Tài liệu ôn thi đại học thầy Đỗ Văn Đức phần hàm số

e Xét tính đơn điệu của hàm lợi nhuận trung binh Px trên khoang 0; + và tính giới hạn của hàm số này khí x > +ơ, Giải thích ý nghĩa thực tiễn kết quả nhận được.. Số lớn nhất trong các gi

HO VAN HUG

KY NĂNG GIẢI TOÁN 12

| {

Ỉ

|

ĐỒ VĂN ĐỨC

KĨ NĂNG GIẢI TOÁN 12

HAM so Theo chương trình sách giáo lhhoa mới

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Mọi ý kiến đóng góp, độc giả vui lòng gửi trực tiếp tác giả cuốn sách

Đỗ Văn Đức Email: ducdv91@Qoutlook.com Facebook: http://fb.com/thayductoan

Stevi |

Blas came Ð =c quét b

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU . . : : 55 nh th 00000000000000000000000000000000000 ĐT 3

+ NÊN TẢNG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỤC TRỊ CỦA HÀM SỐ 5

> NEN TANG VE GIA TRI LON NHAT VA GIA TRI NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 16

3 BAL TOAN TOI UU UNG DUNG GIA TRI LON NHAT, NHỎ NHẤT 07

4 TIEM CAN CUA DO THI HAM SO ccssssssscssssssseeesssseesnnsseeeensssseeeensssseeeenenttetesstetes 44

5 DO THI HAM BAC BA f(x) = ax3 + bx? + cx + đ sen, 54

6 DO THI HAM SO BAC NHAT TREN BẬC NHẤT -: :-c::::c+:cccc22, 65

7 DO THI HAM SỐ BAC HAI TREN BAC NHAT ssssssccsssssscssssssssssssecesssssseeseesssneeeessssnnneeeesseee 73

8 CAC PHEP BIEN DOI D0 THI (ham |ƒ(+)I, ƒ(Ix|), ƒ(x + a), ƒ() + a) 83

9 CUC TRI HAM SO CHUA DAU GIA TRI TUYỆT ĐỐI 2¿££22vvvvzzzr 93

10 DON DIEU HAM SO CHUA DAU GIA TRI TUYET DO) cccsseesccssssssssssseecccsssssseeseesssssseseseesen 100

11 GIA TRI LON NHAT, NHO NHAT CUA HAM SO CHUA DAU GIA TRI TUYET ĐỐI 105

12 PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC VÀ MỐI QUAN HỆ VỚI ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ 112

13 DON DIEU, CUC TRI HAM SO f (u(x)) + V(2)) ssssssssssssssssssssssssssssssssessetssssesssssessesesessesee 120

14 TONG ON HAM Ö in 132

+ Seanmed wih |

(Beanscanne' Đ

Cho K € R, trơng đó K là một khoảng đoạn hoặc nưa khoang

1 Tính đơn điệu cua ham $6

Vinh bi

Cho ham sé y = f(x) c6 dao ham trén tap K Néu f'(x) > 0 (hoặc ƒ”(x) < 0) với mọi x

thudc K va f'(x) = 0 chi tại một số hữu hạn điểm của K thi ham s6 f (x) déng bién (hoặc nghjch biến) trên K

2 Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số

€@ [)inh nịnhia

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (4; b) (a có thẻ là —œ, b có thẻ là +e+)

và điểm xạ € (da; b)

e Nếu tồn tại số h > 0 sao cho ƒ(#) < ƒ(o) với mọi z € (xạ — h; xạ + h) € (a; b) và

x khac Xp thi ta noi ham s6 f(x) đạt cực đại tại xọ

e« Nếu lồn tại số h > 0 sao cho ƒ(#) > ƒ(%ạ) với mọi x € (%ạ — h;xạ + h) € (a; b) và

x khác zạ thì ta nói hàm số ƒ (x) đạt cực tiểu tại xọ

Trang 6 > Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn ® ng

@ Định lý

Giả sử hàm số y = ƒ(+) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm xạ và có đạo hàm trên các khoảng (a; xạ) và (xạ; b) Khi đó

e_ Nếu ƒ'(z) < 0 với mọi x E (a; Xp) va ƒ'(x) > 0 với mọi x € (zọ; b) thì xọ là một điểm

cực tiêu của ham s6 f (x)

e Néuf'(x) > 0 vi moi x € (a; x9) và ƒ'(x) < 0 với mọi x € (xạ; b) thì xọ là một điểm cực đại của hàm số y = ƒ(z)

Nếu ƒ(z) đồng biến trên K thì ƒ(ø(z)) > ƒ(h(x))© ø(z) > h() |

Nếu ƒ(z) nghịch biến trên K thì ƒ(ø(+)) < ƒ(h())© g() > h(z)

@ Ví dụ Bất phương trình V2x-12 xỶ+ (x- 1)” có bao nhiêu nghiệm nguyên?

zz Bài 1 — Nền tảng về tính đơn điệu và cực trị của hàm số Trang 7

Ta có bảng biến thiên của hàm số ƒ(z) như sau:

điểm có hoành độ x, và 1, với 0< x,<1 Vậy (2)© /(x)<0 © xe[x,;:1]

Do đó bất phương trình có đúng 1 nghiệm nguyên là x = 1

ó' Lưu ý: Khi thi trắc nghiệm, ta có thé dùng máy tính câm tay để giải bài toán nhanh hơn

Tim toa d6 cac dinh cua lat cat day nui trén doan [0; 2000]

Nguồn: SGK Toán 12 tập 1 — Chân trời sáng tạo

X aye ⁄ 4 OE 2025 môn Toán | hocimo, E

Từ đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (—2; —1)

@ Ví dụ 3 Cho hàm số ƒ(x) thỏa mãn ƒ'() = (lx| — x + 1)(x? — 4)(x* — 6) voi moi x ER,

