Bài tập sức bền vật liệu (Giải sẵn) - Toàn tập - Đặng Việt Cương.pdf tài liệu cho anh em ngành kỹ thuật xây dựng và kỹ sư cơ khí
NỘI Lực VÀ BIỂU ĐỔ NỘI Lực
Các bài giải m ẫu
Viết biểu thức và vẽ biểu đồ lực dọc N(z) trong thanh mặt cắt thay đổi chịu lực và liên kết cân bằng như hình M l-ìa
Giải: l Phương pháp mật cắt (MC)
Thanh được chia thành hai đoạn: 0-1 và 1-2. a) Khảo sát đoạn 0-1: Trong đoạn 0-1 thực hiện mặt cắt di động 1-1 có hoành độ Z |, gốc tại 0.
Viết điều kiện cân bằng phần trên của mặt cắt 1-1 (hình M l-lb ). z z = N ,+ q — +30 = 0z2
6 b) Khảo sát cân bằng đoạn 1-2 (hình M l-lc):
Thực hiện một mặt cắt di động 2-2 trong đoạn 1-2, có hoành độ z2, gốc
15 tọa độ ở “ 1” Xét điều kiện cân bằng phần trên của mặt cắt 2-2 bằng phương trình hình chiếu của các lực lên phương z trục của thanh:
2 Phương pháp vạn năng (VN).
Vận dụng công thức (1.3) của phương pháp VN ta có:
Theo các hàm (a), (b) của phương pháp MC và hàm (c) của phương pháp VN, ta vẽ biểu đồ (Nz) như hình M l-ld
Một dàn cầu thcp đơn giản chịu lực và liên kết cân bằng như hình Ml-2a Hãy xác dịnh lực dọc trong tất cả các thanh của dàn.
Giải: Để xác định các phản lực liên kết, cần phải khảo sát điều kiện cân bằng của dàn như một miếng cứng Cụ thể là:
Lực dọc trong tất cả các thanh được xác định thông qua điều kiện cân bằng tại các nút, bắt đầu từ nút "1" hoặc nút "5" và tiếp tục đến các nút tiếp theo.
M l-2b) Cụ thể là xét điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy đối với mỗi nút:
Hình M1-2 Đôi với nút “ l” ta có các phương trình cân bằng dưới dạng hình chiếu lên các phương X và y như sau:
4 Thực hiện các phép chiếu đôi với các nút tiếp theo tương tự như đã làm dối với nút ‘T \ ta thu dược:
Một trục chịu xoắn có liên kết và quy luật tác dụng của mômen xoắn ngoại lực như hình M l-3a Hãy viết Mz(z) và vẽ (Mz(z))?
Trong bài viết này, chúng ta sẽ thực hiện cắt thanh bằng cách sử dụng mặt cắt di động 1-1 và sau đó là mặt cắt 2-2 Mỗi lần cắt, chúng ta sẽ khảo sát cân bằng của phần bên trái mặt cắt đã tưởng tượng cắt ra, đồng thời đặt vào các mặt cắt này các mômen xoắn nội lực Mz(z) cần tìm.
Khảo sát đoạn 0 - 1 , gốc tọa độ Z| chọn tại “0” hình M l-3a, 0 < z, < 0,4m:
Em, = M* + Mị (z) = 0 => M, (z) = -M (* = -0,300 kNm (a) Khảo sát đoạn 1-2, gốc tọa độ Zj lấy tại “ 1” hình M l-3c, 0 < z2 < 0,8m:
Theo công thức (1.4) ta có:
Trôn cơ sớ các hàm M(z) trong (a) và (b) của phương pháp MC và hàm M(z) trong (c) của phương pháp VN, ta vẽ được biểu đồ (Mz(z)) như hình Ml-3b.
Một trục chịu xoắn như hình M l-4a Viết biểu thức giải tích và vẽ biểu
Theo công thức tổng quát (1.4) của phương pháp này, ta có biểu thức giai tích của Mỵ(z) như sau:
Lặp lại quy trình như trong bài M l-3, ta cắt trục bằng bốn mặt cắt di động 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, và mỗi lần giữ lại phần bên trái mặt cắt để khảo sát điều kiện cân bằng (hình M l^t) Cụ thể, đoạn 0-1 với gốc tọa độ tại “0”, hình M l-4b, trong khoảng 0 < Zị < a.
2a Đoạn 1-2, gốc tọa độ chọn tại “ 1”, hình M i- 4c, 0 < z2 < a:
Em, = -m ,.a + M2 = 0 => M2 = m,a = —— M* Đoạn 2-3, gốc tọa độ lấy tại “2” (hình M l-4d), 0 < z3 < a/2:
2 2 Đoạn 3-4, gốc tọa độ chọn tại “3” (hình M l—4e), 0 < z4 < 2a:
• Từ hàm (a) của phương pháp VN và các hàm (b), (c), (d) và (e) của phương pháp MC, ta vẽ được biểu đồ mômen xoắn nội lực cho toàn trục (hình M l-4 g ).
Một dầm một nhịp chịu lực cân bằng như hình M l-5a Hãy viết Mx(z),
Giải: ỉ ) Phương pháp MC a) Xác định phản lực liên kết
Diện tích biểu đồ tải trọng Qq: n , = (q (z )d z = ^ Trọng tâm của Q có hoành độ zc = —— Do đó phản lực tại gối “0” là:4
Thực hiện mặt cắt di động 1-1 có hoành độ z, gốc trục z đặt tại “0” Khảo sát cân bằng phần trái của mặt cắt 1-1 bằng các phương trình:
Theo công thức (1.6) của phương pháp này ta có:
(kết quả này đã nhận được ở trên từ điểu kiện cân bằng) Do đó, ta có dạng tường minh của Mx và Qy:
Theo các hàm (a), (b) của phương pháp MC và (c), (d) của phương pháp
VN ta vẽ được (Mx) và (Qy) như hình M l-5c,d Qua ví dụ này cho thấy phương pháp VN ưu việt hơn rất nhiều phương pháp MC.
Một dầm chịu lực và liên kết cân bằng như hình M l-6a.
1 Xác định các phản lực liên kết theo q.
2 Vẽ các biểu đồ nội lực: lực cắt Q và mômen uốn M bằng phương pháp mặt cắt và vạn nâng.
Trong đó: a = 120cm a = 2,2 p„= 132 kN P3 = 264 kN M* = 14400 kNcm.
Phương pháp vạn năng (VN)
Phương pháp VN là một công cụ mạnh mẽ, cho phép xác định nhanh chóng và dễ dàng các phản lực liên kết, nội lực, và chuyển vị trong các bài toán thanh thép dưới tải trọng và liên kết tùy ý Phương pháp này không yêu cầu hỗ trợ từ các phương pháp khác, tiết kiệm thời gian và tài nguyên như giấy mực.
1.1 Xác định phản lực liên kết và viết biểu thức Q(z), M(z) theo q:
Từ công thức vạn năng (1.6) áp dụng cho lực cắt Qy và mômen uốn Mx ta có các phương trình sau:
Các phản lực liên kết R| và R2 được xác định từ chính hai phương trình trên tại z = a, = 1848cm = 15,4a.
Hai phương trình này cho ta:
R, = 1192,58 q f ; R4 = 655,42qí, đúng như chiều đã giả thiết. Biểu thức tường minh của Q(z), M(z) theo q sẽ là:
Theo các hàm a, b của phương pháp VN ta vẽ được biểu đồ lực cắt và mômen như các hình M l-6b, c.
Trên cơ sở liên hộ vi phân dối với bài toán uốn (1.2c), ta giải bài toán này như sau:
Trên các đoạn 0 - 1, 1 - 2, 2 - 3, biểu đồ mômen là những đoạn thẳng nghiêng cắt trục dầm, do đó q = 0 và biểu đồ lực cắt (Qy) là những đoạn thẳng song song với trục dầm Trong đoạn 3 - 4, biểu đồ (Mx) có hình dạng parabol bậc 2, dẫn đến CỊ = hằng số, hướng xuống dưới, trong khi biểu đồ lực cắt Qy là một đoạn thẳng xiên với tung độ bằng không tại vị trí M„„x = 62,5 kNm.
