Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật điện tử: Phân đoạn ảnh sử dụng kỹ thuật đa phân giải ứng dụng trong xử lý ảnh y khoa

Ứng dụng tiêu biểu như kiểm tra chất lượng sản phẩm, chuẩn đoán y tế, phân tích hình ảnh viễn thám… Phân đoạn ảnh có thể được định nghĩa là phân vùng hình ảnh thành các vùng đồng nhất ho

GIỚI THIỆU VỀ XỬ LÝ ẢNH

Ảnh Y học

1.5 Chẩn đoán bằng hình ảnh

Xử lý ảnh ngày nay đã trở thành một ngành khoa học lớn và đƣợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực thực tiễn Với sự phát triển nhanh chóng của ngành khoa học máy tính, thì các vấn đề liên quan tới xử lý, nâng cao chất lƣợng hình ảnh ứng dụng trong các lĩnh vực quan trọng trong nhƣ truyền thông, y học càng đòi hỏi khắt khe hơn Một trong những vấn đề đƣợc tiếp cận nhiều nhất trong những năm trở lại đây là quá trình thực hiện phân đoạn ảnh Phân đoạn ảnh giúp ta có thể tách các vùng riêng biệt trong hình ảnh, nhằm mục đích phục vụ cho công tác chẩn đoán một cách chính xác về các bệnh lý thường khó phát hiện trong trong giai đoạn đầu của bệnh lý, gây ra nhiều khó khăn, trong việc phát hiện và điều trị Trước khi đi sâu vào tìm hiểu một số giải thuật phân đoạn ảnh, trong phần này sẽ trình bày một cách tóm tắt các khái niệm cơ bản của xử lý ảnh, một số chuẩn hình ảnh y khoa và ứng dụng vào chẩn đoán y học

1.2 Tổng quan về xử lý ảnh

1.2.1 Giới thiệu về xử lý ảnh

Xử lý ảnh là một lĩnh vực mang tính khoa học và công nghệ Tuy là một ngành khoa học mới mẻ song thu hút đƣợc sự quan tâm rất lớn đến từ các chuyên gia, nhà khoa học và có tốc độ phát triển nhanh chóng, đƣợc ứng dụng rộng rãi trong đời sống

Các phương pháp xử lý ảnh bắt đầu từ những ứng dụng chính như: nâng cao chất lương ảnh, phân đoạn ảnh, giảm nhiễu v.v Ứng dụng đầu tiên phải nói đến đó là nâng cao chất lƣợng ảnh báo đƣợc truyền qua cáp từ Luân đôn đến NewYork từ những năm 1920 Vấn đề nâng cao chất lƣợng ảnh có liên quan tới phân bố mức

Kết luận

Xử lý ảnh ngày nay đã trở thành một ngành khoa học lớn và đƣợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực thực tiễn Với sự phát triển nhanh chóng của ngành khoa học máy tính, thì các vấn đề liên quan tới xử lý, nâng cao chất lƣợng hình ảnh ứng dụng trong các lĩnh vực quan trọng trong nhƣ truyền thông, y học càng đòi hỏi khắt khe hơn Một trong những vấn đề đƣợc tiếp cận nhiều nhất trong những năm trở lại đây là quá trình thực hiện phân đoạn ảnh Phân đoạn ảnh giúp ta có thể tách các vùng riêng biệt trong hình ảnh, nhằm mục đích phục vụ cho công tác chẩn đoán một cách chính xác về các bệnh lý thường khó phát hiện trong trong giai đoạn đầu của bệnh lý, gây ra nhiều khó khăn, trong việc phát hiện và điều trị Trước khi đi sâu vào tìm hiểu một số giải thuật phân đoạn ảnh, trong phần này sẽ trình bày một cách tóm tắt các khái niệm cơ bản của xử lý ảnh, một số chuẩn hình ảnh y khoa và ứng dụng vào chẩn đoán y học

1.2 Tổng quan về xử lý ảnh

1.2.1 Giới thiệu về xử lý ảnh

Xử lý ảnh là một lĩnh vực mang tính khoa học và công nghệ Tuy là một ngành khoa học mới mẻ song thu hút đƣợc sự quan tâm rất lớn đến từ các chuyên gia, nhà khoa học và có tốc độ phát triển nhanh chóng, đƣợc ứng dụng rộng rãi trong đời sống

Các phương pháp xử lý ảnh bắt đầu từ những ứng dụng chính như: nâng cao chất lương ảnh, phân đoạn ảnh, giảm nhiễu v.v Ứng dụng đầu tiên phải nói đến đó là nâng cao chất lƣợng ảnh báo đƣợc truyền qua cáp từ Luân đôn đến NewYork từ những năm 1920 Vấn đề nâng cao chất lƣợng ảnh có liên quan tới phân bố mức

C.1 Tổng Quan 2 KS Nguyễn Thành Công sáng và độ phân giải của ảnh Việc nâng cao chất lƣợng ảnh đƣợc phát triển vào những năm thập niên 1950 Điều này có thể giải thích đƣợc vì sau thế chiến thứ 2, máy tính phát triển nhanh chóng tạo điều kiện cho quá trình xử lý ảnh số phát triển thuận lợi Năm 1964, máy tính đã có khả năng xử lý và nâng cao chất lƣợng ảnh từ mặt trăng và vệ tinh Ranger 7 của Mỹ bao gồm: làm nổi đường biên, lưu trữ ảnh

Từ năm 1964 đến nay, các công cụ xử lý, nâng cao chất lƣợng ảnh, phân đoạn ảnh, nhận dạng ảnh phát triển không ngừng Đề tiếp cận với xử lý ảnh ta cần hình dung được các bước cần thiết trong xử lý ảnh

Như đã biết ngày nay có rất nhiều phương pháp thu thập hình ảnh nhưng phổ biến nhất qua các thiết bị (camera, máy chụp ảnh), nó cũng thể thu đƣợc từ vệ tinh, hoặc thu thập hình ảnh bằng cách sử dụng tia X (CT, X - Quang), tính chất của sóng điện từ (MRI)

1.2.2 Quá trình xử lý ảnh

Quá trình xử lý ảnh đƣợc xem nhƣ là quá trình thao tác ảnh đầu vào nhằm cho ra kết quả mong muốn kết quả đầu ra là một quá trình xử lý ảnh có thể là một ảnh tốt hơn hoặc một kết luận

Xử lý ảnh Ảnh vào Ảnh ra (tốt hơn ảnh gốc) Kết luận

Hình 1.1 Quá trình xử lý ảnh kỹ thuật số

Ta có thể xem hình ảnh kỹ thuật số là tập hợp những điểm ảnh (pixel) Trong đó mỗi điểm ảnh được xem như là đặc trưng cường độ sáng, hay một đặc trưng nào đó đƣợc biểu diễn nhƣ một hàm n biến P(c , c , 1 2 , c ) n Quá trình xử lý ảnh có thể đƣợc trình bày nhƣ hình 1.2

Thu nhận Tiền xử lý ảnh

CƠ SỞ TRI THỨC Phân đoạn Biểu diễn và mô tả ảnh

Nhận dạng và nội suy

Hình 1.2 Quá trình xử lý ảnh

C.1 Tổng Quan 3 KS Nguyễn Thành Công

 Thu nhận ảnh: đây là công đoạn đầu tiên mang tính quyết định đối với quá trình xử lý ảnh Ảnh đầu vào sẽ đƣợc thu nhận qua các thiết bị nhƣ camera, sensor, máy quét, v.v và sau đó các tín hiệu này sẽ đƣợc số hóa Các thông số quan trọng ở bước này là độ phân giải, chất lượng màu, dung lượng bộ nhớ và tốc độ thu nhận

 Ở bước này ảnh sẽ được cải thiện về độ tương phản, khử nhiễu, khử bóng, khử độ lệch, v.v nhằm mục đích làm tang chất lượng hình ảnh và thường đƣợc thực hiện qua các bộ lọc

 Phân đoạn ảnh: là bước then chốt trong xử lý ảnh, giai đoạn này nhằm phân tích ảnh thành những thành phần có cùng tính chất nào đó, dựa theo biên hay các vùng liên thông Tiêu chuẩn để xác định các vùng liên thông có thể cùng màu, cùng mức xám hay cùng độ xám, v.v mục đích của phân đoạn ảnh là để có một miêu tả tổng hợp từ nhiều phần tử khác nhau cấu tạo nên ảnh thô Vì lƣợng thông tin chứa trong ảnh rất lớn, trong khi đó đa số các ứng ta chỉ cần quan tâm đến một số đặc trƣng nào đó Do vậy cần có quá trình giảm lƣợng thông tin Quá trình này bao gồm phân vùng ảnh và trích chọn đặc tính chủ yếu

 Biểu diễn và mô tả ảnh: kết quả của quá trình phân đoạn ảnh thường được cho dưới dạng dữ liệu điểm ảnh thô, trong đó hàm chứa biên của một vùng ảnh, hoặc tập hợp các vùng ảnh thuộc về điểm ảnh đó Trong cả hai trường hợp sự chuyển đổi dữ liệu thô này thành một dạng thích hợp hơn cho việc xử lý trong máy tính là rất cần thiết Để chuyển đổi chúng ta cần quan tâm đến biểu diễn một vùng ảnh dưới dạng biên hay dưới dạng một vùng hoàn chỉnh gồm tất cả những điểm ảnh thuộc về nó Biểu diễn dạng biên cho một vùng phù hợp với những ứng dụng chỉ quan tâm chủ yếu tới các đặc trƣng hình dạng bên ngoài của đối tƣợng, ví nhƣ góc cạnh hay các điểm uốn trên biên Biểu diện dạng vùng lại thích hợp cho những ứng dụng khai thác các tính chất bên trong của đối tượng, ví dụ như vân ảnh hay cấu trúc xương của nó Sự lựa chọn cách biểu diễn thích hợp cho một vùng ảnh chỉ mới là một phần trong việc chuyển đổi dữ liệu ảnh thô sang một dạng thích hợp hơn cho những xử lý về sau Ta phải đưa ra một phương pháp mô tả dữ liệu và đã đƣợc chuyển đổi sao cho những tính chất cần quan tâm đến sẽ đƣợc làm nỗi bật lên, thuận tiện cho việc xử lý

 Nhận dạng và nội suy: đây là bước cuối cùng trong quá trình xử lý ảnh

Nhận dạng ảnh có thể đƣợc nhìn nhận một cách đơn giản là việc gán nhãn

C.1 Tổng Quan 4 KS Nguyễn Thành Công cho các đối tƣợng trong ảnh Nội suy là công đoạn gán nghĩa cho một tập các đối tƣợng đã đƣợc nhận biết

Ta có thể thấy rằng, không phải bất kỳ một ứng dụng xử lý ảnh nào cũng bắt buộc phải tuân theo các bước xử lý đã nêu ở trên, ví dụ như các ứng dụng chỉnh sửa ảnh nghệ thuật thì chỉ dừng lại ở bước tiền xử lý Một cách tổng quát thì những chức năng xử lý bao gồm cả nhận dạng và nội suy thường chỉ có mặt trong hệ thống phân tích ảnh tự động hoặc bán tự động, đƣợc dùng để rút trích ra những thông tin quan trọng từ ảnh, ví dụ nhƣ các ứng dụng nhận dạng lý tự quang học, nhận dạng chữ viết tay v.v

1.2.3 Một số khái niệm cơ bản 1.2.3.1 Điểm ảnh (Pixel) Ảnh trong thực tế là một ảnh liên tục về không gian và giá trị độ sáng Để có thể xử lý ảnh bằng máy tính cần phải tiến hành số hóa ảnh Trong quá trình số hóa, người ta biến đổi tín hiệu liên tục sang tiến hiệu rời rạc thông qua quá trình lấy mẫu (rời rạc hóa về không gian) và lƣợng hóa thành phần giá trị mà về nguyên tắc bằng mắt thường không phân biệt được hai điểm kề nhau Trong quá trình này người ta sử dụng khái niệm Picture element mà ta quen gọi là Pixel (phần tử ảnh) Nhƣ vậy là một ảnh là tập hợp các Pixel

Mức xám là kết quả của sự mã hóa tương ứng một cường độ sáng của mỗi điểm ảnh với một giá trị sáng, kết quả của quá trình lượng tử hóa Cách mã hóa thường dùng là 16, 32, hay 64 mức phổ biến nhất là mã hóa ở mức 256, ở mức này mỗi Pixel sẽ đƣợc mã hóa bởi 8 bít

CÁC GIẢI THUẬT PHÂN ĐOẠN ẢNH

Giới thiệu

2.4 Giải thuật nung luyện mô phỏng 2.5 Phân đoạn ảnh dựa trên MRF

2.6 Mô phỏng hình ảnh y khoa

Phân đoạn ảnh là bài toán rất quan trọng trong các bài toán xử lý ảnh và thị giác máy tính Mục đích của phân đoạn ảnh là chia ảnh đầu vào thành các vùng đồng nhất Trong đó, mỗi vùng đồng nhất là tập các điểm ảnh có chung một số tính chất nhƣ màu sắc, kiểu tô, v.v (hình 2.1) các thuật toán phân đoạn ảnh có thể đƣợc xếp vào một trong các loại sau

Hình 2.1 Minh họa ảnh gốc và kết quả mong muốn sau khi phân đoạn

 Phân ngưỡng (thresholding), gom nhóm (clustering), phân lớp (classifier) o Phân ngưỡng: chia ngưỡng cường độ và gán điểm ảnh vào tường lớp khác nhau Cách giải quyết dựa trên histogram của ảnh Ƣu điểm của các phương pháp này là đơn giản, và được dùng cho phân đoạn sơ bộ.Tuy nhiên phương pháp này lại không thích hợp cho ảnh màu và ảnh xám, nhiễu.

Cơ sở lý thuyết

2.4 Giải thuật nung luyện mô phỏng 2.5 Phân đoạn ảnh dựa trên MRF

 Phân ngưỡng (thresholding), gom nhóm (clustering), phân lớp (classifier) o Phân ngưỡng: chia ngưỡng cường độ và gán điểm ảnh vào tường lớp khác nhau Cách giải quyết dựa trên histogram của ảnh Ƣu điểm của các phương pháp này là đơn giản, và được dùng cho phân đoạn sơ bộ.Tuy nhiên phương pháp này lại không thích hợp cho ảnh màu và ảnh xám, nhiễu

Phân đoạn ảnh sử dụng kỹ thuật đa phân giải THD: PGS TS Lê Tiến Thường

C.2 Phân đoạn ảnh 25 KS Nguyễn Thành Công o Gom nhóm: k – mean , Expectation Maximization (EM): dựa trên cường độ điểm ảnh nhưng xét thêm quan hệ giữa các điểm ảnh lân cận khi phân nhóm, và cập nhật giá trị đại diện của mỗi nhóm o Phân lớp: được xem như mở rộng của phương pháp phân ngưỡng với các giải thuật phổ biến k – NN, Maximum likehood, SVM

 Loang o Loang vùng: từ mỗi điểm ảnh nhân (xác định trước) của mỗi vùng, tìm các điểm ảnh liên thông dựa trên một số tiêu chuẩn xác định trước và loang dần để tạo thành vùng o Watershed: phương pháp heuristic với việc xem ảnh là bề mặt ba chiều và thực hiện loang dần từ đáy lên để hình thành nên các “hố chứa” thể hiện các vùng

 Dựa trên biên: sử dụng các giải thuật dò cạnh nhƣ Candy, Robert, Sobel, hay các mô hình biến dạng (defomable) snake, Gradient Vector Flow

 Dựa trên phân hoạch đồ thị: Max Cut, Normalized Cut là hai đại diện phổ biến của phương pháp này Ảnh được xem như đồ thị, và cách giải quyết là xác định tiêu chuẩn phân hoạch đồ thị “tốt nhất”, tạo ra mỗi đồ thị con tương ứng với lớp cần phân đoạn

 Dựa trên mô hình xác suất: sử dụng các mô hình xác suất như trường ngẫu nhiên Markov, Gibbs, Gaussian và Conditional Ảnh đƣợc xem nhƣ các trường ngẫu nhiên với hàm phân phối xác suất xác định và mục tiêu là tìm lời giải tối ƣu thể hiện trạng thái nhãn của từng điểm ảnh

Trong [1], các tác giả đã trình bày một giải thuật phân đoạn ảnh dựa trên phân hoạch đồ thị Phương pháp này được gọi là Normalized Cut với độ phực tạp xác định là NP – đầy đủ Đặc điểm chính của giải thuật này là xem ảnh nhƣ một đồ thị

G V E Trong đó V là tất cả các điểm ảnh trong ảnh ứng với các nút trong đồ thị, E là tập các cạnh nối giữa mọi cặp nút Dựa vào tiêu chuẩn Normalized Cut (NCut độ đo thể hiện trọng số khi tách đồ thị) chia đồ thị thành hai (hoặc K - ứng với số lớp) đồ thị con và đệ quy tiếp tục trên các đồ thị con Trong giải thuật này, các đồ thị con đƣợc tách theo tiê chuần Ncut chính là các vùng cần phân đoạn

Nhận xét: Tính đúng đắn của giải thuật phụ thuộc vào ứng dụng, loại ảnh và thực tế cho thấy rằng không tồn tại phương pháp phân đoạn tốt nhất cho tất cả các loại ảnh

Trong chương này sẽ trình bày thuật toán phân đoạn ảnh dựa trên mô hình trường ngẫu nhiên Markov kết hợp với phép biến đổi Wavelet nhằm mục đích:

C.2 Phân đoạn ảnh 26 KS Nguyễn Thành Công

 Ứng dụng thực tiễn trong việc phân tích các dạng tổn thương dựa vào hình ảnh y khoa thu thập được bằng phương pháp chụp cắt lớp vi tính

 Đánh giá thời gian xử lý của thuật toán khi khảo sát hình ảnh y khoa có độ phân giải cao, trung và thấp

2.2 Cơ sở lý thuyết 2.2.1 Phân tích đa phân giải

Phân đoạn ảnh sử dụng MRA nhƣ là wavelet đƣợc sử dụng rộng rãi trong những năm gần đây và nó cung cấp độ chính xác cao với nhiều loại ảnh khác nhau Thực tế, MRA đã và đang phát triển rất nhanh chóng, trong đó wavelet phù hợp giải quyết các điểm đặc biệt dạng điểm Wavelet chỉ lấy được thông tin có hướng giới hạn do việc chọn hướng bị hạn chế Bằng cách chia hình ảnh thành các dải lọc thông cao và thông thấp, biến đổi wavelet trích các chi tiết có hướng để lấy được các thông số theo trục tung, trục hoành và đường chéo Tuy nhiên ba hướng tuyến tính này giới hạn và không thu được đủ thông tin có hướng trong các ảnh bị nhiễu, chẳng hạn nhƣ quét CT y tế, nó không có mạnh đối với các phần tử dọc theo trục tung, trục hoành và đường chéo Ridgelet cải tiến phân đoạn MRA, tuy nhiên chúng lấy các cấu trúc thông tin của hình ảnh dựa vào nhiều hướng tia Vì vậy, ridgelet phát hiện các điểm đặc biệt dạng đường thẳng (phát hiện cạnh) tốt hơn so với wavelet Mặc dù ridgelet đƣợc nhận định là tối ƣu trong việc biểu diễn các điểm đặc biệt dạng đường thẳng nhưng các điểm đặc biệt dạng đường thẳng toàn cục lại rất hiếm thấy trong các ảnh y tế Biến đổi curvelet là cải tiến của biến đổi ridgelet nó cho phép khắc phục những hạn chế mà ridgelet gặp phải trong việc phân tích các ảnh y tế bằng cách xét một phần ảnh và áp dụng biến đổi ridgelets cho phần ảnh đó

Trong một thập niên trở lại đây, biến đổi wavelet đƣợc biết đến nhƣ là công cụ hữu hiệu nhất, đƣợc ứng dụng một cách rộng rãi trong nhiều lĩnh vực nhƣ xử lý hình ảnh/video, giải tích số, thông tin Một lợi thế của biến đổi wavelet là wavelet thực hiện MRA của một tín hiệu với cả miền thời gian và tần số Trong phép biến đổi wavelet rời rạc hai chiều, tín hiệu hai chiều đƣợc tách thành nhiều tín hiệu một chiều rồi lấy biến đổi wavelet một chiều trên chúng Kết quả tổng hợp là phép biến đổi wavelet hai chiều của tín hiệu Hình 2.2 là cấu trúc một bộ lọc 2D – DWT, các phép lọc đƣợc tiến hành ở nhiều tầng (level) khác nhau và để khối lƣợng tính toán không tăng, khi qua mỗi bộ lọc, tín hiệu đƣợc lấy mẫu xuống 2 Ứng với mỗi tầng, tín hiệu có độ phân giải khác nhau Do đó, phép biến đổi wavelet rời rạc đƣợc gọi là phân tích đa phân giải (MRA, Multiresolution Analysis)

Hình 2.2 Cấu trúc bộ lọc 2D - DWT

2.2.1.1.1 Biến đổi Wavelet liên tục

Biến đổi Wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform - CWT) của một hàm (t) f đƣợc bắt đầu từ một hàm Wavelet mẹ (mother Wavelet) (t) Hàm Wavelet mẹ (t)có thể là bất kỳ một hàm số thực hoặc phức liên tục nào đó thỏa mãn các tính chất sau đây:

Tích phân suy rộng trên toàn bộ trục tcủa hàm (t) là bằng 0 Tức là:

Tích phân năng lƣợng của hàm trên toàn bộ trục t là một số hữu hạn, tức là:

   (2.2) Điều kiện (2.2) có nghĩa là hàm (t)phải là một hàm bình phương khả tích nghĩa là hàm (t)thuộc không gian L 2 (R)các hàm bình phương khả tích

Sau khi hàm Wavelet (t)đƣợc lựa chọn, biến đổi Wavelet liên tục của một hàm bình phương khả tích f (t) được tính theo công thức:

Biến đổi này là một hàm của hai số thực a và b Dấu * ký hiệu là liên hiệp phức của (t) Nếu chúng ta định nghĩa một hàm  a b , (t)theo biểu thức:

Theo toán học ta gọi đây là tích vô hướng của hai hàm f (t)và  a b , (t) giá trị 1 a là hệ số chuẩn hóa để đảm bảo rằng tích phân năng lƣợng của hàm  a b , (t) sẽ độc lập với a và b:

Với mỗi giá trị của a thì  a b , (t)là một bản sao của  a ,0 (t)đƣợc dịch đi bđơn vị trên trục thời gian Do đó bđƣợc gọi là tham số dịch đặt tham số dịch b0 ta thu đƣợc:

   (2.7) Điều đó cho thấy a là một hàm theo tỉ lệ

Khi a1thì hàm Wavelet sẽ đƣợc trải rộng còn khi 0 a 1 thì hàm sẽ đƣợc co lại

Sau đây chúng ta sẽ định nghĩa phép biến đổi ngƣợc của biến đổi Wavelet liên tục gọi  ( ) là biến đổi Fourier của (t):

Nếu W (a, b) là biến đổi CWT cùa f (t) bằng hàm (t), thì biến đổi ngƣợc của CWT sẽ đƣợc tính nhƣ sau:

Với giá trị của Cđƣợc định nghĩa là:

Biến đổi CWT chỉ tồn tại nếu Cdương và hữu hạn Do đó C được gọi là điều kiện tồn tại của biến đổi Wavelet Cùng với hai điều kiện đã nêu ở trên, đây là điều kiện thứ 3 mà một hàm cần phải thỏa mãn để có thể đƣợc lựa chọn làm hàm Wavelet

Giải thuật nung luyện mô phỏng (simulated annealing) thích nghi trong phân đoạn ảnh

 Phân ngưỡng (thresholding), gom nhóm (clustering), phân lớp (classifier) o Phân ngưỡng: chia ngưỡng cường độ và gán điểm ảnh vào tường lớp khác nhau Cách giải quyết dựa trên histogram của ảnh Ƣu điểm của các phương pháp này là đơn giản, và được dùng cho phân đoạn sơ bộ.Tuy nhiên phương pháp này lại không thích hợp cho ảnh màu và ảnh xám, nhiễu.

Phân đoạn ảnh dựa trên MRF đa phân giải

Kết luận

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI

Giới thiệu

Trong xử lý ảnh, việc phát hiện, phân tích và lưu trữ các “đối tượng cong” là rất quan trọng Đối với dữ liệu một chiều, sử dụng biến đổi wavelet rời rạc cho phân tích đa phân giải, kết hợp với một số thay đổi thích hợp cho dữ liệu hai chiều đã đạt đƣợc nhiều thành quả thể hiện qua các ứng dụng thực tế Một số nghiên cứu [33] đã sử dụng phương pháp đa phân giải dựa trên biến đổi wavelet cho bài toán xác định biên Tuy nhiên, các hệ số wavelet không thể hiện đƣợc quan hệ của các điểm cực trị trên một đường thẳng, và đặc biệt là các đường cong trong ảnh Nghĩa là các hệ số wavelet không thể xác định đƣợc quan hệ thể hiện là một đoạn thẳng hay đoạn cong Phương pháp biến đổi trên dữ liệu hai chiều cần phải đạt được một số tiêu chuẩn như: đa phân giải, có tính cục bộ, bất đẳng hướng, tái tạo chính xác, và dễ dàng biểu diễn các đối tƣợng cong hoặc thẳng trong ảnh Beamlet [20], Chirplet [21], [22] và nổi bật là các công trình xây dựng biến đổi ridgelet (Candès 1999), Curvelet [23], [24] và Contourlet (Candès, Minh Do 2004), Consine rời rạc [25] là những biến đổi tiêu biểu cho cách tiếp cần này và đƣợc xem là các biến đổi đa phân giải có hướng toàn cục hay cục bộ Biến đổi đa phân giải có hướng được hiểu như các hệ số sau khi biến đổi có thể biểu diễn hướng thẳng, tương tự như khái niệm tích phân đường được thực hiện trên ảnh ở các cấp phân rã Trong khi biến đổi đa phân giải cục bộ có hướng có thể được hiểu như các hệ số sau khi biến đổi có thể biểu diễn „đường cong‟ Trong phần này chúng tôi nghiên cứu một số biến đổi đa phân giải cục bộ có hướng đồng thời đề xuất sử dụng phép biến đổi đa phân giải cục bộ, cụ thể là biến đổi curvelet như là bước tiền xử lý cho quá trình phân đoạn ảnh bằng phương pháp MRF ứng dụng trong phân tích ảnh y khoa

Một trong những mục tiêu quan trọng nhất của biến đổi có hướng là nhóm các hệ số liên quan tới nhau (ví dụ như thể hiện một đường cong) thuận tiện cho việc xử lý

Biến đổi ridgelet

C3 Phương pháp biến đổi đa phân giải 54 KS Nguyễn Thành Công nhƣ phân tích, giải quyết các bài toán cơ bản nhƣ khử nhiễu, nén hay các ứng dụng khác

Phần này trình bày lý thuyết biến đổi ridgelet [26] Biến đổi ridgelet ngoài việc xác định các đường thẳng trong ảnh, còn có thể ứng dụng cho bài toán nén dữ liệu [27]

Phương pháp ridgelet cho phép phát hiện đặc tính có hướng trên ảnh

3.2.1 Biến đổi ridgelet liên tục

Biến đổi ridgelet liên tục cho dữ liệu hai chiều trong R 2 đƣợc trình bày trong [26] và đƣợc trình bày tóm tắt nhƣ sau Cho  là hàm thuộc L 2 (R) thỏa mãn điều kiện

Hàm  cần phải thỏa mãn điều kiện về giá trị trung bình bằng zero, nghĩa là

Hàm ridgelet  a b , ,  :R 2 R đƣợc xác định

Trong đó, a0 xác định tỉ lệ,    b là giá trị xác định vị trí, và  [0, 2 ] xác định góc Hình 3.1 biểu diễn hàm ridgelet dựa trên hàm cơ sở nón Mexico với các tham số , 1, 0

Hình 3.1 Hàm ridgelet nón Mexico

C3 Phương pháp biến đổi đa phân giải 55 KS Nguyễn Thành Công

Cho hàm f R: 2 R, biến đổi ridgelet của hàm f đƣợc xác định bởi

Biến đổi ridgelet đƣợc xây dựng dựa trên biến đổi wavelet một chiều trên miền radon Biến đổi radon[64] tổng quát cho hàm f là tập các tích phân đƣợc đƣợc xác định bởi ( , t) , trong đó  [0, 2 ], t  R:

   là tích tensor của các wavelet một chiều, với

    Dễ dàng nhận thấy là wavelet với tham số (b , b ) 1 2 thể hiện một tọa độ điểm trong không gian hai chiều, vì vậy chỉ hiệu quả để phân tích các điểm cực trị trong dạng điểm trong ảnh Tuy nhiên, yếu tố bất đẳng hướng không được xét đến ở mọi cấp phân rã Trong khi đó biến đổi ridgelet với tham số (b, ) biểu diễn độ dời và góc của đường thẳng sẽ hiệu quả khi phân tích đối tượng có cực trị nằm trên đường thẳng

Công thức biến đổi ngƣợc của biến đổi ridgelet đƣợc xác định bởi

3.2.2 Biến đổi ridgelet rời rạc [28]

Biến đổi ridgelet liên tục có thể đƣợc rời rạc hóa để ứng dụng phân tích ảnh hai chiều nhƣ đã trình bày ở phần trên, biến đổi ridgelet là thực hiện biến đổi wavelet một chiều trên các lát cắt chiều của biến đổi radon Do đó việc rời rạc hóa biến đổi ridgelet sẽ tập trung vào rời rạc hóa phép biến đổi radon liên tục Phần tiếp theo sẽ trình bày tóm tắt hai phương pháp rời rạc hóa biến đổi ridgelet ứng dụng cho ảnh hai chiều dựa trên các thể hiện khác nhau của biến đổi radon rời rạc

