Bài giảng xác suất thống kê

Chia công việc ra nhiều giai đoạn: Giai đoạn 1 có thể thực hiện bằng n1 cách Giai đoạn 2 có thể thực hiện bằng n2 cách …………………………………………… Giai đoạn k có thể thực hiện bằng nk cách => Công việc sẽ được thực hiện bằng cách

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

NỘI DUNG MÔN HỌC

PHẦN I: XÁC SUẤT

PHẦN II: THỐNG KÊ

Chương mở đầu: Bổ túc Giải tích Tổ hợp

Chương 1: Khái niệm cơ bản và công thức xác suất

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và luật phân phối XS

Chương 3: Lý thuyết mẫu

Chương 4: Ước lượng tham số của ĐLNN

BỔ TÚC GIẢI TÍCH TỔ HỢP

MỞ ĐẦU

Giải tích tổ hợp

p Công thức nhân

Chia công việc ra nhiều giai đoạn:

Giai đoạn 1 có thể thực hiện bằng n1 cách

Giai đoạn 2 có thể thực hiện bằng n2 cách

………

Giai đoạn k có thể thực hiện bằng nk cách

=> Công việc sẽ được thực hiện bằng cách

Vd 1: Có bao nhiêu cách đi từ A đến C ?

Đ/s: AB có 3 cách

1 2 k

n n    n

Giải tích tổ hợp

Vd 2: Cho tập S={0,1,2,3,4,5,6}

a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau lấy từ S?

b. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số lấy từ S?

Vd 3: Giả sử các ghế trong một phòng được đánh dấu bằng một chữ

cái tiếng anh in hoa đầu và 3 số nguyên không âm phía sau Hỏi nhiều nhất có bao nhiêu ghế được đánh số khác nhau?

Vd 4: Một người vào cửa hàng để mua một loại đồ ăn và 1 chai nước

uống Biết cửa hàng có bán tất cả 5 loại đồ ăn và 6 loại nước uống Hỏi có bao nhiêu cách người đó chọn mua?

=> Số cách thực hiện công việc là

Vd 1: Có bao nhiêu cách đi từ A đến C ?

Đ/s: TH1: ABC: 32=6 cách

1 2 k

Chương mở đầu: Giải tích tổ hợp

a. Có bao nhiêu cách để GV gọi 3 SV bất kỳ lên bảng?

b. Có bao nhiêu cách để GV gọi 3 SV ngành B lên bảng?

c. Có bao nhiêu cách để GV gọi 3 SV lên bảng, trong đó có 1 SV ngành

BÀI TẬP

Bài 1: Trong một buổi họp lớp, mỗi bạn bắt tay tất cả các bạn khác 1 lần

Người ta đếm được có tất cả 435 cái bắt tay Hỏi có bao nhiêu bạn tham

Bài 3: Một lớp có 45 sinh viên, trong đó có 20 nam Có bao nhiêu cách

bầu ra ban cán sự lớp gồm 4 sinh viên thỏa mãn:

BÀI TẬP

Bài 4: Có 2 hộp Hộp I đựng 10 bi (8 xanh, 2 đỏ) Hộp II đựng 20 bi (15

xanh, 5 đỏ)

a.Có bao nhiêu cách lấy từ mỗi hộp ra 2 bi?

b.Có bao nhiêu cách lấy từ mỗi hộp ra 2 bi sao cho có đúng 1 bi đỏ được lấy ra?

c.Có bao nhiêu cách lấy từ mỗi hộp ra 2 bi sao cho có đúng 2 bi đỏ được lấy ra?

d.Có bao nhiêu cách lấy từ mỗi hộp ra 2 bi sao cho có đúng 3 bi đỏ được lấy ra?

e.Có bao nhiêu cách lấy từ mỗi hộp ra 2 bi sao cho các bi lấy ra cùng màu?

