Tìm hiểu và trình bày một hoặc một vài mô hình phát triển dân số của quần thể sinh vật trong các Điều kiện môi trường khác nhau

Với mong muốn mô hình hóa sự phát triển của nó theo thời gian, ta giả định việc sinh sản được thực hiện liên tục bởi tất cả các thành viên, không phân biệt tuổi tác hay giới tính, với tỷ

ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ THÀNH PHÓ HỖ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA CƠ KHÍ

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

PHƯƠNG PHÁP TÍNH (MT1009)

Đề tài bài tập lớn:

TIM HIEU VA TRINH BAY

MOT HOAC MOT VAI MO HINH

PHAT TRIEN DAN SO CUA QUAN THE SINH VAT

TRONG CAC DIEU KIEN MOI TRUONG KHAC NHAU

Lép TNO1 - Nhóm 4 Giảng viên: Phùng Trọng Thực

TP Hồ Chí Minh, Tháng 11/2023

oe Khoa Co khi

DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHI MINH TRUONG DAI HOC BACH KHOA KHOA CƠ KHÍ

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

PHƯƠNG PHÁP TÍNH (MT1009)

BK TP.HCM

L6p TNO1 - Nhóm 4

Sinh viên thực hiện

Ảnh sinh viên

Mã số sinh viên Họ và tên Gmail

221248 Trần Thị Quỳnh Như nhu.tranokel23@hcmut.edu.vn

2212665 Hồ Thị Mỹ Phụng phung-hothimy@hcmut.edu.vn

2212847 Lé Thi Ngoc Quyén quyen lequyen1305@hcmut.edu.vn

2212893 Neuyén Thi Diém Quynh | quynh.nguyenmeraki@hcmut.edu.vn

2213557 Phan Thi Thu Trang trang.phanthithu@hcmut.edu.vn

2 The Struggle for Life, I 11

3% khoa Cơ khí

1 M6 hinh Logistics

1.1 Tổng quan lý thuyết

Một quần thể có thể bao gồm con người, động vật, côn trùng, vi khuẩn hoặc các sinh vật tự sinh sản

khác Với mong muốn mô hình hóa sự phát triển của nó theo thời gian, ta giả định việc sinh sản được thực hiện liên tục bởi tất cả các thành viên, không phân biệt tuổi tác hay giới tính, với tỷ lệ đầu người trung bình r Hằng số này là sự khác biệt ròng giữa tỷ lệ sinh và tỷ lệ tử vong bình quân đầu người trên toàn bộ dân số Mức dân số tại thời điểm # được ký hiệu là W()

Mặc dù N có giá trị nguyên nhưng việc coi ý là hàm trơn không phải là một hạn chế nghiêm trọng Vì

vậy, để việc tính toán diễn ra đơn giản hơn, ta coi W là một hàm trơn

Xét môi trường sống kín (không có đi cư và nhập cư) Mỗi cá thể của quần thể sinh sản với cùng tỉ lệ bình quân đầu người r

Khi đó tốc độ tăng trưởng của quần thể là: N = rX (1.1)

Ta có nghiệm đơn giản của phương trình trên là: NŒ) = N(0)e? (1.2)

Từ nghiệm trên, ta thấy, dân số của quần thể tăng không giới hạn khi £ tăng Điều này là vô lý trên thực

Có thể thay thế r thành r[1 — NO) (1.3)

Khi đó ta có công thức (1.1) được viết lại thành N = rN[1 — 4] (1.4)

Đây được gọi là phương trình logistic Vì N > 0 déi véi N nim trong khoang 0 va K, do đó, theo thời gian, NV chuyén dong tiém can vé phia K trit khi ban đầu nó ở một trong những điểm dừng này (0 và K) Do đó, số 0 là trạng thái không ổn định trong khi # là trạng thái không ổn định Quan sát thấy N() bằng K là nghiệm của 1.4 Do đó, không có quỹ đạo nào có thể vượt quá giá trị K nếu nó bắt đầu

từ bên dưới hoặc trên giá trị này do tính duy nhất được giả định của các quỹ đạo

Một cách tiếp cận khác để ổn định có được bằng cách sử dụng Taylor’s Cho là điểm cân bằng 1.4 (bằng 0 hoặc #)

Dat u(t) = Nt) —N

Khi đó, khai triển Taylor bậc 1 cho ta xấp xỉ: ƒ(N) = ƒ(N)+ HN)

Nếu lay f(N) =rN[1— 4], thi f(N) = 0 Hon nita, u’ = N’, ta duge phuong trình tuyến tính hóa tương ting vdi phuong trinh 1.4: u’ = r[1 — 2 NY) (1.5)

nghiệm của nó tăng theo cấp số nhân khi z > 0 Điều này cho thấy số 0 thực sự không ổn định Mặt khác, Ñ = K cho: tứ = —ru,