Số điểm cực trị của hàm số f (x) la

S© Giải —- Chọn B Chú ý rằng |x| > *Vx €R, do đó |x| — x +1 >0 vx € R

c)_ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +œ)

d) Giả sử g() là một hàm SỐ thỏa mãn Ø (+) = ƒ(%) Vx € IR, khi đó g(x) cé dung 1 diém cuc tri, va do la diém cuc tiêu

> Giai - MEM a) IM Có ƒ”(+) = 3x” — 3 nên ƒ”(x) = 6z

b) M Có ƒ/(z) = 3x” — 3 nên ƒf(x) đổi dấu 2 lần qua các điểm x = 1,x = —1 Do dé

ham so f(x) co dung 2 diém cực trị

c) Ham sé f(x) co bang xét dau dao ham nhv sau:

Do đó hàm sô f(x) khéng đông biên trên khoảng (0; +œ)

d) MTacó: ø (x) = ƒŒ) = (x — 1)“(x + 2) Vx € IR, ta có bảng xét dấu g'(x) nhw sau:

@

Aw Bai 1- Nền tảng về tính đơn điệu và cực trị của hàm số [rang 2

@ Ví dụ § (trắc nghiệm đúng sai) Cho hàm số f(x) c6 dao ham

c) Ham sô f(x) đồng biến trên khoảng (1; 2)

d) Ham sé f(x) nhan điểm x = 2 làm điểm cực đại

S Giải - [vIIxl(vII

x=]

a) M ƒ{x)=0©|x=2

x=3 b) Ixl Nhận thấy ƒ(z) chỉ đổi dấu qua x = 1 va x = 2, nén ham số ƒ(x) có đúng 2 điểm cuc tri

= Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2)

d)_M Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy x = 2 là điểm cực dai

C BAI TAP REN LUYEN

Dạng 1 - Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương 3 Hàm số nào trong các hàm số sau đây

Don diéu A y=V3x' +1, B yav3x +1

I Cho ham sé f(x) = x(2x + 1) Ham sé

đã cho đồng biến trên khoảng nào sau G y= 3x? +1, Ú y= 93x) +l

đây? 4 Cho ham so f(x) đồng biến trên [0;2)

trí ni SOY = f(x) xác dinh, nhan gia

(1) <9, Khoảng nà E biên trên Iạ và

40 say đây lạ khoảng

23 Cho ham sé f(x) liên tục trên R và có

bang xét dau f’(x) nhu sau:

ff} - 0 + 0-ll+0-

= 3ai 1 — Mền tảng về tính đơn điệu và cực trị của hàm số Trang 11

Só điểm cực đại của hàm số đã cho là:

6 Cực tiêu của hàm số bang 1

C Cur tiêu của hàm số bằng —6,

0 Cực tiêu của hàm số bằng 2,

31 Cho hàm số

y=x+Ÿx '+1+Ÿxy`+1+ Je a1

Khăng định nào sau đây là đúng?

Hàm số đồng biến trên IR

B Hàm số đồng biến trên (—1;+00)

C Ham s6 déng biến trén (0;1)

Q Ham sé nghich bién trén (0; +0)

Dang 2 — Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai

32 Cho hàm số y = f(x) cé dé thi ham sé

b) Điểm cực đại cua f(x) la x = 2

c) Hàm số f(x) déng bién trên khoảng

36 Cho hàm số ƒ(x) = exŒ+4)

a) ƒf(x) = (2x + a)ex-4)

b) Ham sé f(x) dat eye trj tai x= +

c) Hàm số ƒ(x) đồng biến trên khoảng

-še=}

d) Điều kiện cần và đủ để ham sé f(2)

nghịch biên trong khoảng (0; 1) là

as-2

! Seanned ith

mem: Đ

c) Ham sé f (x) nghich bién trén R

d) Ham s6 f(x) c6 2 diém cuc tri

Cho hàm sé y = f(x) cé dao ham

—2x+8 khix>2 a) Ham s6 f(x) lién tục trén R

b) Hàm số ƒ(x) đồng biến trên khoảng

(0;2) và nghịch biến trên khoảng (2; 4)

! Seamed wth

mem: Đ

45, Cho ham sé ƒ (x) nghịch bién trén Re, Tap

nghiệm của bát phương trinh

Gọi khoáng (a; b) là một khoảng nghịch

biến của hàm só f(x) Hoi khoang (a; b)

chứa tối đa bao nhiêu giá trị nguyên?

48 Cho hàm số ƒ (x) liên tục trên I§ và có

bảng biên thiên như sau

ví khuẩn vào môi trudng dink

dưỡng, Băng thực nghiệm, người ta x4

theo thời gian bởi công thức; |

(t 2 0) Trong khoảng thời gian ber

nhiêu giây, kẻ tự lúc nuôi cấy, số lượng #1

ên?

|

lay dan en 41g thời gian nao cua

dian, ae HM thi van te tức thời của chở

Nam nePCh xuất khẩu ray qua cia Vie

% tinh x4p x; Đằng công thức — -

a

! Scanned with

Ñ0ntam: Đ=c quét b

b) Chứng mình rằng kim ngạch rau quả

của Việt Nam tầng liên tục trong các

nằm từ 2010 đến 2017

Xét mộội chất điểm chuyển động dọc theo

trục Øx Tọa độ của chất điểm tại thời

điểm t được tính theo công thức x(£) =

t*— 6t? + 9t với t > 0 Khi đó x'(£) là

vận tốc của chất điểm tại thời điểm t, kí

hiệu 0(f);0'(t) là gia tốc của chuyển

động tại thời điểm ¢, ki hiéu a(t)

a) Tìm các hàm v(t), a(t)

b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc

của chất điểm tăng? Trong khoảng

thời gian nào vận tốc của chất điểm

giảm?

