Báo cáo bài tập lớn môn phương pháp tính Đề tài 2 các tính năng cơ bản của maple

Chúng ta thấy rằng hầu hết các bài toán trong toán học như giải các phương trình đại sốhay siêu việt, các hệ phương trình tuyến tính hay phi tuyến, các phương trình vi phânthường hay đạo

Bài toán 1

Giả sử rằng chúng ta có một bể hình trụ nằm ngang được cho trong hình dưới đây: Ở đây, r, h, L tương ứng với bán kính của bể, độ sâu của chất lỏng và chiều dài của bể. a) Giải thích chi tiết rằng thể tích của chất lỏng trong bình là:

      b) Để V = 8(m ), L = 5 (m), NS = 2 (m), xác định h bằng phương pháp chia đôi với 3 sai số nhỏ hơn 10 (Đoán khoảng phân ly nghiệm) -5 c) Đề xuất cách tìm h với dữ liệu đã cho ở câu trước theo phương pháp điểm cố định (tức là bạn đưa phương trình về dạng tương đương h = f(h), ở đâu f(h) là một hàm làm cho phương pháp điểm cố định có thể hoạt động được) Nếu có thể, hãy xác định h với sai số ưu tiên nhỏ hơn 10 (h được chọn tùy ý) -5 0 d) Với phương pháp Newton-Raphson, việc chọn h phù hợp, xác định h với sai số ít0 hơn 10 -5

 r là bán kính của bể

 h là độ sâu của chất lỏng

 L là chiều dài của bể

 S là diện tích mặt bên bị nước chiếm chỗ

 A là diện tích quạt tròn

 B là diện tích tam giác

Theo hình vẽ đề bài cho, muốn tính thể tích chất lỏng trong bể, ta lấy diện tích mặt bên bị nước chiếm chỗ nhân với chiều dài của bể.

Từ hai hình trên suy ra S   B A (2)

- Diện tích phần quạt tròn

- Sử dụng định lý Pytago ta có b 2  r 2 r h  2 b 2 2rh h 2

Thế (3) và (4) vào (2) ta được 2 cos 1 r h   2 2

Thế dữ liệu đề cho vào công thức tính thể tích ở câu 1a ta được

  Đặt phương trình trên là f h ( )

( ) f h trên khoảng h0,74;0,75 luôn dương suy ra f h  ( ) khả vi và là hàm đơn điệu trên khoảng h0,74;0,75 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0,74;0,75 là khoảng cách ly nghiệm min ( ) m f h trên 0,74;0,75f(0,74) 15,532190265

Theo phương pháp chia đôi

Công thức sai số tổng quát

Theo phương pháp dây cung

 0.74,0.75 là khoảng phân ly nghiệm

Theo công thức dây cung

Kết luận: h=0.740015218 là nghiệm của (1) với sai số -1.58x10 -9

Dựa trên đề bài ta cần tìm một hàm h  f h ( )

Nhận thấy (1) là một hàm có dạng h  f h ( )

  0,74;0,75  là khoảng ly nghiệm theo chứng mình ở câu 1b suy ra ta chọn

 Thay các dữ liệu vào (1) ta được

Suy ra h là điểm bất động, là độ sâu của chất lỏng9

Công thức sai số hậu nghiệm của phương pháp lặp : n đ 1 n n 1 h h k h h k 

> 0 f(0,75)f 0, 75> 0 suy ra h  0,75là điểm Fourier chọn h = 0,750

Suy ra h = 0,7400152181 là điểm bất động

Công thức sai số tổng quát

Mở rộng

Giải một số bài toán tương tự

VD1: Phương trình f x ( ) 2  x 3  6 x 2  13 x  4.5 0  trong khoảng cách ly nghiệm   0,1

Theo phương pháp chia đôi tìm nghiệm x và đánh giá sai số của nó.5 x5= 0.421875

Sai số theo công thức tổng quát: 0.009524754116

VD2: Cho phương trình x  4 5 x  10 thỏa điều kiện lặp trên đoạn [2,4] Lấy x =3,45,0 tìm x Tìm số lần lặp nhỏ nhất để được sai số nhỏ hơn 103 -3 x = 2.13447733723

