Giải tích ii

Trang 1

PGS TS VŨ VĂN KHƯƠNG (Chủ biên) -

TS PHAM HONG NGA — TS NGUYEN SY ANH TUAN

GIẢI TÍCH II | TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI-C0 SỐ 2

THƯ VIỆN | 004209 GE

Trang 3

LỜI NĨI ĐẦU

Để hồn thành mục tiêu đào tạo của Bộ Giáo dục và Đào tạo và hoàn thành việc biên soạn giáo trình giảng dạy theo chương trình khung Giáo dục đại học đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định, Bộ mơn Tốn Giải tích Trường Đại học Giao thông vận tải biên soạn bộ Toán giải tích gồm 3 tap:

Tập 1: Tốn giải tích I (phần 1) gồm 4 chương (Chương 1,2 do Tiến sỹ Nguyễn Sỹ

Anh Tuấn biên soạn, Chương 3, 4 do Tiến sỹ Vũ Văn Khương biên soạn):

Chương I: Hàm số, giới hạn, liên tục

Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàm một biến

Chương 3: Tích phân bất định Chương 4: Tích phân xác định

Tập 2: Tốn giải tích I (phần 2) gồm 3 chương (Chương 5,7 do Tiến sỹ Vũ Văn - Khương biên soạn, Chương 6 do Tiến sỹ Phạm Hồng Nga biên soạn):

Chương 5: Hàm nhiều biến

Chương 6: Phương trình vị phân

Chương 7: Phương trình sai phân

Tập 3: Tốn giải tích II gồm 5 chương (Chương 8, II do Tiến sỹ Vũ Văn Khương biên soạn, Chương 9, 10 do Tiến sỹ Nguyễn Sỹ Anh Tuấn biên soạn, Chương 12 do Tiến

sỹ Phạm Hồng Nga biên soạn):

Chương 8: Lý thuyết chuỗị

Chương 9: Tích phân bộị

Chương 10: Tích phân đường mặt Chương I I: Lý thuyết trường

Chương 12: Hình học vi phan

Bộ Toán học cao cấp này nhằm cung cấp các kiến thức toán học cơ bản của Giải

tích toán cho các kỹ sư và cán bộ kỹ thuật Chúng tôi đã xây dựng chương trình chọn lọc, mang tính kế thừa các kiến thức đã được học ở bậc Trung học phổ thông Nội dung của ba quyển toán này chứa đựng đầy đủ kiến thức toán mà Bộ Giáo dục và Đào tạo đã _ quy định cho một trường Đại học kỹ thuật Ngoài việc biên soạn lý thyết từng chương ngắn gọn, đầy đủ, có tính khoa học cao, chúng tơi cịn biên soạn phần bài tập khá phong

phú và công phu giúp cho sinh viên tự luyện tập và kiểm tra kiến thức tiếp thu một cách

thực thụ của mình Chúng tôi rất muốn sinh viên nắm chắc những kiến thức toán học cơ

bản này để có thể tự tin bước tiếp và nắm bắt các kiến thức toán học tiếp theọ

Vì thời gian biên soạn gấp gap nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong các bạn đọc các đồng nghiệp góp ý kiến để chúng tôi sẽ chỉnh lý, bổ sung ở lần tái bản sắp tớị Mọi góp ý, chỉ bảo của độc giả xin gửi theo địa chỉ: Bộ mơn Tốn Giải tích, Trường Đại học Giao thơng vận tải, Phường Láng Thượng, Quận Đống Đa, Hà Nộị

Trang 5

MỤC LỤC

- Lời nói đầu 3

Mục lục a)

Chương 8 Lý thuyết chuỗi 7

8.1 ChuỖi SỐ 02021 nn S1 HH nh kh nh nho 7

8.2 Chuỗi số dương -< c„.„ TƠ

8.3 Chuỗi có dấu bất kỳ Lo cvgeeuteeeeteunetesens 14

§.4 Chuỗi đan dấụ ¬ 15

8.5 Chuỗi hàm Su Vy va Lecce cece nee n ence eee teenies 17

8.6 Chuỗi luỹ thỪạ c2 n2 nnn ng nh nh nhe reo thu 20

8.7 Khai triển một hàm thành chuỗi Taylor và chuỗi Macloranh 27

8.8 Chuỗi FOUTIi€T 2 2Q 2 ng nh nh ha 36

Bài tập chương Ñ 000000 nh ke ke nhẹ 42

Đáp số bài tập chương 8 cọ TH na 46

Chương 9 Tích phân bội 49

9.1 Tích phân hai lớp . Lecce 49 9.2 Ung dụng của tích phân hai lớp ba 69

9.3 [ích phân ba lỚp Q0 Q ng HH nh HH kh eens 78

9.4 Một vài úng dụng của tích phân ba lớp "¬ 2.2.90

Bài tập chương 9 ncn eet ene ent e vn 93

Đáp số bài tập chương 9 e teen ences 95

Chương 10 Tích phân đường và tích phân mặt 96 {Ọ1 Tích phân đường loại một cằằ 96 10.2 Tích phân đường loại haị Ledeen eee " 100

10.3 Tích phân mặt loại một "¬ cee cee e cence eeeee 111

10.4 Tích phân mặt loại haị 113 Bài tập chương lŨ enn eee nent een nees 120

Đáp số bài tập chương lŨ 2Q nh 123

- Chương 11 Lý thuyết trường 124

11.1 Trường vô hướng cccc c2 ch 124

11.2 Trường véctơ ccc cues eevecececustetvseesrees 131

Bài tập chương lÌ e beeen eens 139

Đáp số bài tập chương lÍ Leelee eee "—— 142

Chương 12 Hình học vi phan - 144

12.1 Hình học vi phân trong mặt phẳng mm 144

12.2 Hình học vi phân trong không gian 153 Bài tập chương 12 ccc eee ene tenn va 159

Trang 7

CHƯƠNG 8 _ c

LÝ THUYẾT CHUỖI

8.1 Chuỗi số

Tổng vô hạn của các số ø + a¿ + aạ + + đ„ + .{1) được gọi là một chuỗi s SỐ

Số hạng thứ ø của chuỗi a„ được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi (hay số hạng

thứ m của chuỗi) Sy So S3 a1; đ + 02; Qa, + ag + a3; Q, + Q.+A3 + + Gn

S, dugc goi la t6ng riéng thit n cla chudi (1) (gdm cé n sé hang đầu tiên của chuỗi

cộng lại với nhau) Lễ tự nhiên, ta lấy lim S„ nếu giới hạn này tồn tại, bằng giá trị

LOO

hữu hạn S (|S| < +00), thi chuỗi số (1) được gọi là hội tụ tới giá trị 9 hay là tổng

của chuỗi số (1) Tà viết:

S = lim S„ = lim (ai + øạ + + đạ)

T,—CO NOS

oo

= Dan n=1

Khi đó chuỗi số (1) được gọi là hội tụ Trong trường hợp ngược lại (tức là hoặc -

lim S, = oo hoặc # lim Š„) thì chuỗi số (1) gọi là chuỗi phân kỳ

n- CO N— 00

Vi dụ 1 Xét sự hội tụ của các tổng sau:

Trang 8

Gidị a)

Vay néu |q

Với ạ = ]

Sr = lim (uy +4 wig? + + wig’ *) NOC

- , tì my nếu |g! <1 = lim 1% = ¿l— noe g—Ì 0° nếu |g| > 1

< 1 thì chuỗi hội tụ |¿| > 1 chuỗi phan kỳ

chuỗi trở thành

oO

Sou =utut.itự.= lim S, = lim n.u, = ọ

NO t—->

a=]

Vậy chuỗi phân kỳ Với q = —1, chuỗi trở thành i œ

ị 3 (S1)? = U — tị + Uy Ủị + + ( -1)”a + ' Xét li nm lim noo ma Uy # 0 Tóm lại, tổ b) n=1

im So, = lim [(ứa =- ị) + (0ì = tị) + + (mị — 0ì)]

yr OO NIX

= lim n(uy - uị) = lim n.0 =0

: Tì- +

H => 1L F OS

do đó #'lim S,, Vay chudi phan kỵ

?)—>C

ng vô hạn của một cấp số nhân

Uy we 5 a —— nếu |q| < 1 tị đứng” + ung whe cs 1, 4 , oC néu |q| > 1 TF OO 2 3 , Th nL + 1

Vậy chuỗi hội tụ và ta viết

x 3 Pood pd ey n{n+1) 1.20 23° n1) n=]

Somer <= lim (up: uy) Em uy) Ab (uy ty) + uy] = Uỵ

Trang 9

c) Chuỗi phân kỳ, xem chứng minh ở câu a)

d) AC

tạ |

2 3 4 5 6 7 8

sp4saeg sy ty iỷ 2 4 4 8 8 8 BT 16 pags 16 teẹ 16 =1+1+2.11+41128-L + .+ 2” +

— |b 9 ‘4 "3 16 `2n+1 wee

=1+ 2+2 +32 + =l+ li Le

el+54+5+5 2 Tàn 5 TH HẦU 7a T ĐỌ

Vậy chuỗi đã cho có tổng bằng +-œ, nên nó phân kỳ

Định lý 1 (Điều kiện cần của chuỗi hội tụ) Nếu chuỗi

SG

So an = a4 + đạ + + An +t (1) m1 : `

hội tụ thì số hạng tổng quát tiến tới 0 khi n —> oọ

Chứng minh Theo giả thiết tin Sn = 5S; |ð| < +00

Tacé lima, = lim (Sn Sy) Se S = 0

NAP THOS

Cha y:

a) Néu chuéi S>™, a, hoi tu thi lima, = 0 Diéu nguoc lai néi chung khong SN

1 N~FPOO

= +00, phan ky, nhưng vẫn có lim ø„ =

NCO

đúng Chẳng, xét chuỗi $7*~° n=]