Từ liên hê vi phân - —- = Q (z ), ta tính lưc cắt trong các đoan như sau: dz Đoạn 0 - 1 :
Q = = - = 1 kN > 0 dz 4 Ở đây Mị là hàm tãng. Đoạn 1 - 2, M2 là hàm giảm:
Q 250+104 = _5 9 k N < 0 dz 6 Đoạn 2 - 3 , M, là hàm tăng:
2 dz 5 Đoạn 3 - 4 : tại điểm c giữa đoạn này mỏmen uốn dạt cực đại nên Q = 0 tại đây Do đó tải trọng phân bố đều q hướng xuống có độ lớn là:
Tại điểm 3 không có lực tập trung nên Q không có bước nhảy Từ tung dộ Q, = 50 kN ta vẽ đường thẳng qua c và kéo dài ta được Q4 = -50 kN < 0.
Các giá trị lực cắt tại các điểm 0, 1, 2, 4 đại diện cho phản lực liên kết và ngoại lực tập trung Biểu đồ lực cắt được thể hiện trong hình M l-7c Tại điểm 1, biểu đồ M cho thấy một bước nhảy 100 kNm, chỉ ra mômen ngoại lực tập trung M* = 100 kNm quay theo chiều kim đồng hồ Trên đoạn 3 - 4, biểu đồ M là đường bậc 2 lồi, trong khi Q là bậc 1 giảm dần, cho thấy ngoại lực trong đoạn này là âm và phân bố đều Sơ đồ tải trọng được tái hiện trong hình M l-7d.
Vẽ các biểu đồ nội lực trong khung như hình M l-8a.
Phải thiết lập biểu thức của các nội lực
Trên mỗi mật cắt di động (1 - 1) và (2 - 2)
Khi vẽ biểu đồ lực cho từng đoạn trong khung từ 0 đến 2, mômen uốn được coi là dương khi căng trong và âm khi căng ngoài Lực cắt và lực dọc được giữ nguyên quy ước như trong thanh thẳng Để thuận tiện, các nội lực cần tính trên mỗi mặt cắt di động (1-1) và (2-2) cho các đoạn 0-1 và 1-2 đều được đặt theo chiều dương.
Biểu đồ M, Q, N được cho trên hình M l-8b, c, d.
Tính đúng đắn của các biểu đồ đã vẽ được thể hiện ở sự cân bằng nút
Một khung tĩnh định cân bằng như hình M l-9a Hãy vẽ nhanh biểu đồ
M (không viết biểu thức của M cho các đoạn).
Nhận xét cho thấy rằng do liên kết như hình, đoạn 3-4 và 6-7 không chịu lực cắt và không có mômen Tại khớp 5, không có mômen, trong khi tại điểm 6, có mômen tập trung quay theo chiều kim đồng hồ Biểu đồ M tại dây có bước nhảy bằng qa2/4 căng trên, và đường xiên qua khớp 5 trong đoạn 3-6 thể hiện biểu đồ M.
Từ điều kiện cân bầng nút 3, suy ra mômen đoạn 2 - 3 là hằng, căng trong (hình M l-9b).
Khi khảo sát điều kiện cân bằng của khung, phản lực tại điểm "0" được xác định như hình M l-9a Mômen tại điểm 1 thuộc đoạn 0 - 1 có giá trị là qa2, và tại mặt cắt I, nó chịu tác động của lực căng ngoài Điều kiện cân bằng tại nút 1 và 2 cho phép xác định tung độ và chiều căng của mômen M tại mặt cắt 1 và 2 trong đoạn 1 - 2 Lực phân bố đều q < 0 hướng xuống dưới, dẫn đến việc biểu đồ của đoạn này tạo thành một đường cong bậc 2, giống như chiếc võng hứng lấy mũi tên tải trọng q (đường cong lồi) như thể hiện trong hình M l-9b.
Cho một thanh cong có chiều dài dây cung L chịu tải trọng phân bố đều q Hợp lực R của tải trọng này có phương chiều vuông góc với dây cung L và đi qua điểm giữa của dây cung Độ lớn của hợp lực R bằng tích của q và chiều dài L.
Xct phân tố thanh dS chịu tác dụng của lực phân tố qdS với các thành phần theo phương X và y là: qdx, qdy.
Khi ký hiệu hợp lực của tải trọng q là R và các thành phần của nó lên phương X và y là Rx, Ry ta có:
Vì Rx = 0 cho nên hợp lực R = Ry = qL và vuông góc với trục X, nghĩa
( 1 ) là vuông góc với dây cung L.
Gọi XR là khoảng cách từ gốc “A” đến đường tác dụng của hợp lực R, theo định lý Varignon ta có thê' tìm được XR như sau:
Hợp lực R của tải trọng phân bố đều trên một cung hình dạng bất kỳ đi qua trung điểm của dây cung Điều này được thể hiện qua định lý: "Hợp lực của tải trọng phân bố đều dọc theo một cung có độ lớn bằng tích của tải trọng với chiều dài dây chắn cung, với đường tác dụng vuông góc đi qua trung điểm của dây cung."
Một thanh cong tròn chịu lực như hình M l-1 la Hãy viết các biểu thức nội lực theo q, R, a, p với a = 60°, p = 120" và vẽ các biểu đồ M((p), Q( khi sin2a=l; Ta = xma!t.
Do dó, theo điều kiện đề bài ta phải có:
Một phân tố ở trạng thái ứng suất phảng như hình M3-2 có ơ = 30kN/cm2,
Hãy xác định biến dạng dài tuyệt đối của đường chéo db của phân tố.
Theo định luật Hooke, biến dạng dài tỷ đối theo phương bd được xác định Hình M3-2 cho thấy ứng suất pháp theo phương bd là ơ w, trong khi ơjX) là ứng suất pháp theo phương pq vuông góc với bd Phương bd tạo ra góc a = 30° với phương X, từ đó có thể tính toán trị số của CTW.
109 Ở đây: ơx = ơ = 30kN/cm2; ơy = 0; Txy = Tyx = +15kN/cm2
Ta có: ơ w = — + — cos60° +15 sin 60° 5,5kN/cm2 Ơ|N xác định từ biểu thức:
= ơx + ơ y; ơp, = ơx + ơy - ơ w = - 5,5kN/cm2 Vậy: eM= | ( ơ „ - n o 1>() = ^ - L r [3 5 ,5 -0 ,2 8 (-5 ,5 )] ,52 \ ữ A
Biết rằng ew = ~ p ~- độ dãn dài của đường chéo bd; - chiều
^ hd dài của đường chéo bd).
Do đó A4d = Ew Cị,i = 0,0926mm.
Hai mặt cắt AC và BC đi qua điểm c trong trạng thái ứng suất phẳng cần được phân tích Cần tính toán các ứng suất chính và ứng suất trên mặt cắt xiên a, ơa, cùng với biến dạng ea theo phương V, trong đó V là véctơ pháp tuyến trên mặt nghiêng AC.
Từ phân tố ACB đã tách ra ta có: ơy = 3kN/cm2, Tyx = -5kN/cm2, do đó,
Txy = -5kN/cm2, Ta = -6kN/cm2
Trên mặt cắt nghiêng a có pháp tuyến V ta có công thức:
Phương của pháp tuyến ngoài V trên mặt cắt nghiêng tạo với trục X một góc a = 30° theo chiều dương Theo quy ước dấu liên quan đến pháp tuyến ngoài, ta có:
Ta = a * sin 60° — 5 cos 60° = -6kN/cm2
Các ứng suất chính và ơa có trị số: ơ„ + ơ ơ , = -— y-± m a x ^ m i n ơ - ơ A
+ + 5' ơ,na* = 13,27kN/cm2; ơmjn = 0,61kN/cm2 ơ„ y ^ :* “ ycos2a + T vsin 2a
Theo định luật Hooke, biến dạng dài tương đối là Ea = ơo+9t,0 tính từ đẳng thức ơa + ơa + wn = ơx + ơy => ơ a+y()„
Để xác định ứng suất tiếp và ứng suất pháp trên các mặt nghiêng so với mặt chính trong một phân tố chính, cần phân tích các ứng suất chính đã cho Việc này giúp hiểu rõ hơn về cách các ứng suất này tác động lên các mặt nghiêng và từ đó áp dụng các công thức phù hợp để tính toán.
