Từ khóa: phần tử hữu hạn lai, liên kết bán cứng, khung thép không gian, phương pháp vùng dẻo, phân tích phi tuyến tĩnh, phân tích phi tuyến động... 2 quyết được một số bài toán cơ bản nh
PHẦN TỬ KHUNG THÉP BÁN CỨNG KHÔNG GIAN
Quan hệ biến dạng – chuyển vị
Một phần tử hữu hạn đã được đề xuất bởi Jiang cùng cộng sự [25] cho bài toán phân tích tĩnh phi tuyến khung thép theo phương pháp vùng dẻo dựa trên công thức Lagrange cập nhật Xét một phần tử khung không gian 2 nút trong hệ tọa độ địa phương như trên Hình 2.1 Trục x là trục đi qua trọng tâm của tiết diện, hợp với trục y và z tạo thành các mặt phẳng uốn
Hình 2.1 Phần tử trong hệ tọa độ địa phương Véc-tơ chuyển vị nút phần tử d gồm 12 thành phần:
u a v a w a xa ya za u b v b w b xb yb zb T
Véc-tơ nội lực của phần tử f gồm 12 thành phần tương ứng:
Fxa Fya Fza Mxa Mya Mza Fxb Fyb Fzb Mxb Myb Mzb T
Nguyên lý công ảo được áp dụng để xây dựng công thức Lagrange cập nhật Từ cấu hình C t tại thời điểm t đã biết (Hình 2.2) và sử dụng như một trạng thái tham chiếu, các thông số tại thời điểm t + t phải thỏa mãn nguyên lý công ảo, cụ thể là công ảo nội
do ứng suất τ ij sinh ra trên các biến dạng ảo ε ij bằng với công ảo ngoại W ext do nội lực f sinh ra trên các chuyển vị ảo d Cụ thể: int t t ij ij t t
Phương trình cân bằng công ảo của phần tử ở cấu hình C t t được biểu diễn: t t t t ij ij t t
Các thông số tại cấu hình C t t được biểu diễn theo trạng thái tham chiếu C t đã xác định và dạng tuyến tính của phương trình công ảo chuyển từ cấu hình C t đến cấu hình t t
C như trên Hình 2.2 được biểu diễn như sau [52-54]:
t t t t t T t t t t ijkl t kl t ij ij t ij t t t
C e e τ η d f f (2.5) trong đó: t C ijkl là ma trận hệ số vật liệu t ije và t η ij lần lượt là các thành phần tuyến tính và phi tuyến của ten-xơ biến dạng gia tăng Green-Lagrange t τij là ten-xơ ứng suất Cauchy; d và f lần lượt là véc-tơ chuyển vị và nội lực của phần tử
Hình 2.2 Chuyển động của phần tử khung không gian Thành phần biến dạng Green-Lagrange được biểu diễn như sau: ij e ij ij
Do giả thiết rằng tiết diện ngang của phần tử không bị móp méo nên các thành phần biến dạng e yy , e yz , e zz đều bằng 0, vì vậy các thành phần ứng suất tương ứng yy , yz , zz đều được bỏ qua Dựa trên giả thuyết dầm Euler-Bernoulli, biến dạng dọc trục xx và hai thành phần biến dạng trượt xy , xz tại một điểm trên tiết diện được biểu diễn [52], [53]: xx exx xx
Thay các phương trình (2.7), (2.8), (2.9) vào (2.5) và sử dụng định luật Hooke với thành phần biến dạng đàn hồi, phương trình công ảo được viết lại như sau:
2 2 xx xx xy xy xz xz
T t t t xx xx xy xy xz xz
Ee e Ge e Ge e dV dV
Xét một điểm N(yN, zN) bất kỳ trên tiết diện (Hình 2.3) có chuyển vị theo 3 phương lần lượt là u u u x , y , z Các thành phần biến dạng tại điểm N được biểu diễn theo thành phần chuyển vị như sau [25]:
1 2 xx x x y xy x z xz y y x z z xx y y x x z z xy x xz e u x u u e y x u u e z x u u u u u x x x x x u u u u u u x y x y x y u u x
Chuyển vị của điểm N có thể biểu diễn theo chuyển vị của trọng tâm tiết diện như sau: x y x z x v w u u y z x x u v z u w y
Thay (2.12) vào (2.11), thực hiện các phép toán đạo hàm và thay vào các phương trình (2.7), (2.8) và (2.9), bỏ qua các vô cùng bé bậc cao, biến dạng được biểu diễn theo chuyển vị điểm trọng tâm tiết diện của phần tử:
Hình 2.3 Biến dạng tại điểm N Theo [25], lấy vi phân của 3 thành phần biến dạng trong (2.13), ta được:
2 2 xx x x x x x x xy x x x xz x x x u y v z w v v w w y z yw y w zv z v z u v v u w w v w w v y u w w u v v v w w v
Với ký hiệu dấu “ “ chỉ đạo hàm theo biến x Các số hạng u y v z w , z x và y x trong (2.14) là thành phần biến dạng tuyến tính, các số hạng còn lại biểu diễn thành phần phi tuyến trong quan hệ biến dạng – chuyển vị.
Ma trận biến dạng – chuyển vị
Với giả thiết dầm Euler-Bernoulli, mặt cắt ngang của thanh vẫn phẳng trong quá trình biến dạng, do đó chuyển vị của điểm N trên tiết diện được biểu diễn theo các chuyển vị của trọng tâm tiết diện u v w, , , x bằng quan hệ hình học theo công thức (2.12) Với phần
20 tử khung 3D, nếu bỏ qua phần biến dạng xoắn không đều dọc trục phần tử thì các thành phần chuyển vị u v w, , , x có thể nội suy qua chuyển vị nút phần tử bằng các hàm nội suy thông thường như trong phương pháp phần tử hữu hạn:
1 2 a b a za b zb a ya b yb x xa xb u H u H u v H v H H v H w H w H H w H
(2.15) trong đó các hàm dạng H i là:
Biểu diễn (2.15) ở dạng ma trận như sau:
Với du v w x T , d được định nghĩa ở (2.1), và ma trận các hàm dạng là:
Thay các phương trình (2.15), (2.16) vào (2.14) và thực hiện các phép toán đạo hàm, các vi phân biến dạng được biểu diễn theo vi phân chuyển vị nút phần tử thông qua ma trận biến dạng – chuyển vị B như sau:
ε B d (2.19) với εxx xy xz T và ma trận B được biểu diễn:
B B B d (2.20) trong đó B 0 chứa các thành phần tuyến tính và B NL chứa các thành phần phi tuyến trong quan hệ của biến dạng – chuyển vị Ma trận B NL phụ thuộc vào chuyển vị của cấu hình hiện tại
Thực hiện khai triển (2.20), ta tìm được ma trận B 0 và B NL :
H yH zH zH yH H yH zH zH yH zH zH yH yH
Ma trận biến dạng phi tuyến B NL tìm được bằng cách thực hiện đạo hàm (2.19) theo các trục địa phương x, y, z của phần tử tương ứng là B NL 1 , B NL 2 và B NL 3 Ma trận biến dạng B NL cụ thể như sau:
H yH zH zH yH H yH zH zH yH
Ma trận độ cứng phần tử
Dựa trên nguyên lý chuyển vị ảo [55], phương trình (2.10) có thể chuyển thành liên hệ giữa chuyển vị ảo d và công ảo ψ :
ψ K K K d (2.26) trong đó K 0 là ma trận độ cứng đàn hồi phần tử biểu diễn chuyển vị bé như trong phương pháp phần tử hữu hạn thông thường; K L là ma trận độ cứng hình học liên quan đến chuyển vị lớn của phần tử; K kể đến chuyển động cứng (rigid motion) của phần tử trong không gian được xét đến khi tính toán véc-tơ nội lực của phần tử
Theo [25], áp dụng tích phân số Newton Cotes, các ma trận trên được tính toán như sau:
T T T i j k ijk epijk NLijk NLijk epijk NLijk NLijk epijk ijk k i j dV w w w
(2.29) trong đó: w n là trọng số của tích phân Newton Cotes trong bài toán 3 chiều; , ,q m n là số điểm tích phân dọc theo chiều dài và trên mặt cắt ngang của phần tử; D eijk , D epijk tương ứng là ma trận các hệ số vật liệu đàn hồi và phi đàn hồi tại các điểm tích phân Các điểm tích phân phụ thuộc vào loại tiết diện, được phân bố trên mặt cắt ngang như trên Hình 2.4 Về mặt toán học, tích phân số Newton Cotes cần nhiều điểm tích phân hơn so với tích phân cầu phương Gauss để đảm bảo độ chính xác cho hàm xấp xỉ dạng đa thức Tuy nhiên cách phân bố điểm tích phân Newton Cotes (với số điểm là số lẻ) có các điểm trùng với các vị trí có khả năng chảy dẻo (đầu, cuối, chính giữa phần tử, trên mép biên tiết diện) nên khả năng dự đoán ứng xử phi tuyến vật liệu tốt hơn, do đó thường được sử dụng trong phân tích phi tuyến kết cấu Việc kể đến ứng suất dư (residual stress) trong cấu kiện thép hình được thực hiện dễ dàng bằng cách gán trực tiếp giá trị ứng suất dư vào các điểm tích phân Có nhiều mẫu ứng suất dư được áp dụng như: mẫu Vogel (ECCS, 1985) của Hiệp hội công trình thép châu Âu, mẫu Lehigh Notes (US, 1965) dùng cho thép hình cán nóng và mẫu dùng cho thép tổ hợp hàn (Kim, 2002)
Hình 2.4 Sơ đồ điểm tích phân Newton Cotes: (a) dọc chiều dài; (b) trên tiết diện
Phương trình cân bằng của phần tử được viết lại như sau:
K0 KL d K d e f (2.30) trong đó: Ke K0 KL là ma trận độ cứng tiếp tuyến và f là véc-tơ nội lực gia tăng của phần tử trong hệ tọa độ địa phương.
Ma trận độ cứng phần tử có kể đến liên kết bán cứng
Trong nghiên cứu này, liên kết bán cứng trong khung thép không gian chỉ xem xét độ cứng dầm-cột đối với hai chuyển vị xoay trong và ngoài mặt phẳng dầm Đối với các bậc tự do khác được xem là liên kết cứng Ma trận độ cứng phần tử khung không gian được xây dựng bằng cách lắp ghép phần tử với các lò xo xoay có chiều dài bằng 0 ở hai đầu phần tử Phần tử lai mới được tạo ra sẽ có 16 bậc tự do và được đánh chỉ số như trên Hình 2.5
Các phương trình đặc trưng của các lò xo xoay:
Hình 2.5 Phần tử khung không gian có liên kết bán cứng
Các bậc tự do xoay bên trong phần tử được đánh số 1, 2 (nút a) và 3, 4 (nút b) sẽ được biểu diễn theo các bậc tự do xoay bên ngoài tương ứng là 9, 10 và 15, 16 bằng kỹ thuật rút gọn tĩnh, đảm bảo phần tử sau khi rút gọn vẫn có 12 bậc tự do với thứ tự được sắp xếp như phần tử hữu hạn khung không gian Cụ thể:
Phương trình cân bằng của phần tử dầm trong hệ tọa độ địa phương:
1 2 11 12 13 14 3 4 xa ya za xa ya za xb yb zb xb yb zb
Thực hiện ghép nối các phương trình (2.31), (2.32) và (2.33), ta có hệ phương trình được viết gọn ở dạng sau: aa ab ba bb a a b b
Kỹ thuật rút gọn tĩnh được áp dụng trong nghiên cứu của Lui và Chen [17], các bậc tự do d a được rút gọn như sau:
T T bb ab aa b b ab aa a
Hệ phương trình (2.41) là hệ phương trình được rút gọn, trong đó ẩn số là những bậc tự do cần thiết Hệ này có thể được trình bày lại như sau:
K d r (2.42) trong đó ma trận độ cứng rút gọn Kvà véc-tơ nội lực rút gọn r lần lượt là:
Các phương trình trong (2.43) dễ dàng thực hiện các tính toán số bằng các phép toán ma trận thông thường Sau khi xác định được d b ta có thể suy ra chuyển vị d a của phần tử theo (2.40) dùng để tính toán và cập nhật các thông số ứng suất, biến dạng và nội lực tại cấu hình hiện tại của phần tử.
