؛ dụ: Idình bao ΐ’ΐ-'іа hp dưO'ng trOn (x - c )2 2( ب: R2\ầ 2 đưòng

th ẳ n g ^ ^ ± ^ (ll.lO b j.

Q ui tắ c tim h ìn h bao: nếu họ đường cong c: F{X) y, c) 0 ت (!) có hlnh Ьяо L, thi các điểm trên L có toậ độ thoả mãn hệ:

F{x>y,c) = 0

Thực vậy, nếu họ c cố hình bao L, và M{x, y) € L thi X , y phụ thuộc c;

X : x(c)j y = y(c) Do đó cố thể xem phương trinh tham số của L là: л: ت x(c),

y = y(c) với c € (a, p) nào do Khi dó ( c ) , y(c)y с] = 0, V ce (a, β).

=0, = 0 , t.hay vào (3) ta cUng cố hệ (2) Do đố quy tắc trên chỉ

là điều kiện cần dể tim hlnh bao.

2 ) 2 5 - C ﺀ

36

) 2 5

c ﺀ

-ا ﺀ ) ق 5 (

(2)

) 2 ( từ )؛

2 ( Khử c t.ừ (1) và

ر

ل ﺀ ) ق 5 ( 2 ﺀ

Thay vằo (!) và giải y theo c ta có: y : ’( 5 - c y và từ (2) ta cố:

bao của họ ellipses dã cho (II I07x

2٠ ) Troỉìg cơ học, ta biết

phương trìinh chnyểit động của

viên dại١ bắn lên với tô'c độ ban

dầu V q và gOc bắn a (so vớỉ mặt

D6 lA ho paraboles phu thuôc tham sô' c (il 108 ١ ٢ Pa sè tim hinh bao cûa ho paraboles này.

Đây là phương trình của parabole đỉnh (0, — ) vì họ paraboles (1)

không có điểm bất thường nên parabole (2) là hình bao của họ paraboles (1); (2) gọi là parabole an toàn.

3) Tìm hình bao của họ đường cong; (y ~ a Ÿ = (x - a Ÿ

= ).؛

x - a (

٠3٢9

= > ( x ~ a r [ - ( x ~ a ) - l] = 0

4

38

Do dó:

X - a ^ y - X

4 4

-Ơ -> V = V +

4

Ta CỈU.ỢC y = X - — la bmh l١ao

27

y = v là quT Ifch cAc diổm bal thiĩòììt,^ (II 1 09 ١

B- ĐUỒNG TRONG KHÔNG GIAN

§1 S ơ L ư ợ c VỂ GIẢI TÍCH VECTEUR

l l Hàm vecteur đối vò hướng

Ta đã định nghĩa hàm số y =/{.v) mà giá trị của đối số và hàm số là những con sô thuần túy, người ta cũng gọi hàm số đó là hàm vô hướng với đối vô hướng.

Thực tiễn nhiều khi cần xếl sự phụ thuộc giữa một đại lượng vô hướng và một đại lượng vecteur.

Thí dụ: Xét chuyển động của một điểm M kể từ một điểm gốc 0 nào đó, thì

V! trí cúa M tai thời điểm r sẽ được hoàn toàn xác đinh bời vecteur OỈ\ĩ Như vây

OM phụ thuộc r, la gọi OM là hàm vecteur của đối vô hướng Î.

Tống quát ta có:

Định nghĩa: Nếu ứng với rnỗi giá trị của đại lượng vô hướng r, a < r < p ta

có một vecteur xác định V thì V gọi là hàm vecteur đối vô hướng t.

Kí hiệu V =v ự)

Theo định nghĩa với các giá trị khác nhau của tta có những vecteur V khác nhau, đó là các vecteur tự do, tu có thể đưa chúng về cùng gốc toạ độ 0 bằng cách đật V (ỉ) = OM. lúc đó V {í) gọi là hàm bán kính vecteur của điểm M và kí hiệu la:

ĩ {f) = OM. Như vậy viộc nghiên cứu hàm vecteur bất kỳ đưa về được việc nghiên cứu hàm bán kính vecteur của điểm A/, do đó để được tiện lợi từ đây về

sau ta chỉ nghiên cứu hàm

bán kính vecteur của điếm

Hệ (1) gọi là phương trình tham số với tham số t và đẳng thức (2) gọi là

phương trình vecteur của đường cong đó.

Tương tự như hàm vô hướng, ta đưa ra định nghĩa giới hạn và liên tục của hàm vecteur như sau:

Ta gọi vecteur Ü là giới hạn của hàm vecteur ĩ = F (0 khi ؛ —> /o ؛lếu

ĩ - ã ià một vô cùng bé khi í —> 0؛

Ta gọi hàĩn ĩ - ĩ {t) là liên tục tạị t = ( q nếu limr(/) = r ị t )

I —* I q

^ Nếu âầt Aỉ = t ~ ÍQ, A r = F (0 - F ( îq ) ihi F (0 là lien tục tại ÍQ nếu

lim AF = 0

A /-.0

1.2 Đạo hàm của hàm vecteur

i ٠ Định nghĩa: Cho hàm vecteur, F = F (0 ١ a < / < P xét tại ĩ, cho ĩ số gia