Một nhà phân phối đồ chơi trẻ em xác

định chỉ phí C(x) va ham doanh thu R(x)

(déu tinh bing trăm nghìn đồng) cho một

loại đồ chơi như sau:

0,0001xỶ,0 < x < 6000

R(x) = 3,6x — 0,0005x?,0 < x < 6000

37,

trong dé x la số lượng đồ chơi loại đó

được sản xuất và bán ra

Xác định khoảng của x để hàm lợi nhuận

khoảng đó Giải thích ý nghĩa thực tiễn

của kết quả nhận được

Hàm chỉ phí và doanh thu (đều tính bằng

triệu đồng) của một loại sản phẩm lần

lugt la C(x) = 25,5x + 1000 va R(x), =

75,5x, trong đó x 1A so đơn vị sản phẩm

đó được sản xuất và bán ra

a) Tìm hàm lợi nhuận trung bình

~€

B(x) w RL~ Eee - ¥

Trang 15 b)_ Tìm lợi nhuận trung bình khi mức sản xuất x lần lượt là 100, 500 và 1000 đơn vị sản phẩm

e) Xét tính đơn điệu của hàm lợi nhuận trung binh P(x) trên khoang (0; +)

và tính giới hạn của hàm số này khí

x > +ơ, Giải thích ý nghĩa thực tiễn kết quả nhận được

Doanh thu R (USD) từ việc cho thuê x

căn hộ có thể được mô hình hóa băng hàm

SỐ

R = 2x(900 + 32x — x)

a) Tim ham doanh thu bién

b) Tim doanh thu bién khi x = 14 va

giải thích ý nghĩa thực tiễn của nó

c) Tìm lượng doanh thu tăng thêm khí

số căn hộ cho thuê tăng từ 14 lên l5

.Ở 0°C, sự mất nhiệt H (tinh băng Kcal/m?h) từ cơ thể của một người

được mô hình hóa bằng công thức

H = 33(10Vv — v + 10,45),

Trong đó 0 là tốc độ gió (tinh bang m/s)

a) Xét tính đơn điệu của hàm số H và

giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được

b) Tìm tốc độ thay đổi của H khi v =

2 m/s Giải thích ý nghĩa thực tiễn

của kết quả này

+ Seanned wth !

(Beanscanne' BD

"Sk

3

Giả sử hàm số ƒ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đ

đi một số hữu hạn điểm Nếu ƒ '(x) = 0 chỉ tại một

thì ta có quy tắc tìm giả trị lớn nhất và giá trị nhỏ

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm sô y = f(x) trén D, ki higu M = max f (x) néy

A trị nhỏ nhất của hàm số y = ƒ(3) trên D, kí hiệu m = min Ff (x) nà

am số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

ao ham trên khoảng (a; b), có thẻ trừ

số hữu hạn điểm thuộc khoang (a; b) nhất của ham sé ƒ(>) trên đoạn [a;]

như sau:

Bước I Tìm các điểm xị, Nay ors hip

0 hoặc không tôn tại

Bước 3 Tính ƒ(xị), ƒ(%;), , ƒf(xn), F(a) va f(d)

Bước 3 So sanh cac gia tr tim được & bude 2

Số lớn nhất trong các giá trị đỏ là giá trị lớn nhất của h

nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số

thuộc khoảng (4; b) mà tại đó hàm số có đạo hàm bảng

àm số ƒ(x) trên đoạn [a; b], số nhỏ

6 Bai 2 = Nên tảng về GTLN và GTNN của hàm số

max f(x) = Ya? + b?; min ƒ(x) = =Va? + b?

Hệ quả: max(a sin x) = lal; min(a sinx) = —|a|

Trang 17

b) Luu y vé gia tri ldn nhat va nho nhat cua hàm số ƒ(u(x)) trên D

Dặt t = (x), với x € D, giả sử ta tìm được tập giá trị của u(x) trên Ð là K Khi đó:

max ƒ(w(x)) = max f(t)

xe]

c) Bât đẳng thức Cauchy (BDT AM-GM) cho 2 s6 va cho 3 $6

Cho a,b là các sô thực không âm, khi đó

@ Ví dụ 2 Cho hàm số y = V4 + x + V4 — x Khăng định nào sau đây là đúng?

A Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 B Giá trị nhỏ nhất của hàm sé bằng 4

© Ham sé dat giá trị lớn nhất tại x = 4 Q Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0

® Giải - Chọn A Hàm số y = V4 +x+ v4 x có tập xác định: D = [—4; 4]

2J4+x 2Jf4—x Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [—4; 4], có yˆ = 0 tại x = 0 nên:

max y = max { v(-4),.»(0),9"(4)} = max {>v2:4]

min y = min{ y(-4),»(0),.(4)} = min {2/2;4] =2y2

4

+ Samed ih

(consumer D'=c quet b

Trang 18 > Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimg vn 8

© Vi du 3 (trac nghiệm đúng sai) Cho ham sé y = f (x) lien tục trên R va cé d6 thi nhy hj

vẽ, Biết trên các khoảng (—oo; —2] và [2; +00), f(x) la ham hang

`

—2 a) Ham số ƒ(z) không có đạo hàm tại x = —2 và # Z 2

b) Ham sé f(x) 6 3 điểm cuc tri

c) Gia tr nhỏ nhất của hàm số ƒ(+) bằng —2, đạt được tại x = Ö

d) Ham sé f(x) không có giá trị lớn nhất

© Giải — vIEllklEl

a) M Tir dé thi ham sé y = f(x), ta thay ham s6 ƒ(z) không có dao hàm tại x = —2 Và

x = 2,

b) El Ti dé thj ham sé y = f(x), ta thấy hàm số f(x) c6 dung | điểm cực trị là x = 0 (lưu

ý, các điểm x = 2 và x=-2 không là các điểm cực tri)

c) M Tir dé thi ham sé f (x), ta thay min f(x) = —2, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0,

a) EI Xét hàm số ƒ(x) có min f(x) = ƒ(1)=1 Nên hàm số #{(zx) có điểm cực trị l xe(0;2)

x =l Ta lại có ƒ(x) là một hàm số bậc 3 Kết hợp hai điều kiện trên thì hàm số ƒ (x x) phải có 2 điểm cực trị

b) EI Từ ý a ta có, hàm số có điểm cực trị là x=1, mà Z(I) lại là giá trị nhỏ nhất trên

khoảng (0:2) Suy ra x =1 1a diém cực tiểu của hàm số đã cho

+ Seanned vith

mem: Đ

6 Bài 2 - Nền tảng về GTLN và GTNN của hàm số Trang 19

m c) MVi ƒ()=b+c+4=l=b+ec=-3 (i) Ta laicé x=! Ia điểm cực trị cua hàm só,

nén f'(1)=3.1° +2b.1+c=0=> 2b+c=-3 (ii)

