Dạy học chủ Đề bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai Ẩn và Ứng dụng theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 10

Năng lực MHHTH là khả năng của một người hoặc một hệ thống để tạo ra các mô hình toán học phù hợp với dữ liệu và vấn đề được giải quyết.. Để giải quyết những bài toán trong chủ đề “Bất p

CHO HỌC SINH LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2024

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là hoàn toàn trung  thực và chưa hề được sử dụng để bảo vệ một học vị nào. Mọi sự giúp đỡ cho việc hoàn thành luận văn đã được ghi trong lời cảm ơn. Các thông tin và tài liệu trình bày trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc. 

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, em không chỉ nỗ lực cố gắng hết mình nghiên cứu, tìm tòi và sáng tạo, mà em còn may mắn nhận được sự giúp đỡ, hướng dẫn, động viên, khích lệ của các thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp.  

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học Giáo Dục, ĐHQGHN 

đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại trường.  

Bằng tình cảm trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc, em xin được gửi lời cảm ơn tới thầy PGS.TS. Nguyễn Thành Văn đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình chỉ bảo, giúp đỡ 

em trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. 

Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, tập thể sư phạm các trường  THPT thuộc  huyện  Hoài  Đức,  thành phố Hà  Nội  đã tạo  điều  kiện và  giúp đỡ 

em trong quá trình nghiên cứu và thực nghiệm. 

Trong điều kiện thời gian còn hạn hẹp sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự đóng góp, phê bình của quý thầy cô, các nhà khoa học, đọc giả 

và các bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn và có thể áp dụng sâu rộng hơn trong thực tế. Em sẽ cố gắng hoàn thiện, phát triển hơn ở những lần nghiên cứu tiếp theo.  Xin chân thành cảm ơn! 

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Tổng quan các công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài 2

2.1.  Những  nghiên  cứu  liên  quan  đến  mô  hình  hóa  toán  học  và  năng  lực  mô  hình hóa toán học   2

2.2.  Những  nghiên  cứu  về  chủ  đề  “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”   4

3 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 5

3.1. Mục tiêu nghiên cứu   5

3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu   5

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 6

4.1. Khách thể   6

4.2. Đối tượng nghiên cứu   6

5 Phạm vi nghiên cứu 6

5.1. Phạm vi về nội dung   6

5.2. Phạm vi về thời gian   6

5.3. Phạm vi về không gian   6

6 Giả thuyết khoa học 6

7 Phương pháp nghiên cứu 7

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 8

1.1 Khái niệm mô hình và mô hình hóa toán học 8

1.1.1. Khái niệm mô hình   8

1.1.2. Khái niệm mô hình toán học   9

1.1.3. Khái niệm mô hình hóa toán học   10

1.2 Quy trình mô hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số 12

1.3 Năng lực mô hình hóa toán học 18

1.3.1. Khái niệm năng lực   18

1.3.2. Khái niệm năng lực mô hình hóa toán học   19

1.3.3.  Biểu  hiện của  năng  lực  mô  hình hóa  toán  học  và  yêu  cầu cần  đạt  đối    với học sinh THPT   23

1.3.3.1 Biểu hiện của năng lực mô hình hóa toán học   23

1.3.3.2 Yêu cầu cần đạt về năng lực mô hình hóa toán học đối với học sinh THPT   25

1.3.4. Đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh  26

1.4 Dạy học theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh 28

1.4.1.  Quan  niệm  về  dạy  học  phát  triển  năng  lực  mô  hình  hóa  toán  học  cho  học sinh   28

1.4.2. Tổ chức hoạt động mô hình hóa trong dạy học toán   29

1.5 Thực trạng dạy học theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 10 30

1.5.1. Chủ đề “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” với  vấn đề phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh   30

1.5.1.1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 31

1.5.1.2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 32

1.5.1.3 Một số dạng toán về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 36

1.5.2.  Khảo  sát  thực  trạng  dạy  học  theo  hướng  phát  triển  năng  lực  mô  hình  hóa toán học cho học sinh lớp 10   36

1.5.2.1 Mục tiêu khảo sát 36

1.5.2.2 Phạm vi và đối tượng tham gia khảo sát 37

TIỂU KẾT CHƯƠNG I 48

CHƯƠNG II BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ ỨNG DỤNG THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 10 49

2.1 Định hướng biện pháp dạy học chủ đề “Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và ứng dụng theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 10” 49

2.1.1. Đảm bảo tính mục tiêu   49

2.1.2. Đảm bảo tính khoa học, hệ thống và tính vừa sức   49

2.1.3. Đảm bảo tính thống nhất giữa tính vững chắc của tri thức với tính mềm   dẻo của tư duy   49

2.1.4. Đảm bảo tính thực tiễn   49

2.1.5. Đảm bảo tính khả thi   50

2.2 Một số biện pháp cụ thể 51

2.2.1. Biện pháp 1. Thiết kế hoạt động khởi động xuất phát từ tình huống thực  tiễn đối với chủ đề: “Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai 

cho học sinh lớp 10”, nhằm tạo hứng thú học tập cho học sinh   51

2.2.1.1 Cơ sở đề xuất biện pháp 51

2.2.1.2 Mục đích 52

2.2.1.3 Cách thực hiện 52

2.2.1.4 Ví dụ minh họa 56

2.2.2. Biện pháp 2. Rèn luyện kĩ năng đặt biến, lập hàm mục tiêu, biểu diễn  mối liên hệ giữa các đại lượng   60

2.2.2.1 Cơ sở đề xuất biện pháp 60

2.2.2.2 Mục đích 60

2.2.2.3 Cách thực hiện 61

2.2.2.4 Ví dụ minh họa 61

2.2.3. Biện pháp 3.  Rèn luyện kĩ năng mô hình hóa bài toán kinh tế thông qua  việc kết hợp sử dụng công cụ và phương tiện học toán.   69

2.2.3.1 Cơ sở đề xuất biện pháp   69

2.2.3.2 Mục đích   69

2.2.3.3 Cách thức thực hiện   69

2.2.3.4 Ví dụ minh họa   70

2.2.4. Biện  pháp  4.  Tăng cường  hướng  dẫn giải các bài toán  thực tiễn  trong  dạy học chủ đề “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”   76

2.2.4.1 Cơ sở đề xuất biện pháp 76

2.2.4.2 Mục đích 76

2.2.4.3 Cách thực hiện 77

2.2.4.4 Ví dụ minh họa 78

TIỂU KẾT CHƯƠNG II 84

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 85

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 85

3.1.1. Mục đích thực nghiệm  85

3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm   85

3.2 Tiến hành thực nghiệm sư phạm 85

3.2.1. Kế hoạch thực nghiệm   85

3.2.1.1 Chọn địa bàn thực nghiệm 85

3.2.1.2 Chọn đối tượng thực nghiệm 86

3.2.2. Quy trình thực nghiệm   86

3.2.2.1 Trao đổi với giáo viên trước khi dạy thực nghiệm 86

3.2.2.2 Tổ chức dạy thực nghiệm 87

3.2.3. Nội dung thực nghiệm   89

3.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm 89

 3.3.1. Kết quả định tính   89

3.3.2. Kết quả định lượng   91

3.4 Khảo nghiệm sự cần thiết và tính khả thi của các biện pháp đề xuất 94

3.4.1. Mục đích khảo nghiệm   94

3.4.2. Nội dung, phương pháp, đối tượng khảo nghiệm   94

3.4.3. Kết quả khảo nghiệm   95

TIỂU KẾT CHƯƠNG III 97

PHỤ LỤC

DANH MỤC BẢNG

Bảng  1.1.  Yêu  cầu  cần  đạt  đối  với  năng  lực  MHHTH  ở  bậc  trung  học  phổ thông……… ….25 Bảng 1.2. Bảng phân chia cấp độ của kỹ năng mô hình hóa toán học……… 27 