1

lim — = 0;

VA tO 77

b) Néu ta cé hoac flim ø„ hoặc lim a„ 4 0 thi ta khang dinh chudi (1) phan kỵ

1-9 OO Te OO

Vì nếu nó khơng phân kỳ tức là hội tụ, mà theo điều kiện cần của chuỗi hội tụ ta có lim ø„ =0 Vậy điều này lại mâu thuẫn với giả thiết

AOS

Ví dụ 2 Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:

n

ay gay) 3 - 1 Gb ©) Soyer cos

Giaị a) Ta xét lima, = lim a = ~ #( Vay chudi đã cho phan kỵ

TL? OS: The CO

b) Ta di cé ménh dé sau lim a, == 0 <=> jim n |a„| = =0 Vậy lim H đụ FOS

1i—>OC

lim Jø„| # 0 Xét lim Ja„[ = lim |(=1)”| = r1 z 0 => lim (— 1)” » 1 Vậy chuỗi

?i+>©o

Trang 10

c) Gia thiét rang lim cosn = 0 = > lim cos(n + 1) = lim cos(n — 1) =0,

n—+00 T—>©O noo

lim cos(n + 1) = lim (cosncos 1 — sinnsin 1) = 0,

n—-oCo M00

lim cos(n 1) = lim (cosncos 1+ sinnsin1) = 0

nC 100

Do gia thiét| lim cosn = 0, tir do suy ra Slim sinn = 0 ‘Ta lại có đẳng thức

T,—>C©O men

cos2m + sinln = 1 Vn Vậy tim n (cos? n+sin?n) = lim cos*n + lim sin?n =

Noo T?:—©©

0+0 =1 Vơ lý, vậy khơng thể, có lim cosw = 0 Ta chỉ có được lim cosn z# 0

NICO NF OO

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

Tính chất của các chuỗi hội tụ

a) Nếu chuỗi "55 a„ ‘hoi tụ và tổng bằng S thi chudi Dns “(ạdn) (@ 1a một số

cố định bất kỳ) cũng hội tụ và có tổng bằng œ ae = On = a8;

b) Cho hai thudi hoi tu S3*2 a, §ˆ*® b„ và có tổng tương ứng là S, va Sy khi

đó các chuỗi S775 (an, +b„) cũng hội tụ và có tổng tuong tng 1a S, +: 52 Tức n=l

+oc

So (an + bn) = » + Shy = = S, + Sp;

n=l] n=l n=]

¬ +co

| (a„ — b n, )= Yom yn = 9) - Sọ

1 n= 8.2 Chuỗi số dương Chuỗi _ ` 8 | dn = 0i +as+ .+@„ + d„ >0 Vn = 1,2,3, (2) = = IL

_ được gọi là chuỗi số dương

Cho chuỗi Số dương (2) Day cdc tổng riêng của chuỗi 2) đơn điệu tăng, tức là: S, =a, < 52 =a, +42 < S3 = 0, + a2 +03 << < Sy < Š„‡¡ < Vậy nếu dãy {S,} bi chan trên tức là tén tai Mf > 0 sao cho 9< M Vn thì 3lim S„ = S< M

_ Khi đó chuỗi đã cho hội tụ "

Ví dụ 3 Xét sự hội tụ của chuỗi số dương

Trang 11

Ta đi chúng minh dãy các tổng riêng của chuỗi số dương này bị chặn trên Thật vậy, la có 3 = 1 1 1 1 "T1 12211 2211 7 2m41 1 i 1 1 ott, ty 2 | 2.92 24 Qn 1 -4

Vậy chuỗi số dương đã cho hội tụ tới một giới hạn Š < 1

Còn nếu dãv các tổng riêng không bị chặn trên thì chuỗi dương đã cho có tổng bằng +oọ Vậy trong trường hợp này chuỗi phân kỳ

Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương

| Tiêu chuẩn so sánh,

Định lý 2: Cho hai chuỗi số dương 5ˆ ¬a bs am b,, va Vn > nạ nào đó trở đi

ta có a„ < b„ Khi đó nếu chuỗi sre eb hội tụ thì chuỗi È”„“ a„ cũng hội tụ, còn nếu chuỗi Sor) an phân kỳ thì chuỗi 57 ^) b„ cũng phân kỳ (bạn đọc tự chứng

minh)

Tà thường sử dụng dưới dạng giới hạn sau:

¬::

b, Néu lim— =k, 0<

N00 On

Dinh lý 3: Cho hai chudi sé duong S377 an, 2725

k < +00 Khi do ca hai chudi S077) aỵ 92755 bn cing hoi tu hoac cing phan kỵ

1

Định lý 4: Chuỗi số dương 3` — hội tụ nếu œ > 1; phân kỳ nếu œ < 1 (ta sẽ na chứng minh định lý này ở phần tiêu chuẩn tích phân)

Vi dụ 4 Xét sự hội tụ của các chuồi số đương sau:

mm ?ì + 2

ay `” =——— Lani] 2m2 + 5n - 3 b) 3Š)“ (1 - cos— fanz] ( ~)

) 00 d) ` ree 1

tim] n„.2n N=] Jn

" có cài rl l ne số Giaị a) Xét liam | —~————— : —]} = lim mean} = = ma chuoj

now \ Qn? +5n -3 on max2dn? 4 3n - 3 2 c^ ]

uae 7 j-oc phan kỵ vay chudi da cho cing phân kỳ

yn l ¬¬ x: 1 5 a Rae at

b) donot on < nel 7T TC 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ

¬ gt 2 aix bạ x:

c) | (1 : COS ¬) = 2sin*- ~ chudi 07) — hoi tu via == 2 > 1 Vậy chuỗi ons THỊ ne

đã cho hội tụ

Trang 12

Ị | 1 1 d) —= = Tah kỳ 1 : x:

Vn > 2 => SS — > SS — = +00 Vay chudi da cho phan | > i 3

2 Tiéu chudn Dalambe

Gy

Cho chuỗi số dương 3® a„ Giả sử tồn tại giới hạn lim = D:

N00 On

_ +.Chuỗi hội tụ nếu D«<t;

+ Chuỗi phân kỳ nếu D > 1;

+ Chưa kết luận được nếu ? = 1

Ví du 5 Xét sự hội tụ của các chuỗi số cone sau:

3"._n , 1.3.5 (2n — 1)

°o +©o +00

a) Lise 2m b) 2= c) Me 24.6 2n

Gidị Ap dung tiêu chuẩn Đalămbe cho các chuỗi SỐ dương này ta Có: mt 1 2" ln+il oil

a) | nh, 3m n = jim 5 Th = 5 < 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ

3"“l{Íp+ 1) nh 3 3 ¬ —

—® im - (n 4 1)41 “37 nl = pe (EET) =s> 1 Vậy chuỗi đã cho phân kỳ 1.3.5 (2n — 1)(2n+ 1l) 2.46 (2n) — i 2n +1

li = =] Vay tr

O94 6 2n (Qn 2) 135.(In—- 1) me In 4D ay bone

trường hợp này chưa kết luận được, ta phải tìm cách khác

ụ _ L3.5 (2n — 1) ` 124 _2n-l12m_ vu yi 1

"= —946 an ~ 2 2 5° 2n-1'2n "Un Âm

I 1

= vm 4n 2 > ~—~ —— Un , aR 5K:

1

Từ đó es Un > = sàn ¬T7 phân kỳ via = 5 < 1 Vậy chuỗi đã cho phân kỳ Chú ý:

Néu lim “#1 = p > 1 thi theo tính chất của giới hạn dãy 4no € N* sao cho

NCO Oy

Yn > no: net > 1, hay dn) > an Vn > nọ Điều này c6 nghia 1a Gny < Ano41 <

đng+2 < củ <- Vậy tim An > An > 0 => im Gn F 0 3 Tiêu chuẩn Côsi

Cho chuỗi số dương Ề”®? a„ Tà xét lim {au, = C Khi đ

Néu C < 1 thi chuỗi đã cho hộị tụ; 7

Nếu C > 1 thì chuỗi đã cho phân ky;

Néu C = 1 thì chưa kết luận được gì

Ví dụ 6 Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau:

% Qn n og (n+ 1 n? — vo (7 ~1 n

omS(ey) ems) om (SS)

12

Trang 13

Giớị Tà sẽ áp dụng tiêu chuẩn Côsi cho ba chuối số dương nàỵ

2n N” 2n 2 -

a) lim lỆ " )= lim m— = > < 1 Vậy chuối đã cho hội tụ

TOW m— 1 noo 3n — 3

n?