Và trong trường hợp này, œ có xu hướng tiến về 0 khi ¿ tăng nên dường như là ổn định Những hiểu biết định tính này hoàn toàn được chứng minh bằng cách giải phương trình 1.4 một cách rõ ràng Biến đổi 1.4 rồi lấy nguyên hàm, ta được:

Bài tập lốn Phương pháp tính - TNO1 Nhóm 4 Trang 3/24

Hinh 1: Solution of Equation 1.4 for ry < 1m < T3

N(t) tién toi K như mong đợi với điều kiện ban đầu quỹ đạo không ở điểm dừng Đồ thị của W() có dạng chữ "§" đặc trưng biểu thị tăng trưởng nhanh khi N < Ã (dễ dàng kiểm tra Š là điểm uốn 1.6)

và tăng trưởng chậm hơn sau đó (Hình 1) Điều này cho thấy tác động của tình trạng quá đông đúc và cạnh tranh khi dân số tăng lên và nó mang lại kết quả gần giống với những gì người ta quan sát thực tế hơn so với mô hình đơn giản hơn 1.1

Nếu việc di cư được cho phép, đặt #2 > 0 biểu thị đồng chảy ra bình quân đầu người và # không đổi Ví dụ: nếu là dân số của một quốc gia nào đó và cứ 100 người thì có 5 người di cư mỗi ngày thì # sẽ là

0.05 Hoặc nếu W biểu thị mức độ cá trong hỗ và tỷ lệ đánh bắt là một trên mười con cá thì # là 0.10

Bởi vì dòng chảy ra ngoài làm giảm dân số nên 1.4 phải được sửa đổi:

Giả định rằng tốc độ tăng trưởng bình quân đầu người giảm khi N ting do tình trạng quá đông đúc và cạnh tranh Tuy nhiên, có thể hình dung rằng một quần thể bị ảnh hưởng bởi môi trường của nó theo những cách hoàn toàn khác nhan Ví dụ, những loài cá bơi theo đàn dường như được bảo vệ tốt hơn trước những kế săn mỗi so với khi chúng bơi một mình Ý tưởng về số lượng an toàn này gợi ý rằng tăng trưởng bình quân đầu người có thể tăng theo W đối với các giá trị nhỏ của dân số vì đám đông lớn hơn

sẽ nâng cao cơ hội sống sót Tuy nhiên, khi ý đủ lớn, tác động của tình trạng quá đông bắt đầu được cảm nhận và tốc độ tăng trưởng bắt đầu giảm Gọi ƒ(N) là tốc độ tăng trưởng Tất cả những gì chúng

N va giam sau do Phuong trinh 1.4 san đó tông quát hóa thành:

ta cần giả định bây giờ là tỷ lệ bình quân đầu người tăng cùng với W khi N nhé hon một số giá trị

N'=/(N) (18)

Một tình luống điển hình được thể hiện trong Hình 2 khi nó được so sánh với trường hợp logistic Một

khả năng khác là số lượng cá thể trong quần thể quá ít sẽ gây bất lợi Khi môi trường sống rộng lớn, số lượng nhỏ có thể dẫn đến sự tuyệt chủng vì không có đủ cá thể để giao phối Để mô hình bị kịch này, hãy giả sử tốc độ tăng trưởng âm đối với N nhỏ hơn giá trị tới hạn Ñ nào đó Một trường hợp điển hình được phác họa trong Hình 3, trong đó sự tăng trưởng chỉ mang tính logistie đối với N > Ñ

Bài tập lốn Phương pháp tính - TNO1 Nhóm 4 Trang 5/24

Bay giờ chúng ta sẽ loại bỏ hạn chế này khỏi mô hình logistic Cho # thay đổi theo thời gian Ví dụ, giả

sử khả năng tăng trưởng của quần thể dao động theo mùa do sự khác biệt về ánh sáng mặt trời và nhiệt

độ Khi đó # sẽ là một hàm gần đúng tuần hoàn với thời hạn một năm Với #{ thay đổi, 1.4 trở thành:

# '{Ð + ra() — =0 (1.12)

K(t)

Tất nhiên chúng ta quan tâm đến W, N don giản là nghịch đảo của # Như hiện tại, 1.12 hơi quá chung chung để có thể thực sự hữu ích Một mưu đồ mô hình hóa tốt là đưa ra các giả định hợp lý giúp đơn giản hóa giải pháp của nó cho đến khi nó trở nên dễ thực hiện Tuy nhiên, chúng ta sẽ không xem xét