Tir (i) va (ii) suy ra, b=0, c=-3 > b? +? = 049=

d) MDat u(x)= _- Ham u(x) có tập xác bin 1; 1]

‘(x)= 0a x=0 Ta co bang bién thién cua ham

Từ đó ta được khi xe [-1:1] thi u(x)e | /2;2] Ta thấy hàm số / (x) đồng biến trên

đoạn | 2:2 |= max /(w(x))= max f(x)= f(2)=2?-3.24+3=5 Suy ra giá trị lớn

nhất của hàm số y=f( l—x+ I+x) bằng 5

@ Ví dụ 5 (trắc nghiệm điền đáp số) Một miếng bìa hình tam giác đều ABC có cạnh bing 16

Học sinh cắt một hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa trên làm biền trông xe cho lớp học buôi ngoạ! khóa (với M,N thuéc canh BC va P,Q lan luot thudc canh AC va AB), Gọi S là giá trị lớn nhat

của diện tích hình chữ nhật MNPQ Giá trị S? bang

¬

(ap dung sb<[ 5 ÌYa»eR) Vậy S? = (32¥3) = 3072

© Vi du 6 (trac nghiệm điền đáp số) Một hòn đảo ở vị trí € cách bờ biển đ một khoảng BC =

4 km, Trên bờ biên đ người ta xây một nhà máy điện tại vị trí 4 Để kéo đường dây điện ra ngoài

đảo, người ta dat một trụ điện ở vị trí $ trên bờ biển (như hình vẽ) Biết rằng khoảng cách từ B đến A la 16 km, chi phi dé lap đặt mỗi km dây điện dưới nước là 20 triệu đồng/km va lắp đặt ở đât liên là 12 triệu đông/km Hỏi trụ điện cách nhà máy điện một khoảng bao nhiêu km dé chỉ phí lap đặt thâp nhất?

Hàm số ƒ(+) liên tục trên [0; 16] nên

min ƒ(x) = min { /(0) £(3), ƒ(16)}= min{272;257;80./17 =251

C Bài 2 — Nền tảng về GTLN và GTNN của hàm số Ss

c BÀI TẬP REN LUYEN

pang 1- Cau hỏi trac nghiém nhiéu phương

án lựa chọn -

¡ Cho hàm sô y = ƒ() liên tục và có bảng

biến thiên trên đoạn [-13] như hình bên

Goi M là giá trị lớn nhất của hàm số

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số trên {0; 2] Giá trị của

y=v-x’ +5x+6 trén doan [-1;6], gid

tri cla M — m bang

Dạng 2 - Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai

17 Cho hàm số y = f(x) cé dé thi trên đoạn

d) Gia tri nho nhất của hàm số f (x) trên [0; 22] bang 0

Cho ham s6 f(x) lién tuc trên IR và thủ

! Seamed wth

mm Đ

*1 Một công ty san xuất một sản phẩm Bộ

phan tai chinh cua cong ty dua ra ham gia

ban la p(x) = 1000 — 25x, trong do

p(x) (triệu đông) là giá bán của mỗi sản

phẩm mà tại giá bán này có x sản phâm

duoc ban ra

2) Ham doanh thu cua cong ty: f(x) =

x p(x)

b) Ham sé f(x) = —25x? + 1000x cd

dao ham f'(x) = —50x + 1000

c) Néu f(x) = xp(x) 1a ham doanh thu

thi phuong tinh f’(x)=0 có

13, Cho hàm số ƒ (x) xác định và liên tục trên

R, vả có bảng biến thiên như hình vẽ dưới

Với g(x) = ƒ(Vã cosx — sinx + a)

a) Ham sé y= f(x) đồng biến trên khoảng oy

24 Cho ham sé y = f(x) la ham sé lién tuc

trên IR và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

c) Gia tri nho nhat cua ham sé f (x) trên

đoạn [0; 10] đạt được tai x = 1,5

n ire

Dang 1 - Câu trả: nhiệm trả lời ngắn Q

*h Chủ parabo! ()iy=x” và điểm

AC= 330) Xác định M£ (P) sao cho

Khoảnh cách AM IpẪUU nHẤtI và tÌm

khoảng cách ngân nhất đó,

S Đáp số; ,

37, Hiết pid (Ì nhỏ nhất của hám số

yaw pba tren VỊ [25 1,5) 101, Gia tr

củu # bằng bao nhiêu?

29 Cho hàm số ƒ(x) = x4 — gy? +1, Gid

tr} lon nhất eta hàm số f(x) trên

I=333; 222] đạt được tại x bằng bao

nhiêu?

7

30 Cho hàm số ƒ(x) = x2 ~ 2In x, Néu giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x)

trén doan [e”1; e] lần lượt là M' và ?m thị

M + 2m — e=! bing bao nhiéu?

© Đáp số:

31 Goi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và

gid trị nhỏ nhất của

hàm 54 SI1+x +]

Xét trên tap $0 nguyên, có bao nhịa

trị của X dé ham 86 f(x) dat gid

phat trên Z7

2 Đáp số: nHH.0.00 08 a

Goi M va m Ian lugt la giá trị lớn thý

và giá trị nhỏ nhật Cla f(y)

nhát và nhỏ nhất của hàm số ƒ(x)

© Đáp số: Tư Trong mặt pháng tọa độ Oxy, y parabol:

(P):y = x7 và diém A(—2; 0,5),

Gọi M là một điểm bắt kì thuộc (P),Q,

a+byi0, VOl a,b eZ, Gid tri cia ath

bang bao nhiéy? 3

Trong một kho co nhiều miếng tôn hình

chờ nhật khác nhau đủ loại kích thước cỏ

Hỏi bác thợ hàn cần chọn miếng tôn có

chiều rộng và chiều dài bằng bao nhiêu đẻ

thẻ tích chiếc thùng là lớn nhất?

