TÓM TẮT Luận văn này trình bày một phương pháp phân tích phi tuyến hình học khung thép phẳng nửa cứng chịu tác dụng của tải tĩnh và động.. Trong đó phương pháp dầm–cột dùng phần tử đồng
TỔNG QUAN
Giới thiệu
Phân tích kết cấu là quá trình phân tích ứng xử của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng để từ đó tìm được chuyển vị và nội lực của hệ kết cấu
Có hai phương pháp chủ yếu để phân tích phi tuyến khung thép dùng phần tử thanh là phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp dầm–cột Phương pháp phần tử hữu hạn để chính xác cần chia nhỏ một cấu kiện thành nhiều phần tử con, mức độ chính xác của bài toán phụ thuộc vào số lượng phần tử con được chia, do đó khối lượng và thời gian tính toán lớn Phương pháp dầm–cột dựa vào lời giải chính xác của phương trình vi phân cân bằng phần tử Đây là phương pháp đơn giản hóa nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết để áp dụng trong tính toán thiết kế kết cấu thép trong thực tế
Khi phân tích phi tuyến kết cấu có các dạng phân tích thường gặp là: phi tuyến hình học, phi tuyến vật liệu và phi tuyến liên kết Trong luận văn này tác giả tập trung vào phân tích phi tuyến hình học và liên kết của khung thép chịu tải trọng động
Phân tích phi tuyến hình học là phân tích có kể đến ảnh hưởng do sự biến đổi hình học và ứng suất khởi tạo trong cấu kiện Khi phân tích phi tuyến hình học thì có nhiều phương pháp khác nhau, trong đó có hai phương pháp cơ bản là: phương pháp dầm–cột thiết lập hàm ổn định để xét đến phi tuyến hình học và phương pháp phần tử hữu hạn Trong đó phương pháp dầm–cột dùng phần tử đồng xoay được dùng trong đề tài này, phi tuyến hình học của cấu kiện (P – δ) và của khung (P – Δ) được đưa vào tính toán bằng cách sử dụng các hàm ổn định được sử dụng để thiết lập công thức ma trận độ cứng
Phân tích phi tuyến hình học phải dùng thuật toán lặp do phải cập nhật sự thay đổi hình học của kết cấu sau mỗi bước tải khi thành lập hệ phương trình cân bằng và quan hệ động học Nghĩa là, sự thay đổi của các ẩn số chuyển vị của bước
2 lặp trước là cơ sở cho việc thiết lập hệ phương trình cân bằng và quan hệ động học cho bước lặp hiện tại
Khi phân tích và thiết kế kết cấu thép, để đơn giản hóa ta thường quan niệm các liên kết dầm–cột là tuyệt đối cứng hoặc là khớp lý tưởng Tuy nhiên thực tế các liên kết dầm–cột có độ đàn hồi (còn được gọi là liên kết nửa cứng) Trong tính toán khi bỏ qua ảnh hưởng này sẽ dẫn đến sự sai lệch đáng kể trong tính toán Dưới ảnh hưởng của liên kết nửa cứng không chỉ sẽ làm thay đổi sự phân phối mômen trong cấu kiện mà còn làm tăng độ lệch dẫn đến ảnh hưởng của phi tuyến hình học lên cấu kiện cũng tăng lên
Xuất phát từ sự cần thiết phải xét đến liên kết nửa cứng, các nhà khoa học bằng các thí nghiệm thực tiễn trên các dạng cấu tạo liên kết khác nhau để tìm ra quan hệ mômen–góc xoay, quan hệ này sẽ được xấp xỉ bằng các biểu thức toán học khác nhau nhằm mục đích dễ dàng kể đến ảnh hưởng của phi tuyến liên kết trong phân tích và thiết kế thực tế Trong thực tế, biến dạng dọc trục và biến dạng cắt tại vị trí liên kết khác bé so với biến dạng xoay, do đó liên kết thường được mô phỏng bằng một lò xo xoay có chiều dài bằng 0 Bằng kết quả thực nghiệm, nhiều hàm toán học được đưa ra, cách hàm toán học này được trình bày rõ hơn trong phần cơ sở lý thuyết
Tải động là tải có giá trị, phương, chiều thay đổi theo thời gian Bài toán động được xét đến khi hệ kết cấu có dao động Phương trình cân bằng lúc này xuất hiện lực quán tính và lực cản (nếu có) Khác với bài toán tĩnh chỉ xét đến ma trận độ cứng, vectơ lực với ẩn số là chuyển vị Với bài toán kết cấu chịu lực động, trong phương trình cân bằng còn phụ thuộc ma trận khối lượng và ma trận cản, ngoài ẩn số chuyển vị còn có thêm ẩn số vận tốc và gia tốc
Với bài toán kết cấu chịu tải động với phi tuyến liên kết thì việc phân tích còn phức tạp hơn rất nhiều Sự tăng dỡ tải được xác định theo các vòng trễ mômen– góc xoay Với mỗi bước thời gian khác nhau trên vòng lặp trễ thì với cùng một giá trị mômen có thể có các giá trị góc xoay khác nhau Ứng xử vòng trễ mômen–góc
3 xoay của liên kết nửa cứng có khả năng hấp thụ năng lượng Vì thế dưới tác dụng của tải trọng động, hệ kết cấu có khả năng tiêu tán năng lượng
Do đó khối lượng tính toán của bài toán động lớn hơn nhiều so với bài toán tĩnh Việc xây dựng thuật toán ứng xử vòng trễ mômen–góc xoay của kết cấu chịu tải động với liên kết nửa cứng cũng rất phức tạp, cần nhiều thời gian trong quá trình phân tích.
