Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Dự báo độ lún nền đất yếu theo thời gian theo lớp phân tố

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN − Đánh giá độ lún trên cơ sở lý thuyết cố kết thấm cổ điển và theo lớp phân tố có xét đến tính nén ép của nước lỗ rỗng và biến dạng do cố kết thứ cấp.. LỚP PHÂN TỐ TÓM

Mã ngành : 60.58.02.04

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 12 NĂM 2014

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS BÙI TRƯỜNG SƠN

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Cán bộ chấm nhận xét 1:

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Cán bộ chấm nhận xét 2:

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại Học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày……tháng……năm 2015 Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) 1 ………

2 ………

3 ………

4 ………

5 ……… Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên

ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: NGUYỄN THÚY AN Phái : Nữ Ngày sinh : 10/11/1982 Nơi sinh : Cà Mau Chuyên ngành : Kỹ Thuật Xây Dựng Công Trình Ngầm MSHV : 13091276

1 TÊN ĐỀ TÀI

“DỰ BÁO ĐỘ LÚN NỀN ĐẤT YẾU THEO THỜI GIAN THEO LỚP PHÂN TỐ”

2 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN

− Đánh giá độ lún trên cơ sở lý thuyết cố kết thấm cổ điển và theo lớp phân tố có xét đến tính nén ép của nước lỗ rỗng và biến dạng do cố kết thứ cấp

− So sánh kết quả tính toán được với kết quả thí nghiệm ở trong phòng và áp dụng tính toán cho công trình thực tế

3 NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: ……… 4 NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: ……… 5 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS BÙI TRƯỜNG SƠN

LỜI CÁM ƠN

Luận văn tốt nghiệp được hoàn thành không những từ nổ lực bản thân học viên mà còn nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô, đồng nghiệp và bạn bè thân hữu

Xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến thầy Bùi Trường Sơn, người

đã giúp đỡ, chỉ dẫn tận tình trong thời gian thực hiện Luận văn, giúp cho học viên có được những kiến thức hữu ích, làm nền tảng cho việc học tập và công tác sau này

tình giảng dạy trong thời gian qua

quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện tốt nhất trong thời gian học viên thực hiện Luận văn

Cuối cùng, xin cám ơn gia đình và các bạn bè thân hữu đã động viên, giúp đỡ học viên trong thời gian học tập và thực hiện Luận văn

Học viên

Nguyễn Thúy An

LỚP PHÂN TỐ

TÓM TẮT: Việc ước lượng độ lún nền đất loại sét theo thời gian căn cứ trên cơ sở

lý thuyết cố kết thấm một chiều được mô tả tốt nhất bằng thí nghiệm nén cố kết Tuy nhiên, kết quả tính toán theo lý thuyết cố kết một chiều Terzaghi có sự khác biệt đáng kể so với số liệu thí nghiệm Việc hiệu chỉnh trên cơ sở giá trị áp lực nước lỗ rỗng thặng dư của lớp phân tố có xét cố kết thứ cấp cho thấy đường cong nén lún theo thời gian phù hợp với các giá trị ghi nhận từ thí nghiệm Kết quả nghiên cứu

giúp hoàn thiện tính toán thiết kế nền sét mềm bão hòa nước

THE GIVEN TIME OF ELEMENTARY LAYER

ABSTRACT: Prediction settlement of clayey ground during the given time

based on theory of one dimension consolidation is well described by consolidation test However, the results of calculation by Terzaghi’s one dimension theory are different from laboratorial data significantly The correction based on excess pore water pressure of elementary layers accounting secondary consolidation shows that the compression curve during the given time is well fit to data noted from the test The research result improves design calculation of saturated soft soil

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

GIAN TRÊN CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỐ KẾT 3

1.1 Ước lượng độ lún của nền theo thời gian trên cơ sở bài toán cố kết thấm một chiều 3 1.2 Ước lượng độ lún của nền theo thời gian trong điều kiện bài toán cố kết hai chiều 11 1.3 Nhận xét và phương hướng của đề tài 26

ĐỘ LÚN NỀN ĐẤT THEO THỜI GIAN 27

2.1 Các khái niệm chung về áp lực nước lỗ rỗng, ứng suất hữu hiệu 27 2.2 Cở sở lý thuyết bài toán cố kết thấm một chiều và phương pháp ước lượng độ lún 29

2.3 Cở sở lý thuyết bài toán cố kết thấm một chiều có xét đến độ bền cấu trúc và tính nén ép của nước lỗ rỗng 35

2.3.1 Khảo sát vùng chịu nén cố kết thấm có xét đến độ bền cấu trúc 35 2.3.2 Xác định module biến dạng của đất loại sét có xét đến độ bền cấu trúc từ thí nghiệm nén 36

2.3.3 Tính nén ép của nước lỗ rỗng trong đất nền 37 2.3.4 Tính nén ép của nước lỗ rỗng và ảnh hưởng đến sự phân bố áp lực nước lỗ rỗng ban đầu 41

2.3.5 Kết quả lời giải bài toán cố kết có xét đến độ bền cấu trúc và tính nén ép của nước lỗ rỗng 42

2.4 Cở sở lý thuyết bài toán cố kết thấm một chiều có xét đến lún thứ cấp 45 2.5 Nhận xét chương 47

LỚP PHÂN TỐ VÀ HIỆU CHỈNH ĐƯỜNG CONG NÉN LÚN 48

3.1 Độ lún theo thời gian của mẫu đất theo thí nghiệm nén cố kết 48

3.2 Hiệu chỉnh đường cong lún theo thời gian 50

3.2.1 Độ lún theo thời gian của mẫu đất theo lý thuyết cố kết cổ điển của Terzaghi với đặc trưng biến dạng sau 24h 50

3.2.2 Độ lún theo thời gian của mẫu đất theo lý thuyết cố kết cổ điển của Terzaghi ở thời điềm t100 53

3.2.3 Độ lún theo thời gian của mẫu đất theo lý thuyết cố kết cổ điển chia lớp phân tố với đặc trưng biến dạng sau 24h 55

3.2.4 Độ lún theo thời gian của mẫu đất theo lý thuyết cố kết cổ điển chia lớp phân tố ở thời điểm t100 57