S© Đáp số:

Một con cả hồi bơi ngược dòng đẻ vượt

một khoảng cách là 300km Vận tốc

đòng nước là 6 km⁄h Nếu vận tốc bơi của

cả khi nước đứng yên là v(knvh) thi nang

lượng tiêu hao của cá trong thời gian ¢

giờ được cho bởi công thức E(v)=cv'r,

trong đó c là 1 hằng số, E£ được tính

bing /ư Tìm vận tốc bơi của cá khi

nước đừng yên đẻ năng lượng tiêu hao là

ít nhất

S Đáp số:

Dạng 4 — Bài tập tự luận (SGK và SBT)

44, Một trang sách có dạng hình chữ nhật với

diện tích là 384 cm2 Sau khi đẻ lề trên

và lề dưới đều là 3 cm, đẻ lẻ trái và lề phải

đều là 2 cm, phần còn lại của trang sách

được in chữ Kích thước tối ưu của trang

sách là bao nhiêu để phần in chữ trên

trang sách có diện tích lớn nhất?

Trang 25

45 Giá sử chỉ phi tiền xăng € (đòng) phụ

thuộc tộc độ trung binh v (kmh) theo

công thức:

16000 § C(v)= +=v(0<v < 120)

a) Khao sat và về đồ thị hàm sô € =

€(v) trên trên (0; 120]

b) Tài xẻ xe tải lái xe với tốc độ trung

bình là bao nhiều đẻ tiết kiệm tiền

xăng nhất?

46 Trong một nhà hàng, môi tuần đẻ chê biên

x phần ăn (x lấy giả trị trong khoảng từ

30 đến 120) thì chỉ phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) cua mot phan an duge cho

bởi công thức:

C(x)=2x ~230+-T= = a) Khao sát và về đồ thị hàm số

em

4cm

A \ B Tính khoảng cách AB đẻ khoảng không gian trong léu là lớn nhất

48 Một nhà in sử dụng các trang giấy hình chữ nhật để in sách Sau khi đề lề trái, lề

phải, lề trên và lề dưới theo sé liều được cho ở hình về thì điện tích phần ìn chữ trên trang sách là 24 inch, Tỉnh kích

thước của trang sách đề điện tích ø giấy cần

sử dụng là ít nhất?

Stevi |

Blas came Ð =c quét b

49 Một nhà phân tích thị trường làm việc cho

một công ty sản xuất thiết bị gia dụng

nhận thấy rằng nêu công ty sản xuất và

bán x chiếc máy xay sinh tô hằng tháng

thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là

Khi chỉ sản xuất một vài máy xay sinh

tố, công ty sẽ bị lỗ (vì lúc này lợi

nhuận âm) Hỏi hằng tháng công ty

phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc

máy xay sinh tố đề hoà vốn?

Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể

đạt được là bao nhiêu? Công ty có nên

sản xuất 200 chiếc máy xay sinh tố

hằng tháng hay không?

50 Lợi nhuận thu được P của một công ty khi

dùng số tiền s chi cho quảng cáo được

cho bởi công thức:

P=P(s)= +6sˆ +400, s > 0

10

Số tiền được tính theo đơn vị nghìn USD

a) Tìm số tiền công ty phải chi cho

quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối

đa

b) Lợi nhuận thu được của công ty thay

đổi thế nào khi số tiền chi cho quảng

cáo thay đôi?

oi

> Dd Van Durc | Khoa hoc IMOE 2025 mén Toản | hocimo.vn `

—

Hai nguồn nhiệt đặt cách nhau s mét, nạ

nguồn có cường độ a đặt ở điểm Á và mì

nguồn có cường độ b đặt ở điềm §

Cường độ nhiệt tai diém P nằm trên doy

thăng nối 4 và B được tính theo Công, thức:

a

Trong đó x (m) là khoảng cách giờa P vì

A Tai điêm nào giữa 4 và Ö, nhiệt độ sà thâp nhât?

Một chiêc xe nhỏ chuyên động không cỏ

ma sát, gắn vào tường bằng một lò xu (xem hình vẽ), được kéo ra khỏi vị tr đứng yên 10 cm rồi thả ra tại thời điểm ban đầu £ = 0 giây đê chuyền động trong

4 giây VỊ trí s (cm) tại thời điểm £ giây

la s=10cos zt

—

a) Tốc độ lớn nhất của xe là bao nhiêu?

Khi nào xe chuyền động với tốc độ như vậy, khi đó xe đang ở vị trí nào

và gia tốc lúc đó có độ lớn là bao nhiêu?

b) Xe ở đâu khi độ lớn gia tốc là lớn

nhất? Khi đó vận tốc của xe là bao

nhiêu?