Ta ký hiệu các mặt nghiêng lần lượt là ((5) và (a) có pháp tuyến là VpVà va Trạng thái ứng suất chính đã cho có: ơ| = 900 daN/cm2, ơ2 = 600 daN/cm2, ơ, = 0, a = -70".
111 ứ ig suất pháp và tiếp trên các mặt p và a được tính theo công thức (3.1): Ơ ỊỊ = a, sin2a + ơ 2 cos2a = (900 0,884 + 600 0,117) = 866 daN/cm2 ơ„ = ơ, cos2a + ơ2 sin2a = (900 0,117 + 600 0,884 ) = 636 daN/cm2
Tu = —To = ——— sin 2 a = (-0,643) = -96,5 daN/cm2
Các ứng suất được biểu diễn trên các mặt (P) và (a) như trong hình M3-4a Kết quả này có thể được xác định thông qua vòng tròn Mohr ứng suất Theo các giá trị ơ| và ơ2, chúng ta dựng vòng tròn Mohr và từ điểm cực B, vẽ các tia song song với nhau.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét giao điểm của các tia Vp và Vr với vòng tròn, tạo ra các điểm Dp và Da Hoành độ tại điểm Dp là Ơ|J = OKp = 866 daN/cm2, trong khi hoành độ tại điểm Da là ơa = OPKô = 636 daN/cm2 Tung độ tại điểm Dp được xác định là Tp = Kp Dp = 96,5 daN/cm2.
Ta = Ka Da = -96,5 daN/cm2 Trên hình M3^ịb, tỷ lệ xích đã thực hiện: lcm ứng với 200 daN/cm2 và dơn vị tính là daN, cm.
Cho một trạng thái ứng suất tổng quát (hình M3-5)
1) Nếu trên hai mặt cắt vuông góc với nhau (ví dụ mặt có pháp tuyến X và y) thỏa mãn điều kiện:
Tyx = kơx, xyz = kxxz, ơy = kxxy (a) k là một hằng sô nào đó, thì trạng thái ứng suất đã cho không thể là trạng thái ứng suất khối.
2) Nếu, ngoài điều kiện (a) trạng thái ứng suất đã cho còn có quan hệ: t/x = nơx, ơz = nxxz, xzy = nxxy (b)
Thì trạng thái ứng suất đã cho là trạng thái ứng suất đơn.
G iải: Đê chứng minh, trước hết cần phải xác định các ứng suất chính Nghĩa là tìm nghiệm của phương trình: ơ 1 - S| ơ2 + S2 ơ - s, = 0 (1)
Trong đó, S|, s„ s, là các bất biến của trạng thái ứng suất và có biểu thức: s, = ơx + ơy + ơz; S 2 = ơxơy + ơyơz + ơzơx - Xxy - X2x ơ x T xy T XZ s , = T yx ơ y T>v
1) Tlieo diều kiện (a) thì ơ x Xxy s , = kơx kxxy k T xx
= 0 Điều này có nghĩa là một trong các nghiệm của phương trình bậc ba (1) bằng không.
2) Theo diều kiện (a) và (b) thì s, = 0; S2 = 0
Do dó, hai nghiệm của phương trình bậc ba (1) bằng không. Đó là diều cần chứng minh.
Một trạng thái ứng suất được cho trên hình M3-6 với ơ( = 200daN/cm2, ơ, = -400daN/cm \ ơ, = -800daN/cm2 Hãy xác định bằng giải tích các ứng
Trong mặt phẳng song song với trục chính ứng suất, các giá trị ứng suất ơu và Ta được xác định cho các góc a1 = 0°, a2 = 60° và a3 = 30° Các ứng suất ơa và Ta cũng được phân tích tương tự cho trục chính ứng suất ơ2 và ơ.
Trạng thái ứng suất đã cho là một trạng thái ứng suất chính ba chiều với các giá trị ơ| = 200 daN/cm², ơ2 = -400 daN/cm² và ơ3 = -800 daN/cm² Các ứng suất tiếp cực trị tương ứng được tính bằng công thức: ơ1 - ơ3 = -400 + 800.
2 2 ơ = ơ,cos2a, + ơ vsin2a | = — 400 COS230° — 800 sin230" — -500 daN/cm2 ct| *-
2 2 ơ = ơ,cos2a 2 + ơ 3sin2a 2 = 20 0 COS260" —800 s in 260" = —5 5 0 daN/cm2 ơ - ơ , • o 20 0 + 800 -ô XT/ 2
“ = 2 2 2 ơ = ơ|Cơs2a 3 + ơ2sin2a 3 = 200 COS230" — 400 sin230" = 50 daN/cm2 X
Hãy xác định các ứng suất chính đối với trạng thái ứng suất mô tả trên hình M3-7.
Trong trường hợp tổng quát nhất các ứng suất chính dược tìm từ phương trình:
Theo đề bài phương trình này có dạng cụ thể:
Ba nghiệm của phương trình này là ba ứng suất chính cần tìm ơ | = 2 x ; ơ 2 = - x ; ơ , = - X
Khối thép được đặt trong rãnh khuôn được coi là cứng tuyệt đối và chịu nén bởi áp lực đều p Để xác định áp lực tác dụng lên khối thép và áp lực mà khối thép tác động vào thành khuôn, ta cần biết các thông số như ET = 2.107 N/cm², p = 0,28, và [ơ] = 16 kN/cm² Việc tính toán này sẽ giúp hiểu rõ hơn về ứng suất và áp lực trong quá trình sản xuất.
Theo hệ trục dã chọn trên hình vẽ, ta có diều kiện: ơ, = -p; ơy = 0; ex = 0 Theo định luật Hooke: s* = ^ [ ơ x -M(ơy + ơ z)]
Vậy theo phương X, khối thép bị nén Theo quy ước dấu ứng suất chính ta có: ơ| = 0; ơ 2 = -pp; ơ, = -p.
Theo thuyết ứng suất tiếp lớn nhất, điều kiện bền là: ơ, - ơ , < [ơ] hay p < [ơ] (b)
Theo thuyết thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất điều kiện bền là: yịơ* + ƠỊ + ơ 2 - ơ ị ơ 2 - Ơ 2Ơ, -Ơ 3Ơ! < [ơ] =>
Trị số lớn nhất của áp lực p tác dụng lên khối thép là p < [ơ] = 16kN/cm2 Theo nguyên lý tác dụng và phản tác dụng, thành khuôn sẽ chịu áp lực do khối thép tác dụng, được tính bằng công thức q = - ơ x = pp = 0,28.p Áp lực q này là cơ sở để tính toán khuôn.
Cho thanh có kích thước và chịu lực như hình M3-9.
1 Tính ứng suất trong các đoạn thanh.
2 Tính chuyển vị của mặt cắt 1 - 1
Cho a = 0,9 m: b = 0,6 m; c = 6cm; d = 4cm; p = 15kN/cm2; p = 0,3;
Thay (a,) và (a2) vào (b), ta có:
Chú ý đến ơ' = — ; ơ" = — và (c) ta thu đươc lue doc N = -129,6kN
F, F2 ứng suất và chuyển vị theo yêu cầu đề bài là:
Chuyên vị tại mặt cắt 1 - 1 là: lT _ -N b _ -129,6x60 _ n m i r _ U| , = —— = — — = - 0,0116cm
Một trục thép tròn đặc với đường kính D = 50mm được lắp khít trong một ống đồng có chiều dày ô = 1mm Trụ thép chịu lực nén với hợp lực R = 150kN Cần xác định ứng suất trong ống đồng, với giả thiết rằng E r = 2Eđ và p = 0,3, đồng thời bỏ qua ma sát giữa hai chi tiết lắp.