3.2.5 Độ lún theo thời gian của mẫu đất theo lý thuyết cố kết cổ điển chia lớp phân tố có xét đến tính nén ép của nước lỗ rỗng ở thời điểm t100 59

3.2.6 Độ lún theo thời gian của mẫu đất theo lý thuyết cố kết cổ điển chia lớp phân tố có xét đến Cα 61

3.3 Dự báo độ lún theo thời gian trên cơ sở phần mềm Plaxis 2D 63

3.4 Dự báo độ lún theo thời gian của lớp bùn sét công trình thực tế 68

3.4.1 Điều kiện địa chất công trình 68

3.4.2 Độ lún theo thời gian của lớp bùn sét ở thời điểm t100 69

3.4.3 Độ lún theo thời gian theo hiệu chỉnh đề nghị của lớp bùn sét công trình thực tế 73

3.5 Nhận xét chương 76

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 78

MỞ ĐẦU

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Độ lún theo thời gian là các tiêu chí tính toán quan trọng trong Địa kỹ thuật Việc ước lượng độ lún theo thời gian chính xác cho phép quản lý sử dụng công trình hợp lý hơn Cho tới nay, việc tính toán độ lún theo thời gian căn cứ trên cơ sở giá trị độ lún cuối cùng và mức độ cố kết, ở đây giá trị độ cố kết Ut được ước lượng trung bình căn cứ trên tỷ số diện tích của ứng suất hữu hiệu và ứng suất tổng Tuy nhiên mức độ cố kết phụ thuộc vào chiều dài của đường thấm nên xảy ra không đồng đều theo độ sâu Ngoài ra, trong lý thuyết cố kết thấm, các giả thiết về điều kiện ban đầu như: Nước lỗ rỗng không chịu nén ép, tải trọng tác dụng tức thời, quy luật thấm tuân theo định luật Darcy, cốt đất biến dạng tuyến tính và một số giả thiết khác Từ kết quả thí nghiệm nén cố kết mẫu đất trong phòng, có thể xác định hệ số cố kết Cv

theo phương pháp phổ biến như phương pháp Taylor, phương pháp Casagrande Tuy nhiên khi sử dụng giá trị Cv để đánh giá lại kết quả độ lún theo thời gian thì xảy ra sự khác biệt trong kết quả tính toán

Nhằm góp phần phân tích để hoàn thiện phương pháp tính lún theo thời gian,

chúng tôi chọn lựa đề tài “ Dự báo độ lún nền đất yếu theo thời gian theo lớp phân

tố ” để làm đề tài tốt nghiệp Kết quả nghiên cứu có thể là tài liệu tham khảo cho

các kỹ sư thiết kế và kỹ sư Địa kỹ thuật trong việc tính toán dự báo độ lún cho các công trình cơ sở hạ tầng trên đất yếu

Phương pháp nghiên cứu

− Tổng hợp lý thuyết cố kết thấm cổ điển, trên cơ sở đó tính toán đánh giá mức độ cố kết theo thời gian theo lớp phân tố của nền đất yếu

− Thu thập số liệu từ thí nghiệm nén cố kết của nền đất yếu từ đó tính toán so sánh với kết quả lý thuyết

− Xây dựng chương trình tính để giải quyết bài toán cố kết theo phương pháp đề nghị

− Áp dụng tính toán cho công trình thực tế

Phạm vi nghiên cứu

− Thí nghiệm và thu thập số liệu đất yếu ở khu vực Cần Thơ − Tính toán đánh giá mức độ cố kết theo thời gian theo lớp phân tố trên cơ sở lý thuyết cố kết thấm của nền đất yếu

− Kết quả tính toán được so sánh với kết quả thí nghiệm, chưa có số liệu quan trắc đối với công trình thực tế

CHƯƠNG 1

CÁC PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐỘ LÚN THEO THỜI

GIAN TRÊN CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỐ KẾT

- Thấm trong cố kết tuân theo định luật Darcy - Đất đẳng hướng theo các trục x, y, z

- Gia tải Δq được đặt tức thời Khảo sát một phân tố dxdydz tại điểm (x,y,z) trong khối đất đang có hiện tượng cố kết sơ cấp Vận tốc thấm v được phân thành ba thành phần vx, vy, vz Theo định luật bảo toàn khối lượng, độ chênh lệch của lượng nước vào và lượng nước ra phân tố đất dxdydz: qout – qin = độ thay đổi thể tích của phân tố dxdydz trong thời gian ∂t (q – lưu lượng dòng thấm)

tVdxdyvdxdzvdydzv

dydxdzzvvdzdxdyyvvdzdydxxvv

zy

x

zzy

yx

x































(1.1)

Hình 1.1 Sơ đồ phân tố đất trong quá trình cố kết

Phương trình (1.1) được viết lại dưới dạng sau:

dxdydzz

vyvxvt







(1.2)

V=Vs(1+e)= dxdydz  const

edxdydz



teVtV

s





teedxdydzt

V



Phối hợp (1.2) và (1.3) ta được:







zvyvxvet

)1

wzzw

yyw

xx









Vi phân (1.6) thay vào (1.5), ta được:







222

22

2

1

zuky

ukx

uket

e

zy

xw

Đặt '0

 ứng suất hữu hiệu ban đầu Trong đó: ui – áp lực lỗ rỗng thặng dư do tác động áp lực ngoài Δσ;

u – áp lực lỗ rỗng tại thời điểm t

x

vx+(vx/x)dxvx

vy

vzvz+(vz/z)dz

vy+(vy/y)dy

z

y

Vậy: σ0’ + ui = σ’ + u => σ’ = σ0’ + ui – u (1.8) Vì tải tác động tức thời nên ui độc lập với t

Vi phân của (1.8) ta được:

tu

'

ueea





Từ (1.7) và (1.10), ta có thể viết:



tuatuuete







222

22

2

1

zuky

ukx

uke

zy

xw











222

22

2

.1

zuky

ukx

uka

et

u

zy

xw









222

22

2

zuCy

uCx

uCtu

vzvy

Vì:

wxvx

akC



0

 ;

wyvy

akC



0

wzvz

akC



0



Ở đây: Cvz – hệ số cố kết theo phương z phụ thuộc vào đặc tính của đất; u – áp lực trung bình của nước lỗ rỗng trong đất;

kx, ky, kz – hệ số thấm của đất theo phương x,y,z; a0 – hệ số nén tương đối của đất;