+ Seamed wih (Beanscanne' Đ

g Bai 3 — Bai todn toi wu tng dung gia trị lớn nhất, nhỏ nhất Trang 27

| MATH | BAI TOAN TOI UU >

UNG DUNG GIA TR] LON NHAT, NHỎ NHẤT 7

Độc điềm của cúc bài toán thực tế là ta phải sử dụng các công cụ toán học đã

biết đê chuyển đổi bài toán có lời văn thành dạng toán quen thuộc, tìm giá trị

lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Muốn vậy ta cần nắm chắc các công thức hình

học về diện tích, thể tích, các công thức liên quan tới vật lý như mối quan hệ

giữa quãng đường, vận tốc, thời gian, các công thức liên quan tới năng suất

lao động,,

A TOM TAT KIEN THUC

Gia sử y là một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng thay đổi x và ta có hàm số y = f(x)

Khi đó, đạo hàm f'(a) là toc d6 thay đổi tức thời của đại lượng y = ƒ(+) đối với đại lượng

x tại x = q

e Nếu s = s(£) là hàm vị trí của một vật chuyên động thẳng, thì = s'(£) biểu thị vận

tốc tức thời của vật Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thoi cua vat: a(t) = v'(t) = s"(t)

¢ Néu C = C(t) la néng d6 cia mét chat tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm t, thì

C'{£) là tốc độ phản ứng tức thời của chât đó tại thời diem t

¢ Néu P = P(¿) là số lượng cá thể trong một quân thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm £, thì P“(£) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quân thể tại thời điểm ¿

s NếuC= C(z) là hàm chi phí, tức là tông chi phi san xuat x don vi hang hoa, thì tôc độ thay đôi tức thai C’(x) cua chi phi đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi

là chi phí biên

Quy trình giải một bài toán tối ưu hoa:

© Dạng ]: Các bài toán thực tế đã mô hình hóa bằng một hàm số toán học

+ Samedi Ñ0memz DGyc quet b

° Bude I Xác định đại lượng @ cần cực đại hoá hay cực tiêu hoá và biểu thị ng

các đại lượng khác trong bải toán s +

® Bước 2, Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biêu thị cáe đại lợi, LÁ

khác ở Bước I theo x, Khi đó, đại lượng Ø sẽ là hàm của một biên x, Tìm tập xác định của hàm Q = Q(x)

s Bước 3, Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số @ = Q(x) bằng phương pháp đã biết và két luận,

Với hai bộ số thực (ø,, a;, , ø„) và (b,, b,, , b, ), ta luôn có;

(a +a; + +42 Ì(bỷ +b) + +b?) 2 (a,b, +a,b, + 4 a,b, y

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số (a,,a,, 4,) va (,,0,, , b„ ) là hai bd sd tik

3 Bất đẳng thức tam giác

Với 3 điểm A, B,C bat kì, ta có: AB + AC > BC, Dau bằng xảy ra khi và chi khi 4 nằm gi

B và C

Với 3 điểm A, B,C bat ki, ta có: |4B — AC| < BŒ Dấu bằng xảy ra khi 4 nằm trên đườt

thang BC và nằm ngoài đoạn B€ (có thể trùng với các đầu mút),

Tổng quát: Trong tất cả các đường gắp khúc nối hai điểm 4 và B cho trước thì đoạn thử

AB có độ dài nhỏ nhât

© Ví dụ 1 Bạn Việt muôn dùng tâm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, #

đáy là hình vuông băng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bến góc của tắm bìa (hình vẻ)

! Seamed wth

mem: Đ

à¡ 3= Rài toác tổ: we UTE Cure FA th lon nhất, nà “hết ag ~Š

Ban Viet muda tim do dit cank hink vadeg cin cit bo dé cinée hip Gu he tek iow chic

a) Hiy thict ip him sd dé bigu thi thé neh bink bp theo x wet x (am) 1b 65 Gz ah: ob

vudng cin cit d

$ và cát inch Vi sO Cin Chae ED

fi" t ‘ty

may

~ Ga Một cạnh của tim bìa hình wodeg san khi cit di rd think: 6 — 2x, Sée b=

Đâu bằng xảy ra khi và chỉ kh: 4x = 6-2r oo r=!

Vậy bạn Việt nên cắt ở 4 cóc ởi 4 hành vuôcec, côi bith vate: oo Sie cash bing 1 d= thẻ tịch chiếc hộp thu được là lớn phác

Bài toán tông quát

f

Từ một tâm tôn hình chi nhật có kích thước là {xe (với œ < È) Người tá củ hò 4 bà

¡ vuông bằng nhau ở + sóc rồi gò thành rnột bệnh bộp chờ chì | khéee oO nip Hos camh o

> Đỗ Văn Đức : | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo

Trong trường hợp tổng quát, ta tính duge V(x) max đạt Guợ | —

Lưu ý: Õ ví dụ trên, ta đã sử dụng công thức tính thể tích của Ti we chữ nhật c thước dài, rộng, cao là a,b,c thi V = abe De có thê giải wen a " loan này, nắm vững toàn bộ các công thức tính thê tích, diện tích của các KHƠI hình,

© Ví dụ 2 Độ bền Š của dằm gỗ hình chữ nhật tỉ lệ với tích của chiều rồng w và bình Phu,

chiều sâu đ của nó (xem hình vẽ) Tìm kích thước của dâm go ben nhât có thê được cất tị tụ

khúc gỗ có hình trụ có đường kính bằng 12 inch

Nguồn: Sách bài tập Kết nối tri thức và cuộc sống - Toán

S Giải

Từ đề bài suy ra công thức tính độ bền của dầm gỗ có dạng $ = kwđ2 với hằng số k >I

cô định nào đó (là hệ sô tỉ lệ)

Vậy dầm gỗ có độ bên lớn nhất khi có chiều rộng w = 4/3 inch và chiều sâu d = 4V6mủ

© Vi dy 3 Một xưởng mộc dùng gỗ gụ để sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày Chỉ phí cho mỗi

vận chuyển nguyên liệu là 5000 USD, chỉ phí để lưu trữ một đơn vị nguyên liệu là 10 USD”!

ngày, trong đó một đơn vị là lượng nguyên liệu cần thiết để sản xuất một chiếc bàn Hỏi mỗi”

xưởng mộc nên đặt mua bao nhiêu đơn vị nguyên liệu va bao lâu đặt giao nguyên liu mot

chỉ phí trung bình hằng ngày (bao gôm chỉ phí vận chuyển và chỉ phí lưu trữ) trong chu kì sản

giữa các lần giao là ít nhât?

