Chương này bao gồm định nghĩa cực trị hàm số, các quy tắc tìm cực trị, cũng như các ví dụ về tìm cực trị hàm một biến có ràng buộc và không có ràng buộc.. Chương 1Một số kiến thức chuẩn
Khái niệm và ý nghĩa đạo hàm
Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a, b) ⊂ R Cho x 0 ∈ (a, b) một số gia ∆x đủ nhỏ sao cho x=x 0 + ∆x∈(a, b) Nếu tồn tại giới hạn
∆x = lim x→x 0 f(x)−f(x 0 ) x−x 0 thì ta nói f có đạo hàm tại x 0 và ký hiệu là f ′ (x 0 ).
Ví dụ 1.1.1 Xét hàm số f(x) = 2x 2 Với mọi x 0 ∈R, ta có : x→xlim 0 f(x)−f(x 0 ) x−x0
= lim x→x 0 2(x+x 0 ) = 4x 0 Vậy f có đạo hàm tại mọi x 0 ∈R và f ′ (x 0 ) = 4x 0 Ý nghĩa hình học
Giả sử hàm số f có đạo hàm tại x và đồ thị của hàm f là C Cát tuyến của C đi qua
M(x, f(x))vàN(f(x+ ∆x), f(x+ ∆x))tạo với chiều dương của Ox⃗ một gócα; và tiếp tuyến MT tạo với chiều dương của Ox⃗ một góc α 0 Từ định nghĩa suy raα 0 = lim
Ta gọitanα 0 là hệ số góc của tiếp tuyến củaC tại M Vậyf(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại M(x, f(x)). Định lý 1.1.1 (Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục) Nếu hàm số f có đạo hàm tại x∈(a, b) thì f liên tục tại x. Định nghĩa 1.1.2 (Đạo hàm một bên) Hàm số f xác định trên(a, b)được gọi là đạo hàm phải tạix 0 ∈(a, b)nếu tồn tại giới hạn phải
Ta gọi giới hạn này là đạo hàm phải của hàmf tạix 0 và ký hiệu làf + ′ (x 0 )hayf ′ (x 0 +0) Tương tự, ta cũng định nghĩa cho khái niệm đạo hàm trái của f tại x 0 và kí hiệu là f − ′ (x0) hay f ′ (x0−0). Định lý 1.1.2 (Quan hệ giữa đạo hàm và đạo hàm một bên) Hàm số f có đạo hàm f ′ (x 0 ) nếu và chỉ nếu f có đạo hàm một bên và f + ′ (x 0 ) = f − ′ (x 0 ) Hơn nữa, khi đó f + ′ (x 0 ) =f − ′ (x 0 ) =f ′ (x 0 ).
Các quy tắc tính đạo hàm
Định lý 1.2.1 (Các phép toán hữu tỷ) Giả sử các hàm sốf và g có đạo hàm tại x0. Khi đó a Hàm f+g cũng có đạo hàm tại x 0 và(f +g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) +g ′ (x 0 ); b Hàm f.g cũng có đạo hàm tại x 0 và (f.g) ′ (x 0 ) =f ′ (x 0 ).g(x 0 ) +f(x 0 ).g ′ (x 0 ); c Nếu g ′ (x 0 )̸= 0 thì hàm số f g cũng có đạo hàm tại x 0 và f g
[g(x 0 )] 2 Định lý 1.2.2 (Đạo hàm của hàm hợp) Nếug có đạo hàm tại xvà f có đạo hàm tại g(x)thì hàm hợp f◦g có đạo hàm tại x và
(f◦g)(x) =f ′ (g(x)).g ′ (x). Định lý 1.2.3 (Đạo hàm của hàm ngược) Cho f là hàm số đơn điệu nghiêm ngặt trên (a, b) và có đạo hàm tại x∈(a, b)với f ′ (x)̸= 0 Khi đó hàm ngược f −1 của f có đạo hàm tạiy =f(x)và
(f −1 ) ′ (f(x)) = 1 f ′ (x). Định nghĩa 1.2.1 (Đạo hàm cấp cao) Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm f ′ (x) trong (a, b) Khi đó rõ ràng f ′ (x) là một hàm số xác định trên (a, b).
Nếu hàm số f ′ (x) có đạo hàm tại x 0 ∈ (a, b) thì đạo hàm của hàm số f ′ tại x 0 được gọi là đạo hàm cấp hai củaf tại x 0
Nếuf có đạo hàm cấp hai tại mọi điểmx∈(a, b)thì ta nói f có đạo hàm cấp hai trên (a, b) Hàm số đạo hàm cấp hai của f được kí hiệu là f ′′ (x).
Tổng quát, đạo hàm cấp n của f là đạo hàm cấp một của đạo hàm cấp (n−1)của f, và kí hiệu làf (n) (x) Tức là f (n) (x) = (f (n−1) ) ′ (x).
Rõ ràng đạo hàm f (n) tồn tại khi và chỉ khi đạo hàm f (n−1) tồn tại và khả vi. Điều quan trọng cần được nhấn mạnh ở đây là đạo hàm cấpn của hàm số f tại điểm x 0 ∈ (a, b) chỉ tồn tại nếu tồn tại đạo hàm cấp bé hơn hoặc bằng n−1 trong khoảng (a, b) hay ít nhất trong mộtϵ- lân cận nào đó củax 0 ∈(a, b). Định lý 1.2.4 (Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân) Hàm số f khả vi cấpn tại x khi và chỉ khif có đạo hàm cấpn tại x.
Một số định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.3.1 (Hàm đơn điệu) Hàm số f xác định trênD được gọi là a tăng (hay tăng nghiêm ngặt) nếu
∀x 1 , x 2 ∈D, x 1 < x 2 ⇒f(x 1 )< f(x 2 ). b không giảm (hay tăng theo nghĩa rộng) nếu
∀x 1 , x2 ∈D, x1 < x2 ⇒f(x1)≤f(x2). Định nghĩa tương tự cho các hàmgiảm và hàm không tăng. Định nghĩa 1.3.2 (Hàm lồi) Hàm số f xác định trên khoảng I ⊂ R được gọi là lồi trên I nếu với mọix 1 , x 2 ∈I và mọi α 1 , α 2 ∈[0,1] sao cho α 1 +α 2 = 1 ta có f(α1x1+α2x2)≤α1f(x1) +α2f(x2).
Ta có thể viết bất đẳng thức hàm lồi như sau f(tx 1 + (1−t)x 2 )≤tf(x 1 ) + (1−t)f(x 2 ), t ∈[0,1]. Định lý 1.3.1 Giả sử hàm sốf khả vi trongI Khi đó f lồi trên I ⇔f ′′ (x)>0,∀x∈I.
Hay nói cách khác f lồi trên I ⇔f ′ tăng trên I. Định lý 1.3.2 (Giá trị trung gian) Cho D⊂ R n liên thông đường và f :D →R là hàm số xác định trênD Giả sử rằng f(a) =A, f(b) =B với a, b∈D Khi đó f nhận mọi giá trị trung gian giữaA và B. Định nghĩa 1.3.3 (Lân cận) Giả sửa∈R n vàε >0là một số thực nào đó Tập hợp
B(a, ε) = {x∈R n :||x−a||=d(x, a)< ε} được gọi làε- lân cận của atrongR n hay còn được gọi là hình cầu mở tâma, bán kính ε.
Tập hợp U ⊂R n được gọi là một lân cận của điểm a∈ R n nếu tồn tạiε > 0 sao cho B(a, ε)⊂U Lân cận củaa thường được viết là U(a). Định nghĩa 1.3.4 (Công thức Taylor) Cho hàm sốf(x)xác định trong khoảng(a, b) và có đạo hàm đến cấp n tại điểmx 0 ∈(a, b) Với hàm số f(x) đã cho ta lập đa thức bậc n: p(x) =f(x 0 ) + f ′ (x 0 )
Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có thể nhận thấy rằng đa thức p(x) và hàm số f(x) cùng với các đạo hàm đến cấp n của chúng nhận giá trị bằng nhau tại điểm x 0 : p(x0) = f(x0), p ′ (x0) =f ′ (x0), , p n (x0) = f n (x0).
Trên đây ta đã chỉ ra rằng nếuf(x)là đa thức bậcnthìf(x)≡p(x) Trong trường hợp f(x)không phải là đa thức thìf(x)không đồng nhất vớip(x) Đặt r(x) = f(x)−p(x) ta cóf(x) = p(x) +r(x) Như vậy, nếu hàm sốf(x)có đạo hàm đến cấp ntại điểm x 0 thì f(x) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )
Công thức này được gọi là công thức khai triển Taylor của hàm số f Hàm số r(x) được gọi là phần dư của khai triển, với r(x) = f (n+1) (c)
(n+ 1)!(x−x 0 ) n+1 , trong đó clà một điểm nào đó nằm giữa c n và x 0
Trường hợp x 0 = 0, công thức Taylor có dạng f(x) =f(0) + f ′ (0)
Công thức (1.1.1) còn được gọi là công thức Maclaurin Hơn nữa, khi n = 1 thì công thức khai triển Taylor trở thành công thức số gia giới nội f(x)−f(x 0 ) = f ′ (c)(x−x 0 ) với c nằm giữa xvà x 0
Cực trị hàm một biến
Trong chương này chúng tôi đề cập đến những định nghĩa và tính chất cơ bản của cực trị hàm một biến, những định lí hay được sử dụng ở chương trình phổ thông, và các phương pháp tìm cực trị của hàm số một biến với các tài liệu được tham khảo là
Điều kiện cực trị hàm một biến
Định nghĩa 2.1.1 Giả sửD⊂R và cho hàm sốf :D →R với x 0 là điểm trong của D. Điểm x 0 được gọi là điểm cực đại địa phương (tương ứng, cực đại địa phương thực sự) của hàm f nếu tồn tại lân cận U(x 0 ) của x 0 sao cho f(x) ≤ f(x 0 ) (tương ứng, f(x)< f(x 0 )) với mọix∈U ∩D. Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu địa phương (tương ứng, cực tiểu địa phương thực sự) của hàm f nếu tồn tại lân cận U(x 0 ) của x 0 sao cho f(x) ≥ f(x 0 ) (tương ứng, f(x)> f(x 0 )) với mọix∈U ∩D. Điểm cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương của f được gọi là điểm cực trị của f.
Nếu trong miền D, hàm số f chỉ có một điểm cực trị duy nhất x 0 và đồng thời điều kiện đủ để hàm số đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) được thỏa mãn tại mọi điểm thuộc miền D thì giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại x 0 đồng thời là giá trị lớn nhất(giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên D. Định lý 2.1.1 (Chiều biến thiên của hàm số) Giả sử hàm sốf khả vi trên (a,b) Khi đó a f ′ (x)≥0với mọi x∈(a,b) ⇔f không giảm trên (a,b), b f ′ (x)≤0với mọi x∈(a, b)⇔f không tăng trên (a,b), c f ′ (x)>0 với mọix∈(a, b)⇒f tăng (nghiêm ngặt) trên (a,b), d f ′ (x)0nên f(x 2 )≥f(x 1 ) Do đó f không giảm.
Trái lại, giả sửf không giảm trên (a,b) Lấy x∈(a, b) bất kì và h̸= 0 đủ nhỏ.
Khi đó, hoặca < x < x+h < b nếu h >0, hoặc a < x+h < x < b nếu h 0 nên f(x 2 )> f(x 1 ) tức là f tăng (nghiêm ngặt).
Tương tự, ta cũng chứng minh được trường hợp (b) và (d). Định lý 2.1.2 (Định lý Fermat- điều kiện cần để hàm số có cực trị) Cho trước khoảng (a,b) ⊂Rvà hàm số f : (a, b)→R.
Nếu điểmc∈(a, b) là điểm cực trị của hàm số f và nếu tồn tại f ′ (c)thì f ′ (c) = 0. Điểm x 0 mà tại đó f ′ (x 0 ) = 0 hoặc đạo hàm không xác định được gọi là điểm dừng của hàm số f. Định lý 2.1.3 (Điều kiện đủ thứ nhất) Giả sử hàm số f liên tục trong (a,b), khả vi trên (a,b) \{x 0 } với x 0 ∈(a, b) Khi đó nếu f ′ (x) đổi dấu khi đi quax 0 thì f đạt cực trị địa phương tạix0 Cụ thể hơn: a f ′ (x)>0,∀x∈(a, x 0 )và f ′ (x)0.
Với mọi x 0 ∈(x 0 , b) theo Định lý Lagrange, tồn tạic ′ ∈(x 0 , x) sao cho f(x)−f(x 0 ) x−x 0 =f ′ (c ′ ) f(x)với mọix∈(a, b)\{x 0 }, tức làf đạt cực đại địa phương tạix 0 b Chứng minh tương tự. Định lý 2.1.4 (Điều kiện đủ) Giả sử hàm sốf khả vi cấpntrong lân cậnV x 0 (ϵ)nào đó củax 0 và thỏa mãn f ′ (x 0 ) =f ′′ (x 0 ) = =f (n−1) (x 0 ) = 0 và f (n) (x 0 )̸= 0.
Khi đó, a Nếu n chẵn và f (n) (x 0 )>0thì f đạt cực tiểu địa phương tại x 0 , b Nếu n chẵn và f (n) (x 0 )0 thì tồn tại lân cận V x 0 (r) của x 0 sao cho f(x)< f(x 0 ),∀x∈V x 0 (r), x < x 0 và f(x)> f(x 0 ),∀x∈V x 0 (r), x > x 0 b Nếu f ′ (x 0 ) f(x 0 ),∀x∈V x 0 (r), x < x 0 và f(x)< f(x 0 ),∀x∈V x 0 (r), x > x 0
Thật vậy, theo giả thiết ta có x→xlim0 f(x)−f(x 0 ) x−x 0 =f ′ (x0)>0.
Khi đó tồn tại lân cậnV x 0 (r) của x 0 sao cho f(x)−f(x 0 ) x−x 0 >0,∀x∈V x 0 (r).
Vì vậy nếu x ∈ V x 0 (r), x < x 0 thì f(x) < f(x 0 ), và nếu x ∈ V x 0 (r), x > x 0 thì f(x)> f(x 0 ).
Chứng minh tương tự đối với trường hợp (b).
Chứng minh định lý Điều kiện đủ. a Giả sử n = 2k Vì f (2k) (x0)>0 nên theo Bổ đề 2.1.1, tồn tại lân cận Vx 0(ϵ) của x0 sao cho f (2k−1) (x)< f (2k−1) (x0) = 0,∀x∈Vx 0(ϵ), x < x0; f (2k−1) (x)> f (2k−1) (x 0 ) = 0,∀x∈V x 0 (ϵ), x > x 0 Điều đó chứng tỏ được rằng f (2k−1) (x) đổi dấu từ (-) sang (+) khi vượt qua x 0
Ta xét công thức Taylor của f với phần dư R 2k−2 (x) dạng Lagrange f(x) =f(x 0 ) +R2k−2(x), với R2k−2(x) = f 2k−1 (c)
(2k−1)!(x−x 0 ) 2k−1 , trong đó c nằm giữa x và x0.
Nếu x < x 0 thì c < x 0 Khi đó f (2k−1) (c) < 0 và (x −x 0 ) 2k−1 < 0 Vì vậy
R2k−2(x)>0 Suy ra f(x)> f(x0) với mọix∈Vx 0(ϵ), x < x0.
Nếu x > x 0 thì c > x 0 Khi đó f (2k−1) (c) > 0 và (x −x 0 ) 2k−1 > 0 Vì vậy
R2k−2(x)>0 Suy ra f(x)> f(x0) với mọix∈Vx 0(ϵ), x < x0.
Vậy f đạt cực tiểu địa phương tạix 0 b Chứng minh tương tự như trường hợp (a). c Giả sử n = 2k+ 1 Giả sử f (2k+1) (x 0 ) >0 Lập luận tương tự như trường hợp (1), f (2k) (x) đổi dấu từ (-) sang (+) khi vượt qua x 0 trong một lân cận V x 0 (ϵ) nào đó của x 0 Ta xét công thức khai triển củaf với phần dưR2k−1(x)dạng Lagrange f(x) =f(x 0 ) +R2k−1(x), với R2k−1(x) = f 2k (c)
Nếu x < x 0 thì c < x 0 Khi đó f (2k) (c) < 0 Vì vậy R2k−1(x)< 0 Suy ra f(x) < f(x 0 )với mọi x∈V x 0 (ϵ), x < x 0
Nếu x > x 0 thì c > x 0 Khi đó f (2k) (c) > 0 Vì vậy R2k−1(x)> 0 Suy ra f(x) > f(x 0 )với mọi x∈V x 0 (ϵ), x < x 0 Vậy f không đạt cực tiểu tại x 0
Trường hợp f (2k+1) (x 0 )>0 được chứng minh tương tự.
Hệ quả 2.1.1 Giả sử hàm số f khả vi cấp hai trong lân cận Vx 0(ϵ) nào đó củax0 và thỏa mãn f ′ (x 0 ) = 0, f ′′ (x 0 )̸= 0 Khi đó, a Nếu f ′′ (x 0 )>0 thì f đạt cực tiểu địa phương tạix 0 , b Nếu f ′′ (x 0 )0,∀x̸= 0.
Mặt khác, do lim x→0 − x.e −1 x =−∞nên hàm số f(x)không liên tục tại x= 0.
Do đóf(x)không có cực trị.
Hàm số g(x)liên tục với mọi x, vì lim x→0e −1 x 2 = 0.
Ta thấy với mọi x̸= 0 g ′ (x) = 2 x 3 e −1 x 2 Bảng biến thiên x g ′ (x) g(x)
Từ bảng biến thiên ta được giá trị cực tiểu của hàm số là g CT =g(0) = 0.
Nhận xét 2.2.1 Cả hai hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm không xác định tại x= 0 Nhưng khi đi qua điểmx= 0, hàm sốg(x) có đạo hàm đổi dấu nêng(x) có cực trị, trong khi đó, f(x) có đạo hàm không đổi dấu nên không có cực trị.
Ví dụ 2.2.4 Tìm cực trị của hàm số y
Lời giải Hàm số y xác định trên R.
Suy ra hàm sốy không có cực trị.
Từ bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số y làyCD =y(0) = 0.
Ví dụ 2.2.5 Tìm cực trị của hàm số f(x)
Lời giải Hàm số f(x) xác định và liên tục trên R vì lim x→0f(x) = 2.
Tức làf ′ (x) đổi dấu trong khoảng
Vậy giá trị cực đại của hàm số f(x) làf CD =f(0) = 2.
Ví dụ 2.2.6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=√
Lời giải Tập xác định D= [−1,3]. Đặt t=√
Dễ thấy, hàm số y liên tục, và tập xác định D compact nên theo Định lý 2.1.5, hàm sốy đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [0,2].
So sánh với hai giá trị biên ta được: y(0) =−1, y(2) =−3, y
Phương pháp 2 (Dùng đạo hàm cấp hai)
Bước 1 Tìm tập xác định Tìmf ′ (x).
Bước 2 Tìm các nghiệm x i , i= 1,2, của phương trình f ′ (x) = 0.
Nếu f ′′ (x i )>0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x i ,
Nếu f ′′ (x i )0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x= 0.
Ví dụ 2.2.9 Tìm cực trị của hàm số y=√ x 2 +x+ 1 +√ x 2 −x+ 1.
Lời giải Hàm số xác định trên R.
Vậy hàm sốy đạt cực tiểu tạix= 0 và giá trị cực tiểu làyCT =y(0) = 2.
Ví dụ 2.2.10 Tìm giá trị thực của tham sốmđể hàm sốy= 1
3x 3 −mx 2 +(m 2 −4)x+3 đạt cực đại tại x= 3.
Lời giải Ta có y ′ =x 2 −2mx+m 2 −4. y ′′ = 2x−2m.
3x 3 −mx 2 + (m 2 −4)x+ 3 đạt cực đại tại x= 3 khi và chỉ khi
Vậy m= 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2.2.11 Tìm m để hàm số y =x 3 −2mx 2 +mx+ 1 đạt cực tiểu tạix= 1. Lời giải Ta có y ′ (x) = 3x 2 −4mx+m, y ′′ (x) = 6x−4m.
Hàm số y=x 3 −2mx 2 +mx+ 1 đạt cực tiểu tại x= 1 khi và chỉ khi
Vậy m= 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cực trị hàm nhiều biến
Trong chương này, chúng tôi trình bày các điều kiện cần và đủ của hàm số nhiều biến đạt cực trị, cũng như các phương pháp tìm cực trị hàm nhiều biến tương ứng với mỗi dạng bài toán cụ thể Nội dung này được tham khảo từ các tài liệu [3], [4], [5], [7],[8].
Cực trị không ràng buộc
Các khái niệm
TrênR n ta xét các khoảng cách thông thường sau: Với mọi x= (x 1 , x 2 , , x n ), y (y 1 , y 2 , , y n ), d1(x, y) n
|xi−yi| 2 , d∞(x, y) = max i=1, ,n|xi−yi|. Định nghĩa 3.1.1 (Tập lồi) Cho D ⊂ R n Ta nói D là lồi nếu với mọi x, y ∈ R n , λ∈[0,1]thì λx+ (1−λ)y∈D. Định nghĩa 3.1.2 (Cực trị địa phương) Giả sử hàm số w=f(x 1 , x 2 , , x n ) =f(x) xác định trên miền D⊂R n Ta nói rằng hàm số w=f(x 1 , x 2 , , x n )đạt cực đại ( cực tiểu) tại điểm x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ D nếu tồn tại số r > 0 đủ nhỏ sao cho bất đẳng thức f(x 1 , x 2 , , x n )≤f(x 1 , x 2 , , x n ) (3.1.1)
(≥) được thỏa mãn tại mọi điểm x(x 1 , x 2 , , x n ) của miền D có khoảng cách đến điểm x(x 1 , x 2 , , x n ) nhỏ hơn r : 0< d(x, x)< r. Điểm X(x 1 , x 2 , , x n ) mà tại đó hàm số f(x 1 , x 2 , , x n ) đạt giá trị cực đại (cực tiểu) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của f Hàm f được gọi là đạt cực trị tại x¯ nếu nó đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm này. Định nghĩa 3.1.3 (Cực trị toàn cục) Cho hàm số w = f(x) xác định trên miền
D ⊂R n Ta nói f đạt cực đại (cực tiểu) toàn cục tại x¯ ∈ D nếu f(x) ≤ f(¯x) (tương ứngf(x)≥f(¯x)) với mọix∈D Khi đó, ta cũng nóif đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) tại x trên D.
Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại khái niệm về đạo hàm riêng của hàm nhiều biến. Chúng tôi sẽ trình bày đạo hàm riêng của hàm 2 biến, đạo hàm riêng của hàm nhiều biến định nghĩa một cách tương tự. Định nghĩa 3.1.4 (Đạo hàm riêng) Cho D ⊂ R 2 là một tập mở và f : D → R là một hàm số xác định trênD Giả sửM 0 (x 0 , y 0 )∈Dvà xét ∆xvới ∆xđủ nhỏ sao cho (x 0 + ∆x, y 0 )∈D Kí hiệu
Nếu tồn tại giới hạn
∆x thì ta nói f có đạo hàm riêng theo biến x tại M0(x0, y0).
Giá trị giới hạn trên được gọi là đạo hàm riêng của hàm sốf theo biếnxtại M 0 (x 0 , y 0 ). Để chỉ đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f tại (x0, y0) ta sẽ dùng một trong các kí hiệu sau
Tương tự ta có thể định nghĩa đạo hàm riêng ∂f
∂y(x0, y0)theo biếnycủa hàm sốf(x, y) tại điểm (x 0 , y 0 ).
Nếu hàm sốf(x, y)có đạo hàm riêng theo biếnx(theo biếny) tại mọi điểm(x 0 , y 0 )∈D ta nói rằng hàm số f có đạo hàm riêng theo biến x (theo biến y) trên D Rõ ràng khi đó ∂f
∂y là các hàm số xác định trên D. Định nghĩa 3.1.5 (Đạo hàm riêng cấp cao) Các đạo hàm riêng (nếu có) của các hàm ∂f
∂y tại điểm (x, y)∈D được gọi là đọ hàm riêng cấp hai của f tại (x, y).
Có khả năng có các đạo hàm riêng cấp hai sau đây của hàm số f(x, y).
Ta thường dùng các kí hiệu sau:
∂x 2 =:f xx ′′ =:đạo hàm riêng cấp hai theo biến x,
∂x∂y =:f xy ′′ =: đạo hàm riêng cấp hai theo biếnx, y,
∂y∂x =:f yx ′′ =:đạo hàm riêng cấp hai theo biến y, x,
∂y 2 =:f yy ′′ =:đạo hàm riêng cấp hai theo biến y. Đôi khi để cho gọn, người ta còn viết f xx , f xy , f yx , f yy thay cho f xx ′′ , f xy ′′ , f yx ′′ , f yy ′′
Từ đây có thể định nghĩa tương tự cho các đạo hàm riêng cấp cao khácf xxx , f yxx , f xyx , Các quy tắc tính đạo hàm riêng cấp cao hoàn toàn như đối với các đạo hàm riêng cấp một. Định lý 3.1.1 (Schwartz) Giả sử hàm số f(x, y) xác định và có các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai f xy , f yx liên tục tại(x 0 , y 0 )∈D Khi đó, fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0).
Điều kiện tồn tại cực trị
Điều kiện cần. Định lý 3.1.2 (Điều kiện cần-Định lý Fertmat) Giả sử hàm số w = f(x) xác định trên tập mở D ⊂R n Nếu f đạt cực trị tại x¯∈ D và các đạo hàm riêng tại x¯ tồn tại thì f x ′ i(¯x) = 0 với i= 1,2, , n.
Chứng minh Với mỗi i cố định (i= 1,2, , n) ta xét hàm số một biến x i : φ(x i ) f(x1, , xi, , xn) Nếu f đạt giá trị cực trị tại điểm x¯ thì hàm φ(xi) đạt giá trị cực trị tại điểm x¯ i Theo định lí về điều kiện cần để hàm số một biến đạt cực trị ta suy ra φ ′ (x i ) = f x ′ i(x 1 , , x i , , x n ) = 0 (3.1.2) Định lý được chứng minh. Định nghĩa 3.1.6 Điểmx¯thỏa mãn điều kiện (3.1.2) được gọi là điểm dừng của hàm sốf.
Nhận xét 3.1.1 Định lý trên cho thấy hàm số f(x 1 , x 2 , , x n )chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng Tuy nhiên, đây mới chỉ là điều kiện cần, chứ chưa phải là điều kiện đủ Điều kiện đủ nêu dưới đây cho phép ta kiểm tra xem tại điểm dừng hàm số có thực sự đạt cực trị hay không Chú ý rằng điều kiện đủ chỉ áp dụng sau khi điều kiện cần đã được thỏa mãn (chỉ áp dụng cho các điểm dừng). Điều kiện đủ. Định lý 3.1.3 (Điều kiện đủ) Giả sửx¯= (x 1 , x 2 , , x n )là một điểm dừng của hàm số w=f(x 1 , x 2 , , x n )và tại điểm đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Như ta đã biết, vi phân toàn phần cấp hai của hàm số n biến số w =f(x 1 , x 2 , , x n ) tại điểm x¯ là một dạng toàn phương của n biến số dx 1 , dx 2 , , dx n : d 2 f n
X j=1 a ij dx i dx j , trong đó a ij là các đạo hàm riêng cấp hai tại x:¯ a ij = ∂ 2 f
(¯x). a Nếud 2 f là một dạng toàn phương xác định dương thì điểm dừng x¯là điểm cực tiểu của hàm số f. b Nếu d 2 f là một dạng toàn phương xác định âm thì điểm dừng x¯ là điểm cực đại của hàm số f. c Nếu d 2 f là một dạng toàn phương không xác định thì điểm dừng x¯ không phải là điểm cực trị của hàm số f Ma trận của dạng toàn phương d 2 f là ma trận vuông với các phần tử là các đạo hàm riêng cấp hai tại điểm dừngx¯(gọi là ma trận Hess):
∂x i ∂x j (¯x). Định lý 3.1.4 a Nếu tất cả các định thức con chính của ma trận H đều dương (H k >0 với mọik = 1,2, , n) thì điểm dừngx¯ là điểm cực tiểu của hàm số f. b Nếu (−1) k H k > 0 với mọi k = 1,2, , n tức là ma trận H có tất cả các định thức con chính cấp lẻ âm và tất cả các định thức con chính cấp chẵn dương, thì điểm dừng x¯ là điểm cực đại của hàm số f. Định lý 3.1.5 (Điều kiện đủ) Trường hợp hàm số có hai biến số.
Giả sửM0(x0, y0) là một điểm dừng của hàm sốw=f(x, y) và tại điểm đó tất cả các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số đều tồn tại và liên tục Kí hiệu
A=f x ′′ 2(x0, y0), B =f xy ′′ (x0, y0), C =f y ′′ 2(x0, y0),∆ −B 2 a Nếu ∆>0 thì M 0 (x 0 , y 0 )là điểm cực trị của hàm số w=f(x, y).
(i) Với A >0thì điểm M 0 (x 0 , y 0 ) là điểm cực tiểu của hàm sốw=f(x, y). (ii) VớiA 0 Kí hiệu
Do f x ′′ 2(x, y) và ∆(x, y) liên tục tại(x 0 , y 0 ) nên tồn tạiδ >0 sao cho
2; với mọi (x, y)thỏa mãn ||(x, y)−(x 0 , y 0 )||< δ Khi đó ta có f x ′′ 2(x, y)> A− A
Lấy(x, y)thỏa ||(x, y)−(x 0 , y 0 )||< δ Ta chứng minh f(x, y)≥f(x 0 , y 0 ).
Kí hiệu h= ∆x=x−x 0 , k = ∆y=y−y 0 Đặt g(t) =f(x 0 +th, y 0 +tk), t∈[0,1]. Theo công thức đạo hàm hàm số kép ta có g ′ (t) =hf x ′ (x 0 +th, y 0 +tk, t∈[0,1]) +kf y ′ (x 0 +th, y 0 +tk, t∈[0,1]). g ′′ (t) =h 2 f x ′′ 2(x 0 +th, y 0 +tk) + 2hkf xy ′′ (x 0 +th, y 0 +tk) +k 2 f y 2 (x 0 +th, y 0 +tk).
Sử dụng đẳng thức ah 2 + 2bhk+ck 2 =a h+ b ak
+ ac−b 2 a 2 k 2 ta được g ′′ (t) =f x ′′ 2(x 0 +th, y 0 +tk)× ×
" h+f xy ′′ (x 0 +th, y 0 +tk) f x 2 (x 0 +th, y 0 +tk)k
Vì vậy f x ′′ 2(x 0 +th, y 0 +tk)>0,∆(x 0 +th, y 0 +tk)>0.
Ta suy ra g ′′ (t)≥ 0với t ∈[0,1] Vì vậy g ′ tăng trên [0,1] Trong khi đó vì (x 0 , y 0 ) là điểm dừng của hàm số nên g ′ (0) = 0 Do vậy g ′ (t) ≥g ′ (0) = 0 với mọi t ∈[0,1].
Từ đó suy ra g tăng trên [0,1], tức là g(t) ≥ g(0) với mọi t ∈ [0,1] Đặc biệt, f(x 0 +h, y 0 +k) = g(1)≥g(0) =f(x 0 , y 0 ) Vậy (x 0 , y 0 ) là điểm cực tiểu của f. b Xét trường hợp ∆>0, A 0 Do f x 2 liên tục nên f x 2 (x 0 +th, y 0 +tk) ≥ 0 khi
||(h, k)||< δ, với δ >0đủ nhỏ Như trên, khi đó ta có g ′′ (t) =f x ′′ 2(x 0 +th, y 0 +tk)× ×
" h+f xy ′′ (x 0 +th, y 0 +tk) f x ′′ 2(x 0 +th, y 0 +tk)k
Do đó, lập luận như trên ta có h(x 0 +h, y 0 ) =g(1)> g(0) =f(x 0 , y 0 ), ∀0