γw – trọng lượng riêng của nước Nếu bài toán thấm được xem xét trong điều kiện chỉ có thấm thẳng đứng, phương trình cố kết thấm một chiều có dạng:

22

zuCtu

v



Phương trình (1.12) thường được biết dưới tên là phương trình vi phân cố kết thấm một chiều theo lý thuyết cố kết thấm của Terzaghi

Dạng lời giải của phương trình này tùy thuộc vào điều kiện ban đầu và điều kiện biên thoát nước của lớp đất cố kết Để giải phương trình (1.12), giả thiết u là tích số của hàm theo độ sâu z và hàm theo thời gian t có dạng:

)()(zGtF

Khi đó, () G(t) F(z)G'(t)

tzFtu







(1.14)

Và ( ) () ''( ) ( )

2222

tGzFtGzFzz

u





(1.15) Từ biểu thức (1.12), (1.13), và (1.14)

)()()

()(zG' tCF'' zGt

hay

)(

)()

()

''

tGC

tGzF

zF

v

Vế trái của phương trình (1.16) chỉ là một hàm của z và độc lập theo t, còn vế phải của phương trình chỉ là một hàm của t và độc lập theo z Vì vậy chúng phải được xem như là một hằng số, gọi là –B2, nên:

)()

( 2

''

zFBz

Lời giải phương trình (1.17) có dạng như sau:

BzABzAzF( ) 1cos  2sin (1.18) Trong đó A1, A2 là những hằng số

Mặt khác, vế phải của phương trình (1.16) có thể được viết như sau:

)()

'

tGCBt

Lời giải phương trình (1.19) có dạng:

)exp(

)(tA3 B2Ct

Trong đó A3 là một hằng số, kết hợp với biểu thức (1.13), (1.18), và (1.20), vậy:

)exp(

)sincos

(

)exp(

)sincos

(

25

4

23

21

tCBBz

ABzA

tCBA

BzABzAu

vv









Trong đó A4 = A1A3 và A5 = A2A3

Những hằng số trong biểu thức (1.21) có thể được tính toán theo những điều kiện biên như sau (hình 1.2):

 Tại thời điểm t = 0, u = u0

 u = 0 tại z = 0 (thoát nước ở bề mặt)  u = 0 tại z = ht = 2h (thoát nước ở đáy)

Hình 1.2 Các biểu đồ áp lực nước lỗ rỗng (u) và ứng suất (σ’) lên cốt đất trong

trường hợp tải trọng phân bố đều

Với: h là chiều dài đường thoát nước Trong trường hợp này, thoát nước cả hai phía (phần đỉnh và đáy của lớp đất chịu nén), h được lấy bằng một nửa tổng chiều dài của lớp đất yếu ht

Điều kiện biên thứ hai, cho thấy A4 = 0, và từ điều kiện biên thứ ba, ta có thể tính được phương trình sau:

02sin

5 Bh

A hay 2Bh n (n – số nguyên) Lời giải để tính phương trình (2.21) có dạng:



 

n

n

vn

Tnh

znAu

1

22

4exp2

(1.22)

Trong đó Tv được gọi là nhân tố thời gian và được tính như sau: 2

htCTv

v 

t=0

’ u

q h

h ht

q

0

Dựa vào điều kiện biên ban đầu, có thể viết lại như sau:









n

nni

hznAu

1 sin 2



(1.23) ui – áp lực nước lỗ rỗng thặng dư tại thời điểm ban đầu

Phương trình (1.23) là một chuỗi Fourier, do vậy An được biễu diễn bằng phương trình:



hznuh

0 sin 2

(1.24) Kết hợp biểu thức (1.22 và (1.24)



 





 sin 2 sin 2 exp 4

12

0

vn

nh

i

Tnh

zndzh

znuh

(1.25) Giải phương trình trên với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu, ta được phương trình cố kết thấm một chiều có dạng sau:







thiCh

ziiu

i

222,

3,2,10 1sinexp

Các trường hợp ui khác nhau:

Trường hợp ui không đổi theo chiều sâu

Hình 1.3 Biểu đồ phân bố ứng suất khi ui=p

Nếu ui (áp lực nước lỗ rỗng thặng dư tại thời điểm ban đầu, t=0) là hằng số theo độ sâu, lấy ui = u0 = q thế vào phương trình (1.24), khi đó phương trình (1.24) trở thành:

)cos1(22

sin12

0

0





nn

udzh

znuh

h



Vì thế, 



 





 (1 cos )sin 2 exp 4

znn

nu



 







12exp2

)12(sin])12cos(1[)12(

hzkk

ku



(1.28) Hay:







1

20sinexp()2

k

vTMh

MzM

uu

uuu

ii







1

2)exp(

sin21

k

v

hMzM

ti

tz

dzuh

udzh

dzuhU

0

)/1(

)/1()

/1(

(1.32)

Trường hợp ui thay đổi tuyến tính

Hình 1.4 Biểu đồ phân bố ứng suất khi ui thay đổi tuyến tính

Sự thay đổi tuyến tính của áp lực nước lỗ rỗng ban đầu có thể được viết theo công thức sau:

h

zhuu

Thay (1.32) vào biểu thức (1.25), nhận được biểu thức sau:

)4exp(2sin]2sin)(

1[

120

222

1

 







n

nh

v

Tnh

zndzh

znh

zhuuh

(1.34) Vậy, độ cố kết trung bình có được bằng cách kết hợp biểu thức (1.31) và (1.34):









1

22exp()2

Trường hợp ui thay đổi theo hàm sin

Hình 1.5 Biểu đồ phân bố ứng suất khi ui thay đổi theo hình sin

 

hzhuu



hzu

ui

2.sin

3



Ta có:

h

zuui

2sin

0



 (u0 = ui – tại giữa lớp sét nền) (1.36) Độ cố kết trung bình trong trường hợp này là:

)4exp(1

2

vz

Lời giải trực tiếp phương trình vi phân cố kết thấm [12]

Các giả thiết:  Mô hình đất bao gồm ba pha  Sự nén chặt đất là do sự thay đổi thể tích phần lỗ rỗng  Tính nén ép và hòa tan trong dung dịch có chứa khí hút bám tuân theo định

luật Boyle-Mariot và Henry  Hạt đất và nước lỗ rỗng không bị nén  Thấm trong quá trình cố kết tuân theo định luật Darcy  Tổng ứng suất trong quá trình cố kết xem như không đổi

Phương trình cơ bản của bài toán cố kết phẳng

Ký hiệu u, v và w vận tốc dịch chuyển các pha lỏng, rắn và khí của đất trong một đơn vị thể tích đất

nw, m và s – hàm lượng thể tích tương ứng của các pha lỏng, rắn và khí, nên: nw + m + s = 1

a – khối lượng riêng các loại khí trong đất; H – hệ số hòa tan Henry (H=0,02)

Thể tích nước trong khoảng thời gian dt đi vào phân tố đất hình lập phương dx.dy.dz qua các mặt vuông góc với trực z là:

z







Tượng tự, ta cũng nhận được thể tích nước đi vào phân tố đất qua các mặt vuông góc với trục x:

dtdzdydxxux



Như vậy tổng lượng nước vào phân tố đất trong khoảng thời gian dt là:

dtdzdydxzuxuxz







Giá trị lượng nước thay đổi bên trong phân tố đất sau khoảng thời gian dt xác định được bằng biểu thức sau:

dtdzdydxtndzdydxndzdydxdttn

ww







Điều kiện liên tục của dung dịch bị nén ép cho thấy rằng, khối lượng nước thấm vào phân tố dxdydz trong khoảng thời gian dt bằng độ thay đổi lượng nước trong phân tố đó, tức là:

dtdzdydxtndtdzdydxzux







hoặc: 0



tnzuxuxzw

(1.43) Bằng cách tương tự cũng có thể nhận được phương trình liên tục cho pha rắn của đất, ta có:

0

tmzvxvxz

Bỏ qua ảnh hưởng do sự thay đổi của lượng nước trong phân tố, xem lượng khí đi vào và lượng khí hòa tan trong nước trong khoảng thời gian dt, phương trình liên tục của pha khí nhận được có dạng:

0

tstnHz

wx

wz

ax



Từ đó có thể nhận được quan hệ:

 0



tst

snHzwz

wxwx

wz

aazxaa

Hình 1.6 Sơ đồ tính toán sự liên tục các pha trong quá trình cố kết

Vì vận tốc dịch chuyển của bọt khí và các hạt rắn như nhau, nên ta có:

xxv

ms

ms

Sắp xếp lại các phương trình (1.44), (1.45), (1.46) có xét đến (1.47), nhận được:

0

 





 





zwxwtHnsvm

smuzvm

smux

aazaaxaa

wz

zx

x



Theo định luật Darcy:









xukv

mn

xwx

wx



1









zukv

mn

zwzwz



1

(1.49) Vi phân các phương trình trên theo x và z:











xukxv

mnxx

xw

xwx



1











zukzv

mnzz

zw

zwz



1

(1.50) Đặt các biểu thức nhận được và (1.47) vào phương trình (1.48) và vì nw+m+s=1, ta có:

dxxuux

x



dxxvvx

x



dzzuuz

z



dzzv

z



x

u

xv

























 

zukzxukx

mzvmxvzwxwtHnstmm

wzw

xw

zx

aazaaxaa

w





1

11

















 

zukzxukxt

Hnstmm

wzw

xw

aa

w



11

(1.52) Xem trạng thái của pha khí trong điều kiện đẳng nhiệt, ta có:

a  watm

  (1.53) Ở đây:

R – Hằng số khí patm – giá trị áp lực ban đầu, có thể xem như bằng áp lực khí quyển (patm=100kN/m2)

a – phân tử lượng trung bình của hỗn hợp khí Từ (1.53), ta có:

tuput

watmwa

 11 

 (1.54)

Nhận thấy các giá trị m, nw, và s tương ứng bằng:

em



11

;

eeS

w



1 ;

eSe



1)1(

Ta nhận được biểu thức sau:

eet

m



2

11

Đặt các qua hệ đã có vào (1.52), ta sẽ thu nhận được phương trình:























ukzxukxt

up

uHnstee

wzw

xw

watmw

w



11

1

(1.57) Ký hiệu phần trong ngoặc của vế trái bằng  và sắp đặt các giá trị từ (1.57), nhận được:

ratm

ww

pu

HSeep

uHns

 1 (1 )

1

Sau khí biến đổi, phương trình (1.57) có dạng:



















zukzxukxet

umnt

zw

xw

ww

rw

pu

HSm

1 (1 ) – hệ số nén tương đối nước lỗ rỗng Giả thiết rằng các hệ số thấm kx, kz không đổi, còn hệ số rỗng được lấy bằng giá trị trung bình etb, phương trình (1.57) có thể biểu diễn dưới dạng:









22

2

11

1

zukx

ukt

umntee

wzwxwww

Với:



21  E

Ksk – hệ số nén thể tích cốt đất ’v = ’x + ’y + ’z – tổng ứng suất nén hữu hiệu v = x + y + z – biến dạng thể tích khung cốt đất Lưu ý rằng đối với bài toán phẳng: y = ’(x + z), ta có:

Ksk.v = (1+’).(’x + ’z) (1.62) Ta cũng có:

tt

ee

v





11

Đặt biểu thức này vào phương trình (1.60), ta được:











222

2

12

1

zukx

ukt

umnut

K

wzwxwwww

zx



(1.63) Việc giải phương trình này tương đối phức tạp Do đó, giả thiết rằng trong quá trình cố kết, tổng ứng suất chính không đổi

Do vậy, phương trình (1.63) khi x, z = const và với mw=3/Kw có thể viết lại dưới dạng:













222

2

13

12

zukx

ukt

uK

nK

wzwxwww

2

zuCx

uCt

vzwvxw



Với:

wsk

xvx

KnK

kC

31

2



wsk

zvz

KnK

kC

31

2





Trong trường hợp kx = kz = k, ta có:

wv

tu



v

KnK

kC

31

2



Điều kiện biên có được từ điều kiện địa chất công trình của nền đất

Hình 1.7 Sơ đồ bài toán cố kết phẳng

2b

+l

h z

x -l

0

Xét trường hợp hệ số thấm theo phương đứng và phương ngang như nhau

Để thuận tiện trong lời giải, xem hệ số thấm theo phương đứng và phương ngang như nhau, phương trình (1.65) trở thành:







2222

zux

uCt

ww

KKn

Ku



 

Đặt:

wsk

wwo

KKn

K



hay uw wo (1.69) với: wo – hệ số áp lực nước lỗ rỗng ban đầu

Ksk – hệ số nén thể tích cốt đất xác định từ thí nghiệm nén ba trục thoát nước hay nén cố kết

Điều kiện ban đầu của bài toán (1.65) được viết dưới dạng: Khi t = 0: uwo(x, z, 0) = wo.(x, z, 0) (1.70) Với: (x, z, 0) – ứng suất tổng trung bình

Điều kiện biên có dạng: Khi: x = l; x = -l : uw(l, z, t) = uw(-l, z, t) = 0 Khi: z = 0; z = h : uw(x, 0, t) = uw(x, h, t) = 0 (1.71) Ở đây: l – nửa bề rộng phạm vi ảnh hưởng (hình 1.7)

h – bề dày vùng ảnh hưởng Tìm lời giải dưới dạng:

uw(x, z, t) = T(t)X(x)Z(z) (1.72) Với: T(t) – hàm số chỉ phụ thuộc t

X(x) – hàm số chỉ phụ thuộc x Z(z) – hàm số chỉ phụ thuộc z Vi phân các hàm này, nhận được:

)()()(' tXxZzT

tuw



)()(')(

22

zZxXtTx



(1.73)

)(')()(

22

zZxXtTz



Đặt các biểu thức (1.73)) vào phương trình (1.49) và sắp xếp lại:

2

)()(

)(')()()('')(

)('







zZxX

zZxXzZxXtTC

tT

v

Với: 2 = const Vế trái phương trình (1.74) có thể viết lại dưới dạng:

T’(t) + Cv.2.T(t) = 0 (1.75) Lời giải của phương trình này có dạng:

tCv

eAtT()  2 (1.76) Vế phải của phương trình (1.74) có thể biểu diễn dưới dạng:

22

)(

)()

('')(

)('







zZ

zZzZxX

xX

Ở đây:λ2 =const, bởi vì vế trái chỉ phụ thuộc x, còn vế phải phụ thuộc z Từ đó, phương trình (1.77) được chia thành hai phương trình:

X”(x) + λ2.X(x) = 0 (1.78) Z”(z) + m2.Z(z) = 0 (1.79) Với: m2 = 2- λ2

Lời giải phường trình (1.78) có dạng:

X(x) = C1.cosl(x+l) + C2.sinl(x+l) (1.80) Xét điều kiện biên (1.71): X(l)=X(-l)=0, ta có lời giải như sau:

xl

lix

2sin)( 

(1.81)

Với: i = 1, 2, 3,… và hằng số

li

2

 

Tìm lời giải phường trình (1.82) dưới dạng:

Z(z) = C3cos(mz) + C4sin(mz)

Dễ dàng thấy rằng Z(0) = Z(h) = 0, ta có lời giải phương trình (1.79) là:

zhjz

sin)

Với: j = 1, 2, 3,… và hằng số

hj 

Ngoài ra, 







22222

jli



Kết quả là ta có lời giải riêng phương trình (1.66) dưới dạng:











zhjl

xlie

Au

th

jliCijjw

sin2

sin

22222













11

4

sin2

sin,

2222

ij

th

jliCij

hjl

xlie

At

zxu

(1.84) Từ điều kiện ban đầu (1.70), cần phải xác định hệ số Aij từ phương trình (2.67) thỏa:

















11

sin2

sin)

0,,(

ij

ij

hjl

xliA

zx

(1.85) Dãy trên có dạng dãy đôi, bao gồm hai dãy Furier, hệ số Aij được xác định như sau:

Cho: 









1

sin)

(

jij

hjA









1 sin 2)

0,,(

jj

lizKz

x

(1.87) Khi cố định giá trị z, phương trình (1.87) trong dãy Furier theo hàm sin Để xác định hệ số Kj(z) nhân hai vế phương trình với  x l

lm

2sin 

với giá trị m nào đó m0, lấy tích phân trong đoạn từ –l đến l:



















1 sin 2 sin 22

sin)0,,(

j

ljl

lml

xliz

Kdx

lxlmz

x

Lưu ý rằng tích phân ở vế phải bằng 0 ngoại trừ tích phân với hệ số Km(z), ta có:

xl dxl

mz

xulzK

l

lwm      

 ( , ,0) sin 21

sin với giá trị n nào đó n0, lấy tích phân trong đoạn từ 0 đến h:

dzzhnK

hA

hij

 2 sin 

xliz

xulhA

h l

lw





  





sin2

sin)0,,(2

0

(1.90) Kết quả cuối cùng lời giải phương trình cố kết thấm (1.49) thỏa các điều kiện biên có thể viết lại như sau:

























11

22222

sin2

sin4

exp)

,,(

ij

vij

hjl

xlit

hjliC

At

zx



tzluxtzlu

Khi: z = 0; z = h:uwx,0,tuwx,h,t0 (1.93) Phương trình vi phân và điều kiện ban đầu giống như trường hợp trên (1.70), (1.71)

Tương tự như trên, tìm lời giải dưới dạng:

uw(x, z, t) = T(t)X(x)Z(z) Sắp xếp:

(' t C 2Tt 

Tv ;

0)()

('' x  2Xx 

0)()

(' z  2Zz 

Xét các điều kiện biên (1.92), (1.93), ta có lời giải dưới dạng:

tCv

eAtT()  2 ;

xl

lix

2cos)( 

;

zhjz

sin)( 

Với: i = 1, 2, 3,…; j = 1, 2, 3,… và các hằng số

li

2



hj 

Từ đó có thể thiết lập dược dãy dưới dạng:

 



















01

4

sin2

cos)

,,

2222

ij

th

jliCij

hjl

xlie

At

zxu









sin2

cos)

0,,(

ij

hjl

xliA

zx

(1.95) Cho:











1

sin)

(

jij

hjA









1 cos 2)

0,,(

jj

liz

Kz

x

(1.97) Tích phân hai vế đẳng thức (1.97) từ -l đến l, ta nhận được hệ số:

dxzxulzK

l

lw



)0,,(2

1)

Nhân hai vế đẳng thức (2.80) cho  x l

lm

2cos 

với giá trị m nào đó m0, lấy tích phân trong đoạn từ -l đến l, ta nhận được hệ số Ki(z) dưới dạng:

Khi i0: xl dx

lmz

xulzK

l

lwi      

 ( , ,0) cos 21

)

(1.99) Tương tự như trường hợp (1.89), ta có:

hjz

KhA

hi



0

Từ các quan hệ (1.98), (1.100), ta nhận được: Khi i=0:   





h l

lw

hjz

xulhA

0

sin)0,,(

Khi i0:   









h l

lw

hjl

xliz

xulhA

0

sin2

cos)0,,(

(1.102) Cuối cùng ta nhận được lời giải phương trình xác định áp lực lỗ rỗng theo thời gian dưới dạng:



























01

22222

sin2

cos4

exp)

,,(

ij

vij

hjl

xlit

hjliC

At

zx



tzluxtzlu

Khi: z = 0: uwx,0,t0

z = h:  , , 0



thxu

Tương tự như các trường hợp trên, tìm lời giải dưới dạng:

uw(x, z, t) = T(t)X(x)Z(z) Từ các điều kiện biên, ta có:

tCv

eAtT()  2 ;

xl

lix

2cos)( 

;

zhjz

Z

212sin)(  

Với: i = 1, 2, 3,…; j = 1, 2, 3,… và các hằng số

li

2



hj

212 





 







12sin2

cos)

0,,(

ijij

hjl

xliA

zx

(1.107) Tương tự ta cũng nhận được các hệ số Aij dưới dạng sau:

hjz

xulhA

12sin)0,,(

hjl

xliz

xulhA

12sin2

cos)0,,(

(1.109) Kết quả là nhận được lời giải phương trình (1.66) với các điều kiện biên (1.70), (1.71):





























222

22

212sin2

cos1

24

),,(

ij

vij

hjl

xlithjliCeAt

zx

222

2

zuCx

uCt

vzwvxw



Với:

wsk

xvx

KnK

kC

31

2



 ; 

wsk

zvz

KnK

kC

31

2





Ký hiệu

zx

kk



 - hệ số không đồng nhất về thấm, phương trình (1.111) có dạng:









2222

zux

uC

t

vzw

Xét lời giải phương trình (1.111) với các điều kiện ban đầu (1.70) và điều kiện biên (1.71), tìm lời giải dưới dạng:

Tìm lời giải dưới dạng: uw(x, z, t) = T(t)X(x)Z(z)

Sau khi biến đổi, ta có: T’(t) + Cvz.2.T(t) = 0; X”(x) + λ2.X(x) = 0; Z”(z) + μ2.Z(z) = 0, Với μ2 = .2- λ2Từ các điều kiện biên, tìm lời giải của phương trình này dưới dạng:

tCvz

eAtT()  2

xl

lix

2sin)( 

;

zhjz

sin)( 

Với: i = 1, 2, 3,…; j = 1, 2, 3,… và các hằng số

li

2



hj  và







222222

jli















11

sin2

sin)

0,,(

ij

ij

hjl

xliA

zx

Tương tự như trường hợp (2.73), ta có hệ số Aij dưới dạng:

hjl

xliz

xulhA

h l

lw





  





sin2

sin)0,,(2

0

(1.113) Cuối cùng ta nhận được lời giải phương trình (2.96) cho bài toán cố kết thấm phẳng với hệ số thấm theo phương đứng và phương ngang khác nhau:

 

























11

22222

sin2

sin4

exp)

,,(

ij

vzij

hjl

xlit

hjliC

At

zx

Rõ ràng việc xét sự khác nhau của hệ số thấm theo hai phương cũng có thể thực hiện với các điều kiện biên (1.92), (1.93) và (1.104), (1.105)

Để định lượng mức độ cố kết đất nền trong điều kiện bài toán phẳng và không gian có thể sử dụng độ thay đổi thể tích hoặc diện tích biểu đồ áp lực nước lỗ rỗng theo thời gian Do vậy ta có:

 

  



 h l

lwh l

lw

t

dxdzzxu

dxdztzxut

U

00

0,,

,,1 (1.115)

Trong tính toán thực tế có thể chấp nhận tỷ số của các diện tích biểu đồ phân bố áp lực dưới tâm diện chịu tải Từ đó có thể thu nhận được biểu thức độ cố kết đơn giản hơn dưới dạng:

 





wh

w

t

dxdzzxu

dxdztzxut

U

00

0,,

,,1 (1.116)

Ngoài ra còn có thể xác định mức độ cố kết của đất nền tại một vị trí bất kỳ nào đó từ kết quả xác định áp lực nước lỗ rỗng Khi đó, việc ước lượng độ lún theo thời gian có thể thực hiện theo phương pháp cộng lún từng lớp hoặc giá trị trung bình tại điểm giữa của lớp Phương pháp này cho phép đánh giá độ lún tại vị trí mặt cắt dọc bất kỳ dưới diện chịu tải, điều này cần thiết khi ước lượng độ lún lệch theo thời gian đối với các công trình đất đắp

Phương pháp sai phân hữu hạn [1]

Phương trình vi phân cố kết thấm trong trường hợp bài toán phẳng có dạng sau:







2222

zux

uCt

vw

Trong đó :

ak

C

wv



2

)1)(1( 1 

 - Hệ số nén hông của đất Nếu thay cột nước lỗ rỗng u bằng cột nước H thì ta có :





2222

zHx

HCtH

Chuyển sang dạng sai phân và chọn các tham số x và z sao cho x = z = h, ta viết được:

)(

1)4( 1, 1, , 1 , 1 , 1, ,

2 tiktiktiktiktiktiktik

tH

HH

HH

hC













Trong tính toán cụ thể nên chọn đại lượng t sao cho

412

)1)(1(

2



hta

kw



, tức là giá trị của cột nước H tại một điểm nhất định và ở một thời gian bất kỳ bằng trị số trung bình số học của giá trị H tại bốn điểm lân cận ở thời gian trước đó