Ma trận khối lượng
Đối với bài toán động lực học kết cấu cần phải xác định ma trận khối lượng của hệ Trong nghiên cứu này, ma trận khối lượng của hệ kết cấu được lắp ghép từ các ma trận khối lượng tương thích của phần tử M e cộng với các khối lượng tập trung M lump : sys e lump
M M M (2.44) với M lump là ma trận các khối lượng tập trung được quy đổi từ các tải trọng tĩnh có sẵn trên kết cấu và được cộng trực tiếp vào các bậc tự do tương ứng tại các điểm nút
Các thành phần của ma trận khối lượng tương thích của phần tử được xác định như trong phương pháp phần tử hữu hạn: e 0
V m H H dV AH H dx (2.45) trong đó H i là các hàm dạng được xác định theo (2.16) Sử dụng Maple, ta có:
Do kết cấu thép có trọng lượng nhẹ nên đóng góp của khối lượng tương thích M e thường không đáng kể so với các khối lượng tập trung M lump
Ma trận cản
Ma trận cản được xác định theo Chopra [56]:
Với M và K là các hệ số giảm chấn tỉ lệ, phụ thuộc vào tỉ số cản và tần số dao động 1 , 2 của hai dạng dao động đầu tiên (theo phương tác dụng của tải trọng động) của kết cấu:
Ma trận chuyển trục tọa độ
Trong phương pháp Lagrange cập nhật, ma trận chuyển trục tọa độ từ hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể trong không gian 3 chiều phải thực hiện khá phức tạp qua các bước sau [57]:
Bước 1: Xác định ma trận chuyển trung gian BSđược tính toán theo các chuyển vị thẳng:
Xác định ma trận chuyển tại cấu hình ban đầu của phần tử:
0 cos cos cos cos cos cos cos cos cos x x x y y y z z z
T (2.50) trong đó , , là các góc hợp bởi các trục địa phương của phần tử tương ứng so với các trục tọa độ tổng thể X, Y, Z Các cosin chỉ phương của trục địa phương x được xác định theo tọa độ các điểm nút a và b Cosin chỉ phương của trục y được xác định bằng
29 tọa độ của 1 điểm K ở xa vô cực trong mặt phẳng uốn chính của phần tử Cosin chỉ phương của trục z được xác định bằng phép nhân hữu hướng hai véc-tơ đơn vị đã xác định của trục x và y (Hình 2.6)
Gia số chuyển vị thẳng giữa hai đầu phần tử ở cấu hình hiện tại trong hệ tổng thể:
Hình 2.6 Chuyển trục tọa độ theo chuyển vị thẳng Thực hiện xoay quanh trục Y bằng ma trận N 1 :
Sau đó thực hiện xoay quanh trục Z bằng ma trận N 2 :
Ma trận chuyển trung gian được xác định:
Bước 2: Xác định ma trận xoay R từ cấu hình tại thời điểm t (bước trước đó) đến cấu hình hiện tại (t t) được tính toán theo các chuyển vị xoay
Gia số các góc xoay từ cấu hình thời điểm t đến cấu hình hiện tại (t t) trong hệ tọa độ tổng thể được xác định như sau:
cos x cos x cos x xa ya xb yb za zb
(2.60) với t t t là gia số góc xoay của hai điểm nút phần tử ở 2 cấu hình liền kề
Ma trận xoay R được xác định:
Ma trận chuyển trục tọa độ cuối cùng được xác định:
Nhiều kết quả thực nghiệm đã chứng minh rằng liên kết giữa dầm và cột trong kết cấu thép không phải kiểu liên kết cứng hay liên kết khớp lý tưởng Liên kết khi chịu lực luôn tạo ra góc xoay tương đối giữa dầm và cột và độ cứng liên kết cũng thay đổi tương ứng tùy theo đặc điểm cấu tạo của liên kết Độ cứng liên kết càng lớn thì góc xoay liên kết càng nhỏ và mô-men truyền qua liên kết càng lớn Hình 2.7 biểu diễn quan hệ mô-men và góc xoay trong liên kết của một số kiểu liên kết thường gặp trong kết cấu thép [58]
Hình 2.7 Quan hệ mô-men – góc xoay của một số kiểu liên kết chịu tải trọng tĩnh
Các mô hình liên kết bán cứng
Ứng xử phi tuyến của liên kết bán cứng được biểu diễn bởi đường cong quan hệ mô- men – góc xoay phải được xác định từ thực nghiệm đối với mỗi kiểu liên kết cụ thể Để thuận tiện trong phân tích số, quan hệ này thường được mô phỏng bằng các hàm số toán học Nhiều mô hình toán học đã được đề xuất và trình bày khá chi tiết trong tài liệu của Chan và Chui [58] Luận án này trình bày tóm tắt lại một số mô hình liên kết bán cứng thường được sử dụng trong phân tích phi tuyến kết cấu thép
2.4.1.1 Mô hình tuyến tính Đây là mô hình đơn giản nhất trong giai đoạn đầu nghiên cứu về liên kết bán cứng Mô hình này chỉ cần một thông số duy nhất để xác định độ cứng của liên kết Quan hệ mô- men – góc xoay được biểu diễn như sau:
M R ki r (2.63) trong đó R ki là độ cứng ban đầu của liên kết được xác định:
(2.64) với là hệ số độ cứng thay đổi từ 0 đến 1 tùy theo kiểu liên kết; EI L/ là độ cứng uốn đơn vị của dầm
Mô hình tuyến tính giả thiết rằng độ cứng liên kết không thay đổi trong suốt quá trình liên kết chịu lực và quan hệ mô-men góc xoay là một đường thẳng tuyến tính Mô hình này không đảm bảo độ chính xác khi hệ có chuyển vị lớn nên ít được sử dụng trong các nghiên cứu về sau, chủ yếu dùng để tham chiếu khi so sánh với các mô hình phi tuyến khác
2.4.1.2 Mô hình ba thông số Kishi-Chen (Power Model)
Kishi và Chen [59] đã đề xuất mô hình hàm số lũy thừa 3 thông số dựa trên các kết quả thực nghiệm cho các kiểu liên kết khác nhau Quan hệ mô-men – góc xoay được biểu diễn theo công thức:
Rki là độ cứng ban đầu của liên kết n là thông số hình dạng của đường cong M r
R với M u là mô-men cực hạn của liên kết
Khi liên kết chịu lực, độ cứng tiếp tuyến được xác định:
Mô hình này luôn cho độ cứng dương từ biểu thức (2.66) và kết quả khá khớp với thực nghiệm nên được nhiều tác giả sử dụng khi mô phỏng liên kết bán cứng
2.4.1.3 Mô hình hàm mũ Chen-Lui (Exponential Model)
Lui và Chen [3][16] đề xuất mô hình hàm mũ dưới dạng: n r
(2.67) và độ cứng tiếp tuyến được cho bởi biểu thức:
(2.68) và độ cứng ban đầu là:
M0 là mô-men ban đầu của liên kết
Rkf là độ cứng tái bền của liên kết
là hệ số tỉ lệ n là số các số hạng được xem xét của chuỗi
Cj là hệ số hiệu chỉnh đường cong mô-men - góc xoay
Lui và Chen đã xác định những thông số hiệu chỉnh đường cong mô-men - góc xoay cho
4 kiểu liên kết: loại A (Single Web Angle – SWA); loại B (Top and Seated Angle – TSA); loại C (Flush End Plate – FEP) và loại D (Extended End Plate – EEP) Giá trị các thông số này được trình bày trong Bảng 2.1
Bảng 2.1 Thông số liên kết bán cứng theo mô hình Chen-Lui
Thông số Các loại liên kết bán cứng
Mô hình này cần nhiều thông số để hiệu chỉnh đường cong mô-men – góc xoay, có khả năng mô tả khá chính xác ứng xử của liên kết bán cứng
2.4.1.4 Mô hình bốn thông số Richard Abbott
Mô hình 4 thông số được đề xuất lần đầu tiên bởi Richard và Abbott (1975) và được trình bày cụ thể trong tài liệu của Chan và Chui [58] Công thức liên hệ giữa mô-men và góc xoay được biểu diễn như sau:
1 ki kp r kp r n n ki kp r
(2.70) và độ cứng tiếp tuyến được cho bởi biểu thức:
1 r r ki kp kt kp r n n ki kp r
Rki là độ cứng ban đầu của liên kết
Rkp là độ cứng tăng bền của liên kết
M0là mô-men tham chiếu của liên kết n là thông số xác định hình dạng đường cong quan hệ M r
Mô hình Richard – Abbott sử dụng 4 thông số để xác định đường cong M r và cho độ cứng của liên kết luôn dương nên hiệu quả về mặt tính toán và mô phỏng tốt cho liên kết bán cứng Do đó, mô hình này hiện nay cũng được sử dụng khá phổ biến trong các nghiên cứu khung thép có xét đến phi tuyến liên kết.
Mô hình ứng xử vòng trễ của liên kết bán cứng
Trong phân tích động, ứng xử vòng trễ (hysteresis loop) của liên kết bán cứng cần phải được xem xét đến Từ những kết quả thực nghiệm liên kết dầm-cột chịu tải trọng lặp,
36 quan hệ mô-men – góc xoay cho thấy sự ổn định và có thể phục hồi trong suốt thời gian liên kết chịu tải trọng động Ngoài ra, kết quả thực nghiệm cũng chứng minh rằng khả năng hấp thu và tiêu tán năng lượng của tải trọng động được thông qua ứng xử lặp trễ của liên kết bán cứng Có 3 phương pháp thường được sử dụng để mô phỏng ứng xử vòng trễ trong phân tích: (i) phương pháp tái bền độc lập (independent hardening method; (ii) phương pháp tái bền động học (kinematic hardening method); (iii) phương pháp mặt biên (bounding surface method)
2.4.2.1 Phương pháp tái bền độc lập Đây là phương pháp đơn giản nhất để mô phỏng ứng xử vòng trễ của liên kết Trong phương pháp này, sự suy giảm các tính chất đặc trưng của liên kết như độ cứng hay mô- men chảy dẻo ban đầu không được xem xét đến (Hình 2.8) Quan hệ mô-men – góc xoay trong mỗi vòng lặp là độc lập và không có hiệu ứng tái bền Dưới tác dụng của tải trọng lặp, vòng trễ và độ cứng tiếp tuyến tức thời của liên kết sẽ thay đổi theo giá trị mô-men
M, góc xoay r và sự tăng giảm mô-men trong liên kết M
Hình 2.8 Mô hình tái bền độc lập Ban đầu, quan hệ M f r được lựa chọn tùy theo theo mô hình liên kết bán cứng Thuật toán mô phỏng phương pháp tái bền độc lập được cụ thể như sau:
[1] Nếu đường cong quan hệ M r xuất phát từ gốc tọa độ hoặc đi qua điểm có tọa độ p ,0 và đi theo đường cong ban đầu OA, BC hoặc DE, liên kết đang trong giai đoạn gia tải tương ứng với điều kiện M M 0, khi đó quan hệ M được viết theo hàm số biểu diễn đã được chọn ban đầu:
M f (2.72) trong đó p là giá trị góc xoay ổn định đạt được của vòng trễ Độ cứng tiếp tuyến của liên kết được xác định như mô hình liên kết bán cứng đã chọn, trong đó thay r bởi r p : r r p kt r
[2] Nếu liên kết đang trong giai đoạn dỡ tải tương ứng với điều kiện M M 0trên đoạn AB hoặc CD, ứng xử của liên kết sẽ di chuyển trên một đường thẳng hướng về trục x với độ cứng bằng độ cứng ban đầu R ki Điểm đảo chiều A ra ,Ma sẽ được lưu lại cho những vòng lặp tiếp theo Quan hệ M r được viết như sau:
[3] Nếu liên kết đang dỡ tải từ A đến F nhưng lại gia tải trở lại, ứng xử của liên kết vẫn di chuyển theo đường thẳng với độ cứng ban đầu R ki cho đến khi đạt đến giá trị M a đã lưu giữ trước đó Khi liên kết tiếp tục được gia tải (M M 0), ứng xử đi theo đường cong AG với gốc tọa độ mới là p ,0 Mô-men tại liên kết được tính như sau:
38 Độ cứng liên kết được xác định như sau: kt ki
Sử dụng thuật toán lặp từ bước [1] đến bước [3] như ở trên, vòng lặp trễ mô-men – góc xoay của liên kết được xác định trong suốt thời gian tác dụng của tải trọng động
2.4.2.2 Phương pháp tái bền động học
Phương pháp này hiệu chỉnh phương pháp tái bền độc lập bằng cách xét đến hiệu ứng tái bền vật liệu của liên kết bằng cách sử dụng đường tái bền có phương trình M R h r như trên Hình 2.9
Hình 2.9 Mô hình tái bền động học
Trong trường hợp dỡ tải đảo chiều, đường quan hệ đi theo đường thẳng với độ cứng ban đầu R ki cho đến khi đạt tới đường tái bền Nếu tiếp tục dỡ tải, đường cong sẽ di chuyển theo quan hệ mô-men – góc xoay đã chọn ban đầu (đoạn AB hoặc CD) Chính vì xét hiệu ứng tái bền liên kết nên đường cong sẽ tiến đến hàm số mô hình bán cứng đã chọn sớm hơn so với phương pháp tái bền độc lập (điểm B và D) Về mặt toán học, nếu chọn h 0
R thì mô hình tái bền động học trở thành mô hình tái bền độc lập
2.4.2.3 Phương pháp mặt biên Để đơn giản hơn trong việc xem xét ứng xử tái bền của liên kết bán cứng khi gia tải và dỡ tải, phương pháp mặt biên dựa trên quy luật Masing (Masing rule) giả thiết rằng đường quan hệ di chuyển trên đường cong khi dỡ tải có dạng giống như hàm số mô phỏng liên kết nửa cứng ban đầu được xác định bởi phương trình:
(2.80) với r * ,M * là điểm đảo chiều của tải trọng (điểm A hoặc B như trên Hình 2.10)
Hình 2.10 Mô hình mặt biên Khi đó, độ cứng tiếp tuyến của liên kết được xác định như sau: Đối với đường cong ban đầu:
(2.81) Đối với đường cong khi gia tải và dỡ tải:
Cụ thể với trường hợp nếu lựa chọn liên kết bán cứng theo mô hình Richard-Abbott, đường cong OA ban đầu được biểu diễn như sau:
1 ki kp r kp r n n ki kp r
(2.83) Đường gia tải, dỡ tải được mô tả theo phương trình:
1 2 ki kp ra r a n n kp ra r ki kp ra r
(2.84) với độ cứng tiếp tuyến là:
1 2 ki kp kt n n kp r ki kp ra r
(2.85) trong đó A ra ,Ma là điểm đảo chiều lần đầu Ở các bước tính kế tiếp, nếu điểm đảo chiều thay đổi thành điểm B rb ,Mb thì thay các giá trị tại B và tính M và R kt như các công thức (2.84) và (2.85)
Với phần tử đang xây dựng, các thành phần ứng suất x , xy và xz đều tham gia gây ra biến dạng cho điểm vật liệu Do đó, mô hình mặt chảy chẻo Orbison (Hình 2.11) được mở rộng cho trường hợp 3 chiều và sử dụng tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises để đánh giá khả năng chảy dẻo của vật liệu
Hình 2.11 Thuật toán Backward Euler cho vật liệu đẳng hướng
Tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises được biểu diễn bằng phương trình: ef y 0
(2.88) với ef là ứng suất hiệu quả tại điểm đang xét; y là ứng suất chảy dẻo tương ứng với biến dạng dẻo tương đương; H là thông số tái bền; d p là biến dạng dẻo tương đương gia tăng được cho bởi biểu thức [24], [25]:
9 9 i ef i x i xx i xy i xy i xz i xz i p i i ef i x i xy i xz
CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH PZNASS
Thuật toán phi tuyến tĩnh
Thuật toán giải hệ phương trình phi tuyến tĩnh bằng phương pháp điều khiển chuyển vị tổng quát (generalized displacement control method GDCM) được đề xuất bởi Yang và Shieh [60] và được nhiều tác giả sử dụng để dò tìm đường cân bằng của hệ Tuy
Bài toán tĩnh Bài toán động
45 nhiên, nghiên cứu gần đây của Leon cùng cộng sự [61] đã chỉ ra rằng, phương pháp GDCM còn phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ số tải ban đầu, dẫn đến lời giải có thể kém chính xác hoặc không hội tụ nếu chọn không đủ nhỏ Leon cùng cộng sự [61] đã đề xuất phương pháp điều khiển chuyển vị tổng quát có hiệu chỉnh (modified generalized displacement control method – MGDCM) có thể đạt được sự hội tụ cho trường hợp chọn hệ số tải ban đầu lớn
Yang và Shieh [60] đề xuất thuật toán giải phi tuyến tĩnh bằng phương pháp điều khiển chuyển vị như sau:
Hệ phương trình cân bằng được biểu diễn ở dạng tổng quát:
f d f (3.1) với là hệ số tải, f là ngoại lực tác dụng
Tại bất kỳ cấu hình biến dạng nào, nếu sự cân bằng giữa nội lực và ngoại lực chưa đạt được thì véc-tơ lực dư (residual force vector) sẽ được tính toán:
Phép tính lặp sẽ được thực hiện cho đến khi điều kiện hội tụ được thỏa mãn Ở vòng lặp thứ j của bước tải thứ i, thủ tục lặp sẽ được tính toán như sau:
K d f r (3.3) với K i j 1 là ma trận độ cứng tiếp tuyến ở bước tải j 1 phụ thuộc vào cấu hình chuyển vị d i j 1 ; véc-tơ lực dư r i j 1 ở bước j 1 phụ thuộc vào hệ số tải i j 1 và d i j 1
Sau mỗi bước lặp, thành phần chuyển vị tổng và hệ số tải được xác định:
Véc-tơ lực dư trong (3.3) sẽ được tính toán:
Yang và Shieh [56] đã đề xuất một phương trình ràng buộc để tìm hệ số tải trọng gia tăng i j : i i i i i j j bj j cj a d (3.7)
Trong phương pháp GDCM, chuyển vị gia tăng của bước lặp thứ j được chia thành 2 phần: i i i i j j p j r j
d d d (3.8) Tương ứng như vậy, phương trình (3.3) cũng được tách thành 2 hệ phương trình:
Từ (3.7) và (3.8), phương trình ràng buộc được viết lại như sau: i i i j j r j i j i i i j p j j c
Yang và Shieh [56] đã gán các hệ số trong phương trình (3.11) là a i j 1 i d p 1 i 1 và i 0 bj nên hệ số tải gia tăng được viết lại là:
Tại bước lặp đầu tiên chọn c c 1 i và các bước kế tiếp c i j 1 0, hệ số tải gia tăng được tính:
Tại bước lặp đầu tiên, Yang và Shieh đã cho d p 1 0 d p 1 1 do đó c được xác định:
Với 1 1 được cho trước ở bước tải đầu tiên Ở bước tải kế tiếp hệ số tải được tính toán:
(3.15) với GSP là thông số độ cứng tổng quát (Generalized Stiffness Parameter):
Hiệu chỉnh thuật toán GDCM, Leon cùng cộng sự [57] đã đề xuất phương trình ràng buộc cho thuật toán MGDCM bằng cách đặt:
Tương tự như trong GDCM, hệ số tải gia tăng được xác định lại như sau:
(3.18) và GSP sẽ thay đổi thành:
Tính chính xác của thuật toán MGDCM đã được kiểm chứng trong nghiên cứu của Leon, đặc biệt hiệu quả khi áp dụng cho bài toán có xem xét chuyển vị lớn Luận án này sử dụng phương pháp MGDCM để dò tìm đường cân bằng cho bài toán tĩnh, cụ thể hóa bằng lập trình thủ tục số theo lưu đồ thuật toán trình bày trên Hình 3.2
Hình 3.2 Lưu đồ thuật toán tĩnh MGDCM
Thuật toán phi tuyến động
Khác với thuật toán giải phi tuyến tĩnh là phải đi tìm hệ số tải trọng gia tăng dựa vào các đặc trưng hiện tại của hệ kết cấu, bài toán động đã biết trước tải trọng tác dụng là hàm theo thời gian Do đó, trong một bước thời gian từ thời điểm t đến thời điểm tt cần phải tính toán lặp để khử sai số lực dư không cân bằng giữa nội lực và ngoại lực và thỏa mãn các tiêu chuẩn hội tụ
Hệ phương trình cân bằng gia tăng trong bài toán động được biểu diễn như sau:
M a C v K d F (3.20) với a v d , , lần lượt là gia số véc-tơ gia tốc, vận tốc và chuyển vị của kết cấu; F là gia số véc-tơ tải trọng ngoài
Phương pháp số Newmark thường được dùng để giải phương trình (3.20) Trong nghiên cứu này, để khử lực dư không cân bằng giữa nội lực và ngoại lực, phương pháp Newmark được kết hợp với thuật toán Newton Raphson với tiêu chuẩn hội tụ trong mỗi bước thời gian là cực tiểu hóa chuyển vị dư Cụ thể các bước tính toán như sau:
Bước 1: từ các thông số đã biết tại thời điểm t đi xác định các gia số chuyển vị, vận tốc, gia tốc ở lần lặp đầu tiên j 1 tại thời điểm t t từ phương trình của Newmark:
và là các tham số của phương pháp Newmark Với phương pháp gia tốc trung bình:
0.25 và 0.5; với phương pháp gia tốc tuyến tính: 1 / 6 và 0.5
Bước 2: xác định chuyển vị dư t t d j 1 , vận tốc t t v j 1 và gia tốc t t a j 1 tại bước lặp thứ j 1 với j 1 từ phương trình:
Với f j là nội lực của hệ ở bước lặp thứ j được xác định theo trạng thái biến dạng hiện tại của hệ kết cấu
Bước 3: cập nhật các véc-tơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc sau mỗi bước lặp:
Bước 4: : Kiểm tra hội tụ theo điều kiện cực tiểu chuyển vị dư
Nếu điều kiện hội tụ chưa thỏa mãn thì tiếp tục tính lặp từ bước 2 đến bước 4 Các giá trị chuyển vị, vận tốc và gia tốc ở bước hội tụ cuối cùng sẽ là điều kiện ban đầu cho các bước tải tiếp theo Lưu đồ giải bài toán động được trình bày trên Hình 3.3 Giá trị để kiểm tra điều kiện hội tụ được áp dụng thống nhất trong chương trình PZNASS cho tất cả các bài toán tĩnh và động là 10 -5
52 Hình 3.3 Lưu đồ thuật toán động Newmark kết hợp Newton Raphson
53 Định nghĩa các biến dữ liệu
Dữ liệu đầu vào của các ví dụ được nhập trong tập tin Example.m theo một cấu trúc thống nhất của các biến dữ liệu
Bảng 3.1 Định nghĩa các biến dữ liệu đầu vào
Stt Tên biến Kích thước Diễn giải
1 number 1 × 1 Số thứ tự của ví dụ cần phân tích
2 pro_type 1 × 1 0 - Phân tích tĩnh
4 con_type 1 × 1 1 - Mô hình bán cứng tuyến tính
2 - Mô hình Kishi-Chen 3.1 - Mô hình Chen-Lui (loại A) 3.2 - Mô hình Chen-Lui (loại B) 3.3 - Mô hình Chen-Lui (loại C) 3.4 - Mô hình Chen-Lui (loại D)
5 res_type 1 × 1 0 - Không xét ứng suất dư
1 - Ứng suất dư Vogel (ECCS)
2 - Ứng suất dư Lehigh Notes
3 - Ứng suất dư tổ hợp hàn
8 gama, beta 1 × 1 Hệ số của phương pháp Newmark
9 n_ele 1 × 1 Tổng số phần tử
11 Sdof 1 × 1 Tổng số bậc tự do
12 ne_col 1 × 1 Số phần tử chia trên cấu kiện cột
13 ne_beam 1 × 1 Số phần tử chia trên cấu kiện dầm
14 ICS 1 × 1 1 - Tiết diện chữ nhật
15 icon 2 × n_ele Ma trận chứa 2 điểm nút i, j phần tử
16 mt_flag 1 × n_ele Ma trận xác định loại phần tử:
17 x, y, z 1 × n_node Ma trận tọa độ các điểm nút
Ma trận các cosin chỉ phương của các trục địa phương so với trục tọa độ tổng thể Ở cấu hình ban đầu, các trục địa phương được xác định dựa theo 2 điểm nút phần tử và điểm K ở vô cực để xác định mặt phẳng uốn chính của phần tử
Chiều cao tiết diện (chữ I) Chiều rộng tiết diện (chữ I) Chiều dày bản cánh (chữ I) Chiều dày bản bụng (chữ I) Với tiết diện chữ nhật: B×H = RI×RO Với tiết diện tròn: d×D = RI×RO
Số điểm tích phân theo trục x
Số điểm tích phân theo trục y
Số điểm tích phân theo trục z
Số điểm tích phân trục y (bản bụng)
Số điểm tích phân trục y (bản cánh)
Số điểm tích phân trục z (bản bụng)
Số điểm tích phân trục z (bản cánh)
21 bc n_res × 2 Điều kiện biên (chỉ số BTD – giá trị)
24 De 3 × 3 Ma trận hệ số đàn hồi
25 Dep 3 × 3 Ma trận hệ số đàn dẻo
26 rho 1 × 1 Khối lượng riêng (7.8 kN.s 2 /m 4 )
27 SIGY 1 × số điểm tích phân Gán giới hạn chảy ban đầu cho các điểm tích phân
28 Et 1 × 1 Thông số tái bền của vật liệu
29 sig 3 × số điểm tích phân Ma trận chứa giá trị ứng suất tại điểm tích phân sau mỗi lần cập nhật
30 fib_state 1 × số điểm tích phân Ma trận xác định trạng thái ứng suất tại điểm tích phân sau mỗi lần cập nhật:
Ma trận tải trọng tập trung tại nút Trọng phân bố đều theo trục x Trọng phân bố đều theo trục y Trọng phân bố đều theo trục z
32 Ft 1 × length(t) Tải trọng động theo thời gian, gán trực tiếp vào các BTD tương ứng Xây dựng các hàm phân tích
Sau khi đọc dữ liệu đầu vào trong Example.m, chương trình PZNASS sẽ thực hiện các bước tính toán theo sơ đồ khối của bài toán tĩnh (Hình 3.2) và bài toán động (Hình 3.3) bằng cách gọi các hàm tương ứng Chi tiết các hàm phân tích của chương trình PZNASS được trình bày trong Bảng 3.2
Bảng 3.2 Các hàm phân tích
Stt Tên hàm Biến đầu vào Biến đầu ra Diễn giải
1 frame3D_m esh.m X, Y, Z ne_col, ne_beam Mt_flg, Icon, localX, localY, localZ x, y, z n_ele, mt_flag, icon, localx, localy, localz
Hàm phát sinh lưới tự động theo số lượng phần tử cần chia cho mỗi cấu kiện dầm cột chủ (master element)
2 Index3D.m Icon, n_ele Edof Hàm phát sinh chỉ số chuyển vị nút phần tử
3 Connection_ stiffness_pr op_3D.m con_type ne_col, ne_beam
Và các thông số của liên kết bán cứng
Hàm lấy các thông số của mô hình liên kết bán cứng đã chọn
XOL, YOL, ZOL Hàm tính toán tọa độ các điểm tích phân theo chiều dài và trên mặt cắt ngang phần tử
Hàm lấy trọng số cho các điểm tích phân
6 Residual_str ess.m XOL, YOL, L
TW sigma_y, res_type sig(1,fib) Hàm gán giá trị ứng suất dư trên tiết diện theo mẫu ứng suất dư sử dụng; chỉ gán vào thành phần x
7 Solveq.m K, F, bc d Giải hệ phương trình tuyến tính tìm chuyển vị gia tăng
d_be Hàm tìm chuyển vị gia tăng ở 2 đầu phần tử sau khi rút gọn từ phần tử lai ban đầu
9 Transformat ion3D.m d_be, d_be_pre Te, Le Hàm tính toán ma trận biến đổi tọa độ phần tử Te và cập nhật chiều dài phần tử Le
B0, BNL1, BNL2, BNL3 Hàm tính toán ma trận biến dạng – chuyển vị
Ln, SIGY, De sig, De, SIGY, fib_state
Hàm tính toán ứng suất tại các điểm tích phân, cập nhật ma trận vật liệu, trạng thái ứng suất tại điểm tích phân
12 Cpel.m Sig, SIGY De Cập nhật ma trận vật liệu theo trạng thái ứng suất tại điểm tích phân
13 Ke_semi_ri gid.m Ke,
Ke Hàm tính toán ma trận độ cứng phần tử có liên kết bán cứng
Các hàm dùng cho bài toán tĩnh
d_be_pre, Ln, sig, SIGY, Edof Rk1y, Rk1z, Rk2y, Rk2z fg, K, Ln, sig, SIGY
Hàm tính toán véc-tơ nội lực fg, ma trận độ cứng tổng thể K, chiều dài phần tử Ln và cập nhật ứng suất và giới hạn chảy tại các điểm tích phân
Và các thông số mô hình liên kết bán cứng
Cập nhật độ cứng liên kết sau mỗi bước tải gia tăng
Các hàm dùng cho bài toán động
d_be_pre, Ln, sig, SIGY, Edof Rk1y, Rk1z, Rk2y, Rk2z fg, M, K, Ln, sig, SIGY
Hàm tính toán véc-tơ nội lực fg, ma trận khối lượng M, ma trận độ cứng tổng thể K, chiều dài phần tử Ln và cập nhật ứng suất và giới hạn chảy tại các điểm tích phân
Và các thông số mô hình liên kết bán cứng
Cập nhật độ cứng liên kết theo chu trình lặp trễ khi chịu tải động
18 Plot_data.m Fref, data dof_out
Biểu đồ Xuất kết quả đồ thị quan hệ lực – chuyển vị
19 Perc_yield. m Output.mat Biểu đồ Xuất kết quả biểu đồ phần trăm chảy dẻo
Chương trình tự động xuất kết quả theo hệ đơn vị nhập dữ liệu đầu vào Chương trình có đặt sẵn các câu lệnh để xuất kết quả dạng textfile (*.txt) để tiện cho việc xử lý kết quả bằng các phần mềm khác Một mẫu dữ liệu điển hình của bài toán khung không gian
1 tầng (ví dụ số 4.1.6) được trình bày trong file Example.m như sau:
X=[0 144 144 0 0 144 144 0]; % (in) % X-coordinate of Master Nodes
Y=[0 0 144 144 0 0 144 144]; % (in) % Y-coordinate of Master Nodes
Z=[0 0 0 0 144 144 144 144]; % (in) % Z-coordinate of Master Nodes
KK=[Kp1;Kp1;Kp1;Kp1;Kp2;Kp2;Kp2;Kp2];
Icon=[1 2 3 4 5 6 7 8;5 6 7 8 6 7 8 5]; % I-J connection of Master Elements
58 ne_col=8; % Number of elements per column member ne_beam=8; % Number of elements per beam member
Mt_flg=[0 0 0 0 1 1 1 1]; % Flag of Master Elements localX=[];localY=[];localZ=[];
Ro=[10.22 10.22 10.22 10.22 18.24 18.24 18.24 18.24]; % Height of Master Elements
Ri=[10.08 10.08 10.08 10.08 7.555 7.555 7.555 7.555]; % Flange Width of Master Elements
Tf=[0.68 0.68 0.68 0.68 0.695 0.695 0.695 0.695]; % Flange Thickness of Master Elements Tw=[0.42 0.42 0.42 0.42 0.415 0.415 0.415 0.415]; % Web Thickness of Master Elements [x,y,z,icon,n_ele,L,Sdof,mt_flg,localx,localy,localz,RO,RI,TF,TW]=frame3D_mesh(X,Y,Z,Icon,ne_c ol,ne_beam,Mt_flg,localX,localY,localZ,Ro,Ri,Tf,Tw);
Dep sigma_y4; % ksi res_type=0;
% - Connection properties - fra_type=0; % rigid connection con_type=2; if fra_type==1 % semirigid
[R_k1y,R_k1z,R_k2y,R_k2z,stif_Ly,stif_Lz,stif_Ry,stif_Rz,theta_Ly,theta_Lz,theta_Ry,theta_R z,const_Ly,const_Lz,const_Ry,const_Rz,thet_cumLy,thet_cumLz,thet_cumRy,thet_cumRz,Mc_Ly,Mc_ Lz,Mc_Ry,Mc_Rz]=Connection_stiffness_prop_3D(con_type,ne_col,ne_beam); else R_k1y=zeros(n_ele,1);R_k1z=zeros(n_ele,1);
R_k2y=zeros(n_ele,1);R_k2z=zeros(n_ele,1); end
% - Input Output parameter - lamda=2; load_fac_maxp.2; pro_type=0; % static analysis n_max4; dof_out%;
% - Boundary conditions - bc=zeros(24,2); bc(:,1)=1:24;
% - Load - pl=zeros(Sdof,1); P=1; % The total vector of externally applied global nodal forces pl(25)=P; % kips pl(27)=-1.625*P; % kips pl(33)=-2.125*P; % kips pl(39)=-2.875*P; % kips pl(45)=-2.875*P; % kips dlx(1:n_ele)=0; % distributed load along local x-axis dly(1:n_ele)=0; % distributed load along local y-axis dlz(1:n_ele)=0; % distributed load along local z-axis
INTX=5;INTY;INTYW=7;INTYF=3;INTZ;INTZW=5;INTZF=5;ICS=3; sig=zeros(3,n_ele*INTX*INTY*INTZ);
SIGY=zeros(1,n_ele*INTX*INTY*INTZ)-sigma_y; fib_state=zeros(1,n_ele*INTX*INTY*INTZ); for i=1:n_ele for I1=1:INTX for I3=1:INTZ for I2=1:INTY if ICS==3 if (I2 INTZW) continue end end fib = (i-1)*INTX*INTZ*INTY+(I1-1)*INTZ*INTY+(I3-1)*INTY+I2;
[XOL(fib),YOL(fib),ZOL(fib)]=Sect(I1,I2,I3,L(i),RO(i),RI(i),TF(i),TW(i));
[WFAC(fib),WFACX(fib),WFACY(fib),WFACZ(fib),DELV(fib)]tor(I1,I2,I3,L(i),RO (i),RI(i),TF(i),TW(i)); end end end end
Chương này trình bày cấu trúc của chương trình phân tích phi tuyến kết cấu thép không gian PZNASS bằng ngôn ngữ Matlab Định dạng về dữ liệu nhập vào, các biến định hướng, các biến dữ liệu và các hàm phân tích được mô tả chi tiết trong chương này Các thuật toán giải phi tuyến tĩnh và động được trình bày cụ thể bằng các lưu đồ để có thể xây dựng chương trình phân tích với các ngôn ngữ lập trình khác nhau Đối với bài toán phân tích phi tuyến tĩnh, thuật toán điều khiển chuyển vị tổng quát có hiệu chỉnh được kế thừa từ nghiên cứu của Leon cùng cộng sự, được kết hợp với tiêu chuẩn hội tụ chuyển vị dư nhỏ nhất để giải hệ phương trình cân bằng tĩnh
CÁC VÍ DỤ SỐ KIỂM CHỨNG CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH ĐÃ PHÁT TRIỂN
Khung William (William’s Toggle Frame)
Hình 4.1 thể hiện các thông số của khung William [62] Khung đã được phân tích đàn hồi với 3 trường hợp điều kiện biên khác nhau gồm liên kết ngàm, liên kết bán cứng tuyến tính và liên kết khớp bởi Tin-Loi và Misa [63] Bài toán khảo sát sự hội tụ theo số lượng phần tử sử dụng và được phân tích bằng phần tử lai đề xuất Kết quả phân tích được thể hiện trên Hình 4.2
Hình 4.2 Đường cân bằng của hệ theo số lượng phần tử mô phỏng
Kết quả trên Hình 4.2 cho thấy trong trường hợp liên kết cứng phải sử dụng ít nhất 8 phần tử/cấu kiện mới hội tụ đến kết quả của Tin-Loi và Misa Tương tự cho trường hợp xét liên kết bán cứng tuyến tính và liên kết khớp Như vậy, để đảm bảo độ chính xác khi sử dụng phần tử đề xuất cần chia cấu kiện thành nhiều phần tử Điều này cũng phù hợp với việc theo dõi sự chảy dẻo dọc cấu kiện khi phân tích các bài toán có yếu tố phi tuyến vật liệu Ví dụ này cũng kiểm chứng được tính chính xác của thuật toán giải phi tuyến tĩnh khi đường cân bằng có các điểm đặc biệt như điểm nhảy ngang (snap-through) cũng như khả năng giải bài toán có chuyển vị lớn.
Khung cổng chữ nhật Vogel
Vogel [64] đã trình bày một ví dụ điển hình là bài toán khung cổng chữ nhật có liên kết ngàm (Rectangular Portal Frame with Fixed Bases) với các thông số thể hiện như trên Hình 4.3 Ziemian đã phân tích số cho khung này bằng chương trình máy tính được phát triển tại đại học Cornell cung cấp thêm một kết quả độc lập để so sánh với Vogel Chương trình NIFA của tác giả Chen và Toma cũng thực hiện phân tích khung Vogel dựa trên phương pháp vùng dẻo Ngoài ra còn nhiều tác giả khác sử dụng phương pháp khớp dẻo để phân tích và so sánh hệ số tải giới hạn với Vogel như Chen và Kim [65], Ngo-Huu cùng cộng sự [11], Nguyen và Kim [13]… và có bổ sung thêm nghiên cứu ảnh hưởng của liên kết bán cứng trong khung Mô hình liên kết bán cứng của Kishi- Chen được áp dụng với các thông số R ki 280,000 kip.in/rad (31,636 kN.m/rad), 1,250
Mu kip.in (141.23 kN.m) và n0.98 Số lượng phần tử tác giả sử dụng là 20 phần tử/cột và 10 phần tử/dầm
Hình 4.3 Khung cổng chữ nhật Vogel
Hình 4.4 Quan hệ của khung cổng Vogel
Bảng 4.1 So sánh giá trị hệ số giới hạn (trường hợp liên kết cứng)
Tác giả Phương pháp u Độ lệch (%)
Vogel (1985) Vùng dẻo 1.022 Giá trị chuẩn
Chen và Kim (1997) Khớp dẻo 0.939 -8.12
Teh và Clarke (1999) Vùng dẻo 1.005 -1.66
Hình 4.5 Biểu đồ tỉ lệ phần trăm diện tích chảy dẻo tại u
NIFA: (a) Trên tiết diện dọc chiều dài; (b) hai bên trục trung hòa; (c) mặt cắt 1-1 Tác giả: (d) Trên tiết diện dọc chiều dài; (e) hai bên trục trung hòa; (f) mặt cắt 1-1 Quan hệ giữa hệ số tải và chuyển vị ngang đỉnh khung được trình bày trên Hình 4.4 Kết quả cho thấy, trong trường hợp liên kết cứng, đường cân bằng của tác giả phân tích bám sát với kết quả của Vogel với sai số hệ số tải giới hạn khá nhỏ là -2.74% (Bảng 4.1) với giá trị u đạt được là 0.994 Ngoài kết quả quan hệ -, phương pháp vùng dẻo còn tìm được các điểm chảy dẻo trên từng tiết diện của cấu kiện và tổng hợp thành biểu đồ tỉ lệ phần trăm chảy dẻo (theo tỉ lệ diện tích chảy dẻo so với diện tích toàn tiết diện) thể hiện như trên Hình 4.5 Có thể nhận thấy, ngoài sự chảy dẻo trên từng mặt cắt ngang còn có sự chảy dẻo xảy ra dọc theo suốt chiều dài của cấu kiện cột Điều này không thể khảo sát được trong phương pháp khớp dẻo và kết quả của phương pháp khớp dẻo cũng không đảm bảo kết quả chính xác khi giả thiết vật liệu bên trong phần tử vẫn ở trạng thái đàn hồi Trong ví dụ này, toàn bộ tiết diện trên cấu kiện cột của khung Vogel đều có tỉ lệ chảy dẻo nhất định, chỉ xảy ra ở vùng ứng suất nén và tập trung lớn nhất ở hai đầu cấu kiện cột (tại mặt cắt 1-1 là 58.55%) Kết quả so sánh từ chương trình NIFA khá trùng khớp với tác giả, tuy nhiên biểu đồ tỉ lệ phần trăm chảy dẻo của NIFA đã được hiệu chỉnh, làm trơn giá trị tại các điểm nút của phần tử nên có dạng “mịn“ hơn Hơn
64 nữa, để có được kết quả tốt thì chương trình NIFA phải chia 50 phần tử/cột và 20 phần tử/dầm, đồng thời trên mặt cắt ngang chia rất nhiều điểm thớ để theo dõi sự chảy dẻo qua tiết diện Việc chia quá nhiều phần tử tuy không cần thiết để tìm được u chính xác nhưng cần để đảm bảo độ chính xác cho việc xác định tỉ lệ chảy dẻo trên tiết diện Trường hợp xét liên kết bán cứng theo mô hình Kishi-Chen trong khung Vogel, giá trị
u đạt được là 0.924 trùng khớp tốt với kết quả của Ngo-Huu cùng cộng sự [11] So với trường hợp liên kết cứng, giá trị hệ số tải giới hạn giảm đi 7.04% Hình ảnh biểu đồ chảy dẻo cung cấp cho người kỹ sư các thông tin cần thiết và trực quan hơn khi thiết kế kết cấu theo các tiêu chuẩn thiết kế kết cấu thép hiện đại (thiết kế theo điều kiện làm việc thực tế của kết cấu thép).
Khung phẳng 1 nhịp 3 tầng
Mô hình khung phẳng 3 tầng (Hình 4.6) đã được McNamee và Lu [66] tiến hành thực nghiệm tại phòng thí nghiệm kỹ thuật Frizt thuộc đại học Lehigh (Mỹ) để xác định ứng xử mất ổn định phi đàn hồi của hệ Sau đó, khung này được phân tích số với phần tử dầm-cột do Teh và Clarke [24] đề xuất Tác giả sử dụng phần tử lai đã xây dựng để kiểm chứng độ tin cậy của chương trình phân tích đồng thời bổ sung thêm nghiên cứu ứng xử của hệ khi xét thêm độ cứng của liên kết dầm – cột Sơ đồ hình học của hệ được mô tả như trên Hình 4.6 Mẫu ứng suất dư trong cấu kiện được áp dụng theo mẫu ECCS Độ lệch ban đầu của các cột tầng là 1/500 so với chiều cao tầng và được tính vào tọa độ ban đầu của các điểm nút Độ cứng liên kết được giả định là tuyến tính và tỉ lệ theo độ cứng đơn vị của dầm EI/L Hệ đơn vị sử dụng được tác giả chuyển đổi sang hệ SI được trình bày bên cạnh hệ đơn vị gốc để tiện cho việc so sánh
65 Hình 4.6 Sơ đồ khung phẳng 1 nhịp 3 tầng
Hình 4.7 Chuyển vị ngang - của điểm A
Hình 4.8 Biểu đồ tỉ lệ phần trăm chảy dẻo của khung tại Pu: (a) Liên kết cứng, Pu = 24.75 kips (110.09 kN);
(b) Liên kết bán cứng (=1), Pu = 18.88 kips (83.98 kN)
Hình 4.9 Biểu đồ chảy dẻo trên các mặt cắt cột tại Pu = 110.09 kN
Hình 4.10 Biểu đồ chảy dẻo trên các mặt cắt dầm tại Pu = 110.09 kN
Kết quả trên Hình 4.7 cho thấy khi sử dụng 06 phần tử/cột và 12 phần tử/dầm thì kết quả bám sát với kết quả thực nghiệm, chính xác hơn so với kết quả của Teh và Clark Hơn nữa, biểu đồ chảy dẻo tại lực giới hạn Pu = 24.75 kips (110.09 kN) cho thấy sự chảy dẻo không chỉ tập trung ở hai đầu cấu kiện mà còn chảy dẻo suốt chiều dài cấu kiện, đặc biệt chảy dẻo khá lớn ở dầm tầng 1 Do đó nếu sử dụng phương pháp khớp dẻo để phân tích (với giả thiết sự chảy dẻo chỉ xảy ra ở 2 đầu cấu kiện) sẽ cho kết quả kém chính xác Trường hợp phân tích khung có liên kết bán cứng, khi tham số độ cứng giảm dần thì khả năng chịu lực của hệ cũng giảm theo Kết quả chảy dẻo của khung cũng thay đổi khá rõ khi sự chảy dẻo chuyển dần từ tập trung ở cấu kiện cột trong khung có liên kết cứng sang cấu kiện dầm trong khung có liên kết bán cứng (Hình 4.8) Như vậy, liên kết bán cứng ảnh hưởng khá lớn đến ứng xử chảy dẻo của khung, đặc biệt là đối với cấu kiện dầm Do đó, vấn đề này cần được lưu ý trong thiết kế kết cấu thép để đảm bảo an toàn chịu lực của hệ Với phần tử đề xuất, kết quả chảy dẻo tại tiết diện bất kỳ có thể xác định được như trên Hình 4.9 và Hình 4.10.
Khung phẳng Vogel 2 nhịp 6 tầng
Khung Vogel 2 nhịp 6 tầng với các thông số như trên Hình 4.11 đã được Vogel phân tích tĩnh phi tuyến và trình bày trong [64] Kết quả này được các nhà nghiên cứu khác như Toma và Chen [67], Chan và Chui [58] sử dụng như một kết quả chuẩn để so sánh Khung có độ lệch ban đầu 1/ 450 suốt các tầng và ứng suất dư trong cấu kiện được lấy theo mẫu ECCS Mô hình vật liệu sử dụng là đàn-dẻo lý tưởng Liên kết bán cứng được xem xét theo mô hình hàm mũ Chan-Lui với 4 kiểu liên kết loại A, B, C và D với các thông số lấy trong Bảng 2.1 Kết quả phân tích từ chương trình PZNASS hội tụ khi sử dụng lưới 8 phần tử/cấu kiện dầm và cột cho cả hai trường hợp liên kết cứng và liên kết bán cứng
Hình 4.11 Sơ đồ khung Vogel 2 nhịp 6 tầng Bảng 4.2 Thông số tiết diện của khung Vogel 2 nhịp 6 tầng
Tiết diện Kích thước (mm) bf tf d tw
Hình 4.12 Quan hệ tải – chuyển vị ngang đỉnh khung với các kiểu liên kết bán cứng Bảng 4.3 So sánh giá trị hệ số tải giới hạn của khung Vogel 2 nhịp 6 tầng
Loại liên kết Hệ số tải giới hạn max Sai số
Vogel Chan và Chui Tác giả (%)
Hình 4.12 cho thấy, trong trường hợp liên kết cứng, kết quả phân tích từ chương trình bám sát kết quả của Vogel (vùng dẻo) hơn so với lời giải của Chan và Chui [58] (khớp dẻo hiệu chỉnh) Với liên kết bán cứng, kết quả của tác giả cũng có sai số so với Chan và Chui (Bảng 4.3), trong khi Vogel không xét trường hợp có liên kết bán cứng Ngoài việc tìm được quan hệ lực – chuyển vị, phần tử đề xuất có thể tìm được biểu đồ phần trăm chảy dẻo và sự chảy dẻo trên từng tiết diện chỉ định (Hình 4.13 và Hình 4.14) Có thể thấy rằng, khi xét yếu tố phi tuyến liên kết, hệ số tải giảm dần theo sự suy giảm của độ cứng liên kết và sự chảy dẻo trên các cấu kiện dầm cột giảm tương ứng, trong khi chuyển vị của hệ càng tăng lên Điều này cho thấy ảnh hưởng rất đáng kể của yếu tố phi tuyến liên kết trong kết cấu thép
Hình 4.13 Biểu đồ chảy dẻo tại max: (a) liên kết cứng; (b) liên kết bán cứng loại C
Hình 4.14 Biểu đồ chảy dẻo trên các tiết diện (trường hợp liên kết cứng)
Khung vòm không gian (Framed Dome)
Hệ khung vòm không gian gồm 18 cấu kiện có các thông số kích thước, vật liệu như trên hình Hình 4.15 và chịu tải trọng tĩnh thẳng đứng tại đỉnh vòm Ví dụ này đã được phân tích lần đầu bởi Remseth [68] với mô hình đàn hồi phi tuyến Sau đó, nhiều tác giả khác tiếp tục phân tích có xét yếu tố chảy dẻo vật liệu và kiểm chứng sự ổn định của các thuật toán giải phi tuyến khác như Park và Lee [69] và De Souza [70] Tác giả phân tích khung này để chứng minh độ tin cậy của phần tử không gian đã xây dựng, mô hình phi tuyến vật liệu áp dụng và hiệu quả của thuật toán MGDCM Với mặt cắt ngang chữ nhật, tác giả sử dụng 7 × 14 điểm tích phân Newton-Cotes (so với 10×40 thớ chia trong nghiên cứu của De Souza) khi xét chảy dẻo theo mô hình đàn dẻo lý tưởng Ngoài ra tác giả còn bổ sung thêm nghiên cứu ảnh hưởng của liên kết bán cứng đến khả năng chịu lực của hệ Độ cứng liên kết được giả định theo mô hình tuyến tính và tỉ lệ với độ cứng của các cấu kiện theo tham số độ cứng Do tính đối xứng nên chỉ 1/4 sơ đồ hình học của hệ cần được mô phỏng trong phân tích
Hình 4.15 Khung vòm không gian
72 Hình 4.16 Đường cân bằng của hệ
Hình 4.17 Ứng xử đàn hồi của hệ theo độ cứng liên kết
Hình 4.18 Ứng xử phi đàn hồi của hệ theo độ cứng liên kết Kết quả trên Hình 4.16 cho thấy, trong trường hợp liên kết cứng có xét hoặc không xét yếu tố phi tuyến vật liệu, kết quả của tác giả đều bám sát theo kết quả của De Souza với lưới phần tử sử dụng là 04 phần tử/cấu kiện cho bài toán đàn hồi và 08 phần tử/cấu kiện cho trường hợp phi đàn hồi Khi kể thêm độ cứng liên kết trong phân tích, mặc dù chưa có kết quả so sánh nhưng ứng xử của hệ khá hợp lý Cụ thể, với trường hợp bài toán đàn hồi khi tăng dần tham số độ cứng liên kết thì kết quả hội tụ dần đến kết quả của De Souza (Hình 4.17) Khả năng chịu tải của hệ giảm dần khi độ cứng liên kết giảm Trường hợp = 0.1, nghĩa là độ cứng liên kết rất nhỏ, gần như là liên kết khớp lý tưởng, ứng xử của hệ đạt đến hệ số tải lớn nhất là 0.1894 sau đó hệ suy biến và không còn khả năng chịu lực Tương tự với trường hợp bài toán phi đàn hồi, khi giảm độ cứng liên kết thì khả năng chịu lực của hệ cũng suy giảm tương ứng (Hình 4.18) Ví dụ này đã khẳng định độ chính xác của phần tử đề xuất cho bài toán không gian, có xét đầy đủ các yếu tố phi tuyến hình học, vật liệu và liên kết Thuật toán giải phi tuyến MGDCM đã giải quyết được ứng xử của hệ có chuyển vị lớn, có các điểm đặc biệt như điểm snap-through trên đường cân bằng của hệ.
Khung không gian 1 tầng (One-story Space Frame)
Hình 4.19 thể hiện các thông số của khung không gian 1 tầng Ví dụ này nhằm kiểm chứng độ tin cậy của chương trình khi phân tích khung không gian có xét phi tuyến hình
74 học và phi tuyến vật liệu với giả thiết vật liệu đàn dẻo tuyệt đối và khảo sát sự chảy dẻo dọc theo chiều dài cấu kiện Kết quả được so sánh với lời giải của Yang và Fan [71], Jiang cùng cộng sự [25] và khảo sát sự hội tụ theo số lượng phần tử sử dụng Hệ đơn vị sử dụng được tác giả chuyển đổi theo hệ SI
Hình 4.19 Khung không gian 1 tầng
Hình 4.20 Đường quan hệ lực chuyển vị phương X tại nút A
Hình 4.21 Biểu đồ tỉ lệ phần trăm chảy dẻo của khung tại Hmax
Hình 4.22 Biểu đồ chảy dẻo trên các mặt cắt cột tại Hmax
(7-7) (8-8)Hình 4.23 Biểu đồ chảy dẻo trên các mặt cắt dầm tại Hmax
Từ kết quả phân tích trên Hình 4.20 có thể thấy kết quả đạt được tốt khi sử dụng 8 phần tử cho một cấu kiện trong hệ với trị số tải giới hạn là Hmax = 72.95 kips (324.5 kN) Khi còn trong miền đàn hồi, số lượng phần tử sử dụng không ảnh hưởng nhiều đến kết quả phân tích Tuy nhiên khi đã xuất hiện sự chảy dẻo thì kết quả thay đổi theo số lượng phần tử và hội tụ đến kết quả của Jiang với 8 phần tử/cấu kiện Sự chảy dẻo xảy ra tập trung chủ yếu dọc theo chiều dài của cấu kiện cột (Hình 4.21), trong đó tại tiết diện (1-
Khung không gian 2 tầng (Two-story Space Frame)
Hình 4.24 trình bày các thông số của khung không gian 2 tầng Ví dụ này đã được De Souza [70] khảo sát bằng phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lực (force-based finite element) với giả thiết vật liệu là đàn dẻo tuyệt đối Zubydan cùng cộng sự [28] đề xuất phần tử tích lũy tương đương (equivalent accumulated element) có khả năng phân tích phi đàn hồi chuyển vị lớn cho hệ khung không gian bằng cách chia phần tử thành nhiều phân đoạn để theo dõi sự chảy dẻo Tuy nhiên, hiệu quả so với phương pháp khớp dẻo cũng không khác biệt nhiều và biểu đồ chảy dẻo trên cấu kiện cũng không thể hiện được Trong ví dụ này, ngoài tải trọng tác dụng tại nút khung còn có tải trọng tác dụng trên phần tử Tiết diện cột và dầm đều có hình dạng chữ nhật Kết quả phân tích được thể hiện trên Hình 4.25 với sơ đồ chia lưới phần tử khác nhau để khảo sát sự hội tụ so với kết quả của De Souza và Zubydan
77 Hình 4.24 Khung không gian 2 tầng
Hình 4.25 Đường quan hệ lực – chuyển vị theo phương X của nút A
Hình 4.26 Biểu đồ tỉ lệ phần trăm chảy dẻo của khung tại Pmax
Kết quả phân tích theo phương pháp vùng dẻo trong nghiên cứu này trùng khớp tốt với kết quả nghiên cứu của De Souza và Zubydan khi sử dụng 8 phần tử/cấu kiện với giá trị lớn nhất của tải trọng đạt được P max 129.05kN Do tính đối xứng của hệ qua mặt phẳng
XZ nên sự chảy dẻo trên tiết diện và dọc chiều dài cấu kiện cũng mang tính đối xứng, thể hiện trên Hình 4.26 Trên mỗi tiết diện dầm và cột đều có sự chảy dẻo xảy ra thì tỉ lệ chảy dẻo vùng kéo và vùng nén gần như nhau và chưa có vị trí nào hình thành được khớp dẻo lý tưởng, nghĩa là tỉ lệ chảy dẻo chưa xảy ra trên toàn bộ tiết diện.
Khung không gian Harisson (Harisson’s Space Frame)
Khung không gian với mặt bằng lưới cột bố trí trên một tam giác đều với các thông số về kích thước và vật liệu cho trên Hình 4.27 Khung này đã được Harrison [72] tiến hành thực nghiệm để xác định khả năng chịu tải Kết quả phân tích số cũng đã được Teh và Clark [24] và Jiang cùng cộng sự [25] thực hiện kiểm chứng Với tiết diện hình ống, tác giả đã thực hiện tích phân số với 5 điểm tích phân dọc trên phương bán kính và 8 điểm phân bố trên chu vi tiết diện Kết quả được trình bày trên Hình 4.28
Hình 4.27 Khung không gian Harisson
Hình 4.28 Đường quan hệ lực – chuyển vị theo phương X của nút A
Với sơ đồ lưới phần tử sử dụng 4 phần tử/dầm và 6 phần tử/cột, kết quả trùng khớp tốt với nghiên cứu của Teh và Clark [24] và Jiang cùng cộng sự [25], tuy nhiên vẫn chưa đạt được kết quả thí nghiệm của Harrison [72] Khi tác giả sử dụng 8 phần tử/cấu kiện, kết quả hội tụ và bám sát kết quả thực nghiệm Ví dụ này chứng tỏ sự hiệu quả của phép tích phân số với các điểm trên mặt cắt ngang dễ dàng mô phỏng tiết diện tròn, đồng thời để có kết quả tốt khi xét sự chảy dẻo cần phải chia nhiều điểm tích phân trên tiết diện
Khung không gian Orbison 6 tầng (Orbison’s Six-storey Space Frame) 80 Phân tích động
Khung không gian 6 tầng (Hình 4.29) được Orbison [73] phân tích lần đầu và sau đó được rất nhiều tác giả sử dụng để tham chiếu kết quả nghiên cứu như Liew cùng cộng sự [74], Chiorean và Barsan [75], Jiang cùng cộng sự [25], Zubydan cùng cộng sự [28] Đối với trường hợp xem xét liên kết bán cứng trong khung Orbison, chỉ có một số ít tác giả nghiên cứu chủ yếu dựa trên phương pháp dầm-cột (phương pháp khớp dẻo) như Chiorean [27], Ngo-Huu cùng cộng sự [11], Nguyen và Kim [13]
Hình 4.29 Khung Orbison 6 tầng có liên kết bán cứng
Hình 4.29 mô tả các thông số của khung Orbison Tải trọng gió tác dụng theo phương
Y được quy đổi thành lực tập lên mọi điểm nút ở mặt trước khung là 53.376 kN Tải trọng phân bố đều trên sàn là 9.6 kN/m 2 được quy đổi thành các lực tập trung tại đầu cột của các tầng Liên kết bán cứng được sử dụng mô hình hàm mũ ba thông số của Kishi- Chen với độ cứng ban đầu của liên kết được tính theo biểu thức:
trong đó I 0 là mô men quán tính trong mặt phẳng uốn tương ứng, g là hệ số cứng (fixity factor) Các thông số liên kết bán cứng trong mô hình Kishi Chen như sau:
Tiết diện dầm Trục uốn M kNmu g n
Kết quả phân tích cho các trường hợp liên kết cứng, liên kết bán cứng tuyến tính và liên kết bán cứng phi tuyến được trình bày trên Hình 4.30
Hình 4.30 Đường cân bằng của khung Orbison
Hình 4.31 Biểu đồ tỉ lệ phần trăm chảy dẻo của khung liên có kết cứng tại max
Hình 4.32 Biểu đồ chảy dẻo trên các mặt cắt chân cột tại max
Hình 4.33 Chi tiết chảy dẻo tại nút khung B
Bảng 4.4 So sánh giá trị hệ số tải giới hạn của khung Orbison
Loại liên kết Hệ số tải giới hạn max Sai số
Chiorean Ngo-Huu Tác giả (%)
Bảng 4.4 cho thấy kết quả hệ số tải giới hạn đạt được từ phần tử đề xuất của tác giả có sai số rất nhỏ so với các kết quả tính theo phương pháp khớp dẻo Mặc dù phương pháp khớp dẻo sử dụng ít phần tử/cấu kiện nhưng không thể mô tả được sự lan truyền dẻo dọc theo chiều dài cấu kiện và trên tiết diện bất kỳ như trên Hình 4.31 và Hình 4.32 Tại tiết diện 1-1 tỉ lệ chảy dẻo đạt 100% nên hình thành khớp dẻo lý tưởng, trong khi các chân cột còn lại (tiết diện 2-2, 3-3, 4-4) cũng xảy ra chảy dẻo khá lớn Đối với cấu kiện dầm, sự chảy dẻo tập trung ở hai đầu dầm biên theo phương trục Y của các tầng 1, 2, 3 và 4 trong khi các dầm theo phương trục X chảy dẻo không đáng kể Chi tiết chảy dẻo nút khung B ở Hình 4.33 cho thấy cột tầng dưới đã chảy dẻo đến 75.59% trong khi cột tầng trên vẫn trong trạng thái đàn hồi Tương tự, dầm theo trục Y tại nút B chảy dẻo 77.27% còn dầm theo trục X chảy dẻo 23.34% Chiều dài vùng chảy dẻo của dầm tính từ đầu dầm đạt khoảng 1/10 so với chiều dài cấu kiện
Khung phẳng 1 nhịp 1 tầng chịu tải động đất
Khung phẳng 1 tầng 1 nhịp có các thông số kích thước hình học, vật liệu như trên Hình 4.34 Khung được phân tích dưới tải động tác dụng theo phương X của các trận động đất El Centro (1940), Loma Prieta (1989), Northridge (1994) và San Fernando (1971) (Hình 4.35) Lực cản được tính toán theo 2 mode dao động đầu tiên của hệ ứng với chu kỳ T1 và T2 được phân tích từ chương trình đề xuất và so sánh với kết quả của phần mềm ABAQUS (Bảng 4.5) với tỉ số cản 0.05 Ứng suất dư trong cấu kiện được lấy theo mô hình Vogel (ECCS, 1985) Phi tuyến vật liệu được phân tích theo mô hình đàn dẻo lý tưởng với ứng suất chảy dẻo là 300MPa Kết quả phân tích chuyển vị đỉnh theo lịch sử thời gian cho trường hợp đàn hồi và phi đàn hồi được trình bày trên Hình 4.36, Hình
4.37 và so sánh với kết quả của Thai và Kim [10] và kết quả từ phần mềm ABAQUS có sẵn trong tài liệu [10]
Hình 4.35 Tải động đất: (a) El Centro 1940; (b) Loma Prieta 1989
(c) Northridge 1994; (d) San Fernando 1971 Bảng 4.5 So sánh giá trị 2 chu kỳ dao động đầu tiên (s) Mode ABAQUS Tác giả Sai số (%)
Bảng 4.5 cho thấy sai số khá nhỏ khi so sánh giá trị 2 chu kỳ dao động tự nhiên đầu tiên của hệ kết cấu từ chương trình đề xuất và phần mềm ABAQUS
(d) Hình 4.36 Chuyển vị ngang đỉnh khung trong phân tích đàn hồi:
(a) ElCentro 1940; (b) Loma Prieta 1989; (c) Northridge 1994; (d) San Fernando 1971
(d) Hình 4.37 Chuyển vị ngang đỉnh khung trong phân tích phi đàn hồi:
(a) ElCentro 1940; (b) Loma Prieta 1989; (c) Northridge 1994; (d) San Fernando 1971
Hình 4.38 (a) Biểu đồ chảy dẻo (t=3.48s, San Fernando); (b) Chảy dẻo trên tiết diện
Kết quả phân tích đàn hồi ở Hình 4.36 cho thấy chỉ cần sử dụng 1 phần tử đề xuất/cấu kiện là đã đạt được kết quả tốt khi so với kết quả từ chương trình ABAQUS với 10 phần tử B22 Kết quả từ chương trình PAAP của Thai và Kim [10] cũng sử dụng 1 phần tử/cấu kiện, tuy nhiên sử dụng phần tử dầm-cột với hàm ổn định để xây dựng phần tử
Trường hợp phân tích phi đàn hồi, do có sự chảy dẻo nên cần số lượng phần tử nhiều hơn so với trường hợp phân tích đàn hồi Với tải El Centro, do đỉnh gia tốc nền khá bé nên vật liệu vẫn nằm trong miền đàn hồi, do đó kết quả phân tích cho trường hợp đàn hồi và phi đàn hồi là giống nhau và chỉ cần sử dụng 1 phần tử/cấu kiện Với các tải trọng
Loma Prieta, Northrigde và San Fernado, có sự chảy dẻo vật liệu nên chuyển vị trôi dạt của khung so với bài toán đàn hồi là khá rõ rệt Số lượng phần tử sử dụng để đạt độ chính xác cần thiết thay cũng đổi tùy theo dạng tải trọng Cụ thể, đối với tải Northrigde và San Fernando cần sử dụng từ 2 đến 4 phần tử/cấu kiện, trong khi cần phải sử dụng đến 8 phần tử/cấu kiện khi khung chịu tải Loma Prieta
Mặc dù phần tử đề xuất cần phải chia nhỏ cấu kiện trong phân tích phi đàn hồi nhưng có thể giúp khảo sát sự chảy dẻo trên từng mặt cắt ngang dọc theo chiều dài cấu kiện thông qua các điểm tích phân trên phần tử, điều mà phần tử dầm-cột sử dụng hàm ổn định (phương pháp khớp dẻo) không thể thực hiện được Hình 4.38 cho thấy sự chảy
88 dẻo tại thời điểm chuyển vị đạt được lớn nhất khi chịu tải San Fernando lan truyền dọc theo chiều dài các cấu kiện Sự chảy dẻo trên từng mặt cắt cũng được xác định một cách trực quan Kết quả trên cho phép người thiết kế có thể xác định được chính xác vùng cần gia cố trên hệ kết cấu thép để đảm bảo khả năng kháng chấn tốt nhất Đây là những
Khung phẳng 1 nhịp 2 tầng
Trên Hình 4.39 thể hiện các thông số của khung phẳng 1 nhịp 2 tầng Khung được phân tích số với 2 trường hợp tải trọng xung hình chữ nhật trong thời gian 1s và tải dích dắc (zigzag) kéo dài hết thời gian khảo sát Bỏ qua ảnh hưởng cản, liên kết bán cứng phi tuyến sử dụng mô hình hàm mũ Chen-Lui loại C (flush end plate – mối nối mặt bích đầu dầm với bu-lông nằm trong bụng dầm) với các thông số sau:
Rk (kN.m/rad); R kf 108.925(kN.m/rad); M 0 0; 0.00031783;
C ; Ứng xử lặp trễ trong liên kết “N” khi chịu tải trọng động cũng được khảo sát cho cả 2 trường hợp tải Kết quả phân tích từ chương trình với liên kết cứng (RC) và liên kết bán cứng phi tuyến (NC) sẽ được so sánh với kết quả của Chan-Chui [58], Sekulovic cùng cộng sự [39] và Doan-Ngoc [51]
Hình 4.39 Khung phẳng 1 nhịp 2 tầng
Hình 4.40 Chuyển vị đỉnh khung cho trường hợp tải xung chữ nhật RC
Hình 4.41 Chuyển vị đỉnh khung cho trường hợp tải xung chữ nhật NC
Hình 4.42 Chuyển vị đỉnh khung cho trường hợp tải zigzag
(b) Hình 4.43 Ứng xử vòng trễ trong liên kết “N”: (a) Tải xung chữ nhật; (b) Tải zigzag
Trường hợp tải xung hình chữ nhật, kết quả chuyển vị đỉnh khung với liên kết dầm cột là cứng (RC) và bán cứng phi tuyến (NC) được thể hiện trên Hình 4.40 và Hình 4.41
Nhận xét: Tải xung hình chữ nhật gây ra chuyển vị lớn ban đầu Sau khoảng thời gian 1s không còn tác dụng tải, hệ dao động tự do không cản trong suốt lịch sử thời gian còn lại Trong cả hai trường hợp liên kết cứng và bán cứng phi tuyến, chuyển vị đỉnh khung bám sát đường chuyển vị của Sekulovic cùng cộng sự [39] và Doan-Ngoc [51], tuy nhiên so với Chan-Chui [58] thì sự khác biệt tăng dần theo thời gian Ứng xử vòng trễ mô- men góc xoay trong liên kết “N” ở Hình 4.43.(a) cho thấy sau khoảng thời gian 1s không còn tải trọng ngoài tác dụng, liên kết có độ cứng gần như không thay đổi sau mỗi vòng lặp trễ, chứng tỏ năng lượng của tải trọng động được liên kết hấp thụ và tiêu tán cũng không có
Với trường hợp tải zigzag, chuyển vị từ chương trình đề xuất khá trùng khớp với lời giải của Sekulovic cùng cộng sự [39] và Doan-Ngoc [51], tuy nhiên so với Chan-Chui [58] thì lớn hơn khoảng 18% Trong giai đoạn quá độ, chuyển vị của hệ biến đổi trong khoảng ±70mm Sau khi đạt được trạng thái bình ổn, chuyển vị biến thiên trong khoảng ±58mm Hình 4.43.(b) cho thấy trong giai đoạn quá độ vòng lặp trễ thay đổi nhiều, sau khi đạt được trạng thái bình ổn thì các vòng lặp trễ này gần như trùng nhau Diện tích mỗi vòng lặp trễ thể hiện khả năng tiêu tán năng lượng hấp thụ của liên kết bán cứng, tương ứng bằng với năng lượng của tải trọng động tác dụng
Trong cả hai trường hợp tải, khi xét đến liên kết bán cứng, chuyển vị của hệ lớn hơn rất nhiều so với trường hợp liên kết cứng chứng tỏ ảnh hưởng của yếu tố phi tuyến liên kết trong phân tích kết cấu thép là khá lớn.
Khung phẳng Vogel 2 nhịp 6 tầng
Khung phẳng Vogel 2 nhịp 6 tầng đã được xem xét trong bài toán tĩnh ở ví dụ 4.1.4 Đối với bài toán chịu tải trọng động, Chan-Chui [58] đã hiệu chỉnh bài toán tĩnh của Vogel, trong đó bổ sung thêm liên kết bán cứng để xem xét ứng xử động của liên kết bán cứng Các lực tĩnh F1 và F2 được thay bằng các lực động dạng hình sine F1(t) và F2(t) có biên độ bằng với các lực tĩnh tương ứng Tần số góc của tải trọng được lấy bằng với tần số dao động riêng của khung cho trường hợp liên kết cứng và bán cứng phi tuyến, tương ứng là 2.41 và 1.66 (rad/s), để khảo sát hiện tượng cộng hưởng Liên kết bán cứng sử dụng mô hình hàm mũ Chan-Lui loại C Các thông số kích thước và tiết diện lấy như ở ví dụ 4.1.4 và Hình 4.44 Trong ví dụ này, Chan-Chui giả thiết vật liệu hoàn toàn đàn hồi, các tải trọng phân bố đều trên dầm và trọng lượng bản thân cấu kiện được quy đổi thành khối lượng tập trung ở 2 đầu phần tử và bỏ qua ảnh hưởng của lực cản trong phân tích Tác giả sử dụng phần tử đề xuất để khảo sát và so sánh với kết quả của Chan-Chui
92 Hình 4.44 Khung Vogel chịu tải trọng động
Hình 4.45 Chuyển vị đỉnh khung ( = 1.66 rad/s)
Hình 4.46 Vòng lặp trễ trong liên kết bán cứng ( = 1.66 rad/s):
Hình 4.47 Chuyển vị đỉnh khung ( = 2.41 rad/s)
Hình 4.48 Vòng lặp trễ trong liên kết bán cứng ( = 2.41 rad/s):
Hình 4.47 cho thấy, trong trường hợp liên kết cứng, tần số lực kích thích bằng với tần số dao động riêng của hệ ( = 2.41 rad/s) nên xảy ra hiện tượng cộng hưởng Chuyển vị của hệ khuếch đại dần sau mỗi chu kỳ Khi xét khung có liên kết bán cứng thì chuyển vị giảm đi rõ rệt và không còn hiện tượng cộng hưởng Tương tự khi tần số lực kích thích là =1.66 rad/s cũng không xảy ra cộng hưởng (Hình 4.45) mặc dù bằng với tần số dao động riêng của hệ khi có liên kết bán cứng Điều này có thể giải thích là do hiệu ứng lặp trễ của liên kết bán cứng khi chịu tải động, độ cứng liên kết thay đổi theo thời gian Do đó, tần số dao động riêng của hệ cũng thay đổi liên tục sau mỗi bước thời gian Như vậy, liên kết bán cứng có khả năng hấp thụ và tiêu tán năng lượng của tải trọng động rất hiệu quả, làm tăng độ dẻo dai của hệ kết cấu Hình 4.46.(a) cho thấy hiệu ứng lặp trễ của tác giả khá trùng khớp với Chan-Chui Tác giả còn trình bày thêm ứng xử lặp trễ trong liên kết “C” ở đỉnh khung Hình 4.46 và Hình 4.48 cho thấy các liên kết bán cứng ở tầng dưới cùng (liên kết “J”) có khả năng hấp thụ và tiêu tán năng lượng hiệu quả hơn so với các liên kết ở tầng trên (liên kết “C”), thể hiện qua diện tích vòng lặp trễ đạt được.
Khung không gian 1 nhịp 2 tầng chịu tải động đất
Hình 4.49 trình bày các thông số của khung không gian 1 nhịp 2 tầng Khung này đã được Kim cùng cộng sự [40] phân tích bằng chương trình PAAP-Dyna sử dụng phương pháp khớp-thớ (fiber-hinge method), trong đó xét đầy đủ yếu tố phi tuyến hình học và vật liệu Tải trọng động đất tác dụng theo phương Y được sử dụng là các tải trọng El Centro, Loma Prieta, Northridge and San Fernando Mô hình vật liệu đàn – dẻo lý tưởng được áp dụng với ứng suất chảy dẻo là 350.398 kN/m 2 Ma trận cản được tính toán dựa trên 2 chu kỳ dao động tự nhiên đầu tiên theo phương Y của hệ kết cấu và được so sánh với chương trình PAAP-Dyna (Bảng 4.6) Tác giả sử dụng lưới chia 4 phần tử/cấu kiện cho tất cả các trường hợp phân tích
Hình 4.49 Khung không gian 1 nhịp 2 tầng
Bảng 4.6 So sánh giá trị 2 chu kỳ dao động đầu tiên theo phương Y (s)
Mode Kim cùng cộng sự [40] Tác giả Sai số (%)
Hình 4.50 Lịch sử thời gian của chuyển vị dưới tác dụng tải động đất: (a) El Centro; (b) Loma Prieta; (c) Northridge; (d) San Fernando
Bảng 4.7 So sánh giá trị đỉnh của chuyển vị
Tải động đất Min/Max Kim cùng cộng sự
Hình 4.51 Biểu đồ chảy dẻo tại chuyển vị lớn nhất (t=8.39s) của tải San Fernando
Kết quả trên Hình 4.50 cho thấy sự trùng khớp tốt giữa phần tử đề xuất và phương pháp khớp thớ của Kim cùng cộng sự [40] Sự sai lệch chuyển vị đỉnh khung là khá nhỏ, thể hiện trong Bảng 4.7 Ngoài ra, với phần tử đề xuất cho bài toán không gian, biểu đồ chảy dẻo được xác định và thể hiện trên Hình 4.51 mà không thể nhận được kết quả từ phương pháp khớp-thớ Có thể thấy rằng, với bài toán này, sự chảy dẻo chỉ xảy ra tại chân các cột tầng trệt với tỉ lệ chảy dẻo khá lớn, trong khi tại các vị trí khác vẫn còn đàn hồi Do đó, phương pháp khớp dẻo với giả thiết sự chảy dẻo tập trung tại 2 đầu phần tử vẫn cho kết quả khá tương đồng so với phần tử đề xuất trong luận án này.
Khung không gian bán cứng 1 nhịp 2 tầng
Hình 4.52 Khung không gian bán cứng 1 nhịp 2 tầng
Hình 4.52 mô tả các thông số của khung không gian 1 nhịp 2 tầng có liên kết bán cứng Khung này đã được Chan-Chui [58], Nguyen và Kim [12] phân tích đàn hồi phi tuyến bằng phương pháp khớp dẻo với phần tử dầm-cột Khung chịu tải trọng xung không đổi là 100 kN trong khoảng thời gian 2s Các tải trọng tĩnh được quy đổi thành các khối lượng tập trung trong suốt thời gian chịu tải Ứng xử của hệ được phân tích trong các trường hợp liên kết cứng (RC), bán cứng tuyến tính (LC) và bán cứng phi tuyến (NC) theo mô hình hàm mũ Chen-Lui loại C với kiểu liên kết mối nối mặt bích đầu dầm với bu-lông nằm trong bụng dầm (flush end plate) Độ cứng liên kết ngoài mặt phẳng dầm được giả định bằng 1/5 so với độ cứng trong mặt phẳng uốn chính của dầm Mặc dù trong nghiên cứu của Chan-Chui [58] và Nguyen và Kim [12] đều dùng phần tử dầm- cột để phân tích ví dụ này, nhưng kết quả công bố của các tác giả là rất khác nhau, thể hiện như trên Hình 4.53
Hình 4.53 Kết quả công bố của các tác giả: (a) Chan-Chui; (b) Nguyen và Kim
Hình 4.54 Lịch sử thời gian của chuyển vị
Tác giả sử dụng phần tử đề xuất với lưới chia 4 phần tử cho mỗi cấu kiện Kết quả chuyển vị bám sát với lời giải của Nguyen và Kim [12] trong cả ba trường hợp liên kết cứng, bán cứng tuyến tính và bán cứng phi tuyến, tuy nhiên về giá trị tại từng thời điểm cũng có sự khác biệt Điều này là do sự thiết lập phần tử khác nhau của phương pháp vùng dẻo trong nghiên cứu của tác giả và phương pháp khớp dẻo Ứng xử của phần tử đề xuất được theo dõi một cách đầy đủ thông qua các điểm tích phân trên tiết diện và dọc chiều dài trong khi phương pháp khớp dẻo dựa vào hàm ổn định của phần tử dầm- cột Kết quả công bố của Chan-Chui có sự khác biệt lớn có thể do tác giả đã xét thêm ứng xử tĩnh của hệ do các khối lượng tập trung gây ra trước khi có sự tác dụng của tải trọng động Ứng xử lặp trễ trong liên kết C cũng được thể hiện như trên Hình 4.55
Hình 4.55 Ứng xử vòng trễ của liên kết “C“ quanh trục uốn chính
Khung không gian Campbell
Khung không gian 2 nhịp 4 tầng đã được Campbell phân tích lần đầu vào năm 1994, sau đó được hiệu chỉnh trong nghiên cứu của Kim cùng cộng sự [40] Trong đó, các thông số về vật liệu và hình học được giữ nguyên như Campbell, tuy nhiên các khối lượng tập trung được gia tăng giá trị để khảo sát ứng xử phi đàn hồi được rõ ràng hơn Các thông số chi tiết của khung Campbell được thể hiện như trên Hình 4.56 Tải trọng động được sử dụng là các tải động đất El Centro, Loma Prieta và San Fernando, tác dụng theo phương Y Ứng suất chảy dẻo của vật liệu là 36.000 psi (250 MPa) với mô hình đàn dẻo tuyệt đối Kim cùng cộng sự [40] đã phát triển chương trình PAAP-Dyna sử dụng phần tử dầm-cột dùng hàm ổn định với giả thiết khớp dẻo tập trung ở 2 đầu, trong khi tác giả xây dựng chương trình PZNASS phân tích bằng phần tử hữu hạn theo phương pháp
100 vùng dẻo Sự khác biệt về giá trị các chu kỳ dao động đầu tiên theo phương Y giữa hai phương pháp là khá nhỏ, thể hiện trong Bảng 4.8 và dùng để tính toán ma trận cản Tác giả sử dụng 1 phần tử/cấu kiện khi phân tích bài toán đàn hồi phi tuyến (SE) và 04 phần tử/cấu kiện khi phân tích đàn dẻo phi tuyến (SI)
Bảng 4.8 So sánh giá trị chu kỳ dao động theo phương Y (s) Mode Kim cùng cộng sự [40] Tác giả Sai số (%)
Hình 4.57 Lịch sử chuyển vị do các tải trọng động:
(a) El Centro; (b) Loma Prieta; (c) San Fernando
Hình 4.58 Biểu đồ chảy dẻo tại đỉnh chuyển vị của tải San Fernando:
(a) Tác giả (t=3.73s); (b) Kim cùng cộng sự [40] (t = 3.71s)
Hình 4.57 cho thấy sự trùng khớp khá tốt từ chương trình PZNASS so với kết quả của chương trình PAAP-Dyna và ABAQUS cho cả trường hợp phân tích đàn hồi phi tuyến và đàn dẻo phi tuyến Tuy nhiên, phần tử đề xuất của tác giả có thể tìm được biểu đồ chảy dẻo một cách toàn diện hơn so với phần tử dầm-cột, thể hiện như trên Hình 4.58
Có thể thấy rằng, sự hình thành khớp dẻo không chỉ xuất hiện ở hai đầu các dầm từ tầng
3 đến tầng 5 mà còn hình thành tại các chân cột tầng 3 và chảy dẻo một phần ở các dầm tầng 1 Rõ ràng, phương pháp vùng dẻo đánh giá một cách toàn diện ứng xử của hệ kết cấu và đáp ứng đầy đủ yêu cầu phục vụ thiết kế trực tiếp.
Khung không gian bán cứng 6 tầng (Khung Orbison)
Khung không gian 6 tầng (khung Orbison) có liên kết bán cứng chịu tải trọng tĩnh đã được phân tích bởi nhiều tác giả như Chiorean [27], Ngo-Huu cùng cộng sự [11], Nguyen và Kim [13] và đã được tác giả phân tích ở mục 4.1.9 Đối với bài toán động, chỉ có nhóm tác giả Nguyen và Kim [12] xem xét bài toán trong giới hạn đàn hồi Tác giả tiến hành phân tích động cho bài toán này, đồng thời bổ sung kết quả cho trường hợp xem xét yếu tố phi tuyến vật liệu Các thông số về hình học và vật liệu lấy tương tự như mục 4.1.9 Tải trọng phân bố đều trên sàn là 9.6 kN/m 2 được chuyển thành các khối lượng tập trung tại các nút khung (Hình 4.59) Tải trọng động đất sử dụng tải El Centro và San Fernando tác dụng theo phương Y Ma trận cản được tính toán theo Chopra [56] dựa theo hai chu kỳ dao động tự nhiên đầu tiên của hệ kết cấu với tỉ số cản là 0.05, được so sánh với kết quả của Nguyen và Kim [12] trong Bảng 4.9
Bảng 4.9 So sánh chu kỳ dao động tự nhiên
Liên kết Chu kỳ (s) Tác giả Nguyen và Kim [12] Sai số (%)
Hình 4.59 Khung Orbison chịu tải trọng động đất
Tác giả tiến hành phân tích bài toán này cho các trường hợp liên kết cứng (RC), liên kết bán cứng tuyến tính (LC) và liên kết bán cứng phi tuyến (NC) Liên kết bán cứng trong hệ kết cấu được sử dụng mô hình ba thông số của Kishi-Chen, với việc xem xét ứng xử động của liên kết bán cứng trong cả hai mặt phẳng uốn chính và phụ của phần tử dầm Các thông số về độ cứng ban đầu của liên kết được tính toán tương tự như đã trình bày ở mục 4.1.9 Ứng xử lặp trễ của các liên kết bán cứng “C”, “J” và “K” (Hình 4.59) cũng được khảo sát
Hình 4.60 Lịch sử chuyển vị đàn hồi của nút A do tải El Centro
Hình 4.61 Ứng xử vòng trễ do tải El Centro tại liên kết: (a) “C”; (b) “J”; (c) “K”
Hình 4.62 Lịch sử chuyển vị đàn hồi của nút A do tải San Fernando
Hình 4.63 Ứng xử vòng trễ do tải San Fernando tại liên kết: (a) “C”; (b) “J”; (c) “K”
Kết quả phân tích cho thấy sự tương đồng về lịch sử chuyển vị đàn hồi ở đỉnh khung giữa tác giả và phương pháp khớp dẻo (Nguyen và Kim) trong tất cả các trường hợp tải khi xét liên kết cứng và bán cứng tuyến tính (Hình 4.60 và Hình 4.62) Trường hợp bán cứng phi tuyến vẫn có sai số giữa hai phương pháp đến từ việc lập thủ tục số mô phỏng ứng xử vòng lặp trễ của liên kết bán cứng Tác giả đã khảo sát ứng xử trễ trong các liên kết khác nhau và thể hiện trên Hình 4.61 và Hình 4.63 Kết quả cho thấy sự hợp lý khi ứng xử mô-men góc xoay trong mặt phẳng uốn chính (trục chính) của liên kết tạo thành một chu trình kín, thể hiện khả năng hấp thu và tiêu tán năng lượng của tải động đất Trong khi đó, ứng xử ngoài mặt phẳng uốn chính (trục phụ) gần như là một đường thẳng, nghĩa là độ cứng liên kết gần như không thay đổi và khả năng tiêu tán năng lượng cũng không đáng kể Tác giả cũng phân tích cho trường hợp phi đàn hồi với liên kết bán cứng phi tuyến, giả định ứng suất chảy dẻo là 250 MPa, kết quả trình bày trên Hình 4.64 và Hình 4.65 Trường hợp này đã xem xét đầy đủ các yếu tố phi tuyến chủ đạo trong kết cấu thép Cũng cần lưu ý rằng, các phần mềm phân tích kết cấu hiện nay vẫn chưa có khả năng giải quyết bài toán phi tuyến kết cấu với đầy đủ các yếu tố phi tuyến nêu trên
Hình 4.64 Lịch sử chuyển vị phi đàn hồi của nút A do tải San Fernando
Hình 4.65 Ứng xử vòng trễ phi đàn hồi tại tại liên kết C do tải San Fernando Kết luận Chương 4
Chương này đã trình bày nhiều ví dụ số phân tích phi tuyến khung thép bán cứng không gian chịu tải trọng tĩnh và động trên cơ sở áp dụng phần tử đã xây dựng ở Chương 2 để phát triển chương trình PZNASS ở Chương 3 Kết quả phân tích số cho thấy sự chính xác và đáng tin cậy của phần tử và chương trình đề xuất, đặc biệt là khả năng theo dõi ứng xử phi tuyến vật liệu một cách toàn diện trên toàn bộ kết cấu Các yếu tố phi tuyến chủ đạo trong kết cấu thép được xem xét một cách đầy đủ nhằm tiến đến ứng xử thật của hệ kết cấu khi chịu tải trọng tĩnh hoặc động và có thể áp dụng trong phân tích nâng cao phục vụ thiết kế trực tiếp kết cấu thép