Lập hệ trục tọa độ để tính xyz (hình M3-10a) ứng suất nén theo phương z có trị số là: ơ/.= R R.4 -150.4
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ CÁC GIẢ THUYẾT VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT GIỚI HẠN
Các bài toán giải m ẫ u
Để xác định đường kính d của thanh thẳng mặt cắt ngang tròn chịu lực kéo p = 150 kN, cần đảm bảo rằng ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ a không vượt quá 6 kN/cm².
Giải: Úng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng a bất kỳ so với trục z của thanh được tính theo công thức:
X = —— sin2a => khi sin2a=l; Ta = xma!t.
Do dó, theo điều kiện đề bài ta phải có:
Một phân tố ở trạng thái ứng suất phảng như hình M3-2 có ơ = 30kN/cm2,
Hãy xác định biến dạng dài tuyệt đối của đường chéo db của phân tố.
Theo định luật Hooke, biến dạng dài tỷ đối theo phương bd được xác định, trong đó ơw là ứng suất pháp theo phương bd và ơjX là ứng suất pháp theo phương pq vuông góc với bd Phương bd tạo với phương X một góc a = 30°, từ đó có thể tính được trị số của CTW.
109 Ở đây: ơx = ơ = 30kN/cm2; ơy = 0; Txy = Tyx = +15kN/cm2
Ta có: ơ w = — + — cos60° +15 sin 60° 5,5kN/cm2 Ơ|N xác định từ biểu thức:
= ơx + ơ y; ơp, = ơx + ơy - ơ w = - 5,5kN/cm2 Vậy: eM= | ( ơ „ - n o 1>() = ^ - L r [3 5 ,5 -0 ,2 8 (-5 ,5 )] ,52 \ ữ A
Biết rằng ew = ~ p ~- độ dãn dài của đường chéo bd; - chiều
^ hd dài của đường chéo bd).
Do đó A4d = Ew Cị,i = 0,0926mm.
Hai mặt cắt AC và BC đi qua điểm c, nằm trong trạng thái ứng suất phẳng Cần tính toán các ứng suất chính và ứng suất trên mặt cắt xiên a, ơa, cũng như biến dạng ea theo phương V, trong đó v là véctơ pháp tuyến trên mặt nghiêng AC.
Từ phân tố ACB đã tách ra ta có: ơy = 3kN/cm2, Tyx = -5kN/cm2, do đó,
Txy = -5kN/cm2, Ta = -6kN/cm2
Trên mặt cắt nghiêng a có pháp tuyến V ta có công thức:
Phương của pháp tuyến ngoài V trên mặt cắt nghiêng tạo thành một góc a = 30° với trục X theo chiều dương Theo quy ước dấu đối với pháp tuyến ngoài, ta có:
Ta = a * sin 60° — 5 cos 60° = -6kN/cm2
Các ứng suất chính và ơa có trị số: ơ„ + ơ ơ , = -— y-± m a x ^ m i n ơ - ơ A
+ + 5' ơ,na* = 13,27kN/cm2; ơmjn = 0,61kN/cm2 ơ„ y ^ :* “ ycos2a + T vsin 2a
Theo định luật Hooke, biến dạng dài tương đối là Ea = ơo+9t,0 tính từ đẳng thức ơa + ơa + wn = ơx + ơy => ơ a+y()„
Để xác định ứng suất tiếp và ứng suất pháp trên các mặt nghiêng so với mặt chính trong một phân tố chính có các ứng suất chính, ta cần phân tích các ứng suất được thể hiện trong hình M3-4 Việc này giúp hiểu rõ hơn về sự phân bố ứng suất trong vật liệu và ứng dụng trong thiết kế kỹ thuật.
Ta ký hiệu các mặt nghiêng lần lượt là ((5) và (a) có pháp tuyến là VpVà va Trạng thái ứng suất chính đã cho có: ơ| = 900 daN/cm2, ơ2 = 600 daN/cm2, ơ, = 0, a = -70".
111 ứ ig suất pháp và tiếp trên các mặt p và a được tính theo công thức (3.1): Ơ ỊỊ = a, sin2a + ơ 2 cos2a = (900 0,884 + 600 0,117) = 866 daN/cm2 ơ„ = ơ, cos2a + ơ2 sin2a = (900 0,117 + 600 0,884 ) = 636 daN/cm2
Tu = —To = ——— sin 2 a = (-0,643) = -96,5 daN/cm2
Các ứng suất được thể hiện trên các mặt (P) và (a) như trong hình M3-4a Kết quả này có thể được xác định thông qua vòng tròn Mohr ứng suất Cụ thể, theo ơ| và ơ2, ta dựng vòng tròn Mohr, từ điểm B, vẽ các tia song song với nhau.
Các tia Vp và Vr giao nhau tại các điểm Dp và Da trên vòng tròn Hoành độ của chúng được xác định là Ơ|J = OKp = 866 daN/cm2 và ơa = OPKô = 636 daN/cm2 Tung độ tương ứng là Tp = Kp Dp = 96,5 daN/cm2.
Ta = Ka Da = -96,5 daN/cm2 Trên hình M3^ịb, tỷ lệ xích đã thực hiện: lcm ứng với 200 daN/cm2 và dơn vị tính là daN, cm.
Cho một trạng thái ứng suất tổng quát (hình M3-5)
1) Nếu trên hai mặt cắt vuông góc với nhau (ví dụ mặt có pháp tuyến X và y) thỏa mãn điều kiện:
Tyx = kơx, xyz = kxxz, ơy = kxxy (a) k là một hằng sô nào đó, thì trạng thái ứng suất đã cho không thể là trạng thái ứng suất khối.
2) Nếu, ngoài điều kiện (a) trạng thái ứng suất đã cho còn có quan hệ: t/x = nơx, ơz = nxxz, xzy = nxxy (b)
Thì trạng thái ứng suất đã cho là trạng thái ứng suất đơn.
G iải: Đê chứng minh, trước hết cần phải xác định các ứng suất chính Nghĩa là tìm nghiệm của phương trình: ơ 1 - S| ơ2 + S2 ơ - s, = 0 (1)
Trong đó, S|, s„ s, là các bất biến của trạng thái ứng suất và có biểu thức: s, = ơx + ơy + ơz; S 2 = ơxơy + ơyơz + ơzơx - Xxy - X2x ơ x T xy T XZ s , = T yx ơ y T>v
1) Tlieo diều kiện (a) thì ơ x Xxy s , = kơx kxxy k T xx
= 0 Điều này có nghĩa là một trong các nghiệm của phương trình bậc ba (1) bằng không.
2) Theo diều kiện (a) và (b) thì s, = 0; S2 = 0
Do dó, hai nghiệm của phương trình bậc ba (1) bằng không. Đó là diều cần chứng minh.
Một trạng thái ứng suất được cho trên hình M3-6 với ơ( = 200daN/cm2, ơ, = -400daN/cm \ ơ, = -800daN/cm2 Hãy xác định bằng giải tích các ứng
X-IHSIIVẠT I.|$|J 113 suất Tị 2 „ ơu và Ta trong mặt phẳng song song với trục chính ứng suất ơ,; ơa và Ta trong mặt phảng song song với trục chính ứng suất ơ 2, tương tự là ơa và Ta đối với trục chính ứng suất ơ v Với a , 0°; a 2 = 60°; a , = 30".
Trạng thái ứng suất ba chiều được xác định với các giá trị ơ1 = 200 daN/cm², ơ2 = -400 daN/cm² và ơ3 = -800 daN/cm² Các ứng suất tiếp cực trị tương ứng được tính toán theo công thức: ơ1 - ơ3 = -400 + 800.