Sai số theo công thức tiên nghiệm: 0.0031002159

Sai số theo công thức hậu nghiệm: 0.000374926 < 10 (Thỏa yêu cầu đề bài) -3

6.4 e x  x    trong khoảng cách ly nghiệm   1,2 Sử dụng phương pháp Newton, xác định ở biên và thỏa điều kiện Fourier, tìm nghiệm gầnx 0 đúng của phương trình trên và đánh giá sai số của nó.x 2 x2

Sai số theo công thức tổng quát: 0.0027

VD4: Tìm nghiệm của phương trình x 3    x 5 0trong khoảng  1, 2 với sai số 3 10   3 Đặt f x ( )    x 3 x 5 Hàm f liên tục có f (1) (2) f    3 5 0 Lần lượt thực hiện các bước sau

Kết luận x  1.5159là nghiệm của f x ( ) 0  với sai số 3 10   3

Bài toán 2

Bài toán a) Viết hàm phân tích ma trận A thành A = LU bằng phương pháp Doolitle (không sử dụng lệnh tồn tại trong Matlab hoặc Python), hãy sử dụng hàm của bạn để giải quyết vấn đề tiếp theo. b) Một kỹ sư điện giám sát việc sản xuất ba loại linh kiện điện Ba loại vật liệu kim loại, nhựa và cao su được yêu cầu để sản xuất Các số lượng cần thiết để sản xuất mỗi thành phần là

Nếu tổng số tương ứng là 3,89, 0,095 và 0,282 kg kim loại, nhựa và cao su, mỗi ngày, mỗi ngày có thể sản xuất được bao nhiêu thành phần? (Kết quả sau đây phải là hiển thị: Ma trận L, nghiệm của hệ Ly = B, Ma trận U, nghiệm của hệ thống Ux

2B Nhập ma trận A vào chương trình đã viết ở câu a để phân tích A thành A=LU ta được hai ma trận L và U như sau

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau

Hệ phương trình trên có ma trận hệ số là

B Áp dụng phương pháp Doolittle phân rã ma trận A ta được

Trước hết ta giải hệ

Tiếp theo ta giải hệ

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: x = 1; x = 1; x = 1; x = 01 2 3 4

Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp Doolittle để giải bài toán thực tế:

Một thợ làm bánh đảm nhận việc làm 3 loại bánh ngọt Ba loại nguyên liệu cơ bản là: Bột mì, Trứng, Sữa tươi Số lượng cần thiết để sản xuất mỗi loại bánh là:

Bột mì (gr/phần) Trứng

Nếu tổng số lượng bột mì, trứng, sữa tươi tương ứng là 3,46kg, 60 quả, 2,84l mỗi ngày thì số lượng bánh mỗi loại có thể chế biến là bao nhiêu?

Số lượng bánh mỗi loại có thể chế biến là 5 phần sukem, 3 phần bánh bông lan, 6 phần bánh tart

Giả sử cần tính gần đúng tích phân trên đoạn [a,b] lớn, thì h = b – a theo công thức hình thang; 2 h b c

 theo công thức Simpson với độ sai số xấp xỉ tương ứng 0( ) ; hoặc 0( ) còn quá lớn Để khắc phục được h bé (0 < h < 1) mà vẫn sử dụng được các công thức trên, người ta dựa vào tính chất khả tổng của tích phân xác định, nghĩa là chia đoạn [a,b] thành các đoạn nhỏ rồi áp dụng công thức hình thang hay Simpson trên đoạn nhỏ đó

Có được h nhỏ mà công thức tính toán không phức tạp, thuận lợi cho tính toán và thường sử dụng trong thực tế người ta đã xây dựng nên công thức hình thang và Simpson tổng quát dựa trên công thức hình thang và Simpson

1 Công thức hình thang và công thức Simpson

Giả sử biết giá trị y i  f x ( ) i với i  0, n ; trong đó

Hãy tính gần đúng giá trị tích phân

Chia đoạn [a,b] thành n phần bằng nhau có bước h b a n

0 ; n : i 0 x a x b x x ih với i  1, n  1; đồng thời tại các điểm đó ta có bảng số i ( ) i yf x với i  0, n (2.5)

Từ bảng số (2.5), theo công thức cầu phương gần đúng ta có:

(2.6), trong đó A là số không đổi nào đói

Ta đi tìm biểu thức hiện của các A trong công thức (2.6) Nếu sử dụng đa thức nội suyi

Do các mốc cách đều nhau bước là h b a n

  gọi là hệ số Côtét

 Trường hợp (2.7) khi n = 1 thì ta có

(2.8) Công thức (2.8) gọi là công thức hình thang

 Trường hợp (2.7) khi n = 2 thì ta có

 , nên theo công thức (2.7) ta được

(2.9) Công thức (2.9) gọi là công thức Simpson hay công thức Parabol.

2 Công thức hình thang và công thức Simpson tổng quát

Việc dùng công thức hình thang và Simpson tổng quát thay vì công thức hình thang và Simpson đơn thuần sẽ đem lại kết quả tính với độ chính xác cao hơn a) Công thức hình thang tổng quát

Chia đoạn  a b ,  thành m phần bằng nhau có độ dài h b a m

Ký hiệu y t  f x ( ) t i  0, n Áp dụng công thức hình thang (2.8) cho từng đoạn

 x x i , i  1  i 0,m1và cộng lại ta có

Công thức (2.10) được gọi là công thức hình thang tổng quát. b) Công thức Simpson tổng quát

Chia đoạn  a b ,  thành 2n phần bằng nhau có độ dài 2 h b a n

0 ; t ( 1,2 1); 2 n x a x a ih i n x b Áp dụng công thức Simpson (2.9) dối với từng đoạn  x x 0, 2  ,x x 2, 4 , , x 2 n  2,x 2 n  và cộng lại ta có

Công thức (2.11) được gọi là công thức Simpson tổng quát

Bài toán 3

Cho một quả bóng đá như hình sau:

33 Đường kính được đo tại một thời điểm và in trong bảng: z(in) 0 1.5 3 4.5 6 7 d(in) 0.0 2.9 4.8 5.8 6.2 6.7 a) Biểu thị công thức ở dạng tích phân đối với d, z, L để ước tính diện tích bề mặt và khối lượng của bóng đá. b) Sử dụng phương pháp hình thang tổng quát và phương pháp Simson’s tổng quát để tìm bề mặt diện tích và khối lượng của quả bóng đá.

Ta có diện tích một mặt theo dz là 2  r dz 8 d.d z

→ Diện tích bề mặt theo tích phân từ 0 L là→

Theo hình vẽ ta có

→ Thể tích theo tích phân từ 0 L là→

Công thức Simpson tính gần đúng tích phân xác định.

Chia đoạn [a,b] thành 2n đoạn bằng nhau, khi đó 2 h b a n

Trên mỗi đoạn  x x 2 i , 2 1 i   thay hàm f(x) bởi công thức nội suy bậc hai và diện tích hình thang cong giới hạn bởi hàm f(x) bởi diện tích hình thang cong giới hạn bởi parabol nội suy.

Lấy tổng theo i=0, ,n-1 ta được:

Hãy tính gần đúng tích phân

Ta đã biết giá trị đúng của tích phân này là 4

 Như vậy I ≈ 0.78539816 Ta sẽ tính gần đúng I bằng công thức Simson rồi so sánh kết quả.

Chia đoạn [0,1] thành 2n = 4 đoạn con bằng nhau, với h=0.25, ta tính ra bảng sau: i x i y i f x   i

Theo công thức Simpson ta có

Thay các giá trị ở bảng trên vào ta có

Nói chung công thức Simpson tổng quát có độ chính xác cao hơn công thức hình thang tổng quát tuy nhiên độ chênh lệch là không đáng kể So với công thức simpson, công thức