Hình 6: Kết qué ham Logistic sau khi chay code Python

Bai tap 1én Phudng phap tinh - TNO1 Nhém 4 Trang 10/24

e Khoa Co khi

2 The Struggle for Life, I

2.1 Cơ sở lý thuyết

Chúng ta đã xem xét động lực tăng trưởng của một dân số đơn lẻ Những ý tưởng này hiện được mở rộng

để bao gồm hai dân số tương tác với nhan, mức độ của chúng tại thời điểm ¿ là Ñ¡ (#) và ẤNa(#) Các mô hình được thảo luận dựa theo công trình của Volterra và Lanchester, cùng với những mô hình khác, và hiện nay đã trở thành những mô hình cổ điển Có rất nhiều cách trình bày về công trình này, và chúng tôi chỉ giới hạn ở phần tổng quan nhanh về một vài trong số nhiều cách có thể có

Ngầm hiểu trong mỗi mô hình là có một định luật bảo toàn hoạt động Nếu bỏ qua thực tế là các quần

thể có thể tự sinh sản (là thuật ngữ nguồn) và cũng có thể chết (thuật ngữ chìm), thì sự thay đổi ròng về quần thể trong một môi trường khép kín chỉ có thể là do dòng chảy xuyên qua các ranh giới môi trường Đây là một diễn đạt lại nguyên lý bảo toàn khối lượng nêu trong Phần 1.4 Bằng cách thêm vào các nguồn và bớt đi các phần chìm, người ta có thể viết các phương trình mô tả tốc độ thay đổi của mật độ dân số

2.2 Bài toán ví dụ

Ví dụ 4.1 (Động vật ăn thịt - Con môi)

Giả sử một loài ¡ ăn một nguồn thức ăn không giới hạn Loài này được gọi là con mỗi Một loài khác

Л ăn Pị và được gọi là kẻ săn mỗi Khi P¡ phong phú, Л có thể tăng số lượng, nhưng trong trường hợp không có P¡, kế săn mỗi sẽ chết đi (giả sử ¡ là nguồn thức ăn duy nhất của ;) Hãy giả sử rằng nếu ??\ được tự nhiên sinh sản mà không có sự săn bắt, nó sẽ tăng trưởng theo quy luật tự nhiên, trong khi f3, không có sự tiếp cận với P\, giảm đi với một tý lệ không đổi trên mỗi cá nhân c > 0 Tuy nhiên, trong trường hợp có tương tác lẫn nhau, tốc độ tăng trưởng của con mồi phải giảm đi trong khi tốc độ tang trưởng của kẻ săn mỗi tăng lên

Để mô hình hóa thuật ngữ tương tác, người ta giả định rằng sự gặp gỡ giữa hai loài xảy ra như một trò chơi "trốn tìm" và tý lệ thuận với tổng số cách mà ¡ và ; có thể gặp nhau Nghĩa là, sự tương tác tỷ

lệ thuận với tích của mức độ dân số ¡ và Ñ¿ Tổng hợp những giả định hợp lý này lại với nhau thành

itt) i K) hộ” (4.21)

N@ = —ẴeNa + BAN

Các hằng số dương œ và Ø thể hiện:

° œ là tỷ lệ theo từng cá nhân mà kẻ săn mỗi bắt con mỗi

° Ø là tốc độ tăng trưởng theo từng cá nhân từ kết quả của kẻ săn mỗi bắt được con môi Thuật toán

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.integrate import odeint

t = np.linspace(0,5000,num=1000) # unitless time (maybe weeks or months?)

def sim(variables ,t,params):

# speciesi population level

nguồn thức ăn Cả hai loài được cho là phát triển một cách logic khi cách ly với nhan, nhưng khi chúng tương tác, cùng tranh một nguồn thức ăn, mỗi loài sẽ ảnh hưởng đến sự tăng trưởng của loài kia Điều này dẫn đến cặp phương trình:

N

N1) =rM (1 — x) —@aMIN¿

N?( = sN¿ ( — =) — BN Ne

Trong đó 7 thể hiện khả năng chứa đựng của Py Cac hang sé diong a va 6 1A tỷ lệ lợi thế cạnh tranh

của loài này đối với loài kia Giả sử œ > Ø thì ?¿ là đối thủ cạnh tranh hiệu quả hơn, và ngược lại với

8> œ Có rất nhiều ví dụ về cạnh tranh và săn mỗi trong tự nhiên: chẳng hạn như hai đồng nấm men

