Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích động lực học tấm FGM chịu tải trọng động trên nền nhiều lớp bằng phương pháp phần tử nhiều lớp tấm chuyển động MEM (Moving Element Method)

Giới thiệu

Vật liệu chức năng (Functionaly Graded Materials-FGM) là một loại composite thế hệ mới mà các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác Do đó làm giảm ứng suất tập trung, hạn chế được sự bong tách và đây là điều được cải tiến so với vật liệu composite cũ được chia lớp Vật liệu chức năng là một tổ hợp các thành phần vật liệu khác nhau (Thép, Mg2Si, gốm, Ni, Cr, Co, Al) Bằng cách bố trí các thành phần hợp thành theo một hướng thống nhất thay đổi liên tục (Hình 1.1), các thành phần này là các vật liệu ở thể không đồng nhất cực nhỏ và được làm từ các thành tố đẳng hướng như kim loại, gốm nên vật liệu chức năng dễ tạo ra các kết cấu tấm, vỏ được ứng dụng ở những nơi có sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động Vật liệu FGM có tiềm năng và ứng dụng vô cùng to lớn, là vật liệu của tương lai với những tính chất đặc trưng và những ứng dụng to lớn vào rất nhiều ngành khác nhau như thiết kế các công trình hàng không vũ trụ (khung, dầm máy bay, vỏ cabin, khoang hành lý,…); công nghiệp tàu thủy (thân, vỏ tàu,…); công nghiệp xây dựng (xà dầm, khung cửa, vòm che, mái che,…); các hệ thống cơ nhiệt (xylanh, ống xả, đường ống,…); các kết cấu chịu mài mòn

Hình 1.1 Mô hình vật liệu FGM

Trong Luận văn này, phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM (Multi- Layer Plate Moving Method) được đề xuất dựa trên phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) để giải quyết bài toán tấm trên nền nhiều lớp chịu tải trọng di động Theo phương pháp này, tấm sẽ được chia nhỏ thành những

“phần tử nhiều lớp chuyển động” Những phần tử này không phải chuyển động thật so với tấm đứng yên mà là chuyển động giả tưởng cùng với lực di chuyển trên kết cấu tấm Do đó, phương pháp này sẽ tránh được việc cập nhật véctơ tải trọng tương ứng với mô hình tấm Tất cả các phương trình chuyển động của tấm, các ma trận kết cấu được thiết lập trong hệ tọa độ tương đối chuyển động cùng vận tốc với vận tốc của lực di chuyển Trong đó, giả thuyết hai tấm FGM như hai tấm dày, còn liên kết giữa hai tấm bằng lớp nhựa đường được mô hình hóa thành hệ số độ cứng đàn hồi và hệ số độ cản tương tác giữa hai tấm Các hệ số độ cứng đàn hồi và hệ số độ cản được tính toán dựa trên mô hình của Richart và Lysmer, có xét đến hệ số điều chỉnh theo mô hình Whitman theo Shambhu (2009) [24] được thể hiện như Hình 1.2

Hình 1.2 Mô hình tải trọng và phần tử nhiều lớp tấm chuyển động (MPMM)

Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài

Cùng với sự phát triển tiên tiến của khoa học kỹ thuật, nhiều phương pháp số được thiết lập để tính toán và phân tích ứng xử động của kết cấu tấm Mindlin chịu tải trọng di động

1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước

Vật liệu biến đổi chức năng (Functionaly Graded Materials) được nhóm các nhà khoa học ở viện Sendai của Nhật Bản phát minh lần đầu tiên vào năm 1984 Từ sau những năm 1984 có rất nhiều nghiên cứu để phát triển vật liệu FGM, hầu hết các nghiên cứu tập trung vào ba quy luật phân bố thể tích chính của vật liệu FGM là quy luật lũy thừa Power-Law (P-FGM), quy luật hàm e mũ (E-FGM) và quy luật hàm Sigmoid (S-FGM) Một số công trình nghiên cứu có thể kể đến như: Yang and Munz (1996) [1] phân tích tấm P-FGM bằng phương pháp biến đổi Mellin và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), qua đó tính toán ứng suất của tấm P-FGM tại các nút có xem xét đến ảnh hưởng của bề dày tấm Cũng với FEM, Reddy (1998) [1] đã nghiên cứu và phát triển thêm các công thức lý thuyết và tính toán tấm vật liệu chức năng FGM, đưa ra các ứng dụng quan trọng của vật liệu chức năng, phân tích ứng xử tĩnh và động của tấm FGM, có kể đến biến dạng cắt ngang và moment quán tính Sau đó Reddy (2000) [3] tiếp tục sử dụng FEM kết hợp lời giải Navier, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) và lý thuyết Von-Karman để phân tích đưa ra các kết quả số độ võng và ứng suất của tấm FGM hình chữ nhật Woo và Megiud (2001) [4] sử dụng lý thuyết Von-Karman cho biến dạng lớn để tìm lời giải giải tích cho tấm và vỏ chịu tải trọng cơ học của tấm P-FGM Jin and Paulino (2001) [5] phân tích vết nứt của tấm P-FGM dưới các điều kiện tải trọng khác nhau với giả thiết hệ số Poisson là hằng số và sử dụng biến đổi Laplace để giải Batra and Vel (2002) [6] đã nghiên cứu và đưa ra lời giải chính xác biến dạng ba chiều cho tấm P-FGM vuông tựa đơn bốn cạnh, chịu tải trọng cơ học và ảnh hưởng của nhiệt độ bằng phương pháp Mori-Tanaka Phương pháp này được áp dụng cho cả tấm mỏng và tấm dày Nghiên cứu đã đưa ra các kết quả cho thấy ảnh hưởng của bề dày, tỷ lệ thể tích và các thành phần vật liệu của tấm đến ứng xử của tấm FGM Ferreira và cộng sự (2005) [7] đã khảo sát ứng xử tĩnh của tấm P-FGM bốn cạnh tựa đơn dựa trên lý thuyết lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Từ đó đưa ra các kết quả chuyển vị của tấm để đánh giá ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích cũng như hệ số Poisson đến kết quả chuyển vị Chung and Chi (2006) [8] đã tính toán tấm vuông FGM có bề dày trung bình, 4 biên tựa đơn với các quy luật phân bố thể tích của tấm khác nhau dựa trên lý thuyết tấm cổ điển và phương pháp biến đổi

Fourier Uymaz và Aydogdu (2007) [9] đã tính toán tấm FGM hình vuông với các điều kiện biên khác nhau, sử dụng phương pháp Ritz và công thức chuyển vị Chebyshev Oyekoya và cộng sự (2008) [10] nghiên cứu tấm vật liệu chức năng FGM theo lý thuyết tấm Mindlin và phép cầu phương Gauss Nghiên cứu đã chỉ ra rằng có thể tối ưu hóa kết cấu tấm vật liệu chức năng thông qua cấu trúc của vật liệu tấm có cơ tính biến thiên Saha và Maiti (2012) [10] đã phân tích tấm FGM chữ nhật tựa đơn và so sánh các kết quả của các loại tấm FGM khác nhau khi sử dụng các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và lý thuyết tấm cổ điển, hệ số Poisson được coi là hằng số còn module đàn hồi E thay đổi theo chiều dày tấm Kiani và cộng sự (2012) [12] đã phân tích tĩnh học, dao động tự do, phân tích phản ứng động của tấm FGM chữ nhật trên nền Pasternak Các công thức lý thuyết được tác giả xây dựng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và lý thuyết của vỏ của Sanders đồng thời sử dụng lời giải Navier và biến đổi Laplace để giải Daouadji và cộng sự (2012) [13] đã nghiên cứu ứng xử tĩnh và động của tấm Metal–Ceramic FGM bằng lời giải Navier dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Hien và Noh (2013) [14] thực hiện phân tích ứng xử động của tấm FGM chữ nhật chịu tải trọng di động bằng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và sử dụng các phương trình chuyển động theo nguyên lý Hamilton, đồng thời có xét đến ảnh hưởng của tham số vật liệu đến kết quả tính toán Sobhy và Zenkour (2015) [15] đã phân tích tấm Sandwich-FGM ba lớp trên nền Pasternak và khảo sát ảnh hưởng của các ảnh hưởng của các thông số như thời gian, hệ số tỷ lệ thể tích, nhiệt độ đến ứng xử động của tấm Để giảm bớt những khó khăn khi giải quyết bài toán chịu tải di động, Koh và cộng sự (2003) [16] đã sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Sau đó, Koh và cộng sự (2007) [17] đã khảo sát đến ứng xử động của nền bán không gian đàn hồi sử dụng phương pháp MEM

Xu và cộng sự (2009) [18] sử dụng phương pháp MEM để phân tích dao động ngẫu nhiên của tấm Kirchhoff trên nền Kelvin chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động Lei và Wang (2013) [19] đã đề xuất một cách tiếp cận mới tên là phần tử khung chuyển động cho đường dựa trên phần tử xe và phần tử nền để đánh giá ứng xử động của tàu và hệ thống nền ba lớp Ang và cộng sự (2013) [20] đã sử dụng MEM

Chương 1: Tổng quan 5 để khảo sát đến ứng xử của tàu cao tốc trong khoảng thời gian tăng tốc và giảm tốc và khảo sát hiện tượng nảy bánh xe của tàu cao tốc [21] Thi và cộng sự (2013) [22] đã phân tích động lực học của tàu cao tốc trên nền hai thông số Tiếp đó, Thi và cộng sự (2014) [23] tiếp tục sử dụng MEM để phân tích ứng xử động của tàu cao tốc chuyển động với vận tốc không đều Thi và cộng sự (2016) [24] đã phân tích ứng xử động của tàu cao tốc khi phanh đột ngột Ali J và cộng sự (2017) [26] đã phân tích độ rung của hệ thống tấm FGM hai lớp dựa trên lý thuyết gradient biến dạng được điều chỉnh kết hợp với bề mặt hoàn thiện Hadji và cộng sự (2018) [27] đã phân tích ứng xử cơ học của tấm vuông FGM sử dụng lý thuyết cắt bậc cao gần 3-D và lý thuyết biến dạng bình phương M Esmaeilzadeh và cộng sự (2019) [28] đã phân tích ứng xử động của tấm cứng FGM hai hướng với lỗ rỗng dưới tải trọng di chuyển A Radakokic và cộng sự (2020) [29] đã phân tích phản ứng nhiệt và dao động tự do của tấm FGM trên nền đàn hồi theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao dựa trên hàm dạng mới

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) được đưa ra để phân tích ứng xử của tấm trên nền đàn nhớt Tuy nhiên phương pháp FEM lại gặp vấn đề khó khăn khi tải trọng tiến đến gần biên của miền hữu hạn phần tử và di chuyển vượt ra ngoài biên Do đó Koh và cộng sự (2003) [30] đã đề xuất sử dụng phương pháp phần tử chuyển động (MEM) trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Mô hình của Koh đã giải quyết những khó khăn của phương pháp FEM như tải sẽ không bao giờ chạy tới biên hữu hạn của phần tử do phần tử luôn chuyển động, tránh phải cập nhật véctơ tải trọng và cho phép các phần tử hữu hạn có kích thước không bằng nhau Nghiên cứu này đã cho thấy MEM là phương pháp thích hợp nhất để phân tích bài toán động học cho các kết cấu chịu tải trọng động Sau khi được ứng dụng thì phương pháp MEM càng tỏ ra hữu dụng và ngày càng được phát triển Koh và cộng sự (2005) [31] đã khảo sát dao động của nền bán không gian đàn hồi bằng phương pháp MEM Gần đây nhất,

Xu và cộng sự (2009) [32] sử dụng phương pháp MEM để phân tích dao động ngẫu nhiên của tấm Kirchhoff trên nền Kelvin chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tứ giác Ang và cộng sự (2013) Error! Reference source not found đã khảo sát đến d ao động của đường ray trong khoảng thời gian tăng tốc và giảm tốc của tàu cao tốc

Chương 1: Tổng quan 6 trên nền 2 thông số, nghiên cứu này sử dụng phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc

Trong kết cấu đường băng, nền đường được cấu tạo nhiều lớp bao gồm: Lớp bê tông, lớp nhựa đường, lớp xi măng đá, tiếp đến là nền đất Wu và cộng sự (2014) [33] đã khảo sát ứng xử động của tấm Kirchoff trên nền nhiều lớp dưới tác động của tải trọng di chuyển Tuy nhiên, hiện nay chưa có bất cứ nghiên cứu nào về kết cấu tấm FGM trên nền nhiều lớp mà có xét đến tương tác giữa các lớp với nhau

1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước Ở Việt Nam, trong những năm gần đây cũng có khá nhiều nghiên cứu về vật liệu FGM Các công trình của Đào Văn Dũng, Đào Huy Bích, Hoàng Văn Tùng và rất nhiều tác giả khác đã được công bố trên các tạp chí uy tín trong và ngoài nước Bùi Quốc Bình (2009) [35] giới thiệu phương pháp mô hình hóa vật liệu chức năng theo lý thuyết tấm Mindlin, khảo sát tấm với các đặc trưng của tấm và so sánh với kết quả của phần mềm ANSYS Phượng và Tú (2012) [36] nghiên cứu ứng xử tĩnh của tấm FGM chữ nhật tựa khớp trên chu vi chịu tải trọng vuông góc với mặt trung bình theo lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff-Love Khảo sát đã đưa ra các kết quả số và đưa ra nhận xét sự tương đồng với kết quả với tấm đẳng hướng Trung và Dũng (2012) [37] nghiên cứu phi tuyến ứng xử của tấm S-FGM trên nền đàn hồi bằng cách sử dụng lý thuyết tấm cổ điển và phương pháp Bubnov-Galerkin Dũng (2014) [38] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để tính toán độ võng và ứng suất của tấm FGM chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ Phần tử đẳng tham số chín nút mỗi nút gồm năm bậc tự do được sử dụng để mô hình phần tử tấm Kết quả số được khảo sát với các trường hợp khác nhau và được so sánh với các kết quả đã được công bố của tác giả khác cho thấy độ tin cậy của thuật toán và chương trình Đức và Cống (2015) [39] đưa ra phương pháp phân tích phi tuyến phản ứng động và dao động của tấm dày FGM trên nền đàn hồi giải bằng phương pháp Runge – Kutta Ngoài các bài báo khoa học thì rất nhiều luận văn cao học cũng đã nghiên cứu về vật liệu FGM và ứng xử của tấm FGM Nguyên (2013) [40] khảo sát tấm FGM trên cơ sở lý thuyết tấm bậc nhất của Reissner-Mindlin để tính toán tần số dao động riêng cho tấm trên cơ sở ngôn ngữ lập trình Phong (2011) [41] phân tích ứng xử phi tuyến của dầm FGM trên nền

Chương 1: Tổng quan 7 đàn hồi Winkler chịu tải trọng động di động sử dụng lý thuyết dầm Timoshenko kết hợp với quan hệ phi tuyến giữa biến dạng – chuyển vị của Von - Karman Ở nước ta trong những năm gần đây có một số các nghiên cứu sử dụng phương pháp MEM có thể kể đến Duy (2013) [42] phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác đất nền Hải và cộng sự (2013) [43] phân tích ứng xử tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác với đất nền sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Nghiên cứu này sử dụng phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Một số luận văn cao học đã nghiên cứu về phương pháp MEM trong đó có Anh (2013) [44] đã phân tích động lực học tàu cao tốc có xét đến độ nảy bánh xe và tương tác với đất nền Nhi (2014) [45] đã phân tích ứng xử của tấm với mô hình tấm dày Mindlin trên nền đàn nhớt sử dụng phương pháp MEM, đây là nghiên cứu mới hơn do hầu hết các nghiên cứu trước đây về phương pháp MEM chỉ mới được ứng dụng để phân tích động lực học tàu cao tốc và bài toán về dầm chịu tải trọng động chứ không sử dụng cho bài toán tấm chịu tải trọng động Cường (2011) [46] đã phân tích dao động của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt xét đến khối lượng của vật chuyển động sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn FEM Nhựt (2014) đã phân tích ứng xử động của tàu cao tốc bằng mô hình 3-D sử dụng phương pháp [47] phần tử chuyển động Thu (2014) [48] đã phân tích động lực học tàu cao tốc sử dụng phương pháp phần tử nhiều lớp dầm chuyển động có xét đến tương tác đất nền An (2014) [49] đã phân tích bài toán tương tác tấm Mindlin trên nền đàn nhớt được gia cường Top-base chịu tải trọng di động Xuyên (2015) [50] đã phân tích động lực học tấm trên nền Top-base chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tấm chuyển động Anh (2015) [51] đã phân tích động lực học tấm FGM chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp MEM Minh (2016) [52] đã phân tích động lực học kết cấu tấm dày trên nền nhiều lớp chịu tải trọng động sử dụng phương pháp MPMM Từ đó cho thấy rằng đã có rất nhiều nghiên cứu về ứng xử động của kết cấu tấm khi chịu tải di chuyển Đa phần trước đây chủ yếu dùng các phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn FEM để giải quyết bài toán Để khắc phục những nhược điểm của các phương pháp truyền thống, phương pháp phần tử chuyển động MEM được đề xuất và ứng dụng Dựa trên phương pháp phần tử chuyển động, phương pháp nhiều

Chương 1: Tổng quan 8 lớp tấm chuyển động MPMM được trình bày như là một cách tiếp cận mới và sử dụng để giải quyết bài toán tấm Mindlin trên nền nhiều lớp Phương pháp này sẽ mô hình chính xác hơn kết cấu nền bao gồm nhiều lớp tấm FGM và có xét đến sự tương tác giữa các lớp với nhau Từ đó rút ra các kết luận quan trọng và đề xuất các giải pháp áp dụng trong mô hình tấm FGM trên nền nhiều lớp trong thực tế.

Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Mục tiêu của Luận văn nhằm phân tích động lực học tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tải trọng di động và có xét đến sự tương tác giữa các lớp với nhau Các vấn đề nghiên cứu cụ thể trong phạm vi Luận văn bao gồm:

Thiết lập các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản của phần tử kết cấu tấm sử dụng phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM

Phát triển thuật toán, sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình động của bài toán

Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của Luận văn với kết quả các phương pháp khác

Tiến hành thực hiện các ví dụ số nhằm khảo sát ảnh hưởng của các nhân tố quan trọng đến ứng xử động của kết cấu tấm, từ đó rút ra kết luận và kiến nghị.

Cấu trúc luận văn

Nội dung trong Luận văn được trình bày như sau:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm chịu tải trọng động, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước, cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài

Chương 2: Trình bày các công thức để phân tích động lực tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử nhiều lớp tấm chuyển động MPMM

Chương 3: Trình bày các kết quả phân tích số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

Chương 4: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong Luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài.

Khái niệm chung về tấm vật liệu chức năng Functionally Graded Materials (FGM)

Vật liệu FGM là một loại Composite đặc biệt được kết hợp từ hai loại vật liệu trong đó tỷ lệ thể tích của mỗi thành phần biến đổi một cách trơn và liên tục từ mặt này sang mặt kia theo chiều dày thành kết cấu như Hình 2.1 Hàm đặc trưng cho các hằng số vật liệu FGM giả thiết theo Reddy (2000) [1]:

P t - Hằng số vật liệu của vật liệu mặt trên tấm; P b - Hằng số vật liệu của vật liệu mặt dưới tấm; P z  - Hằng số vật liệu của vật liệu tại tọa độ z bất kỳ; V c là hàm tỉ lệ thể tích Quy luật phân bố của hàm tỉ lệ thể tích là cơ sở để phân loại vật liệu FGM Vật liệu P-FGM có V c thay đổi theo qui luật lũy thừa Vật liệu E-FGM khi V c thay đổi theo quy luật hàm e-mũ Vật liệu S-FGM khi V c thay đổi theo quy luật sigmoid (hàm Logarit chuẩn) Luận văn nghiên cứu tấm P-FGM như Hình 2.1

Chương 2: Cơ sở lý thuyết 11

Hình 2.1 Mô hình tấm P-FGM

Mô hình tấm FGM nhiều lớp

Trong luận văn sẽ mô hình chính xác hơn cấu tạo nền bao gồm nhiều lớp và có xét đến sự tương tác giữa các lớp với nhau

Với giả thuyết xem tấm FGM là tấm dày, tấm bên trên liên kết với tấm bên dưới thông qua lớp liên kết với hệ số cứng k t và hệ số cản c t Tấm phía dưới đặt trên nền đất với hệ số cứng nền k b và hệ số cản nền c b Các hệ số độ cứng đàn hồi và hệ số độ cản được tính toán dựa trên mô hình của Richart là Lysmer (1970), có xét đến hệ số điều chỉnh theo mô hình Whitman (1972) theo Sambhu (2009) [24]

Hình 2.2 Tấm FGM nhiều lớp trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động

2.2.1 Hệ số độ cứng đàn hồi k s

Trọng lượng bản thân của kết cấu tấm bên trên làm cho đất nền bên dưới bị nén lại và chịu biến dạng nén trước Trong luận văn này, tác giả sử dụng các lò xo có độ cứng đàn hồi theo phương đứng để đặc trưng cho ứng xử đó

Richart và Lysmer (1970) [24] đã đưa ra mô hình trong đó xem phần móng đặt trên nền như khối hình hộp chữ nhật đặt trên các lò xò được mô tả bằng các module kháng cắt G s Đối với móng chữ nhật và móng vuông được quy ước về móng tròn để tính toán Bán kính quy đổi lấy dựa vào đặc trưng hình học tương đương theo phương r z

Giả thuyết xem các lớp đất làm việc như vật liệu đẳng hướng, do đó module kháng cắt của đất được tính như sau:

 (2.3) với r z là bán kính quy đổi móng chữ nhật thành móng tròn theo phương đứng và được xác định bởi: z  r LB

 (2.4) trong đó: L, B tương ứng là chiều dài và chiều rộng móng

Mô hình Whitman (1972) [25], khi móng được chôn sâu tại độ sâu e thì độ cứng nền k s sẽ gia tăng và do đó cần được hiệu chỉnh bởi hệ số:

Bằng cách nhân hệ số  z từ phương trình (2.5) vào phương trình (2.2) sẽ được hệ số độ cứng k s hiệu chỉnh

Richart và Lysmer (1970) [24], gọi m là tổng khối lượng của móng và kết cấu bên trên, c s ; z ; B z lần lượt là hệ số cản, tỉ số cản và tỉ số khối lượng theo phương đứng, hệ số cản của móng tròn và móng quy đổi về móng trong đặt trên mặt đất được tính:

Mô hình Whitman (1972) [24] đã đưa ra công thức hiệu chỉnh khi kể đến ảnh hưởng của độ chôn sâu e đến hệ số cản

Bằng cách nhân hệ số  z từ phương trình (2.7) vào phương trình (2.6) sẽ được hệ số c s hiệu chỉnh

Theo Chowdhury (2009) [24] đối với nền đất có nhiều lớp khác nhau thì các đặc trung như trọng lượng riêng  s , module đàn hồi E s và hệ số Poisson  s được lấy giá trị trung bình

Hình 2.3 Nền với nhiều lớp đất đá khác nhau

Tính chất vật liệu của tấm P-FGM

Hàm tỉ lệ thể tích V c của tấm P-FGM tuân theo quy luật lũy thừa Power-Law:

V z h (2.11) n là tham số vật liệu (chỉ số tỉ lệ thể tích); h là chiều dày tấm:

Module đàn hồi (Young ‘s module) được xác định sau:

Trọng lượng riêng của tấm được xác định như sau:

Hệ số Poisson của tấm được xác định như sau :

E m là module đàn hồi kéo (nén) của vật liệu ở mặt dưới

  z h và E c là module đàn hồi kéo (nén) của vật liệu ở mặt trên

  z h Biến thiên của module đàn hồi theo chiều dày biểu diễn trên Hình 2.4 cho thấy module đàn hồi tăng nhanh tại vị tri gần bề mặt trên tấm khi n1 và gần bề mặt dưới khi n1 (Với

E c GPa,E m 70GPa) Delale and Erdogan (1982) [53] đã chỉ ra rằng ảnh hưởng của hệ số Poisson   ( )z trên ứng xử của tấm là ít hơn rất nhiều so với module đàn hồi E  E z  , cho nên hệ số Poisson của tấm được xem là hằng số

Hình 2.4 Biến thiên module đàn hồi E

Phương pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MPMM

Phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM (Multi-layer Plate Moving Method) được đề xuất dựa trên phương pháp phần tử chuyển động MEM Các phương trinh chuyển động của tấm, các ma trận kết cấu được thiết lập trong hệ tọa độ tương đối chuyển động cùng vận tốc với vân tốc của lực di chuyển

Trong luận văn này sẽ phân tích ứng xử của tấm P-FGM theo mô hình tấm Reissner-Mindlin

Tóm tắt lý thuyết tấm Mindlin:

 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng sẽ vẫn là thẳng nhưng không nhất thiết là vẫn vuông góc với mặt trung bình khi biến dạng

 Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình không bị kéo, nén

 Bỏ qua ứng suất pháp  z

Theo mô hình Reissner-Mindlin, các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt trung gian nữa, và các góc vuông này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt trung bình gây ra bởi lực cắt Như vậy góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm hai phần, phần thứ nhất do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung bình, phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra (Hình 2.5)

Hình 2.5 Mô hình kết cấu tấm theo lý thuyết Reissner-Mindlin

2.4.2 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng - chuyển vị

Xét tấm FGM chịu biến dạng uốn bởi các lực vuông góc với mặt phẳng tấm, hệ trục tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt trung bình

 và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Tấm dựa trên các giả thiết Reissner- Mindlin, với w là độ võng tấm, x , y lần lượt là các góc xoay của pháp tuyến của mặt trung hòa quanh trục Ox và Oy của hệ tọa độ địa phương với qui ước chiều dương cho ở Hình 2.6,  là mặt trung hòa của tấm và h là độ dày của tấm Các thành phần u, v và w tương ứng là chuyển vị theo phương x, phương y và phương z, w 0 là chuyển vị tại mặt trung hòa (giả thiết biến dạng màng: u 0  0 0)

Hình 2.6 Qui ước chiều dương của chuyển vị w và hai chuyển vị xoay của tấm

Reissner-Mindlin trên nền đàn nhớt Véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm FGM theo lý thuyết tấm Mindlin được tạo bởi:

Và các thành phần chuyển vị trong mặt phẳng: u, v và w

2.4.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ ứng suất-biến dạng

Biến dạng của tấm bao gồm biến dạng uốn và biến dạng cắt Các thành phần biến dạng này được cho bởi các công thức sau:

Biến dạng uốn của tấm theo Reissner-Mindlin:

        κ (2.18) trong đó, vectơ thành phần độ cong:

L  (2.20) hay công thức (2.19) được viết lại theo cách khác:

Biến dạng cắt ngang của tấm

Biểu thức của biến dạng cắt được viết lại:

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng: Ứng suất của tấm lần lượt là ứng suất uốn và ứng suất cắt Mối liên hệ giữa biến dạng uốn và biến dạng cắt theo định luật Hooke như sau: Ứng suất uốn của tấm:

D (2.31) trong đó E z   là module đàn hồi của vật liệu tấm,  là hệ số Poisson Ứng suất cắt của tấm

 là hệ số hiệu chỉnh cắt

Moment và lực cắt được xác định như sau:

2.4.4 Phương trình năng lượng của tấm

Năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm Mindlin được cho bởi công thức sau:

Thay công thức (2.17), (2.27), (2.30) và (2.32) vào (2.38), thế năng biến dạng của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt được viết lại:

(2.39) trong đó D D lần lượt là ma trận vật liệu ứng với biến dạng uốn và biến dạng cắt b , s của tấm, và được xác định bởi:

Ta có động năng của tấm Mindlin

T  z z  z dAdz u m udA (2.43) với m là ma trận khối lượng

Phần tử đẳng tham số

2.5.1 Tọa độ tổng thể và tọa độ tự nhiên

Luận văn này sử dụng phần tử tấm tứ giác 9 nút (Quadrilateral nine-node element - Q 9 ) thuộc loại đẳng tham số (isoparametric element) có các hàm nội suy

Chương 2: Cơ sở lý thuyết 22 song tuyến tính (bilinear interpolation fucntion) để mô hình hóa bài toán khảo sát Với phần tử tứ giác đẳng tham số 9 nút, phần tử quy chiếu là hình vuông có các tọa độ nút theo hệ tọa độ tự nhiên cho trong Hình 2.8 còn phần tử thực là phần tử tứ giác

9 nút có biên cong hoặc thẳng như trong Hình 2.7

Hình 2.7 Phần tử tứ giác Q 9 trong hệ tọa độ địa phương

Hình 2.8 Phần tử tứ giác Q 9 trong hệ tọa độ tự nhiên Rời rạc hóa miền bài toán  thành Nephần tử tứ giác chin nút Q9 sao cho

  N e  e e với       i j ,i j Vì liên quan đến các phép tính tính phân sau này, để cho việc chuẩn hóa các tọa độ tiện lợi hơn nên ta đặt sao cho cạnh 1-2 có   1, canh 3-4 có  1, cạnh 1-4 có   1, cạnh 2-3 có  1

Dạng hình học của phân tử được cho bởi tổ hợp tuyến tính:

 i i  i i i i x N x y N y (2.46) với  x y i , i  là tọa độ của nút thứ i i(  1 9)trong hệ tọa độ tổng thể   x y ,

Ba đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng như sau:

 i i x  i xi y  i yi i i i w N w  N  N (2.47) trong đó w i ,  xi , yi là giá trị của các hàm w i ,  x , y tại nút i hay cũng là các bậc tự do tại nút i

Các hàm dạng để nội suy phần tử Q 9 được xác định bởi:

Ma trận Jacobi của phép biến đổi tọa độ được định nghĩa như sau:

Quan hệ giữa các đạo hàm của các hàm dạng N i trong tọa độ tự nhiên O và trọng hệ tọa độ tổng thể Oxy được cho bởi:

J (2.53) Định thức của ma trận Jacobi được dung trong công thức tích phân chuyển đổi như sau:

2.5.2 Phép tích phân số - Phép cầu phương Gauss

Mặc dù một số tích phân có dạng trong công thức (2.55) có thể giải được bằng giải tích, nhưng việc áp dụng đối với các hàm phức tạp tỏ ra rất khó khăn Đặc biệt khi ,  biến thiên theo đường cong Trong thực tế công thức (2.55) được tính bằng phương pháp số, sử dụng phép cầu phương Gauss trên toàn miền phần tử Các qui tắc cầu phương trong mặt phẳng đều có dạng sau:

      (2.55) trong đó   i , i là tọa độ điểm nằm trong phần tử w w i , j là các trọng số tương ứng, n là số điểm Gauss sử dụng trong phép cầu phương

Phép cầu phương Gauss với n điểm Gauss sẽ cho kết quả chính xác nếu hàm

  , f   là một đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng  2 n  1 

Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số trong phép cầu phương Gauss

Thiết lập công thức ma trận kết cấu tấm dày trên nền nhiều lớp sử dụng phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM

dụng phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM Để thiết lập phương trình ứng xử của bài toán tấm trên nền đàn nhớt, Luận văn sử dụng nguyên lý công ảo được phát biểu như sau: nếu một vật thể biến dạng được cân bằng thì công nội ảo bằng với công ngoại ảo đối với bất kỳ chuyển vị khả dĩ động Công nội ảo của kết cấu tấm FGM bên trên được cho bởi:

  κ D κ γ D γ (2.56) với D bt ,D st lần lượt là ma trận vật liệu ứng với biến dạng uốn và biến dạng cắt của phần tử tấm FGM bên trên và được xác định bởi:

 ,  bt bt t st κ B d  B d (2.58) với B bt (kích thước 3x54), B st (kích thước 2x54) lần lượt là các ma trận gradient biến dạng uốn và biến dạng cắt của phần tử tấm FGM bên trên, được xác định như sau:

Phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM sử dụng phần tử tứ giác 9 nút, hai lớp được thể hiện như trong Hình 2.8 Hai phần tử tấm FGM liên kết với nhau bởi hệ số độ cứng k t và hệ số độ cản c t Còn tấm FGM bên dưới liên kết với nền bằng hệ số độ cứng nền k b và hệ số độ cản nền c b Bằng việc sử dụng phần tử tứ giác 9 nút, 2 lớp và mỗi nút 3 bậc tự do Do đó, mỗi phần tử nhiều lớp tấm bao gồm tổng cộng 54 bậc tự do

Vectơ chuyển vị nút phần tử nhiều lớp tấm chuyển động gồm 54 thành phần được xác định như sau:

Hình 2.9 Phần tử tứ giác 9 nút, 2 lớp trong phương pháp MPMM

Công ngoại ảo của kết cấu tấm FGM bên trên được cho bới:

Công ảo gây ra do lực tập trung P

Chương 2: Cơ sở lý thuyết 27 với b   P 0 0  T là vectơ tải trọng,  T là mặt trung hòa tấm bê tông

Công ảo gây ra do lực quán tính:

W u m u dxdy (2.64) với m t là ma trận khối lượng của tấm FGM bên trên và được xác định bởi:

Công ảo gây ra do lực đàn hồi liên kết giữa hai tấm:

Công ảo gây ra do lực cản liên kết giữa hai tấm:

Công nội ảo của kết cấu tấm FGM bên dưới được cho bởi:

  κ D κ γ D γ (2.68) với D , D bb sb lần lượt là ma trận vật liệu ứng với biến dạng uốn và biến dạng cắt của phần tử tấm FGM bên trên và được xác định bởi:

Chương 2: Cơ sở lý thuyết 28 với B bb (kích thước 3×54), B sb (kích thước 2×54) lần lượt là các ma trận gradient biến dạng uốn và biến dạng cắt của phần tử tấm FGM bên dưới, được xác định như sau:

Công ngoại ảo của kết cấu tấm FGM bên dưới được cho bới:

Công ảo gây ra do lực đàn hồi và lực liên kết giữa hai tấm:

W w k w w dxdy w c w w dxdy (2.75) với  B là mặt trung hòa tấm FGM bên dưới

Công ảo gây ra do lực quán tính:

W u m u dxdy (2.76) với m b là ma trận khối lượng của tấm FGM bên dưới và được xác định bởi:

Công ảo gây ra do lực dàn hồi của nền đất

Công ảo gây ra do lực cản của nền đất

Luận văn nghiên cứu bài toàn tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tải trọng di động Giả sử tải trọng di dộng theo phương x với vận tốc không đổi V Bằng cách sử dụng phương pháp MPMM, phương trình động học được chuyển sang một hệ tọa độ (r, s) gắn liền với tải trọng di dộng Trong đó, trục r di chuyển cùng vận tốc với tải trọng di động Mối quan hệ giữa hai trục tọa độ được xác định như sau:

 s y (2.83) trong đó   x y , lần lượt là hệ tọa độ cố đinh (r, s) lần lượt là hệ tọa độ chuyển động;

V và t lần lượt là vận tốc và thời gian di chuyển

Khi đó trường chuyển vị và các đạo hàm riêng trong hệ tọa độ chuyển động được biểu diễn như sau:

Từ phương trình (2.82), các đạo hàm của r theo t được xác định bởi:

Sử dụng đạo hàm riêng phần đối với các biến, đạo hàm của ,w   x , y theo r s t, , lần lượt được xác định bởi:

V V t r r t t u u u u u (2.91) trong đó: uw  x  y  T ,uw  x  y  T lần lượt là đạo hàm cấp một và cấp hai của trường chuyển vị u

Tại thời điểm bất kỳ t, miền bài toán được khảo sát trong hệ tọa độ cố định   x y , là    '  0 Vt L Vt     0 B  hay   '  Vt L Vt     0 B  Tuy nhiên, trong hệ tọ độ chuyển động (r, s), miền này là    0 L    0 B  Trong đó, L và B là kích thước tấm

Toán tử L b trong công thức (2.22) và toán tử L s trong công thức (2.28) trong hệ tọa độ chuyển động được viết lại:

Khi đó công nội ảo trong hệ tọa độ chuyển động của tấm FGM bên trên được xác định như sau:

I bt bt bt st st st

 d B D B B D B d (2.93) trong đó B bt (kích thước 3×54), B st (kích thước 2×54) lần lượt là các ma trận gradient biến dạng uốn và biến dạng cắt của phần tử tấm FGM bên trên trong hệ tọa độ chuyển động, được xác định như sau:

Tương tự công ngoại ảo trong hệ tọa độ chuyển động của tấm FGM bên trên được cho bởi:

Tổng công ngoại ảo tấm FGM bên trên

W P drds V V drds r r w k w drds w k w drds w w w c w V drds w c w V drds r r

Tương tự với B bb (kích thước 3×54), B sb (kích thước 2×54) lần lượt là các ma trận gradient biến dạng uốn và biến dạng cắt của phần tử tấm FGM bên dưới trong hệ tọa độ chuyển động, được xác định như sau:

Tổng công nội ảo trong hệ tọa độ chuyển động của tấm FGM bên dưới được xác định như sau:

I bb bb bb sb sb sb

Phương trình công ngoại ảo trong hệ tọa độ chuyển động của tấm FGM bên dưới được cho bởi:

E b t t b t b b t t b b t t b t b t b b t t b t t w k w w drds w w w c w V w V drds r r w k w drds w k w drds w w w c w V drds w c w V drds r r

Tổng công ngoại ảo tấm FGM bên dưới:

Cân bằng công ảo, phương trình chuyển động được xác định như sau:

T T et et et K et drds

T T eb eb eb K eb drds

Sử dụng các hàm dạng chuyển vị N, các véctơ lực, ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng của phần tử tấm FGM bên trên và tấm FGM bên dưới lần lượt được xác định như sau:

T T T et t t t r t wt wt t wt wb

T T et bt bt bt st st st

T T T t t t rr t wt wt t wt wb

T T T T eb b b b r b wb wb t wb wt t wb wb

T T eb bb bb bb sb sb sb

T T T b b b rr b wb wb r b wb wb

T T T t wb wt t wb wb t wb wt r

(2.120) với   ,r là đạo hàm theo r và   ,rr là đạo hàm cấp hai theo r

Từ đó, ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng và véctơ tải trọng của phần tử nhiều lớp tấm chuyển động có thể được trình bày như sau:

Như vậy cuối cùng phương trình tổng quát chuyển động của các phần tử tấm FGM được viết lại như sau:

Vậy phương trình tổng quát của mô hình phần tử nhiều lớp tấm chuyển động có dạng như sau:

Mz Cz Kz P (2.126) với u( )t là vecto chuyển vị theo thời gian của phần tử tấm Trong đó M C K, , là các ma trận khối lượng tổng thể, ma trận cản tổng thể và ma trận độ cứng tổng thể, Plà vectơ tải tổng thể.

Qui tải trọng tập của xe thành tải tập trung tại bốn bánh xe

Luận văn sử dụng phân tích hình học để qui tải trọng của xe thành tải tập trung tại bốn bánh xe đúng với mô hình thực tế Hình 2.10 thể hiện mặt cắt dọc phân bố tải trọng của xe xuống bốn bánh xe

Hình 2.10 Mặt cắt dọc phân bố tải trọng của xe xuống bốn bánh xe

Tải trọng tập trung ở hai bánh trước và bánh sau được xác định được như sau:

P a P a (2.127) trong đó Q là trọng lượng của xe P P f , r lần lượt là tải trọng tập trung ở hai bánh trước và hai bánh sau, với a 1 và a 2 lần lượt là khoảng cách trên trục nối từ trọng tâm

Chương 2: Cơ sở lý thuyết 36 xe đến hai bánh sau và hai bánh trước Hình 2.11 thể hiện mặt cắt ngang phân bố tải trọng của xe xuống bốn bánh xe

Hình 2.11 Mặt cắt ngang phân bố tải trọng của xe xuống bốn bánh xe

Từ Hình 2.11 có thể xác định được phương trình cân bằng của lực tác dụng lên hai bánh sau:

P b P b (2.129) trong đó P P P P rl , rr , fl , fr lần lượt là tải trọng tập trung tại bánh sau bên trái, bánh sau bên phải, bánh trước bên trái và bánh trước bên phải; b 1 , b 2 lần lượt là khoảng cách từ trọng tâm xe đến trục nối hai bánh bên trái và trục nối hai bánh xe bên phải Thay thế công thức (2.128) và (2.129) vào (2.127) sẽ tính được tải trọng tập trung tại bốn bánh xe tổng quát như sau:

Phương pháp Newmark

Luận văn sử dụng phương pháp số Newmark để giải bài toán chuyển động (2.84) Ý tưởng của phương pháp là từ giá trị của nghiệm đã biết tại thời điểm i suy ra giá trị của thời điểm tại i1 bằng các giả thiết khác nhau về sự biến thiên của gia tốc trong từng bước thời gian Phương pháp Newmark có hai cách tìm nghiệm: dạng gia tốc và dạng chuyển vị

Bằng cách xấp xỉ sự biến thiên của gia tốc trong mỗi bước thời gian, biểu thức của vận tốc và chuyển vị trong mỗi bước thời gian được suy ra thông qua các phép tích phân từ phương trình vi phân gia tốc Giá trị của vận tốc và chuyển vị được đề xuất bởi các phương trình sau:

  u u u u u u u u (2.131) trong đó: độ lớn bước thời gian là t, giá trị gia tốc tại các thời điểm t, t t tương ứng kí hiệu chỉ số lần lượt là i i, 1 được kí hiệu lần lượt là u u i , i  1