Tình hình nghiên cứu
Nguyen Dinh Kien (2012)[12] đã trình bày ma trận độ cứng cho phần tử dầm–cột Timoshenko trong phân tích chuyển vị lớn của khung thép phẳng đàn hồi chịu tải tĩnh Trong đó, ma trận độ cứng được xây dựng bằng phương pháp năng lượng, các chuyển vị được xác định dựa trên hàm dạng đa thức bậc 3 và thuật toán chiều dài cung được sử dụng trong bài toán lặp gia tăng
Ai–Bermani cùng cộng sự (1994)[1] đã trình bày một mô hình mô phỏng ứng xử vòng trễ M–θ r của các nút mềm theo điều kiện tải lặp và tải động Mô hình này dùng 4 thông số để mô tả Các thông số này được đánh giá bằng việc sử dụng các dữ liệu thực nghiệm với các loại liên kết khác nhau Mô hình dùng phần tử hai nút có chiều dài bằng 0 để mô hình ứng xử khung có các nút mềm Mô hình chỉ ra rằng việc mô phỏng với các nút mềm làm thay đổi ứng xử động của kết cấu Tùy thuộc vào tần số lực kích thích, sự hiện diện của các nút mềm có thể làm giảm hoặc phóng đại những đáp ứng của kết cấu
Sekulovic cùng cộng sự (2002)[6] đề cập đến những tác động của độ mềm và giảm chấn trong các liên kết nút đến ứng xử động của khung thép phẳng Một liên kết mềm lệch tâm được lý tưởng hóa bằng các lò xo xoay phi tuyến và bộ giảm chấn song song Vì vậy ảnh hưởng của giảm chấn nhớt và giảm chấn vòng trễ trên đáp ứng động học của kết cấu khung được xem xét Phát triển một mô hình số bao gồm ứng xử phi tuyến liên kết và phi tuyến hình học của kết cấu Một ma trận độ cứng động học cho dầm với liên kết mềm và giảm chấn nhớt tuyến tính được đưa ra
4 Silva và cộng sự (2013)[7] đã phát triển một công cụ máy tính mới để phân tích nâng cao khung thép chịu tải trọng tĩnh và động dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn, xem xét ảnh hưởng phi tuyến do tính chất hình học, chuyển vị ban đầu và tính chất vật liệu Một vài ví dụ phân tích ổn định khung thép tĩnh và động với liên kết cứng và nửa cứng được đưa ra và so sánh với kết quả của các tác giả khác để kiểm chứng
Rezaiee–Pajand và cộng sự (2011)[5] phát triển một ma trận độ cứng cho phần tử dầm–cột hai chiều với các liên kết mềm ở hai đầu sử dụng hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc 5 Xem xét ảnh hưởng của tải phân bố đều đến chuyển vị Lực dọc trục kéo và nén được đưa vào tính toán Sử dụng ma trận độ cứng đề xuất đểu phân tích bậc nhất, bậc hai, phá hoại và động học cho khung nửa cứng Sử dụng phương pháp khớp dẻo đẩ phân tích phi đàn hồi
Awkar và Lui (1999)[2] dùng một mô hình máy tính để nghiên cứu đáp ứng của khung nhiều tầng liên kết mềm chịu động đất Mô hình phân tích kết hợp cả liên kết mềm, phi tuyến hình học và phi tuyến liên kết Liên kết được mô hình bằng các lò xo xoay với mối quan hệ vòng trễ mômen–góc xoay song tuyến tính Phi tuyến hình học xem xét ảnh hưởng của hình dạng cấu kiện và ảnh hưởng P–delta của khung dùng hàm ổn định trong công thức độ cứng Phi tuyến vật liệu được tính toán dùng khái niện mô đun tiếp tuyến
Kim S.E., Cuong N.H., Lee D.H (2006)[10] trình bày một mô hình số tin cậy để phân tích phi tuyến lịch sử thời gian của khung thép 3 chiều chịu tải trọng động Phi tuyến hình học của cấu kiện (P – δ) và của khung (P – Δ) được đưa vào tính toán bằng cách sử dụng các hàm ổn định trong công thức ma trận độ cứng của khung Sự chảy dẻo dần dần dọc theo chiều dài phần tử và trên các mặt cắt ngang được tính đến bằng cách sử dụng khái niệm môđun tiếp tuyến và mô hình khớp dẻo mềm dựa trên hiệu chỉnh mặt dẻo Orbison Sử dụng phương pháp gia tốc trung bình trong phân tích động học Kết quả được so sánh với kết quả mô phỏng bằng phần mềm ABAQUS
Thai H.T và Kim S.E.(2011)[11] trình bày một phần mềm phân tích nâng cao để phân tích phi tuyến khung thép không gian phi đàn hồi chịu tải động xem xét
5 ảnh hưởng của phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu Phi tuyến hình học được xem xét bằng việc sử dụng các hàm ổn định được chỉ ra từ lời giải chính xác của phần tử dầm–cột chịu lực dọc trục và mô men uốn Sử dụng phương pháp Newmark kết hợp phương pháp Newton–Raphson trong phân tích động học Kết quả được so sánh với kết quả mô phỏng bằng phần mềm ABAQUS
Chan S.L (1996)[18] đề xuất một phương pháp đơn giản và hiệu quả để phân tích sự phi tuyến của kết cấu sau giai đoạn mất ổn định dưới sự gia tăng tải tĩnh và động, sử dụng phương pháp Newton–Raphson và phương pháp Newmark
Chui P.P.T., Chan S.L (1996)[19] đề xuất một phương pháp hữu dụng dùng để phân tích phi tuyến hình học cho khung phẳng chịu mômen có xét đến phi tuyến liên kết Sử dụng phương pháp số Newmark để giải phương trình động lực học và phân tích phản ứng tuần hoàn của nút khung Cho thấy liên kết nửa cứng đóng vai trò hấp thụ năng lượng, giảm chấn quan trọng dưới tác dụng tải trọng động
Cuong N.H và cộng sự (2008)[16] đề xuất phương pháp khớp dẻo thớ dùng hàm ổn định để triển khai ma trận độ cứng kết cấu để phân tích phi tuyến hình học và vật liệu cho khung không gian không đàn hồi
Teh, Clarke (1999)[36] dùng công thức đồng xoay từ lý thuyết cơ vật rắn để thiết lập phần tử dầm cho phân tích khung không gian bằng phương pháp vùng dẻo
Balling, Lyon (2011)[8] đã phát triển phương pháp đồng xoay, kết hợp phương pháp phần tử đồng xoay với lý thuyết khớp dẻo cứng áp dụng để phân tích phi tuyến hình học và vật liệu cho khung thép Phương pháp phần tử đồng xoay có ưu điểm là chỉ cần mô phỏng một phần tử cho một cấu kiện mà vẫn đạt độ chính xác cao
Lui E.M., Chen W.F (1986)[29] trình bày một phương pháp phân tích ứng xử của khung thép phẳng dùng phương pháp khớp dẻo Ứng xử phi tuyến của liên kết được mô phỏng bằng hàm mũ và có kể đến sự gia tải và dỡ tải của liên kết nửa cứng Kỹ thuật lặp gia tăng điều khiển tải trọng Newton–Raphson được áp dụng để giải bài toán
Lui E.M., Chen W.F (1987)[30] trình bày một phương pháp phân tích khung thép có liên kết mềm, xem liên kết cột nối cột là cứng, và phương trình độ dốc độ
6 võng cho dầm được hiệu chỉnh để kể đến các lò xo xoay thể hiện cho liên kết nửa cứng
Kishi và Chen (1986, 1987)[32][26] đã đề xuất một mô hình hàm mũ ba thông số để mô tả đặc trưng mômen–góc xoay của các loại liên kết nửa cứng khác nhau
Mục tiêu đề tài
Luận văn sẽ được thực hiện các mục tiêu sau:
- Thiết lập ma trận độ cứng phần tử dầm–cột của khung thép phẳng bằng phần tử đồng xoay có khả năng mô phỏng ứng xử phi tuyến hình học và phi tuyến liên kết (liên kết nửa cứng)
- Thiết lập hệ phương trình động lực học phi tuyến của kết cấu, sử dụng ma trận cản Rayleigh
9 - Phát triển giải thuật lặp Newton–Rapshon kết hợp thuật toán giải hệ phương trình động học Newmark–β, sử dụng ngôn ngữ lập trình MATLAB để xây dựng chương trình tự động tính toán, giải hệ phương trình cân bằng phi tuyến động và tự động phân tích kết quả
- So sánh kết quả đạt được với các kết quả của nghiên cứu trước hoặc một số phần mềm thương mại để đánh giá chính xác độ tin cậy của chương trình và kiểm chứng lại các giả thuyết ban đầu mà đề tài đặt ra
- Rút ra kết luận từ kết quả đạt được đề ra các hướng phát triển tiếp theo cho đề tài.
Cấu trúc luận văn
Chương 1: Giới thiệu chung Nội dung chương này nêu lý do chọn đề tài, mục đích của đề tài, ý nghĩa của đề tài, phương pháp nghiên cứu, tổng quan tình hình nghiên cứu về vấn đề này và giới thiệu chung về các nội dung các chương
Chương 2: Cơ sở lý thuyết Trình bày các công thức của phương pháp dầm cột sử dụng phần tử đồng xoay để tìm ma trận độ cứng tiếp tuyến của khung thép phẳng
Trình bày phương pháp hiệu chỉnh lại ma trận độ cứng xét đến phi tuyến liên kết
Thuật toán Newmark–β kết hợp với thuật toán Newton–Rapshon để giải lặp phi tuyến phương trình vi phân gia tăng động học của khung thép phẳng dưới tác dụng của tải động và động đất
Chương 3: Lưu đồ thuật toán và chương trình ứng dụng Một chương trình phân tích dùng ngôn ngữ lập trình MATLAB dựa vào lưu đồ thuật toán được đưa ra để phân tích phi tuyến khung thép phẳng nửa cứng chịu tải trọng động
Chương 4: Ví dụ áp dụng
10 Sử dụng ngôn ngữ lập trình MATLABS để xây dựng chương trình phân tích
Sau khi xây dựng được chương trình tính toán, tiến hành tạo các file đầu vào cho các ví dụ tính toán Sau đó tiến hành phân tích và so sánh kết quả tính toán của chương trình với các phần mềm thương mại như ANSYS, ABAQUS và các nghiên cứu trước
Chương 5: Kết luận và kiến nghị Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai
Tài liệu tham khảo Trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài
Phụ lục Các kết quả phân tích
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Quan hệ nội lực phần tử với các chuyển vị nút
Xét phần tử dầm–cột điển hình chịu lực dọc trục và momen uốn hai đầu như Hình 2–1
Hình 2–1 Phần tử dầm–cột điển hình
Các đường cong thể hiện dạng biến dạng của phần tử Phương trình vi phân bậc 4 của dầm được viết như sau:
Từ đó ta có được phương trình vi phân bậc 4 của phần tử dầm–cột:
(2.2) Áp dụng các điều kiện biên, theo Chen và Lui [28], ta được quan hệ giữa mômen và góc xoay:
Với s 1 , s 2 là các hàm ổn định (stability functions) Lời giải giải tích của hàm ổn định được trình bày như sau:
Theo Balling [9], phương trình (2.3) có thể viết lại:
Với c c được xác định như sau: 1 , 2 Khi F ≤ 0
Quan hệ lực dọc F theo hàm chuyển vị:
(2.13) Theo Oran [14], lực dọc F được trình bày như sau:
Trong đó, b 1 , b 2 là các hàm hiệu ứng cung (bowing functions) được xác định theo các hàm ổn định s 1 , s 2 và q = λ 2 như sau:
(2.18) Đơn giản hơn, Balling [8] đề xuất công thức của lực dọc F như sau:
Trong luận văn này, tác giả sử dụng công thức tính lực dọc F được đề xuất bởi Balling trong việc thành lập ma trận độ cứng.
Quan hệ mômen– góc xoay khi xét đến liên kết nửa cứng
Xét phần tử dầm–cột với liên kết nửa cứng như Hình 2–2
Hình 2–2 Phần tử dầm–cột với liên kết nửa cứng
14 Liên kết dầm và cột được mô hình bằng các lò xo xoay Ảnh hưởng của liên kết nửa cứng được xét đến thông qua góc xoay liên kết:
Trong đó: R , k 1 R là các độ cứng đàn hồi của các liên kết hai đầu phần tử k 2 Theo Chen và Lui [27], quan hệ mô men–góc xoay được hiệu chỉnh lại như sau:
Ma trận độ cứng phần tử dầm–cột đồng xoay
Xét phần tử dầm–cột đồng xoay trước và sau khi biến dạng như Hình 2–3
Hình 2–3 Vị trí ban đầu và vị trí biến dạng của phần tử
Vectơ chuyển vị phần tử trong hệ tọa độ tổng thể:
Vec tơ chuyển vị phần tử trong hệ tọa độ địa phương:
Chiều dài ban đầu của phần tử:
Chiều dài của phần tử khi biến dạng do sự dịch chuyển của các nút:
Trạng thái phần tử khi biến dạng:
Vectơ nội lực phần tử theo tọa độ địa phương có thể được viết dưới dạng như sau:
Vecto nội lực nút phần tử theo tọa độ tổng thể:
Lấy đạo hàm các biểu thức δ, θ 1 , θ 2 theo các chuyển vị u trong hệ tọa độ tổng thể ta được:
Ta có ma trận chuyển đổi B, B T , x1 và x2 cho khung phẳng:
3 cos sin 0 cos sin 0 sin cos sin cos
B (2.42) sin sin cos cos cos sin
0 1 0 sin sin cos cos cos sin
Theo Crisfield [3], ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử trong hệ tọa độ tổng thể k sẽ được xác định bởi mối quan hệ sau đây: T
Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử theo hệ tọa độ địa phương ˆk được xác T định như sau: ˆ ˆ
Thay vào phương trình (2.46) ta thành lập được ma trận độ cứng trong hệ tọa độ tổng thể Ma trận độ cứng dầm–cột đề xuất ở trên có xét đến ảnh hưởng bậc hai, sự thay đổi chiều dài và các góc xoay trước và sau khi biến dạng của phần tử.
Ứng xử của liên kết nửa cứng
Liên kết nửa cứng trong kết cấu thép đã được nghiên cứu từ những năm 1930, Các tác giả thông qua các thí nghiệm để phân tích ứng xử của liên kết khung thép từ đó đưa ra được những hàm toán học dùng để mô phỏng liên kết của hệ kết cấu Trong những năm gần đây có rất nhiều nghiên cứu được thực hiện, đưa ra được những công thức gần chính xác nhất với những ứng xử của liên kết khung thép
19 Những nghiên cứu đã cho thấy được những ảnh hưởng rất lớn của liên kết nửa cứng đến đáp ứng của kết cấu và ổn định của toàn bộ công trình
Trong phân tích và thiết kế khung thép truyền thống, ứng xử của liên kết được lý tưởng hóa như là cứng tuyệt đối hay là khớp lý tưởng Tuy nhiên, có hàng loạt khảo sát thực nghiệm chỉ ra rằng ứng xử thực của liên kết là phi tuyến do sự chảy dẻo từ từ của các thành phần liên kết như các tấm, các thép góc, các bản giằng, bulông … và gọi chung các loại liên kết như vậy là liên kết nửa cứng Trong hầu hết các trường hợp, biến dạng do lực dọc và lực cắt thường nhỏ hơn nhiều so với biến dạng uốn Do đó, để đơn giản hóa, chỉ có biến dạng xoay của liên kết do mômen uốn được xem xét Ứng xử liên kết có thể được đơn giản hóa như quan hệ M r Và được biểu diễn bằng một hàm toán học ở dạng tổng quát như sau:
M f hay: r g M( ) Trong đó: f g , – hàm toán học;
M – mômen và góc xoay trong liên kết
Có ba loại mô hình liên kết được sử dụng:
– Mô hình giải tích dựa trên những đặc trưng vật lý của liên kết
– Mô hình toán học biểu diễn bởi một hàm toán học có các tham số được xác định bằng cách xấp xỉ hóa các dữ liệu thực nghiệm
– Mô hình hỗn hợp là sự kết hợp giữa hai mô hình trên
Thông thường các nhà nghiên cứu sử dụng mô hình toán học và mô hình hỗn hợp để đại diện cho đường cong quan hệ M r của liên kết Có một số lượng lớn các mô hình toán học để xấp xỉ đường phi tuyến này như mô hình tuyến tính, mô hình hai, ba, bốn đường thẳng, mô hình đa thức, mô hình ba tham số, mô hình bốn tham số, mô hình hàm mũ Các mô hình ba tham số, bốn tham số, mô hình hàm mũ chính xác hơn cho liên kết nửa cứng nhưng tính toán phức tạp và được tác giả sử dụng trong các phân tích
Với bài toán phân tích kết cấu chịu tải trọng động, vòng trễ mômen– góc xoay sẽ được xem xét để tính đến ảnh hưởng của liên kết phi tuyến
20 Các loại liên kết được phân biệt qua Hình 2–4 Trong đó các loại liên kết nửa cứng với các đường quan hệ M r được thể hiện trên hình Hình 2–5
R ki = 10 4.5 kip.in/rad R ki = 10 6 kip.in/rad
Hình 2–4 Phân biệt loại liên kết dầm–cột: cứng, nửa cứng, mềm
Tấm đầu mút có gia cường Tấm đầu mút không gia cường
Thép góc cánh trên và dưới với hai thép góc ở bụng dầm (TSAW) T - stub
Thép góc cánh trên và dưới (TSA)
Tấm đầu dầm Thép góc hai bên bụng dầm Thép góc một bên bụng dầm Khớp
Hình 2–5 Đường quan hệ M r của các loại liên kết dầm–cột
Từ biểu đồ quan hệ trên, ta rút ra một số nhận xét sau:
21 – Tất cả các liên kết đều thể hiện ứng xử M r nằm ở giữa hai trường hợp khớp lý tưởng và ngàm tuyệt đối
– Với cùng một giá trị mômen, liên kết nào mềm hơn sẽ cho góc xoay lớn hơn Ngược lại, với cùng giá trị góc xoay, liên kết nào mềm hơn sẽ truyền mômen ít hơn lên các phần tử tại vị trí liên kết
– Liên kết càng mềm thì mômen lớn nhất mà liên kết truyền được càng nhỏ
– Quan hệ M r với liên kết nửa cứng là một đường cong phi tuyến trên miền chịu tải
Một số mô hình của liên kết dầm cột thể hiện quan hệ mô men góc xoay của liên kết thường được sử dụng:
Mô hình tuyến tính: Arbabi (1982), Kawashima và Fujimoto (1984)
Mô hình song tuyến : Sivakumaran (1988), Youssef – Agha (1988)
Mô hình tam tuyến: Stelmack (1986), Gerstle (1988), mô hình đa thức Frye và Morris (1975)
Mô hình đa tuyến B: Cox (1972), Jones (1981)
Mô hình đường thẳng biên: Al – Bermani (1994), Zhu (1995)
Mô hình lũy thừa: Batho và Lash (1936), Krishnamuthy (1979), Colson và Louveau (1983), Kishi và Chen (1987), King và Chen (1993)
Mô hình Ramberg – Osgood: Ramberg – Osgood (1943), Shi và Atluri (1989)
Mô hình Richard – Abbott (1975), Gao và Haldar (1995)
Mô hình hàm mũ: Lui và Chen (1988)
2.4.1 Mô hình hàm mũ Chen–Lui
Lui và Chen (1986,1988) đã đề xuất mô hình quan hệ mômen–góc xoay dùng hàm mũ và được gọi là mô hình hàm mũ Chen–Lui Quan hệ mômen–góc xoay được thể hiện theo biểu thức sau:
(2.58) Độ cứng tiếp tuyến của liên kết được xác định:
(2.59) Độ cứng ban đầu của liên kết:
Trong đó: R kf :Độ cứng tăng bền của liên kết
M 0 : Mômen ban đầu của liên kết θ r : Chuyển vị xoay của liên kết α, n: Hệ số tỷ lệ, tổng số được xét
C j : Hệ số hiệu chỉnh đường cong
Lui và Chen (1988) đã xác định những thông số hiệu chỉnh đường cong cho bởi loại liên kết gồm có Thép góc một bên bụng dầm, Thép góc cánh trên và cánh dưới, Tấm đầu mút không gia cường và tấm đầu mút có gia cường (Single Web Angle, Top and Bottom Seat Angle, Flush End Plate và Extended End Plate), các giá trị được tổng kết trong Bảng 2.1 Nhìn chung, mô hình hàm mũ Chen–Lui cho ứng xử phi tuyến của liên kết chính xác như mô hình B–spline lập phương Tuy nhiên, nó yêu cầu một số lượng lớn các thông số hiệu chỉnh đường cong và nếu có một sự biến đổi lớn về độ dốc ở đường cong quan hệ M–θ thì mô hình này không thể hiện đúng nữa (Wu, 1989)
Bảng 2.1 Thông số liên kết nửa cứng theo mô hình hàm mũ Chen – Lui (1988)
Các loại liên kết nửa cứng
Thép góc một bên bụng dầm
Thép góc cánh trên và dưới
Tấm đầu mút không gia cường
Tấm đầu mút có gia cường
Hình 2–6 Quan hệ M‒θ r các loại liên kết theo mô hình hàm mũ Chen‒Lui
Hình 2–7 Quan hệ R kt ‒θ r các loại liên kết theo mô hình hàm mũ Chen‒Lui Kishi và Chen (1986) đã cải tiến mô hình hàm mũ của Lui–Chen để thích hợp với bất kỳ sự thay đổi lớn về độ dốc trong đường cong M–θ r như sau:
Trong đó: M 0 , α: được định nghĩa như phương trình trước
D k : Thông số hằng số cho phần tuyến tính của đường cong θ k : Góc xoay ban đầu của phần tuyến tính của đường cong
H[θ]: Hàm giật cấp của Heaviside ( H[θ] =1 khi θ >= 0;
C j : Hằng số xấp xỉ đường cong
Theo đó, độ cứng tiếp tuyến của liên kết được xác định bởi:
25 2.4.2 Mô hình ba tham số Kishi–Chen
Kishi và Chen (1987) đã đề xuất mô hình lũy thừa ba thông số để biểu diễn quan hệ mômen– góc xoay của liên kết nửa cứng Mô hình này dựa vào các kết quả thực nghiệm từ trước và rất tiện lợi cho sử dụng khi biết các đặc điểm cấu tạo của liên kết
Quan hệ mômen–góc xoay được thể hiện theo biểu thức sau:
Trong đó: R ki : Độ cứng liên kết ban đầu
M u : Mômen cực hạn của liên kết θ r : Chuyển vị xoay của liên kết n: Thông số hình dạng của đường cong M–θ r
Khi liên kết chịu tải, độ cứng tiếp tuyến liên kết ở góc xoay θ r được tính bằng công thức sau:
Khi liên kết dỡ tải, độ cứng tiếp tuyến bằng độ cứng ban đầu:
Có nhiều thuận lợi khi sử dụng mô hình lũy thừa này để mô tả đường quan hệ phi tuyến mômen–góc xoay của liên kết Thứ nhất, mô hình này luôn luôn đàm bảo vi phân bậc nhất mômen theo góc xoay là giá trị dương (tức là độ cứng liên kết luôn mang giá trị dương), đặc biệt quan trọng vì không xảy ra độ cứng âm ở liên kết Thứ hai, các thông số đầu vào ít vì thế sự thể hiện quan hệ mômen–góc xoay và
26 tính toán độ cứng liên kết đơn giản và tiện lợi hơn Thứ ba, một cách tổng quát mô hình này cho đường quan hệ rất sát với dữ liệu thực nghiệm
2.4.3 Mô hình bốn tham số Richard–Abbott
Mô hình bốn thông số được đề xuất đầu tiên bởi Richard và Abbott (1975)
Quan hệ mômen–góc xoay được thể hiện theo biểu thức sau:
1 ki kp r kp r n n ki kp r
(2.66) Độ cứng tiếp tuyến của liên kết được xác định bởi:
1 r r ki kp kt n kp r n n ki kp r
Trong đó: R ki : Độ cứng ban đầu của liên kết R kp : Độ cứng tăng bền của liên kết
M 0 : Mômen tham chiếu của liên kết n: Thông số xác định hình dạng của đường cong M–θ r Mô hình bốn thông số trên có thể dễ dàng thể hiện các mô hình đơn giản khác Thật vậy, bằng cách cho:
R ki =R kp : Ta thu được mô hình tuyến tính
R kp =0: Ta thu được mô hình ba thông số Kishi–Chen n=∞: Ta thu được mô hình song tuyến tính
Vì mô hình này chỉ cần bốn thông số và luôn luôn cho giá trị độ cứng liên kết dương, nó thật sự hiệu quả về tính toán và là mô hình được dùng phổ biến nhất
Hình 2–8 So sánh quan hệ R kt ‒θ r các loại liên kết theo mô hình hàm mũ Chen‒Lui và mô hình 4 tham số Richard và Abbott với liên kết loại C 2.4.4 Mô hình liên kết nửa cứng chịu tải tuần hoàn
Thuật toán Newmark–β kết hợp với thuật toán Newton–Raphson
Phương trình cân bằng gia tăng gia tăng chuyển động của hệ kết cấu được trình bày như sau:
u : Vectơ gia số chuyển vị
u: Vectơ gia số vận tốc
u: Vectơ gia số gia tốc M : Ma trận khối lượng của hệ kết cấu C : Ma trận cản của hệ kết cấu T
K : Ma trận độ cứng tiếp tuyến của hệ kết cấu T
F : Vectơ gia số của tải trọng bên ngoài Ma trận cản của hệ kết cấu C được xác định theo công thức sau: T
M: Ma trận khối lượng của hệ kết cấu
KT: Ma trận độ cứng tiếp tuyến của hệ kết cấu
31 c M : Hệ số giảm chấn tỷ lệ khối lượng c K : Hệ số giảm chấn tỷ lệ độ cứng
Các hệ số c M , c K được xác định theo tỷ số cản ξ và các tần số góc (tự nhiên) ω 1 , ω 2 của mode thứ 1 và 2 của hệ kết cấu Theo Wilson (2002) [25], Kim cà cộng sự (2006) [10] nếu cả hai mode dao động có cùng tỷ số cản ξ thì ta xác định được:
Các phương trình của Newmark [23] viết dưới dạng tổng quát như sau:
Các phương trình Newmark được viết lại dưới dạng gia tăng như sau: t t t t t t t
Thay u t t từ (2.76) vào (2.75) ta được:
Thay u t t , u t t từ (2.76),(2.77) vào (2.68), biến đổi ta được:
Viết gọn ta được: t t eff eff
Giải hệ phương trình (2.79) ta tính được vectơ chuyển vị gia tăng u t t Với u t t tìm được, thay vào phương trình (2.76), (2.77) ta xác định được vectơ vận tốc gia tăng u t t và vectơ gia tốc gia tăng u t t
Từ đó ta xác định được vectơ chuyển vị, vectơ vận tốc, vectơ gia tốc của hệ kết cấu tại thời điểm t + Δt: t t t t t
Phương pháp gia tốc trung bình:
Phương pháp gia tốc trung bình (phương pháp gia tốc hằng số), giả định rằng gia tốc không đổi trong suốt bước thời gian Δt giữa thời điểm t và t + Δt, được tính bằng:
Theo Wilson (2002) [25] lời giải sẽ luôn ổn định (sai số của chuyển vị, vận tốc, gia tốc tại thời điểm t không gia tăng thêm ở các bước thời gian Δt kế tiếp)
Phương pháp cho kết quả tốt với bước thời gian Δt đủ nhỏ
Phương pháp gia tốc tuyến tính:
33 Phương pháp gia tốc tuyến tính giả định rằng gia tốc có thể được biều diễn bởi một hàm tuyến tính theo thời gian trong khoảng thời gian Δt, được tính bằng:
Phương pháp cho kết quả rất tốt với bước thời gian nhỏ và cho lời giải không ổn định với bước thời gian lớn
Trong luận văn này tác giả sử dụng phương pháp gia tốc trung bình với
2.5.2 Thuật toán lặp phi tuyến Newton – Raphson
Với bản chất phi tuyến của bài toán nên cần thiết phải giải lặp để làm cho lời giải thỏa mãn phương trình cân bằng trước khi tiến hành gia tăng tải ở bước thời gian tiếp theo Có nghĩa là tại mỗi bước gia tăng tải trọng theo thời gian sẽ tồn tại các bước lặp hiệu chỉnh nhằm khử lực dư không cân bằng và tìm chuyển vị chính xác của kết cấu tại bước gia tăng thời gian đó
Có hai thuật toán lặp Newton – Raphson: Thuật toán lặp Newton – Raphson cổ điển và thuật toán lặp Newton – Raphson hiệu chỉnh Đối với thuật toán lặp Newton – Raphson cổ điển: Ma trận độ cứng tiếp tuyến được thành lập lại sau mỗi bước lặp để tìm lực dư không cân bằng và chuyển vị dư Chính vì thế mà số lần lặp trong mỗi bước tăng tải sẽ ít hơn so với giải thuật lặp Newton – Raphson hiệu chỉnh, tuy nhiên thời gian tính toán có thể lâu hơn vì thêm thời gian lắp ráp lại ma trận độ cứng Đối với thuật toán lặp Newton – Raphson hiệu chỉnh: Ma trận độ cứng tiếp tuyến được thành lập tại bước đầu tiên và không đổi ở các bước lặp tiếp theo Để đạt được sự cân bằng số bước lặp tăng lên rất nhiều so với giải thuật lặp Newton – Raphson cổ điển
Hình 2–10 Thuật toán lặp Newton – Raphson cổ điển
Chuyeồn vũ Lực ẹieồm caõn baống K 1
Hình 2–11 Thuật toán lặp Newton – Raphson hiệu chỉnh
35 2.5.3 Giải thuật giải bài toán phi tuyến kết cấu chịu tải động kết hợp giải thuật lặp Newton–Raphson và phương pháp tích phân từng bước Newmark:
Sai số tích lũy của phương pháp Newmark – trình bày ở trên có thể được giảm thông qua việc giải lặp kết hợp trong mỗi bước tải khi phân tích Việc giải lặp giúp khử được lực không cân bằng giữa ngoại lực và nội lực bên trong phần tử ở mỗi bước tải Áp dụng thuật toán Newton–Raphson, các bước giải lặp được trình bày cụ thể như sau:
Bước 1: Xác định vectơ u ở bước lặp đầu tiên theo Newmark 1 Bước 2: Xác định vectơ chuyển vị dư u k 1 ở bước lặp thứ (k + 1) với k ≥ 1 từ phương trình:
Với R k 1 là lực dư không cân bằng ở bước lặp thứ (k + 1) Bước 3: Cập nhật vectơ gia số chuyển vị u k 1
Bước 4: Cập nhật các vectơ chuyển vị, vectơ vận tốc, vectơ gia tốc theo các phương trình (2.82), (2.83), (2.84) đã trình bày ở phần trên
Bước 5: Kiểm tra các sai số Dừng lặp khi đạt sai số cho phép , nếu
trở lại các bước lặp từ bước 2 đến bước 4
Các vectơ chuyển vị, vectơ vận tốc, vectơ gia tốc xác định được ở cuối bước tải sẽ là điều kiện ban đầu cho bước tải kế tiếp
LƯU ĐỒ THUẬT TOÁN VÀ CHƯƠNG TRÌNH ÁP DỤNG
Lưu đồ thuật toán
Hiệu chỉnh vectơ nội lực nút PT với LK nửa cứng
Lắp ghép MT độ cứng của hệ KC Lắp ghép MT cản của hệ KC Định thức