2 2 ơ = ơ,cos2a, + ơ vsin2a | = — 400 COS230° — 800 sin230" — -500 daN/cm2 ct| *-
2 2 ơ = ơ,cos2a 2 + ơ 3sin2a 2 = 20 0 COS260" —800 s in 260" = —5 5 0 daN/cm2 ơ - ơ , • o 20 0 + 800 -ô XT/ 2
“ = 2 2 2 ơ = ơ|Cơs2a 3 + ơ2sin2a 3 = 200 COS230" — 400 sin230" = 50 daN/cm2 X
Hãy xác định các ứng suất chính đối với trạng thái ứng suất mô tả trên hình M3-7.
Trong trường hợp tổng quát nhất các ứng suất chính dược tìm từ phương trình:
Theo đề bài phương trình này có dạng cụ thể:
Ba nghiệm của phương trình này là ba ứng suất chính cần tìm ơ | = 2 x ; ơ 2 = - x ; ơ , = - X
Một khối thép được đặt chặt trong rãnh khuôn được coi là cứng tuyệt đối và chịu nén bởi áp lực đều p Để xác định áp lực tác dụng lên khối thép cũng như áp lực mà khối thép gây ra lên thành khuôn, cần biết rằng mô đun đàn hồi của thép là ET = 2.107 N/cm2, hệ số Poisson p = 0,28 và ứng suất cho phép [ơ] = 16 kN/cm2.
Theo hệ trục dã chọn trên hình vẽ, ta có diều kiện: ơ, = -p; ơy = 0; ex = 0 Theo định luật Hooke: s* = ^ [ ơ x -M(ơy + ơ z)]
Vậy theo phương X, khối thép bị nén Theo quy ước dấu ứng suất chính ta có: ơ| = 0; ơ 2 = -pp; ơ, = -p.
Theo thuyết ứng suất tiếp lớn nhất, điều kiện bền là: ơ, - ơ , < [ơ] hay p < [ơ] (b)
Theo thuyết thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất điều kiện bền là: yịơ* + ƠỊ + ơ 2 - ơ ị ơ 2 - Ơ 2Ơ, -Ơ 3Ơ! < [ơ] =>
Trị số lớn nhất của áp lực p tác dụng lèn khối thép là p < [ơ] = 16kN/cm2 Theo nguyên lý tác dụng và phản tác dụng, áp lực mà thành khuôn chịu do khối thép gây ra được tính bằng q = - ơ x = pp = 0,28.p Áp lực q này là cơ sở để tính toán khuôn.
Cho thanh có kích thước và chịu lực như hình M3-9.
1 Tính ứng suất trong các đoạn thanh.
2 Tính chuyển vị của mặt cắt 1 - 1
Cho a = 0,9 m: b = 0,6 m; c = 6cm; d = 4cm; p = 15kN/cm2; p = 0,3;
Thay (a,) và (a2) vào (b), ta có:
Chú ý đến ơ' = — ; ơ" = — và (c) ta thu đươc lue doc N = -129,6kN
F, F2 ứng suất và chuyển vị theo yêu cầu đề bài là:
Chuyên vị tại mặt cắt 1 - 1 là: lT _ -N b _ -129,6x60 _ n m i r _ U| , = —— = — — = - 0,0116cm
Một trục thép tròn đặc với đường kính D = 50mm được đặt khít trong một ống đồng có chiều dày ô = 1mm Trụ thép chịu lực nén phân bố đều với hợp lực R = 150kN Cần xác định ứng suất trong ống đồng, với điều kiện E_r = 2E_đ và p = 0,3, đồng thời bỏ qua ma sát giữa hai chi tiết lắp.
Lập hệ trục tọa độ để tính xyz (hình M3-10a) ứng suất nén theo phương z có trị số là: ơ/.= R R.4 -150.4
Do bề dày của ống đồng mỏng, ứng suất kéo trong ống xuất hiện và phân bố đều theo chiều dày cũng như chiều cao của ống Đồng thời, khối trụ bằng thép chịu áp lực cũng phân bố đều từ ống đồng, tác động dọc theo chiều cao của ống thép.
Ta gọi áp lực tiếp xúc là q.
Từ phân tích như vậy, ta thấy bài toán đang quan tâm là bài toán biến dạng phẳng.
Cân bằng của nửa vành tròn ống đồng có chiều cao bằng đơn vị, với lực kéo N trên thành ống được cân bằng bởi hình chiếu của áp lực q theo phương X đã biết.
Trên trục y của lõi thép, phân tố A chịu ứng suất ơz và ứng suất ơx = ơy = -q Do ống đồng và lõi thép được lắp khít với nhau, điều kiện biến dạng tương thích giữa lõi thép và ống đồng là ex = ed.
Thay các giá trị bằng số của pT, ơ„ E-r = 2Ej và q = 2Ô.Ơ
~D~ vào phương trình (a), ta có ứng suất trong ống đồng: ơ = — — = Q’3'7 - -= l,12kN/cm2 r
Tại một điểm trên mặt của một vật the chịu lực người ta đo được biến dạng tỷ đối theo các phương Ox,
Oy và Ou như sau (hình M 3-11). £= 2,81.10^; £, = -2 ,8 1.lo '4; eu= 1,625.10 4 Xác định phương chính và ứng suất chính tại điểm đang xét Biết hệ số Poát xông V = 0,3 và E = 2.104kN/cm2.
Hướng dần và đáp sô"
1 Đ ặ c trưng hình học khi xoắn của m ặt cắt ngang
1.1 Mặt cắt ngang tròn rỗng và tròn đặc i „ = ^ ( l - a * ) ô 0 , i D ‘ ( l - a ‘ ) w ,,= — ( l - a , )ằ 0 ,2 D , ( l - a ' ) rV , , d l lone đó: a = —
Đối với mặt cắt tròn đặc, đường kính ngoài D được xác định với a = 0 Trong trường hợp các mặt cắt ngang không tròn, các thông số quán tính độc cực Jp và mômen chống xoắn Wp, cùng với điểm Tmax, có thể tham khảo trong bảng 1 dưới đây.
TÍNH TOÁN THỰC HÀNH CÁC Mốỉ GHÉP
Hướng dẫn và đáp sô"
Huống dẫn: Phương pháp VN: Dùng công thức dưới dạng biểu diễn tổng để viết N(z).
Phương pháp mặt cắt: Thực hiện các mặt cắt di động 1-1; 2-2; 3-3 và khảo sát cân bằng một trong hai phần đã tưởng tượng cắt ra sau mỗi lần cắt.
Hướng dẫn: Khảo sát cân bằng của ba phần đã cắt ra.
Hướng dẫn: Thực hiện mặt cắt 1-1 qua o và khảo sát điều kiện cân bằng của một phần. Đáp số: N = prl’.
Hướng dẫn: Khảo sát cân bằng các nút A và c. Đáp số: Nba = 14,4 KN; NAC = 14,4 KN; NCD = 14,2 KN
Hướng dẫn: cắt thanh 1 và thanh 2 và viết Zm B = 0 và XmE = 0. Đáp số: N, = 5P; N2 = p.
Hướng dẫn: Tách nút A và khảo sát cân bằng. Đáp số: N, = p,; N2 = P2
Bài 1-10 A Ị ỉướng dẫn: Tách nút B, khảo sát cân 'm m bàng nút B => N,, N2. Đáp số:
Hướng dẫn xác định các phản lực liên kết tại điểm 0 và 7 Xem thanh 1-3 như một dầm trên hai gối tựa, cần xác định lực P| và p tác động vào nút 1 và 3 Cắt dàn thành hai phần và áp dụng điều kiện cân bằng Xm = 0 Kết quả tính toán cho phản lực tại N2_4 được xác định là (2R - Pị).
