Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích phi tuyến hình học kết cấu tấm

phan tir đăng tham số 4 nút 22Phan tử tam chịu uốn dạng tứ giác 4 nút 24Phần tử vỏ phăng tứ giác 4 nút 27Phần tử vỏ bị vênh so với mặt phăng làm việc của vỏ 28Sự chia nhỏ phan tử ra thàn

NGUYÊN HOÀI NAM

PHAN TÍCH PHI TUYẾN HINH HỌC KET CẤU TAM/VODAY SU DUNG PHAN TU HỮU HAN TRƠN MISQ20

Chuyén nganh : XAY DUNG DAN DUNG VA CONG NGHIEPMã số: 60-58-20

TP HO CHÍ MINH, tháng 12 năm 2012

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠITRUONG ĐẠI HOC BACH KHOA —- ĐHQG - HCMCán bộ hướng dẫn khoa học :

CBHD 1: TS NGUYEN VĂN HIẾUCBHD 2: TS LƯƠNG VĂN HẢICán bộ cham nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2 :

Luận văn thạc si được bảo vệ tại Truong Đại học Bách Khoa, DHQG Tp HCMngày tháng năm

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên

ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nêu có).

CHỦ TỊCH HỘI DONG TRƯỞNG KHOA

NHIEM VỤ LUẬN VAN THẠC SĨHọ tên học viên: Nguyễn Hoài Nam 5s + sec: MSHV: 11211014

Ngày, thang, năm sinh: 16-12-1985 <<<<<<<<<ss+2 Noi sinh: Gia Lai

Chuyên ngành: Xây dựng dân dung và công nghiệp Mã số : 60-58-20I TEN DE TÀI: PHAN TÍCH PHI TUYẾN HINH HỌC KET CÂU TAM/VO DAY

SU DUNG PHAN TU HUU HAN TRON MISQ20

Il NHIEM VU VÀ NỘI DUNG: Nghiên cứu phat triển khả năng ứng dụng của phan tử

MISQ20 cho phân tích phi tuyến hình học của kết câu dạng tâm/vỏ với quan hệ phi tuyếngiữa tải trọng và chuyền vị có dạng Snap-through, Snap-back và dạng phức tap Khảo sátvới các mức độ chia lưới thô và chia lưới phần tử méo ngẫu nhiên khác nhau So sánh kếtquả với các nghiên cứu tiêu biểu về phi tuyến hình học kết câu tâm/vỏ trên thé giới

Ill NGÀY GIAO NHIỆM VU : 02/07/2012IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30/11/2012V CÁN BO HUONG DAN:

CBHD 1: TS NGUYEN VĂN HIẾUCBHD 2 : TS LUONG VAN HAI

Tp HCM, ngày tháng năm 20

CÁN BỘ HƯỚNG DAN BAN QUAN LÝ CHUYEN NGÀNH

(Ho tên va chữ ky) (Ho tên va chữ ky)CBHD 1 CBHD 2

TS NGUYEN VAN HIEU TS LUONG VAN HAI

TRUONG KHOA

(Ho tên va chữ ky)

LOI CAM ON

Đầu tiên, tôi xin chân thành cam thay TS Nguyễn Văn Hiếu, người đã tận tinhdiu dắt tôi từ khi tôi còn là sinh viên Lòng nhiệt tình và tâm huyết của thay là độnglực cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài Tôi cũng xin chân thành cảm ơnthay TS Luong Văn Hải đã cùng thầy Hiếu tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận

văn này.

Tôi cũng xin tỏ lòng biết ơn đến tất cả các thầy cô đã từng tham gia giảng dạylớp cao học ngành Xây dựng dân dụng va Công nghiệp khoá 2011 Các Thay Cô đãtrang bị cho chúng tôi những kiến thức quý bau, đã từng bước hướng dẫn chúng tôiđi vào con đường nghiên cứu khoa học Không có sự giúp đỡ của các thầy cô, chắcchắn chúng tôi không thể có được kiến thức như ngày hôm nay

Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn bè trong lớp cao học,bạn bè gần xa, các đồng nghiệp tại khoa Xây Dựng — Đại học Kiến Trúc TP HCMđã giúp đỡ tôi rất nhiều trong công việc cũng như trong chuyên môn

Với tất cả lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin gửi đến Bố, Mẹ tôi, những người luônchăm sóc, lo lăng và dõi theo mỗi bước đi của tôi trên đường đời Hy vọng luận văn

này sẽ là món quà ý nghĩa dành tặng Thân phụ, Anh trai và Chị gái tôi.

Nguyễn Hoài Nam

TOM TAT LUAN VANLuận văn nay chủ yếu liên quan đến việc nghiên cứu ứng dụng phương phápphân tử hữu hạn trơn cho phân tích phi tuyến hình học kết cấu dang tấm/vỏ sử dụngphân tử tứ giác phang song tuyến tính Lý thuyết chuyền vị lớn của Von Karman vàcách tiếp cận Total Lagrangian (TL) được sử dụng trong công thức chuyển vị lớn-biến dạng nhỏ theo khuôn khô của lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT).Nghiệm của phương trình cân băng phi tuyến có được từ phương pháp tính lặpArc-Length Điểm quan trọng nhất của phan tử được phát triển trong luận văn naylà ma trận độ cứng tuyến tính màng-uốn và ma trận độ cứng phi tuyến hình họcđược xây dựng dựa trên tích phân dọc theo biên phần tử trơn Kỹ thuật này có thểcho kết quả tích phân số vẫn chính xác ngay cả khi phần tử có hình dạng méo móhoặc khi chia lưới phân tử thô Qua một vài mô phỏng số được thực hiện, phan tunày cho kết quả sát với kết quả của một số phan tử tiêu biểu khác cũng như với lờigiải lý thuyết và kết quả thực nghiệm Điều đó cho thấy phần tử được phát triển cónhiều ưu điểm trong việc phân tích phi tuyến hình học kết cấu tâm/vỏ day cho đếnmỏng vừa phải tránh được hiện tượng shear-locking Những kết quả thu được từviệc áp dụng phần tử này góp thêm phần chứng minh tính hiệu quả của phần tử tứgiác phăng trong phân tích phi tuyến.

ABSTRACT

The present study is mainly concerned with the development and applicationof the assumed strain smoothing method for geometrically nonlinear analysis ofplate/shell structures using a bilinear quadrilateral flat element The von Karman’slarge deflection theory and the Total Lagrangian (TL) approach are utilized in thesmall strain-large deformation formulation within the framework of the first-ordershear deformation theory (FSDT) The solution of the nonlinear equilibriumequations is obtained by the iterative-incremental arc-length method The mostimportant feature of the developed element is the evaluation of linear membrane-bending and non-linear geometric stiffness matrices based on integration along theboundary of smoothing elements This technique can give more accurate numericalintegrations even with badly shaped elements or coarse discretization Severalnumerical examples have been carried out and the present element is found to yieldsatisfactory results in comparison with other available finite element solutions aswell as theorical/experimental results It is observed that the present element is ableto offer good prediction in geometrically nonlinear analysis of thick to moderatelythin plates/shells without shear-locking The success of the present flat/shellelement provides a further demonstration of efficient flat quadrilateral elements fornonlinear analysis.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng luận văn này do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫnkhoa học của thay TS Nguyễn Văn Hiếu, TS Lương Van Hải và chưa được đăngtrên bất kỳ một tài liệu nào trước đây