Để tính toán tiện lợi nên tiến hành dưới dạng bảng Dựa vào các kết quả tính toán có thể vẽ các đường có cùng giá trị H ở mỗi thời điểm bất kỳ

Việc đánh giá độ lún theo thời gian thường được căn cứ trên cơ sở lý thuyết cố kết thấm Đặc điểm cố kết của mẫu đất thường được thu nhận từ kết quả thí nghiệm nén cố kết trong phòng Như vậy, có thể sử dụng lý thuyết cố kết để mô tả lại thí nghiệm này Việc mô tả lại kết quả thí nghiệm được thực hiện nhằm đánh giá mức độ chính xác của cơ sở lý thuyết này Ngoài ra, việc tính toán kết quả theo công thức có dạng chuỗi Furier gặp nhiều khó khăn nên sử dụng công thức rút gọn có thể thu nhận các kết quả có độ chính xác chưa cao Nhằm mục đích đánh giá mức độ tin cậy của bài toán cố kết thấm chúng tôi chọn lựa đề tài này Kết quả nghiên cứu có thể giúp hoàn thiện phương pháp tính và chọn lực thông số hợp lý cho bài toán cố kết, là bài toán thường gặp khi tính toán công trình trên đất yếu

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT BÀI TOÁN CỐ KẾT TRONG DỰ TÍNH

ĐỘ LÚN NỀN ĐẤT THEO THỜI GIAN

2.1 Các khái niệm chung về áp lực nước lỗ rỗng thặng dư, ứng suất hữu hiệu

Khi nén chặt đất bão hòa nước dưới tác dụng của lực ngoài, các hạt rắn cấu tạo nên cốt đất sít lại gần nhau và thể tích lỗ rỗng giảm đi Khi đó, nước lấp đầy trong các lỗ rỗng bị nén ép và chuyển động theo hướng về biên thoát nước, khu vực có áp lực bé hơn

Quá trình nén lún của đất dưới tác dụng của tải trọng ngoài thực chất là quá trình nén chặt đất Trong một số trường hợp, lún mặt đất do đất nền bên dưới bị trượt Dưới tác dụng của tải trọng ngoài, các hạt rắn được sắp xếp lại, thể tích lỗ rỗng trong đất giảm xuống, độ chặt của đất tăng lên Như vậy, tính chất nén lún của đất khác nhau tùy thuộc vào từng loại đất và từng trạng thái, hoàn cảnh cụ thể ngay cả trong cùng một loại đất

Khi công trình được xây dựng trên đất bão hòa, tải trọng công trình được xem như truyền lên nước trong các lỗ rỗng của đất trước tiên Vì chịu áp lực nên nước có xu hướng thoát ra từ các lỗ rỗng trong đất (áp lực nước lỗ rỗng phân tán từ nơi có áp lực lớn đến nơi có áp lực bé hơn và áp lực hữu hiệu tăng dần lên), gây ra sự giảm thể tích phần rỗng của đất và lún công trình Đối với đất có hệ số thấm lớn (đất hạt thô), quá trình này hoàn tất trong một khoảng thời gian ngắn và kết quả là hầu như lún kết thúc hoàn toàn trong khi thi công Tuy nhiên, đối với đất có hệ số thấm nhỏ (đất hạt mịn, đặc biệt là đất loại sét), quá trình này chiếm một khoảng thời gian rất lớn, mức độ biến dạng và độ lún xảy ra rất chậm

Hiện tượng nén chặt do sự thoát ra rất chậm của nước từ các lỗ rỗng trong đất hạt mịn là kết quả của việc tăng tải (trọng lượng của công trình lên trên đất nền) được gọi là cố kết (consolidation)

Như đã biết, chuyển động của nước có thể tồn tại nếu tại các điểm của vùng từ đó nước thoát ra, xét áp lực thủy tĩnh, có áp lực thặng dư lớn hơn nơi không nằm ở trong vùng chịu nén Nói cách khác, khi nén chặt đất bão hòa trong nước lỗ rỗng xuất hiện áp lực thặng dư, được gọi là áp lực nước lỗ rỗng, đất khi đó ở trong trạng thái không ổn định Áp lực lên cốt đất (áp lực hữu hiệu) của đất không ổn định, đang trong quá trình cố kết luôn nhỏ hơn trong cốt đất mà sự nén chặt nó có thể xem như đã hoàn toàn

Xét tải trọng Q tác dụng phân bố đều lên một tiết diện A của mẫu đất (hình 2.1) Tải trọng thực sự tác dụng lên phần hạt rắn của mẫu đất là Q’

AQ'

' 



- Ứng suất ’ là ứng suất hữu hiệu Tổng tải trọng Q đặt lên mẫu đất gồm phần rắn và lỗ rỗng với áp lực u trong các lỗ rỗng Nếu tổng tải trọng nén tác dụng lên mẫu đất có diện tích phần lỗ rỗng là Ar thì chúng được phân bố như sau:

Q = Q’ + uAr







AAuAQAAuAQA

1''

, ở đây Ac diện tích tiếp xúc giữa các hạt rắn và tải trọng

Hình 2.1 Mô hình phân bố ứng suất do nén đất

Đối với đất, diện tích tiếp xúc trực tiếp giữa các hạt rắn và tải trọng rất bé, do đó tỷ số Ar/A có thể xem như xấp xỉ bằng 1

Như vậy:  = ’ + u: đây là biểu thức quan hệ quan trọng được chấp nhận để giải quyết các bài toán cố kết thấm

Ac

2.2 Cở sở lý thuyết bài toán cố kết thấm một chiều và phương pháp ước lượng độ lún

Phương trình vi phân cố kết thấm một chiều theo lý thuyết cố kết của Terzaghi [14]

22

zuCt

vw



(2.1) Ở đây:

uw – áp lực nước lỗ rỗng thặng dư do tải trọng ngoài gây ra ở độ sâu z tại thời điểm t