Hướng dẫn: Khảo sát cân bằng phần dàn ứ bên trái mặt cắt 1- 1: Xm, = 0; Xm,
= 0 Xét điều kiện cân bằng nút 1:
I lưứng dẫn: Xác định phản lực tại các gối tựa: xét cân bằng các nút theo thứ lự "l , "2", "3", "4" và "5". Đáp số: N, , = N,_2 = - £ ; N 2_6= - ^ ;
Hướng dẫn: Thực hiện các mặt cắt 1-1 và 2-2 và xét cân bằng phần trái của dàn sau mỗi lần cắt:
Hướng dẫn: Tưởng tượng cắt hệ làm 2 phần bằng mặt cắt 1- 1
Khảo sát điều kiện cân bằng phần
AB bằng các phương trình:
Hướng dẫn: cất thanh tại mặt cắt có hoành khác và khảo sát cân bằng phần dưới: z z = 0 c Đáp số: N = |qdz = | q ()
Viết N(z) theo phương pháp VN:
Hướng dẫn: Viêt bicu thức lực dọc theo phương pháp VN:
Hướng dẫn: Chú ý tính đối xứng của hệ. Đáp số: Lực dọc trong một thanh N = 175,45 daN.
Hướng dẫn sử dụng phương pháp mặt cắt được trình bày dưới đây, tuy nhiên, phương pháp Vạn năng với biểu thức N(z) là lựa chọn tối ưu nhất.
Hướng dẫn: Viết công thức VN dưới dạng biểu diễn tổng của M,(z) (My)
Hướng dẫn: thực hiện như bài 1 -2 1 Đáp số: ^
Hướng dẫn: Viết phương trình VN của M,(z).
Hướng dẫn: Dùng phương pháp mặt cắt Thực hiện các mặt cắt di động 1-1; 2-2; 3-3 Cứ mỗi lần khảo sát cân bằng của một phần đã cắt ra hoặc
I V A 1 / _ _ _ dùng công thức vạn nãng. Đáp số: '‘M, 3M
Hướng dẫn: Viết phương trình
Hướng dẫn: Viết phương trình
VN của M(z) tương tự bài 1-25 hoặc dùng phương pháp mặt cắt với 3 mặt cắt di động. Đáp số:
Hướng dẫn: Dùng phương trình VN, viết:
Hướng dẫn: Lần lượt vẽ các (My(z)) do riêng ( Mj ); (mz) và ( M*) rồi cộng lại. Đáp số:
Hướng dẫn: Vẽ bằng phương pháp cộng tác dụng như bài 1-28 Đáp số: a Mz 1,5M*
Hướng dẫn: Biểu đồ (M,) do M* và my đồng thời gây ra sẽ là:
Hướng dẫn: Theo chỉ định của đề bài thì phải thực hiện 4 mặt cắt di động trong các doạn
Hướng dẫn: Lập sơ đồ tính với a, = a; a2 = 2a; a3 = 3a Viết
M,(z) theo công thức VN M*, dược tìm từ diều kiện Mx(z = a,) = 0 Đáp số:
Hướng dẫn: Thực hiện các mặt cắt di động trong các đoạn 0-1 và 1-2 Khảo sát cân bằng phần bcn phải của mặt cắt.
Hướng dẫn: Do quan hệ đồng dạng giữa mômen xoắn M, và cụng suất N là M,.ô) = N, nờn vẽ (N) như vẽ (M,). Đáp số:
Hướng dẫn: Vẽ (Mz) bằng phương pháp vẽ nhanh với chú ý ở dâu có mômen tập trung thì tại dó (M,) có bước nhảy. Đáp số:
Hướng dẫn: Tiến hành vẽ như bài I -3 4 với M, = N/(0. Đáp số:
Hướng dẫn: Vẽ (M,) như đã làm trong bài 1-35. Đáp số:
Hướng dẫn: Nên vẽ bằng công thức VN. Đáp số:
Hướng dẫn: Dùng phương pháp vẽ nhanh như bài 1-35. Đáp số:
Hướng dẫn: Ncn dùng công thức vạn năng để vẽ (Mz). Đáp số:
Bài 1-41 a) Phương án 1: Xác định phản lực liên kết Rị, R2 từ điều kiện cân bằng, sau đó sử dụng phương pháp mặt cắt với 3 mặt cắt di động 1—1; 2-2; 3-3, khảo sát điều kiện cân bằng của mỗi phần sau khi cắt Giải các phương trình cân bằng để có: Q|(z,), M,(z,); Q ^ ) ; M2(z); Q,(z,), M,(z) Vẽ biểu đồ (Qy) và (Mx) cho từng đoạn trên cơ sở các hàm nhận được ở trên. b) Phương án 2: Sử dụng phương pháp VN với công thức dưới dạng biểu diễn tổng cho các hàm Qy(z) và Mx(z):
+ M* +q ( z - 4 a)1 2 Phản lực R, được xác định từ Mx(5a) = 0. d)
Hướng dẫn: Dầm có 4 đoạn nên tốt nhất là dùng phương pháp VN dưới dạng biểu diễn tổng như bài 1-41. Đáp số:
Bài 1-43 llướng dẫn: Viết Qy(z) và Mx(z) theo công thức VN Các phản lực licn kết Rm và R„2 dược xác định ngay từ các phương trình của Qy và Mx cụ thể là:
Hướng dẫn tách khớp D và vẽ biểu đồ lực cắt (Qy) cùng mômen uốn (Mx) cho dầm AD Tiếp theo, truyền tác dụng từ dầm AD lên dầm DB và vẽ biểu đồ (Qy) và (Mx) cho dầm DB.
Hướng dẫn sử dụng liên hệ vi phân giữa ba đại lượng Qx, qy(z) và Mx để xác định tải trọng tác dụng lên dầm và biểu đồ Mx tương ứng.
Hướng dẫn: Viết Qy(z) và Mx(x) bằng phương pháp VN:
Mướng dẫn: Tách khớp “1” khảo sát dầm phụ 0-1, sau đó truyền tác dụng từ dầm 0-1 lên dầm chính, khảo sát dầm chính 1-2 Viết các Qy(z) và
Mx(z) ncn dùng phương pháp VN cho đơn giản. Đáp số:
Hướng dẫn: Trình tự giải như bài 1-47 Đáp số:
Hướng dẫn giải bài toán bằng phương pháp cộng tác dụng, không cần tính toán phức tạp Cụ thể, cần vẽ các lực tác dụng: (M ^Ị, (ọ*)) do lực M gây ra và (QýỊ) do lực q gây ra Đáp số: b) c)
Hướng dẫn: Chú ý đến ý nghĩa của đao hàm = tgoiị => Qị dz Đáp số:
Hướng dẫn: Viết các phương trình VN cho Qy(z) và Mx(z) sau đó nhờ
Hướng dẫn: Trình tự giải như bài 1-46, trong đó R01 tìm từ điều kiện © ©
Hướng dẫn: sử dụng mối liên hệ giữa Qy và q, p để tìm tải trọng Từ sơ dồ chịu tải hoặc từ (Qy) và (Mx).
Hướng dẫn: Viết phương trình Parabol bậc 2 trong đoạn 0-2.
Mx(z) = A Z 2 + BZ + c Xác định A, B, c từ các giá trị đã b iết của Mx Dùng các liên hệ vi phân dể suy ra q và Qy(z). Đáp số:
-7^ = tg o ^ => Q+và Q_ dz Đáp số: p = 3,5kN y ọ ọ ẹ ^ c m w
1 Điều kiện bển - ba bài toán thường gặp Để đảm bảo sự làm việc an toàn khi thanh chịu kéo (nén) đúng tâm ứng suất trong thanh phải thỏa mãn điều kiện bển: ơ = — < [ơl (2.1)
Từ bất đẳng thức trên, ta có thể gặp ba bài toán cơ bản sau đây:
• Kiểm tra bền:Kiểm tra bền là bài toán kiểm tra điều kiện (2.1) đôi với mọi mặt cắt của thanh Cụ thể là: ơ ma* _ ^ < ra l (2.2)
• Chọn kích thước mặt cắt: Yêu cầu của bài toán này là xác định kích thước tối thiểu của mặt cắt ngang thỏa mãn điều kiện:
M Đổ đảm bảo an toàn và tiết kiệm chỉ nên chọn F xấp xỉ tỷ số 2-2- trong, N
H phạm vi chừng ± 5% là đủ.
