Tiểu luận toán cc 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH HỌC KỲ I.. Đề thi được trình bày với hình thức tiểu luận và được sử dụng tài liệu để tham khảo.. 2 điểm Tính các t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KI N TRÚC H CHÍ MINH Ế Ồ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH HỌC KỲ I NĂM HỌC: 2021-2022 Khoa: Khoa học Cơ bản Môn: TOÁN CAO CẤP 1.

Bộ môn: Toán - Cơ - Tin học Mã số HP:

Lớp HP: 3001, 3002+0301, 3015.

Thời gian nộp bài: Từ 26/12/2021 đến 28/12/2021

Đề thi được trình bày với hình thức tiểu luận và được sử dụng tài liệu để tham khảo.

BÙI THANH DUYBài 1 (2 điểm) Tính các giới hạn sau (nếu tồn tại)

 1

x2− 1

xln x



7 limx→0

 e− x

x −ex1

− 1



8 limx→0 +xsin x

9 limx→+∞e− 3x+ e− 2x1x

10 limx→0 +xx x

Bài 2 (2 điểm) Tính các tích phân suy rộng sau

8 I8=

1Z

0

ln3xq(1 + ln2x)5

9 I9=+∞

10 I10=+∞

Z

0

x2n+1(1 + x2)n+2dx.Bài 3 (1 điểm) Tính các đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau

Bài 4 (1 điểm)

1 Cho hàm số z = yf (x2

− y2) trong đó f (u) là hàm khả vi với mọi u ∈ R Tính B =1xzx+1

Bài làm trình bày đúng như yêu cầu và có hình minh họa khi cần thiết

4 ) (1− sin √ (𝑥)) 1+tan ( 2 (𝑥))

Giải:

Sử d ng Casio 580VNX ụ

Nhập √2𝑒

1 tan 𝑥 ( )sin(𝑥−𝜋 4)

𝑥( √𝑥 3 3 +𝑥 2 −2√𝑥 2 +𝑥+𝑥) 2𝑥+1

SVTH: ĐINH THANH PHƯỚC 2

𝑥→+∞

2𝑥+1 2𝑥 2 =lim

SVTH: ĐINH THANH PHƯỚC 4

= ∫ 2(𝜋4 ln( 2) + 𝑙𝑛(𝑠𝑖𝑛(𝑡) ) + ln (cos (𝑡) ) 𝑑𝑡

2ln(2) + ∫ 2ln(𝑠𝑖𝑛(𝑡) ) + 2ln (cos (𝑡) ) 𝑑𝑡

= ∫ ln(sin (u))𝑑𝑢

𝜋 2 𝜋 4

𝜋 2 𝜋 4

=𝜋

2ln (2) + 2 ∫ ln𝜋2(sin(𝑢))𝑑𝑢

2ln(2)

4 𝐼4= ∫ |𝑥|

(1 + 𝑥4)(1 + 𝑒𝑥) 𝑑𝑥+∞

SVTH: ĐINH THANH PHƯỚC 6

5. 𝐼5=∫ 2𝑥 − 1

𝑥 − 2𝑥 + 22 𝑑𝑥+∞

1

𝑥2− 2𝑥 + 2 𝑑𝑥+∞

1 = ln(𝑥2− 2𝑥 + 2) |𝑥 →+∞

1 + ∫1+∞ (𝑥−1)32+1𝑑𝑥 = lim

0

(𝑡)2+ 1 𝑑𝑡+∞

0 = arctan(𝑥) |𝑥 →+∞0 = 3 arctan +∞ − 3 arctan ( ) (0) =3𝜋2

0

[ TOÁN CAO CẤP 1 ]

= ln (𝑥+2𝑥+1) − 2

𝑥+1|𝑥→+∞

0 = [ lim𝑥→+∞ln (𝑥+2𝑥+1) − 2𝑥+1 ] − (ln(2) − 2) =2 − ln (2)

2Xét: ∫ ( −𝑥

SVTH: ĐINH THANH PHƯỚC 8

𝑡2𝑑𝑡+∞

Vậy 𝐼10= ∫ 𝑥2𝑛+1

(1+𝑥2)𝑛+2𝑑𝑥 = 1

2𝑛+2+∞

0

SVTH: ĐINH THANH PHƯỚC 10

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝛿

𝛿𝑦(sin2(𝑥 − 3𝑦))=2 sin(𝑥 − 3𝑦) 𝛿

𝛿𝑦(sin(𝑥 − 3𝑦)).𝛿

𝛿𝑦((𝑥 − 3𝑦 ) ) = −6 sin 𝑥 − 3𝑦( ) cos (𝑥 − 3𝑦)

2 Cho hàm s ố 𝑧 = 𝑦𝑓(cos (𝑥 − 𝑦)) trong đó 𝑓(𝑢) là hàm khả vi với mọi 𝑢 ∈ ℝ Tính 𝐷 = 𝑦 𝑧 + 𝑧 ( 𝑥 𝑦) − 𝑧

S d ng Casio 580VNX ử ụ

Nhập (2 1 −1

0 1 −4 ) và ( 2 1 0 1

−1 −4 ) Dùng chức năng nhân 2 ma trận của Casio 580VNX

SVTH: ĐINH THANH PHƯỚC 12

A 𝐴 = (𝑇 1 2 1 3

4 −1 5 −1) (

1 2

4 −113

5

−1)

3 −15)

Dùng chức năng nhân 2 ma trận của Casio 580VNX

2

0 −23)

1 0

0 1) (

1 2 −1 4

0 1 2 102

14

1

−2

19

1 0

0 1)

−10

01

1 0

0 1)

|

9 0 0 −4

1 1 0 −12

−2

1

0 −1 00 1)

10

01

|

17 3 −5 −2

−3 −1 2 −12

−2

10

−1 0

0 1)

SVTH: ĐINH THANH PHƯỚC 14

−2

11 170

−7170

−4171

|

|

1

17 0 0 03

17 1 0 0

−2172 17

00

1 0

0 1 )

0

06 17

98

−1017

−98 21 17

8 17

11 8 1

1 00

1 1)

(

1 173 −517 2 17

0 1 −198 00

0

00

3 9

5 3 9

2

3 1

−29 1 )

0

00

1

0 0

|

1 9 2

9 −19 01

9 11 9 17

9 11

3 9

5 3 9

9

11 9 17

9 11

3

9

5 3 9

[ TOÁN CAO CẤP 1 ]

Bài 7 (1 điểm) Giải h ệ phương trình tuyến tinh sau bằng phương pháp Gauss

1.{

2𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧 + 5𝑡 = 0

3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 2𝑡 = 1

5𝑥 + 6𝑦 + 7𝑧 + 5𝑡 = 7 10𝑥 + 12𝑦 + 14𝑧 + 10𝑡 =14 Giải: (𝐴|𝐵) = ( 2 4 7 5 3 2 1 2 5 6 7 5 10 12 14 10 0 1 7 14 )

(

1 −2 −8 −7

0 8 23 19

0 16 47 40

0 32 94 80

1 −2 2 4 )

(

1 −2 −8 −7

0 8 0 −27 0 0 1 2

0 0 0 0

1 −140 6 0 )

( 1 0 −8 −554

0 1 0 −278

0 0 1 2

0 0 0 0

−341 −352 6 0 )

( 1 0 0 9 4

0 1 0 −278

0 0 1 2

0 0 0 0

14 1

−352 6

0 ) Suy ra 𝑅(𝐴|𝐵)= 3

Vì ta có rank (A|B) = 3 < n = 4 (s nghiố ệm) nên

{

𝑥 = 14 −9

4 𝑡

𝑦 = −35

2 +

27

8 𝑡

𝑧 = 6 − 2𝑡

𝑡 = 𝑡

𝑑1< −> 𝑑2

𝑑1∶= 𝑑1− 𝑑2

𝑑 ∶= 𝑑 − 2𝑑2 2 1

𝑑 ∶= 𝑑 − 5𝑑3 3 1

𝑑 ∶= 𝑑4 4− 10𝑑3

𝑑 ∶= 𝑑 − 2𝑑4 4 3

𝑑 ∶= 𝑑 − 2𝑑3 3 2

𝑑 ∶= 𝑑 − 23𝑑2 2 3

𝑑1: = 𝑑1+ 8𝑑3

𝑑 : =2

𝑑2

8

𝑑1: = 𝑑1+ 2𝑑2

SVTH: ĐINH THANH PHƯỚC 16

Vì ta có rank (A|B) = 4 = n = 4 (s nghi m) nên h này có duy nh t nghiố ệ ệ ấ ệm

−3

−3)

[ TOÁN CAO CẤP 1 ]

Bài 8:(1 điểm) Một vật th ể có khối lượng 𝑚 được thả rơi tự do từ trạng thái ngh ỉVận tốc của v t sau thậ ời gian 𝑡 giây, có tính lực cản của không khí được cho bởi công thức

𝑣 =𝑚𝑔

𝑐 (1 − 𝑒−𝑐𝑡𝑚)

trong đó g là gia tốc trọng trường, c là hằng s c n c a không khí Biố ả ủ ế ằng lực t rcản c a không khí là ủ f = cv Hãy ch ng minh công thứ ức trên Giả ử ật thể rơi s vtrong một không gian m ở (không có đáy), hãy tìm vậ ốc c a vn t ủ ật lúc này

Giải:

Nhận xét: Vật được th ả rơi ở trạng thái ngh có ỉ thể qua 2 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Từ trạng thái ngh vỉ ật rơi với vậ ốc tăng dần dưới sựn t tác d ng cụ ủa trọng lực và l c cự ản

Giai đoạn 2: Sau khi vật rơi với th i gian t giây giai ờ ở đo n 1, vật chuyạ ển động

(Lực cản có xu hướng ngược chiều với vật rơi)

Ta l i có: ạ 𝑎 =𝑑𝑣𝑑𝑡thay vào (1) ta được:

SVTH: ĐINH THANH PHƯỚC 18

𝑡 ế𝑛 𝑡ớ𝑖 𝑣ô 𝑐ự𝑐, 𝑠 𝑐ũ𝑡𝑖 𝑛𝑔 𝑡𝑖ế𝑛 𝑡ớ𝑖 𝑣ô 𝑐ự𝑐 vì th ta xét gi i h n khi t ti n t i vô ế ớ ạ ế ớ cực, ta có:

𝑐 (1 − 0) =𝑚𝑔𝑐 Vậy khi thả vật trong không gian m vở ật tăng ận tốc dần rồi chuy v ển động đều với 𝑣 =𝑚𝑔

𝑐 ( v i m, g, c là các giá tr ớ ị cho trước)

Lời c ảm ơnXin chân thành cảm ơn giảng viên hướng d n ẫ Phương pháp thầy d y giúp em có rèn ạluyện khả năng tự ọ h c, và chủ động hơn trong thời gian học của mình hơn

Xin chân thành cảm ơn giảng viên hướng d n ẫ