Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Nghiên cứu lời giải tích cho bài toán kết cấu áo đường nhiều lớp

Các hệ số thể hiện sự phụ thuộc của các thành phần kết cấu áo đường đến độvõng bề mặt theo phương z dưới tâm bánh xe.... Các hệ số thể hiện sự phụ thuộc của các thành phần kết cấu áo đườ

Động lực nghiên cứu của đề tài

Vấn đề tính toán các thành phần ứng suất – biến dạng – chuyển vị của kết cấu áo đường đã được nghiên cứu từ rất sớm Burmister đã trình bày giải pháp đầu tiên cho cả hai lớp và hệ thống ba lớp, đó cũng là sự đóng góp quan trọng đầu tiên trong việc áp dụng các lý thuyết của cơ học liên tục để thiết kế kết cấu mặt đường Ông đã phát triển và trình bày các phương trình tổng quát và thu được các lời giải bằng cách giả định hàm số ứng suất gồm những hàm Bessel và hàm lũy thừa [3] Nhiều chương trình máy tính phát triển trên nền tảng lý thuyết của Burmister, một trong những chương trình đó là BISAR được phát triển bởi Shell Chương trình này không những phân tích được những tải trọng theo phương đứng mà còn phân tích được những tải trọng theo phương ngang Các chương trình máy tính BISAR được sử dụng để tính toán tất cả các ứng suất, biến dạng và chuyển vị tại bất kỳ điểm trong hệ thống dưới bất kỳ số lượng tải bề mặt thẳng đứng và hoặc ngang [4] Việc ứng dụng các phần mềm này vào thiết kế đường ở Việt Nam chưa phổ biến rộng rãi.

Một trong những nguyên nhân dẫn đến việc sử dụng các phần mềm máy tính cho tính toán kết cấu áo đường nhiều lớp chưa được phổ biến ở Việt Nam do chưa hiểu rõ lời giải mà các chương trình sử dụng Vì vậy, việc tìm và phân tích lời giải giải tích cho bài toán tính toán kết cấu áo đường nhiều lớp hiện nay hết sức cần thiết nhằm tối ưu hóa các phần mềm máy tính và đưa vào sử dụng rộng rãi trong tương lai.

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

toán đồ, biểu bảng Từ những kết quả từ các bài toán kết cấu áo đường thu được từ lời giải giải tích, đề tài tiếp tục phân tích và xác định mối tương quan giữa các thành phần ứng suất - biến dạng - chuyển vị với các tham số đầu vào như Mô đun đàn hồi của các lớp, chiều dày các lớp, từ đó đưa ra các biểu thức đơn giản hơn.

Ý nghĩa của đề tài

Xuất phát từ những hạn chế trong phương toán tính toán ứng suất – biến dạng – chuyển vị bằng phương pháp tra toán đồ, biểu bảng, đề bài đã nghiên cứu, tìm hiểu lời giải giải tích cho bài toán kết cấu áo đường nhiều lớp thông qua công cụ thuật toán phần mềm BISAR 3.0 giúp việc giải các bài toán này trở nên dễ dàng hơn.

Từ đó, các giá trị nội lực phát sinh trong kết cấu áo đường dưới tải trọng tác dụng được xác định cụ thể Từ các kết quả giải hang loạt các trường hợp kết cấu áo đường chịu tải trọng bánh đôi, đề tài sẽ xây dựng những biểu thức đơn giản xác định các giá trị độ võng bề mặt, ứng suất – biến dạng kéo dưới đáy lớp bê tông nhựa,ứng suất – biến dạng nén trên bề mặt đất nền Đây là những thành phần chính gây ra những hư hỏng mặt đường trong tương lai như nứt, lún Việc áp dụng những biểu thức này giúp tính toán được đơn giản hơn với độ chính xác cao.

Kết cấu của đề tài

PHẦN MỞ ĐẦU Gồm 6 phần:

 Phần 1 - Đặt vấn đề: Trình bày một số vấn đề còn hạn chế và khó khăn trong công tác thiết kế đường hiện nay bằng phương pháp tra toán đồ, qua đó đưa ra lý do lựa chọn đề tài.

 Phần 2 - Động lực nghiên cứu của đề tài: Trình bày cơ sở tạo động lực nghiên cứu cho đề tài.

 Phần 3 - Mục tiêu nghiên cứu của đề tài: Trình bày mục tiêu của đề tài là tìm hiểu và phân tích rõ lời giải giải tích cho bài toán kết cấu áo đường nhiều lớp, phân tích mối tương quan và tìm ra biểu thức đơn giản cho các thành phần ứng suất - biến dạng - chuyển vị với các tham số đầu vào.

 Phần 4 - Đối tượng của đề tài: Giải bài toán kết cấu áo đường bán không gian đàn hồi nhiều lớp chịu tải trọng thẳng đứng.

 Phần 5 - Ý nghĩa đề tài: Nêu lên ý nghĩa của đề tài.

 Phần 6 - Kết cấu đề tài: Tóm tắt các nội dung trong luận văn.

TỔNG QUAN

Các phương pháp phân tích kết cấu áo đường

1.1.1 Quan điểm về bán không gian biến dạng đàn hồi (đồng nhất và đẳng hướng)

Cách đơn giản nhất để miêu tả ứng xử của kết cấu áo đường dưới tải trọng bánh xe được xem như một mô hình không gian bán đồng nhất (homogeneous half - space) Một bán không gian có một diện tích lớn không giới hạn và chiều sâu vô hạn với mặt phẳng trên cùng chịu tải trọng Lý thuyết cơ bản Boussinesq (1885) dựa vào tải trọng tập trung tác dụng lên mặt phẳng đàn hồi Ứng suất, biến dạng và chuyển vị do tải trọng tập trung có thể được tính trung bình để đạt được những giá trí đó dựa vào một diện tích hình tròn của tải trọng Phương pháp Boussinesq phụ thuộc vào sự thừa nhận rằng vật liệu tạo thành bán không gian là đàn hồi tuyến tính (linear elastic) Như đã biết, đất nền không đàn hồi và bị biến dạng thường xuyên dưới tải trọng không đổi Tuy nhiên, dưới sự lặp lại của tải trọng động, hầu hết những biến dạng có thể trở lại trạng thái ban đầu và có thể xem là đàn hồi. z

Hình 1.1 Thành phần ứng suất dưới tải trọng trục [7]. a Phương pháp toán đồ:

Foster và Ahlvin (1954) đưa ra những biểu đồ để tính toán ứng suất thẳng đứngz, ứng suất xuyên tâmr, ứng suất tiếp tuyếnt, ứng suất cắt rz, và độ võng thẳng đứng w Tải trọng trên diện tích hình tròn với bán kính a – và một áp lực q.

Vì hệ số Poisson có ảnh hưởng không đáng kể đến ứng suất và độ võng, Foster vàAhlvin thừa nhận bán không gian không thể nén được với hệ số Poisson 0,5 Vì vậy mỗi đồ thị ứng với mỗi hệ số Poisson.

Hình 1.2 Toán đồ ứng suất thẳng đứng do tải trọng hình tròn (After Foster và

Hình 1.3 Toán đồ ứng suất xuyên tâm do tải trọng hình tròn (After Foster và

Hình 1.4 Toán đồ ứng suất tiếp tuyến do tải trọng hình tròn (After Foster và Ahlvin

Hình 1.5 Toán đồ ứng suất tiếp cắt do tải trọng hình tròn (After Foster và Ahlvin

Number on C urves Indicate r/a qa E F w= z /a

Hình 1.6 Toán đồ ứng độ võng theo phương thẳng đứng do tải trọng hình tròn

Sau khi có các giá trị ứng suất từ toán đồ, các giá trị biến dạng được tính như sau:

  E        (1.1c) b Phương pháp trục đối xứng:

Khi tải trọng trên một diện tích hình tròn đơn lẻ, ứng suất, biến dạng và chuyển vị tới hạn xuất hiện dưới tâm của diện tích hình tròn trên trục đối xứng khi (rz = 0 và (r = (t Ứng suất tại tâm được xác định như sau:

(1.5) Độ võng thẳng đứng w được xác định như sau:

1.1.2 Quan điểm về hệ thống các lớp đàn hồi:

Kết cấu áo đường mềm là hệ thống các lớp với những vật liệu tốt hơn trên bề mặt và không thể mô tả bằng khối đồng nhất Burmister (1943) lần đầu tiên phát triển phương pháp hệ thống hai lớp và sau đó mở rộng chúng thành hệ thống ba lớp (Burmister, 1954). a Mô hình 2 lớp:

Trường hợp chính xác của hệ thống hai lớp là kết cấu đủ chiều sâu với một lớp HMA được thay thế trên đất nền Nếu kết cấu đường gồm ba lớp (một lớp asphalt bề mặt, một lớp móng cấp phối hạt và lớp nền), thì cần thiết phải liên kết lớp móng và lớp nền thành 1 lớp đơn lẻ để tính toán ứng suất, chuyển vị ở lớp asphalt hoặc liên kết lớp asphalt và lớp móng để tính ứng suất và chuyển vị tại lớp nền. Ứng suất thẳng đứng trên bề mặt lớp nền là một hệ số quan trọng trong thiết kế đường Nhiệm vụ của kết cấu áo đường là giảm ứng suất thẳng đứng trên đất nền, vì thế những biến dạng bất lợi của đường sẽ không xuất hiện Ứng suất thẳng đứng cho phép trên bề mặt đất nền phụ thuộc vào cường độ và mô đun đàn hồi của đất nền Để kết hợp ảnh hưởng của ứng suất và cường độ, biến dạng nén phương đứng cũng là một tiêu chí thiết kế. Ứng suất theo phương đứng trong hệ thống hai lớp phụ thuộc vào tỷ số mô đun đàn hồi E1/E2 và tỉ số giữa chiều dày và bán kính h1/a Hình 1.7 thể hiện ảnh hưởng của kết cấu áo đường trên biểu đồ phân bố ứng suất dưới tâm của diện tích tải trọng hình tròn.