• Xác định t ả i trọng cho phép:
Khi đã xác định kích thước mặt cắt và ứng suất cho phép, bước tiếp theo là tính toán tải trọng lớn nhất có thể đặt lên chi tiết máy hoặc kết cấu Để thực hiện điều này, cần phải có các thông số và dữ liệu cần thiết.
2 Điểu kiện cứng - ba bài toán thường gặp Điều kiện cứng là điều kiện hạn chế biến dạng và chuyển vị dọc trục của thanh tùy thuộc vào yêu cầu kỹ thuật cụ thể cho trước của từng cấu kiện
Các biến dạng và chuyển vị cho phép này ký hiệu là: [s] và [u].
Dieu kiện cứng được diẽn đạt như sau:
I ừ quan hệ (2.5) có thể rút ra các bài toán sau đây:
• Kiểm tra dieu kiện cứng, tức là kiểm tra điều kiện (2.5).
• Chọn mặt cắt ngang là làm thỏa mãn diều kiện:
• Chọn tải trọng cho phép p là thực hiện điều kiện:
Trong các công thức từ (2.1) đến (2.7), lực dọc N(z) được tính theo công thức (1.3), còn chuyên vị dọc trục u(z) có thể tính theo phương pháp dưới đây:
3 Các phương pháp tính chuyển vị u(z) a) Tích phân trực tiếp du ơ £, = — = — ; sx = £v = p£ỵ dz E y
EF 'lĩch phân dược lấy dọc theo chiều dài của từng đoạn trên đó hàm
N(z) EF xác định, còn tổng được lấy trên tất cả các đoạn của hệ. b) Phương pháp vạn năng
Chuyển vị u(z) có thể được xác định bằng một công thức đã được chuẩn bị sẵn, mang lại lợi ích đặc biệt cho phương pháp vạn năng Phương pháp này áp dụng hiệu quả cho mọi bài toán kéo (nén), bất kể là tĩnh định hay siêu tĩnh.
* Trường hợp độ cứng C; là hằng số với Vi (hình l.lc ) k-l.n
Nk(z) = EF công thức (1.3) dz
Au,i là bước nhảy của chuyển vị dọc trục tại đầu trái "Oi" của đoạn "i" Độ cứng khi kéo (nén) của đoạn thanh thứ "i" được biểu thị bằng a, —a, I l-l, trong đó "k" là đoạn thanh dùng để xác định uk(z).
* Trường hợp độ cứng C; thay đổi:
Phương trình các đại lượng cần tính dưới dạng ma trận được viết:
•••[: * ] A S()2 + + [B;] Soi; s; 14° nên tại điểm A trên mặt cắt ngang (hình M 7-lb) ứ mặt trong của dây là nguy hiểm nhất với: ơ = — + N —+ — = — ^ M 16PD
F w p Ttd 1 + 2D cosa Điều kiện bền theo thuyết bền thứ 3 là: Ơ,J = V ơ2 + 4 t 2
Từ bất dắng thức này ta rút ra:
Chuyển vị dọc trục ở dầu lự do cua lò xo dược lính bởi công thức: u = 8PD-11 d4 cosa
Khi chỉ kê đến biến dạng xoắn lò xo thì chuyển vị dọc trục U0 là U(I và bằng:
ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐẢN H ồ l
ĐỘNG Lực HỌC ĐỘ BỂN
1 Iưóng dẫn và Đáp sô"
Hệ phương trình chính tắc tổng quát của phương pháp lực:
8 X, + ỖI2X 2 + + ỗ lnX n +A ll'p + ( a '1' a + Àtl's + &") = () Ô2IX, + Ô22X 2 + - + ô2nX n + A2p + ( a '2A + A28 + A2i) = 0 (10.1) Ô n l X l + Ô „ 2 X 2 + - + Ô n„X n + [ A np + A nA + A nS + A m ] = 0
Trong (10-1), ô|j là chuyển vị tại liên kết thừa “i” theo phương phản lực thừa X, do phản lực thừa đơn vị Xj = 1 gây ra trong hệ cơ bản Còn a; là chuyển vị tại liên kết “i” theo phương phản lực thừa Xj do tải trọng 5 ngoài cho trước gây ra trong hệ cơ bản.
A" là chuyên vị theo phương ẩn số thừa Xj do sự biến thiên nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bản và có biểu thức:
Trong đ ó : Q(Ni) và Q(Mi) là diện tích biểu đồ lực dọc và mômen do
Xi = l gây ra trong hệ cư bản; t, = 1 '■+ , a là hệ số dãn nở nhiệt của vật liệu;
2 h - chiều cao của mặt cắt ngang của thanh; t, và t2 là độ biến thiên của nhiệt dộ ở hai phía của mặt cắt;
Chuyển vị A1’ và A‘g tương ứng với vị trí và phản lực thừa Xj do chuyển vị gối tựa, gây ra bởi chiều dài cấu kiện không chính xác trong hệ cơ bản Biểu thức cho chuyển vị này được thể hiện như sau: a ! a = - Ẻ R * A ìa - Ẻ M * 0 , a ; A! s = Ẻ N ikAi (A; độ dôi > 0) (lO.lb) với i = 1.
KẾT CẤU SIÊU TĨNH
Hệ phương trình chính tắc tổng quát của phương pháp lực:
8 X, + ỖI2X 2 + + ỗ lnX n +A ll'p + ( a '1' a + Àtl's + &") = () Ô2IX, + Ô22X 2 + - + ô2nX n + A2p + ( a '2A + A28 + A2i) = 0 (10.1) Ô n l X l + Ô „ 2 X 2 + - + Ô n„X n + [ A np + A nA + A nS + A m ] = 0
Trong (10-1): ô|j là chuyển vị tại liên kết thừa “i” theo phương phản lực thừa X, do phản lực thừa đơn vị Xj = 1 gây ra trong hệ cơ bản Chuyển vị tại liên kết “i” theo phương phản lực thừa Xj do tải trọng 5 ngoài cho trước gây ra trong hệ cơ bản được ký hiệu là a.
A" là chuyên vị theo phương ẩn số thừa Xj do sự biến thiên nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bản và có biểu thức:
Trong đ ó : Q(Ni) và Q(Mi) là diện tích biểu đồ lực dọc và mômen do
Xi = l gây ra trong hệ cư bản; t, = 1 '■+ , a là hệ số dãn nở nhiệt của vật liệu;
2 h - chiều cao của mặt cắt ngang của thanh; t, và t2 là độ biến thiên của nhiệt dộ ở hai phía của mặt cắt;
A1’ và A‘g là chuyển vị tương ứng với vị trí và phản lực thừa Xj do chuyển vị gối tựa, gây ra bởi sự không chính xác trong chiều dài cấu kiện trong hệ cơ bản Biểu thức cho chuyển vị này được thể hiện như sau: a ! a = - Ẻ R * A ìa - Ẻ M * 0 , a ; A! s = Ẻ N ikAi (A; độ dôi > 0) (lO.lb) với i = 1.
• Trường hợp dầm liên tục - phương trình ba mômen.
Trong trường hợp này hệ phương trình chính tắc của phương pháp lực mang tên gọi hệ phương trình ba mômen.
Phương trình thứ “i” của hệ phương trình ba mômen:
Trong đó i = l,n l ị ,EJ và /i+|, EJi+l - chiều dài và độ cứng của nhịp thứ “i” và nhịp thứ
Qj, Qi+| - diện tích biểu đồ mômen uốn do tải trọng gây ra trên nhịp thứ i và i+1 trong hệ cơ bản;
Aj, bj+| - khoảng cách từ trọng tâm các biểu đồ đó đến gối tựa thứ (i-1 ) và (i+1).
Trường hợp độ cứng EJ là hằng với Vi, thì (10-2) có dạng:
Bậc siêu động n gồm n, chống xoay và n2 chống chuyển vị thẳng của các nút cứng áp dặt.