Tháng 12 năm 2012

Nguyễn Hoài Nam

MỤC LỤC

0909.909) 25 iTOM TAT LUẬN VĂN cece eeceneeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeaaaaeeeeeeeeeeeeeeeeeas ii

TaN TOM 0a On Nc iii

DANH MỤC CÁC HINH VẼ 2222221111111 1 1111111111 ki VDANH MỤC CÁC BANG BIÊU 221111111 vkt vii

MỤC LỤC, SH SH EEE EEE EE EEE EEE EE EEE EEE EE Ente 1

CHƯƠNG 1 MỞ DAU woes eceeessessssesssseesneessseesneesnsecsseesnsecusecsncecusecnacecnsesnneesnseenseesneesees 4

LDL GiGi HhiQu .A 41.2 Mục tiêu nghiÊn CỨU (<< << 01001 11111111111111999333 1111111110025 5 11kg 41.3 Phương pháp nghiÊn CỨU - << -GGG E1 302301111112991111 111111111111 1111900235555 ke 5

1.4 Ý nghĩa của dé tải - - - xxx 111915151511 1 111 1 111g 1H11 011gr 51.5 Tóm tat các chương trong luận văn - c3 EE#EEESESESEEkrkrkrkrkrkekred 6CHƯƠNG 2 TONG QUAN TINH HÌNH NGHIÊN CỨU - 2 c+s+s+xzs2 82.1 Sự phát triển các loại phần tử tm/V6 cece esesscscsesesesscscessesssescsvenseseas 82.2 Phân tích phi tuyến hình học kết cầu tẫm/VỎ - + + k+x+EvEEEeEeEsEererered 82.3 Phan tử hữu han tron (Smoothed finite element method- SFEM) 10

2.4 Phương pháp tính lặp Arc Length - - - c5 2221111111181 s52 10

2.5 Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nưỚc - + 2s +s+ssxete+k+xexsrerered 142.5.1 Về phân tích phi tuyến kết cấu - ¿=6 +k+E+E#E£EeEeEeEeEerrerees 142.5.2 Về ứng dụng phan tử hữu hạn trơn c6 x+k+k+E£E+EeEeEsEerrerees 15CHƯƠNG 3 CO SỞ LY THUYET csessssssesssssssesseesneesneesncesneesneesneesneenneenneesneen 16

3.1 Biến dạng và ứng SuẤT + k S9 S311 11111111511 1111511 1111111 xe 163.1.1 Biến dang nhỏ & G- + + SE E111 1111111511111 xe 16

3.1.4 Quan hệ biến dạng — chuyén vi phi tuyến của Von Karman cho bài toántấm 18

3.1.5 Ứng suất Cauchy và ứng suất Piola-Kirehhoff - 2 - + s+s+s¿ 183.2 Lý thuyết bién dang cắt bậc nhất cho tinh toán tam/V6 - - << sec: 203.3 Công thức phan tử hữu hạn cho tắm/VỎ ¿tk t+EEEk+E#ESEeEEkrkeeerererered 213.3.1 Phần tử tắm chịu lực màng + 26x SE Errkrkerererkred 213.3.2 Phần tử tâm chịu uốn theo lý thuyết của Mindlin-Reissner 233.3.3 Phần tử vỏ phăng - «sec 11115151 111111111 greg 263.4 Cách tiếp cận Total Lagrangian và Update Lagrangian - sex: 293.4.1 Cách tiếp cận Total Lagrangian (T.LL) - - se + sxsxskskeeeeeeeeseee 303.4.2 Cách tiếp cận Updated Lagrangian (U.L) s5 ss+s+x+x+eeesesese 323.4.3 So sánh hai cách tiếp cận Toal Lagrangian và Update Lagrangian 323.5 Công thức phan tử hữu hạn trong phân tích phi tuyến hình học tắm/vỏ 33

3.5.1 Các phương trình cơ bảiñn 1111111111111 11 x2 33

3.5.2 Công thức phan tử hữu hạn phi tuyến theo Total Lagrangian 353.6 Công thức phan tử hữu hạn trơn cho phân tích phi tuyến hính hoc tắm/vỏ 393.7 Quan hệ phi tuyến giữa tải trọng — ChUYEN vị ¿c6 x+x+xskeEeEsesrsrrerees 43

3.7.1 š 0: 09 0= a 433.7.2 Phương pháp Newton-Raphson << << 5S S S1 SSSSSSssa 46

3.7.3 Kỹ thuật điều khiển chuyên vi (Displacement Control) - 48

3.7.4 Phương pháp Arc-Length (Phương pháp dây cung) 50

3.7.5 Tiêu chuẩn hội tụ -c:+c+c+cttzrtrrrtrrrtrrrrrtrrrrirrrirrrirrrirrrrre 58

3.7.6 Thuật toán tăng tải tự động HH HH2 11 xk2 58

CHƯƠNG 4 MO PHONG SO cicceccecccccscsssesssesssscsscsscsscsscsscescsssecsusscscsacsssesesscsscsees 61

4.1 Tam tròn liên kết ngàm chịu áp lực phân bố đỀu - - - - +c+c+csxexeee: 634.2 Tam vuông liên kết ngàm chịu áp lực phân bố đều - - 2 2 se: 654.3 Vỏ lõm liên kết ngàm chịu áp lực phân bố đều - 2-2 +s++Es£exezxe: 684.4 Vỏ trụ liên kết ngàm chịu áp lực thăng đứng phân bó đều - 704.5 Vỏ trụ liên kết khớp chịu tải trong tập trung ¿cv sxexeEsesrsrererees 724.5.1 Chiều dày vỏ trụ #= 25.4 mím s-<csSxSxStcttvSkEEEEEEEEeEsrrererees 734.5.2 Chiều dày vỏ trụ h= 12.7 mm << #EEEEEeEeEsErererees 754.5.3 Chiều dày vỏ trụ h= 6.35 mm «St EEEESEeEsrrererees 764.5.4 Chiều dày vỏ trụ h= 3.175 mm - c5 #E£EEEeEeEsErererees 794.6 Chương trình phân tích phi tuyến kết cau tắm/vỏ - GNAS s5: 81CHUONG 5 KẾT LUẬN VA KIÊN NGHỊ 5-55 ccccsrxsrrsrrrsrrrrrree 84S21 Kt na 845.2 {I8 85TAI LIEU THAM KHAO eee ceeee ec eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeaaaaa xrrerree 86

Hình 3.1.

Hình 3.2.Hình 3.3.Hình 3.4.

Hình 3.5.

Hình 3.6.Hình 3.7.

Hình 3.8.

Hình 3.9.Hình 3.10.

Hình 3.11.

Hình 3.12.

Hình 3.13.Hình 3.14.Hình 4.1.

Hình 4.2.

Hình 4.3.Hình 4.4.

phan tir đăng tham số 4 nút 22Phan tử tam chịu uốn dạng tứ giác 4 nút 24Phần tử vỏ phăng tứ giác 4 nút 27Phần tử vỏ bị vênh so với mặt phăng làm việc của vỏ 28Sự chia nhỏ phan tử ra thành nc phan tử con (subcells) và giá trị hàm

dang tại các nút 39Phương pháp Euler 43

Quy trình kết hợp phương pháp Euler và Newton-Raphson hoặc

Arc-Length 45

Phương pháp Full Newton-Raphson 46

Phương pháp Modified Newton-Raphson 47Quy trình tính lặp theo Full Newton-Raphson và Modified Newton-Raphson 48

Y nghĩa hình học cua kỹ thuật điều khiến tai trong, kỹ thuật điều khiếnchuyền vị và phương pháp Arc-Length 49

Hiện tượng Snap-through và Snap-back 50

Phương pháp Arc-Length 52

Quy trình tính lặp theo phương pháp Arc-Length 57

Hệ lưới 27 phần tử của 1⁄4 tâm tròn theo ba cách chia lưới khác nhau 64

Mỗi quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị được chuẩn hóa của tâm tròn

liên kết ngam chịu áp lực phần bố đều 65Hệ lưới 16 phần tử của 1⁄4 tam vuông theo ba cách chia lưới khác nhau66Mối quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị được chuẩn hóa của tam vuôngliên kết ngam chịu áp lực phần bố đều 67

Mỗi quan hệ giữa tải trong va chuyển vị được chuẩn hóa của vỏ lõm

liên kết ngam chịu áp lực phần bố đều 70Hệ lưới vỏ tru liên kết ngàm chiu áp lực thăng đứng phân bố đều với

hai cách chia lưới khác nhau 7]

Mối quan hệ giữa áp lực phân bố đều q và chuyền vị được chuẩn hóa tạitâm vỏ trụ liên kết ngàm chịu áp lực thăng đứng phân bố đều 72Dạng hình học vỏ trụ liên kết khớp chịu lực tập trung 72Mối quan hệ giữa lực tập trung và chuyền vị tại tâm vỏ trụ liên kết khớpchiều dày 25.4 mm với trường hợp lưới phần tử chữ nhật và lưới phầntử méo ngẫu nhiên 74Mối quan hệ giữa lực tập trung và chuyền vị tại tâm vỏ trụ liên kết khớpchiều day 25.4 mm với các trường hợp lưới phan tử thô dan 74Mối quan hệ giữa lực tập trung và chuyền vị tại tâm vỏ trụ liên kết khớpchiều dày 12.7 mm với hệ lưới phần tử méo ngẫu nhiên và trường hợpdùng điều khiển chuyển vi 75Mối quan hệ giữa lực tập trung và chuyền vị tại tâm vỏ trụ liên kết khớpchiều day 12.7 mm mm với các trường hợp lưới phan tử thô dan 76Mối quan hệ giữa P và chuyển vi We tại điểm giữa vỏ trụ liên kết khớpchịu lực tập trung thăng đứng tại tâm với chiều dày 6.35 mm 77

Mỗi quan hệ giữa P và chuyển vị WB tại điểm B trên vỏ trụ liên kết

khớp chịu lực tập trung thang đứng tại tâm với chiều day 6.35mm 78Mối quan hệ giữa P và chuyển vi We tại điểm giữa vỏ trụ liên kết khớpchịu lực tập trung thăng đứng tại tâm với chiều dày 3.175 mm 80

Giao dién chuong trinh GNAS 81

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU

1.1 Giới thiệu

Kết cau tắm/vỏ hoặc có dạng tắm/vỏ được sử dụng rất rộng rãi trong các côngtrình xây dựng ngày nay với mục đích tạo nên những điểm nhắn đặc trưng cho mộtcông trình kiến trúc Tuy nhiên, sự đặc sắc này thường đi kèm với sự phức tạp vềmặt hình học của kết câu tấm vỏ Chính vi lý do đó mà việc phân tích sự làm việcphi tuyến hình học của các dạng kết cấu này trở nên rất quan trong dé hiểu rõ bảnchất ứng xử của chúng khi có biến dạng lớn Khảo sát phi tuyến hình học thườngliên hệ với việc xác định trạng thái cân bằng phi tuyến với ứng xử vật liệu trong giaiđoạn đàn hồi Trong phân tích phi tuyến hình học, sự cân băng được xét trên hìnhdáng biến dạng thực tế của kết cấu chứ không xét cân bằng trên hình dáng ban đầucủa hệ Do do, phân tích phi tuyến hình học là một van đề phức tạp đòi hỏi phải tínhtoán lại liên tục độ cứng kết cấu sau mỗi bước tăng tải hoặc mỗi bước tính lặp.Công việc này mất rất nhiều thời gian ngay cả với những máy tính hiện đại nhất.Việc tìm kiếm những phương pháp tính toán hiệu quả với độ tin cậy cao trong phântích phi tuyến hình học luôn là một nhu cau thiết yếu

1.2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của nghiên cứu này là nhằm khảo sát khả năng phát triển nâng cao cácloại phần tử hữu hạn phăng bậc thấp thường được dùng rộng rãi do tính chất dễ kếthợp với các loại phần tử khác cũng như sự đơn giản trong công thức và hiệu quảtrong tính toán Cụ thé là nghiên cứu này sẽ tiếp tục phát triển mở rộng một họ cácphan tử trơn (Smoothed finite elements) dùng xấp xỉ chuyển vị MISQ20 được xâydựng bởi Nguyễn Văn Hiếu [1] với các đặc điểm như sau: (i) có thé áp dung vật liệuđăng hướng/ không đăng hướng cũng như vật liệu composite (ii) chịu uốn tốt, (iii)không bi “Locking” khi bề dày phan tử mỏng, (iv) ít nhạy cảm với phan tử bị méo,(v) chính xác khi dùng lưới thô, (vi) đơn giản và dễ tích hợp các luật ứng xử tuyếntính/phi tuyến và (vii) hiệu qua cũng như đáng tin cậy

tam/vo với quan hệ phi tuyến giữa tải trọng và chuyển vị có dạng Snap-through,Snap-back và dạng phức tạp Qua đó kiểm tra và đánh giá những ưu điểm kế trêncủa phan tử MISQ20 khi phân tích phi tuyến kết cầu dạng tâm/vỏ.

1.3 Phương pháp nghiên cứu

Đề đánh giá được tính hiệu quả khi áp dụng phần tử MISQ20 cho phân tíchphi tuyến hình học kết cầu dạng tâm/vỏ, một số lý thuyết sau cần được sử dụng:

Đầu tiên, đề tài sử dụng các công thức ma trận độ cứng tuyến tính, ma trận độcứng phi tuyến và ma trận độ cứng hình học của phan tử MISQ20 dé xây dựng matrận độ cứng tông thé của phan tử theo cách tiếp cận Total Lagrangian

Sau đó, Lý thuyết tam vỏ có kế đến biến dạng cat bậc nhất (First-order sheardeformation theory - FSDT) cũng sẽ được sử dung trong việc xây dựng phan tử dosự đơn giản trong công thức và khả năng linh động trong tính toán các loại tắm/vỏtừ dày tới mỏng tương đối Lý thuyết bién dạng nhé-chuyén vị lớn von-Karman vaứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai cũng được áp dụng dựa trên cách tiếp cận Total

Lagrangian.

Tiếp theo, nghiệm của phương trình cân bằng phi tuyến sẽ được xấp xi bằng

các phương pháp lặp như Newton-Raphson hoặc phương pháp Arc-length Kỹ thuật

điều khiến tải trọng, điều khiển chuyền vị, tang tải tự động cũng được tích hop đểtìm đường cong phi tuyến dạng bất kỳ

Cuối cùng, kết quả mô phỏng số được thực hiện trên các bài toán tiêu biéu vềphi tuyến hình học các kết câu dạng tâm/vỏ sẽ được so sánh với các kết quả của cácnghiên cứu trước đó để đánh giá tính hiệu quả và chính xác của lời giải khi dùngphân tử MISQ20

1.4 Y nghĩa của đề tàiTính mới: Các phương pháp phần tử hữu hạn trơn trước đây chỉ mới được ápdụng trong các dạng bài toán phân tích tuyến tính cho kết cau Vì vậy điểm mới của

dé tài là việc nghiên cứu và cải tiên cho các kỹ thuật phan tử trơn dé đáp ứng được

tính hiệu quả trong phân tích các bai toán phi tuyến hình học phức tạp của các kếtcầu tâm/vỏ trong lĩnh vực kỹ thuật xây dựng.

Tính thời sự: Việc đề xuất các mô hình phân tử hữu hạn chính xác, hiệu quảvà đáng tin cậy trong phân tích kết cấu tấm/vỏ luôn là một thách thức trong tinh

toán cơ học Chính vì vậy mà việc nghiên cứu trong lĩnh vực này luôn mang tính

thời sự và nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu khoa học trên toànthế giới suốt nhiều thập kỷ qua

Ý nghĩa khoa học: Kết quả nghiên cứu này sẽ cho ra các phương pháp phầntử hữu hạn trơn cải tiến và hiệu quả trong việc mô hình tính toán phi tuyến hình họccủa kết cầu tâm/vỏ Điều này góp phan cho việc nâng cao kiến thức và sự hiểu biếttrong lĩnh vực cơ học tính toán sử dụng các phương pháp phần tử hữu hạn cải tiến.1.5 Tóm tắt các chương trong luận văn

Chương 1 Mở đầuChương này giới thiệu chung về đề tài.Chương 2 Tổng quan tình hình nghiên cứuChương này tổng hợp khái quát những nghiên cứu liên quan đến đề tài vànhững đánh giá về ưu điểm, hạn chế của các nghiên cứu đó Qua đó nêu ra nhiệmvụ cần thực hiện

Chương 3 Cơ sở lý thuyếtChương này trình bày cách xây dựng phần tử MISQ20 theo Nguyễn Văn Hiếu[1] lý thuyết tắm/vỏ kế đến biến dạng cắt bậc nhất, lý thuyết biến dạng lớn Green,ứng suất Piola-kirchhoff thứ hai theo cách tiếp cận Total Lagrangian Ngoài ra cácphương pháp tính lặp và các kỹ thuật phân tích phi tuyến cũng được giới thiệu

Chương 4 Mô phóng sốChương này trình bày kết quả của các mô phỏng số được thực hiện theo cácbài toán tiêu biểu về phi tuyến kết cấu tắm/vỏ cùng các nhận xét đánh giá kèm theo

Chương 5 Kết luận và kiến nghị

CHƯƠNG 2 TÔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU

2.1 Sự phat triển các loại phan tử tam/véMột báo cáo tong hop khá đầy đủ về nghiên cứu phat triển các loại phan tửtắm/vỏ trong suốt 20 năm qua đã được Yang và các cộng sự thực hiện [2] Nhữngnghiên cứu mở rộng va chỉ tiết hơn có thé tìm thay trong báo cáo của Gal va Levy

[3] hoặc bài báo của Zhang va Yang [4] Theo khảo sát của các nghiên cứu [5-16],

phân tử phăng thường được sử dụng rộng rãi vì tính chất dễ kết hợp với các loạiphân tử khác cũng như sự đơn giản trong công thức và hiệu quả trong tính toán.Chính vì những đặc điểm trên mà phần tử phăng có lợi thế trong việc giải các bàitoán về phi tuyến hình học mà ứng xử của kết cau tại mỗi thời điểm cần phải giảilặp dé xác định vị trí cân băng với các biến lưu trữ trạng thái ứng suất rất lớn

2.2 Phân tích phi tuyến hình học kết cau tam/vé

Phân tích sự làm việc phi tuyến hình học của các kết cấu có dạng tâm/vỏ đóng

vai trò rất quan trọng trong việc đánh giá bản chất ứng xử của chúng khi có biếndạng lớn Những phương pháp mô phỏng số như phần tử hữu hạn đã được phát triểnvà sử dụng rộng rãi trong khảo sát phi tuyến hình học các dạng kết cấu này với cácdạng hình học phức tạp và tải trọng khác nhau Các nghiên cứu báo cáo quốc tế vềlĩnh vực này rất nhiều và rất khó có thé liệt kê chi tiết đầy đủ ở đây Một số nét cơbản về sự hình thành và phát triển của các phương pháp phân tích phi tuyến kết cầutắm/vỏ đã được giới thiệu dựa trên những tong hợp của Crisfield [17] Nội dungtrình bày sau đây sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về vấn đề này

Đầu tiên, kết cầu tắm vỏ được phân tích tuyến tính bởi Clough và Tocher [18]

và Zienkiewicz [19] Sau đó những khái niệm này được mở rộng cho phân tích phi

tuyến tam/v6 bởi Horrigmoe va Bergan [20], bang cách sử dụng tiếp cận UpdateLagrangian và dùng công thức xoay của phần tử Công thức tương tự cũng đượcthực hiện bởi Backlund [21] và một số tác giả khác như Jetteur [22-23| và Stolarski[24] Ngoài ra những phân tích phi tuyến kết cấu tấm vỏ cũng đã được phát triển từ

lượng tăng của biến dạng [37-39] Tương tự như trong phân tích tuyến tính, vấn đềvề Shear locking lại xuất hiện, và những kỹ thuật nhằm cải thiện vấn đề này như kỹthuật Reduced integration cũng được áp dụng trong phân tích phi tuyến [37, 40-42].Bên cạnh đó một số tác giả còn sử dụng kỹ thuật thế hàm dạng để giải quyết vẫn đềnày [35-36] Hiện tượng Membrane locking cũng có thể xuất hiện trong phân tíchphi tuyến hình học tâm/vỏ và những kỹ thuật tương tự như với hiện tượng Shearlocking cũng được áp dụng [26, 43-44] Một số tác giả cũng đã dé xuất dùng biếndạng xoay tại điểm tích phân để giảm sai số của các hiện tượng này [44].

Phần tử đăng tham số với hệ tọa độ tự nhiên kết hợp với ma trận Jacobi vàphép cầu phương Gauss cũng được áp dụng cho phân tích phi tuyến kết cau Lúcđầu, tích phân được thực trên suốt chiều dày phần tử, nhưng sau đó để giảm thờigian tính toán, người ta chỉ thực hiện điều này khi phân tích cho vật liệu phi tuyến.Những nghiên cứu sâu khác về phân tích phi tuyến tam/v6 cũng đã được thực hiệnbởi rất nhiều tác giả trên thế giới như trong các nghiên cứu [26, 38, 45-46]

Cũng như trong phân tích tuyến tính, một vấn đề quan trọng được xem xét bởinhiều tác giả là bậc tự do thứ sáu xoay quanh trục z vuông góc với mặt phẳng phầntử, hay còn gọi là ‘Drilling rotation’ Trong công thức cổ điển của tam chịu lực

mang (Membrane), ta chỉ có 5 bậc tự do trong đó có 2 bậc tự do xoay quanh 2 trục

x, y Tuy nhiên, để xây dựng được ma trận chuyển từ hệ tọa độ địa phương sang hệtọa độ tông thé cũng như để thực hiện chép nối ma trận giữa các phần tử, bậc tự dothứ sáu cần được kê đến Khi đó ta có sáu bậc tự do tại một nút trong đó có 3 bậc tựdo xoay quanh 3 trục Để vượt qua vẫn đề này, một số tác giả đã đề xuất dùng kỹ

thuật độ cứng lò xo giả tao, như Zienkiewicz và Providos [47] Tuy nhiên kỹ thuật

này hoạt động tốt với phân tích tuyến tính, còn với phân tích phi tuyến vật liệu thìcó thé làm cho độ cứng kết cấu thay đổi đáng kể

Horrigmoe va Bergan [20] đã dùng phan tir vở tron cho phân tích phi tuyến,

tuy nhiên mới chỉ dùng với 5 bậc tự do cho một nút và thực hiện với phương pháp

của Wempner [56 | và sách của Hughes và Hinton [36].

2.3 Phần tử hữu hạn trơn (Smoothed finite element method- SFEM)Trong những năm gan đây, phương pháp phan tử hữu han trơn (SFEM) đã đượcdé xuất và phát triển bởi giáo sư G R Liu và các cộng sự tại trung tâm tính toán kỹthuật cao (ACES) thuộc đại học quốc gia Singapore (NUS) Tuy nhiên phần lớn

những nghiên cứu ứng dụng của phương pháp này chỉ giới hạn trong phân tích

tuyến tinh [57-62].Phan tử MISQ20 cua tác giả Nguyễn Van Hiếu [1] đã được phat triển songsong từ những nghiên cứu của Nguyễn Xuân Hùng va các cộng sự [63,64] dựa trênphân tử tắm tứ giác được làm trơn dùng cho phân tích tuyến tính

Phương pháp phân tử hữu hạn trơn được áp dụng cho phân tích phi tuyến hìnhhọc kết cau tâm/vỏ cũng đã được thực hiện bởi tác giả Nguyễn Văn Hiếu [1] va tácgiả X.Y Cui và các cộng sự [65] Tuy nhiên, những đường cong phi tuyến dạngsnap-through, snap-back và dạng phức tạp tong quát vẫn chưa được khảo sát trong

những nghiên cứu này.

2.4 Phương pháp tính lặp Arc Length

Một sự tổng hợp khá đầy đủ về lịch sử hình thành và phát triển của phươngpháp Arc-Length đã được Memon và Su [66] thực hiện Dưới đây là một số nét giớithiệu về lịch sử của phương pháp này

Lúc đầu, Riks [67-68] (1971) và Wempner [69] (1972) chủ trương rằng,đường lặp thay vì là cung tròn, có thé là đường vuông góc với đường tăng tải (Hình

2.1.a)

Theo Ramm [70] đường lặp nên vuông góc với đường cát tuyến của bước lặptrước (Hình 2.1.b) Thực ra phương pháp nay cũng rất giống phương pháp đầu tiên

của Riks và Wempner Dé tránh phụ thuộc vào việc giải nghiệm của 2 phương pháp

trên, Fried [71] đề xuất dùng (öp;.(L/ ⁄2q'q)) thay vì sử dụng (Ap,,A4,) Tất cả

những kỹ thuật này thuộc nhóm những “Phiên bản tuyến tính” của phương phápArc-Length, vì việc đưa thêm vào phương trình ràng buộc sẽ dẫn đến việc giải ra 1nghiệm duy nhất, nên không xuất hiện thêm vấn đề chọn nghiệm của phương trình

bậc 2 như phương pháp Arc-Length nguyên thủy Tuy nhiên, các kỹ thuật này có

thể sẽ làm cho kết quả lệch khỏi đường cân băng, hoặc dẫn đến những khó khăn

khác trong việc tính toán.

bh bh

5 > =.

= =ax =

Hình 2.1 Phương pháp Arc-Length tuyến tính

Phương pháp Arc-Length trong thập niên 80

Sau khi phương pháp Arc-Length được dé xuất bởi Riks [67-68] (1971) vàWempner [69] (1972), đã nhận được nhiều sự tán thành rộng rãi trong giới nhữngnhà phân tích Phan tử hữu hạn Tuy nhiên, như phát biểu của Crisfield [72], phươngpháp của Riks không phù hợp với dạng chuẩn của phân tích phần tử hữu hạn, ngay

cả với dạng hiệu chỉnh của phương pháp Newton-Raphson cũng vậy Bởi vì phương

trình ma Riks đề xuất đã phá hủy dạng chuẩn của ma trận độ cứng Với bài toán 1phương với N biến chuyển vị, Crisfield [72], đã đề xuất dạng hiểu chỉnh củaphương pháp này băng cách cố định chiều dài A/ trong suốt mỗi bước tăng tải.Phương pháp này được gọi là phương pháp Arc-Length trụ (khi ự =0) xuất phát từphương pháp Arc-Length cầu (khi # 0) Phương pháp này cũng dẫn đến 1 phươngtrình bậc 2 nhưng với hệ số =0, vì vậy cũng sẽ có 2 nghiệm Crisfield đề xuất

chọn nghiệm bằng cách, so sánh độ tăng chuyển vi nào gần với chuyền vị ban đầunhất thì nghiệm đó được chọn Crisfield đã áp dụng cách này khi phân tích dan-déobiến dạng lớn của tam gia cường không hoàn hảo và đã đạt được kết quả kha quan

Crisfield [73] đã chi ra rằng, phương pháp Arc-Length hoạt động rat tốt và đãđạt được thành công trong việc kết hợp với phân tích phần tử hữu hạn Tuy nhiên,phương pháp này chỉ đạt được thành công một phần khi áp dụng cho bài toán phituyến vật liệu của dầm và ban sàn có độ mềm biến dạng đáng kể Nhưng van détương tự lại được giải quyết khi áp dụng kỹ thuật điều khiến chuyển vị kết hợp vớiphương pháp Line-Searches Vì vậy, tác giã đã đề nghị nên kết hợp phương pháp

Line-Searches với phương pháp Arc-Length.

Forde và Stiemer [74] giới thiệu một phương pháp Arc-Length tổng quát dựatrên nguyên tắc đường lặp trực giao với đường tăng tải tiếp tuyến Phương pháp nàycho thay kết quả đạt được khá chính xác với Crisfield [72] nhưng không cân giải và

chọn nghiệm thích hợp cho phương trình bậc 2.

Phương pháp Arc-Length trong thập niên 90

Al-Rasby [75] cũng đưa ra một phương pháp Arc-Length hiệu chỉnh hầu như

tương tự với phương pháp cua Forde và Stiemer [74] nhưng có đưa thêm | ma trận

khuếch đại vào phương trình ràng buộc dé làm thay đối ma trận độ cứng.Fafard và Massicotte [76] đã hiệu chỉnh phương pháp nay dựa trên việc kếthợp những ưu điểm của Crisfield [72] và Ramm [70] Fafard va Massicotte sử dụngphương trình ràng buộc của Ramm [70] và kỹ thuật Hyper-plane để định giá trị củaAA Vì được kế thừa ưu điểm của hai phương pháp nên phương pháp này đạt đượcnhiều sự tiến bộ Tuy nhiên tại điểm sụp đồ của kết cấu, phương pháp này cũng gặpvan đề với sự hội tụ néu không giảm giá tri A7 Bên cạnh đó, hai tác gia này cũng

trình bày dạng hình học của phương pháp Arc-Length được giới thiệu bởi Crisfield

và Ramm, nhờ đó có thé hiểu phương pháp Arc-Length một cách trực quan hơn.Carrera [77] cũng dé xuất một cách chọn nghiệm mới cho phương trình rangbuộc bậc 2 Theo tác giả này, cách chọn nghiệm cũ có thé khong dat két qua tốt

trong một số trường hợp Vi vay, tác giả dé xuất nên chon nghiệm của phương trìnhbậc 2 gần nhất với nghiệm trong trường hợp tuyến tính.

Fan [78] nghiên cứu những phương pháp dé điều chỉnh độ lớn của mỗi bướctăng tải cũng như tính lặp Tác giả đã kiểm chứng với bai toán 2 phương tam hìnhtrụ với hiện tượng snap-back Tuy nhiên tác giả chưa có sự kiểm chứng cho bai toánba chiêu

Teng và Luo [79] cũng đưa ra một sự hiểu chỉnh những phương pháp hiện tạiđể áp dung cho những bài toán động mà hiệu ứng động chưa được kế đến trong

phương pháp Arc-Length trước đó.

Zhou và Murray [80] thì lại tập trung giải quyết van đề nghiệm phức xuất hiệnkhi giải phương trình bậc 2, vì điều này sẽ làm cho kết qua bài toán bị phân kỳ Dégiải quyết van dé này, tác giả đề xuất thêm 1 hệ số /j phản ánh sự phân phối củavécto lực dư tới chuyền vị

Lam va Morley [81] cũng dé xuất một cách tiếp cận khác để giải quyết van dénghiệm phức xuất hiện trong khi giải phương trình bậc 2 bang cách đưa vào thêm 1

phá hoại cục bộ, tạm gọi là phương pháp Arc-Length cục bộ.

Đối với van dé lựa chọn nghiệm khi sự phân kỳ xuất hiện, Kweon và Hong[84] đã bỏ qua tất cả những phương pháp đương thời va dé nghị tinh lại quá trìnhtăng tải với chiều dài cung tròn giảm đi một nửa Dé tránh số lần tính lặp quá lớn,tác giả cũng dé nghị định trước số lần lặp lớn nhất, nếu số lần tính lặp lớn hon số

Ở Việt Nam thì theo sự hiểu biết của bản thân thông qua sự khảo sát thông tintrên các tạp chí thuộc danh mục ISI, tác giả vẫn chưa tìm thấy bất kỳ nhóm nảođang tiễn hành nghiên cứu ứng dụng phân tích phi tuyến hình học cho kết cấutắm/vỏ sử dụng phương pháp Arc-Length mô phỏng đường cong phi tuyến dạngsnap-back, kết hợp phần tử hữu hạn trơn.

2.5.1 Về phân tích phi tuyến kết cauMột số đề tài luận văn cao học và luận án tiễn sĩ thuộc trường đại học BáchKhoa TP HCM đã nghiên cứu về phân tích phi tuyến kết cấu Một số đề tài tiêu biểu

như:

Nghiên cứu ảnh hưởng của phi tuyến hình học trong tính toán hệ thanh phăng

Tô Chiêu Cường 2001.

Phân tích vùng dẻo và phi tuyến hình học cho khung thép phắng bằng phươngpháp phần tử hữu hạn Ngô Hữu Cường 2003

Nghiên cứu sự làm việc của dầm cong có tiết diện rỗng chịu uốn có xét đếnphi tuyến hình học Nguyễn Sỹ Đại 2005

Khảo sát dầm phăng Timoshenko có xét ảnh hưởng của phi tuyến hình học.Nguyễn Văn Phát 2005

Phân tích ứng xử phi tuyến hình học thanh thành mỏng Ly Tan Toàn 2006Phân tích phi tuyến khung liên hợp thép - BTCT có xét đến ảnh hưởng củatương tác bán phân va liên kết nửa cứng Lê Lương Bảo Nghi 2008

Anh hưởng của vénh trong phan tích phi tuyến hình hoc dam không gian.Pham Canh Tién 2008

Phân tích gần đúng ứng xử phi tuyến sản bêtông cốt thép Luu Thanh Bình

A stabilized quadrilateral shell element with smoothed technique Nguyễn

Thanh Nhơn 2007 (Cao hoc Bi- Việt EMMC — XI).A Smoothed Finite Element Method In Plasticity Phan Phuong Quyén 2007.(Cao hoc Bi- Viet EMMC — XI).

A Smoothed Finite Element In 3D Solid Mechanics Nguyén Vinh Hiép 2007

(Cao hoc Bi- Viet EMMC — XI).Asmoothed finite elements for reissner-mindlin plates on elastic foundation.

Nguyễn Trọng Tín 2006 (Cao hoc Bỉ-Việt EMMC - X).2.5.2 Về ứng dụng phan tử hữu hạn trơn

Phân tích tĩnh và dao động tự do kết cau tam Composite nhiều lớp có chứa lớpáp điện bằng phương pháp phan tử hữu han tron dựa trên cạnh ES-FEM Phan Dao

Hoàng Hiệp 2010

CHUONG 3 CO SO LY THUYET3.1 Biến dạng và ứng suất

3.1.1 Biến dạng nhỏ ¢Trong phân tích tuyến tính hoặc phân tích phi tuyến theo phương pháp UpdateLagrangian, biến dạng được xem là nhỏ nên lúc này chỉ xét thành phan tuyến tínhtrong công thức biến dạng lớn Green Biến dạng này có thé được biểu diễn dưới

— - 7 (3.2)

Eo Ey, Ey an E19 13

—lẾy„y #y #ự |=] Gy €22 &23| ox Ey Cà | | E31 E35 E33 _|

Ou Ov Ow

&.=—, €=—, &=—

Ox ” Oy OzOu OV Ou Ow 3 OwVy =| ta) Ne =| ta) % =| —+a I> (3.3)

3y Ox Oz Ox Oz Oy

3.1.2 Biến dang phẳng va ứng suất phẳngTrạng thái ứng suất theo 2 phương có được từ trạng thái ứng suất theo 3phương băng cách cho các ứng suất Te = Ty 7 —7Ƒ„ =0

Với bài toán biến dạng phắng, biến dang theo phương z, 6, =0Kết cầu tắm vỏ được phân tích theo trạng thái ứng suất của bài toán ứng suấtphẳng, khi đó o, =0 Trong trường hợp này, mối quan hệ giữa ứng suất và biếndạng được biểu diễn thông qua định luật Hooke:

một giả thiệt gan đúng nào nên có thê mô tả chính xác được các chuyên vi và biêndạng lớn.

He} | Oh ae

OZ OXOv Ow

— + —

lôZ oY |Tuyen tinh

raNlZZ TT|8=S NEY

OuaX

Ouax

3.1.4 Quan hệ biến dạng — chuyền vị phi tuyến của Von Karman cho bài toán

tấmThành phan biến dạng màng trong công thức biến dạng biểu diễn mối quan hệbiến dạng — chuyển vị của Von Karman cho phân tích biến dạng lớn vừa phải, cóthé được xem như một thành phan trong công thức biến dang lớn Green Nếu xéttắm trong mặt phẳng x-y, các thành phần biến dạng trong mặt phẳng

(ôu/ôX } (ôy/ôX } được bỏ qua, khi đó công thức Green (3.5) trở thành:

3.1.5 Ứng suất Cauchy va ứng suất Piola-KirchhoffỨng suất Cauchy hay còn gọi là ứng thực, ứng với trạng thái hình học tại thời

điểm hiện tại được biểu diễn bởi tenxơ ứng suất quen thuộc:

x xy XZ

G=|T, O, T,, (3.7)XZ Vz 0.

Đây là trang thái ứng suất thực, tại thời diém hiện tại, thường kết hop với côngthức biến dạng nhỏ Do đó, trong tính toán phi tuyến, nó được sử dụng với phươngpháp Update Lagrangian Còn với phương pháp Total Lagrangian, ứng suất và biếndạng được tính toán so với trạng thái hình học tại vị trí ban đầu, do đó công thứcbiến dạng lớn Green kết hợp với tenxơ ứng suất Piola-Kirchhoff được sử dụng

Dạng biểu diễn ngắn gọn của ứng suất Piola-Kirchhoff theo ứng suất Cauchy đã biếtđược thể hiện ở dạng sau:

Tenxo ứng suất Piola-kirchhoff thứ nhất được biêu diễn bởi tenxơ ứng suất

Cauchy thông qua ma trận F:

G =đe(FơF”” (3.8)Trong đó, ma trận F là ma trận biến déi tọa độ giữa hệ tọa độ mới (x,y,z) và hệtọa độ ban đầu (Xo, Yos Zo)

S =F 'o" =detFF oF” (3.10)

Các thành phần của ma trận đối xứng nay được biểu diễn dạng tường minh

Hoặc chúng ta có thé thấy rõ mối liên hệ giữa ứng suất Cauchy o, biến dạngnhỏ ¢ và ứng suất Piola-kirchhoff , biến dạng lớn Green thông qua khái niệm công

tương đương sau:

dẫn đến sự khác nhau trong kết quả của cách tiếp cận Total Lagrangian và UpdateLagrangian trong tính toán phi tuyến hình học kết cấu.

3.2 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cho tính toán tắm/vỏĐối với các tam mỏng, lý thuyết tam cô điển dựa trên những giả thiết củaKirchhoff mà bién dang cắt được bỏ qua, vẫn cho kết quả khá chính xác Theo đó,các thành phần chuyển vị được tính theo chuyền vị tại mặt trung hòa Z¿„ Vạ ; Wa :

u(x,y,Z) = tạ (X, V)— ZM ,v(x, ¥,z) = Vụ (x.y)— Z„ (3.15)w(x, ¥,Z) = W(x, })

Với các tam day, ảnh hưởng của biến dạng cắt cần được kể đến Khi đó, ta cầnáp dụng lý thuyết bién dạng cắt bậc nhất, hay còn được biết đến như là lý thuyết củaMindlin-Reissner Điểm khác biệt lớn nhất trong giả thiết tính toán của lý thuyếtnày là các đoạn thăng pháp tuyến sau biến dạng tuy vẫn còn thắng nhưng không còn

vuông góc với mặt trung hòa nữa, mà xoay quanh trục x, y | góc tương ứng đ,, 0.

Khi đó các thành phần chuyển vi trong công thức (3.15) trở thành:

1í (x, y, z) = Uy (x, y) — 20

v(x, y,Z}) = Vụ (x.y)— zØ, (3.16)w(x, y,Z) =W, (x,y)

Và các thành phan biến dạng trong mặt phang s = le, 8, Vey ] dugc tinh tirthành phan biến dạng mang ¢,, và thành phan biến dang uốn e,

S—=t„+Z8, (3.17)

Ey Uo

f= 18 p=) Voy † (3.18)

L ») Moy + Yox J

e, Nsg=)8 =) A, > (3.19)

7z) Fay + Fy |

Vector bién dang cắt y = | Ver Vee il được tinh theo công thức

y= | (3.20)

Ớ, —MyLý thuyết tam dày với độ chính xác cao khi tính toán cho tam day và đơn giảntrong việc áp dụng vì chỉ có đạo hàm bậc thấp của chuyển vị theo tọa độ Tuy nhiênkhi áp dụng cho tam mỏng thì bị hiện tượng “Locking”

Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất với các quan điểm cơ bản được nêu ở bêntrên sẽ được chọn để áp dụng trong luận văn này khi tính toán phi tuyến hình họccho tam dày Chỉ tiết về lý thuyết này sẽ được trình bay cụ thé ở phan 3.5

3.3 Công thức phan tử hữu han cho tam/véĐầu tiên, các công thức của phan tử tam chịu lực màng trong mặt phang vaphan tử tắm chịu uốn sẽ lần lượt được giới thiệu riêng Công thức của phan tử vỏ sẽđược xây dựng từ sự kết hợp hai loại phần tử tắm này

3.3.1 Phan tử tam chịu lực mangTam chịu lực màng trong mặt phẳng tấm được mô phỏng bởi phan tử đẳngtham số bốn nút, mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 chuyển vị u, v theo 2 phương x, y

tương ứng, như Hình 3.1.

Z V,V

Hình 3.1 phan tử đẳng tham số 4 nut

Chuyển VỊ u, v theo 2 phương x, y được nỘi suy từ chuyển vị của bốn nút H,,

v, bởi các hàm nội suy N,

¬ (3.21)

Hàm dạng N, được xây dựng theo tọa độ tự nhiên của phần tử

N, =x(I+Z#)(I+) (3.22)Và các thành phan biến dạng trong mặt phẳng có được từ dao hàm của chuyển

trận tính biến dạng Ví dụ với nút thứ ¿ :

Ni, 0B„=| 0 N,, (3.24)

N.y Nix

Nếu xét vật liệu đàn hồi, dang hướng, tuyến tính thì ứng suất sẽ được tinh

lơ, | F lv 0„=4, [TT v2 v 1l O |lg„=D,E„ (3.25)

„đ, xoay quanh trục y và trục x tương ứng.

Mặt phang trung hoa

1¬ 0

V„Vx,H

Hình 3.2 Phan tử tắm chịu uốn dạng tie giác 4 nút

Các thành phần chuyền vị cũng được nội suy từ thành phan chuyên vị tươngứng của bốn nút bởi các hàm nội suy N ;

T 4u=|w 0 0| =>Na, (3.30)

i=l

N, là ham nội suy song tuyến tinh, được thiết lập theo toa độ tự nhiên phan tử

N, (.n)=-(1+##)(I+): i=1, 2, 3, 4 (3.31)

Và q,= |, 0 0,, | là vector chuyển vị nút của phan tử.

Biến dạng trong mặt phang phan tử được xấp xi từ chuyền vị nút phan tử theo

ON, 0

trong đó, với nút thứi: B,=|0 0 N,, (3.34)

ON, Ni.N N, O

-dạng trượt khi uốn cũng được biéu diễn qua biểu thức

_J?z| E 1 0 337

1z j 2(+v)|0 TÌ G37)

Thé năng toàn phân của phân tử tâm chịu uôn II, bởi lực phan bô đều trêndiện tích p, được tính theo công thức

H=L1{ [”ø'sado+*: [ ø'ded@2- [pud@2 — (34385h l„9:8: “ ~ |, J yo Ost “ Jew (3.38)

Với hệ số điều chỉnh k, = 5/6 cho vật liệu dang hướng.Thế các phương trình từ (3.32) đến (3.37) của biến dang do uốn va do cắt vàophương trình (3.38), thé năng toàn phan của phan tử được viết lại như sau

| T k T

I, =— | e D,e,dQ+— | y 'Dya@- | pwdQ (3.39)2 Q 2 Q Q

Với D, va D, là ma trận độ cứng cua vat liệu tương ứng khi chịu uốn và chịu

cát

ER l v 0D,=————rly 0 (3.40)

12(I+v ) _

00 —

L 2 |1 0

Từ đó, độ cứng cua phần tử tim được thiết lập với 2 thành phan tương ứng vớibiến dang uốn và biến dạng cắt

K, = [B,D,B,dQ+k, [B.D,B2Ø=K,+K, (3.42)QQ Q

XY XY S⁄“

Và vector lực nút được tong hợp theo ham dạng

f= ỊN pdQ (3.43)Q

3.3.3 Phan tir v6 phẳngPhan tử vỏ chịu lực tong quát được xây dựng bang cách kết hop hai loại phantử tam chịu lực mang và tam chịu uốn kế đến biến dạng cắt đã nêu trong hai phầntrên Nhu vậy, vỏ chịu lực tổng quát được mô phỏng bang phan tử đăng tham số tứgiác 4 nút, mỗi nút có 5 bậc tự do 3 bậc tự do u, v, w là 3 chuyển vị theo 3 phươngsong song với 3 trục x, y, z tương ứng Va 2 bậc tự do @, và đ, là 2 chuyền vịxoay quanh 2 trục y và x tương ứng Ma trận độ cứng phần tử được ghép nối như

vào vector và ma trận tong thê của toàn bộ kết cau, thì bậc tự do - chuyên vi xoay

quanh trục z — này cần được ké đến Lúc này, ta có 6 bac tự do tai 1 nút, ví dụ với

trong do, đ la chuyén VỊ xoay quanh trục z cục bộ cua phân tử Các bậc tự do kháccủa phân tử vỏ được thé hiện trong Hình 3.3 dưới đây

= Phan tur tam + Phan tử tam

Hình 3.3 Phan tử vỏ phẳng tứ giác 4 nit

Khi tất cả các nút của phần tử vỏ phăng đều năm trên mặt phăng trung hòa(Mặt phăng làm việc) của vỏ, ma trận độ cứng của vỏ được xây dựng bình thườngnhư trên Nhưng đối với các vỏ có độ cong theo 2 phương, hay bị vênh như Hình3.4, thì các vector và ma trận cua phan tử can được hiệu chỉnh trước khi chép nỗivào vector va ma trận tong thé của kết cấu Một trong những cách giải quyết van dénay là dùng khái niệm “Rigid link correction” được đề xuất bởi Taylor [86]

Hình 3.4 Phần tử vỏ bị vênh so với mặt phẳng làm việc của vỏ

Theo phương pháp này, mặt phăng làm việc được thiết lập bởi trung điểm của4 cạnh, và khoảng cách từ mặt phăng này đến các điểm được xem là bằng nhau

(z,|= ») Sau đó chuyển vị tại nút bị vênh được hiệu chỉnh để chuyển về chuyển vi

tại mặt phăng làm việc

zÌ [1 0000 Olfu» | |0 1000 Olfy,„| |0 0 100 Ol]

112 [l0 z 010 0lla,f “® GAO)

„| |-z, 0 001 00,2] |0 0000 11/8,Với W, la ma trận hiệu chỉnh độ vénh va z, là khoảng cach từ nút bi vénh thứ

¡ đến mặt phăng làm việc như thể hiện trên Hình 3.4.Ma trận độ cứng địa phương của mỗi phan tử bị vênh cũng được hiệu chỉnh déđưa về phân tử phăng

K cai — WK,W (3.47)

Kưư”Cuối cùng, vector lực tại nút Ký“, và ma trận độ cứng của phan tu trong hé

toa độ dia phương kere duoc chuyén sang hệ tọa độ tong thé bang ma tran Rtrước khi ghép nối vào ma trận tong thé

K q»„ — R.K,„„R (3.49)

lí, to t; 0 0 0|T 0 0 0 ty, ty ty

Với ¢, là cosine chỉ phương của trục địa phương x, trong hệ trục tông thê X,.

Trong trường hợp vỏ thực sự phăng như một tắm, độ cứng tong thé của vỏ sébị suy biến vì thành phan liên quan đến bậc tự do xoay quanh trục z trong ma trận bisuy biến Một phương pháp đơn giản để tránh điều này được để xuất bởiZienkiewicz và Taylor, là thêm một độ cứng ảo vào thành phần độ cứng liên quanđến bậc tự do thứ sáu nay [87] Diéu nay duoc thuc hién bang cách thay giá tri 0trong ma trận độ cứng liên quan đến bậc tự do thứ sáu băng 1 giá trị mới Giá trị nàyđược lay bằng 1/1000 giá trị lớn nhất trong các giá trị của đường chéo ma trận độcứng Khi đó, ma trận độ cứng phan tử tại mỗi nút được thiết lập lại như sau

[Ken Ì„ l0] 0

K,=| [0], [K,| 0 (3.51)

0 0 10”max(K,,)3.4 Cách tiếp cận Total Lagrangian va Update Lagrangian

Trong phân tích phi tuyến hình hoc, có hai cách tiếp cận chính dé xem xét subiến thiên của biến dạng, ứng suất cũng như chuyến vị Trong cách tiếp cận thứ

nhất, các đại lượng trên được tính toán so với trạng thái hình học ban dau, gọi la

Total Lagrangian (T.L) Còn với cach tiép can thu hai, trang thai hinh hoc lién tucđược cập nhật sau mỗi cấp tải, và biến dang cũng như ứng suất sẽ duoc tinh so vớitrạng thái hình học tại cuối bước lặp trước đó Cách tiếp cận này được gọi là Update

Lagrangian (U.L).

3.4.1 Cách tiếp cận Total Lagrangian (T.L)Theo T.L, trạng thái hình hoc ban đầu của kết cau được giữ nguyên, không cậpnhật mới sau mỗi cấp tải Do đó, biến dạng và chuyển vị tại thời điểm hiện tại sovới trạng thái ban đầu được xem là lớn, nên biến dang lớn Green (3.5) và ứng suấtPiola-kirchhoff thứ hai (3.11) được sử dụng trong cách tiếp cận này

Total Lagrangian phù hợp cho bai toán có chuyển vị xoay lớn và biến dạngnhỏ, nhưng cũng có thể được áp dụng cho những vật liệu biến dạng đàn hồi lớn nhưcao su [17] Có thể có được một cái nhìn sơ bộ về T.L thông qua quy trình tính toánphi tuyến hình học tổng quát sau [17]