_ Trong mỗi ngày của chu kì sản xuất, lượng nguyên liệu cần được lưu trữ trung bình là :

đơn vị nguyên liệu Do đó, chỉ phí đề lưu trữ nguyên liệu trong ngày của chủ kÌ sản xuẤt

là = = 25x?(USD)

Từ đây, chỉ phí cần bỏ ra cho mỗi chu kì sản xuất là C(x) = 5000 + 25x“ Do đó, ta có

tả hàm chỉ phí trung bình hằng ngày trong một chu kì sản xuất là

C(x c(x)= cụ) ome 4+ 25x,

‘© Ví dụ 4 Một nhà sản xuất độc quyền một loại bánh gia truyền để bán

Ta thị trường trong dịp Tết năm nay Qua thăm đò và nghiên cứu thị trường

biết lượng cầu về loại hàng này là một hàm số Qp(P) = 656 — ; P theo

đơn giá P Nếu sản xuất loại bánh này ở sản lượng @ thì tông chỉ phí là

.€(Q) = g3— 770? + 10000 + 100 Tim mức sản lượng Q dé doanh

nghiệp có lợi nhuận cao nhất sau khi bán hết loại bánh này với đơn giá P,

biết lợi nhuận băng đoanh thu trừ đi tông chi phí, doanh thu bằng đơn giá nhân sản lượng bán được

Trang 32 „ Đỗ Văn Ð : ức rc | Khoa hoc Se NOcim, ñ

C BAI TAP REN LUYEN

Phan 1 Bai tap luyén tap

‘) = 0,025x° (30-,

xi cong thire G(x) = 0,( X) te

I D6 giam huyét áp của một bệnh nhân được cho bởi công ( ) tụ

bn (x inh bang mili 24M), Tink

lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân đề huyết áp giam nhie

= Đập SỐ: ng

oe + nhat cd day 1a hình vuông không có nắp C6 th

Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp chữ nhật có y à ít nhất Giả sử dé Ade eaters

tích chứa được 4 dmỶ, Tìm độ dài cạnh đáy để lượng vàng mạ là ít nhất Giả sử độ dày cụ l

mạ tại mọi nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau

~> Dap số:

Ban A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh ton hinh tăm gi

đều ABC có cạnh bằng 90(em) Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh

nguyên liệu (với M, N thuộc cạnh BC, P va Q tương ứng thuộc cạnh 4€ và 4B) đẻ tạo thải

Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ có thẻ tích ⁄ nhất định, Biá; rằng giá của vit lif

am mat day va nap cia thùng Đăng nhau và gấp ],5 làn sọ với giá vật liệu đã làm mặt ôi đơn vị diện tích) Gọi chiều cao của xu

thước x, y, z (dm) Biết tỉ số hại cạnh đáy là x: Y=133 ya dae NÓ Hấp va có xù

tốn ít vật liệu nhất thì tong x+y

hình vẽ Gọi ” là bán kính của nửa đường tròn, tìm z để eae khung cửa số có dang nb

©) tao thanh dat gid trj 16m

! Scanned with |

(Beanscanne' Đ

3 Bài 3 - Bài toán tối ưu ứng dụng; giá trị lớn nhất, nhỏ nhất rị + rang 33

phân đât được mở rộng băng bao nhiêu?

m duge chia lam 2 phan, phan thứ nhất gập thành

| tam giac đêu và

9 Một sợi dây có chiều dai | tròn (như hình vẽ) De

ˆ Tìm chiều dài của sợi đây gập

thành tam giác đều dé tong di

_ ® Đáp số: -

+ Seanmed wih |

Ñmamr ĐÐ =c quét b

ng

lan 44 h Đỗ Vấn Dức | khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocing ;

Nụ, 4

p thành một hình vuông Hỏi ạa a

phar đầu pất› thành mot tam giác đều, Phan con lai ga

HW bang bao vhieu (m) đề tổng diện tích hai hình tren

120m H tt

Nhà trường có thiết kế hai khu vệ sinh dành cho giáo viên và học sinh ở hai vị trí € và H nh

trong hình Trên cạnh SE người ta muốn chọn một vị trí để khoan øiế , ` 7 o sinh, Hỏi đoạn đường ông ngắn nhất mà nhà trường có thê thiết kế (a on đãi ống fe =ì

© Đáp số:

tà, Trong hình về, cho bờ tường Cy va mat day Cx CF Ôt côt đã saa asd

và cách bờ tường một khoảng 0,4 m, chiều dai ede nữ là Me wah ng Sone LO

đai bại toe sO tg Sur er Yom tt, ond oe Trang 35

Người ta thiệt kế mot cai thang AB sao cho nỏ có thẻ đựa vào bờ tường Cy và chạm vào mái

ất Cx, dựa v ào cột đờ DH, Tính chiều đài nhỏ nhất của cái thang thỏa mần yêu cảu trên (làm Aton téi chữ số thập phần thứ hai)

L 5 Đáp số:

14 Hai nha may được đặt tại các vị trỉ 4 và B cách nhau 4 km Nhà máy xư lí nước thải được đãt

vị trí € trên đường trung trực của đoạn thăng AB, cach trung diém M cua doan thăng AB mot

-_ khoảng là 3 km Người ta muốn làm đường ông dẫn nước thải từ hai nhà máy 4, 8 đến nhà máy xử lí nước thai C gồm các đoạn thing Al, BI va IC, voi] la vi i nam giira M va C (nhu hình về)

600 m Người ta muốn xây dựng một trạm bơm nước trên bờ sông đẻ dân nước về hai ngôi

| J làng Họ phải tính toán chọn vị trí trạm bơm sao cho tông khoảng cách từ trạm bơm đền hai : A ngôi làng là ngắn nhất

-~~

| -~*

6 Một người đàn ông muốn chèo thuyền từ vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đôi diện càng

nhanh càng tốt trên một bờ sông thăng rộng 3 km (như hình về) Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C va sau đó chạy đến B, hay cỏ thẻ chèo trực tiếp đến 8, hoặc