0 +1 1

b) lim ic: ) = lim (1 +

N00 TL 1 OG

n-1\" ~1

€) lim (9 = lim — = 1 Ta chưa có kết luận gì Trường hợp này

3 | ) =e >1 Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

ta phải xét bằng cách khác

ned 2 ì 1 —m aT

lim ự ) = lim (1-5) | =e l=-#ø0

1-00 n NOS n I: ‘ Ee -ˆ Vậy chuỗi da cho phan kỳ

Chú ý: Cũng giống như trường hợp Dalambe nếu lim 3/a,, = c > 1 sẽ tồn tại

NOS

N €N* saocho Vn > N: a, > 1 Vay lima, > 1 Có nghĩa là jim 1 Gn #0 (diéu '

n—OO

nay can cho vé sau !)

4 Tiéu chuẩn tích phân

Giả sử hàm ƒ(z) liên tục, dương và + điệu giảm trên [1, ø| với mọi ø > Ì, đ„ = ƒƑ(n) Khi đó tích phân suy rộng ff ƒ(z)d+ và chuỗi số dương Š`^ ƒ(n) =

ye ¡ đ„ cùng hội tụ hoặc cùng phan kỳ

Ví dụ 7 Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau:

1 cư 1

ne] no La 1 ¬ In?

1 =

- Giảị a) Nếu œ < 0 thì lim — = lim n7*? = +00 #0 Vay chuỗi đã cho phân kỳ

TIF OD ne NOS

1

Néu a = 0 ==> = — =10Vn Vay chuỗi đã cho cũng phân kỳ

¿ 1

Nếu a > O thi ta xét hàm số ƒ(+) = — liên tục, đơn điệu giảm Vz € [1,+oc] và

re

1

f(n) = — n i

Vậy sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi aan — va tích phân suy rộng loại mội: Ặ no fr —— là như nhaụ Tà đã biết trong tích phân suy rộng

Trang 14

b) Xét hàm f(x) = Vz > 2 Ta có z.Ìnfœ 1 —1 In? z + qz.(In” +) _ (q+lnz)m®1z z2 In”? z +z2In”zxˆ | fi(z)=- |

với g là một hằng số cho trước, bao giờ cũng tìm được zọ > 2 sao cho V+ > zọ thì

(q+ Inz) In?) > 0 Vay ƒ) < 0Ú; Vz > zọ hay y = f(x) đơn điệu giảm trên [zo, +©) (In x)!-9|*°° từ đó: l¬q zọ z co 1 -; 00 _ Xe J2” 2 ggdr= [2 2) 94s) =

+ Tích phân hội tụ néu g > 1; + Tích phân phân kỳ nếu g < 1

8.3 Chuỗi có dấu bất kỳ

| `

Trong phần này ta xét chuôi với các số hạng có dấu bất kỳ -

Định lý ð Nếu chuỗi số dương ys Jan hoi tu thi chuỗi 3 n=] a„ cũng hội tụ Trong trường hợp này ta nói chuỗi 3® a„ hội tụ tuyệt đốị Vì chuỗi 32" |aa|

là chuỗi số đương, vậy ta có thể áp dụng được các tiêu chuẩn đã xét ở trên đối với

nó Có thể xảy ra trường hợp sau: Chuỗi 32 la„| phân kỳ, còn chuỗi 57*°5 a, hội tụ, khi đó ta gọi chuỗi 3 ”,=) a„ là bán hội tụ tuyệt đối hay hội tụ tương đốị

Ví dụ 8 xr sự hội tụ của các chuỗi sau:

4 sin na oo (- 1)” a) nis b) }) ne im an , Loe ụ too | Si NO ốc | a i

Gidị a) Xét sàn —a| vn ¬ Chuỗi 3` tan s hội tụ vì a = =2>1

Vậy chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đốị

1 nm 1 ¬ -

b) Xét 3 = | = 77% — = +00 Vay chudi da cho khong hdi tu tuyét

n n

đốt

n=

hội tụ của H6 ở mục chuỗi đan dấu ở ngay dưới đây) Vậy chuỗi điều hòa đan dấu

-1)Ƒ Z

>> (<i bán hội tụ tuyệt đốị n

" »(-1)" „ của x ge KÀ ¬ = vs

Chuéi 577° ( ` có tên gọi là chi điều hịa đan dấụ nó hội tụ (ta sẽ xét sự n

14

Trang 15

8.4 Chuôi đan dấu

Chuỗi đan dấu là một trường hợp riêng của chuỗi có dấu bất kỳ Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng

st (@, a2 + a3 — ag + a5 ~ Ag + « )

GO day a; > 0 Vi =1,2,3,4,

Định lý 6 (Lepnit) Cho chuỗi đan dấu

(0 — đạ + ga — đa + 0s — dạ + ) (3) nếu dãy các số dương ø„ đơn điệu giảm, tức là

@ > 2 > 05> >On > Oni > Va lima, = 0

Tt—>OO©

Khi đó chuỗi đan dấu (3) hội tụ tới giới hạn Š < a,

Chú ý: Đối với chuỗi đan dấu dạng

—0 + đạ — 0x + đạ — = —Í[dg — đạ + gạ — đá + 0g — 0ạ + ] ˆ

_ mà chuỗi đan dấu trong ngoặc vng, chính là chuỗi đã xét vừa rồị Ví dụ 9 Xét sự hội tụ của các chuỗi dan dau sau

+ a ( 1)" Inn n b te ———— 7 ———— a) pean 1` ) “( zr,=] n c) 3n (— ` + 1 3a | +oc 1 xe : ve `

Giảị a) Xét SS = " mà "" +oọ Chuỗi trị tuyệt đối phân kỳ

~ ay 1 1.1 1 1 -

ét CÓ - >> ~> >_—> > lim — =0 Vậy chuôi đã

X met c5 1 2 3 n nti) "son, ay ue

cho bán hội tụ tuyệt đốị

"¬ Inn!) Ce | nang | woe “

b) Xét 5, ae = rs —> n AES ey tp = +oọ Vậy chuỗi trị tuyệt đối xử ~1 "Inn -

phan kỵ Con xét S77 (=1) "ta thay n

Inn In(r + 1

On = n > Ane = me) => (n+ 1)Inn > nin(n+ 1) n +

m+]

Inn?*) > In(n + 1)” => n"*! >(n +1)”

| nN ?ì

Ta da biét { € + ~) \ đơn diéu tang va bi chan trén bởi 3 Vậy bất đăng thức (4)

+?

Inn » 4:

dung Vn > 3 Cé nghia day — đơn điệu giảm từ số hạng thứ ba trở đị Mặt khác n

Trang 16

] l ôpitan 1

lim an QO vi ta xét lim at (2) eM im — = = 0 Vậy chuối đã cho bán hội

nN 00 NL E300 OL OO roar

tụ tuyệt đốị

Chay: 1 Nếu xét sự hội tụ của một chuỗi mà chuỗi đó không phải là chuỗi dương ‘thi kết luận phải trả lời là chuồi đó có hội tụ tuyệt đối không ? chuỗi đó có bán hội

tụ tuyệt đối không ? chuỗi đó có phân kỳ khơng ?

2 Nếu dùng tiêu chuẩn Đalămbe hay Côsi mà biết chuỗi 3Đ^° |a„| phân kỳ, thì

theo nhận xét ở phần trên chuỗi 577% ø„ phân kỳ vì im lan| Ù => Jim An # 0

Ví dụ 10 Xét sự hội tụ của các chudi sau |

I 7 2" oa „1.3 (2n — 1) a) deni (= 1)” sin „ b) 3i (=1) ơ â) >3Ă( =1) Sa ynin(n ') 5 (-1)" d + + : ) dn BC nà ©) an Jn — (- 1)" : |

Gidị a) Xu ¡ |(—1)"sin m = 2= sin = Ta c6 sin = ~ = xét chudi

i TEA OK

| _ “a1 _ 3

| Yang 3n = 7 2„ 6) = ms - I = 2

Vậy chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đốị

21 - gn

b +00 ~] an | A EOS —,

) Donat | "= nỗ | | = nel nỗ

Xét lim —- ee = = -„ = lim - Vậy lim —- = +oe #U

Eo toa" Peto Oop POG 5! Nemee opp? Chuỗi đã cho phân kỳ

1.3 (2n — 1) c¬+œ 13 (2n— 1) „ ¬¬ te pa

Cc) re | 7 iy” Sa = ung — 751m Theo một vi dụ đã xét ở

phần trên, chuỗi số dương này phân kỳ Vậy chuỗi đan dấu đã cho không thể hội tụ tuyệt đối được Ta sẽ chứng minh chuỗi đan đấu nàn thoả mãn định ly Lepnit

1.3 (2n — 1) 1.3 (2n 1)(2n + 1) Thật vậy, đ¿ = ——————— > ne] uw NEY: On 24 Ðn tài TH, +2) =-> 2n + 2 > 2n + l luôn đúng 2 — L8:5 (2n = 1) - 246.20 1 " 2.4.6 2n 3.5 (2n—1)(Qn4+1) a,(2n4 1) 1

0O<an< => lima, = 0 Vậy chuỗi đã cho bán hội tụ tuyệt đốị

Trang 17

Inn | Inn 1 1 ˆ Ing

_ Tà có0< : , Yn > nạ nào đó vì lim —= =0

n2 ăn nựn ` n3⁄2 z—>+oœo Jr

—

n=no 7 5 hoi tu, vay chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đốị

or +e (-1"ƒ/" + (—1)"] ©) srg ‘vn — op" —1)" ~ ca Mà chuỗi 5Š“ m„— ] (1) mn 1 =5 mm] vn + n 1 - 1 1

Dua vao dinh ly Lepnit, ta thay $7*°S re hội tụ, còn ) “n1 +00

Vậy chuỗi đã cho có tổng bàng +œc có nghĩa nó phân kỳ

8.5 Chudi ham

Chuỗi hàm là chuỗi mà các số hạng của nó là các hàm của biến độc lập, có cùng một miền xác định nào đó:

À ă2) = trị (2) + u(t) + g(a) + + tUu(#) + (5)

Nếu cho z = zø nào đó thuộc 2 mà chuỗi số

-+—-œ=

» thọ (0) = Mị(2o) + ạ(#0) + 0ạ(40) + + 8s(#o) +

n=]

hội tụ thì z¿ được gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm (5) Tập hợp các điểm hội tụ

‘zo € D duoc gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm (5) kí hiệu là X CD Tổng riêng thứ n của chuỗi hàm (5) ký hiệu là

Š5(1) = MỊ(®) + 12() + + Un (2)

Nếu lim S„(z) = S(a) thi ị được gọi là tổng của chuỗi hàm (5) Khi đó

NOX

S(z) = Jim Sie) = S05 ual Sx) xác định trên miền hội tụ X C Ð

Ta goi (7) = s Tì Sy (2) = Unga (2) + Ung ăc) + duoc goi 1a phan,du thứ n cua

chudị Vay S(r) -S,,(r)4 R07) Dé thay lim S,(7) © S(r) < > lim R,,(2) = 0

! + BA OD

Các bước tìm miền hội tụ của chuỗi hm:

ơđ 1() ta thc hiện các bước sau:

+ Tìm miền xác định chung j2 của các hàm u,(x), Vn = 1, 2,3,

+ Ứng với mỗi z € D, chuỗi hàm trở thành chuỗi số, ta có thể áp dụng các tiêu

chuẩn hội tụ đã biết để khảo sát chuỗi số Š`“^® +„„(z) Tìm điều kiện cần và đủ đối

với + để chuỗi số đó hội tụ TRƯỜNG | al HOG GIAO THONG VAN TẢI-CƠ SỐ 2

Ví dụ I1 Tìm miền hội tụ của các chuỗi na AU VIEN

004209 Để tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Š”

Trang 18

a) +20 ¬ | _b) re eon c) xe SẮP ay 90 n Ị d) re (3 — +?) : e) ) 1+ en om nh x vị“ ` z x: +00 ae x- ` ~

Giaị a) Ta da biết trong phần trước, chuỗi 5 `„^ a hội tụ nếu z > I1, phân kỳ nếu

<1 Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm này là X = (1, +00)

b) rie e-", Ta dat ẽ* = q(x),

+oo néu late )| >1

` (2) = 36t = 4 ân l nế lữ) =1 n=l ăz) néu

Tu q(z)| <1

| | T= q(z) nến

Ta thay g(x) = e* > 1 néuz < 0 vA 0 < q(z) < 1 nếu z >0 Vậy miễn hội tụ của chuỗi da cho la X = (0, +00)

c) rs Ân): miền xác định của chuỗi là D = R\{0} Khi z > 0 chuỗi +

sœ L_

trở thành n=1 n — = +00, - phân kỳ

- wo ak —]1)? wt ea ay ,

_ V6i z < 0, chudi tré thanh 5 te CỤ , chuỗi điều hòa đan đấu hội tụ theo tiêu =l n

chuẩn Lepnit Vậy miền hội tụ của chuỗi X = (—oo, 0)

đ) )21(3—z?)” Đây là tổng vô hạn của một cấp số nhân ạ = 3 +? Nó hội tụ khi và chỉ khi |g| = |3 — z?|< 1«>—1< 3—z?”<1«2<z? <4 Võ < (rl <2

Khi đó chuỗi phân kỳ nếu |z| < v2 hoặc |z| > 2 Đáp số của bài toán này là X=(2<#<-v20(v8<z <9) 9) Dns! Tan tre 1 ` Nếu |z| < 1 |thì ta có Am 1, mà )})“1=1+l+ +1+ =+œ, ¡ T?,— CO chuỗi phân kỳ ¿ Tu 1 Co ] 1 1 1 x:

Nếu |z| = 1 thì Tử săn — g; mà 5 =s tạ + + = +oo, chuối

„phân kỳ _

: 1

ey L\" ye (1) i,

Nếu |z| > 1 thi mm (=) , mà doy (5) = 1ˆ =] (tong

; z2

của một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội bằng 0 < =s < l1) Vậy đáp số là x

(—œ, —1) U (1, +œ)~

Ví dụ 12 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau đây a) 3S sin nz +eø (1)! 1

meta b) Se ——

we pes rin

18

Trang 19

9E5mmx onsets) n(Inz)* "=Ở2n +1\1+

Gidị a) sin ne < } ma ye I hội tụ vì n3 S nZ? 24 +2 n2 3 n=1 n2 ng hội tụ via = : : 2>] Vậ Vậy miền hội tụ của ay lên hội t ° a

chuỗi đã cho la X = R = (—c, +00)

| (— 1)" | +00 1 1 :

b) Xét ————-] = , ta cd ~ — khi n > oo, ma

) Dna 1) gin Daneel +2 + etn on

+o 1 x: an +

2ï — = +©ẹ Vậy chuỗi đã cho không hội tụ tuyệt đốị n=1 n _ , (-1)""!

Xét chudi di cho 577° ~-—-

Donal z2+m

điều kiện của tiêu chuẩn Lepnit không:

1

Day là chuỗi đan đấụ ta xem nó có thỏa mãn hai

¬ =———h‹ = œ„, do đó {a„} đơn điệu giảm Mặt khác

mm tnt rạn o™ {an} us

lim Pan = 0 nên theo tiêu chuẩn Lepnit, chuỗi đã cho hội tụ Vậy miền hội nT? +7,

tụ là Vz: X =lR=(— œ, +o©)

‘ 1 | +©o 1 oo OG

c) Xét ) rs ¬ n(In x)” | —————lI = onal n| In x\|” _ = n=1 Qn, ta CỐ

1m|Inz[” 1

lim “®#! ~ lim

n—>Q6 hy 18 OO (n + 1)| In ait} | In z|

x woe 1 |

Chuối hội tụ tuyệt đối nếu jing] <1lInz| > l1 << lnz >1 V Ìhz< -l<= ilnz

1 à ; ` 1s

z >e V z< ~ miền xác định của chuỗi đã cho là 0 < z # 1 €

1 cau

Nếu |ln z| =Ithì z =e V z= - Khi đó: e

Với z = e chuỗi đã cho trở thành re ~ chuỗi phân kỳ 2 ( a 1)”

Thư | n

Với + = c”!, chuối đã cho trở thành ` chuỗi hội tụ

, hà, 1]

Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là X = (0 a U (e, +00)

< 6 _ [(-1)" f/l—2\"! v 1 jl—2zl” d Xét ™ +00 ` - — eo ) Xét uc 2n + 1 (; + ~) | dome „+ 111+#z

miền xác định của chuỗi đã cho là z # 1

Tại z = 1 chuỗi trở thành S”^ 0 =0+0+0+ +0+ =0 Vậy chuỗi hội tụ

Trang 20

` Với c= 0, chuỗi đã cho trở thành Se

“mién hoi tu là

s (— 1)”

n=l In + 1”

|0, +)

, hội tụ theo tiêu chuẩn Lepnit Vậy

ủa chuỗi đã cho lax =

8.6 Chudi lity thừa

8.6.1 Chuỗi lũy thừạ Bán kính hội tụ

Ta gọi chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng

Nếu ta dat x Vay ta chi xé Định lý 7 Œ sẽ hội tụ tuyể Chứng m tại M⁄ > 0 sa Xét chuỗi; +o aL n= (Tổng của má Vậy chuỗi 5] mọi z thỏa m Hệ quả: mãn |#| > |za| Thật vậy, thì theo phần -øg)” = dạ + 01(# — #o) + 0ạ(# — zg)) + + an(x - 29)" + Œ

—- zạ = X thì chuỗi (7) được đưa về dạng:

» Qn,(Z — #g)' => hy, X” | (8)

t chuỗi lũy thừa dạng (8)

Định lý Aben) Nếu chuỗi lũy thừa (8) hội tụ tại z = zo # 0 thì nó

t đối tại mọi z thỏa mãn bất đẳng thức jz| < |Zo|

¡nh: Vì chuỗi số S9 a„#ÿ hội tụ nén im a2 = 0 Do đó sẽ tồn

0 cho |a„zg| < M, Vn € Ñ Tà có +00 - +00 + n › Ana” = › Antg | — } - +0 n=0 n=0 vs) n +00 —Í <M.Š`|— „=0 |la„”| = S ld„g 0 : ?=D 1 EO “TT | Lo _ jal ;

t cap số nhân lùi vô hạn với công bội al <1 <=> |z| < |zo)) Xo

vo =g 8„#” hội tụ tuyệt đốị Nói khác đi, chuỗi (8) hội tụ tuyệt đối tại

ãn |z| < |zo| hay tại Vz € (—|Zol, |#ol)-

Nếu chuỗi (8) phân kỳ tại z = zọ thì nó sẽ phân kỳ tại mọi z thỏa giả sử phản chứng chuỗi (8) hội tụ tại giá trị z¡ nào đó mà |z¡| > |Zo| trên chuỗi (8) hội tụ trong khoảng (—|z|,]Z¡|) Đương nhiên chuỗi

20

Trang 21

(8) hội tụ tại zo € (—|z:|,|#i|) Điều này mâu thuần với giả thiết chuỗi phân kỳ tại

Tụ :

Tà thấy rằng khi z = 0 thì chuỗi (8) trở thành ao + a;.04+ a2.04 = aọ Diéu

đó chứng tỏ chuỗi (8) hội tại z = 0 Như vậy chuỗi lũy thừa (8) bao giờ cũng có ít nhất một điểm hội tụ đó là z = 0 Mặt khác, theo định lý Aben nếu z là một diém hội tụ của chuỗi (8) thì mọi điểm của khoảng (—|zo|, |zo|) đều là điểm hội tụ Nếu

z; là một điểm phân kỳ của chuỗi (8) thì mọi điểm của các khoảng (—œo, —|#|)

và (JZạ|,+oo) đều là điểm phân kỳ Vậy tồn tại một số R (0 < R < + œ) sao

cho chuỗi lũy thừa (8) hội tụ tuyệt đối trong khoảng (—F, ) và phân kỳ trong các khoang (—oo, —R), (R, +00) Còn tại z = + chuỗi lũy thừa (8) có thể hội tụ, có

thể phân kỳ | _

Số ? nói trên được gọi là bán kính hội tụ khoảng (— #, #) là khoảng hội tụ của

chuỗi lũy thừa (8)

Muốn tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (8) ta tìm khoảng hội tụ, rồi xét thêm sự hội tụ tại các đầu mút

8.6.2 Quy tắc fìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

Ta sẽ trình bày hai cách tìm khoảng hội tụ của chuôi lũy thừạ Cách 1 Dựa vào các định lý saụ

Dinh lý 8 Nếu lim [dor ‡ 1 = p thì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (8) được

IOC 0u | xác định như sảu ] - khi 0 < p < +00 (} “ÂU - khi p= +00 +00 khi p=0 z

Chứng mình Bên cạnh chuỗi (8) 3”) a„z”-ta xét chuỗi các giá trị tuyệt đối

+

Ja„2:”| (9)

n=0

Áp dụng tiêu chuẩn Dalambe (hoac Côsi) cho chuỗi số dương (9) ta có

+] ị

| 212 lQn+1|

lim iz} = pial

WoO |a„a+”| a +—> [am]

“Chuỗi (9) hội tụ nếu ø|z| < 1 khi đó chuỗi (8) hội tụ tuyệt đối V+ thỏa mãn

1 - , 1 La

|] < 2 =.HR <>+ -R <2 < R Con chuỗi (9) phân ky néu |x| > — = R Khi dé

p

21

Trang 22

| |

1

chuỗi (8) cũng phân kỳ Tóm lại, chuỗi lũy thừa (8) hội tụ tuyệt đối với |z| < 2 =R,

¬ 1 phân kỳ với bn > 2 =R Nếu ø = ‡too, Vz z 0 ta có lim Jan NOOO, lan| |z| = +œ.|z| = +œ > 1

_ Vậy chuỗi (9) phân kỳ Như vậy chuỗi lũy thừa (8) cũng phân kỳ Vz # 0 (chuỗi lũy

| ¬ ; 1

thừa (8) khi đó chỉ hội tụ duy nhất tại một điểm z = 0) cho nén R = 2 =0

- Nếu ø= 0 thì Jim la 2 Selle | =0.|z| =0 < 1Vz Vậy chuỗi (9) hội tụ với mọi

z Còn chuỗi (8) hội tụ tuyệt đối với mọi z, có nghĩa là # = + cọ Chứng minh trên dựa vào tiêu chuẩn ĐÐalămbe, còn nếu dựa vào tiêu chuẩn Cơsi

thì ta có định lý sau đây (Độc giả tự suy ra !)

Định lý 9 Nếu jim #⁄/|a„| = p thì bán kính hội tụ của chuỗi Ly thừa (8) được

xác định như Sau:

| : khi < ø< +œ

| MÀ

! ~~ V0 khi p = +00 +oo khi p=0

Vi dụ 13 Tìm miền hội tụ của các chuỗi °F Tay thừa sau:

xí ®œ& " | Tv a) n=) a7 b) ae lor Gidị a) Ta c6 p = lim noon + 1 Ẻ „^ (-1)” 1)” n

= 1 Vậy lề= - = 1 Miền hội tụ là (—1,1) Xét 1 ` ` ;

0 tại đầu mút ! = —1, ta có chuỗi $”2

tiêu chuẩn Lepnit

Xét tại đầu mut x = 1, ta nhận được chuỗi điều hòa yrs

kỳ | :

Day là chuỗi đan dấu hội tu theo

1 x

n=l T” +oo, chudi phan

Tóm lạị miền hội tụ của chuỗi đã cho là —1 < z < 1

i

| nÌ 1 -

b) p = lim - = <Q Vay R = +00 Chuéi đã cho hội tụ với mọi

)ø0= wi (i 1)! n+l ay œ , ` ,

x € (—00, +00)

I x > as '

c) p= lim vn" = limn = +00 <=> R= — = 0 Chuỗi chỉ hội tụ tại z = 0

N00 p

2

Trang 23

Cách 2 Ta đã biết khi xét chuỗi lũy thừa (3): yrs dạ” ta xét ' chuỗi dương

(9): So l8n: r”| :

Nếu dùng tiêu chuẩn Đalambe hoặc Côsi cho chuỗi (9) ta tìm được miễn hội tụ, chẳng hạn 14 (—R, R); > 0 thì khi đó chuỗi (8) hội tụ tuyệt đối cũng trong

khoảng đó | ee

Con néu chudi (9) phan ky trong céc khoang (~oo, —R) U (R, +00) thi chuédi (8) cũng phân kỳ trong khoảng đó Chỉ cịn phải xét tại các đầu mút c = +R

Như vậy ta thấy tất cả các bài giải được theo cách I đều giải được theo cách 2

Tuy nhiên có những bài giải được theo cách 2 lại không giải được theo cách | (ta sé

nêu rõ ví du ở sau)

Ta nhac lại nhận xét quan trọng: Nếu Gung tiêu chuẩn Dalambe hay Cosi cho

chuỗi số dương 377°°% |an(x — t0)"| = >2 S9 |az|.|( — #o)*| mà có kết luận là chuỗi phân kỳ thì ta có lim n |an(# — Zo}”| z 0- => lim 0 On (x — 20)" #0 Vay chudi luy

thừa đã cho cũng phân kỳ sự Còn nếu chuỗi này hội tụ thì chuỗi (7) hội tụ tuyệt đốị

Ví dụ 14 Tìm miền hội tụ của các chuỗi luỹ thừa sau:

a) “+ (3z)" n=1 yn >> n (n+ 1) " n res x b) »- = ¡(—l) 2n (z 1) c) ` ng" oo (B+ 5) n! d) bàn 1 ay mn ©) n2án f) Sa Qn > x: œ nf {oz|” lä

Giaị a) Xét chudi yrs Se oo Ap dung tiêu chuẩn Cơsi ta có tim St = =

- ; 2 `

Chuỗi hội tụ nếu J3] <1 |z|< v2 Xét tại hai đầu mút:

v2 3

2 -

t= ve chuỗi trở thành te 1 = +00, chudi phan kỵ

—1)” phân kỳ Vậy miền hội tụ của chuỗi đã n= 2 c= ` chuỗi trở thành Š^ cho là ——— < #< -~: 3 3 1 ~ 1 2

b) Xét ae 1 \ _- deg —1)"} = es —— — 1|” Dùng tiêu chuẩn

Dalambe oe 2 hư 1on ¡ |

Em 0+ )|z— 112" fa — ley

noo QM+1 |g — fm 9

chuỗi hội tụ nếu |z — 1| < 2<—=> -2<z—1<2<—=-l<z<3 Xét tại z = ~1, chudi trở thành Š>"“(n + 1) = +oo, chuỗi phân kỳ

Tại z = 3, chuỗi trở thành Š`”®(—1)”{n + 1), vì im |(—1)"(n +1)| = +00 =>

_23

Trang 24

lim (—1)"(n + 1) # 0, nên chuỗi phân kỳ noo

Tóm lại miền| hội tụ của chuỗi đã cho là —1 < z < 3

3n

c) Xét Doha le er Ap dung tiéu chudn Dalambe

i - |x| n+) - n.8" {ef lz| 3 im = ={—]

n—>oo m +1).8"+1 |z/37 8 2 Chuối hội tụ nếu fa <2<— > -2<24< 2

—1)".8" —1)” wee +

- Xết tại „= ~2: ) he va ( J" chudi hội tụ

Tại z = 2, chuỗi trở thành Ss

—2<z <2

đ) Đây là chuỗi số dương, áp dụng tiêu chuẩn Dalambe

n=l = +œo, chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ là

2”*!{n +1)! n" 2 2z?

- mo (n+ 1)! 2n, nl

Chuỗi hội tụ hếu 2z2 < e => 27? < = = Rese

400 Qn n!

XÉt tại z = fe chuỗi trở thành 5“ (5 ) = Si n niet = rs

ne Ta thay f 1 n On+1 n+1 lent] 7 € 1: - ( ) = a >i, Vn Gn (n+) 1)*+! niẹn (: + «| n 1

Vay an < Qnk; => lima, 4 0 Do dé chuédi da cho phan kỵ Mién hoi tụ của

NOOO chuỗi là |z| < 5: „ soo |Z + 5|?! L 5 - e) Xét 3 nàn” Ấp tiêu chuẩn Đalămbe ta có

im |x + 5/71 , n2.4n _ (x + DI n—eo (n + 1)24n*1 , la + 5|2n+1 ˆ 4

sac J (+5)?

Chuối hội tụ nếu — —— <l<—>-2<z+d+ư<2<—-ï7<z1z<-ả

„ _ s— 2)2m-1 1 00 1 eee

Xét tai T= —7: Xi "ma _ 59 = 75 2= nề" chuôi hội tụ

‘ : + _ 1 C¬+œ 1 xẻ» nt A of at `

Taiz = —3 nel Tag unl 3 chuỗi hội tụ Vậy miền hội tụ là

-7<#z<3

Trang 25

p xe on zỊ?” ._ Áp dụng tiêu chuẩn Côsi

+œ nếu |z| >1 P= lim — = ¿0 nếu |z| < 1

n-00 Qn I-06 2 1

5 nếu |z| = 1

Vậy chuỗi hội tụ với —1 < z < 1

Ví dụ 1õ Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm sau

+00 gr ¬1 m2 +? nr n=] m2—1 +oo ĐÓ n=l

Gidị Trudéc hết ta làm theo cách 2, tức là xét chuỗi: | ——|z|”” Áp dụng n

tiêu chuẩn Dalambe:

2 2

+1) —l l (+1) n n

||" ~ = lim 3” 2+2 —m2 +1 |xzJ*!

lim — Ta Ak

moo 1+) |+|? gral TiOO n +1

0 nếu |3z| < 1 * r3ef”” = 4Ì nếu |3z| = 1 +oo nếu |3z| > I1 = lim n-oOo;n, " og 1 1

Vậy chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối với: |+| < ạ: phân kỳ với |r| > 3

1 37 1 1

Còn tại z = 3" chuỗi đã cho trở thành yes 3aậm Š 3 Sonal =

kỵ , chuỗi phân

sn eco (=1)"

n= 1n C1 am Ta = an Ta dé dang kiém

Tại z = _ ta có chudi 7735

tra đẳng thức (—1)*” = (—1)” Vậy chuỗi $ˆ*% cr = res — hội tụ theo tiêu chuẩn Lepnit Kết luận miền hội tụ của chuỗi đã cho là - si 3)

Tuy nhiên, bài tập này không dùng cách 1 để giải được (Độc gia tự lý giải tại sao

1)

8.6.3 Các tính chất của chuỗi luỹ thừa

Cho chuỗi lũy thừa (8): 52725 ø„z” có khoảng hội tụ là (—?, ?ì)

Khi đó chuỗi lũy thừa (8) có một số tính chất như sau: 25

Trang 26

Tính chất

-hội tụ của nó

1 Tổng của một chuỗi luỹ thừa (8) là một hàm liên tục trong khoảng Tính chất 2 Có thể lấy tích phân từng SỐ hạng cửa chuỗi Tuy thừa (8) trên la, b] bất kỷ nằm: trùng khoảng hội tụ của nó

b S(z a Đặc biệt, ta c Va € (—R, R) Tinh chat € (—R, R) Chuỗi (11) cũi liên tiếp tính c +o0 áe= [ (3 sơn ==Š-ƒ x dz =F, a n=0 ` =0 a n=0 5 „+1 b he

Chuỗi (10) cũng là chuỗi lũy thừa, vẫn có khoảng hội tụ 1a (— R, R)

6) = S24 pháp = Na n1 (10)

n=0 l

3 Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi (8) tai mọi điểm

, +00 “; / n=Q - +00 » n=0 -1 (11) +00 › nữ” n=0

ng là chuỗi lũy thừa và có miền hội tụ giống như chuỗi (8) Áp dụng

hất 3, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của một chuỗi day thừa vô số lần trong khoảng hội tụ của nó

Ví dụ 16 Tìm miền hội tụ và tính tổng của các chuỗi hàm sau:

a) d) Det ' nự" b) bì 1c =_ ©) Mà 2 n(n + l)z pe e) 78s (rt + 2n — 5)z” + —— n(n + 1)

Giảị Ta có th ể kiểm tra dễ dàng tất cả các chuỗi luỹ thừa trên đều có miền hội tụ

là |z| < 1< —1 < z < 1 Bây giờ ta đi tính tổng của Mi thoả mãn |z| < 1

—R+ Tt „n— + n\! oo

a) Ta có Tiện nr”= Sa nạ"~Ì = yt (2 = x(t 2”) ste ~"

là tổng của miột cấp số nhân Thi vo han với công hi qạ = 1;.(lz| < 1) Vay

Trang 27

" +00 ntl “2 SAS nln + 1am = a2 A nln + )2" mm 2 " 2 = 72(— + (=) # Ga — v z€(— 11 ) +1 +" ¬+œc 1

Linstead) „ +œo gt a" 400 a” a Tủ + ne : 1:

xa (oe 2) = (pe) <n n=l n(n+1 cư" = dt \ = = ——=—In(1-#), nm Jo 1~t CỐ \ n=l zr "3; > nín +1) - -| In(1 — t) dt =(1—z)ln(1—z)+-# Vậy - » — x 7 0 nếu z = 0 = _ | — n(n + 1) In(1 — z) + 1 nếu z € (—1,1)\ {0} 5 e) 5® (3n? + 2n ~ 5)z" = Si 3(n — 1) (x + ẽ a” = S S(n — 1)(3n — 5)” 233 al (n — 1)z csÖ nen =አnin | gt? — 5025 (n — 1)” n=] 1=] n=1 +00 a “ /Ụ — “ / 1 = 3z? ( +" |} — 5z? gl |) = 37? bY 5+2 | ` >- ) » l—# l—# 2 2 2 3 r OL _ lle’ — 2 _ - 1 Ta ry + (1 — zt)? (1-2)

8.7 Khai triển một hàm thành chuỗi Taylo và chuỗi Maclôranh

8.7.1 Chuỗi Taylo

Giả st ham y = f(x) có đạo hàm mọi cấp trong một lân cận nào đó của điểm

Zọ khi đó chuỗi Taylo của hàm 1 = ƒ(z) có dạng sau:

Trang 28

` 1 ị ` z 9 z ` a Z* 1a `

Chuôi Taylo trong lân cận nào đó của điểm zọ chính là một chuối lũy thừa, nhưng

không phải chuỗi lũy thừa nào cũng là chuỗi Taylo của một hàm = f(x) trong md

lan cận nào đó của điểm Xọ

(n)

Néu zo = 0 thi chuỗi (12) trở thành ƒ(#) = - fr) 5» chuối lũy thừa trong / n 0

trường hợp này có tên gọi là chuỗi Vieoenh của ham - y= f(x) tai lan can rp = 0 Ta có các điều kiện đủ sau đây cho phép khai triển một hàm thành chuỗi Taylo

tại lân cận điểm Lọ

Dinh ly 10 ,Giá sử trong một lân cận nào đó của điểm zạ, hàm số = ƒ(z) có

đạo hàm mọi cấp và nếu

(n+) ( (c) Ầ (x Ton Tạ) 7) zl 0

lim R,(2) = == _ —

11—> NOX c1)!

(với c là một điểm nào đó nằm giữa z va x) thi ta cd công thức Jaylo (12), tai một

- lân cận nào đó của điểm Zọ

Định lý 11 Nếu trong một lân cận nào đó cia diém zo, ham s6 y = ƒ(z) có đạo hàm mọi cấp và giá trị tuyệt đối của mọi đạo hàm đó đều bị chặn bởi cùng một số

M >0: |ƒ®lz)l < M, Vk€N, Vvzc D (D là miền xác định của hàm y = ƒ(z)

thì có thể khai triển hàm = ƒ{(z) thành chuỏi Taylo trong các lân cận ấy)

|

8.7.2 Kha triển một số hàm sơ cấp thành chuỗi Maclôranh

Áp dụng cô ng thức

| ¬ +00 f™ (29) :

r= ) —————1” (13)

| ở / ' ) r=0 —U nì

ta có khai triển của một số hàm sơ cấp hay gặp sau đây:

N > 2 pt

a) e” = sire ¬ = 14 n + i ++ ¬ + miền hội tụ của chuỗi là X= (oc, +00) , ) Ỷ

b) sin = Loe cung 2m—1

) sin# = ] mi(—]) (an TỊI

- d7” (2n - 1)!

Miền hội tụ cửa chuỗi là X = ( 0o, +00)

Chú ý Hàm tố ụ = sin + là hàm lẻ (%) = —(~ +) nên trong khai triển Maclơranh

của nó gồm toan số hạng với lũy thừa kẻ

| yen

c) cost = S7°5(-1 "a (2n 1 (an)!

Trang 29

2 4 6 2n

x # + ` +”

¬ at gv ate tO =5 on?

Miền hội tụ của chuỗi là X = (~oo,+oo) - |

Chu ỵ Ham s6 y = cos z 1a ham chan 1(z) = (—z) nên trong khai triển Maclơranh của nó gồm toàn số hạng với lũy thừa chắn

d) (14a)? =14+004 MOV 2 , Ho Địa 2) 5 2I y— 1 —1)(a—2 3!

ala—T).fa-n+1 oo, oe Z TA

+ aoa lo= n+ Dy +- với œ là số thực bất kỳ

Ne

Chuỗi này có miền hội tụ là X = (—1,1), tại hai đầu mút 2 = +1, sự hội tụ còn

tùy thuộc vào giá trị của ơ

Đặc biệt, VỚI œ = —1, ta Có: 1 _= (1+z) '= Toa) * 1—z+z?—z3+ +(-1)*z"+ -=l +7 +? trz?+ da” + 1-2 ] Ù | ) ” daz : * SN 1)” + d nil +z) = — = —1) "+" Ì dy ở gạ l+# 0 n=0 : +06 z „ TÓC gn = —1)” edz = —1)*~ ,„ W#ø€(—l,l =3 1) [z3 CHtyyT: vee re (-2)rtt HOO n+l :

In(1 — x) = Infl + (—x)| = pyri <^ = —-—, Wr € J—1,1)

ni t) nị ` x) >! ) ro 1 » mei’ , | ) ar=0 =0 li+# +3 - Vậy: Ìn _ In(1 -+ z) — ln(1 — 2) = 3|: + “ ae + V+ € (—1,]1) ]Ì m#Œ SỐ 3 g ` ait 1

Gia thu, cho 7 = 3° ta CỐ:

l+= 2 1 1.1 1 ¬ = a tat 1— 1 5 3 3.37 5.35 © 7.37 Tà lại có: l = 1 =Ì—# +72 °2—#z”+z”— +(-1)”".z^””+ 4 2 4 6 8 T „2m 1+z? I—=(=#z”) ( [ dz _ 1 ron! + + Lí "a + aTCtgZ = s=#~“ => + — =t.a—.+C€ Ẻ o L+2? 3 3 7 9 an +} Chuỗi này có miền hội tụ là [ 1, 1]

7 » ` NA z - Le * ]

Từ công thức khai triển của hàm (1 + z)*, nếu thay z bởi (—=#”), a = “> ta được:

Trang 30

l =—l<#z< 1 Vậy:

nodin = [ dr wy 1.325 4 135 6 |

a fo Jy vVi-zr 23 2125 31226

.với miễn hội tụ là |#|< 1 => X =[—1,]1]

.Các ví dụ: mm"

Ví dụ 17 Khai triển các hàm sau đây thành chuỗi Maclôranh

: va) f(z) = x(e7** —-1) 1 - b) ƒ(+) = sin 2z `

Trang 31

(x = ! 1 * 2 : n+1 +” A@)=3 ¬.¬.- gts +(-1) gest + _ 1/_ 3 x 9x* 2H + (—1)91 a 7 o In Bos ght d ) n( 1+z) x) => dono ă=1)* ) n+ 1Ì ; Va € (-1, 1] * c( > | print] In(1 + x?) = n= 1)" TT 0<z”<1== |z| <1 ~32n+3 ƒ(z) = zIn(1 + z?) = $2?” s(—1)” TT với —1 <.z < 1 n 4

Ví dụ 18 Khai triển các hàm đã cho sau đây thành chuỗi Taylo tại lân cận của điểm zọ cho trước:

Trang 32

8.7.3 Ứng a) Tính g Giả sử cần g3 53 6"+! — jet 30 (œ+4)2+ + (a +4)" + 30 308 dụng của chuỗi để tính gần đúng

ần đúng giá trị hàm tại một điểm

tìm giá trị hàm ƒ(z) tại một điểm z nào đó và giả sử ƒ(z) khai triển được thành chuỗi Taylo trong lân cận của điểm zọ có chứa điểm + đó như vậy:

F(x) = ƒ(ao) Vi |z — Lol kh f' (x0) | ("~~ đọ)” + mì Ƒ (ao) 1! (z — Zo) + £20) ~ 29)? + + + 2!

á bé (+ khá gần xo) nên có thể coi ƒ(z) gan bang téng (n + 1) số

hạng đầu tiên của khai triển trên

f(x) = f(%o (ao) 1 (# — #0) + + 5T ƒ"(øa) — ƒ?"(ze)

mì

)+ (a - 9)? + + (x — 29)”

Tùy theo độ chính xác cho trước, ta có thể xác định được số các số hạng cần phải lấy ở vế phải ¢

Vi du 19 Tín Gidị Ap d

ua công thức gần đúng trên

h số e với độ chính xác khơng vượt qua ¢ == 0.00001

ung khai triển Maclôranh của hàm số

32

Trang 33

- 2 n

LoL +

Ƒ(z) =e°= 1+ +c+ tan te - với # € (o9, +00)

1! 21

; — 2Ì —_ 1 Ầ 1 atil

Thay z = 1 == f(x )= e! =l† tai tre +e -Ö JJ,( 1 ;

là một số nào đó thỏa mãn 0 < Ø < 1 Vậy

- e

,(z)| < mabe z: |z| < Ì

Theo yêu ens cầu đầu bài ta phải có DA PHÀ C9 AT) ~ (nm +1)! ~ 100000 : < 3 I Ban cách thử trực ĐỂ

3 3

tiếp ta thấy n = 8 thi (8+1)! 9!“ 1000007 Do đó

1 1 1

exlt+atayt- + x = 2.718278

- †1: sự

Ví dụ 20 Tính giá trị của cos 5 với sai số không vượt quá e = 0.0001 Giỏị Áp dụng công thức khai triển Maclôranh của hàm số cos #

goat xơ „án “¬ n Gait ae a 6 2n =l— + >-—+ +(-1"-—+ má” gi tM Gay + Ra) COS (¢ + (2n + 5)

Trong d6 R(x) = —— TT Ø là số nào đó nằm giữa z và 0

1 1 1 1 1

sẽ=1l———+ —===+ +(S1?——+RVŒ) s2 lat geal” org to FOU Seat Pe)

1 COS (« + (2n + 5) 1 1

mA | = < 8 < =

Ro) = 2mm Qne iam P<? <5

; 1 1 1

HO sls (2n + 1)! yest Ê 10,000'

1 1 1

= 3 ==: Rl =

” >| SiS 71.27 ~ 5040.128 ~ 10.000°

Vậy, theo yêu cầu của bài toán chỉ cần lấy 3 số hạng trong tổng ở vế phải là đủ:

1 1 1 |

- €O§= #l— —— + —.= 877 2 2.2] HAI

b) Tính gần đúng tích phân xác định

Để tính fp ƒ(+)d+ ta thường dùng công thức Niutơn-Lepnit:

[ Ƒ(a)dz = F(b) — F(a),

Trang 34

trong đó #(z) là nguyên hàm của ƒ(z) trên [a,b] Trong nhiều bài tốn việc tính ngun hàm của hàm số ƒ(z) là rất khó khăn hoặc khơng có ngun hàm biểu diễn

bởi các hàm sơ cấp, khi đó.ta khơng thể dùng công thức Niutơn-Lepnit được Chẳng hạn, các tích phân sau đây khơng có ngun hàm dưới dạng các hàm sơ

cấp: — |

cos(x x, fsin(x?)dx, f ——dz, (z2)d ?)d pa cos x dz, far, fe “da, fed tỵ

.Trong các| trường hợp này, ta phải dùng chuối để tính gần đúng:

Ví dụ 20 Tính fo € edạ

Giảị Tà có cơng thức khai triển Maclôranh sau

- 6 Qn cS nữ Ti map +] arte ; Vz € (—00, +00) + Ww —m2 6 1— ¬=ll—— —

Lấy tích phân haị vế đẳng thức này |0, a] ta có:

fe 6 hes meet [ md Te +

J0 J0

| oe ES “dn +

|

| -0~ Fit

Vế phải là chuối đan đấu, nếu lấy a = 5 và lấy 3 số hạng đầu thì sai số mặc phải bé hơn số hạng thứ 4

— 2/ „ 1 l = 107%,

37 67128 ~ 1000

¬ [ 6.6722 T3538 95.32 Pp my = —— + ——— = 0.4644, 1 1 1 ;

với sai số bé hon 1073

c) Giải gần đúng phương trình vi phân

Hãy giải bài tốn của phương trình vi phân: Tìm nghiệm của phương trình vi phân

¬ "

y = f(x,y) thoa man điều kiện ban đầu 1| ` = yp

+=mo

34

Trang 35

Ta đi tìm nghiệm dưới dạng chuỗi Taylo:

u(z) = +~ “I (z — zọ)”

y(x) = w(%o) + Wo) ~ £9) + 1Q — to) + ự ize) (#T— #ö) +

ú(0) =V (a0) +9" (ao) ~ sa) + Le — a0)? +

Vì y! = f(x,y), vay cho = #o => W (3o) = f (20, yo) = Yo- Bằng cách đạo hàm liên tiếp ta tìm được f°(ze)