ăn cùng một chất dinh dưỡng hoặc các loài giun nhỏ ăn rong rêu

Bây giờ, chúng ta hãy đường đẳng tốc thể hiện điều gì trong mặt phẳng Ä¡, W;¿ Chúng ta chọn mô hình cạnh tranh 4.22 Rõ ràng có bốn điểm cân bằng có thể xây ra:

N = (0,0), (K, 0), (0,£), (Ni, No) Đối với trường hợp cuối cùng, Ñ thỏa mãn

Bài tập lốn Phương pháp tính - TNO1 Nhóm 4 Trang 13/24

Hình 8: ?soclines for the cormpetition model 4.22

Xét tình huống được mô tả trong Hình 8 Giả sử giá trị của Ñ¡ đã được xác định và Ws nằm phía trên

đường được xác định bởi W{ = 0 Nhìn vào Công thức 4.22, ta thấy rằng N/ < 0 Điều ngược lại xẩy ra nếu Ws nằm phía dưới đường đó Tương tự, nêu ÄW¿ nằm phía trên đường đồng mức W4 = 0, thi Nj <0,

và ngược lại khi No nim phia dưới Kết hợp các tình huống trên, ta được Hình 9

Bài tập lốn Phương pháp tính - TNO1 Nhóm 4 Trang 14/24

Hinh 10: Orbits for Model 4.22 in Case (b) of Figure 4.4 (Strong Competition)

Khi một quỹ đạo của phương trình 4.22 đi qua một đường đẳng tốc, nó sẽ đi theo chiều dọc hoặc chiều ngang vì tại đó một trong hai M¡ hoặc ÑWs bằng 0 Hơn nữa, với Ñị = 0, ta thấy rằng Nj > 0 néu Ny < L

va Ny <0 khi No > E Một kết quả tương tự xây ra khi ÄW¿ = 0 Bây giờ chúng ta đã có đủ thông tin

để vẽ hướng của quỹ đạo như trong Hình 10 Trong quá trình làm như vậy, hãy nhớ rằng các quỹ đạo

đi qua các đường đẳng tốc một cách mượt mà theo các hướng dọc và ngang được chỉ ra Điều này cho chúng ta biết các mũi tên trong Hình 10 phải uốn cong như thế nào

Trong ví dụ hiện tại, khá rõ rằng trạng thái cân bằng không tầm thường là một điểm đứng yên và do đó

nó không ổn định Điều này cho thấy rằng trừ khi có mặt phẳng ổn định của Ä, tất cả các quỹ đạo đều

“ ~ = 4 „ J0 C) ay ¬ x được phân tách thành những quỹ đạo hướng tới rỊ hoặc a Thy thuộc vào giá trị ban đầu của Ất

va Ñ›, một trong hai quần thể cuối cùng sẽ chết Điều này đôi khi được gợi là nguyên tắc loại trừ cạnh tranh trong mô hình sinh thái vì nó cho thấy rằng hai loài cạnh tranh mạnh mẽ không thể cùng tốn tại

trong cùng một môi trường sống

Bài tập lốn Phương pháp tính - TNO1 Nhóm 4 Trang 15/24

e Khoa Co khi

Để hiểu ý nghĩa của sự cạnh tranh mạnh mẽ, hãy xem trường hợp đặc biệt trong đó tốc độ tăng trưởng

và khả năng chứa đựng là như nhau (* = s, = 7) Khi các quần thể có kích thước gần như bằng nhan (Mì = N›), yêu tố tự giới hạn trong thuật ngữ logistic là — N?r/ƒZ, trong khi yêu tố biểu thị sự hạn chế

do cạnh tranh là -œWệ, hoặc —8N3 Tuy nhiên, từ Hình 8, œ và Ø đều vượt qua r/K cho thay ring

một trong số chúng tiêu thụ thức ăn một cách tham lam hơn loài còn lại, hoặc nó để lại chất thải độc

hại đối với loài kia, hoặc nó thành công trong việc đe dọa đối thủ của mình Như những mâu thuẫn gay gắt cạnh tranh loại trừ một trong hai loài hoặc với các loài khác nhau cũng thuộc trường hợp này Tuy

nhiên, trong trường hợp của Hình 8d, điều ngược lại xây ra 6 đây, sự cạnh tranh ở mức độ nhẹ vì œ và

8 nhỏ hơn do đó trạng thái cân bằng bây giờ là một điểm ổn định, có thể cùng tồn tại Hai trường hợp

còn lại có thể được phân tích theo cách tương tự

Trường hợp cho hai quần thể ban đầu cân bằng để hai loài chung sống hòa hợp: Thuật toán

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.integrate import odeint

t = np.linspace(0,1000,num=1000) # unitless time (maybe weeks or months?)

def sim(variables ,t,params):

# speciesi population level