KHÁI NIỆM CƠ BẢN

VÀ CÔNG THỨC XÁC SUẤT

CHƯƠNG 1

Bài 1.1: Phép thử và biến cố

p Phép thử là thực hiện một hành động hay một thí nghiệm nào đó mà ta

không biết trước được kết quả xảy ra Kí hiệu: T.

p Biến cố (BC) là kết quả có thể có của phép thử Kí hiệu: A, B, C, …

p Biến cố chắc chắn: là BC nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử.

p Biến cố tổng: C=A+B

Biến cố C được gọi là biến cố tổng của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra hoặc cả A và B cùng xảy ra (ít nhất một biến cố xảy ra)

F Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc Gọi Ai là biến cố (Bc) xuất hiện mặt i chấm Gọi A là Bc xuất hiện mặt có số chấm chẵn;

B là Bc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3

 A=A2 +A4 +A6  B= A3 +A6

F Ví dụ 2: Những SV có học lực giỏi và những SV đạt giải trong kỳ

thi Olympic sẽ được nhà trường khen thưởng Chọn ngẫu nhiên

một sinh viên trong trường Gọi A là bc chọn được SV đạt học lực Bài 1.1: Phép thử và biến cố

p Biến cố tích: C=A.B

Biến cố C được gọi là biến cố tích của hai biến cố A và B nếu C xảy

ra khi và chỉ khi đồng thời cả hai biến cố A và B cùng xảy ra

FVí dụ 1: Tung một con xúc xắc Gọi Ai là biến cố (Bc) xuất hiện mặt i chấm Gọi A là Bc xuất hiện mặt có số chấm chẵn;

B là Bc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3;

C là Bc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 5;

Suy ra: AB = A6 ; BC = A3 ; ABC=

FVí dụ 2: Hai người cùng bắn vào một con thú Gọi A là bc người 1

bắn trượt, B là bc người 2 bắn trượt;

C là bc con thú không bị bắn trúng  C=A.B

Bài 1.1: Phép thử và biến cố



p Biến cố sơ cấp: là bc khác bc bất khả và không thể phân tích dưới

dạng tổng của 2 bc ngẫu nhiên khác

p Một bc A bất kỳ sẽ là tổng của một số bc sơ cấp nào đó Ta gọi

những bc sơ cấp đó là các bc thuận lợi cho bc A.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc Gọi Ai là bc xuất hiện mặt có số chấm i (i=1, ,6), A là bc xuất hiện mặt có số chấm chẵn

=> A là các bc sơ cấp; A = A + A + A

Bài 1.1: Phép thử và biến cố

Ví dụ: Tung một con xúc xắc Gọi A là bc xuất hiện mặt chẵn, B là bc

xuất hiện mặt lẻ, C là bc xuất hiện mặt 1 chấm

Þ B là bc đối lập của A và ngược lại.

Þ A, C xung khắc nhưng không đối lập nhau.

p Các biến cố đồng khả năng: là các bc có khả năng xảy ra như nhau

khi thực hiện phép thử

Ví dụ: - Tung một con xúc xắc Các bc sơ cấp Ai là đồng khả năng

- Tung một đồng xu Bc xuất hiện mặt sấp và bc xuất hiện mặt

ngửa là đồng khả năng

p Hệ đầy đủ: các biến cố được gọi là một hệ đầy đủ nếu:

+ Khi thực hiện phép thử thì một trong chúng xảy ra:

+ Chúng xung khắc với nhau từng đôi một:

FVí dụ 1: Một hộp đựng 3 loại bi trắng, xanh, vàng Lấy ngẫu nhiên

từ hộp ra 1 viên Gọi T là bc lấy được viên bi trắng, X là bc lấy

được viên bi xanh, V là bc lấy được viên bi vàng

Bài 1.1: Phép thử và biến cố

p Không gian các biến cố sơ cấp (không gian mẫu): các biến cố

được gọi là không gian các biến cố sơ cấp nếu chúng

là một hệ đầy đủ không thể tách nhỏ hơn

F Ví dụ: Tung một con xúc xắc Gọi Ai là bc xuất hiện mặt i

chấm B là bc xuất hiện mặt có số chấm chẵn

Khi đó: Ai là các bc sơ cấp

B=A2 +A4 +A6 không là bc sơ cấp

Không gian mẫu

Các tính chất phép toán biến cố

Ø 1 Giao hoán: A+B=B+A; AB=BA

Ø 2 Kết hợp: A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C

A(BC)=(AB)C=ABC

Ø 3 Phân phối: A(B+C)=AB+AC

Ø 4 Lũy đẳng: A+A=A, A.A=A

Ví dụ: Hai người cùng bắn, mỗi người bắn một viên vào bia Gọi Ai

là bc người thứ i bắn trúng bia, i=1,2 Hãy viết các biến cố sau theo

q Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử phép thử có hữu hạn

và các biến cố sơ cấp đồng khả năng, A là bc bất kỳ Khi đó

FVí dụ 1: Tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Khi đó, có tất cả 6

bcsc đồng khả năng có thể xảy ra là A1 , ,A6 Gọi A là bc xuất hiện mặt có số chấm chẵn, B là bc xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3, C là bc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 10

FVí dụ 2: Một lô hàng chứa 30 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm Lấy

ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm để kiểm tra Tính XS được:

a Cả 4 sản phẩm tốt

b Ít nhất 1 sản phẩm tốt

c Không quá 1 phế phẩm

d Số sản phẩm tốt nhiều hơn số phế phẩm

q Công thức XS lựa chọn: Xét một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó

có N A sản phẩm loại A Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sp Khi đó,

XS để trong n sản phẩm chọn ra có k sản phẩm loại A là:

Bài 1.2: Xác suất

FVí dụ 3: Một hộp đựng 10 cây viết gồm 7 cây mực xanh và 3 cây mực

đỏ Lấy ngẫu nhiên 4 cây viết Tính xác suất được:

a Đúng 1 cây mực đỏ b Ít nhất 3 cây mực xanh

c Ít nhất 1 cây mực đỏ d Nhiều nhất 2 cây mực đỏ

FVí dụ 4: Một lô hàng chứa 30 sản phẩm, trong đó có 70% sản phẩm loại A Từ lô hàng lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm Tính XS được ít nhất

p Hạn chế của định nghĩa cổ điển: Định nghĩa cổ điển chỉ áp dụng

được khi tổng số bcsc hữu hạn và các bcsc đồng khả năng Khi không thỏa mãn các điều kiện này, ta cần tính xác suất bằng

phương pháp khác

p Định nghĩa XS theo tiên đề: Xác suất của biến cố A chính là khả

năng để xảy ra biến cố A Kí hiệu P(A)

Ø Xác suất phải thỏa các tiên đề sau:

p Định nghĩa XS theo thống kê: Giả sử khi tiến hành n phép thử độc

lập trong những điều kiện như nhau, bc A xảy ra m A lần

Tỷ số được gọi là tần suất xuất hiện của bc A.

Khi số phép thử n lớn, tần suất của A dao động quanh một giá trị

không đổi p Giá trị đó gọi là xác suất của bc A,

ký hiệu P(A) Như vậy

Ví dụ: Khi tung một đồng xu đồng chất nhiều lần, người ta thấy rằng XS

xuất hiện mặt sấp = XS xuất hiện mặt ngửa = ½

Bài 1.2: Xác suất

A

m n

p Định nghĩa XS theo quan điểm hình học: Giả sử và A có thể

biểu diễn bằng các miền hình học Kí hiệu m(A) , là kích thước

của chúng Khi đó

p Ý nghĩa của xác suất: Xác suất là một số đo mức độ thường xuyên

xảy ra của biến cố trong phép thử

p Công thức cộng xác suất: Cho hai biến cố A và B ta có

Ø Nếu A, B xung khắc thì

Hệ quả: Với A là bc bất kỳ, ta có:

F Ví dụ 1: Một lớp có 45 học sinh Trong đó có 25 học sinh giỏi văn, 30

hs giỏi toán, 20 hs giỏi cả văn và toán Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp Tìm xác suất để chọn được một bạn giỏi ít nhất một môn trong hai môn văn và toán

Giải: Gọi F là bc hs giỏi ít nhất một môn trong hai môn văn và toán; A

là bc hs giỏi văn, B là bc hs giỏi toán Ta có F = A + B

F Ví dụ 2: Một lô hàng có 30 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm Lấy

ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm Tìm XS để có:

a. Không quá 1 phế phẩm

b. Số sp tốt không ít hơn số phế phẩm

F Ví dụ 3: Sau khi bảo trì hệ thống dây chuyền đóng gói, người ta

chọn ngẫu nhiên ra 1000 sản phẩm và cân thử thì thấy có 10 gói thiếu trọng lượng và 20 gói dư trọng lượng so với quy định trong thiết kế Tính xác suất dây chuyền đóng gói sai thiết kế

Bài 1.3: Công thức xác suất

p Mở rộng công thức cộng cho 3 biến cố A,B,C:

p Nếu A, B, C đôi một xung khắc:

p Xác suất có điều kiện: xác suất của biến cố A biết biến cố B đã

xảy ra, kí hiệu: P(A/B), là xác suất của bc A nhưng được tính trong trường hợp bc B đã xảy ra rồi

F Ví dụ: Tung một con xúc xắc Gọi A là bc xuất hiện mặt có số

chấm chẵn B là bc xuất hiện mặt có số chấm lẻ C là bc xuất hiện mặt có số chấm không lớn hơn 4 D là bc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4

Khi đó: P(A/B)=0; P(A/C)=2/4=0,5; P(A/D)=2/3; P(B/D)=1/3

Bài 1.3: Công thức xác suất

p Nhận xét:

p Công thức nhân xác suất:

+ Với 3 biến cố A, B, C ta có

F Ví dụ: Một bình có 10 viên bi, trong đó có 5 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên

lần lượt (ko hoàn lại) trong từ bình ra 3 bi Tính xác suất để 3 bi đều là bi đỏ

Giải: Gọi Ai là bc lần thứ i lấy được bi đỏ, i=1,2,3

p Một hộp đựng 10 bi gồm 2 bi đỏ và 8 bi trắng Một người lấy ngẫu nhiên lần lượt (không hoàn lại) từng bi cho đến khi lấy được 2

bi đỏ thì dừng

a Tính xác suất để người này dừng lại ở lần lấy thứ 2

b Tính xác suất để người này dừng lại ở lần lấy thứ 3

c Tính xác suất để người này dừng lại ở lần lấy thứ 4

p Biến cố độc lập: A và B độc lập nếu việc xảy ra hay ko xảy ra của

bc A ko ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của B và ngược lại

Bài 1.3: Công thức xác suất

F Ví dụ 1: Một bình có 100 viên bi trong đó có 3 bi đỏ Một người

tham gia trò chơi sẽ lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại từ trong

bình đó ra 2 bi, nếu được cả 2 bi đỏ thì được thưởng Tính xác suất

để người chơi được thưởng

p Công thức xác suất toàn phần:

Cho biến cố A và hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi Khi đó, ta có

F Ví dụ 1: Có hai hộp giống nhau, mỗi hộp đựng 10 sản phẩm Trong

đó, hộp I chứa 6 sp tốt; hộp II chứa 8 sp tốt Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm

a. Tính xs được cả 3 sản phẩm tốt

b. Giả sử đã lấy được cả 3 sp tốt Tính xs đã chọn được hộp II

HD: Gọi A1, A2 lần lượt là bc chọn được hộp I, II => A1, A2 là hệ đầy

đủ, xung khắc P(A1)= P(A2)= 1/2

a Gọi A là bc được cả 3 sản phẩm tốt Theo ct xác suất toàn phần

F Ví dụ 2: Có hai hộp giống nhau, mỗi hộp đựng 10 sản phẩm Trong

đó, hộp I chứa 6 sp tốt; hộp II chứa 8 sp tốt Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ hộp I bỏ sang hộp II, rồi từ hộp II lấy ngẫu nhiên 3 sp

a. Tính xs được cả 3 sản phẩm tốt

b. Giả sử đã lấy được cả 3 sp tốt Tính xs đã được phế phẩm từ lô I

HD: Gọi A1, A2 lần lượt là bc lấy được sp tốt, phế phẩm từ hộp I=>

A1, A2 là hệ đầy đủ, xung khắc P(A1)=3/5; P(A2)= 2/5

a Gọi A là bc được cả 3 sản phẩm tốt (Lô II bây giờ có 11 sp)

Bài 1.3: Công thức xác suất

F Ví dụ 3: Xét một lô sản phẩm trong đó số sản phẩm do nhà máy I

sản xuất chiếm 20%, nhà máy II sản xuất chiếm 30%, nhà máy III sản xuất chiếm 50% Xác suất phế phẩm 3 nhà máy tương ứng là 0.001, 0.005, 0.006 Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm

a Tìm XS để sản phẩm lấy ra là phế phẩm

b Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm, tính XS để sản phẩm đó là của nhà máy II sản xuất

Giải: a Gọi A là bc sản phẩm lấy ra là phế phẩm.

Ai là bc sản phẩm lấy ra là của nhà máy i => A1, A2, A3 là hệ đầy đủ, xung khắc

p Cho 3 hộp linh kiện máy tính mà khả năng lựa chọn của mỗi hộp

là như nhau Hộp I có 30 linh kiện, trong đó có 20 tthật và 10 giả Hộp II có 30 linh kiện đều thật Hộp III có 30 linh kiện, trong đó có

18 thật và 12 giả Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra một linh kiện

a Tính XS để linh kiện lấy ra là linh kiện thật

b Giả sử lấy được linh kiện thật Tìm XS để linh kiện đó là của hộp II

c Giả sử lấy được linh kiện giả Tìm XS để linh kiện đó là của hộp II

Bài 1.3: Công thức xác suất

p Công thức Bernoulli: Tiến hành n phép thử độc lập trong những

điều kiện như nhau Giả sử ở mỗi phép thử, bc A hoặc xảy ra với XS

p không đổi, hoặc không xảy ra với XS q=1-p Khi đó, với mỗi

, ta có công thức Bernoulli tính XS để trong n phép thử, bc A

xảy ra đúng k lần là

Ví dụ: Một máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm tốt là 80% Cho

máy sản xuất 10 sản phẩm Tính xác suất để được ít nhất 9 sp tốt

Giải: Gọi A là biến cố được ít nhất 9 sản phẩm tốt trong 10 sản phẩm

Bài 1.3: Công thức xác suất

p Tung con xúc xắc 10 lần Tính xác suất có 2 lần ra mặt 6 chấm.

phương án trả lời, trong đó có 1 phương án đúng Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm Bạn A đã chọn đáp án ngẫu nhiên cho cả 50 câu Tính xác suất để bạn A được 5 điểm

Bài 1.3: Công thức xác suất

p Chú ý:

ü Dạng bài toán 1: Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỷ lệ

sản phẩm loại tốt là p Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm Tính XS để trong n sản phẩm lấy ra có k sản phẩm tốt => Áp dụng

CT Bernoulli

ü Dạng bài toán 2: Một lô hàng chứa N sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm

loại tốt là p (nghĩa là lô hàng chứa N.p sản phẩm tốt và N-Np sản phẩm xấu) Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm Tính XS để trong n sản phẩm lấy ra có k sản phẩm tốt => Áp dụng CT xác

suất lựa chọn

Bài 1.3: Công thức xác suất

FVí dụ: Có hai lô hàng Lô I chứa rất nhiều sản phẩm với tỷ lệ sản

phẩm tốt là 80% Lô II chứa 30 sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm tốt là 70% Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm Tính XS để trong 4 sản phẩm thu được có:

BÀI TẬP CHƯƠNG I

p BÀI 1.1: Một lớp có 50 sinh viên Trong kỳ thi môn XSTK có 6

SV đạt giỏi, 20 SV đạt khá, 5 SV không đạt yêu cầu, các SV còn lại đạt trung bình Gọi tên ngẫu nhiên 3 SV của lớp Tìm xác suất gọi được:

a Ít nhất 1 SV đạt giỏi b 2 SV đạt trung bình và 1 SV đạt khá

c Không quá 1 SV không đạt yêu cầu

p BÀI 1.2: Có hai hộp I và II Trong đó, hộp I chứa 15 sản phẩm tốt

BÀI TẬP CHƯƠNG I

p BÀI 1.3: Trong một hộp có 10 bóng đèn, trong đó có 2 bóng hỏng

Lấy ngẫu nhiên có thứ tự không hoàn lại 3 bóng để dùng Tìm xác suất để:

a Lấy được cả 3 bóng đều tốt

b Lấy phải 2 bóng hỏng

p BÀI 1.4: Một công nhân đứng 3 máy XS để trong 1 ca làm việc

máy I hỏng là 0,1; máy II hỏng là 0,15 và máy III hỏng là 0,2 Tìm

XS để trong ca làm việc:

a Cả 3 máy không hỏng b Có đúng 1 máy hỏng

BÀI TẬP CHƯƠNG I

p BÀI 1.5: Xác suất vi trùng kháng mỗi loại thuốc A, B, C lần lượt

là: 5%, 10%, 15% Nếu dùng cả 3 loại để diệt vi trùng Tính xác suất vi trùng bị diệt (giả sử các loại thuốc độc lập nhau)

p BÀI 1.6: Có 2 hộp giống hệt nhau, mỗi hộp chứa 20 bi Trong

đó, hộp I gồm 15 bi đỏ và 5 bi trắng; hộp II gồm 12 bi đỏ và 8 bi trắng Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 4 bi

a Tính xác suất lấy được 2 bi đỏ và 2 bi trắng

b Giả sử đã được 2 bi đỏ và 2 bi trắng Hỏi khả năng chọn được hộp nào cao hơn?