Ví dụ 22 Tìm nghiệm của phương trình vi phân ‡⁄ = z? + ỷ, thoa man y(0) = 1

Giớị Giả sử nghiệm của phương trình vi phân cho dưới dạng chuỗi Maclôranh

- / 0) fl" 0 (1) 0) n

f(z) = f(0 0) + r+) ¬._

ở đây ƒ(0) = ule) = 1 con f'(0), f”(0), , f° (0), chua biết Ta đạo hàm 2

z=0 vế của phương trình (1): (nm) m—1 y(n) = ƒ{z) = ƒ(0)+> ƒf{40)xz+ + Pe) (n — 1)! Cho x = Ú ta có: F0) =0) =(®+/9)| =0'+1#t=1 (0,1) £10) 2 , £0) 9 Va ay f(z) = 1+ hà ~ 5i 2+7 31 34 wave

yo = x+y’, y” = Qn 4 20, y"(0) = 2y(0)-y/(0) = 211 = 2, y” =

2+22?+ 2w”, w“(0)=2+2+22=8

Tương tự, ta có (0) = 28, )(0) = 114 Vậy nghiệm của phương trình vi phân

đã cho là:

ge QW? Bre Wet 144r5 =d+ + —— + pig toa + TA TRỤ Tờ

Trang 36

8.8 Chuỗi Furié

8.8.1 Chuỗi lượng giác

_ Ta gọi chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng co

+00 reo : l

+ › (an cosnz + b„ sin n) =

n=l ‘

đo ao

+ > +a, cosxz +6; sinz + +a,cosnzxz + b, sin 27 +

trong d6 ag, @), 6), @2, bg, ., An, by, 1a nhing hằng số

|

88.2 Chudi Furié |

Cho chuỗi lượng giác (14) Giả sử các hệ số øạ, a„, b„ được tính theo cơng thức

! a= =f pla)de

1 J—m

1 7T

On = — f(a) cos nada

Nf on

| Lp

| by, = — / f(x) sin nd:

: 7 J „

sau:

Khi đó chuỗi (14) được gọi là chuỗi Furiê của ham f(x) trén doan [—7,7] Các hệ SỐ Øọ, a„, b„ được tính theo các cơng thức trên gọi là các hệ số Furiê của hàm ƒ(z)

thì ta nói ƒ(z) khai triển được thành chuỗi Furiê và ta viết: ao

¬+-Cc

=F + ) (a, Cos nx 4- b, sina)

ne]

| ia)

“

8.8.3 Điều kiện đủ để một hàm số có thể khai triển được thành

chuỗi Furiê

Định lý 12 (Đi-ric-lê) Nếu hàm số ƒ(z) tuân hoàn chu kỳ 2z, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn | 7, z| thì chuỗi Furiẻ của nó hội tụ tại mọi điểm trên

đoạn đó và tổng Š(z) của chuỗi bằng ƒ(+) tại những điểm liên tục của hàm số Tại các điểm gián đoạn của hàm ƒ(z), tổng của chuỗi bằng trung bình cộng của giới

-hạn bên phải và bên trái của hàm ƒ(z) Nếu ƒ{z) gián đoạn tại z = c thì

i f(c+0)+ fle - 0)

36

Trang 37

Chú ý a) Khái niệm hàm f(z) đơn điệu từng khúc được hiểu là: Ta có thé chia đoạn {a,b} thành một số hữu hạn khoảng mở không giao nhau sao cho trên mỗi khoảng nhỏ hàm ƒ(z) luôn luôn đơn điệu;

.b) Dễ dàng thấy rằng hàm ƒ(z) đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn |a, ở], _ nếu nó gián đoạn tại, diém c € (a, 6) chang hạn, thì tại điểm z = c hàm ƒ(z) có gián

đoạn loại mộị it

Ví dụ 23 Khai triển thành chuỗi Furiê hàm ƒ(+) tuần hoàn chu kỳ 2z, mà trên chu

kỳ đầu tiên Í—x,z| hàm số có dạng — _ | 0 vél —-7zZ<z<0 /e1={ + VỚI ĩ ÙÚ<z<7 Giảị yt | /| /| /| l4 : 27 +7 O Hinh 8.1 x Mm 3n da SH

Từ đồ thị của hàm số ta thấy hàm số ƒ{z) đơn điệu từng khúc và bị chặn, liên tục Vø # (2k + 1)z, vậy có thể áp dụng định lý Đi-ric-lê cho hàm số ƒ{(z) ta được

Trang 38

nm 2(COSZ COSẩZz (/SI1Z sin2z

NT ng nhường

Khai triển này đúng Vz # (2k + 1}: Còn lại z = (2k + 1}z, tổng của chuỗi này

bằng: trung tình cộng của giới hạn bên phải và giới hạn bên trái bằng 7+9 =_

ding Vr = (2k + 1)z

Ví dụ 24 Khai triển thành chuỗi Furié hàm số ƒ(z) tuần hoàn với chu kỳ 2z biết 'rằng trên đoàn (0, 27] thi f(x) =z

2 2 Giảị ` | 1 2” 2m wed [ir f(z i, +đ+ = 2n; T Jọ 0 1 Qn Qn = —- xcos nazdxz = 0; W Jo 1 Qn b, = — rsinnzds ; T7 Jo | 1 —# COSmz xả ‘on | = — rcosnzdr 4 7 _ TT 0 ) ¬

sinz sin2z sin3z

=7 — 2 ị

f(z) =7 ( 1 + 5 + 3 )

sin 7 sin

por 2( sind 4 2 nin 2 1 )

TÔ 121 1.12 4° 3 5 7 9

Trang 39

+00 (c1 a

Do đó done 1 ——— =_ on | 4

8.8.4 Khai triển Furiê của hàm số chẵn, hàm số lẻ

Néu f(x) chan thì ƒ(z) sim n2 là hàm s6 le, f(x) cosnma 1a ham số chan, vay Og = ~ ff ƒ(z)d+ = ef ƒ(z)da;

Oy, == — Ƒ f(r) cosnadr = - 2 f(x) cos nada;

TK Sn a, 0

a rr

by, = / f(az)sin nadx = 0

a „

Do đó chuỗi Furiẽ của hàm f(a) chan 1a , +90

` ay `)

f(x) oe > + O,, COS TLẸ “ nz]

Tuong tụ néu f(z) lẻ thi ap = 0, On = 0 Wri = 1,2, Bye

2 HỸ

bn = — | f(a) sin nxdz;

T70

FOO

flr) = 2’ sin 7.7

Vi du 25 Cho ham f(a) tudn hoàn với chu kỳ 2, trên đoạn |—z, a] f(x) duge cho như sau: f(r) = #ˆ với -” < z < z llây khai triển thành chuéi Furié cha hàm

fn)

Gidị f(x" ) 1ˆ, -7m” < w < mw là ham chan, lấy trên miền đối xứng Vậy

h, =Ọ Vn = 1,2.3, Ì 0 ¥ 1,2.3 2 ự 95 27? ag = > +“d#“ = —; a) 3° 2 TT an = = x cos nada = (—1)" = T/o n ; nw a+ „ CĨS 7Ì ¬

Vay 9? = os +4 S000 1)" a ne Cho z = Ö ta có chuỗi số

Trang 40

Ví dụ 26 Khai triển thành chuỗi Furiê hàm số ƒ(z) tuần hoàn với chu kỳ 2z, mà

trên đoạn [—z, z] nó được cho bởị

.Í1 nếuŨ<z&z

ƒ#ữ)= —=l nếu —7 <#z<0 -

na On SIN NZ

Gidị f(a) 1a ham lẻ, vậy ƒ(z) có dạng f(x) = Sots

2 ƒ" 2 T

b, = — zx’ sinnzdx = —— cosn2| (cosnm — 1)

TL 0 TT 0 : — néunleé TT 0 nếu ø chẳn sinä3z sin5z ne sin 7 + ——— + + 3 3

Khai triển nay ding Vr # kr

8.8.5 Khai trién Furié của một hàm tuần hồn có chu kỳ bat ky

|

Giả sử „: là hàm tuần hồn có chu kỳ 2 (£> 0) Bang cach dat x’ = > ta có ƒ(z) = ƒ )=1(7) = Fe = ) là hàm tuần hồn có chu kỳ 2z Vậy

nai

+00

¬¬ ( , đọ

He) = f Ms = P(g’) = 5 + » cos nr’ + by, sin na’)

, | + đọ ` TT _ nmẹ =a + › (Gn, COS 7 + b,, sin ——) ƒ | | 17 đụ = i ƒ(x)dn : fo TT On = — „7ữ) cos dx MTT: = af f(x) sin rm

Ví dụ 27 Khai triển thành chuỗi Furiê a m J0) tuần hoàn với chu kỳ 7 = 2 nếu

| trên đoạn |—1, 1] hàm f(x) có dạng ƒ(z) = zŸ, nếu z € j- :1, 1]

Giảị Vì f(x) là hàm chẩn trên mién d6i xing }- t,1} nén b,, = 0 véi moi n