Stevi |

Gtaiene DI}C quét b’ng CamScanner

anh ta cd the chéo thuyén den mot diem Z vả guang Gung gC = 8km ‘

the chéo thuyén 6 kin’h, chay bO * kav,

Hiết tốc độ động nước là khóng đáng kế so với tóc đS €hẽS +2 men s Pa Tạ

( LÍ dã 4 { oe 4 he tiến it (jam Ton iol Hane mì

gian ngân nhất đề người đán ông đến vi tri Ð la bao 7:13 phot (Jam E ẩm xị

Đ Đáp sỐ:

L7 Một màn ảnh chữ nhật đải 1,4 m được treo thăng đứng trên tường 9 50 Sad 34 Msp wty

1%, Hai con chudn chudn bay trên hai quỹ đạo khác nhau xuẫ +

trên quỹ đạo lá đường thăng từ điểm 4(0;100) đến điểm O(0;0) VỚI na ni

r ItÀI tuân ĐÔI (0 (ng dị

SE

TE LA tHỊ làn thất, nhà nhật Hoi trong quid iil bay IN khoảng deh nea ni : ` —— ` — đi i chứ xổ thay phan the had BÂN nhật hài còn đạt được là bao nhiều (làm tròn đến

2 DÁp BỐI

ot ð( dụng thị điền kính v

s0 1ì và chiều đài 200 m, Một vận dà viên di hải thực hiện lộ trình xu tụ Viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) khi HH HH Hán hề bai sô chiên Ông

\) ‘ and ‘ng vi ss ie i \ a WA den Baie hint va Nôi rằng sau khi chạy được bao xa

vận độn VIÊN SN chay trên bờ và khi bơi lần lượt là 3Ä m3 và 1Š mà

1, Một người nuôi cá thí nghiệm trong hồ, Người đỏ thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị điện tích của

mặt hồ có ø con e Á thÌ trung bình mỗi con cả sau mot vụ cần nặng P{n)= 4§0— 30n (gam),

Hỏi B thả bạo nhiêu cá trên một đơn Vị điện tích mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều

13 Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng (xem hình bèn) Hai mặt bền

APP'A' và ACC!A' là hai tắm kính hình chữ nhật đài 20 m, rộng 5m Gọi x (mm) là độ đài của

canh BC,

9) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo %

+ Samed ih mem: Đ

36, Một chiếc hộp dạng hình hệp chữ nhật có đây là hình vuông và có thê tích là 2 000 cmŠ, Các kích thước của chiệc hộp là bạo nhiều nêu muền lượng vật liều đùng đề sản xuất chiệc hộp 2B

tò nhật)

3, Một hòn đảo nhỏ cách điểm #} trên bò biên Khoảng 3 Km, một thì trần ở điểm A cách điềm £ {3 km (xem hình về), Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc 3,5 m/h và đì bộ vớ vận tốc 4 kua/h thì thuyền tYên neo đầu ở vị trí nào trên đoạn Pa đề tười đỏ đến thị train trone

khoảng thời gian ngần nhất

3q, Doanh sế bán hệ thông âu thanh mỏi nai trong meat Khoảng thòi wÌan dự kiển sề tuân the

S000

Lake’

tốc độ bán hàng đạt tối đa vào nai nado?

đường cong logistic A= A(x) = VO, trong dO thoi gian x dinge tink bing nam, HO

+ Seanned vith (Beanscanne' Ð =c quét b

B Bài 3 — Bài toán tối ưu ứng dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Trang 33

19 Mot đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giá Với giá môi vé _ 1a 100 nghin đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người Qua thăm dò dư luận ngươi !2

-_ thấy răng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3 000 khán gia Hỏi

ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu đẻ doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhát?

90, Một nhà sản xuất trung bình bán được 1 000 ti vi man hình phăng mỗi tuản với giá 14 triệu

đồng một chiếc Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng néu cứ giảm giá bán 500 nghìn đóng

| số lượng tỉ vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuân

'a) Tìm hàm câu

b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhát?

e) Nếu hàm chi phi hang tuan la C(x) = 12 000 — 3x (trigu đồng) trong đó x là số tí vi ban

| ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào đề lợi nhuận là lớn nhát?

31 Một công ty ước tính rang chi phi C (USD) dé san xuat x đơn vị sản phâm có thê được mô -hình hoá bằng công thức

(1) Chi phi, chi phi trung binh va chi phi bién khi san xuat 100 don vi hang hoa:

(ii) — Mức sản xuất và khi đó sẽ giảm thiểu chi phí trung bình;

— (Hi) — Chi phí trung bình nhỏ nhất

ee Cho ham chi phi C(x) = 16000 + 500x — 1,6x? + 0,004x là hàm chi phi va p(x) =

“1700 — 7z là hàm cầu Hãy tìm mức sản xuất sẽ tôi đa hóa được lợi nhuận

34 Một hộ làm nghề đệt vải lụa tơ tầm sản xuất mỗi ngày được + mét vải lua (1 < x < 18) Tông -_¡ chi phí sản xuất x mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chỉ phí:

“Giả sử hộ làm nghề đệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn dong’ mét

Gọi B(x) la số tiền bán được và L() là lợi nhuận thu được khi bán x mét vải lụa

Ễ by a) Hay viét biéu thirc tinh B(x) va theo L(x) theo x

, - b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y= L(x) trên [1; 18]

; ị c) Hộ làm nghề dét nay can sản xuat và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa để thu được

lợi nhuận tối đa? Tính lợi nhuận tối đa đó

35 Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có thê tích 500 cmŠ với yêu cau yy

Bi dùng ít vật liệu nhất Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x,y với x > 0 và

y>0,

°' a) Hãy biểu thị y theo z

bá b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là S (x)=500+4x+ 1000

| Khóa học IMOE 2025 môn Toán | học;

©) Lập bảng biến thiên của hàm so S ics ít vật liệu n

d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dung 1" V¢

nói đỉnh và tâm bà

Người ta cặt hình nón, trụ này theo mặt phăng chứa đường

k đáy của hình nón thì thụ được một hình phăng như hình vẽ

r 5cm a) Chimg minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h

5(12—h)

po

12 khối trụ theo h: