Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích động lực học tấm FGM chịu tải trọng động trên nền nhiều lớp bằng phương pháp phần tử nhiều lớp tấm chuyển động MEM (Moving Element Method)

MEM (MOVING ELEMENT METHOD)

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG TP.HCM Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS.TS Lương Văn Hải

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 PGS.TS Cao Văn Vui – Chủ tịch hội đồng

3 TS Trần Minh Thi – Ủy viên phản biện 1 4 PGS.TS Nguyễn Văn Hiếu – Ủy viên phản biện 2 5 TS Khổng Trọng Toàn – Ủy viên hội đồng

KỸ THUẬT XÂY DỰNG

PGS.TS Cao Văn Vui

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: TỪ ĐỖ NHẬT KHA MSHV: 1870102 Ngày/tháng/năm sinh: 16/11/1995 Nơi sinh: Phan Thiết Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng Mã số: 8580201

TÊN ĐỀ TÀI: Dynamic Analyses of Functionally Graded Material Plate (FGM) under moving load rest on multilayer use Moving Element Method (MEM)

Dynamic Analyses of Functionally Graded Material Plate (FGM) under moving load rest on multilayer use Moving Element Method (MEM)

I NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

1 Thiết lập các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản cho các phần tửkết cấu tấm FGM sử dụng phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM

2 Phát triển thuật toán, lập trình tính toán bằng chương trình Matlab để giải hệphương trình động tổng thể của bài toán

3 Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của chươngtrình với kết quả của các phương pháp khác

4 Tiến hành thực hiện các ví dụ số nhằm khảo sát ảnh hưởng của các nhân tố quantrọng đến ứng xử động của kết cấu tấm, từ đó rút ra các kết luận và kiến nghị

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 30/12/2020 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 30/12/2021

IV HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS Lương Văn Hải TS Cao Tấn Ngọc Thân

Tp.HCM, ngày 30 tháng 12 năm 2021

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

PGS.TS Lương Văn Hải TS Cao Tấn Ngọc Thân

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

LỜI CẢM ƠN

Luận văn thạc sỹ Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp là một tài liệu khoa học trình bày công trình nghiên cứu của Học viên cao học nhằm giải quyết một vấn đề đặt ra trong thực tiễn Qua đó, trang bị khả năng tự nghiên cứu, biết cách giải quyết những vấn đề cụ thể đặt ra trong thực tế xây dựng… Đó là trách nhiệm và niềm tự hào của mỗi học viên cao học

Để hoàn thành Luận văn này, ngoài sự cố gắng và nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự giúp đỡ nhiều từ tập thể và các cá nhân Tôi xin ghi nhận và tỏ lòng biết ơn đến tập thể và các cá nhân đã dành cho tôi sự giúp đỡ quý báu đó

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS TS Lương Văn Hải Thầy đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và hướng dẫn cho tôi kể từ khi tôi nhận được đề tài cho đến khi hoàn thành bài luận văn này

Ngoài ra, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ Thuật Xây dựng, trường Đại học Bách Khoa Tp HCM, người đã đem lại cho tôi những kiến thức bổ trợ, vô cùng có ích trong những năm học vừa qua

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến TS Cao Tấn Ngọc Thân đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình thực hiện Luận văn này

Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của bản thân, tuy nhiên không thể không có những thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô chỉ dẫn thêm để tôi bổ sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân mình hơn

Xin trân trọng cảm ơn

Tp HCM, ngày 30 tháng 12 năm 2021

HỌC VIÊN CAO HỌC

Từ Đỗ Nhật Kha

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Vật liệu có cơ tính biến thiên hay còn gọi là vật liệu biến đổi chức năng (Functionaly Graded Materials - FGM) là một loại composite đặc biệt, không đồng nhất, đẳng hướng có tính chất cơ học thay đổi liên tục theo chiều dày tấm

Luận văn này tập trung phân tích ứng xử động của kết cấu tấm FGM trên nền

nhiều lớp sử dụng phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động sử dụng phương pháp phần tử nhiều lớp tấm chuyển động MPMM (Multi-Layer Plate Moving Method) Phương pháp mới này được đề xuất dựa trên phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) Các nghiên cứu trước đây thường chỉ phân tích ứng xử động của kết cấu tấm FGM theo mô hình tấm dày sử dụng phương pháp phần tử chuyển động (MEM) mà không có xét đến sự tương tác giữa các lớp Phát triển của Luận văn là mô phỏng chính xác hơn cấu tạo tấm FGM bao gồm nhiều lớp và có xét đến sự tương tác giữa các lớp này với nhau Theo phương pháp này, tấm sẽ được chia nhỏ thành những “phần tử nhiều lớp chuyển động” Những phần tử này không phải chuyển động thật so với tấm đứng yên mà là chuyển động giả tưởng cùng với lực di chuyển trên kết cấu tấm Do đó, phương pháp này sẽ tránh được việc cập nhật véctơ tải trọng tương ứng với mô hình tấm Tất cả các phương trình chuyển động cũng như các ma trận kết cấu của phần tử tấm trên nền nhiều lớp sẽ được xây dựng trên một hệ trục tọa độ chuyển động cùng vận tốc với vận tốc của lực di chuyển, điều này ngược lại với phương pháp phần tử hữu hạn FEM (Finite Element Method) Cách thiết lập các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng, ma trận cản và ma trận tổng thể cho bài toán động lực học của tấm Mindlin trên nền nhiều lớp được trình bày Các kết quả phân tích số được so sánh với kết quả của các phương pháp khác nhằm thể hiện độ tin cậy của phương pháp đề xuất Đồng thời kết quả khảo sát nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của những yếu tố quan trọng đến ứng xử của tấm FGM trên nền nhiều lớp Các kết quả nghiên cứu trong Luận văn hy vọng có thể là một trong những tài liệu tham tham khảo hữu ích trong việc nghiên cứu tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tải di động

ABSTRACT

Functional Graded Materials (FGM) is a special, heterogeneous, isotropic composite whose mechanical properties vary continuously with sheet thickness This thesis focuses on analyzing dynamic behavior of FGM plate structure on multi-layer foundation using multi-layer plate moving method using MPMM (Multi-Layer Plate Moving Method) multi-layer element method This new method is proposed based on the moving element method (MEM) Previous studies often only analyzed the dynamic behavior of FGM plate structures according to the thick plate model using the moving element method (MEM) without considering the interaction between the layers The thesis's development is to more accurately simulate the structure of the FGM plate consisting of many layers and take into account the interaction between these layers According to this method, the plate will be subdivided into "multilayer plate moving" These elements are not real motion relative to the stationary plate, but imaginary motion along with the moving force on the plate structure Therefore, this method avoids updating the load vector corresponding to the plate model All the equations of motion as well as the structural matrices of the plate element on a multilayer base will be built on a coordinate system that moves at the same speed as the velocity of the moving force, which is the opposite of Finite Element Method (FEM) How to set up the mass matrix, stiffness matrix, resistance matrix and overall matrix for the dynamics problem of Mindlin plate on multi-layer background is presented The numerical analysis results are compared with the results of other methods to show the reliability of the proposed method At the same time, the survey results are aimed to understand the influence of important factors on the behavior of FGM sheets on multi-layer substrates The research results in the thesis can hopefully be one of the useful references in the study of FGM plates on multi-layer substrates subjected to moving loads

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các công việc trong luận văn thạc sĩ do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lương Văn Hải và TS Cao Tấn Ngọc Thân

Các kết quả trong luận văn là hoàn toàn đúng với sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác, ngoại trừ các kết quả liên quan đến luận văn đã được trích dẫn trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về các công việc đã thực hiện của mình

Tp HCM, ngày 30 tháng 12 năm 2021

HỌC VIÊN CAO HỌC

Từ Đỗ Nhật Kha

1.2 Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài 2

1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước 3

1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước 6

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu 8

1.4 Cấu trúc luận văn 8

2.3 Tính chất vật liệu của tấm P-FGM 14

2.4 Phương pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MPMM 15

2.4.1 Giới thiệu tổng quát 15

2.4.2 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng - chuyển vị 16

2.4.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ ứng suất-biến dạng 17

2.4.4 Phương trình năng lượng của tấm 20

2.5 Phần tử đẳng tham số 21

2.5.1 Tọa độ tổng thể và tọa độ tự nhiên 21

2.5.2 Phép tích phân số - Phép cầu phương Gauss 24

2.6 Thiết lập công thức ma trận kết cấu tấm dày trên nền nhiều lớp sử dụng phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM 25

2.7 Qui tải trọng tập của xe thành tải tập trung tại bốn bánh xe 35

2.8 Phương pháp Newmark 37

2.9 Thuật toán sử dụng trong Luận văn 39

2.9.1 Thông số đầu vào 39

2.9.2 Giải bài toán theo dạng chuyển vị 41

2.9.3 Giải bài toán theo dạng gia tốc 41

2.9.4 Độ ổn định và hội tụ theo phương pháp Newmark 41

2.10 Lưu đồ tính toán 43

CHƯƠNG 3 44

KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 44

3.1 Kiểm chứng chương trình Matlab 47

3.1.1 Bài toán 1a: Phân tích ứng xử của tấm FGM trên nền nhiều lớp khi chịu tác dụng của tải trọng tĩnh khi xem tấm FGM bên dưới và nền đất là cứng vô cùng 47

3.1.2 Bài toán 1b: Phân tích ứng xử của tấm FGM trên nền nhiều lớp khi chịu tác dụng của tải trọng di dộng khi xem tấm FGM bên dưới và nền đất là cứng vô cùng 503.2 Phân tích động lực học tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tác dụng của tải trọng di động 52

3.2.1 Bài toán 2: Khảo sát sự hội tụ của bài toán 523.2.2 Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động của tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động khi tỉ số độ cứng giữa nền và lớp liên kết giữa hai tấm thay đổi 553.2.3 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động của tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động khi tỉ số độ cản giữa nền và lớp liên kết giữa hai tấm thay đổi 603.2.4 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động của tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động khi tỉ số module đàn hồi của hai tấm thay đổi………663.2.5 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động của tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động khi tỉ số chiều dày của hai tấm thay đổi……723.2.6 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động của tấm FGM trên nền nhiều lớp khi chịu tác dụng tải trọng di động khi vận tốc của lực di động Vthay đổi 783.2.7 Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động của tấm FGM trên nền nhiều lớp khi chịu tác dụng tải trọng di động khi giá trị của lực di động P thay

đổi………813.2.8 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động của tấm FGM trên nền nhiều lớp khi tải trọng xe được qui về một tải tập trung tại trọng tâm xe và bốn tải tập trung tại bốn bánh xe 833.2.9 Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động của tấm FGM trên nền nhiều lớp

chịu tác dụng của tải trọng di động khi hệ số vật liệu n thay đổi 86

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số trong phép cầu phương Gauss 25

Bảng 2.2 Thông số tải trọng 39

Bảng 2.3 Thông số của tấm FGM bên trên 40

Bảng 2.4 Thông số liên kết giữa hai tấm 40

Bảng 2.5 Thông số của tấm FGM bên dưới 40

Bảng 3.8 Sự hội tụ chuyển vị lớn nhất wtmmtại tâm tấm FGM bên trên 54

Bảng 3.9 Sự hội tụ chuyển vị lớn nhất wbmmtại tâm tấm FGM bên dưới 54

Bảng 3.10 So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wb tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng kb/kt thay đổi 56

Bảng 3.11 So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wb tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng kt /kb thay đổi 58

Bảng 3.12 So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wb tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cản cb /ct thay đổi 61

Bảng 3.13 So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wb tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cản c ct / b thay đổi 64

Bảng 3.14 So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wb tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số module đàn hồi Ecb /Ectthay đổi 68Bảng 3.15 So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên

và wb tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số module đàn hồi Ect /Ecb thay đổi 70Bảng 3.16 So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên

và wb tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số chiều dày hb/ht thay đổi 73Bảng 3.17 So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất wc tại tâm tấm FGM bên trên

và wg tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số chiều dày h ht / b thay đổi 76Bảng 3.18 So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên

và wb tại tâm tấm FGM bên dưới khi giá trị vận tốc lực di động V thay đổi 80Bảng 3.19 So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên

và wb tại tâm tấm FGM bên dưới khi giá trị lực di động P thay đổi 82Bảng 3.20 Thông số tải trọng 83Bảng 3.21 Chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wb tại tâm tấm FGM

bên dưới khi quy tải tại tâm xe và bốn bánh xe (biên ngàm 4 cạnh, tựa 4 cạnh) 84Bảng 3.22 So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên

và wb tại tâm tấm FGM bên dưới khi giá trị hệ số vật liệu n thay đổi 87

Bảng B.3 Hệ số độ cản ct của lớp liên kết trong bài toán phân tích tỉ số độ cứng /

dày h ht / b giữa hai tấm thay đổi 111

Bảng B.9 Vận tốc trong bài toán phân tích khi vận tốc lực di động V thay đổi 112Bảng B.10 Giá trị lực di động trong bài toán phân tích khi P thay đổi 112

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Mô hình vật liệu FGM 1

Hình 1.2 Mô hình tải trọng và phần tử tấm chuyển động (MPMM) 2

Hình 2.1 Mô hình tấm P-FGM 11

Hình 2.2 Tấm FGM nhiều lớp trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động 11

Hình 2.3 Nền với nhiều lớp đất đá khác nhau 13

Hình 2.4 Biến thiên module đàn hồi E 15

Hình 2.5 Mô hình kết cấu tấm theo lý thuyết Reissner-Mindlin 16

Hình 2.6 Qui ước chiều dương của chuyển vị w và hai chuyển vị xoay của tấm Reissner-Mindlin trên nền đàn nhớt 17

Hình 2.7 Phần tử tứ giác Q9trong hệ tọa độ địa phương 22

Hình 2.8 Phần tử tứ giác Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên 22

Hình 2.9 Phần tử tứ giác 9 nút, 2 lớp trong phương pháp MPMM 26

Hình 2.10 Mặt cắt dọc phân bố tải trọng của xe xuống bốn bánh xe 35

Hình 2.11 Mặt cắt ngang phân bố tải trọng của xe xuống bốn bánh xe 36

Hình 2.12 Lưu đồ tính toán 43

Hình 3.1 Mô hình kiểm chứng tấm FGM bên trên trên nền nhiều lớp chịu tải trọng tĩnh khi xem tấm FGM bên dưới và nền là cứng vô cùng 47

Hình 3.2 Sự hội tụ chuyển vị lớn nhất wt tại tấm tấm FGM bên trên 48

Hình 3.3 Chuyển vị wt tại tâm tấm FGM bên trên dọc theo trụcx 49

Hình 3.4 Chuyển vị wt tại tâm tấm FGM bên trên dọc theo trụcy 50

Hình 3.5 Mô hình kiểm chứng tấm FGM bên trên trên nền nhiều lớp chịu tải trọng tĩnh khi xem tấm FGM bên dưới và nền là cứng vô cùng 51

Hình 3.6 Sự hội tụ chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên theo các bước thời gian t 51

Hình 3.7 Sự hội tụ chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên theo các bước thời gian t 53

Hình 3.8 Sự hội tụ chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới theo các bước thời gian

t 54Hình 3.9 Chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wb tại tâm tấm FGM

bên dưới khi tỉ số độ cứng kb /kt thay đổi 55Hình 3.10 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên khi tỉ số độ cứng kb /kt thay

đổi 57Hình 3.11 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng kb/kt

thay đổi 57Hình 3.12 Chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wg tại tâm tấm FGM

bên dưới khi tỉ số độ cứng kt /kb thay đổi 58Hình 3.13 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên khi tỉ số độ cứng kt /kbthay

đổi 59Hình 3.14 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng kt /kb

thay đổi 60Hình 3.15 Chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wb tại tâm tấm FGM

bên dưới khi tỉ số độ cản cb/ct thay đổi 61Hình 3.16 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên khi tỉ số độ cứng cb/ct thay

đổi 62Hình 3.17 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng cb /ct

thay đổi 63Hình 3.18 Chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wb tại tâm tấm FGM

bên dưới khi tỉ số độ cản c ct / b thay đổi 64Hình 3.19 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên khi tỉ số độ cứng c ct / b thay

đổi 65Hình 3.20 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số độ cứng c ct / bthay đổi 66

Hình 3.21 Chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wb tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số module đàn hồi Ecb /Ect của hai tấm thay đổi 67Hình 3.22 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên khi tỉ số module Ecb /Ect

thay đổi 68Hình 3.23 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số module Ecb /Ect

thay đổi 69Hình 3.24 Chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wb tại tâm tấm FGM

bên dưới khi tỉ số module đàn hồi Ect /Ecb của hai tấm thay đổi 70Hình 3.25 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên khi tỉ số module đàn hồi

EE thay đổi 71Hình 3.26 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số module đàn hồi

EE thay đổi 72Hình 3.27 Chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wb tại tâm tấm FGM

bên dưới khi tỉ số chiều dày hb /ht của hai tấm thay đổi 73Hình 3.28 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên khi tỉ số chiều dày hb/ht

thay đổi 74Hình 3.29 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số chiều dày hb/ht

thay đổi 75Hình 3.30 Chuyển vị lớn nhất wt tại tâm tấm FGM bên trên và wb tại tâm tấm FGM

bên dưới khi tỉ số chiều dày h ht / b của hai tấm thay đổi 76Hình 3.31 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên khi tỉ số chiều dày hc /hg

thay đổi 77Hình 3.32 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới khi tỉ số chiều dày hc /hg

thay đổi 78Hình 3.33 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên khi vận tốc lực di động V

thay đổi 79

Hình 3.34 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới khi vận tốc lực di động V thay đổi 80Hình 3.35 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên khi giá trị lực P thay đổi81Hình 3.36 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới khi giá trị lực P thay đổi

82Hình 3.37 So sánh chuyển vị wt tại tâm tấm FGM bên trên khi tải tập trung tại trọng

tâm xe và bốn tải tập trung tại bốn bánh xe 85Hình 3.38 So sánh chuyển vị wb tại tâm tấm FGM bên dưới khi tải tập trung tại

trọng tâm xe và bốn tải tập trung tại bốn bánh xe 85Hình 3.39 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên trên khi giá trị hệ số vật liệu n

thay đổi 86Hình 3.40 So sánh chuyển vị tại tâm tấm FGM bên dưới khi giá trị hệ số vật liệu n

thay đổi 87

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT

DQM Differential Quadrature Method DSC Discrete Singular Convolution HDQ Harmonic Differential Quadrature EEM Eigenfunction Expansion Method

BEM Phần tử biên (Boundary Element Method)

Q9 Phần tử tứ giác 9 nút (Quadrilateral Nine-Node Element) DOF Bậc tự do (Degree of Freedom)

L Chiều dài tấm theo phương x

B Chiều dài tấm theo phương y

B Chiều dài tấm FGM bên dưới theo phương y

E Module đàn hồi của tấm

u v wChuyển vị của tấm theo phương x, y và z

Hình 1.1 Mô hình vật liệu FGM

Trong Luận văn này, phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM Layer Plate Moving Method) được đề xuất dựa trên phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) để giải quyết bài toán tấm trên nền nhiều lớp chịu tải trọng di động Theo phương pháp này, tấm sẽ được chia nhỏ thành những “phần tử nhiều lớp chuyển động” Những phần tử này không phải chuyển động thật so với tấm đứng yên mà là chuyển động giả tưởng cùng với lực di chuyển trên kết cấu tấm Do đó, phương pháp này sẽ tránh được việc cập nhật véctơ tải trọng tương ứng với mô hình tấm Tất cả các phương trình chuyển động của tấm, các ma trận kết cấu được thiết lập trong hệ tọa độ tương đối chuyển động cùng vận tốc với vận tốc của lực di chuyển Trong đó, giả thuyết hai tấm FGM như hai tấm dày, còn liên kết giữa hai tấm bằng lớp nhựa đường được mô hình hóa thành hệ số độ cứng đàn hồi và hệ số độ cản tương tác giữa hai tấm Các hệ số độ cứng đàn hồi và hệ số độ cản được tính toán dựa trên mô hình của Richart và Lysmer, có xét đến hệ số điều chỉnh theo mô hình Whitman theo Shambhu (2009) [24] được thể hiện như Hình 1.2

(Multi-Hình 1.2 Mô hình tải trọng và phần tử nhiều lớp tấm chuyển động (MPMM)

1.2 Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài

Cùng với sự phát triển tiên tiến của khoa học kỹ thuật, nhiều phương pháp số được thiết lập để tính toán và phân tích ứng xử động của kết cấu tấm Mindlin chịu tải trọng di động

1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước

Vật liệu biến đổi chức năng (Functionaly Graded Materials) được nhóm các nhà khoa học ở viện Sendai của Nhật Bản phát minh lần đầu tiên vào năm 1984 Từ sau những năm 1984 có rất nhiều nghiên cứu để phát triển vật liệu FGM, hầu hết các nghiên cứu tập trung vào ba quy luật phân bố thể tích chính của vật liệu FGM là quy luật lũy thừa Power-Law (P-FGM), quy luật hàm e mũ (E-FGM) và quy luật hàm Sigmoid (S-FGM) Một số công trình nghiên cứu có thể kể đến như: Yang and Munz (1996) [1] phân tích tấm P-FGM bằng phương pháp biến đổi Mellin và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), qua đó tính toán ứng suất của tấm P-FGM tại các nút có xem xét đến ảnh hưởng của bề dày tấm Cũng với FEM, Reddy (1998) [1] đã nghiên cứu và phát triển thêm các công thức lý thuyết và tính toán tấm vật liệu chức năng FGM, đưa ra các ứng dụng quan trọng của vật liệu chức năng, phân tích ứng xử tĩnh và động của tấm FGM, có kể đến biến dạng cắt ngang và moment quán tính Sau đó Reddy (2000) [3] tiếp tục sử dụng FEM kết hợp lời giải Navier, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) và lý thuyết Von-Karman để phân tích đưa ra các kết quả số độ võng và ứng suất của tấm FGM hình chữ nhật Woo và Megiud (2001) [4] sử dụng lý thuyết Von-Karman cho biến dạng lớn để tìm lời giải giải tích cho tấm và vỏ chịu tải trọng cơ học của tấm P-FGM Jin and Paulino (2001) [5] phân tích vết nứt của tấm P-FGM dưới các điều kiện tải trọng khác nhau với giả thiết hệ số Poisson là hằng số và sử dụng biến đổi Laplace để giải Batra and Vel (2002) [6] đã nghiên cứu và đưa ra lời giải chính xác biến dạng ba chiều cho tấm P-FGM vuông tựa đơn bốn cạnh, chịu tải trọng cơ học và ảnh hưởng của nhiệt độ bằng phương pháp Mori-Tanaka Phương pháp này được áp dụng cho cả tấm mỏng và tấm dày Nghiên cứu đã đưa ra các kết quả cho thấy ảnh hưởng của bề dày, tỷ lệ thể tích và các thành phần vật liệu của tấm đến ứng xử của tấm FGM Ferreira và cộng sự (2005) [7] đã khảo sát ứng xử tĩnh của tấm P-FGM bốn cạnh tựa đơn dựa trên lý thuyết lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Từ đó đưa ra các kết quả chuyển vị của tấm để đánh giá ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích cũng như hệ số Poisson đến kết quả chuyển vị Chung and Chi (2006) [8] đã tính toán tấm vuông FGM có bề dày trung bình, 4 biên tựa đơn với các quy luật phân bố thể tích của tấm khác nhau dựa trên lý thuyết tấm cổ điển và phương pháp biến đổi

Fourier Uymaz và Aydogdu (2007) [9] đã tính toán tấm FGM hình vuông với các điều kiện biên khác nhau, sử dụng phương pháp Ritz và công thức chuyển vị Chebyshev Oyekoya và cộng sự (2008) [10] nghiên cứu tấm vật liệu chức năng FGM theo lý thuyết tấm Mindlin và phép cầu phương Gauss Nghiên cứu đã chỉ ra rằng có thể tối ưu hóa kết cấu tấm vật liệu chức năng thông qua cấu trúc của vật liệu tấm có cơ tính biến thiên Saha và Maiti (2012) [10] đã phân tích tấm FGM chữ nhật tựa đơn và so sánh các kết quả của các loại tấm FGM khác nhau khi sử dụng các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và lý thuyết tấm cổ điển, hệ số Poisson được coi là hằng số còn module đàn hồi E thay đổi theo chiều dày tấm Kiani và cộng sự (2012) [12] đã phân tích tĩnh học, dao động tự do, phân tích phản ứng động của tấm FGM chữ nhật trên nền Pasternak Các công thức lý thuyết được tác giả xây dựng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và lý thuyết của vỏ của Sanders đồng thời sử dụng lời giải Navier và biến đổi Laplace để giải Daouadji và cộng sự (2012) [13] đã nghiên cứu ứng xử tĩnh và động của tấm Metal–Ceramic FGM bằng lời giải Navier dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Hien và Noh (2013) [14] thực hiện phân tích ứng xử động của tấm FGM chữ nhật chịu tải trọng di động bằng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và sử dụng các phương trình chuyển động theo nguyên lý Hamilton, đồng thời có xét đến ảnh hưởng của tham số vật liệu đến kết quả tính toán Sobhy và Zenkour (2015) [15] đã phân tích tấm Sandwich-FGM ba lớp trên nền Pasternak và khảo sát ảnh hưởng của các ảnh hưởng của các thông số như thời gian, hệ số tỷ lệ thể tích, nhiệt độ đến ứng xử động của tấm

Để giảm bớt những khó khăn khi giải quyết bài toán chịu tải di động, Koh và cộng sự (2003) [16] đã sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Sau đó, Koh và cộng sự (2007) [17] đã khảo sát đến ứng xử động của nền bán không gian đàn hồi sử dụng phương pháp MEM Xu và cộng sự (2009) [18] sử dụng phương pháp MEM để phân tích dao động ngẫu nhiên của tấm Kirchhoff trên nền Kelvin chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động Lei và Wang (2013) [19] đã đề xuất một cách tiếp cận mới tên là phần tử khung chuyển động cho đường dựa trên phần tử xe và phần tử nền để đánh giá ứng xử động của tàu và hệ thống nền ba lớp Ang và cộng sự (2013) [20] đã sử dụng MEM

để khảo sát đến ứng xử của tàu cao tốc trong khoảng thời gian tăng tốc và giảm tốc và khảo sát hiện tượng nảy bánh xe của tàu cao tốc [21] Thi và cộng sự (2013) [22] đã phân tích động lực học của tàu cao tốc trên nền hai thông số Tiếp đó, Thi và cộng sự (2014) [23] tiếp tục sử dụng MEM để phân tích ứng xử động của tàu cao tốc chuyển động với vận tốc không đều Thi và cộng sự (2016) [24] đã phân tích ứng xử động của tàu cao tốc khi phanh đột ngột Ali J và cộng sự (2017) [26] đã phân tích độ rung của hệ thống tấm FGM hai lớp dựa trên lý thuyết gradient biến dạng được điều chỉnh kết hợp với bề mặt hoàn thiện Hadji và cộng sự (2018) [27] đã phân tích ứng xử cơ học của tấm vuông FGM sử dụng lý thuyết cắt bậc cao gần 3-D và lý thuyết biến dạng bình phương M Esmaeilzadeh và cộng sự (2019) [28] đã phân tích ứng xử động của tấm cứng FGM hai hướng với lỗ rỗng dưới tải trọng di chuyển A Radakokic và cộng sự (2020) [29] đã phân tích phản ứng nhiệt và dao động tự do của tấm FGM trên nền đàn hồi theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao dựa trên hàm dạng mới

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) được đưa ra để phân tích ứng xử của tấm trên nền đàn nhớt Tuy nhiên phương pháp FEM lại gặp vấn đề khó khăn khi tải trọng tiến đến gần biên của miền hữu hạn phần tử và di chuyển vượt ra ngoài biên Do đó Koh và cộng sự (2003) [30] đã đề xuất sử dụng phương pháp phần tử chuyển động (MEM) trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Mô hình của Koh đã giải quyết những khó khăn của phương pháp FEM như tải sẽ không bao giờ chạy tới biên hữu hạn của phần tử do phần tử luôn chuyển động, tránh phải cập nhật véctơ tải trọng và cho phép các phần tử hữu hạn có kích thước không bằng nhau Nghiên cứu này đã cho thấy MEM là phương pháp thích hợp nhất để phân tích bài toán động học cho các kết cấu chịu tải trọng động Sau khi được ứng dụng thì phương pháp MEM càng tỏ ra hữu dụng và ngày càng được phát triển Koh và cộng sự (2005) [31] đã khảo sát dao động của nền bán không gian đàn hồi bằng phương pháp MEM Gần đây nhất, Xu và cộng sự (2009) [32] sử dụng phương pháp MEM để phân tích dao động ngẫu nhiên của tấm Kirchhoff trên nền Kelvin chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tứ

giác Ang và cộng sự (2013) Error! Reference source not found đã khảo sát đến d

ao động của đường ray trong khoảng thời gian tăng tốc và giảm tốc của tàu cao tốc

trên nền 2 thông số, nghiên cứu này sử dụng phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc

Trong kết cấu đường băng, nền đường được cấu tạo nhiều lớp bao gồm: Lớp bê tông, lớp nhựa đường, lớp xi măng đá, tiếp đến là nền đất Wu và cộng sự (2014) [33] đã khảo sát ứng xử động của tấm Kirchoff trên nền nhiều lớp dưới tác động của tải trọng di chuyển Tuy nhiên, hiện nay chưa có bất cứ nghiên cứu nào về kết cấu tấm FGM trên nền nhiều lớp mà có xét đến tương tác giữa các lớp với nhau

1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước

Ở Việt Nam, trong những năm gần đây cũng có khá nhiều nghiên cứu về vật liệu FGM Các công trình của Đào Văn Dũng, Đào Huy Bích, Hoàng Văn Tùng và rất nhiều tác giả khác đã được công bố trên các tạp chí uy tín trong và ngoài nước Bùi Quốc Bình (2009) [35] giới thiệu phương pháp mô hình hóa vật liệu chức năng theo lý thuyết tấm Mindlin, khảo sát tấm với các đặc trưng của tấm và so sánh với kết quả của phần mềm ANSYS Phượng và Tú (2012) [36] nghiên cứu ứng xử tĩnh của tấm FGM chữ nhật tựa khớp trên chu vi chịu tải trọng vuông góc với mặt trung bình theo lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff-Love Khảo sát đã đưa ra các kết quả số và đưa ra nhận xét sự tương đồng với kết quả với tấm đẳng hướng Trung và Dũng (2012) [37] nghiên cứu phi tuyến ứng xử của tấm S-FGM trên nền đàn hồi bằng cách sử dụng lý thuyết tấm cổ điển và phương pháp Bubnov-Galerkin Dũng (2014) [38] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để tính toán độ võng và ứng suất của tấm FGM chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ Phần tử đẳng tham số chín nút mỗi nút gồm năm bậc tự do được sử dụng để mô hình phần tử tấm Kết quả số được khảo sát với các trường hợp khác nhau và được so sánh với các kết quả đã được công bố của tác giả khác cho thấy độ tin cậy của thuật toán và chương trình Đức và Cống (2015) [39] đưa ra phương pháp phân tích phi tuyến phản ứng động và dao động của tấm dày FGM trên nền đàn hồi giải bằng phương pháp Runge – Kutta Ngoài các bài báo khoa học thì rất nhiều luận văn cao học cũng đã nghiên cứu về vật liệu FGM và ứng xử của tấm FGM Nguyên (2013) [40] khảo sát tấm FGM trên cơ sở lý thuyết tấm bậc nhất của Reissner-Mindlin để tính toán tần số dao động riêng cho tấm trên cơ sở ngôn ngữ lập trình Phong (2011) [41] phân tích ứng xử phi tuyến của dầm FGM trên nền

đàn hồi Winkler chịu tải trọng động di động sử dụng lý thuyết dầm Timoshenko kết hợp với quan hệ phi tuyến giữa biến dạng – chuyển vị của Von - Karman

Ở nước ta trong những năm gần đây có một số các nghiên cứu sử dụng phương pháp MEM có thể kể đến Duy (2013) [42] phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác đất nền Hải và cộng sự (2013) [43] phân tích ứng xử tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác với đất nền sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Nghiên cứu này sử dụng phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Một số luận văn cao học đã nghiên cứu về phương pháp MEM trong đó có Anh (2013) [44] đã phân tích động lực học tàu cao tốc có xét đến độ nảy bánh xe và tương tác với đất nền Nhi (2014) [45] đã phân tích ứng xử của tấm với mô hình tấm dày Mindlin trên nền đàn nhớt sử dụng phương pháp MEM, đây là nghiên cứu mới hơn do hầu hết các nghiên cứu trước đây về phương pháp MEM chỉ mới được ứng dụng để phân tích động lực học tàu cao tốc và bài toán về dầm chịu tải trọng động chứ không sử dụng cho bài toán tấm chịu tải trọng động Cường (2011) [46] đã phân tích dao động của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt xét đến khối lượng của vật chuyển động sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn FEM Nhựt (2014) đã phân tích ứng xử động của tàu cao tốc bằng mô hình 3-D sử dụng phương pháp [47] phần tử chuyển động Thu (2014) [48] đã phân tích động lực học tàu cao tốc sử dụng phương pháp phần tử nhiều lớp dầm chuyển động có xét đến tương tác đất nền An (2014) [49] đã phân tích bài toán tương tác tấm Mindlin trên nền đàn nhớt được gia cường Top-base chịu tải trọng di động Xuyên (2015) [50] đã phân tích động lực học tấm trên nền Top-base chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tấm chuyển động Anh (2015) [51] đã phân tích động lực học tấm FGM chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp MEM Minh (2016) [52] đã phân tích động lực học kết cấu tấm dày trên nền nhiều lớp chịu tải trọng động sử dụng phương pháp MPMM Từ đó cho thấy rằng đã có rất nhiều nghiên cứu về ứng xử động của kết cấu tấm khi chịu tải di chuyển Đa phần trước đây chủ yếu dùng các phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn FEM để giải quyết bài toán Để khắc phục những nhược điểm của các phương pháp truyền thống, phương pháp phần tử chuyển động MEM được đề xuất và ứng dụng Dựa trên phương pháp phần tử chuyển động, phương pháp nhiều

lớp tấm chuyển động MPMM được trình bày như là một cách tiếp cận mới và sử dụng để giải quyết bài toán tấm Mindlin trên nền nhiều lớp Phương pháp này sẽ mô hình chính xác hơn kết cấu nền bao gồm nhiều lớp tấm FGM và có xét đến sự tương tác giữa các lớp với nhau Từ đó rút ra các kết luận quan trọng và đề xuất các giải pháp áp dụng trong mô hình tấm FGM trên nền nhiều lớp trong thực tế

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Mục tiêu của Luận văn nhằm phân tích động lực học tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tải trọng di động và có xét đến sự tương tác giữa các lớp với nhau Các vấn đề nghiên cứu cụ thể trong phạm vi Luận văn bao gồm:

Thiết lập các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản của phần tử kết cấu tấm sử dụng phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM

Phát triển thuật toán, sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình động của bài toán

Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của Luận văn với kết quả các phương pháp khác

Tiến hành thực hiện các ví dụ số nhằm khảo sát ảnh hưởng của các nhân tố quan trọng đến ứng xử động của kết cấu tấm, từ đó rút ra kết luận và kiến nghị

1.4 Cấu trúc luận văn

Nội dung trong Luận văn được trình bày như sau:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm chịu tải trọng động, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước, cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài

Chương 2: Trình bày các công thức để phân tích động lực tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử nhiều lớp tấm chuyển động MPMM

Chương 3: Trình bày các kết quả phân tích số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

Chương 4: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong Luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này thể hiện cụ thể mô hình cấu tạo nền bao gồm nhiều lớp và có xét đến tương tác giữa các lớp với nhau Bên cạnh đó, việc thiết lập công thức để phân tích động lực học kết cấu tấm FGM trên nền nhiều lớp chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM (Multi-Layer Plate Moving Method) được trình bày Phương pháp mới này được giới thiệu dựa trên phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) Mô hình toán học sử dụng lý thuyết tấm dày Mindlin để giải quyết ứng xử động được mô tả cụ thể và các phương trình tổng quát được trình bày chi tiết Phương pháp tích phân Newmark phương pháp gia tốc trung bình để giải quyết bài toán động lực học theo miền thời gian được sử dụng trong Luận văn

2.1 Khái niệm chung về tấm vật liệu chức năng Functionally Graded Materials (FGM)

Vật liệu FGM là một loại Composite đặc biệt được kết hợp từ hai loại vật liệu trong đó tỷ lệ thể tích của mỗi thành phần biến đổi một cách trơn và liên tục từ mặt này sang mặt kia theo chiều dày thành kết cấu như Hình 2.1 Hàm đặc trưng cho các hằng số vật liệu FGM giả thiết theo Reddy (2000) [1]:

( )( t  b) c  b

P - Hằng số vật liệu của vật liệu mặt trên tấm; P - Hằng số vật liệu của vật b

liệu mặt dưới tấm; P z - Hằng số vật liệu của vật liệu tại tọa độ z bất kỳ;   V là hàm c

tỉ lệ thể tích Quy luật phân bố của hàm tỉ lệ thể tích là cơ sở để phân loại vật liệu FGM Vật liệu P-FGM có V thay đổi theo qui luật lũy thừa Vật liệu E-FGM khi cV c

thay đổi theo quy luật hàm e-mũ Vật liệu S-FGM khi V thay đổi theo quy luật c

sigmoid (hàm Logarit chuẩn) Luận văn nghiên cứu tấm P-FGM như Hình 2.1

2.2.1 Hệ số độ cứng đàn hồi ks

Trọng lượng bản thân của kết cấu tấm bên trên làm cho đất nền bên dưới bị nén lại và chịu biến dạng nén trước Trong luận văn này, tác giả sử dụng các lò xo có độ cứng đàn hồi theo phương đứng để đặc trưng cho ứng xử đó

Richart và Lysmer (1970) [24] đã đưa ra mô hình trong đó xem phần móng đặt trên nền như khối hình hộp chữ nhật đặt trên các lò xò được mô tả bằng các module kháng cắt G s

Đối với móng chữ nhật và móng vuông được quy ước về móng tròn để tính toán Bán kính quy đổi lấy dựa vào đặc trưng hình học tương đương theo phương r z

41 

s z

G rk

trong đó: L, B tương ứng là chiều dài và chiều rộng móng

Mô hình Whitman (1972) [25], khi móng được chôn sâu tại độ sâu e thì độ cứng nền k sẽ gia tăng và do đó cần được hiệu chỉnh bởi hệ số: s

Bằng cách nhân hệ số z từ phương trình (2.5) vào phương trình (2.2) sẽ được hệ số độ cứng k hiệu chỉnh s

2.2.2 Hệ số cản cs

Richart và Lysmer (1970) [24], gọi m là tổng khối lượng của móng và kết cấu bên trên, cs;z; Bzlần lượt là hệ số cản, tỉ số cản và tỉ số khối lượng theo phương đứng, hệ số cản của móng tròn và móng quy đổi về móng trong đặt trên mặt đất được tính:

30.25 10.425

s zz

p rB

Hình 2.3 Nền với nhiều lớp đất đá khác nhau

  

n là tham số vật liệu (chỉ số tỉ lệ thể tích); h là chiều dày tấm:

Module đàn hồi (Young ‘s module) được xác định sau:

EGPa ,Em 70GPa ) Delale and Erdogan (1982) [53] đã chỉ ra rằng ảnh

hưởng của hệ số Poisson   ( )z trên ứng xử của tấm là ít hơn rất nhiều so với module đàn hồi EE z , cho nên hệ số Poisson của tấm được xem là hằng số  

/2( )( ) h

z dzz



Hình 2.4 Biến thiên module đàn hồi E

2.4 Phương pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MPMM

Phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM (Multi-layer Plate Moving Method) được đề xuất dựa trên phương pháp phần tử chuyển động MEM Các phương trinh chuyển động của tấm, các ma trận kết cấu được thiết lập trong hệ tọa độ tương đối chuyển động cùng vận tốc với vân tốc của lực di chuyển

2.4.1 Giới thiệu tổng quát

Trong luận văn này sẽ phân tích ứng xử của tấm P-FGM theo mô hình tấm Reissner-Mindlin

Tóm tắt lý thuyết tấm Mindlin:

 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng sẽ vẫn là thẳng nhưng không nhất thiết là vẫn vuông góc với mặt trung bình khi biến dạng

 Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình không bị kéo, nén

 Bỏ qua ứng suất pháp z

Theo mô hình Reissner-Mindlin, các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt trung gian nữa, và các góc vuông này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt trung bình gây ra bởi lực cắt Như vậy góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm hai phần, phần thứ nhất do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung bình, phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra (Hình 2.5)

Hình 2.5 Mô hình kết cấu tấm theo lý thuyết Reissner-Mindlin

2.4.2 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng - chuyển vị

Xét tấm FGM chịu biến dạng uốn bởi các lực vuông góc với mặt phẳng tấm, hệ trục tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt trung bình  và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Tấm dựa trên các giả thiết Reissner-

Mindlin, với w là độ võng tấm,x,y lần lượt là các góc xoay của pháp tuyến của mặt

trung hòa quanh trục Ox và Oy của hệ tọa độ địa phương với qui ước chiều dương

cho ở Hình 2.6,  là mặt trung hòa của tấm và h là độ dày của tấm Các thành phần

u, v và w tương ứng là chuyển vị theo phương x, phương y và phương z, 0

w là chuyển

vị tại mặt trung hòa (giả thiết biến dạng màng: 00

0 

Hình 2.6 Qui ước chiều dương của chuyển vị w và hai chuyển vị xoay của tấm

2 2( , , ) ( , )

u x y zzx y

h hv x y zzx yx yz

w x y zw x y

2.4.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ ứng suất-biến dạng

Biến dạng của tấm bao gồm biến dạng uốn và biến dạng cắt Các thành phần biến dạng này được cho bởi các công thức sau:

Biến dạng uốn của tấm theo Reissner-Mindlin:



    

   

Ứng suất uốn của tấm:

 

  

trong đó E z là module đàn hồi của vật liệu tấm,    là hệ số Poisson Ứng suất cắt của tấm