Cv – hệ số cố kết, phụ thuộc vào đặc tính của đất

wv

akC





Với: k – hệ số thấm a – hệ số nén của đất w – trọng lượng riêng của nước Giải phương trình (2.1) với các điều kiện biên ban đầu và điều kiện biên thoát nước của lớp đất cố kết cho phép tìm được độ lún theo thời gian của bài toán cố kết thấm một chiều

Trường hợp nén chặt lớp đất chịu tải trọng phân bố đều q (hình 2.2), đặt tải tức thời vào thời điểm t = 0 Mặt biên của lớp đất ở z = 0 và z = h được xem như thoát nước Lời giải áp lực nước lỗ rỗng thặng dư ở độ sâu và thời điểm bất kỳ có dạng:







thiCh

ziiq

i

22,

3,2,1

expsin

Hình 2.2 Biểu đồ áp lực trong nước lỗ rỗng (uw) và ứng suất lên cốt đất (’)

trong lớp đất chịu tải trọng phân bố đều

Biết ứng suất trong cốt đất ở thời điểm bất kỳ t, có thể xác định độ lún của lớp đất S(t) ở thời điểm đó Lưu ý rằng quan hệ độ lún lớp đất có bề dày h có thể biểu diễn dưới dạng:

 





hh

hh

eadzeadzeadztt

S

00

00

)(1'11

')

()

Ở đây: e – hệ số rỗng trung bình Đặt biểu thức (2.2) vào quan hệ (2.3) ta được:







































thiCi

eaqh

dzthiCi

ie

aq

dzthiCh

ziie

aqtS

vi

h

vi

h

vi

222,

3,1

22

0

222,

3,1

24

0

222,

3,1

exp18

11

exp)1cos(14

11

expsin

1411)(











(2.4)

Mặt phẳng z = h/2 (hình 2.2) là mặt phẳng đối xứng đối với toàn bộ biểu đồ áp lực thặng dư trong nước lỗ rỗng và là biên phân cách các dòng nước bị nén ép ra khỏi lỗ rỗng lên trên hoặc xuống dưới Do đó, mặt phẳng này có thể xem như không thấm và lời giải cho sơ đồ này với nền không thấm (hình 2.3) có thể nhận được từ (2.2) và (2.4) bằng cách thay h bằng 2h1, tức là:

t=0

 uw

q z

h1

h

q

0

h

q

h

q=h z

z 







thiCh

ziiqtz

i

122,

3,1 sin2 1exp 4

14

),

Hình 2.3 Áp lực trong nước và ứng suất trong cốt đất khi cố kết lớp đất dưới tác

dụng của tải trọng phân bố đều

Các lời giải cho những trường hợp thường gặp

Trong thực tế các sơ đồ tính toán thường gặp như sau:

Sơ đồ 0: ứng với biểu đồ áp lực nén phân bố theo chiều sâu có dạng hình chữ nhật (bài toán 1 chiều) như hình (hình 2.4)

Sử dụng các điều kiện biên và điều kiện ban đầu, ta tìm được công thức xác định độ lún theo thời gian như sau:

Sơ đồ 0 Sơ đồ 1 Sơ đồ 2

Hình 2.4 Các sơ đồ bài toán cố kết cơ bản thường gặp

 











1,3,

2222

2

4exp18

1

vthiCi

eaqht

Sơ đồ 1: theo độ sâu, áp lực tăng dần và phân bố hình tam giác Trường hợp này tương ứng với ứng suất do trọng lượng bản thân lớp đất, có thể sử dụng tính toán cho các nền đất san lấp biển, hoặc mở rộng xây dựng trên những khu vực thấp bằng các vật liệu địa phương:











1,3

2222

33 exp 41

321)1(2)(

i

vthiCi

eaqht

Sơ đồ 2: khi áp lực giảm theo chiều sâu và phân bố theo định luật tam giác Sơ đồ này trong thực tế ứng với trường hợp khi lớp đất cố kết dưới ảnh hưởng của tải trọng ngoài tác dụng trên bề mặt, đồng thời biểu đồ phân bố ứng suất do tải trọng này gây ra có dạng gần như 1 đường thẳng Đó là trường hợp bài toán do tải trọng ngoài của móng băng hay móng đơn Lời giải cho sơ đồ này như sau:













1,3,

222

2

4exp21116

1)1(2)(

i

vthiCi

ie

aqht

Hình 2.5 Sơ đồ bài toán cố kết kết hợp

Để thuận tiện tính toán, một số tài liệu cho phép sử dụng số hạng đầu tiên với các công thức (2.6), (2.7), (2.8) khi độ cố kết đạt giá trị lớn hơn 60% Tuy nhiên, việc tính toán chính xác hơn có thể thực hiện nhờ sự trợ giúp của các phương tiện tính toán bằng các chương trình thiết lập được

Lưu ý rằng độ lún cuối cùng của lớp đất

eaqhS



Ở đây, Ut – biểu thức trong dấu ngoặc vuông ở phương trình (2.4), (2.6), (2.7), (2.8) thường được gọi là mức độ cố kết Đại lượng Ut thay đổi từ 0 khi t = 0 đến t = 1 khi t = t100

Độ lún cuối cùng

eaqhS





1 của lớp đất được xác định từ thí nghiệm Oedometer (nén không nở hông) khi đất đạt ổn định cố kết

Xác định hệ số nén lún từ thí nghiệm Oedometer (nén không nở hông)

Hệ số nén lún a biểu hiện sự thay đổi hệ số rỗng khi áp lực p tăng lên một đơn vị

dpdea (cm2/kG; m2/kN) (2.10) Trong thí nghiệm nén cố kết, ở mỗi cấp tải sau khi lún ổn định ta sẽ ghi nhận số liệu và tính được hệ số rỗng tương ứng Từ đó vẽ được đường quan hệ e ~ p (hình 2.6) Trên mỗi đoạn của đường cong (ví dụ từ A đến B ứng với p1 đến p2) nếu p2 không lớn hơn p1 nhiều, có thể xem đường cong ấy như là đoạn thẳng và định nghĩa hệ số nén a là độ dốc của đoạn thẳng đó (tgα)

12

2121

21

pp

eepp

eepetg

a





12

21

pp

eea

 (cm2/kG; m2/kN) (2.11) hay e1e2 ap2p1 (2.12)

Hình 2.6 Đường cong nén lún e ~ p