3.2.2.1 Biến đổi ridgelet rời rạc dựa trên lưới rectopolar

Theo định lý lắt cắt chiếu [20], biến đổi Radon có thể đƣợc xác định dựa trên kết hợp biến đổi Fourier hai chiều và biến đổi ngược Fourier một chiều Trước tiên, biến đổi Fourier hai chiều bằng giải thuật FFT trên ảnh đƣợc thực hiện Sau đó xây dựng lưới vuông phủ lên dữ liệu kết quả sao cho các tia quét có các góc khác nhau

C3 Phương pháp biến đổi đa phân giải 56 KS Nguyễn Thành Công với cùng một gốc tọa độ phủ hết toàn bộ ảnh Hình 3.2 minh họa việc chia lưới rectopolar, trong đó các tia đi qua tâm ảnh và quét đều theo các góc /n với n n là kích thước ảnh

Mỗi một tia trong lưới tọa độ cực sẽ là một lát cắt chiếu Số lượng mẫu trong mỗi tia ứng với số lượng đường song với tia đang quét xét trên ảnh Bước kế tiếp, biến đổi ngƣợc Fourier một chiều với giải thuật FFT nghịch đảo (Inverse FFT) sẽ đƣợc áp lên mỗi tia Kết quả của hai bước trên biến đổi Radon rời rạc Trong ma trận hai chiều kết quả của biến đổi ridgelet, mỗi cột sẽ là wavelet một chiều cho các tia trong lưới rectopolar Độ phức tạp của giải thuật biến đổi ridgelet dựa trên rectopolar là O(n log(n)) 2 , với n n là kích thước hình ảnh

3.2.2.2 Biến đổi ridgelet rời rạc dựa trên slant stack

Giải thuật dựa trên rời rạc hóa biến đổi Radon theo phương pháp do Averbuch [1] giới thiệu Ảnh kích thước n n qua giải thuật này sẽ có kích thước 2n2n Trong đó đường thẳng được tham số bằng độ dốc và độ dời có dạng y  ax b  Các đường thẳng được chia làm hai loại: đường ngang y sx z, với s 1; và dọc xsyz với s 1 Biến đổi radon rời rạc đƣợc xác định bởi I ( , ) (u, )

R u y  px t    u I px t  , với I(u, y) không phải lấy trực tiếp từ ảnh gốc, mà là nội suy giá trị điểm ảnh trong

C3 Phương pháp biến đổi đa phân giải 57 KS Nguyễn Thành Công ảnh theo y Với việc tách hai loại đường thẳng, vai trò của x và y sẽ được thay đổi trong quá trình biến đổi Radon

Cho ảnh I , các hệ số của biến đổi Radon được thực hiện với các lớp, các đường thằng ngang đƣợc xác định nhƣ sau

Công thức trên thể hiện là tổng các giá trị điểm ảnh nằm trên đường thẳng y sx z

Trong đó I 1 (u, y) đƣợc nội suy nhƣ (3.7), (3.8) cho m2n, đặt sin(t ) (t)

Tương tự các đường thẳng dọc, vai trò của x và y được hoán vị trong công thức nội suy Nghĩa là giá trị x đƣợc nội suy theo y I ( z, ) 1 (s , ) u

Nếu dùng độ đo là góc thay cho giá trị độ dốc s, biến đổi Radon trên tập các đường thẳng ngang đƣợc xác định bởi

   l Tương tự các hệ số biến đổi Radon với đường thẳng dọc được xác định bởi

 , và đƣợc tính bởi arctan( 2 )

Trong cả hai trường hợp đường thẳng ngang và dọc, giá trị t nằm trong khoảng

  n n ,  Ngoài các phương pháp trên, ridgelet trực giao đã được xây dựng nhằm cải thiện vấn đề rời rạc hóa góc đồng thời làm nền tảng xây dựng biến đổi curvelet

3.2.3 Biến đổi ridgelet trực giao

Thuật toán nâng cao độ tương phản dựa trên biến đổi curvelet