Bảng 1.3. Những khó khăn khi dạy học chủ đề: “Bất phương trình, hệ bất phương trình

bậc nhất hai ẩn”……… ………… ….42

Bảng 1.4. Những khó khăn khi học chủ đề: “Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc

nhất hai ẩn và ứng dụng theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh”……… … 46

……….…… …….39 Biểu  đồ  1.4.  Tỉ  lệ  giáo  viên  đánh  giá,  nhận  thức  về  biểu  hiện  của  năng  lực MHHTH……… 40 Biểu  đồ  1.5.  Tỉ  lệ  giáo  viên đánh  giá về  mức  độ  cần  thiết của  việc  dạy  học  toán theo định  hướng  phát  triển  năng  lực  MHHTH  cho  học  sinh 

……… …… 40 Biều đồ 1.6. Tỉ lệ giáo viên  đánh  giá về mức độ thường xuyên quan tâm đến  dạy học toán  theo  định  hướng  phát  triển  năng  lực  MHHTH  của  học  sinh 

……… …… 40 

Biểu đồ 1.7. Tỉ lệ giáo viên  đánh  giá về mức độ thường xuyên thiết kế các hoạt động giúp học sinh phát triển năng lực MHHTH……… …… 41 Biểu đồ 1.8. Tỉ lệ giáo viên đánh giá về ý nghĩa của việc dạy học toán theo định hướng phát triển năng lực MHHTH cho học sinh……….…… 41 Biểu  đồ  1.9.  Tỉ  lệ  giáo  viên  đánh  giá  về  việc  lựa  chọn  phương  pháp  dạy  học  để  phát triển năng lực MHHTH cho học sinh……… 41 Biểu đồ 1.10. Tỉ lệ học sinh đánh giá về tầm quan trọng của ứng dụng toán học trong thực tiễn cuộc sống……….….44 

Biểu đồ 1.11. Tỉ lệ học sinh đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu những ứng dụng 

của toán học với các kiến thức toán học ở trên lớp……….44 Biểu đồ 1.12. Tỉ lệ học sinh đã biết đến năng lực MHHTH……… 45 Biểu đồ 1.13. Tỉ lệ học sinh đánh giá về mức độ thường xuyên thiết kế các hoạt động giúp  học  sinh  phát  triển  năng  lực  MHHTH  của  các  giáo viên……… ………45 Biểu đồ 1.14. Tỉ lệ học sinh đánh giá về năng lực MHHTH……….… 45 

Hình  vẽ  2.4.  Hình  biểu  diễn  miền  nghiệm  của  hệ  bất  phương  trình  trong  ví  dụ 2.4……… … 73 Hình vẽ 2.4. Hình biểu diễn miền nghiệm giao nhau của các bất phương trình trong ví 

dụ 2.4……….… 73 Hình  vẽ  2.5.  Hình  biểu  diễn  miền  nghiệm  hệ  bất  phương  trình  trong  ví  dụ 2.4……… 74 Hình vẽ 2.6. Hình biểu diễn chức năng tìm giao điểm của đa giác miền nghiệm trong ví 

dụ 2.4……… …74 Hình  vẽ  2.7.  Hình  biểu  diễn  chức  năng  nhập  dữ  liệu  trên  Excel  trong  ví  dụ 2.4……… …75 Hình  vẽ  2.8.  Hình  biểu  diễn  miền  nghiệm  của  hệ  bất  phương  trình  trong  ví  dụ 2.5……… … 79 Hình  vẽ  2.9.  Hình  biểu  diễn  miền  nghiệm  của  hệ  bất  phương  trình  trong  ví  dụ 2.7……… … 81 Hình  vẽ  2.10.  Hình  biểu  diễn  miền  nghiệm  của  hệ  bất  phương  trình  trong  ví  dụ 2.8……… … 82 

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong bối cảnh giáo dục hiện đại, việc dạy học không chỉ dừng lại ở việc truyền đạt  kiến  thức  lý  thuyết  mà  còn  phải  khuyến  khích  học  sinh  phát  triển  khả  năng  vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Đặc biệt trong môn Toán, thay vì chỉ tập trung vào việc dạy các công thức và giải các bài tập thuần túy trong sách giáo khoa, mục tiêu lớn hơn 

là  giúp  học  sinh  biết  cách  áp  dụng  toán  học  vào  giải  quyết  các  vấn  đề  thực  tế  trong cuộc  sống.  Điều  này  đòi  hỏi  sự  phát  triển  của  năng  lực  mô  hình  hóa  toán  học (MHHTH), một yếu tố quan trọng để học sinh có thể tiếp cận và xử lý các tình huống phức tạp từ thực tiễn. Việc mô hình hóa toán học giúp kết nối giữa các bài toán thực tiễn  và  kiến  thức  lý  thuyết  dưới  góc  nhìn  toán  học,  từ  đó  đòi  hỏi  học  sinh  vận  dụng linh hoạt các kỹ năng tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa và trừu tượng hóa  Theo Lê Thị Hoài Châu (2014), "Mô hình toán học là sự giải thích bằng toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này. Quá trình mô hình hóa toán học là quá trình thiết lập một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề trong mô hình đó rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ  cảnh thực tế, cải tiến  mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận" . Điều này nhấn mạnh vai trò quan trọng của MHHTH trong việc giúp học sinh phát triển khả năng xây dựng các mô hình toán học phù hợp, đưa ra dự đoán và giải quyết các vấn đề thực tiễn [6]. 

Năng lực MHHTH là  khả năng của một người hoặc một hệ thống để tạo ra các 

mô  hình  toán  học  phù  hợp  với  dữ  liệu  và  vấn  đề  được  giải  quyết.  Nó  bao  gồm  khả năng chọn, xây dựng các mô hình toán học phù hợp với dữ liệu, hiểu các giả định và giới  hạn  của  mô  hình,  đưa  ra  các  dự  đoán,  kết  luận  dựa  trên  mô  hình.  Chương  trình Giáo dục phổ thông 2018 môn Toán đã xác định năng lực MHHTH là một trong năm năng lực thành phần của năng lực Toán học cần hình thành và phát triển cho học sinh 

vì nó giúp học sinh kết nối, ứng dụng những kiến thức, kĩ năng từ sách vở được học vào trong thực tiễn, tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm vận dụng vào trong cuộc sống. Thông qua việc dạy học theo hướng phát triển năng lực MHHTH cùng với các 

Chủ  đề  “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”  là  một  nội 

dung  không  mới,  nhưng  tương  đối  khó  đối  với  học  sinh  trong  việc  thiết  lập  ra  bất phương  trình,  hệ  bất  phương  trình  từ  những  dữ  kiện  thực  tế,  gây  ra  nhiều  khó  khăn trong quá trình dạy và học đối với cả giáo viên và học sinh. Nhưng bên cạnh đó chủ đề này cũng có rất nhiều yếu tố gắn với thực tiễn, thuận lợi để giáo viên có thể khai thác qua đó giúp học sinh phát triển năng lực MHHTH.  

Để giải quyết những bài toán trong chủ đề “Bất phương trình và hệ bất phương

trình bậc nhất hai ẩn”,  học  sinh  cần  chuyển  tình  huống  bài  toán  ban  đầu  thành  mô 

hình toán học, mô hình này bao gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Để thiết lập được các bất phương trình này,  học sinh cần xác định rõ các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất, biết giữ lại các yếu tố cần thiết để xây dựng mô hình toán học. Bằng cách 

sử dụng chữ cái để biểu thị cho đại lượng chưa biết (ẩn số), và bộ công cụ kí hiệu của đại  số  như:  dấu  các  phép  toán,  dấu  bằng,  dấu  bất  đẳng  thức  để  thiết  lập  mối  liên  hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết để tạo ra các bất phương trình. Sau khi thiết lập được 

mô hình toán học là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh cần phải sử dụng các phương pháp, kĩ thuật để tìm ra nghiệm cho hệ bất phương trình trên. Như vậy, giải bài toán tối ưu tuyến tính giúp các em rèn luyện và phát triển được năng lực về toán học như: Tư  duy và suy luận, mô hình hóa, sử dụng ngôn ngữ  ký hiệu, hình thức, kỹ thuật 

và các phép toán.  

Với những lí do như trên, tác giả chọn đề tài “Dạy học chủ đề bất phương trình,

hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và ứng dụng theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 10”

2 Tổng quan các công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài

2.1 Những nghiên cứu liên quan đến mô hình hóa toán học và năng lực mô hình hóa toán học

Mô hình hoá trong giáo dục toán xuất hiện lần đầu tiên tại hội nghị Freudenthal năm 1968. Tại đây các nhà giáo dục đã đưa ra nhiều vấn đề liên quan đến mô hình hóa. 

Tại sao phải dạy toán theo hướng ứng dụng? Tại sao nhiều học sinh không thể sử dụng kiến thức  toán  học  để  giải  quyết  những  vấn  đề  trong  thực  tế  mặc dù các bạn ấy đã được  kết  quả xuất  sắc  về  môn  học  này?  Dấu  mốc quan trọng là việc mô hình hóa đã được đưa vào nhà trường sau nghiên cứu của Pollak năm 1979: Ảnh hưởng của toán học lên  các  môn  học  khác  ở  nhà  trường.  Theo  ông,  việc dạy toán  là  dạy  cho  học sinh  cách  sử  dụng  toán  trong  cuộc  sống  hằng  ngày.  Từ  đó, việc  dạy và học mô hình hóa trong nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàn cầu. [37]. Ví dụ như nghiên cứu của chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA nhấn mạnh mục đích của dạy toán là phát triển khả năng học sinh sử dụng toán trong cuộc sống hiện tại và tương lai. Việc giảng dạy bằng mô hình hóa là một phần của chương trình giảng dạy toán học, giúp phát triển kỹ năng liên tưởng với thế giới thực cũng như kỹ năng giải quyết vấn đề. Bên cạnh đó, các vấn đề có thể phát sinh từ các ngành khác, do vậy tác giả đánh giá rằng  mô  hình toán  học sẽ  là  cơ sở  để  chỉ rõ  bản  chất mối quan hệ  giữa toán học và các ngành khác 

Chương trình môn Toán ở Thụy Điển được bắt đầu đổi mới từ năm 1965 và mô hình hóa được đưa vào chương trình với mức độ tăng dần và thể hiện rõ nhất vào năm 

1994. Điểm nhấn mạnh nhất đó là thiết kế, xây dựng và  sử dụng mô hình Toán học. 

Mô  hình  Toán  học  là  khái  niệm  trọng  tâm  trong  chương  trình  sách  giáo  khoa  môn Toán ở Thụy Điển ở mọi cấp học. Bloom (2007) phân biệt sự khác nhau giữa hai thuật ngữ MHHTH và ứng dụng Toán học. Quá trình mô hình hóa tập trung vào sự chuyển đổi từ thế giới thực tế vào thế giới Toán học, trong khi đó ứng dụng Toán học thì tập trung vào chiều ngược lại [26]. 

Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012) cho rằng mô hình hóa và ứng  dụng toán là hai hoạt động quan trọng của việc dạy học toán, mặc dù hai khái niệm này đều được sử dụng  để  biểu  thị các  mối  liên hệ  giữa thế  giới thực  và  toán  nhưng chúng có  sự  khác biệt. Cụ thể, mô hình hóa nhấn mạnh đến quá trình chuyển đổi từ tình huống thực tế đến toán học, người học tìm kiếm kiến thức toán phù hợp để giải quyết tình huống, sau 

đó xem xét tính hữu ích của mô hình toán đã sử dụng [1]. 

Ayla  Arseven  (2015) đã  phân  tích  và  đánh  giá  về  tầm  quan  trọng  của  mô  hình 

và trung học phổ thông. Chương trình toán học dựa trên cách tiếp cận mang tính xây dựng xã hội, được  phát  triển  vào  năm  2005  và  được  sửa  đổi  vào  năm  2013  do  Bộ Giáo  dục  Quốc gia (MNE) của Thổ Nhĩ Kỳ. Tác giả cũng đánh giá hoạt động mô hình hóa là hoạt động được bao gồm trong chương trình Quốc gia (Thổ Nhĩ Kỳ). Đây được xem  là  nghiên  cứu  sẽ  góp  phần  vào  việc  phát  triển  chương  trình  toán  học  của  MNE dựa trên cách tiếp cận mang tính xây dựng ở Thổ Nhĩ Kỳ [22]. 

Bài  viết  của  RS  Asempapa  (2015)  lập  luận  về  việc  triển  khai  các  hoạt  động MHHTH trong những năm tiểu học và trung học cơ sở tại Hoa Kỳ. Tác giả cũng bàn luận về những thách thức liên quan đến MHHTH từ góc nhìn của cả giáo viên và học sinh. Các nhiệm vụ được minh họa trong bài viết đã cho thấy sự liên quan và tầm quan trọng của MHHTH. MHHTH là phương tiện để phát triển mạnh mẽ khả năng lý luận định lượng, kĩ năng giải quyết vấn đề và hình thành năng lực mô hình hóa trong những năm học đầu tiên. Bài viết chứng minh rằng các nhiệm vụ MHHTH khuyến khích sự phát triển một loạt các kĩ năng thực hành toán học khác và kĩ năng học tập của thế kỷ XXI, đem lại sự hữu ích trong các tình huống thực tế ngày nay [24]. 

Tác  giả  Huỳnh  Hữu  Hiền  (2016)  với  nghiên  cứu  “Năng  lực  MHHTH  của  học sinh lớp 10 trong học theo bối cảnh”, trong nghiên cứu này, tác giả tìm hiểu quy trình MHHTH, tìm hiểu năng lực mô hình hoá của học sinh; xem xét năng lực MHHTH của nhóm học  sinh  lớp  10  khi  học  theo  bối cảnh;  tìm hiểu  một số thuận  lợi và  khó  khăn của học sinh khi học theo bối cảnh; xem xét thái độ của học sinh trong khi tiến hành hoạt động MHHTH trong môi trường học theo bối cảnh [13]. 

2.2 Những nghiên cứu về chủ đề “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”

Luận văn thạc sĩ của Phạm Anh Lý (2012), Nghiên cứu việc dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với MHHTH, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Trong luận văn này, tác giả tập trung vào nghiên cứu việc dạy học 

hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với MHHTH thông qua kiểu nhiệm vụ: 

“Giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính” Qua  việc  nghiên 

cứu các ràng buộc thể chế đối với kiểu nhiệm vụ giải bài toán thực tế bằng cách lập  hệ phương trình, kết quả nghiên cứu cho thấy các bước của quá trình mô hình hóa không 

Luận văn thạc sĩ của Tạ Thị Tú Anh (2017), “Mô hình hóa trong dạy học hệ bất

phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10”,  trường  Đại  học  Sư  phạm  Thành  phố  Hồ  Chí 

Minh. Trong luận văn này tác giả sử dụng lý thuyết didactic toán và việc Chương trình sách Toán lớp 10 hiện hành đã cho phép học sinh sử dụng công cụ đại số để giải quyết bài  toán  tối  ưu  như  thế  nào  theo  quan  điểm  về  mô  hình  hóa  của  Bélair  (2004)  và Grugeon 5 (2000). Ngoài ra tác giả sử dụng khái niệm dạy học bằng mô hình hoá để có 

cơ sở lý thuyết xây dựng một tình huống dạy học về hệ bất phương trình bậc nhất hai 

ẩn [3]

Từ  các  công  trình  có  liên  quan  ở  trên  cho  thấy  việc  mô  hình  hóa  và  giải  quyết 

vấn đề trong chủ đề “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” đối 

với học sinh lớp 10 chưa được nghiên cứu sâu. Đồng thời tác giả nhận thấy chưa có nhiều  nghiên  cứu  xây  dựng  tình  huống  dạy  học  nhằm  giúp  học  sinh  thấy  được  ứng dụng của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết bài toán tối ưu tuyến tính cũng như kiểm tra và đánh giá được  những năng lực đại số mà học sinh thể hiện trong quá trình giải. Vì vậy, tác giả chọn mô hình hóa trong dạy học chủ 

đề “Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” ở lớp 10 làm chủ đề cho 

nghiên cứu của mình. 

3 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Mục tiêu nghiên cứu

Mục  tiêu  nghiên cứu của  luận  văn  là  đề  xuất một số  biện  pháp  dạy  học chủ  đề 

“Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” nhằm phát triển năng lực 

MHHTH cho học sinh lớp 10. 

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

  - Nghiên cứu cơ sở lí luận về năng lực MHHTH (quan niệm, cấu trúc các thành 

  -  Nghiên  cứu  thực  trạng  dạy  học  theo  hướng  phát  triển  năng  lực  MHHTH  cho học sinh lớp 10. 

  -  Tìm  hiểu  chương  trình  giáo  dục  môn  toán  lớp  10  cấp  THPT  với  vấn  đề  phát triển năng lực MHHTH cho học sinh. 

  -  Nghiên  cứu  đề  xuất  một  số  biện  pháp  sư  phạm  trong  dạy  học  chủ  đề  “Bất

phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” theo hướng phát triển năng lực 

MHHTH cho học sinh lớp 10. 

  - Thực nghiệm sư phạm đối với học sinh lớp 10 để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất. 

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

  Luận  văn  tập trung  vào  đánh giá  dạy  học  chủ đề  “Bất phương trình và hệ bất

phương trình bậc nhất hai ẩn”;  những thành  tố  của năng lực MHHTH;  mức  độ  biểu 

6 Giả thuyết khoa học

sư  phạm  thích  hợp  trong  dạy  học  chủ  đề  “Bất phương trình và hệ bất phương trình

bậc nhất hai ẩn” theo hướng phát triển năng lực MHHTH cho học sinh lớp 10 thì có 

thể góp phần phát triển được năng lực MHHTH cho học sinh, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán. 

7 Phương pháp nghiên cứu

Tập trung vào sử dụng phối hợp một số phương pháp sau: 

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: 

Nghiên  cứu,   phân  tích,  tổng  hợp  tài  liệu,  tư  liệu  để  làm  rõ các vấn đề về quá trình MHHTH; năng lực MHHTH của  học sinh trong học tập môn Toán; dạy học phát triển năng lực MHHTH cho học sinh THPT. 

- Phương pháp điều tra, quan sát:

Điều tra tình hình dạy học chủ đề “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc

nhất hai ẩn”, thông  qua  quan  sát,  dự  giờ,  tìm  hiểu  giáo  án,  sử  dụng  phiếu  khảo  sát, 

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

    Tiến  hành  thực  nghiệm  sư  phạm  nhằm kiểm định tính khả thi và tính hiệu quả 

của các biện pháp sư phạm trong dạy học chủ đề “Bất phương trình và hệ bất phương

trình bậc nhất hai ẩn” theo hướng  phát triển năng lực MHHTH cho học sinh lớp 10. 

- Phương pháp thống kê toán học:

 Phân  tích,  thống  kê  kết  quả  khảo  sát,  tiến  hành  so  sánh  dữ  liệu  đã  phân  tích giữa các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để đưa ra kết luận. 

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài  phần  mở  đầu,  kết  luận,  các  danh  mục  và  tài  liệu  tham  khảo,  nội  dung 

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài nghiên cứu. 

Chương 2:  Một số biện pháp sư phạm trong dạy học chủ đề: “Bất phương trình

và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” theo hướng phát triển năng lực MHHTH cho 

Hartzler  (1991)  đưa  ra khái  niệm “mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa

được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một khái niệm” Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mô hình theo ý 

nghĩa vật lý [40]. 

Theo  Blum,  W.  &  Leib  D,  (2006)  “Mô hình là tình huống thực tế sau khi đã

được đơn giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng theo mục đích và sự quan tâm của người giải quyết vấn đề, nhưng vẫn phản ánh đúng một phần nào đó của tình huống thực tế ban đầu” [28]. 

 Theo từ điển tiếng Việt: “Mô hình được mô tả như một vật được thay thế mà qua

đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế Thông qua mô hình,

ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật” [20]. 

Từ  các  khái niệm  trên  tác  giả  đúc kết khái  niệm:  “Mô hình là một vật mẫu đại

diện cho một vật thể thực tế, đã được đơn giản hóa nhưng vẫn giữ được các tính chất chính phản ánh sự vật ban đầu”

1.1.2 Khái niệm mô hình toán học

Theo từ điển Bách khoa toàn thư, MHHTH là sự giải thích toán học cho một hệ 

thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này. Mô hình toán học có thể được thể hiện thông qua đồ thị, bảng biểu, phương  trình,  hệ  thống  các  phương  trình…Hiểu  một  cách  nôm  na,  MHHTH  là  việc người ta sử dụng ngôn ngữ toán học để diễn đạt lại một tình huống thực tiễn (có thể trong phạm vi toán học hay ngoài toán học như vật lí, sinh học…), chuyển tình huống 

đó thành một mô hình toán học. Sau đó, sử dụng công cụ toán học để giải quyết mọi vấn đề trên mô hình toán học vừa nhận được và cuối cùng mới quay trở lại trả lời cho những câu hỏi được đặt ra từ bài toán ban đầu. 

Theo  các  nghiên  cứu  của  Lehrer  và  Schauble  (2007)  [33],  cùng  Lesh  và  Doerr 

(2003) [32], “Mô hình toán học đặt trọng tâm vào việc phác thảo cấu trúc và nguyên

tắc chức năng của các đối tượng và tình huống trong thực tế”. Hệ thống phân loại của 

Lehrer và Schauble nhấn mạnh rằng mô hình toán học không bao gồm toàn bộ các đặc điểm  của  thực  tế,  mà  thay  vào  đó,  tập  trung  vào  việc  mô  tả  ý  tưởng  của  tình  huống trong ngữ cảnh toán học. Nghiên cứu của Niss và Hojgaard Jensen (2007) [36], đưa ra quan điểm rằng mô hình toán học là một hoạt động phức tạp liên quan đến việc học tập toán học. Ang Keng Cheng (2001) kết nối mô hình toán học với vấn đề thế giới thực, xem nó như một quá trình biểu diễn và giải quyết các vấn đề toán học từ thực tế. 

Theo  Maria  L.  Hernández,  Rachel  Levy,  Mathew  D.  Felton-Koestler,  and  Rose Mary Zbiek, (2016) [34] cho rằng, mô hình toán học có sử dụng phương pháp toán học 

để chuyển đổi và đưa ra quyết định, như vậy “Mô hình toán học là một quá trình có sử

dụng toán học để biểu diễn, phân tích, đưa ra dự đoán hoặc cung cấp cái nhìn sâu sắc vào các hiện tượng thực tế”. Đặc biệt quan trọng là sự nhấn mạnh vào mô hình toán 

học như một quá trình, lặp đi lặp lại và liên quan đến sửa đổi thường xuyên.   

Theo Lê Thị Hoài Châu (2014) [6], “Mô hình toán học là sự giải thích bằng toán

học cho một hệ thống ngoài toán học bằng những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này”. Vậy mô hình toán học là quá trình thành lập và cải thiện một mô 

hình toán học để biểu diễn và giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn. 

Từ  các  khái  niệm  trên  tác  giả  đúc  kết  khái  niệm:  “Mô hình toán học là một

phương pháp sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học để mô tả, phân tích và dự đoán hành vi của một hệ thống hoặc một vấn đề cụ thể trong thế giới thực”

Mô hình toán học thường bao gồm các yếu tố chính sau: 

- Biến số: Đây là các yếu tố hoặc thông số mà mô hình mô tả và phân tích. Chúng có thể là các đại lượng vật lý như thời gian, không gian, nhiệt độ, hay các thông số trừu tượng như tỷ lệ tăng trưởng dân số, lợi nhuận kinh doanh. 

- Phương trình hoặc bất phương trình: Đây là các quy tắc hoặc mối quan hệ giữa các biến số trong mô hình. Các phương trình và bất phương trình này được xây dựng dựa trên kiến thức và lý thuyết về vấn đề cụ thể. 

- Điều kiện ban đầu và điều kiện giới hạn: Đây là các điều kiện mà mô hình cần phải thỏa mãn tại thời điểm ban đầu và tại các giới hạn cụ thể. 

- Phương pháp giải và phân tích: Một mô hình toán học thường đi kèm với các phương pháp để giải quyết nó, bao gồm cả phương pháp phân tích và phương pháp số học. 

-  Kiểm  tra  và  đánh  giá:  Sau  khi  xây  dựng  mô  hình  và  giải  quyết,  nó  cần  phải  được kiểm tra và đánh giá để xác định tính chính xác và tính ứng dụng của nó đối với vấn đề 

phương  trình,  bất  phương  trình,  kí  hiệu  toán  học,…  để  biểu  diễn  và  mô  tả  đặc  điểm 

của một sự vật, hiện tượng hoặc đối tượng nghiên cứu cụ thể [23]. 

Sự trình bày định nghĩa MHHTH như trên cũng tương tự của Edwards      và Hamson (2001), Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn 

đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [31]. 

Trong  tài  liệu  Mô  hình  hóa  với  phương  pháp  tích  cực  trong  dạy  học  toán,  hai  tác giả Vũ Như Thư Hương và Lê Thị Hoài Châu (2013), sau khi phân tích quá trình 

MHHTH, đã đưa ra nhận xét như sau: “Mô hình hóa toán học là quá trình cấu trúc lại

vấn đề cần giải quyết nhờ những khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp Quá trình ấy được thực hiện thông qua việc xây dựng mô hình phỏng thực tế bằng cách “cắt tỉa” hay ngược lại bổ sung thông tin để có thể gắn vấn đề ban đầu với các quy trình toán học Bài toán toán học cuối cùng được xây dựng phải đại diện trung thực cho bối cảnh thực tế” [12]. 

Theo Nguyễn Danh Nam (2015), Mô hình hóa toán học bao gồm việc chuyển đổi toàn bộ từ bài toán thực tiễn sang bài toán toán học và ngược lại. Quá trình này đi kèm với nhiều yếu tố quan trọng, bao gồm việc xây dựng lại tình huống thực tế, lựa chọn 

mô  hình  toán  học  phù  hợp,  giải  thích  và  đánh  giá  kết  quả  liên  quan  đến  tình  huống thực tế, cùng với việc điều chỉnh mô hình cho đến khi đạt được kết quả có logic và hợp 

lí. Ông đưa ra quan niệm: “Mô hình hóa toán học không chỉ là việc áp dụng công cụ

và ngôn ngữ toán học để khám phá tình huống thực tế, mà còn là quá trình giúp học sinh tìm hiểu sâu rộng các vấn đề phức tạp Quá trình mô hình hóa đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng và thao tác tư duy toán học, như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, và trừu tượng hóa”.  Trong  cấp  học  THPT,  mô hình  hóa  không  chỉ là việc 

biểu  diễn  mối  quan  hệ  giữa  thực  tế  với  kiến  thức  toán  học,  mà  còn  là  quá  trình  hệ thống hóa ý tưởng, khái niệm toán học thông qua ngôn ngữ toán học, như kí hiệu, đồ 

thị, sơ đồ, công thức, và phương trình [18]

Theo Trần Vui (2015), tr 79) cho rằng: “Nói một cách ngắn gọn thì mô hình hóa

hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại, cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần đến khi có được một kết quả hợp lí”

[21]. 

Từ  các  phát  biểu  trên  về  MHHTH,  tác  giả  đưa  ra  một  định  nghĩa  tổng  quát  về 

MHHTH  như sau:  " Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề hoặc

tình huống nảy sinh từ thực tiễn sang một bài toán toán học, bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán học như đồ thị, hàm số, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, kí hiệu toán học, và các công cụ toán học khác để biểu diễn, mô tả các đặc điểm, quy luật của vấn đề đó Quá trình này bao gồm việc tái cấu trúc tình huống thực tế, lựa chọn mô hình toán học phù hợp, hoạt động trong môi trường toán học, giải thích và đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế, điều chỉnh mô hình để đạt được kết quả hợp lí và logic” Như vậy, người thực hiện MHHTH phải giải quyết vấn đề thực tế 

trong môi trường toán học, sau đó quay trở lại thực tế, đối chiếu, nếu chưa phù hợp thì 

phải thay đổi mô hình toán học ban đầu

1.2 Quy trình mô hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số

Trong luận văn này, tác giả xin trình bày quy trình mô hình hóa gắn với việc giải bài toán  bằng  đại  số  nói  chung  và  quy  trình  mô  hình  hóa  gắn  với  việc  giải  các  bài  toán 

trong chủ đề “Bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn” nói riêng. 

Đầu tiên, tôi xin trình bày sơ đồ  mô hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại 

số của tác giả Bélair (2004). Theo sơ đồ dưới, MHHTH vừa là một quá trình biến các giả thiết của một tình huống thực tế thành phương trình (quá trình toán học hóa), sau 

đó,  sử  dụng  các  thao  tác  toán  học  để  giải  quyết  phương  trình  đó  (toán  học)  và  đồng thời cần kiểm tra tính chính xác của giải pháp mà phương trình đưa ra với tình huống thực tế. 

cụ kí hiệu của đại số như: dấu các phép toán, dấu bằng, dấu bất đẳng thức, hệ thống chữ để thiết lập mối liên hệ giữa hằng số và biến số, sau đó tính  toán  trên  những  mối liên  hệ  này đến  khi  nhận  được  kết  quả  cần  tìm.   

Bước 2. Giải quyết bài toán  

Lựa chọn và sử dụng công cụ toán học để đưa ra nghiệm cho bài toán được xây dựng  từ bất phương trình (hệ bất phương trình). 

Bước 3. Đưa ra kết quả cho bài toán thực tiễn. 

- Từ đây có hai khả năng: 

+ Khả năng 1: Mô hình toán học và kết quả tính toán phù hợp với thực tế. 

+ Khả năng 2: Mô hình toán học và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế. Khi  đó, các nguyên nhân sau đây cần được xem xét:  

Ngoài ra, tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) cũng đưa ra quá trình mô hình hóa gồm 

4 bước như sơ đồ 1.2 dưới đây: [6] 

Bước 1. Xây dựng mô hình thực tiễn của vấn đề, xác định những yếu tố quan trọng của vấn đề và mục tiêu đặt ra của vấn đề. 

Bước 2. Diễn tả mô hình thực tiễn bằng ngôn ngữ toán học, thiết lập mô hình toán học cho vấn đề thực tiễn đó. 

Bước 3. Giải bài toán toán học bằng các công cụ toán học. 

Bước 4. Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được của bài toán; xác định mức 

độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tiễn ban đầu. Nếu kết quả không phù hợp thì quá trình phải lặp lại đến khi tìm được câu trả lời phù hợp cho vấn 

đề thực tiễn ban đầu. 

Bước 4 Kiểm tra lại các kết quả của bài toán, đối chiếu với điều kiện và thực tiễn. 

Nếu kết quả không thỏa mãn điều kiện hoặc không phù hợp với thực tiễn thì quá trình phải lặp lại đến khi tìm được kết quả chính xác. 

Để minh họa sơ đồ phía trên, tác giả có đưa ra một bài toán cụ thể như sau:  

Ví dụ 1.1 Một xưởng sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất hai loại sản phẩm: bàn và 

tủ. Mỗi sản phẩm đòi hỏi một lượng nguyên liệu gỗ và thời gian lao động khác nhau. Mỗi bàn  cần 2m   gỗ  và 4  giờ  lao động.  Mỗi  tủ  cần 3 4m  gỗ  và 6  giờ  lao  động. Lợi 3

Gọi  x x  0 và y y  0  lần lượt là số lượng bàn và tủ xưởng đồ gỗ cần sản xuất.  

Mỗi bàn cần 2m  gỗ và mỗi tủ cần 3 4m  gỗ nên số gỗ cần dùng: 3  3

2x4y m  Mỗi bàn cần 4 giờ lao động và mỗi tủ cần 6 giờ lao động nên số giờ lao động: và 

4x6y (giờ)  

x y

TH1. Nếu kết quả không phù hợp điều kiện (tính ra số bàn hoặc số ghế nhỏ hơn 0), học sinh phải giải lại. 

TH2.  Nếu  kết  quả  không  phù  hợp  với  thực  tế  (tính  ra  số  bàn  hoặc  số  ghế  không nguyên), học sinh phải giải lại. 

TH3. Nếu kết quả thỏa mãn điều kiện và phù hợp với thực tiễn thì kết luận đáp án chính xác. 

Vậy  mô  hình  hóa  đã  giúp  học  sinh  rèn  luyện  các  kĩ  năng:  đơn  giản  hóa  các  giả thuyết, làm rõ mục tiêu, xác định các biến số và tham số, xây dựng bài toán, lựa chọn 

viên cần cung cấp cho học sinh câu hỏi hoặc gợi ý hỗ trợ học sinh trong quá trình mô hình hóa bài toán. Giáo viên cần tìm kiếm các tình huống thực tế và đưa chúng vào lớp học nhằm giúp học sinh hiểu được bản chất của các khái niệm toán học cũng như ứng dụng của  chúng  trong  cuộc  sống. Việc đưa  MHHTH  vào giảng  dạy  và  học  tập  là  vô cùng cần thiết bởi những lý do sau: 

MHHTH đóng vai trò quan trọng trong việc thúc đẩy sự phát triển của các năng lực và phẩm chất cốt lõi ở học sinh. Thông qua quá trình mô hình hóa, học sinh được trang bị các kỹ năng như: 

- Năng lực tư duy và lập luận toán học: Học sinh phải xác định hàm mục tiêu và mối liên hệ giữa các biến số dựa trên yêu cầu của bài toán. 

- Năng lực sử dụng công cụ và phương tiện toán học: Học sinh vận dụng được những phần mềm như Geogebra, Sketchpad để mô hình hóa và giải quyết vấn đề. 

- Năng lực MHHTH: Học sinh biết cách chuyển đổi tình huống thực tế thành bài toán giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.  

Quá trình mô hình hóa còn giúp kích thích tính sáng tạo, tò mò và tính kiên trì, cẩn  thận  của  học  sinh.  MHHTH  cũng là cầu  nối  giữa kiến  thức  toán học  trên  lớp  và các hiện tượng, sự vật trong đời sống. Điều này giúp học sinh nhận thấy sự hữu ích của việc học toán, từ đó tạo động lực cho quá trình học tập. Ngoài ra, MHHTH còn hỗ trợ học sinh trong việc hình thành và củng cố các khái niệm toán học, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về kiến thức được học. 

Tóm lại, MHHTH mang lại nhiều lợi ích cho học sinh, từ việc phát triển các năng lực và phẩm chất cốt lõi đến tạo ra động lực học tập và củng cố hiểu biết của các em 

về toán học. Vì vậy, việc áp dụng MHHTH trong dạy và học là một phương pháp tích cực và hiệu quả. 

1.3 Năng lực mô hình hóa toán học

1.3.1 Khái niệm năng lực

Khái  niệm  năng  lực  được  hiểu  theo  nhiều  nghĩa  khác  nhau  do  mục  đích  khác 

nhau.  Theo  Bùi  Minh  Đức  (2013),  năng  lực  là  “Khả năng được hình thành và phát

triển cho phép con người đạt được thành công trong một hoạt động thể lực, trí lực

hoặc nghề nghiệp Năng lực được thể hiện ở khả năng thi hành một hoạt động, thực thi

một nhiệm vụ” [10]. 

Theo từ điển Tiếng Việt thì: “Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự

nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó; phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao” [20]. 

Chương trình giáo dục Trung học bang Québec, Canada năm 2004 xem: “Năng

lực là khả năng hành động hiệu quả bằng sự cố gắng dựa trên nhiều nguồn lực” [8]. 

Theo  Vũ  Dũng  (2008)  trong  Từ  điển  tâm  lý  học  thì  năng  lực  được  định  nghĩa: 

“Năng lực là tập hợp các tính chất hay phẩm chất của tâm lý cá nhân, đóng vai trò là điều kiện bên trong tạo thuận lợi cho việc thực hiện tốt một dạng hoạt động nhất định” Như  vậy,  theo  Vũ Dũng thì  năng lực  thì  không  phải là  một  thuộc  tính  tâm  lý 

duy  nhất  nào  đó  (ví  dụ  như  khả  năng  tri  giác,  trí  nhớ…),  theo  đó  thì  năng  lực  là  sự tổng hợp các thuộc tính tâm lý cá nhân, trong đó là sự thống nhất hữu cơ đáp ứng được những  yêu  cầu  hoạt  động,  bảo  đảm hoạt động  đó  đạt  được  kết quả  theo mong muốn [9]. 

Theo Nguyễn Công Khanh (2015): “Năng lực là khả năng vận dụng những kiến

thức, kinh nghiệm, kỹ năng, thái độ và hứng thú để hành động một các phù hợp và có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống” Cũng  theo  Nguyễn  Công 

Khanh thì “Năng lực là khả năng làm chủ những hệ thống kiến thức, kỹ năng, thái độ

và vận hành (kết nối) chúng một cách hợp lý vào thực hiện thành công, nhiệm vụ hoặc giải quyết hiệu quả vấn đề đặt ra trong cuộc sống” [15]. 

Năng lực được định nghĩa trong chương trình GDPT tổng thể 2018 là “Năng lực

là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí…thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.” [5]. 

Trong luận văn này, tác giả đồng ý với định nghĩa năng lực trong  chương trình GDPT tổng thể 2018 ở trên. 

1.3.2 Khái niệm năng lực mô hình hóa toán học

Có  nhiều  định  nghĩa  khác  nhau  về  năng  lực  MHHTH.  Theo  Blum  và  Jensen 

(2007): “Năng lực mô hình hoá toán học là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn

của quy trình mô hình hoá trong dạy học toán nhằm giải quyết vấn đề toán học được đặt ra” [26].  

Maaß, K. (2006), định nghĩa “Năng lực mô hình hóa bao gồm các kĩ năng và khả

năng thực hiện quá trình mô hình hóa nhằm đạt được mục tiêu xác định”. Như vậy có 

thể hiểu năng lực MHHTH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình 

mô hình hóa trong dạy học Toán nhằm giải quyết vấn đề thực tế được đặt ra [35]. 

(NISS et al 2007) đưa ra định nghĩa: Năng lực mô hình hóa toán học là khả năng

nhận diện câu hỏi có liên quan, các biến, các mối quan hệ hoặc giả định về một tình huống thế giới thực, để dẫn dắt vào toán học và để giải thích và kích hoạt các giải pháp” [36]. 

Nguyễn Danh Nam (2016) lại cho rằng: “Năng lực mô hình hóa toán học là khả

năng xác định các yếu tố trong tình huống thực tiễn được đưa ra để phiên dịch sang bài toán, hiểu và kiểm chứng lời giải của bài toán trong ngữ cảnh ban đầu.” Tác giả 

đã chỉ ra sáu thành tố của năng lực MHHTH của học sinh phổ thông bao gồm: [19] 

- Năng lực thu nhận thông tin Toán học từ tình huống: Là khả năng học sinh quan sát tình huống thực tiễn; khả năng liên tưởng, kết nối, chuyển đổi các yếu tố thực tiễn thành các yếu tố toán học; khả năng ước tính, dự đoán các kết quả có thể xảy ra của tình huống. 

- Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm của tình huống: Là khả năng học sinh chọn lọc các yếu tố cốt lõi của tình huống; loại bỏ những yếu tố gây nhiễu, không 

có vai trò quyết định đến yêu cầu của tình huống; khả năng học sinh biểu diễn mối liên 

hệ giữa các yếu tố cốt lõi. 

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ Toán học: Là khả năng học sinh  diễn  đạt  lại  tình  huống  thực  tiễn,  chính  xác,  không  dài  dòng,  xúc  tích,  dễ  hiểu; Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học để chuyển vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học. 

- Năng lực xây dựng mô hình Toán học: Là khả năng học sinh lựa chọn biến số phù  hợp  với  các  đại  lượng  bằng  ký  hiệu,  khái  niệm toán  học;  khả  năng  diễn  đạt  các 

-  Năng lực làm việc với mô hình Toán học: Là khả năng học sinh sử dụng những kiến thức toán học để giải bài toán toán học vừa được mô hình hóa, diễn giải kết quả của bài toán toán học để giải quyết tình huống thực tiễn. 

-  Năng  lực kiểm  tra, đánh giá, điều  chỉnh  mô  hình: Là khả  năng  học sinh đánh giá mô hình đã thiết lập, so sánh, phân tích ưu điểm và hạn chế của mô hình để từ đó 

có sự cải tiến và điều chỉnh mô hình sao cho phù hợp với tình huống thực tiễn. 

Trong nghiên cứu này, tác giả quan niệm năng lực MHHTH trùng với quan niệm của tác giả Nguyễn Danh Nam.  

Để phân tích rõ hơn, tác giả đưa ra ví dụ minh họa sau: 

Ví dụ 1.2. Một nhà máy sản xuất hai loại bánh mì: bánh mì sandwich và bánh mì 

ngọt. Để sản xuất 1 kg bánh mì sandwich cần 0,5 kg bột mì và 0,2 kg đường. Còn để sản  xuất  1  kg  bánh  mì  ngọt  cần  0,6  kg  bột  mì  và  0,3  kg  đường.  Mỗi  kg  bánh  mì sandwich  mang  lại  lợi  nhuận  15.000  đồng,  còn  mỗi  kg  bánh  mì  ngọt  mang  lại  lợi nhuận 20.000 đồng. Nhà máy có 800 kg bột mì và 200 kg đường để sử dụng mỗi ngày. Hỏi nhà máy cần sản xuất bao nhiêu kg mỗi loại bánh để thu được lợi nhuận tối đa? Sáu thành tố của năng lực MHHTH được thể hiện như sau: 

1 Năng lực thu nhận thông tin Toán học từ tình huống:

  Học sinh đọc tình huống thực tế trong bài toán trên, xác nhận mục tiêu của bài toán đang hướng tới, chọn lọc các khái niệm và công thức toán học liên quan đến tình huống, dự đoán kết quả mong muốn của tình huống. Chẳng hạn: 

– Tình huống: Sản xuất hai loại bánh mỳ. 

– Mục tiêu của bài toán thực tiễn: Số tiền lãi thu được là cao nhất.  

– Ý tưởng toán học: Gọi biến tương ứng với số kg hai loại bánh, sử dụng phương trình hoặc bất phương trình để thể hiện mối liên hệ giữa các biến.  

2 Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm của tình huống:

  Học sinh xác định chính xác và đầy đủ các yếu tố trung tâm của tình huống biểu hiện trong bảng dưới đây: 

3 Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ Toán học:

  Học sinh diễn đạt lại tình huống thực tiễn bằng ngôn ngữ toán học ngắn gọn và chính xác, các lập luận trong lời giải có tính logic, dễ hiểu, sử dụng chính xác các yếu 

tố cần thiết để thiết lập mối liên hệ giữa các đại lượng.  

4 Năng lực xây dựng mô hình Toán học:

  Học sinh chuyển đổi  yếu  tố  thực  tiễn  sang  yếu tố  toán  học  bằng  ngôn  ngữ  và công cụ toán học: 

– Học sinh biểu diễn các đại lượng thực tế bằng kí hiệu toán học trong bảng dưới đây: 

Yếu tố thực tiễn  Yếu tố toán học 

  Học sinh giải hệ bất phương trình vừa thành lập bằng đồ thị và tìm ra nghiệm của hệ bất phương trình là x 400 kg bánh mì sandwich, y 200 kg bánh mì ngọt.  

6 Năng lực kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình:

  Sau  khi  tìm  ra  nghiệm  tối ưu, học  sinh  kiểm tra  tính  phù  hợp  của lời  giải  với tình huống thực tế. Nếu có vấn đề, học sinh điều chỉnh mô hình để đạt kết quả chính xác hơn. 

Như  vậy,  thông  qua  bài  toán  sản  xuất  bánh  mì,  học  sinh  đã  thể  hiện  được  các thành tố của năng lực MHHTH như xác định mô hình toán học, giải quyết bài toán, lí giải  kết quả  và điều  chỉnh  mô  hình.  Có thể  thấy  rằng, các  thành  tố  của năng lực  mô hình hóa có mối liên hệ hết sức chặt chẽ, bổ sung cho nhau, liên kết với nhau theo một trình tự nhất định, cấu thành nên năng lực MHHTH.  

Chủ đề “Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” được coi là 

một  nội  dung hay, rất  nhiều ứng  dụng  quan  trọng.  Chủ  đề  này  trang  bị  cho  học  sinh những kiến thức cần thiết về bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn, đồng thời giúp các em học sinh thấy được ứng dụng của toán học trong thực tiễn cuộc sống. Dựa vào quan niệm về năng lực mô hình hóa cho học sinh phổ thông trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018, biểu hiện của năng lực mô hình hóa khi học sinh học chủ đề 

“Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”  được  thể  hiện  ngay  sau 

đây. 

1.3.3 Biểu hiện của năng lực mô hình hóa toán học và yêu cầu cần đạt đối với học sinh THPT

1.3.3.1 Biểu hiện của năng lực mô hình hóa toán học

Phillips  và  Soriano  (1984)  nói  rằng,  giải  quyết  vấn  đề  từ  toán  học  đòi  hỏi  kiến thức về toán học và ngôn ngữ, cũng chính là sự tương tác giữa những học sinh trong quá trình xây dựng các con đường nhận thức mới [38]. 

Các nhà giáo dục toán học ở Việt Nam đã dành sự quan tâm ngày càng nhiều hơn đến ngôn ngữ toán học, tập trung mô tả ngôn ngữ toán học tạo bởi các kí hiệu toán học (chữ số, chữ cái, dấu phép tính, dấu quan hệ) và ngôn ngữ viết là chủ yếu. Ngoài ra, 

Hoàng Chúng, Nguyễn Bá Kim, cho rằng, “Trong dạy học môn Toán, việc sử dụng các

ngôn ngữ toán học cần được hình thành và rèn luyện cho học sinh”.  Như  vậy  ngôn 

ngữ toán học không chỉ giới hạn trong việc sử dụng các kí hiệu, mà còn bao gồm các hình vẽ, sơ đồ, đồ thị. Điều này tạo ra một hệ thống ngôn ngữ toán học đa dạng [16]. Ngôn ngữ được sử dụng một cách chính xác và rõ ràng giúp truyền đạt ý nghĩa của các khái niệm toán học một cách chính xác nhất. Khi mô tả các vấn đề, công thức, hay thuật toán, việc sử dụng ngôn ngữ mô tả cụ thể và đúng ngữ cảnh giúp tránh nhầm lẫn và mâu thuẫn. Sử dụng ngôn ngữ một cách linh hoạt cho phép mô hình hóa các vấn 

đề toán học một cách tổng quát  hơn. Có thể sử dụng các thuật ngữ, biểu thức, và  ký hiệu  để  mô  tả  các  khái  niệm  toán  học  một  cách  tổng  quát,  từ  đó  giúp  trong  việc  áp dụng chúng cho nhiều bối cảnh khác nhau. Việc sử dụng ngôn ngữ để mô tả các vấn đề toán học đòi hỏi người thực hiện mô hình hóa phải hiểu sâu sắc về chúng. Khi diễn đạt một vấn đề bằng ngôn ngữ, người đó phải có khả năng phân tích và đưa ra các ý kiến, giả thuyết, hoặc giải pháp một cách rõ ràng và logic. 

Năng lực mô hình hóa toán học còn được biểu hiện ở một số năng lực thành phần như: 

- Năng lực xây dựng mô hình toán học: 

Theo Kaiser, G., & Maass, K. (1991) [41], một trong những mục  tiêu hàng đầu của giáo dục toán là hình thành và phát triển năng lực sử dụng mô hình hóa toán học 

để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống hiện tại và tương lai cho người học. 

Để đáp ứng được mục tiêu đó, việc dạy học toán trong nhà trường phải mang đến cơ hội  để  học  sinh  thấy  được  sự  cần  thiết  của  toán  trong  cuộc  sống  và  trong  các  ngành khoa học khác, đồng thời phải hình thành ở các em năng lực giải quyết các vấn đề thực 

tế  bằng  công  cụ  toán  học. Năng  lực  sử  dụng  toán  để  giải  quyết các vấn  đề trong  thế 

giới thực được các nhà giáo dục toán gọi với thuật ngữ là “năng lực mô hình hoá toán

học”. Mục tiêu hàng đầu của giáo dục toán học là phát triển năng lực sử dụng toán để 

giải  quyết  vấn  đề  thực  tế.  Để  đạt  được  điều  này,  học  sinh  cần  phải  có  khả  năng  xây dựng mô hình toán học xuất phát từ các vấn đề thực tiễn. Quá trình này bắt đầu bằng việc đơn giản hóa và lý tưởng hóa vấn đề thực tế, sau đó tạo ra một mô hình toán học phản ánh chính xác vấn đề đó.  Xây  dựng mô hình toán học không  chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa thế giới thực và toán học mà còn phát triển khả năng giải quyết vấn đề bằng công cụ toán học. 

Làm việc với mô hình toán học là khía cạnh quan trọng của quá trình giải quyết vấn đề thực tế bằng toán học. Học sinh cần phải mô tả vấn đề, áp dụng hệ thống toán học,  giải  thích  kết quả  và  mở  rộng  vấn  đề.  Năng  lực  làm  việc  với  mô hình  toán  học quyết định đến sự thành công trong việc giải quyết bài toán thực tế và làm việc với mô hình toán học. Trong năng lực làm việc với mô hình toán học, tác giả Huỳnh Hữu Hiền 

đề xuất quan tâm tới: Mô tả vấn đề; Vận dụng hệ thống toán học; giải thích kết quả; 

Mở rộng vấn đề [13].  

- Năng lực đánh giá, điều chỉnh mô hình: 

Đánh giá không chỉ là một phần cuối cùng của quá trình học mà còn là một phần quan trọng của quá trình học. Điều này đòi hỏi học sinh không chỉ đánh giá kết quả mà còn tự đánh giá quá trình tư duy của họ. Việc này đảm bảo rằng họ có thể điều chỉnh 

mô hình, thích ứng và thậm chí thay đổi suy nghĩ của mình dựa trên kinh nghiệm học tập. 

1.3.3.2 Yêu cầu cần đạt về năng lực mô hình hóa toán học đối với học sinh THPT

Theo  chương  trình  giáo  dục  phổ  thông  2018,  yêu  cầu  cần  đạt  về  năng  lực MHHTH đối với học sinh THPT là:  

Bảng 1.1 Yêu cầu cần đạt đối với năng lực mô hình hóa toán học ở bậc THPT

Thể hiện của năng lực MHHTH Yêu cầu cần đạt được

  Xác  định  được  mô  hình  toán  học  (gồm 

công  thức,  phương  trình,  bảng  biểu,  đồ 

thị…)  cho  tình  huống xuất  hiện  trong  bài 

toán thực tiễn. 

-  Thiết lập được mô hình toán học (gồm  công  thức,  phương  trình,  sơ 

- Thể hiện và đánh giá được lời giải trong  - Lí giải được tính đúng đắn của lời 

nếu cách giải quyết không phù hợp.   các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp 

với thực tiễn hay không). Đặc biệt, nhận  biết  được  cách  đơn  giản  hóa, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn  (xấp  xỉ,  bổ  sung  thêm  giả thuyết, tổng quát hóa…) để đưa đến những bài toán giải được. 

1.3.4 Đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh

Trong  cuộc  sống  hàng  ngày,  không  thiếu  những  tình  huống  phức  tạp  cần  phải giải quyết. Từ những bài toán trong công việc đến những vấn đề phức hợp trong cuộc sống, một học sinh thiếu năng lực MHHTH sẽ gặp khó khăn trong việc tổ chức, phân loại và chuyển đổi các tình huống thực tế này thành các bài toán toán học thuần túy. 

Do đó, khả năng giải quyết các tình huống cụ thể này trở nên hạn chế. Nhưng với học sinh  đã  trang  bị  năng  lực  MHHTH,  các  tình  huống  thực  tế  trở  nên  dễ  dàng  hơn  khi chúng được chuyển đổi thành các vấn đề trong lĩnh vực toán học. Năng lực MHHTH cho phép chúng ta biến một tình huống thực tế phức tạp thành một bài toán toán học thuần  túy, giúp  xác  định  các  giả  thiết,  lựa  chọn  mô hình  phù  hợp  và  đi  đến  kết  luận cũng như giải quyết bài toán. Sau khi bài toán thuần túy được giải quyết, ta có thể áp dụng kết quả này trở lại cho tình huống thực tế ban đầu và những tình huống tương tự khác. Năng lực MHHTH giúp chúng ta xây dựng những phương pháp hiệu quả trong việc giải quyết các vấn đề thực tế, từ những tình huống cá nhân cho đến những thách thức trong cộng đồng và xã hội. 

  Theo Herbert và cộng sự, năng lực MHHTH được phát triển theo các cấp độ: 

- Cấp độ 1: Nhận biết và hiểu về mô hình hóa. Đặc trưng bởi khả năng nhận biết 

và mô tả quá trình mô hình hóa, các đặc trưng riêng, phân biệt được các giai đoạn của quá trình mô hình hóa. 

- Cấp độ 2: Thực hiện độc lập quá trình mô hình hóa (Independent modelling). Đặc trưng bởi khả năng người thực  hiện tự có thể phân tích, cấu trúc lại các vấn đề, tóm tắt số liệu, áp dụng các quan điểm khác nhau, thiết lập các mô hình toán học, làm 

việc  trên  các  mô  hình,  giải  thích  kết  quả,  đưa  ra  mô  hình,  xác  nhận  các  mô  hình  và toàn  bộ quá  trình  mô  hình  hóa,  có khả  năng  điều chỉnh  mô  hình hoặc  phát  triển giải pháp mới  phù  hợp nếu các tình huống đặt ra  có sự thay  đổi  hoặc  chuyển biễn  ở ngữ cảnh mới. 

-  Cấp  độ  3:  Siêu  phản  ánh  trên  mô  hình  hóa  (Meta-reflection  on  modelling). Đặc trưng bởi khả năng phân tích, phản biện mô hình hóa, xây dựng các tiêu chí đánh giá mô hình, đối chiếu mục đích của mô hình hóa, và ứng dụng của toán học. Ở cấp độ năng lực thứ ba này, hiểu biết về khái niệm tổng thể mô hình hóa là tốt nhất. Hơn nữa, khả năng đánh giá phản biện và xác nhận mối các quan hệ quan trọng được phát triển Tác giả Nguyễn Danh Nam (2015) đã cụ thể hóa kỹ năng MHHTH thành 6 cấp độ như bảng 1.2. sau [18]: 

Bảng 1 2 Bảng phân chia cấp độ của kỹ năng mô hình hóa toán học

Cấp độ Kỹ năng mô hình hóa và giải quyết vấn đề toán học