Trong trường hợp tổng quát, nếu số ẩn cần tìm là n = n1 + n2, phương trình chính tắc của phương pháp chuyển vị được biểu diễn như sau: lị ịZị + rl2Z2 + + rlnZn + Rịp = 0 và rnlZ1 + r n2Z2 + + rnnZn + Rnp = 0.
Dưới dạng ma trận hệ phương trình (10-3) được viết:
(10.3b) Ớ đây ta đã ký hiệu: r ll r ! 2 - - r n ' r 2l r 2 2 - - r2n
Ma trận độ cứng của hệ là một ma trận vuông, với các phần tử là các hệ số (phản lực đơn vị) từ phương trình chính tắc được tính trong hệ cơ bản Trong đó, z đại diện cho ma trận cột của các chuyển vị cần tìm.
M là ma ttận cột của các phản lục do tải trọng ngoài gậy ra trong hệ cơ bản.
Các án số z dược xác định bởi công thức:
K 1 là ma trận nghịch đảo của ma trận K.
Trong hệ (10.3), phản lực đơn vị rk tại liên kết áp đặt bổ sung "k" được xác định bởi chuyển vị Zj = 1 tại liên kết áp đặt "j" trong hệ cơ bản.
Rk|1 là phản lực ở licn kết áp đặt bổ sung “k” do ngoại lực cho trước gây ra trong hệ cơ bản.
Hệ phương trình chính tắc có dạng:
+ r K 2 - Z 2 + - + rKK.ZK + + rKn.Zn + R ‘ k , = 0,k = l,n (10.4) Và: rK1.Zị +rK2.Z2 + + rKK.ZK + + rKn.Zn +R' k A = 0 ,k = l,n (10.5)
Sau khi giải các hệ phương trình dạng (10-3), (10-4) và (10-5), nội lực trong hệ siêu động xây dựng theo công thức:
Các biểu đồ (S iỊ, (sỊI), (sỊ1) được vẽ trong hệ cơ bản có thể tham khảo từ bảng 10-1 hoặc sử dụng phương pháp vạn năng Ngoài hai phương pháp chính xác đã nêu, bạn đọc cũng có thể áp dụng các phương pháp thủ thuật khác để giải các bài toán siêu tĩnh đơn giản như kéo, nén, uốn, xoắn, bao gồm việc sử dụng các phương trình tĩnh, điều kiện tương thích của chuyển vị, phương pháp thông số ban đầu, và định lý cực tiểu thế năng của Menabrea.
1 ( 0 M - diện tích biểu đồ mômcn uốn do tải trọng gây ra trong dầm đơn giản có hai đầu khớp và được tính theo chiều dài nhịp
2 X và p - các tỷ số khoảng cách từ trọng tâm của diện tích Ũ)M đến đầu trái và đầu phải so với chiều dài nhịp.
3 RỊỊ và R', - phản lực tại đầu trái và đầu phải thanh do tải trọng gây ra trong dầm đơn giản có hai đầu khớp.
3 Phương pháp Vạn năng (VN)
Phương pháp Vạn năng là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán tĩnh định và siêu tĩnh, có khả năng xử lý tải trọng tĩnh bất động và di động, vượt trội hơn so với các phương pháp chỉ cho nghiệm dưới dạng nội lực.
Nó cung cấp nghiệm chính xác và toàn diện cho bài toán, bao gồm cả nội lực và chuyển vị, mà không cần sự hỗ trợ từ bất kỳ phương pháp cơ học nào.
Nó dược gọi là Vạn năng theo nghĩa đó.
Dưới đây là công thức của phương pháp Vạn năng trong các cấu kiện chịu uốn, xoắn, kéo (nén):
Dạng ma trận chung cho các loại bài toán.
Trong trường hợp chịu lực tổng quát véctơ các đại lượng cần tính Si (z) ở mặt cắt z bất kỳ thuộc đoạn i, gồm các thành phần chuyển vị thẳng Vi(z),
Các chuyển vị góc cpxi, ọ zi, mômen uốn Mxi(z), mômen xoắn Mzi và lực cắt Qj(z) cùng với lực dọc Nj được xác định thông qua véctơ Si(z) theo công thức tổng quát dưới dạng ma trận.
Trong trường hợp 1’i * const và Ejjị = const với mọi “i” ta có dạng biểu diễn tổng của Si(z) trong uốn ngang phẳng: m=l,n /
V ô ) - I i=i EJ EJ o , O s cr> ì +Aq()i^ + Aq0i-^- + Aq;)i^ - ;
M,„ (z) = X ( m ;)1.O0 + P u ,O , + Aq(), ,0 2 + Aqoi o , + Aq()i , 0 4 ) i = l m -1 ■ n Qn,(z) = X (Poi ^o + Aq^.O, +Aqoj.(D2 +Aq;')i.Ov ) i=l
( 10 11 ) m = l, n là tên gọi của đoạn thanh thứ in tròn đó cần tính Sm(z)
Trong các công thức trên:
Ej — môđun đàn hồi kéo (nén) của vật liệu của đoạn thanh i;
Jj - mômen quán tính của mặt cắt ngang thuộc đoạn i đối với trục trung hòa;
AVol là lượng chuyển thẳng bổ sung vào đầu trái đoạn i tại điểm nhảy V tại z = aj_ị A(poj là góc xoay bổ sung vào đầu trái đoạn i tại điểm nhảy (p tại z = a) Đối với thanh có cấu trúc liên tục, khi hàm cần tính V và (p là những hàm trơn, thì AVoi = A(poi = 0 khi Vi > 1.
M q ¡ là mômen uốn ngoại lực tập trung ở đầu trái đoạn i (ở mật cắt z = aM). p„j là ngoại lực tập trung ở đầu trái đoạn i ( ở mặt cắt z = a¡_,).
Aqoj, Aqơ, Aq0j là các bước nhảy của tải trọng ngang phân bố q(z) và các đạo hàm của nó tại điểm "Oi" (mật cắt (i-1) với hoành độ z = aM) Trong phương trình (10-7), tất cả các ngoại lực đều có dấu dương, nhằm tạo ra các nội lực dương theo quy ước trong lý thuyết.
ASoi = {A(p0i, M ỏi, Ama , Am0i, Am0i, } g ,
ASoi = I Auoj, Pqì, Aq0ị, Aq0j, Aq0j, | o o
N m(z) = ¿ [p 0icb() +Aq0jO, +Aq0i0 2 + Aqoid)3 + ] i = l
II - CÁC BÀI TOÁN GIẢI MẪU
Dầm siêu tĩnh một nhịp mặt cắt thay đổi chịu tải và liên kết như hình M I0-1 Đoạn 0—1 là thép I„ có J| = Jx = 9840cm4, đoạn 1-3 là thép
I4(I có J2 = J ị = Jx = 19062cm4 Tính độ võng, góc xoay lớn nhất và tính ứng suất pháp lớn nhất trong các đoạn dầm?
Phương trình Vạn năng áp dụng cho toàn bộ dầm và điều kiện liên kết tại đầu cuối cung cấp các đại lượng cần tính tại gốc tọa độ “O” và ngàm “3”.
Giải hệ phương trình trên ta đi đến: Ọoi = 1,379.10 2 rad; R()1 = 236,4 kN; R, = 373,6 kN;
Thay các kết quả này vào phương trình Vạn năng đối với mỗi đoạn: Si(z) = [B ,]A S oi ; s 2(z) = [B ,][ b ; ] a s ô ,+ [ b 2( z ) ] a s ằ2 s.i(z) = [B ,( z ) ] [ b ; ] [ b ; ] ASm + [B3( z ) ] [ b ; ] AS 02 + [B, (z)] ASos
Như đã rõ trong lý thuyết [ b * ] nhận được từ [B;(z)j khi thay (z - aM) bằng chiều dài đoạn “i” là lị
Các biểu đồ (V) và (cp) hình M 10-lb , c cho thấy tại: z = 247,2, V = ỉ VmJ = l,893cm z = 0, ọ = I