Thay hai phương trình trong (2.131) vào phương trình chuyển động đã được rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số i1 như sau:

Kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là gia tốc tại thời điểm cuối của bước thời gian u i  1 có dạng:

M u P (2.133) với M eff là khối lượng hiệu dụng và P eff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian chúng được xác định vởi các biểu thức sau:

Giải hệ phương trình đại số tuyển tính (2.133) thu được giá trị của gia tốc tại cuối bước thời gian là u i  1 Thay các giá trị gia tốc u i  1 vừa tìm được vào phương trình (2.131) suy ra được giá trị của vận tốc u i  1 và chuyển vị u i  1 tại thời điểm i1 Một hướng khác để giải phương trình chuyển động theo phương pháp Newmark mà không dung cách nghịch đảo ma trận khối lượng hiệu dụngM eff trong (2.134) như trong dạng gia tốc mà nghịch đảo mà trận độ cứng hiệu dụng để suy ra chuyển vị nên gọi là dạng chuyển vị để tìm nghiệm phương trình

Từ hai phương trình trong (2.131), suy ra biểu thức của gia tốc u i  1 và vận tốc

 1 u i tại thời điểm cuối của bước thời gian i1 theo các đại lượng còn lại như sau:

Thay hai phương trình trong (2.131) vào phương trình chuyển động đã được rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số là i1, kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là chuyển vị tại điểm cuối bước thời gian u i  1 có dạng là:

K u P (2.136) với K eff là độ cứng hiệu dụng là P eff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian theo dạng chuyển vị và chúng được xác định bởi các biểu thức dưới đây:

Giải phương trình đại số tuyến tính (2.137) thu được giá trị của chuyển vị tại cuối bước thời gianu i  1 Thay giá trị chuyển vị u i  1 vừa tìm được vào các phương trình (2.136) suy ra giá trị của vận tốc u i  1 và giá trị gia tốc u i  1

Thuật toán sử dụng trong Luận văn

Luận văn sử dụng phương pháp Newmark gia tốc trung bình tìm nghiệm ở dạng chuyển vị Các bước để giải phương trình chuyển động trong Luận văn theo phương pháp Newmark được trình bày như sau:

Các bước tiến hành luận văn như sau:

Xác định dữ liệu của bài toàn bao gồm: Các thông số của tấm FGM bên trên gồm có: trọng lượng riêng t , kích thước  L B h t , t , t , module đàn hồi E t , hệ số Poisson  t ; các thông số của tấm FGM bên dưới gồm có: trọng lương riêng b , kích thước  L B h b , b , b , module đàn hồi E b , hệ số Poisson  b Các thông số liên kết giữa hai tấm gồm có hệ số độ cứngk t , hệ số độ cảnc t ; các thông số của đất nền gồm có hệ số độ cứng nền k b , hệ số độ cản nền c b Tải trọng tác động P và vận tốc di chuyển

V Các thông số lần lượt được liệt kê trong các bảng sau:

Bảng 2.2 Thông số tải trọng

Bảng 2.3 Thông số của tấm FGM bên trên

 N/mm 2  Poisson Hệ số Kích thước tấm

Bảng 2.4 Thông số liên kết giữa hai tấm

Bảng 2.5 Thông số của tấm FGM bên dưới

 N/mm 2  Poisson Hệ số Kích thước tấm

Bảng 2.6 Thông số nền đất

 Thiết lập ma trận khối lượng M, các ma trận độ cứng K, ma trận cản C của tấm FGM trên nền nhiều lớp bằng cách ghép nối ma trận

 Xác định ma trận tải tác dụng lên tấm cần khảo sát Sau đó lập phương trình chuyển động và chọn bước thời gian t

 Nhập điều kiện ban đầu u 0 ,u 0 và 0 1  0 0 0 

 Rời rạc hóa vectơ tải trọng theo biến thời gian

Giải phương trình chuyển động bằng phương pháp tích phân Newmark gia tốc trung bình Giải bài toán theo dạng tìm chuyển vị, xuất các kết quả và vẽ đồ thị, lập bảng thống kê để phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến chuyển vị của tấm FGM trên nền nhiều lớp Từ đó rút ra nhận xét, đánh giá và kết luận

2.9.2 Giải bài toán theo dạng chuyển vị

 Xác định ma trận khối lượng hiệu dụng theo (2.134)

 Tính vectơ tải trọng hiệu dụng tại thời điểm i1 theo (2.134)

 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính theo (2.133) để tìm gia tốc tại thời điểm i1 là u i  1

 Tìm các giá trị vận tốc và chuyển vị tại thời điểm i1 theo các phương trình (2.131)

2.9.3 Giải bài toán theo dạng gia tốc

 Xác định ma trận khối lượng hiệu dụng theo (2.137)

 Tính vecto tải trọng hiệu dụng tại thời điểm i1 theo (2.137)

 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính theo (2.136) để tìm chuyển vị tại thời điểm i1 là u i  1

 Tìm các giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm i1 theo các phương trình (2.135)

2.9.4 Độ ổn định và hội tụ theo phương pháp Newmark

Như đã đề cập, phương pháp Newmark với 1

 còn được gọi là phương pháp gia tốc trung bình cho sự ổn định không điều kiện và độ chính xác tốt

Do đó, luận văn này sử dụng phương pháp Newmark gia tốc trung bình với 1

 để giải bài toán Sự hội tự sẽ được tiến hành kiểm tra cụ thể trong Luận văn

Trong Luận văn sử dụng phương pháp Newmark và ngôn ngữ lập trình Matlab để tìm nghiệm dạng chuyển vị

Tiêu chuần hội tự theo dạng chuyển vị được thể hiện như sau:

 1  i i i u u  u (2.140) trong đó, giá trị chuyển vị, vận tốc, gia tốc tại các thời điểm t t,  t tướng ứng kí hiệu chỉ số lần lượt là i i, 1được kí hiệu lần lượt là u u i , i  1 ,u u i , i  1 ,u u i , i  1 với  là sai số cho phép

Lưu đồ tính toán

Hình 2.12 Lưu đồ tính toán

Kiểm chứng chương trình Matlab

3.1.1 Bài toán 1a: Phân tích ứng xử của tấm FGM trên nền nhiều lớp khi chịu tác dụng của tải trọng tĩnh khi xem tấm FGM bên dưới và nền đất là cứng vô cùng.

Trong phân tích này, mô hình tấm chữ nhật FGM trên nền nhiều lớp với điều kiện biên là ngàm 4 cạnh (C-C-C-C) được khảo sát và kiểm chứng Tải trọng tập trung P10 N 5 tác dụng tại tâm tấm Thông số kích thước, thông số vật liệu của hai tấm, hệ số độ cứng và độ cản của nền và lớp liên kết giữa hai tấm được trình bày ở Bảng 3.2,

Bảng 3.3, Bảng 3.4, Bảng 3.5 Để kiểm chứng độ tin cậy của phương pháp, trong mô hình này độ cứng của tấm bên dưới (tấm FGM bên dưới) được xem là cứng vô cùng E mb  (thay thế giá trị E mb trong Bảng 3.3) và độ cứng đất nền được xem là cứng vô cùng k b  (thay thế giá trị k b trong Bảng 3.5) Khi đó ứng xử của tấm FGM bên trên xem như tấm đặt trên nền đàn hồi có độ cứng k t và độ cản c t 0

Hình 3.1 Mô hình kiểm chứng tấm FGM bên trên trên nền nhiều lớp chịu tải trọng tĩnh khi xem tấm FGM bên dưới và nền là cứng vô cùng Luận văn tiến hành so sánh kết quả của các phương pháp khác nhau như phương pháp phần tử hữu hạn FEM-9 (sử dụng phần tử 9 nút), phương pháp phần tử chuyển động MEM (sử dụng phần tử 9 nút) Riêng phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM sử dụng phần tử 9 nút, 2 lớp tấm Để khảo sát sự hội tụ của bài toán, kết cấu

Chương 3: Kết quả phân tích số 48 tấm FGM sẽ được chia thành các các phần tử có kích thước đều nhau theo phương x và y lần lượt là 10×10, 16×16, 20×20, 26×26, 30×30, 40×40, 50×50

Hình 3.2 thể hiện sự hội tụ của chuyển vị lớn nhất w t tại tâm tấm FGM bên trên với các lưới chia phần tử tấm Bảng 3.6 thể hiện sự hội tụ chuyển vị lớn nhất w t tại tâm tấm FGM bên trên Từ kết quả trong Hình 3.2 và Bảng 3.6 có thể nhận thấy rằng khi lưới chia của phần tử càng mịn thì các phương pháp khác nhau đều cho nghiệm chuyển vị càng gần nhau và tiến tới nghiệm hội tụ Trong đó, với các lưới chia khác nhau thì nghiệm của các phương pháp là hoàn toàn giống nhau Các kết quả của các phương pháp cho thấy sự chênh lệch gần như là 0% Kết quả có được là do FEM-9, MEM và MPMM sử dụng số nút lớn nên kết quả hội tụ rất nhanh

Hình 3.2 Sự hội tụ chuyển vị lớn nhất w t tại tấm tấm FGM bên trên

Bảng 3.6 Sự hội tụ chuyển vị lớn nhất w t (mm) tại tâm tấm FGM bên trên

Phương pháp Lưới phần tử

MPMM MEM FEM-9 Nghiệm hội tụ

Chương 3: Kết quả phân tích số 49

Từ kết quả này cho thấy rằng phương pháp MEM cho kết quả đáng tin cậy và hoàn toàn giống phương pháp FEM truyền thống trong bài toán phân tích tĩnh

Hình 3.3 và Hình 3.4 lần lượt thể hiện chuyển vị w t tại tâm FGM bên trên dọc theo trục x và dọc theo trục y với lưới chia 50×50 Có thể nhận thấy rằng chuyển vị gần biên theo phươngy lớn hơn theo phương x vì chiều dài theo phương y  10 m  ngắn hơn phương x(20 )m nên mức độ ảnh hưởng của tải trọng tập trung tại tâm tấm theo phương y lớn hơn theo phương x

Hình 3.3 Chuyển vị w t tại tâm tấm FGM bên trên dọc theo trụcx

Chiều dài tấm theo phương x (m)

Hình 3.4 Chuyển vị w t tại tâm tấm FGM bên trên dọc theo trụcy

3.1.2 Bài toán 1b: Phân tích ứng xử của tấm FGM trên nền nhiều lớp khi chịu tác dụng của tải trọng di dộng khi xem tấm FGM bên dưới và nền đất là cứng vô cùng

Mô hình bài toán tấm FGM đặt trên nền đàn hồi có độ cứng k t 0 và độ cản

0 c t với điều kiện biên ngàm 4 cạnh (C-C-C-C) được thể hiện như trong Hình 3.5, các thông số lấy như trong Phần 3.1.1 Tải trọng tập trung P tác dụng tại tâm tấm di chuyển với vận tốc Vdọc theo trục x của tấm được trình bày trong Bảng 3.2 Tấm FGM được chia nhỏ thành các phần tử có kích thước 1     m  1 m và tiến hành khảo sát sự hội tụ với các bước lặp thời gian t thay đổi: 0.01s, 0.005s, 0.0025s, 0.001s, 0.0005s, 0.00025s Sau đó so sánh kết quả hội tụ của phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM với kết quả của phương pháp phần tử chuyển động MEM -0.012

Chiều dài tấm theo phương y (m)

Hình 3.5 Mô hình kiểm chứng tấm FGM bên trên trên nền nhiều lớp chịu tải trọng tĩnh khi xem tấm FGM bên dưới và nền là cứng vô cùng

Hình 3.6 thể hiện sự hội tụ chuyển vị w t tại tâm tấm FGM bên trên theo các bước thời gian t thay đổi Bảng 3.8 thể hiện sự hội tụ chuyển vị lớn nhất w t tại tâm tấm FGM bên trên theo các bước thời gian t thay đổi

Hình 3.6 Sự hội tụ chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên theo các bước thời gian t -1.682115

MPMM MEM Nghiệm hội tụ

Bảng 3.7 Sự hội tụ chuyển vị lớn nhất w t   10 mm  1 tại tâm tấm FGM bên trên

MPMM -1.682110 -1.682113 -1.682114 -1.682114 -1.682114 -1.682114 MEM -1.682110 -1.682113 -1.682114 -1.682114 -1.682114 -1.682114 Nghiệm hội tụ -1.682114

Từ kết quả trong Hình 3.6 và Bảng 3.7 cho thấy rằng với các bước thời gian t càng nhỏ thì nghiệm chuyển vị w t tại tâm tấm FGM bên trên càng gần nhau và tiến tới nghiệm hội tụ Đồng thời với các bước thời gian t khác nhau thì nghiệm chuyển vị w t tại tâm tấm FGM bên trên cho bởi phương pháp MEM và MPMM là như nhau

Do đó, có thể nhận thấy rằng kết quả của phương pháp MPMM trùng khớp với MEM và hoàn toàn đáng tin cậy Với việc chia nhỏ thành các phần tử có kích thước

1 m 1 m thì chênh lệch kết quả giữa bước thời gian  t 0.001s gần như là 0% so với bước thời gian  t 0.00025s Do đó với việc dùng phần tử có 1     m  1 m và sử dụng bước lặp thời gian  t 0.001s là đủ để đạt tới nghiệm chính xác của bài toán và sẽ được dùng trong các bài toán khảo sát của Luận văn.

Phân tích động lực học tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tác dụng của tải trọng di động

của tải trọng di động

3.2.1 Bài toán 2: Khảo sát sự hội tụ của bài toán

Xét bài toán tấm chữ nhật FGM trên nền nhiều lớp với điều kiện biên là ngàm 4 cạnh (C-C-C-C) được khảo sát và kiểm chứng Tải trọng tập trung P tác dụng tại tâm tấm di chuyển với vận tốc Vdọc theo trục x của tấm được trình bày trong Bảng 3.2 Thông số kích thước, thông số vật liệu của hai tấm, hệ số độ cứng và độ cản của nền và lớp liên kết giữa hai tấm được trình bày trong

Bảng 3.3, Bảng 3.4 và Bảng 3.5 Tấm FGM được chia nhỏ thành các phần tử có kích thước 1     m  1 m Để lựa chọn bước lặp thời gian cho phù hợp, Luận văn tiến hành khảo sát sự hội tụ của phương pháp được sử dụng với các bước lặp thời gian t thay đổi: 0.01s, 0.005s, 0.0025s, 0.001s, 0.0005s, 0.00025s

Hình 3.7 và Hình 3.8 lần lượt thể hiện chuyển vị lớn nhất w t tại tâm tấm FGM bên trên và w b tại tâm tấm FGM bên dưới theo các bước thời gian t thay đổi Bảng 3.9 và Bảng 3.10 lần lượt thể hiện sự hội tụ chuyển vị lớn nhất w t tại tâm tấm FGM bên trên và w b tại tâm tấm FGM bên dưới theo các bước thời gian t thay đổi Từ kết quả trong Hình 3.7, Hình 3.8, Bảng 3.8 và

Bảng 3.9 cho thấy rằng với các bước thời gian t càng nhỏ thì nghiệm chuyển vị w t tại tâm tấm FGM bên trên càng gần nhau và tiến tới nghiệm hội tụ Kết quả tương tự đối với chuyển vị w b tại tâm tấm FGM bên dưới, khi bước thời gian t càng nhỏ thì nghiệm chuyển vị w b tại tâm tấm FGM bên dưới càng gần nhau và tiến tới nghiệm hội tụ Với việc chia nhỏ thành các phần tử có kích thước 1     m  1 m thì chênh lệch kết quả giữa bước thời gian  t 0.001s gần như là 0% so với bước thời gian  t 0.00025s Do đó, với việc dùng phần tử có kích thước1     m  1 m và sử dụng bước lặp thời gian  t 0.001s là đủ để đạt tới nghiệm chính xác của bài toán và sẽ được dùng trong các bài toán khảo sát của Luận Văn

Hình 3.7 Sự hội tụ chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên theo các bước thời gian t -6.03168

Bước thời gian t (s)Phần tử kích thước 1(m)x1(m) Nghiệm hội tụ

Hình 3.8 Sự hội tụ chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới theo các bước thời gian t

Bảng 3.8 Sự hội tụ chuyển vị lớn nhất w t   10 mm  1 tại tâm tấm FGM bên trên

Bảng 3.9 Sự hội tụ chuyển vị lớn nhất w b   10 mm  1 tại tâm tấm FGM bên dưới

Bước thời gian t (s)Phần tử kích thước 1(m)x1(m) Nghiệm hội tụ

3.2.2 Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động của tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động khi tỉ số độ cứng giữa nền và lớp liên kết giữa hai tấm thay đổi

Hình 3.9 thể hiện chuyển vị lớn nhất w t tại tâm tấm FGM bên trên và w b tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng k b /k t thay đổi Giữ nguyên hệ số độ cứng đàn hồi k t 9.5 10 N/m 7 3 của lớp liên kết và tỉ số độ cứng k b /k t thay đổi từ 1 đến

8 Bảng 3.10 thể hiện sự so sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất w t tại tâm tấm FGM bên trên và w b tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng k b /k t thay đổi

Hình 3.9 Chuyển vị lớn nhất w t tại tâm tấm FGM bên trên và w b tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng k b /k t thay đổi

Từ kết quả trong Hình 3.9 và Bảng 3.10 cho thấy rằng khi tỉ số độ cứng là 1 thì chuyển vị w w t , b tại tâm hai tấm đều đạt giá trị lớn nhất, sau đó chuyển vị giảm dần khi tỉ số độ cứng tăng lên Khi tỉ số độ cứng là 8 thì chuyển vị w t tại tâm tấm FGM bên trên giảm 1.2 lần (tương đương 17% từ 0.132mm xuống 0.11mm), còn -0.140

Chương 3: Kết quả phân tích số 56 chuyển vị w b tại tâm tấm FGM bên dưới giảm 12.7 lần (tương đương 92.1% giảm từ 0.038mm

 xuống 0.003mm) so với khi tỉ số là 1 Chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới giảm nhiều hơn là do tấm được đặt trực tiếp trên nền đất, còn chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên chỉ ảnh hưởng gián tiếp bởi lực tương tác giữa hai tấm

Bảng 3.10 So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất w t tại tâm tấm FGM bên trên và w b tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng k b /k t thay đổi

Hình 3.10 và Hình 3.11 lần lượt thể hiện so sánh chuyển vị w t tại tâm tấm FGM bên trên và w b tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng k b /k t thay đổi từ 1 đến

8 Từ kết quả có nhận thấy rằng khi tỉ số độ cứng là 8 thì độ cứng nền không còn ảnh hưởng đáng kể đến chuyển vị tấm FGM bên trên, lúc này tăng tỉ số độ cứng cũng không còn nhiều ý nghĩa Còn chuyển vị tấm FGM bên dưới thì vẫn giảm dần khi tỉ số độ cứng tăng lên và đạt giá trị 0 (tỉ số độ cứng là vô cùng, xem kết quả Phần 3.1.2)

Hình 3.10 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên khi tỉ số độ cứng k b /k t thay đổi

Hình 3.11 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng k b /k t thay đổi -0.140

Chiều dài tấm theo phương x (m) kg/kc=1 kg/kc=2 kg/kc=4 kg/kc=6 kg/kc=8

Chiều dài tấm theo phương x (m) kg/kc=1 kg/kc=2 kg/kc=4 kg/kc=6 kg/kc=8 k b /k t =1 k b /k t =2 k b /k t =4 k b /k t =6 k b /k t =8 k b /k t =1 k b /k t =2 k b /k t =4 k b /k t =6 k b /k t =8

Hình 3.12 thể hiện chuyển vị lớn nhất w t tại tâm tấm FGM bên trên và w b tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng k t /k b thay đổi Giữ nguyên hệ số độ cứng đàn hồi k b 9.5 10 9 N mm/ 3 của nền và tỉ số độ cứng k t /k b thay đổi từ 1 đến 8 Bảng 3.11 thể hiện sự so sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất w t tại tâm tấm FGM bên trên và w g tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng k t /k b thay đổi

Hình 3.12 Chuyển vị lớn nhất w t tại tâm tấm FGM bên trên và w g tại tâm tấm

FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng /k t k b thay đổi Bảng 3.11 So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất w t tại tâm tấm FGM bên trên và w b tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng k t /k b thay đổi

Từ kết quả Hình 3.12 và Bảng 3.11 cho thấy rằng khi tỉ số độ cứng k t /k b tăng lên thì chuyển vị w t tại tấm FGM bên trên giảm dần và chuyển vị w b tại tấm FGM bên dưới tăng lên Khi tỉ số độ cứng k t /k b là 8 thì chuyển vị w t tại tâm tấm FGM bên trên giảm 1.55 lần (tương đương 35.8% từ 0.132mm xuống0.085mm), chuyển vị w b tại tâm tấm FGM bên dưới tăng 1.22 lần (tương đương 31.5% từ 0.038mm

 lên 0.05mm) so với khi tỉ số độ cứng k t /k b là 1 Khi tỉ số độ cứng t / b k k lớn hơn 1 và tăng dần thì giá trị chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên và tại tâm tấm FGM bên dưới có xu hướng tiến lại gần nhau Lúc này do độ cứng của lớp tương tác lớn nên chuyển vị của tấm FGM bên trên hầu như truyền toàn bộ xuống tấm FGM bên dưới

Hình 3.13 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên khi tỉ số độ cứng k t /k b thay đổi -0.140

Chiều dài tấm theo phương x (m) kg/kc=1k t /k b =1 kg/kc=2k t /k b =2 kg/kc=4k t /k b =4 kg/kc=6k t /k b =6 kg/kc=8k t /k b =8

Kết luận

1 Mô hình đề nghị đã mô phỏng chính xác hơn kết cấu tấm FGM trên nền nhiều lớp và có xét đến tương tác giữa các lớp với nhau Đồng thời, mô hình đã thể hiện rõ sự phức tạp của bài toán khảo sát thông qua việc mô phỏng chính xác bằng các phần tử tứ giác 9 nút, 2 lớp và mỗi nút 3 bậc tự do Do đó, mỗi phần tử nhiều lớp tấm bao gồm tổng cộng 54 bậc tự do

2 Phương pháp MPMM có độ tin cậy cao trong việc phân tích tĩnh và động cho kết cấu tấm trên nền nhiều lớp Các kết quả thu được từ MPMM đã được kiểm chứng với các phương pháp khác như FEM và MEM

3 Ảnh hưởng của các thông số đến ứng xử động của tấm FGM trên nền nhiều lớp như hệ số độ cứng nền, hệ số độ cản nền, hệ số độ cứng và hệ số độ cản

Chương 4: Kết luận và kiến nghị 89 lớp liên kết giữa hai tấm, module đàn hồi, chiều dày giữa hai tấm, vận tốc tải trọng Khi độ lớn các đại lượng này tăng lên thì làm cho chuyển vị của tấm giảm Trừ trường hợp khi độ cứng đàn hồi liên kết giữa hai tấm lớn hơn độ cứng nền thì lúc này chuyển vị của tấm FGM bên trên truyền toàn bộ xuống tấm FGM bên dưới nên khi tỉ số này tăng lên làm cho chuyển vị tấm bên trên giảm còn chuyển vị tấm bên dưới lại tăng lên Tải trọng tác động tăng lên bao nhiêu thì làm cho chuyển vị của tấm tăng theo bấy nhiêu

4 Để giảm chuyển vị cho tấm FGM trên nền nhiều lớp thì nên tăng hệ số độ cứng, hệ số độ cản nền và tăng chiều dày, module đàn hồi tấm FGM bên trên Tuy nhiên nên chọn tỉ số tối ưu để mang lại hiệu quả và tiết kiệm vật liệu

5 Trong mô hình thực tế tải trọng được quy về tại bốn bánh xe đã giảm đáng kể so với trường hợp tải trọng quy về tâm xe Khi xét thêm điều kiện biên tựa 4 cạnh và biên ngàm 4 cạnh thì kết quả chuyển vị của hai tấm hầu như không chênh lệch.

Tiêu đề	Phân tích động lực học tấm FGM chịu tải trọng động trên nền nhiều lớp bằng phương pháp phần tử nhiều lớp tấm chuyển động MEM (Moving Element Method)
Tác giả	Từ Đỗ Nhật Kha
Người hướng dẫn	PGS.TS. Lương Văn Hải, TS. Cao Tấn Ngọc Thân
Trường học	Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP. HCM
Chuyên ngành	Kỹ thuật Xây dựng
Thể loại	Luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2022
Thành phố	Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	135
Dung lượng	1,7 MB