Hình 1.7 Sự phân bố ứng suất theo phương đứng cho hệ thống hai lớp (After

Hình 1.8 thể hiện ảnh hưởng của tỉ số chiều dày kết cấu áo đường và hệ số mô đun đàn hồi trên ứng suất thẳng đứng c tại bề mặt đất nền và áo đường dưới tâm của diện tích tải trọng hình tròn.

M od ul us R at io E 1/ E 2

Hình 1.8 Ứng suất bề mặt theo phương đứng cho hệ thống hai lớp (After Huang

Độ võng bề mặt theo phương thẳng đứng là một tiêu chí quan trọng trong thiết kế đường Công thức trong Hình 1.9 được sử dụng để xác định độ võng bề mặt cho hệ thống đường hai lớp.

Hình 1.9 Độ võng bề mặt theo phương đứng cho hệ thống hai lớp (After Burmister

(1943b)) [7] Độ võng được biểu diễn bởi số hạng F2:

Thừa số độ võng là một hàm của E1/E2và h1/a Độ võng mặt tiếp xúc theo phương đứng cũng được sử dụng như một tiêu chí thiết kế Hình 1.10 có thể sử dụng để tính toán độ võng chuyển vị mặt tiếp xúc theo phương đứng cho hệ thống hai lớp (Huang, 1969c) Độ võng được biểu diễn bởi số hạng F:

E 2 Vertical deflection at this point to be sought q qa E 2 F Deflection=

Vertical deflection at this point to be sought q qa E 2

E 2 Vertical deflection at this point to be sought q

Vertical deflection at this point to be sought q

Number on C urves Indicate r/a qa E 2 F Deflection=

Hình 1.10 Độ võng mặt tiếp xúc theo phương đứng cho hệ thống hai lớp (After

Biến dạng kéo tới hạn tại đáy lớp ashalt được sử dụng như một tiêu chí thiết kế nhằm ngăn chặn nứt do mỏi Có hai dạng biến dạng cơ bản: biến dạng tổng phụ thuộc vào sáu thành phần ứng suất thông thường và ứng suất cắt; biến dạng theo phương ngang chỉ phụ thuộc vào ứng suất thông thường theo phương ngang và ứng suất cắt Biến dạng tổng thường lớn hơn biến dạng ngang, vì thế sử dụng biến dạng tổng sẽ thiên về an toàn hơn Huang (1973) đã phát triển những biểu đồ để tính toán biến dạng kéo tới hạn tại đáy của lớp 1 trong hệ thống 2 lớp Biến dạng kéo tới hạn là biến dạng tổng và được tính toán theo công thức 1.9:

Trong đó, e là biến dạng kéo tới hạn và Fe là hệ số biến dạng được tính dựa vào biểu đồ.

Hình 1.11 biểu diễn hệ số biến dạng cho hệ thống hai lớp dưới diện tích tải trọng hình tròn trường hợp bánh đơn q E 1 F e e= h1/a E 1 E 2

Hình 1.11 Hệ số biến dạng cho bánh đơn (After Huang (1973a)) [7]

Vì hệ số biến dạng trong trường hợp bánh đôi với bán kính tiếp xúc a và khoảng cách trục Sd phụ thuộc vào Sd/a, ngoài ra E1/E2 và h1/a được mô tả bởi biểu đồ 1.10, một cho mỗi giá trị Sd/a Tuy nhiên, phương pháp này đòi hỏi một chuỗi biểu đồ và mất thời gian nội suy Để tránh những khó khăn trên, một phương pháp độc đáo được phát triển chỉ đòi hỏi một biểu đồ duy nhất như Hình 1.11.

Thickness of Asphalt Layer, in S d = 24 in a = 3 in

Hình 1.12 Hệ số chuyển đổi cho bánh đôi (After Huang (1973a)) [7]

Theo thuyết hệ hai lớp, hệ số biến dạng của bánh đôi phụ thuộc vào tỷ số h1/a, Sd/a và E1/E2 Khi tỷ số h1/a và Sd/a giống nhau, hệ số biến dạng sẽ không đổi bất kể bán kính tiếp xúc a thay đổi Mặc dù hệ số biến dạng có xu hướng tăng khi bán kính tiếp xúc tăng nhưng sự phụ thuộc này không đáng kể Do đó, một đường thẳng nội suy có thể cung cấp hệ số biến dạng khá chính xác cho bất kỳ bán kính tiếp xúc nào.

1 Từ các giá trị Sd, h1 và a sẽ tính được bán kính biến đổi a’ và chiều dày biến đổi h’1:

2 Sử dụng h’1 như chiều dày kết cấu áo đường, tìm hệ số C1 và C2 từ hình 1.11

3 Tính hệ số chuyển đổi cho a’ bởi đường thẳng nội suy giữa 3 và 8 in, hoặc tính theo công thức 1.11:

Trường hợp trục bánh đôi song song, biểu đồ 1.11 được phát triển thành các biểu đồ như Hình 1.12, 1.13 và 1.14

Thickness of Asphalt Layer, in S t = 24 in

Hình 1.13 Hệ số chuyển đổi cho bánh đôi song song với khoảng cách trục đôi 24 in

(After Huang (1973a)) [7] b Mô hình ba lớp:

Hình 1.15 mô tả hệ thống ba lớp và ứng suất tại mặt tiếp xúc trên trục đối xứng Những ứng suất này bao gồm ứng suất theo phương đứng tại mặt tiếp xúc 1,

z1, ứng suất xuyên tâm tại mặt trên của lớp 2, ’ r1, ứng suất xuyên tâm tại mặt dưới lớp 2,r2và ứng suất xuyên tâm tại mặt trên của lớp 3, ’ r2 Trên trục đối xứng, ứng suất tiếp tuyến và xuyên tâm giống nhau và ứng suất cắt bằng 0. q

Hình 1.16 Ứng suất tại mặt tiếp xúc của hệ ba lớp, với hệ số Poisson là 0.5 [7]

Khi hệ số Poisson là 0.5, ta có:

Cụng thức 1.12 cho thấy biến dạng xuyờn tõm bằng ẵ biến dạng theo phương đứng và ngược dấu: z 2 r

Có thể hình dung công thức 1.13, khi vật liệu không thể nén được nữa, hệ số Poisson đạt 0,5 Khi đó, biến dạng ngang và biến dạng thẳng đứng bằng nhau, tổng (z, (r, (t phải bằng 0.

Phương pháp bảng Jone: ứng suất trong hệ ba lớp phụ thuộc vào tỉ số k1, k2, A và H, được xác định theo công thức (1.14a) và (1.14b)

Jones (1962) mô tả một chuỗi bảng để tính (z1, (z1 - (r1, (z2 và (z2 - (r2.

Những bảng này bao gồm những giá trị (z1 - (r1’ tại mặt trên của lớp 2 và (z2 - (r2’.

LỜI GIẢI GIẢI TÍCH CHO BÀI TOÁN KẾT CẤU ÁO ĐƯỜNG MỀM NHIỀU LỚP

Mô hình áp lực tiếp xúc của bánh xe

Tác dụng trọng lực của ôtô đối với nền đường và mặt đường thông qua mặt tiếp xúc giữa bánh xe với mặt đường mà truyền trọng lực của nó vào mặt đường và từ mặt đường khếch tán vào nền đường.

2.1.1 Đặc điểm của tải trọng xe chạy tác dụng lên mặt đường: Đặc trưng của tải trọng xe theo phương thẳng đứng được xác định như bảng 2.1 [13].

Bảng 2.1 Đặc trưng tính toán của tải trọng xe: [13]

Loại đường Tải trọng trục P (daN) Áp lực tính toán lên mặt đường

(daN/cm 2 ) Đường kính vệt bánh xe

(cm) Đường ô tô công cộng (thuộc cấp của TCVN 4054-98, TCVN 4054-2005)

Trục chính đô thị (20TCN 104-83); đường cao tốc (TCVN 59-97)

12000 6 36 Đường đô thị và đường ít quan trọng ở đô thị (20TCN 104-83)

Đặc trưng của tải trọng xe theo phương ngang do lực kéo, lực hãm khi tăng giảm tốc gây ra; lực ngang chủ yếu tác dụng trên phần mặt của áo đường mà không truyền sâu xuống các lớp phía dưới.

2.1.2 Các hiện tượng phá hoại kết cấu áo đường mềm

Ngay dưới mặt tiếp xúc với bánh xe, mặt đường sẽ bị lún (ứng suất nén);

Xung quanh chỗ tiếp xúc sẽ phát sinh trượt dẻo (ứng suất cắt);

Trên mặt đường xuất hiện dạng lưng cá sấu các vết nứt hướng tâm bao tròn, xa hơn một chút vật liệu bị đẩy trồi, mặt đường có thể bị gãy vỡ và phần đáy áo đường có thể bị nứt (ứng suất kéo) [13] Hình 2.1 mô tả các hiện tượng phá hoại áo đường mềm ở trạng thái giớ hạn dưới tác dụng của tải trọng bánh xe [13].

Hình 2.1 Các hiện tượng phá hoại áo đường mềm ở trạng thái giới hạn giới hạn dưới tác dụng của tải trọng xe [13].

Mô hình tính toán

Hình 2.2 Mô hình phân lớp kết cấu áo đường cho trường hợp bánh đơn.

Hình 2.3 Mô hình phân lớp kết cấu áo đường cho trường hợp bánh đôi. Để giải quyết bài toán, các giả định được đưa ra như sau:

 Mỗi lớp vật liệu phải đồng nhất, đẳng hướng, hoặc không đẳng hướng theo phương ngang và có tính đàn hồi, tuân theo định luật Hooke với mô đun đàn hồi E và hệ số Poisson.

 Vật liệu không trọng lượng và là hằng số trong phạm vi diện tích.

 Các lớp không giới hạn theo phương ngang, nhưng chiều dày giới hạn theo phương thẳng đứng.

 Áp lực phân bố đều q được phân bố trên diện tích hình tròn với bán kính a.

 Môi trường giữa bề mặt các lớp là liên tục, thể hiện ở sự giống nhau về ứng suất theo phương đứng, ứng suất cắt, chuyển vị thẳng đứng và góc chuyển vị Không có sự chuyển động tương đối giữa bề mặt các lớp, tại mỗi bề mặt các lớp, ứng suất cắt và góc chuyển vị bằng 0.

Mô đun đàn hồi của các lớp kết cấu

Tùy thuộc vào cấu tạo từng lớp kết cấu mà mô đun đàn hồi của lớp ấy khác nhau và chịu ảnh hưởng của chế độ thuỷ nhiệt khác nhau Đối với lớp mặt đường làm bằng bê tông nhựa thì nhân tố ảnh hưởng lớn nhất đến E là nhiệt độ Đối với lớp nền, móng đường không gia cố thì độ ẩm sẽ ảnh hưởng lớn đến E.

Bảng 2.2 Các đặc trưng tính toán của bê tông nhựa và hỗn hợp đá nhựa [9]

Mô đun đàn hồi E (MPa) ở nhiệt độ Cường độ chịu kéo uốn Rku

1 Bê tông nhựa chặt (đá dăm50%) 2 Bê tông nhựa chặt (đá dăm35%) 3 Bê tông nhựa chặt (đá dăm20%) 4 Bê tông nhựa rỗng

5 Bê tông nhựa cát 6 Đá dăm đen nhựa đặc chêm chèn 7 Thấm nhập nhựa

8 Đá, sỏi trộn nhựa lỏng

Bảng 2.3 Các đặc trưng tính toán của đất nền tùy thuộc vào độ ẩm tương đối [9]

Loại đất Các chỉ tiêu Độ ẩm tương đối

(độ) 27 24 21 18 15 13 12 11,5 c (Mpa) 0,038 0,032 0,028 0,023 0,019 0,015 0,013 0,012 Á sét nhẹ và Á cát bụi nặng

(độ) 28 26 26 25 25 24 24 23 c (Mpa) 0,024 0,022 0,018 0,014 0,012 0,011 0,010 0,009 Á cát nhẹ và Á cát

Hệ số Poisson ()

Theo Hiệp hội Giao thông Vận tải Nhà nước Hoa Kỳ (AASHTO), giá trị hệ số thấm ướt phụ thuộc vào loại vật liệu kết cấu cũng như điều kiện thủy nhiệt Giá trị cụ thể của hệ số này có sự khác biệt đáng kể đối với từng loại vật liệu.

Vật liệu Phạm vi Nhận xét Giá trị điển hình

Bê tông nhựa hỗn hợp

0,15 - 0,45 + Phụ thuộc nhiệt độ lớp vật liệu (0,15 ứng với 300F; 0,45 ứng với 1200F)

Móng gia cố xi măng

Móng vật liệu hạt 0,30 - 0,40 + Vật liệu nghiền: 0,3

Lớp đất nền trên cùng

Liên kết giữa các lớp kết cấu

Tùy thuộc vào cấu tạo lớp kết cấu và lớp liên kết giữa các lớp mà điều kiện liên kết cũng khác nhau Khi giải quyết bài toán về liên kết, thường sử dụng hai loại liên kết giữa các lớp vật liệu là: dính chặt và không dính - trượt Tùy thuộc vào điều kiện thực tế mà chọn hình thức liên kết phù hợp Ví dụ, giữa các lớp kết cấu áo đường thường có tưới nhựa dính bám, hoặc giữa đá dăm và cấp phối sỏi đỗ hay sét được coi là liên kết không dính - trượt.

Dính chặt (Colle) Còn giữa cấp phối sỏi đỏ với á cát- cát hay giữa đá dăm và cát –á cát cũng được coi là: Không dính – trượt (Glissante) [10].

Cơ sở lý thuyết đàn hồi - Bài toán không gian vô hạn bán đàn hồi

2.7.1 Các thuật toán sử dụng: a Phép biến đổi tích phân: Để giải bài toán không gian hoặc bán không gian vô hạn đàn hồi, một công cụ toán học thích hợp là dùng phép biến đổi tích phân Phép biến đổi tích phân cho phép ta có thể giảm số biến độc lập của phương trình vi phân đạo hàm riêng, điều này làm cho bài toán dễ giải hơn Phép biến đổi tích phân có thể đưa một phương trình vi phân đạo hàm riêng thành một phương trình vi phân thường, thậm chí có thể thành một phương trình đại số.

Trong phép biến đổi tích phân, từ một hàm f(x) nào đó, người ta lập hàm biến đổi tích phân f*() có quan hệ với hàm f(x) như sau:

Trong đó, K(,x) là một hàm cho trước củavà x, gọi là nhân của phép biến đổi.

Trong việc giải những bài toán biên của kỹ thuật người ta thường sử dụng những phép biến đổi tích phân: phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Fourier, phép biến đổiHankel, phép biến đổi Mellin Trong các phép biến đổi tích phân này, người ta có một định lý đảo tương đương với việc tính tích phân ngược lại f(x) khi biết f*().

Khi sử dụng phép biến đổi tích phân thì trình tự giải một hệ (hoặc một hệ phương trình) vi phân đạo hàm riêng với các điều kiện biên đã cho là như sau:

1 Nhân phương trình vi phân và các điều kiện biên với nhân của phép biến đổi rồi tích phân từ 0 đến ∞;

2 Giải những phương trình rút ra từ 1 để được hàm biến đổi của hàm cần tìm;

3 Sử dụng định lý đảo để rút ra được hàm cần tìm.

Hiện nay đã có nhiều phần mềm tính toán nhanh chóng các tích phân này. b Hàm Bessel:

Trong việc giải những bài toán lý thuyết đàn hồi trong hệ tọa độ trụ, ta thường đi đến phương trình có dạng:

( ) 0 x y xy  x  y (2.2) gọi là phương trình Bessel Nghiệm của phương trình Bessel có dạng chuỗi gọi là hàm Bessel.

Hàm Bessel loại 1, cấp (chỉ số) v được kí hiệu là Jx (v), khi v=n (nguyên) thì:

Công thức tính đạo hàm của hàm Bessel:

Hai công thức trên đây cho ta thấy việc đạo hàm là sự tăng hoặc giảm cấp (chỉ số) của hàm Bessel: nếu chia hàm Bessel cho xv thì việc lấy đạo hàm bậc m sẽ tăng cấp lên m lần, ngược lại nếu nhân cho xv thì việc lấy đạo hàm bậc m sẽ giảm cấp m lần.

Từ các quan hệ đạo hàm ở trên, ta có thể xác định:

Như vậy mọi hàm Bessel ở cấp nào cũng có thể viết dưới dạng J0 hay J1:

2.7.2 Trường hợp tải trọng thẳng đứng trên diện tích hình tròn

Tải trọng thẳng đứng tác động lên bề mặt là tải trọng phân bố đều, không đổi trên diện tích hình tròn, dẫn đến sự tạo thành trục đối xứng Các phương trình lý thuyết đàn hồi cho hệ tọa độ trụ được tóm tắt như sau:

Những phương trình cân bằng: r 0 r rz r z r

Mối quan hệ giữa ứng suất – biến dạng:

      là vecto của ứng suất thành phần;

      là vecto của biến dạng thành phần;

D: ma trận hằng số đàn hồi

  Đối với vật liệu đẳng hướng:  

 , với E là mô đun đàn hồi và ( là hệ số Poisson.

Mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:

(2.12) Để giải quyết lần lượt các công thức (2.10), (2.11) và (2.12), dùng phép biến đổi Hankel:

Trong đó, J0 và J1là hàm số Bessel bậc 0 và bậc 1 và α là tần số dài.

Biến đổi nghịch đảo tương đương ta được:

Bằng cách áp dụng phép biến đổi Hankel trong phương trình biến dạng – chuyển vị (2.12), thành phần biến dạng được xem như hàm số biến đổi chuyển vị, sau đó tính toán được ứng suất trong giới hạn chuyển vị thông qua mối quan hệ giữa ứng suất – biến dạng Thay thế những giá trị ứng suất vào kết quả phương trình cân bằng trong giới hạn chỉ có một mặt phẳng tọa độ z và tần số dài α. z r 0 r z

Thế H, T, N vào (2.15a) và (2.15b), ta được:

Phương trình (2.17) thỏa mãn hàm số ứng suất Airy ϕ:

Sử dụng các định nghĩa của H, T, N ở các công thức (2.16a), (2.16b), (2.16c), dẫn đến:

Trong đó, A  d /  ad  c 2  , B  c /  ad  c 2  , C  a /  ad  c 2  và F  1 / f

Khử Ur, Uz từ phương trình (2.19a), (2.19b) và (2.19c) dẫn đến phương trình vi phân bậc 4 của ( :

Giả sử phương trình trên có a nghiệm:=p;=q

Phương trình (2.20) có thể được viết lại như sau: cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) a a b b

Các phương trình (2.18), (2.19) và (2.22) xem như điều kiện biên được sử dụng để tìm ra mối quan hệ linh hoạt cho từng lớp Đối với mỗi lớp, có thành phần ứng suất thẳng đứng và ứng suất kéo tại bề mặt trên cùng mỗi lớp Na, Ta và tại bề mặt dưới đáy Nb, Tb như Hình 2.4.

Hình 2.4 Minh họa ứng suất thẳng đứng và ứng suất cắt tại bề mặt [1]

Trong đó, “a”, “b” là kí hiệu thể hiện bề mặt trên cùng và bề mặt dưới đáy của một lớp Vì Na, Ta và Nb, Tb có quan hệ với hàm số ϕ, nên La, Ma, Lb, Mb có quan hệ với Na, Ta và Nb, Tb Vì vậy, ϕ cũng có thể biểu diễn như hàm số theo Na, Ta và Nb, Tb Dựa vào mối quan hệ giữa chuyển vị Ur, Uz và ϕ được thể hiện ở công thức (2.19), có thể tìm được mối quan hệ linh hoạt tại bề mặt trên cùng và dưới đáy mỗi lớp như sau: i i i

 là ma trận chảy dẻo cho mỗi lớp, đây là ma trận đối xứng 4x4 Hệ thống lớp phải chịu một áp lực phân bố đều trên diện tích có dạng hình tròn với bán kính a trên bề mặt trên của lớp, có thể được tính toán trong miền biến đổi như sau:

Giả thuyết rằng hệ thống kết cấu áo đường có nền cứng; vì vậy, chuyển vị tại đáy lớp dưới cùng đều bằng 0, nghĩa là Uz = 0, Ur = 0.

Từ giả thuyết giữa hai lớp kề nhau được liên kết với nhau và không có chuyển vị trượt tương đối tại bề mặt các lớp, ứng suất và chuyển vị liên tục phía trên và phía dưới bề mặt Điều kiện liên tục được thể hiện trên Hình 2.5.

Layer i+1 (Ta) i+1 (Tb) i (Nb) i (Na) i+1

Hình 2.5 Điều kiện liên tục tại bề mặt [1] Điều kiện liên tục tại bề mặt được viết lại như sau:

(Nb)i = (Na)i+1 (Tb)i = (Ta)i+1 (Uzb)i = (Uza)i+1

Theo phân tích trên, mỗi lớp có thể xem như một phần tử (so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn), và mỗi lớp có một ma trận đàn hồi liên kết với nó Nếu mỗi ma trận đàn hồi của lớp tập hợp thành một ma trận tổng, và vectơ chuyển vị được xác định được mối quan hệ sau:

Vì tính liên tục của chuyển vị tại bề mặt được thể hiện ở công thức (2.25), vectơ chuyển vị tổng  bao gồm phần lớn bằng 0 Nếu không có điều kiện biên chuyển vị,  tất cả đều bằng 0 Giải quyết tập hợp các phương trình trên, ứng suất theo phương đứng và ứng suất cắt tại mặt trên và mặt đáy của mỗi lớp sẽ được xác định Để xác định chuyển vị, chúng ta chỉ cần nhân ma trận đàn hôi các lớp với ứng suất kết hợp với lớp đó.

Tại vị trí này, N, T, Ur, Uz tại mặt trên và mặt đáy của mỗi lớp trong phép biến đổi có những giá trị khác nhau Để có được các giá trị ứng suất, biến dạng và chuyển vị trong mặt phẳng, cần sử dụng biến đổi nghịch đảo Ví dụ, uz, ur, có thể được xác định bởi công thức (2.14a) (2.14b),  z và z có thể được xác định như sau:

 (2.28) Để xác định được  r , trước tiên sử dụng công thức quan hệ giữa ứng suất – biến dạng trong công thức (2.2) để tìm ra  r a r b  c z Sau đó, thay những giá trị r ,

 , z , là những số hạng của phép biến đổi có sẵn vào Kết quả có thể được viết như sau:

Trong các công thức (2.27), (2.28), (2.29), (2.30) giới hạn trên là vô hạn () Trong phân tích số, dãy tích phân vô hạn được rút ngắn tại một điểm góp phần bỏ qua những phần không đáng kể Sau đó những dãy vô hạn được chia thành những mặt cắt tương đối đều như Hình 2.6.

Hình 2.6 Sự phân chia mặt cắt [1]

Các giá trị tích phân được tính riêng biệt cho từng mặt cắt Trong mỗi mặt cắt, 20 giá trị  được chọn theo quy ước Gauss Tổng của tất cả các giá trị này là kết quả cuối cùng.

2.7.3 Trường hợp tải trọng ngang trên diện tích hình tròn

CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH SỬ DỤNG LỜI GIẢI GIẢI TÍCH

Chương trình BISAR 3.0

Phần mềm BISAR 3.0 được viết bởi Shell International Oil Products BV.

Chương trình này không những phân tích được những tải trọng theo phương đứng mà còn phân tích được những tải trọng theo phương ngang Các chương trình máy tính BISAR được sử dụng để tính toán tất cả các ứng suất, biến dạng và chuyển vị tại bất kỳ điểm trong hệ thống dưới bất kỳ số lượng tải bề mặt thẳng đứng và hoặc ngang [8].

BISAR là phần mềm xác định ứng xuất và biến dạng trong kết cấu áo đường mềm Phần mềm giả định rằng kết cấu áo đường có khoảng cách các trục X và Y là vô hạn Khoảng cách Z là chiều sâu và phụ thuộc vào giá trị đầu vào Những lớp kết cấu áo đường được giả định là đàn hồi tuyến tính [14]

Phương pháp tính toán của BISAR đòi hỏi những giá trị đầu vào như sau [8]:

1 Số lớp kết cấu áo đường;

2 Mô đun Young của các lớp;

3 Hệ số Poison của các lớp;

4 Chiều dày các lớp (trừ lớp nền);

6 Tọa độ vị trí tâm của tải trọng;

7 Tọa độ vị trí giá trị đầu ra.

3.6.2 Trình tự giải bài toán bằng Bisar 3.0

Phần 1: Khai báo số liệu 1 Chạy chương trình;

2 Khai báo tên dự án;

3 Khai báo tải trọng (3 cách khai báo): Áp lực và tải trọng; tải trọng và bán kính; Áp lực và bán kính.

4 Khai báo số lớp và đặc trưng các lớp: bề dày (từ trên xuống), mô đun đàn hồi, hệ số Poisson.

5 Khai báo vị trí và tọa độ cần xem giá trị.

Phần 2: Giải bài toán – Chạy chương trình Bisar 3.0 Phần 3: Xem kết quả

Có thể xem kết quả bằng dạng bảng hoặc báo cáo.

So sánh chương trình BISAR 3.0 với các phương pháp khác

Dựa trên công thức tính độ võng của hệ hai lớp do các tác giả người Trung Quốc: Lục Đỉnh Trung – Trình Gia Câu trong "Công trình nền đường" đưa ra, tác giả nghiên cứu đã giải và so sánh kết quả với phần mềm Bisar 3.0.

Biết: p = 0.5Mpa, a = 15.2cm, h = 20cm, E0 = 50Mpa, E1 = 200Mpa Tìm độ võng W0trên mặt hai lớp tại vị trí trục của tải trọng như Hình (3.2): q = 0.7 Mpa

Hình 3.1 Bài toán 1 xác định độ võng hệ hai lớp

Lời giải của tác giả Trung Quốc bằng cách sử dụng toán đồ:

Với E1/E0= 50/200 = 0.25, h/2a = 20/(2x15.2) = 0.658 Tra toán đồ ta được:

Sử dụng chương trình Bisar 3.0 với các thông số đầu vào như sau:

Phương thức nhập tải (1 tải trọng phân bố hình tròn): Ứng suất và bán kính: ứng suất theo phương đứng 700Kpa; bán kính 0,152m.

Số lượng lớp kết cấu: 2 Bề dày lớp 1: 0,2m; bề dày lớp 2:  Mô đun đàn hồi: E1= 200Mpa, E0= 50Mpa Hệ số Poisson:1= 0.25,0 = 0.35

Vị trí xem giá trị: tại bề mặt lớp 1 (x=0, y=0, z=0)Kết quả có dạng sau:

Với kết quả trên ta quy đổi đơn vị kết quả, độ võng tính toán là: w=2.036x10^-3m = 0.2036cm Như vậy kết quả chấp nhận được.

Sử dụng kết quả tính toán của Yang H Huang đối với hệ hai lớp trong Pavement analysis and Design và kết quả từ phần mềm KENLAYER đã giải để so sánh kết quả với chương trình Bisar 3.0

Biết: Tải trọng bánh đôi, với bán kính 4.52in (115mm) và áp lực 70psi (483kPa) Khoảng cách tâm 2 bánh xe là 13.5in (343mm) Lớp 1 dày 6in (152mm), Mô đun đàn hồi E1 = 100000psi (690Mpa), lớp 2 có mô đun đàn hồi E2 = 10000psi (69Mpa) Hệ số Poisson các lớp là 0.5 Xác định chuyển vị thẳng đứng tại điểm A tại mặt tiếp xúc với đất nền trên tâm của tải trọng tròn như Hình (3.3).

Hình 3.2 Bài toán 2 xác định độ võng hệ hai lớp

 Lời giải của Yang H Huang: E1/E2 = 100000/10000 = 10, h1/a = 6/4.52 1.33, tra toán đồ xác định hệ số chuyển vị tại điểm A dựa vào tải trọng bên trái với r/a = 0 là 0.56 và hệ số chuyển vị tại điểm A dựa vào tải trọng bên phải với r/a 13.5/4.52 = 2.99 là 0.28 Như vậy: F = 0.56 + 0.28 = 0.84 Mà

Kết quả từ KENLAYER: w = 0.0281 in = 0.714mm.

Phương thức nhập tải (2 tải trọng phân bố hình tròn cách nhau 0.343m): Ứng suất và bán kính: ứng suất theo phương đứng 483Kpa; bán kính 0,115m.

Số lượng lớp kết cấu: 2 Bề dày lớp 1: 0.152m; bề dày lớp 2: Mô đun đàn hồi: E1= 690Mpa, E0= 69Mpa Hệ số Poisson:1= 0.5,0= 0.5

Vị trí xem giá trị: tại bề mặt lớp nền (x=0, y=0, z=0.152)Kết quả có dạng sau:

Với kết quả trên ta quy đổi đơn vị kết quả, độ võng tính toán là: w=6.735x10^-4m = 0.674mm Như vậy kết quả chấp nhận được.

Sử dụng kết quả tính toán của Yang H Huang đối với hệ hai lớp trong Pavement analysis and Design đã giải để so sánh kết quả với chương trình Bisar 3.0

Biết: Tải trọng bánh đơn, với bán kính 6 in (152mm) và áp lực 80psi (552kPa).

Lớp 1 dày 15 in (381mm), Mô đun đàn hồi E1 = 500000psi (3.45Gpa), lớp 2 có mô đun đàn hồi E0 = 5000psi (35Mpa) Hệ số Poisson các lớp là 0.5 Xác định ứng suất thẳng đứng tại mặt tiếp xúc với đất nền trên tâm của tải trọng tròn như Hình (3.4). q = 552 KPa

Hình 3.3 Bài toán 3 xác định ứng suất thẳng đứng hệ hai lớp

Lời giải của Yang H Huang: E1/E2 = 500000/5000 = 100, a/h1= 6/15 = 0.4, tra toán đồ xác định c/q tại điểm A là 0.0125 Như vậy: c = 0.015x552 8.364Kpa.

Phương thức nhập tải : Ứng suất và bán kính: ứng suất theo phương đứng 552Kpa; bán kính 0,152m.

Với kết quả trên, suất tính toán là:c=8.648x10^3 Pa Như vậy kết quả chấp nhận được.

Sử dụng kết quả tính toán của Yang H Huang đối với hệ hai lớp trong Pavement analysis and Design đã giải để so sánh kết quả với chương trình Bisar 3.0

Biết: Tải trọng bánh đơn, với bán kính 6.5 in (165mm) và áp lực 67.7psi (467kPa) Lớp 1 dày 8 in (381mm), Mô đun đàn hồi E1 = 150000psi (1.04Gpa), lớp 2 có mô đun đàn hồi E0 = 15000psi (104Mpa) Hệ số Poisson các lớp là 0.5 Xác định biến dạng kéo tại mặt tiếp xúc với đất nền trên tâm của tải trọng tròn như Hình (3.5). q = 467KPa

Hình 3.4 Bài toán 4 xác định biến dạng cắt hệ hai lớp

 Lời giải của Yang H Huang: E1/E2 = 150000/15000 = 10, h1/a = 8/6.5 1.23, tra toán đồ xác định F  = 0.72 Như vậy:

Với kết quả trên, biến dạng tính toán là:=3.344x10^-4strain Như vậy kết quả chấp nhận được.

Sử dụng kết quả tính toán của Yang H Huang đối với hệ hai lớp trong "Pavement analysis and Design", chương trình Bisar 3.0 đã được giải để so sánh kết quả giữa hai phương pháp tính này.

Biết: Tải trọng bánh đôi (khoảng cách tim 2 bánh là 11.5 in (292mm), với bán kính 4.6 in (117mm) và áp lực 67.7psi (467kPa) Lớp 1 dày 8 in (381mm), Mô đun đàn hồi E1 = 150000psi (1.04Gpa), lớp 2 có mô đun đàn hồi E0 = 15000psi (104Mpa) Hệ số Poisson các lớp là 0.5 Xác định biến dạng kéo tại mặt tiếp xúc với đất nền trên tâm của tải trọng tròn như Hình (3.6). q = 467KPa

Hình 3.5 Bài toán 5 xác định biến dạng cắt hệ hai lớp

 Lời giải của Yang H Huang: E1/E2 = 150000/15000 = 10,

 S    = 424mm Tra toán đồ xác định C1 = 1.35 và C2 = 1.46 Mà: C  C 1  0.2( a '  3)( C 2  C 1 ) 1.35 0.2(9.6 3)(1.46 1.35) 1.5

C      Tra toán đồ xác định hệ số biến dạng cho bánh đơn là F = 0.47  Hệ số biến dạng cho bánh đôi = 1.5x0.47 = 0.705 Như vậy: 4

Phương thức nhập tải : Ứng suất và bán kính: ứng suất theo phương đứng 467Kpa (bánh đôi); bán kính 0,165m Khoảng cách 2 bánh là 0.292m.

Vị trí xem giá trị: tại bề mặt lớp nền (x=0.117, y=0, z=0.203)Kết quả có dạng sau:

Với kết quả trên, biến dạng tính toán là:= 3.48x10^-4strain Như vậy kết quả chấp nhận được.

Sử dụng kết quả tính toán của Yang H Huang đối với hệ ba lớp trong Pavement analysis and Design đã giải để so sánh kết quả với chương trình Bisar 3.0.

Cho hệ ba lớp như Hình 4.6 với a = 4.8 in (122mm), q = 120 psi (828Kpa), h1

= 6 in (152mm), h2 = 6 in (152mm) E1 = 400000 psi (2.8Gpa), E2 = 20000 psi (138Mpa) và E3= 10000 psi (69Mpa) Tính tất cả các ứng suất và biến dạng tại mặt tiếp xúc trên trục đối xứng (Hình 3.7).

Hình 3.6 Bài toán 6 xác định ứng suất và biến dạng hệ ba lớp

 Lời giải của Yang H Huang: k1 = 400000/20000 = 20, k2= 20000/10000 2,

h   Dựa vào bảng Jones, tra được các giá trị

ZZ1=0.12173, ZZ2=0.05938, ZZ1-RR1=1.97428 và ZZ2-RR2=0.09268.

Khi đó:  z 1 q ZZ( 1) 120 0.12173 14.61   psi1Kpa.

Số lượng lớp kết cấu: 3Bề dày lớp 1: 0.152m; bề dày lớp 2: 0.152m; bề dày lớp 3:Mô đun đàn hồi: E1= 2800Mpa, E2= 138Mpa, E3= 69MpaHệ số Poisson:1= 0.5,2= 0.5,3= 0.5

Vị trí xem giá trị: tại bề mặt lớp nền (x=0, y=0, z=0.152):

Với kết quả trên ta quy đổi đơn vị kết quả: ZZ (z=0.152m) = 1.004x10 5 Pa = 100.4 Kpa; XX (z=0.152m) = 1.549x10 6 Pa = 1.549Mpa;ZZ = 5.889x10 -4 strain; XX= 2.945x10 -4 strain.

Vị trí xem giá trị: tại bề mặt lớp nền (x=0, y=0, z=0.304)

Với kết quả trên ta quy đổi đơn vị kết quả:ZZ(z=0.304m) = 4.915x10 4 Pa = 49.15 Kpa;XX(z=0.304m) = 2.744x10 4 Pa = 27.44 Kpa;

XÂY DỰNG THỦ TỤC ĐƠN GIẢN CHO KẾT CẤU ÁO ĐƯỜNG BỐN LỚP CHỊU TẢI TRỌNG BÁNH ĐÔI

Động lực

Trong công tác thiết kế hiện này, các giá trị nội lực liên quan trực tiếp đến các hư hỏng trên mặt đường chưa được quan tâm từ bước thiết kế ban đầu Ngoài ra, theo các nghiên cứu liên quan đến kết cấu áo đường vĩnh cửu (long-life pavement), thì mặt đường bê tông nhựa có thời hạn thiết kế lên đến 40 năm nếu như thỏa hai điều kiện sau Biến dạng kéo ở dưới đáy lớp bê tông nhựa bé hơn 65x10^-6, và biến dạng thẳng đứng ở ngay trên bề mặt đất nền bé hơn 200x10^-6 [17] Có thể thấy rằng với việc quan sát giá trị biến dạng lớn nhất trong kết cấu áo đường, phần nào có thể dự đoán được mức độ hạn chế hư hỏng của kết cấu áo đường đó.

Biết rằng, tải trọng bánh đôi là tải trọng nặng, gây ra các dạng hư hỏng chính trên bề mặt đường Việc qui đổi bài toán trục xe bánh đôi về trục bánh đơn là không chính xác, vì các biểu thức qui đổi đều căn cứ vào một tiêu chí qui đổi nào đó Ví dụ, có thể qui đổi tương đương theo các tiêu chí khác nhau như là tương đương độ võng trên bề mặt đường, ứng suất kéo dưới lớp bê tông nhựa, hay tương đương về hư hỏng kết cấu lớp bê tông nhựa (22TCN 211-06) Nói cách khác không có phương trình qui đổi tương đương tổng quát [7]. Đề tài sẽ xây dựng thủ tục đơn giản cho bài toán kết cấu áo đường chịu tải trọng bánh đôi Thủ tục này giúp người thiết kế có thể xác định các thành phần ứng suất chính gây biến dạng trong kết cấu áo đường một cách nhanh chóng.

Mô hình phân tích

Trong thực tế, kết cấu áo đường có thể mô hình là hệ đàn hồi nhiều lớp, chịu tác dụng của tải trọng bánh xe Đối với bài toán kết cấu áo đường mềm, tải trọng bánh xe đôi được mô hình là tải trọng phân bố đều trên hai hình tròn để tính toán.

Khoảng cách tim hai bánh xe lấy bằng ba lần bán kính của tải trọng phân bố (Sd:) như thể hiện ở Hình 4.1. h 1 h 2 h 3

Lớp BTN Cấp phối đá dăm loại I

Cấp phối đá dăm loại II w 01 w 02 w 03

Hình 4.1 Mô hình bài toán bánh kép [10]

Hình 4.2 thể hiện áp lực bánh xe truyền xuống các lớp kết cấu bên dưới trong trường hợp bài toán bánh đôi.

Hình 4.2 Mô hình truyền tải trọng xuống các lớp kết cấu Đặc trưng tải trọng áp dụng cho bài toán như bảng 4.1 với tải trọng trục tiêu chuẩn 100KN.

Bảng 4.1 Đặc trưng tải trọng sử dụng cho bài toán

Tải trọng trục xe P (kN) Áp lực tính toán lên mặt đường (Mpa) Đường kính vệt bánh xe d (cm)

Khoảng cách giữa 2 bánh xe

Mô đun đàn hồi của các lớp kết cấu áo đường

Bảng 4.2 Các giá trị Mô đun đàn hồi áp dụng cho bài toán

Thông số Mô đun đàn hồi Giá trị Mô đun đàn hồi (MPa)

E Cấp phối đá dăm loại I 250 275 300 E Cấp phối đá dăm loại II 200 220 250

Hệ số Poisson

Bảng 4.3 Giá trị hệ số Poisson của các lớp vật liệu

Các lớp vật liệu Hệ số Poisson

Cấp phối đá dăm loại I 0.35

Cấp phối đá dăm loại II 0.35 Đất nền 0.40

Chiều dày các lớp kết cấu

Bảng 4.4 Giá trị chiều dày các lớp áo đường sử dụng cho bài toán

Các lớp vật liệu Chiều dày các lớp (cm)

Cấp phối đá dăm loại I 15 20 25

Cấp phối đá dăm loại II 20 25 30 Đất nền   

Số trường hợp và vị trí các điểm quan sát

6 Trường hợp EHMAx 3 Trường hợp EĐá dăm loại Ix 3 Trường hợp EĐá dăm loại IIx 3 Trường hợp Eđất nềnx 3 Trường hợp hHMA x 3 Trường hợp hĐá dăm loại Ix 3 Trường hợp hĐá dăm loại II= 4374 Trường hợp

Hình 4.3 thể hiện các vị trí cần xác định nội lực dưới tác dụng của tải trọng bánh đôi Các điểm quan sát bao gồm các điểm ở vị trí dưới tâm bánh xe thứ nhất, dưới tâm bánh xe thứ hai và tại các vị trí dưới trung điểm giữa hai bánh xe Ở mỗi điểm, các kết quả xuất ra bao gồm các giá trị ứng suất, biến dạng, và chuyển vị theo ba trục x, y, z Vậy trong mỗi trường hợp kết cấu áo đường kể trên, ta có 9 điểm khảo sát và có 81 giá trị dữ liệu của ứng suất, biến dạng và chuyển vị.

Lụ ựp c a ỏp p h o ỏi ủ a ự d a ờm lo a ùi I , h 2 Lụ ựp c a ỏp p h o ỏi ủ a ự d a ờm lo a ùi I I, h3

Lụ ựp ủ a ỏt ne àn , h = 

Hình 4.3 Các vị trí xuất giá trị nội lực

Sự phá hoại mỏi của lớp bê tông nhựa trong kết cấu áo đường mềm liên quan đến biến dạng kéo dưới lớp bê tông nhựa Trong khi đó, độ lún của đất nền liên quan đến biến dạng theo phương thẳng đứng tại mặt trên của lớp đất nền Từ đó, 81 giá trị dữ liệu kể trên được loại bớt còn lại 15 giá trị Bao gồm chuyển vị bề mặt (3 giá trị tương ứng với 3 vị trí là tâm bánh xe 1, tâm bánh xe 2, và giữa hai bánh xe), ứng suất-biến dạng kéo dưới lớp bê tông nhựa (6 giá trị), ứng suất-biến dạng đứng trên bề mặt lớp đất nền (6 giá trị).

Sơ đồ Hình 4.4 minh họa vị trí và hướng của các thành phần biến dạng trong lớp kết cấu áo đường cần quan tâm Các vị trí này có tính liên quan đến hư hỏng do mỏi trong bê tông nhựa và hư hỏng do lún.

Hình 4.4 Thành phần biến dạng gây hư hỏng mặt đường [15]

KIỂM CHỨNG BIỂU THỨC ĐƠN GIẢN CHO TRƯỜNG HỢP BÁNH ĐÔI VÀ PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY

Giả thiết bài toán kết cấu áo đường điển hình

- Tải trọng trục tiêu chuẩn: 100KN;

- Trường hợp tải trọng bánh đôi;

- Đường kính vệt bánh xe: 23.03cm;

- Áp lực tính toán tiêu chuẩn: 0.6MPa;

- Loại tầng mặt: Cấp cao A1.

Bê tông nhựa nóng Cấp phối đá dăm loại I Cấp phối đá dăm loại II Đất nền Hình 5.1 Cấu tạo kết cấu áo đường tính toán

5.1.1 Kiểm chứng biểu thức đơn giản cho vị trí tại tâm bánh xe: a Độ võng bề mặt kết cấu áo đường theo phương đứng

Bảng 5.1 Số liệu đầu vào các trường hợp tính độ võng bề mặt

9 Đất nền đất chọn lọc 40 0.4

Cấp phối đá dăm loại II 30 30 30 30 30 30 30 30 30 250 0.35

Cấp phối đá dăm loại I 25 25 25 25 25 25 25 25 25 300 0.35

BT nhựa chặt hạt mịn 7 8 10 12 14 15 16 18 20 420 0.35

- Lời giải giải tích: dùng thuật toán phần mềm Bisar 3.0.

- Biểu thức: sử dụng Biểu thức (4.7) xác định giá trị độ võng bề mặt kết cấu áo đường:

Dad Dad Dad Dad w zz 10 E HMA  E  amI E  amII E Nen  h HMA  h  amI h  amII

 EHMA: Mô đun đàn hồi của lớp Bê tông nhựa;

 EDadamI: Mô đun đàn hồi của lớp Cấp phối đá dăm loại I;

 EDadamII: Mô đun đàn hồi của lớp Cấp phối đá dăm loại II;

 ENen: Mô đun đàn hồi của lớp Đất nền;

 hHMA: Chiều dày của lớp Bê tông nhựa;

 hDadamI: Chiều dày của lớp Cấp phối đá dăm loại I;

 hDadamII: Chiều dày của lớp Cấp phối đá dăm loại II;

Bảng 5.2 Kết quả tính độ võng bề mặt theo phương thẳng đứng

Giá trị độ võng bề mặt (mm)

Lời giải giải tích Biểu thức Chênh lệch so với

Hình 5.2 Sơ đồ độ võng bề mặt kết cấu áo đường theo chiều dày lớp Bê tông nhựa Nhận xét:

 Giá trị độ võng bề mặt của kết cấu áo đường theo biểu thức theo phương đứng (kí hiệu ) và theo lời giải giải tích (kí hiệu )biến thiên giảm dần khi chiều dày lớp bê tông nhựa tăng dần (nghịch biến).

 Biểu thức đơn giản cho kết quả tuyến tính, gần với giá trị Lời giải giải tích (sai số cao nhất 6.35% < 10%). b Tính toán ứng suất kéo lớn nhất dưới đáy lớp Bê tông nhựa:

Bảng 5.3 Số liệu đầu vào các trường hợp tính ứng suất kéo và biến dạng kéo Lớp kết cấu

TH 7 Đất nền đất chọn lọc 40 0.4

Cấp phối đá dăm loại II 30 30 30 30 30 30 30 250 0.35 Cấp phối đá dăm loại I 25 25 25 25 25 25 25 300 0.35

BT nhựa chặt hạt mịn 15 16 18 20 22 24 25 1200 0.35

- Biểu thức: sử dụng Biểu thức (4.3) xác định giá trị ứng suất kéo dưới lớp Bê tông nhựa:

Dad Dad Dad Dad xx 10 E HMA E amI E amII E Nen h HMA h amI h amII

Bảng 5.4 Kết quả tính ứng suất kéo phương ngang dưới đáy lớp Bê tông nhựa

Giá trị ứng suất kéo (Mpa)

Lời giải giải tích Biểu thức Chênh lệch so với Lời giải giải tích

Hình 5.3 Sơ đồ ứng suất kéo theo phương ngang dưới đáy lớp Bê tông nhựa Nhận xét:

 Giá trị ứng suất kéo theo phương ngang dưới đáy lớp Bê tông nhựa theo lời giải giải tích (kí hiệu ) và theo biểu thức (kí hiệu ) biến thiên giảm dần khi chiều dày lớp Bê tông nhựa tăng dần (nghịch biến với chiều dày lớp Bê tông nhựa);

 Biểu thức đơn giản cho kết quả tuyến tính, gần với giá trị Lời giải giải tích (sai số 9.89% < 10%). c Tính toán biến dạng kéo dưới lớp Bê tông nhựa

Sử dụng số liệu Bảng 5.3 - Lời giải giải tích: dùng thuật toán phần mềm Bisar 3.0.

- Biểu thức: sử dụng Biểu thức (4.4) xác định giá trị biến dạng kéo dưới lớp Bê tông nhựa:

Bảng 5.5 Kết quả tính biến dạng kéo phương ngang dưới đáy lớp Bê tông nhựa

Giá trị Biến dạng kéo (micro strain)

Hình 5.4 Sơ đồ biến dạng kéo phương ngang dưới đáy lớp Bê tông nhựa Nhận xét:

 Giá trị biến dạng kéo theo phương ngang dưới đáy lớp Bê tông nhựa theo lời giải giải tích (kí hiệu ) và theo biểu thức (kí hiệu) giảm dần khi chiều dày lớp bê tông nhựa tăng dần (nghịch biến với chiều dày lớp Bê tông nhựa);

 Biểu thức đơn giản cho kết quả tuyến tính, gần với giá trị Lời giải giải tích (sai số 1.87% < 10%). d Tính toán ứng suất nén trên bề mặt nền đất

Bảng 5.6 Số liệu đầu vào các trường hợp tính ứng suất nén và biến dạng nén

Cấp phối đá dăm loại II 30 30 30 30 30 30 30 30 30 250 0.35

Cấp phối đá dăm loại I 25 25 25 25 25 25 25 25 25 300 0.35

- Biểu thức: sử dụng Biểu thức (4.5) xác định giá trị Ứng suất thẳng đứng dưới lớp Bê tông nhựa:

Dad Dad Dad Dad zz 10 E HMA E amI E amII E Nen h HMA h amI h amII

Bảng 5.7 Kết quả tính ứng suất nén theo phương đứng trên bề mặt đất nền

Giá trị Ứng suất nén thẳng đứng (kPa)

Hình 5.5 Sơ đồ ứng suất nén theo phương đứng trên bề mặt đất nền Nhận xét:

 Giá trị ứng suất nén theo phương thẳng đứng trên bề mặt đất nền theo lời giải giải tích (kí hiệu ) và theo biểu thức () tăng dần khi chiều dày kết cấu áo đường tăng dần (đồng biến với chiều dày kết cấu áo đường);

 Biểu thức đơn giản cho kết quả tuyến tính, gần với giá trị Lời giải giải tích (sai số 7.68% < 10%). e Tính toán biến dạng nén theo phương đứng trên bề mặt lớp đất nền

- Phương trình: sử dụng công thức (4.8) xác định giá trị độ biến dạng thẳng đứng tại mặt tiếp xúc với đất nền:

Bảng 5.8 Kết quả tính biến dạng theo phương đứng trên bề mặt lớp đất nền

Giá trị Biến dạng thẳng đứng (microstrain)

Hình 5.6 Sơ đồ biến dạng theo phương đứng trên bề mặt lớp đất nền Nhận xét:

 Giá trị biến dạng nén theo phương thẳng đứng trên bề mặt đất nền theo lời giải giải tích (kí hiệu ) và theo biểu thức () tăng dần khi chiều dày kết cấu áo đường tăng dần (đồng biến với chiều dày kết cấu áo đường);

 Biểu thức đơn giản cho kết quả tuyến tính, gần với giá trị Lời giải giải tích (sai số 7.47% < 10%).

5.1.2 Kiểm chứng biểu thức đơn giản cho vị trí trung điểm trục hai bánh xe: a Độ võng bề mặt kết cấu áo đường theo phương đứng

Bảng 5.9 Số liệu đầu vào các trường hợp tính độ võng bề mặt

Cấp phối đá dăm loại

Cấp phối đá dăm loại I 25 25 25 25 25 25 25 25 25 300 0.35 BT nhựa chặt hạt mịn 7 8 10 12 14 15 16 18 20 420 0.35

- Biểu thức: sử dụng Biểu thức (4.7) xác định giá trị độ võng bề mặt kết cấu áo đường:

Dad Dad Dad Dad w zz 10 E HMA  E  amI E  amII E Nen  h HMA  h  amI h  amII

Bảng 5.10 Kết quả tính độ võng bề mặt theo phương thẳng đứng

Giá trị độ võng bề mặt (mm)

Hình 5.7 Sơ đồ độ võng bề mặt kết cấu áo đường theo chiều dày lớp Bê tông nhựa

 Giá trị độ võng bề mặt của kết cấu áo đường theo biểu thức theo phương đứng (kí hiệu) và theo lời giải giải tích (kí hiệu ) biến thiên giảm dần khi chiều dày lớp bê tông nhựa tăng dần (nghịch biến).

 Biểu thức đơn giản cho kết quả tuyến tính, gần với giá trị Lời giải giải tích (sai số cao nhất 4.7% < 10%). b Tính toán ứng suất kéo lớn nhất dưới đáy lớp Bê tông nhựa:

Bảng 5.11 Số liệu đầu vào các trường hợp tính ứng suất kéo và biến dạng kéo Lớp kết cấu

TH1 TH2 TH3 TH4 TH5 Đất nền đất chọn lọc 40 0.4

Cấp phối đá dăm loại II 30 30 30 30 30 250 0.35

Cấp phối đá dăm loại I 25 25 25 25 25 300 0.35

BT nhựa chặt hạt mịn 7 8 10 12 14 420 0.35

- Biểu thức: sử dụng Biểu thức (4.8) xác định giá trị ứng suất kéo dưới lớp Bê tông nhựa:

Bảng 5.12 Kết quả tính ứng suất kéo phương ngang dưới đáy lớp Bê tông nhựa

Giá trị ứng suất kéo (kPa)

Hình 5.8 Sơ đồ ứng suất kéo theo phương ngang dưới đáy lớp Bê tông nhựa Nhận xét:

 Giá trị ứng suất kéo theo phương ngang dưới đáy lớp Bê tông nhựa theo lời giải giải tích (kí hiệu ) và theo biểu thức (kí hiệu) biến thiên tăng dần khi chiều dày lớp Bê tông nhựa tăng dần (đồng biến với chiều dày lớp Bê tông nhựa);

 Biểu thức đơn giản cho kết quả tuyến tính, gần với giá trị Lời giải giải tích (sai số 9.46% < 10%). c Tính toán biến dạng kéo dưới lớp Bê tông nhựa

- Biểu thức: sử dụng Biểu thức (4.9) xác định giá trị biến dạng kéo dưới lớp Bê tông nhựa:

Bảng 5.13 Kết quả tính biến dạng kéo phương ngang dưới đáy lớp Bê tông nhựa

Hình 5.9 Sơ đồ biến dạng kéo phương ngang dưới đáy lớp Bê tông nhựa Nhận xét:

 Giá trị biến dạng kéo theo phương ngang dưới đáy lớp Bê tông nhựa theo lời giải giải tích (kí hiệu ) và theo biểu thức (kí hiệu) giảm dần khi chiều dày lớp bê tông nhựa tăng dần (nghịch biến với chiều dày lớp Bê tông nhựa);

 Biểu thức đơn giản cho kết quả tuyến tính, gần với giá trị Lời giải giải tích (sai số 9.12% < 10%). d Tính toán ứng suất nén trên bề mặt nền đất

Bảng 5.14 Số liệu đầu vào các trường hợp tính ứng suất nén và biến dạng nén

Giá trị Biến dạng kéo (microstrain)

5 TH5 -176 -187 6.53% loại II Cấp phối đá dăm loại I 25 25 25 25 25 25 25 25 25 300 0.35

- Biểu thức: sử dụng Biểu thức (4.10) xác định giá trị Ứng suất thẳng đứng dưới lớp Bê tông nhựa:

Bảng 5.15 Kết quả tính ứng suất nén theo phương đứng trên bề mặt đất nền

Giá trị Ứng suất nén thẳng đứng (kPa)

Hình 5.0 Sơ đồ ứng suất nén theo phương đứng trên bề mặt đất nền Nhận xét:

 Giá trị ứng suất nén theo phương thẳng đứng trên bề mặt đất nền theo lời giải giải tích (kí hiệu ) và theo biểu thức () tăng dần khi chiều dày kết cấu áo đường tăng dần (đồng biến với chiều dày kết cấu áo đường);

Kết quả tính được theo dạng biểu thức đơn giản, cho kết quả tuyến tính, gần với giá trị Lời giải giải tích (sai số 7.93% < 10%), cho phép tính toán ứng suất hiệu dụng thẳng đứng tại các điểm đặc trưng trên bề mặt lớp đất nền.

- Phương trình: sử dụng công thức (4.11) xác định giá trị độ biến dạng thẳng đứng tại mặt tiếp xúc với đất nền:

Bảng 5.16 Kết quả tính biến dạng theo phương đứng trên bề mặt lớp đất nền

Giá trị Biến dạng thẳng đứng (micro strain)

Hình 5.11 Sơ đồ biến dạng theo phương đứng trên bề mặt lớp đất nền Nhận xét:

 Giá trị biến dạng nén theo phương thẳng đứng trên bề mặt đất nền theo lời giải giải tích (kí hiệu ) và theo biểu thức () tăng dần khi chiều dày kết cấu áo đường tăng dần (đồng biến với chiều dày kết cấu áo đường);

Biểu thức đơn giản cho kết quả tuyến tính, gần với giá trị Lời giải giải tích (sai số7.59% < 10%).

Phân tích độ nhạy

Kết quả xuất ra không có sai đột biến nghĩa là các biểu thức đáp ứng được tốt sự thay đổi của các biến đầu vào Vì số lượng biến nhiều, nên luận văn chỉ tập trung khảo sát các tham số thường thay đổi trong bài toán thiết kế kết cấu áo đường Cụ thể là mô đun của đất nền, chiều dày của lớp bê tông nhựa, chiều dày của lớp kết cấu áo đường, và mô đun đàn hồi của lớp bê tông nhựa.

1 Xét trường hợp bài toán kết cấu áo đường bốn lớp, chịu tải trọng bánh đôi (P0KN, a.52cm) có kết cấu áo đường như Bảng 5.9, kết quả độ võng cho các trường hợp Mô đun đàn hồi của lớp nền thay đổi từ 40, 44, 48, 52, 56 và 60 Mpa được mô tả qua hình 5.17.

Bảng 5.17 Thông số kết cấu áo đường xác định giá trị độ võng

Lớp kết cấu (từ dưới lên) E (Mpa) Bề dày (cm) Hệ số Poisson Đất nền đất chọn lọc 40-60 ∞ 0.4

Cấp phối đá dăm loại II 250 30 0.35

Cấp phối đá dăm loại I 300 25 0.35

Bê tông nhựa chặt hạt mịn 420 7 0.35

Hình 5.12 Biểu đồ độ võng bề mặt kết cấu áo đường dưới tải trọng bánh đôi với các trường hợp Mô đun đàn hồi đất nền thay đổi Hình 5.12 thể hiện, với tất cả các loại kết cấu áo đường khác nhau thì Độ võng bề mặt tại vị trí tim bánh xe thứ nhất và thứ hai bằng nhau và luôn lớn hơn tại vị trí giữa hai bánh xe Điều này phù hợp với độ võng thực tế Hình 5.13 thể hiện độ lún thực tế mà chúng ta có thể dễ dàng cảm nhận được trong trường hợp bánh đôi.

Hình 5.13 Sơ đồ độ võng bề mặt kết cấu áo đường dưới tải trọng bánh đôi

2 Giả sử bài toán Kết cấu áo đường bốn lớp, chịu tải trọng bánh đôi (P0KN, a.52cm), chiều dày lớp Cấp phối đá dăm loại I dày 25cm và E00Mpa; chiều dày lớp Cấp phối đá dăm loại II dày 30cm và E%0Mpa; chiều dày lớp HMAcm, EB0Mpa; với E nền = 40-60 Mpa, kết quả độ võng tại tim bánh xe và tại trung điểm hai tim cho các trường hợp được mô tả qua hình 5.14

Hình 5.14 Sự biến thiên của thành phần Độ võng bề mặt theo phương đứng với cùng một lớp mặt đường theo E đất nền Giá trị độ võng tại tim bánh xe (kí hiệu ) lớn hơn tại trung điểm (kí hiệu ).

Kết quả này phù hợp thực tế Ngoài ra, có thể thấy với cùng một kết cấu áo đường, độ võng bề mặt giảm dần khi E nền tăng dần Hay nói cách khác, cùng một lớp kết cấu mặt đường, giá trị độ võng bề mặt tỉ lệ nghịch với E nền.

3 Giả sử bài toán Kết cấu áo đường bốn lớp, chịu tải trọng bánh đôi (P0KN, a.52cm), chiều dày lớp Cấp phối đá dăm loại I dày 25cm và E%0- 350Mpa, chiều dày lớp Cấp phối đá dăm loại II dày 30cm và E%0Mpa, với E nền

= 40Mpa, kết quả độ võng cho các trường hợp chiều dày HMA=5, 10, 15, 20 cm được mô tả qua hình 5.15

Đồ thị cho thấy sự biến thiên của độ võng bề mặt theo phương đứng với cùng một lớp mặt đường sử dụng cấp phối đá dăm loại I Khi độ cứng của cấp phối đá dăm tăng từ 250 Mpa lên 350 Mpa, giá trị độ võng giảm dần từ 0,795 mm xuống còn 0,751 mm đối với kết cấu áo đường có hỗn hợp bê tông nhựa (ký hiệu ).

Với kết cấu áo đường có HMA (kí hiệu), khi E cấp phối đá dăm tăng dần từ 250-350 Mpa, giá trị độ võng giảm dần từ 0.839 – 0.792mm;

Với kết cấu áo đường có HMA (kí hiệu ), khi E cấp phối đá dăm tăng dần từ 250-350 Mpa, giá trị độ võng giảm dần từ 0.905 – 0.855mm;

Với kết cấu áo đường có HMA=5 (kí hiệu ), khi E cấp phối đá dăm tăng dần từ 250-350 Mpa, giá trị độ võng giảm dần từ 1.031 – 0.973mm;

Tuy nhiên, với cùng E cấp phối đá dăm loại I, E00Mpa, chiều dày HMA tăng tuyến tính vớiHMA=5 nhưng giá trị độ võng không tăng tuyến tính: HMA 20-15:  Độ võng = 0.126mm; HMA-10:  Độ võng = 0.006mm; HMA-5:

Như vậy, với cùng một lớp mặt đường, nhưng các lớp kết cấu bên dưới có E tăng lên thì giá trị Độ võng bề mặt theo phương đứng giảm dần Trị số này không tuyến tính với chiều dày lớp Kết cấu áo đường.

4 Giả sử bài toán Kết cấu áo đường bốn lớp, chịu tải trọng bánh đôi(P0KN, a.52cm), chiều dày lớp Cấp phối đá dăm loại I dày 25cm vàE00Mpa; chiều dày lớp Cấp phối đá dăm loại II dày 30cm và E%0Mpa; chiều dày lớp HMAcm, EB0Mpa; với E nền = 40-60 Mpa, kết quả ứng suất nén trên bề mặt đất nền tại tim bánh xe và tại trung điểm hai tim cho các trường hợp được mô tả qua hình 5.16

Hình 5.16 Sự biến thiên của thành phần ứng suất nén trên bề mặt đất nền với cùng một lớp KCAD theo E đất nền Giá trị ứng suất tại tim bánh xe (kí hiệu ) lớn hơn tại trung điểm (kí hiệu ) và biến thiên giảm dần khi E nền tăng dần.

Như vậy, với cùng một lớp mặt đường, giá trị ứng suất nén trên bề mặt đất nền phụ thuộc tỉ lệ thuận với E nền

5 Giả sử bài toán Kết cấu áo đường bốn lớp, chịu tải trọng bánh đôi(P0KN, a.52cm), chiều dày lớp Cấp phối đá dăm loại I dày 25cm vàE00Mpa; chiều dày lớp Cấp phối đá dăm loại II dày 30cm và E%0Mpa; Mô đun đàn hồi HMA EB0Mpa; với E nền = 40Mpa, kết quả ứng suất nén trên bề mặt đất nền tại tim bánh xe và tại trung điểm hai tim cho các trường hợp được mô tả qua hình 5.17

Hình 5.17 Sự biến thiên của thành phần ứng suất nén trên bề mặt đất nền với cùng một lớp mặt đường theo chiều dày lớp KCAD Giá trị ứng suất tại tim bánh xe (kí hiệu ) lớn hơn tại trung điểm (kí hiệu ) và biến thiên giảm dần khi E nền tăng dần.

Như vậy, với cùng một tính chất vật liệu áo đường và đất nền, giá trị Ứng suất nén trên bề mặt đất nền phụ thuộc tỉ lệ nghịch với chiều dày KCAD Giá trị này biến thiên không tuyến tính với chiều dày KCAD

Kết luận

Đề tài đã tiến hành tìm hiểu lời giải giải tích cho kết cấu áo đường mềm gồm nhiều lớp Một số ví dụ điển hình sử dụng lời giải giải tích đã được thực hiện Đề tài đã chọn BISAR 3.0 để thực hiện các nghiên cứu tiếp theo Chương trình BISAR 3.0 được chọn vì nó được xây dựng dựa trên lời giải giải tích, đã được kiểm chứng qua nhiều năm, và đang được sử dụng rộng rãi trong các nghiên cứu liên quan đến kết cấu áo đường.

Căn cứ vào BISAR 3.0, 4374 trường hợp kết cấu áo đường khác nhau đã được thực hiện cho trường hợp tải trọng bánh đôi Các biểu thức đơn giản hóa được đề xuất ở chương 4 Hệ số R 2 , của các biểu thức đơn giản từ phần mềm SPSS ver 22, đạt được giá trị từ 0,9 đến 0,998 Cao hơn hệ số kỳ vọng là 0.85.

Sau đó, các biểu thức này được kiểm chứng và phân tích độ nhạy ở chương 5.

Kết quả cho thấy các biểu thức cho sai số so với BISAR là bé hơn 10% Kết quả tốt nhất có thể đạt được là 0.05% Kết quả phân tích độ nhạy cũng khá tốt, không có kết quả đột biến khi các tham số thay đổi trong phạm vi hợp lý của chúng.

Việc xác định được các giá trị nội lực thông qua các biểu thức đơn giản hóa, mà không cần phải có kiến thức để sử dụng các chương trình như BISAR, giúp tăng khả năng thực hành tính toán cho kỹ sư trong thực tế Phương pháp này có thể nhanh hơn phương pháp toán đồ mà hiện tại đang sử dụng phổ biến ở Việt Nam.

Ngoài ra, tiêu chuẩn hiện hành chưa có thủ tục để xác định đáp ứng của kết cấu áo đường cho trường hợp tải trọng bánh đôi.

Ngoài ra, người thiết kế có thể phần nào với một thủ tục đơn giản này cho phép người thiết kế đưa ra được các giá trị giới han cho phép của ứng suất – biến dạng – chuyển vị nhằm dự đoán được mức hư hỏng mặt đường sau một thời gian sử dụng để có biện pháp duy tu trước khi các hư hỏng: nứt, lún xảy ra (trước khi kết cấu áo đường đạt giá trị ứng suất – biến dạng – chuyển vị đạt mức cho phép tối đa).

Việc xây dựng công thức đơn giản về giá trị ứng suất – biến dạng – chuyển vị(4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.11) cho bài toán kết cấu áo đường bốn lớp chịu tải trọng bánh đôi giúp đơn giản hóa việc tính toán các giá trị nội lực cho bài toán này.

Hạn chế của đề tài

Chiều dày của các lớp kết cấu cũng giả định có nhiều trường hợp chưa phù hợp với thực tế thi công.

Các kết quả sử dụng nhằm tìm ra mối quan hệ ứng suất - biến dạng - chuyển vị còn hạn chế ở bài toán mới xét đến số lớp kết cấu là 4 lớp và một trường hợp tải trọng bánh đôi tiêu chuẩn.