Báo cáo bài tập lớn phương pháp tính

Thế thì ta có công thức đánh gia sai số tông quát sau đây: 1.2 Phương pháp chia đôi Gia sử a, b là khoảng cách ly nghiệm của phương trình.. Từ đó ta có công thức tính sai SỐ: 1.3 Phương

DAI HQC QUOC GIA TP HO

CHI MINH TRUONG DAI HOC

BACH KHOA

a

<2

BAO CAO BAI TAP LON PHUONG PHAP TINH

GVHD:Nguyén Dinh Duong

LOP:L04_ NHOM:05

Danh sach thanh vién

Nguyén Van Nhân | 2013977 Problem 2,3

Huỳnh Nguyên Vũ 2015085 Problem 2,và tổng hợp

Lê Phương Uyên | 2015014 Problem 1,3

Trịnh Hùng Vuong) 2015111 Problem 1,va téng hop

Tp.Hôô Chí Minh, ngày 27 tháng 04 năm 2021

Problem1) _

1 Ly thuyét

1.1 Giới thiệu phương trình phi tuyên

Cho phương trình là hàm liên tục trên [a;b] Nghiệm của phương trình là giá trị sao cho

Về mặt hình học, nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đường cong với trục hoành Khoảng đóng [a;b] mà trên đó tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình gọi là khoảng

li nghiệm

Nếu hàm liên tục trên đoạn [a;b] và giá trị của hàm trái dau tai hai đầu mút thì phương trình có nghiệm trên [a;b] Thêm vào đó, nêu hàm đơn điệu thì nghiệm là duy nhất

Giả sử hàm liên tục trén [a:b], kha vi trong (a;b) Nếu là nghiệm gần đúng của nghiệm chính xác trong [a:b] và Thế thì ta có công thức đánh gia sai số tông quát sau đây: 1.2 Phương pháp chia đôi

Gia sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình

Đặt

Nếu Nếu thì cùng dấu với hoặc

Nếu thì Đặt và

Nếu thì Đặt và

Lap qua trinh nay cho ta duoc ,

f(x)

Giả sử sau n lân chia đôi, ta tìm được đoạn có độ dài Từ đó ta có công thức tính sai SỐ:

1.3 Phương pháp cát tuyến

_ Phuong phap cat tuyén cũng giống với phương pháp chia đôi nhưng ở đây thay vì chia mỗi khoảng bằng cách chọn diém chính giữa thì phương pháp cát tuyến chia mỗi khoảng bằng đường thang nối các điểm cuối Phương pháp cát tuyến luôn hội tụ đến nghiệm của phương trình với điều kiện hàm là hàm liên tục trên [a:b] va

Với hàm liên tục trên đoạn [a;b| và Một nghiệm của phương trình được đám bảo bởi Định lý Giá trị Trung gian Xét đoạn thẳng nối các giá trị điểm cuỗi và Đường nối hai điểm này gọi là đường cát tuyến và được tính toán bằng công thức:

Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành:

Từ đó ta tìm được giá trị bằng công thức:

Đầu tiên ta chọn khoảng l¡ nghiệm ban dau va, sau đó tính giá trị trong đó được tính băng công thức:

Nếu thì Đặt và

Nếu thi Dat va

Lap qua trinh nay cho ta duoc ,

y

Để đánh giá sai số của phương pháp cát tuyến, ta sử dụng công thức đánh giá sai số tông quát:

1.4 Phương pháp lặp đơn

Cho hàm số với, tìm giá trị thoả mãn Từ đó ta đưa về dạng phương trình tương đương (có thể có nhiều lựa chọn) Khi đó Neu va với mọi thì có điểm bất động trong [a:b]

a

Về mặt hình học nó là hoành độ giao điểm của đường thăng và đường cong Chọn một giá trị ban dau tuỳ ý Xây dựng dãy lặp theo công thức lặp:

Nếu hàm liên tục trên [a;b] kha vi trong (a:b) va sao cho thì là hàm co trên [a:b]

với hệ sô co là

Gnả sử là hàm co trên đoạn [a;b] với hệ số co là q Đồng thoi, , Khi do voi moi gia tri ban dau trong [a;b] day lặp sẽ hội tụ về nghiệm duy nhât của phương trình và ta có công thức đánh gia sai so tiên nghiệm và hậu nghiệm:

Công thức đánh giá sai sô tiên nghiệm:

Công thức đánh giá sai số hậu nghiệm:

1.5 Phương pháp Newton-Raphson

Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có dạng:

Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành:

Từ đó ta tìm được giá trị bằng công thức:

Ta có công thức tông quát với z bước lặp như sau:

Cho phương trình có khoảng phân ly [a;b]| Giá sử và không đôi dâu trong (a, b) Nếu xấp xi ban đầu được chọn sao cho thì dãy hội tụ về Ngoài ra, nếu tồn tại thoả mãn thì:

Ta có điểm thoả mãn thì gọi là điểm Fourier

_ Dé danh gia sai sô của phương pháp Newton-Raphson, ta sử dụng công thức đánh giá sai so tong quát:

2 Giải quyết bài toán

2.1 Đề bài: Giả sử ta có một cái bồn chứa nước hình trụ nằm ngang như hình vẽ:

Cac an r A, L lần lượt là bán kính bồn chứa, độ sâu của mực chất lỏng và chiều dài bồn chứa

a) Giải thích chi tiệt công thức tính thê thích mực chat long co trong bon:

b) Cho =8 @?), L=5fm), r=2(m), tìm độ sâu mực chất lỏng bằng các phương pháp chia đôi và phương pháp cát tuyến với sai số nhỏ hơn 105 (Dự đoán khoảng cách lï nghiệm)

c) Đề xuất cách tìm độ sâu mực chất long h với số liệu nêu trên bằng phương pháp tìm điểm bắt động (trong đó, đưa ra phương trình về dạng tương đương , với là hàm mà

có thê áp dụng cho phương pháp tìm điểm bắt động) Nếu có thẻ, tìm độ sâu mực chất lỏng ? với công thức sai sô tiên nghiệm nhỏ hơn L0” (fy co thê chọn tuỷ ý) d) Bằng phương pháp Newton-Raphson, chon gia tri ¿ thích hợp, tìm độ sâu mực chất lỏng với sai sô nhỏ hơn 10°

2.2 Bài giải:

a) Giải thích chỉ tiết công thức tính thê thích mực chat long cé trong bon:

Ta có:

Nhận xét:

*Truong hop 1: h>r

Trong do:

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Tu (1) va (2) suy ra:

Ta không nhận trường hợp ñ>r

*Truong hop 2: A<r

Trong đó:

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Từ (3) và (4) suy ra:

Ta nhận trường hợp h<r

b) Cho V=8 (m’), L=5(m), r=2(m), ta dé ta c6 phương trình

Du doan khoang li nghiém [0,5;0,75] ta thay

Taco

Suy ra hàm là hàm đơn điệu và liên tục trên [0,5:0,75] Từ đó ta thay [0,5

li nghiệm của phương trình

*Timh bằng phương pháp chia đôi (Bisection method)

Yêu cầu bài toán tìm ở sao cho sai so nho hon 10°

Áp dụng công thức tìm sai số của phương pháp chia đôi ta có:

Vậy nhận giá trị, ta thực hiện 14 bước lặp đề tìm #

Công thức xác định điểm băng phương pháp chia đôi:

30,75] la khoảng

1 0,625 0,75 0,6875 (+)

2 0,6875 0,75 0,71875 (+)

3 0,71875 0,75 0,734375 (+)

4 0,734375 0,75 0,7421875 (-)

5 0,734375 0,7421875 0,73828125 (+)

6 0,73828125 0,7421875 0,740234375 (-)

7 0,73828125 0,740234375 0,7392578125 (+)

8 0,7392578125 0,740234375 0,7397460938 (+)

9 0,7397460938 0,740234375 0,7399902344 (+)

10 0,7399902344 0,740234375 0,7401123047 (-)

ll 0,7399902344 0,740 1123047 0,74005 12696 (-)

12 0,7399902344 0,74005 12696 0,740020752 (-)

13 0,7399902344 0,740020752 0,7400054932 (+)

14 0,740020752 0,7400054932 0,740013 1226

Vậy từ phương pháp chia đôi với 14 bước lặp, ta tìm được h=0, 7400131226 (m)

*1ìm h bằng phương pháp cát tuyển (Secant method)

Công thức xác định điểm bằng phương pháp cát tuyến:

Công thức đánh giá sai số của phương pháp cát tuyến:

trong đó

Từ đây ta tìm được

Yêu cầu bài toán tìm ở sao cho sai số nhỏ hơn

0 105 0,75 0,739269004 | (+) 8,7597

2

1 | 0,739269004 | 0,75 0,740013284 | (+) 2.2699

Vậy từ phương pháp cát tuyến với I bước lặp, ta tìm được =0,7400132848 (m) và sai số

la 2,2699

c) *7m h bằng phương pháp lặp don (Fixed point method)

Công thức xác định điểm băng phương pháp lặp đơn:

Xây dựng hàm từ phương trình đã có ở trước:

Công thức đánh giá sai số tiên nghiệm của phương pháp lặp đơn:

Từ đây ta tìm được

Yêu cầu bài toán tìm ở sao cho sai số được tính bằng công thức đánh giá sai số tiên nghiệm nhỏ hơn Ta chọn

Vậy nhận giá trị ta thực hiện 8 bước lặp dé tim A

0,5 0,7506458037 0,7377596193 0,7404774864 0,7399197688 0,7400348964

6 0,7400111598

7 0,7400160549

8 0,7400150455

Vậy từ phương pháp lặp đơn với 8 bước lặp, ta tìm được A=0,7400150455 (m)

d) *7ìm h bằng phương pháp Newton-Raphson (Newton-Raphsons ` method)

Cơng thức xác định điểm băng phương pháp tiếp tuyên:

Ta cĩ (1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy là diém Fourier

Cơng thức đánh giá sai số của phương pháp tiếp tuyến:

trong đĩ

Từ đây ta tìm được

Yêu cầu bài tốn tìm ở sao cho sai số nhỏ hơn

0 0.75

1 0,7400408932

2 0,7400152182

Vậy từ phương pháp tiếp tuyến với 2 bước lặp, ta tìm được h=0,7400152182 (m) va sai

sơ là

Phương trình Van der Waals đơi với chât khí cĩ dạng:

với R=0,082054L.atm/(mol/K), a, b la các hằng số phụ thuộc vào chất khí cụ thê; p là áp suất;

7 là nhiệt độ, V la thê tích; ø là số mole, là thẻ tích mole Hãy xác định thể tích mole của chất khí oxygen (O2) đưới áp suất 1 atm ở nhiệt độ 300K Biết rằng đối với oxygen ta cĩ

a=1,360, b = 0.03183 Chọn sai số là 10

Bai giải

Cho R=0,082054L.atm/tmoÙK), p=1 (atm), T=300 (K), a=1,360, b=0,03183 tu do ta cd phương trình

Dự đốn khoảng l¡ nghiệm [24,5;25] ta thấy

Ta cĩ

Suy ra hàm là hàm đơn điệu và liên tục trên [24,5:25] Từ đĩ ta thấy [24.,5:25] là khoảng

li nghiệm của phương trình

*7Tìm bằng phương pháp chia đơi (Bisection method)

Yêu câu bài tốn tìm v sao cho sai sơ nhỏ hơn 10”

Áp dụng cơng thức tìm sai sơ của phương pháp chia đơi ta cĩ:

Vậy nhận giá trị, ta thực hiện 12 bước lặp dé tim

Công thức xác định điểm băng phương pháp chia đôi:

4 24,5625 24,59375 24,578125 (-)

5 24,578125 24,59375 24,5859375 (-)

6 24,5859375 24,59375 24,58984375 (-)

7 24,58984375 24,59375 24,59159375 (-)

8 24,59159375 24,59375 24,59267188 (-)

9 24,59267188 24,59375 24,59321094 (+)

10 24,59267188 24,59321094 24,59294141 (+)

ll 24,59267188 24,59294 141 24,59280665 (+)

12 24,59267188 24,59280665 24,59273927

Vậy từ phương pháp chia đôi với 12 bước lặp, ta tìm được

*1ìm h bằng phương pháp cát tuyển (Secant method)

Công thức xác định điểm bằng phương pháp cát tuyến:

Công thức đánh giá sai số của phương pháp cát tuyến:

trong đó

Từ đây ta tìm được

Yêu cầu bài toán tìm sao cho sai số nhỏ hơn

0 24.5 25 24.59279743 (+) 3,4083

Vậy từ phương pháp cát tuyến với 0 bước lặp, ta tìm được và sai số là 3,4083

c) *7ìm bằng phương pháp lặp đơn (Fixed point method)

Công thức xác định điểm bằng phương pháp lặp đơn:

Xây dựng hàm từ phương trình đã có ở trước:

Công thức đánh giá sai số tiên nghiệm của phương pháp lặp đơn:

Từ đây ta tìm được

Yêu cầu bài toán tìm sao cho sai số được tính bằng công thức đánh giá sai số tiên nghiệm nhỏ hơn Ta chọn

0 | 245

1 24.5923826

2 — | 24.59279896

Vậy từ phương pháp lặp đơn với 2 bước lặp, ta tìm được

d) *7ìm h bằng phương pháp Newton-Raphson (Newton-Raphsons’ method)

Công thức xác định điểm bằng phương pháp tiếp tuyến:

Ta có (1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy là diém Fourier

Công thức đánh giá sai số của phương pháp tiếp tuyến:

trong đó

Từ đây ta tìm được

Yêu cầu bài toán tìm sao cho sai số nhỏ hơn

0 25

1 24,5928 1548

Vay tir phuong phap tiép tuyén voi | bude lặp, ta tìm được và sai số là

3 Nhận xét

- Phương pháp chia đôi là phương pháp đơn giản, dễ thực hiện nhất để tìm nghiệm gần đúng của phương trình, tuy nhiên độ chính xác không cao bởi có thê một giá trị gần đúng trung gian tốt vô tình bị loại bỏ và tốc độ hội tụ rất chậm Nếu khoảng l¡ nghiệm lớn, ta cần phải mắt nhiều thời gian cho việc tính toán Thông thường phương pháp chia đôi được sử dụng nếu không thê sử dụng các phương pháp khác hoặc với mục đích thu hẹp khoảng cách li nghiệm

- Phương pháp lặp đơn so với phương pháp chia đôi có ưu điểm là sự hội tụ nhanh hơn,

và giá trị có thê lựa chọn tuỳ y vi phép lặp đơn có khả năng tự sửa saI Tuy nhiên có một nhược điểm ở đây chính là nếu hệ số co ø càng gần l thi khả năng hội tụ rất chậm

- Phương pháp Newton-Raphson là phương pháp tối ưu và được sử dụng hầu hết vì tốc

độ hội tụ rất nhanh Tuy nhiên nhược điểm ở đây chính là cần phải tính chính xác công thức giải tích của đạo hàm và sẽ có những bài toán việc ổi tìm đạo hàm vô cùng khó khăn và phức tạp, bên cạnh đó có trường hợp dãy lặp bị chạy ra ngoài khoảng phân li

Tài liệu tham khảo:

[1] Lê Thái Thanh, (2012), Bài giảng phương pháp tính, Nxb Đại học Quốc gia TP HỒ CHÍ MINH

[21 TS Nguyễn Đình Dương, (2021), S⁄⁄4e bài giảng phương pháp tinh

[3] MkDoes and Material for MkDoes, Secant method Truy cập từ:

https://personal.math.ubc.ca/~pwalls/math-python/roots-optimization/secant/

Problem 2

1 Cơ sở lý thuyết

2

s -_ Hệ phương trình đại số tuyến tính

Nhiều bài toán khoa học, kỹ thuật, kinh tế, sinh thái qui về việc tìm nghiệm của hệ phương

trình đại sô tuyên tính:

Dạng ma trận

Hay ngắn gon hon: Ax = b, trong dé A la ma tran hệ số, x là cột biến số và b là cột về phải

Ma trận bô sung

= [Alb] =

Các hệtamgiác Ly=b hay Ux=c

L= va U=

giải được dễ dàng bằng thế xuôi và thế ngược

® Phuong phap LU

Ma tran vudng A= được gọi là ma trận tam giác trên

Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác dưới

> Nội dung của phương pháp nhân tử LŨ là phân tích ma trận A thành tích của 2

ma tran L va U, trong do L la ma tran tam giác dưới, còn U là ma trận tam giác trén

> Khi đó việc giải hệ (1) sẽ trở thành giải 2 hệ phương trình LY = B và U X= Y

>_ Có nhiều phương pháp phân tích A = LU, tuy nhiên ta thường xét trường hợp L

có đường chéo chính bằng | va goi la phuong phap Doolittle

® LvàU có dạng

L= U=

Cac phan tử của 2 ma tran L và U được xác

định theo công thức :

3 Giải bài

existed command in Matlab or Python), use your function to solve the next problem

a An electrical engineer supervises the production of three types of electrical components

Three kinds of material—metal,plastic, and rubber—are required for production The

amounts needed to produce each component are:

Metal, Plastic, Rubber,

Component

g/component g/component g/component

2 17 0.40 1.2

3 19 0.55 1.5

If totals of 3.89, 0.095, and 0.282 kg of metal, plastic, and rubber, respectively, are available

each day, how many components can be produced per day?(The following results must be

displayed: Matrix L, the solution of the system Ly = B, Matrix U, the solution of the

system Uz = y)

a) Ham ma tran A = > uj=aiyU=

uz;=azz-(z¡.ui2)=a22-( uzs=8as-(l2¡.ui3}=823-(

aaa=laiuiz†Ìsaua¿ => l:;=asa- / a›2-(]

u33=-131U13-132t123=a33 — {- / a2›-(] 82:-(}

b) Gọi xị,x:,x: là ba loại linh kiện điện tử

theo bảng thống kê ta có hê phương trình sau:

> A=

A=LU=