Trong các nghiên cứu trước đây về vật liệu xốp dẻo, đặc tính biến dạng cơ học của vật liệu được phân tích thông qua việc xây dựng các dạng hàm chảy phụ thuộc vào độ xốp và ứng suất thủy
TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu
Các loại nứt
Nứt có thể được chia ra làm ba loại:
- Nứt do tăng trưởng dẻo của các lỗ hổng
Nứt tách được xem như là một dạng nứt giòn, được đặc trưng bởi sự biến dạng không rõ ràng trong vùng lân cận vết nứt
Hình 1.1 b Nứt do tăng trưởng các lỗ hổng
Hình 1.1 c Nứt do co thắt
1.1.2 Nứt do tăng trưởng dẻo của lỗ hổng
Sự tập trung ứng suất ở các tạp chất hoặc các hạt pha thứ hai cứng có thể gây ra chảy dẻo cục bộ, dẫn đến nứt hạt hoặc tách bề mặt tiếp xúc hạt pha thứ hai - mạng Sự hình thành lỗ hổng tại một hạt phụ thuộc nhiều vào cách thức hạt được liên kết với mạng
Nếu liên kết hạt-mạng yếu (như manganese sulphide trong thép), các lỗ hổng có thể hình thành ở ứng suất thấp và biến dạng nhỏ Ngược lại, khi liên kết hạt-mạng mạnh (như các carbide trong thép), cần có biến dạng lớn để các lỗ hổng hình thành
Hình 1.2- Nứt do tăng trưởng lỗ hổng
Sau khi hình thành, các lỗ hổng sẽ tăng trưởng dưới sự gia tải tiếp tục Rõ ràng, một lỗ hổng hình cầu ban đầu sẽ trở thành ellipsoid trong quá trình biến dạng dẻo Tuy nhiên, cơ sở vật lý của sự tăng trưởng lỗ hổng là phức tạp Chảy dẻo, trong nhiều trường hợp, có thể thúc đẩy sự tăng trưởng lỗ hổng [5], [6], [7]
Sự liên kết các lỗ hổng là trạng thái cuối của cơ chế nứt dẻo Biến dạng dẻo tập trung giữa các lỗ hổng dẫn đến sự liên kết giữa chúng với nhau và gây các vết nứt tế vi Ba trạng thái tiếp nối này cấu thành đặc trưng chính của nứt dẻo
Hình 1.2 a Lỗ hổng hình thành
Hình 1.2 b Lỗ hổng tăng trưởng
Hình 1.2 c Hình thành vết nứt
Là một loại của nứt dẻo, nó được kết hợp với sự mất ổn định dẻo Trong thí nghiệm kéo đơn trục, biến dạng dẻo tiến triển đều suốt chiều dài thí nghiệm của mẫu Khi điều kiện giới hạn đạt được, biến dạng trở nên mất ổn định và tập trung cục bộ hình thành sự co thắt hoặc dãy trượt Điều kiện tiên quyết cho loại nứt này là ngăn chặn sự hình thành và tăng trưởng lỗ hổng Đó là những vật liệu tinh khiết cao và biến dạng dẻo xảy ra đồng thời với sự tái kết tinh động lực học Nói chung, tái bền và tốc độ tái bền ngăn trở sự mất ổn định dẻo cục bộ sớm và do đó nâng cao khả năng của nứt do co thắt hoặc cắt đứt Mặt khác, sự ràng buộc hình học càng nhiều, thì khả năng hình thành và tăng trưởng lỗ hổng càng lớn
Rõ ràng sự mất ổn định dẻo không chỉ đóng một vai trò quyết định cho loại nứt này, mà còn cho loại nứt dẻo do lỗ hổng Sự trượt cục bộ có thể dẫn đến, thí dụ, lớp lỗ hổng
Hơn nữa, mất ổn định dẻo có thể ảnh hưởng đến sự hình thành và tăng trưởng các lỗ hổng Ngày nay, người ta xem mất ổn định dẻo đóng một vai trò cần thiết trong nhiều loại nứt dẻo
Luận văn tập trung nghiên cứu mô hình dự đoán rạn nứt vi mô cho các loại thép công nghiệp, chúng là nguyên liệu chính cho ngành kỹ thuật gia công áp lực Do sự tồn tại của những tạp chất và hạt pha thứ hai, nứt dẻo quan sát được của các loại thép này chủ yếu do sự hình thành, tăng trưởng và liên kết của các lỗ hổng.
Cơ tính của kim loại
Cơ tính của vật liệu là những đặc trưng cơ học biểu thị khả năng của vật liệu chịu tác dụng của các loại tải trọng
1.3.1.Ứng suất Ứng suất là khả năng cơ học của vật liệu chịu tác dụng của ngoại lực
1.3.1.1 Ứng suất đàn hồi Ứng suất đàn hồi là ứng suất lớn nhất tác dụng lên mẫu đo mà sau khi bỏ nó đi mẫu không bị biến dạng dẻo hoặc chỉ bị biến dạng dẻo rất nhỏ
Với A0 là tiết diện ban đầu của mẫu, Pp là lực tác dụng.
1.3.1.2 Ứng suất chảy Ứng suất chảy là ứng suất tại đó vật liệu bị "chảy", tức tiếp tục bị biến dạng với ứng suất không đổi
Với P0 là lực tác dụng bắt đầu biến dạng dẻo, A0 là tiết diện ban đầu của mẫu.
Một kim loại được xem là dẻo nếu nó có khả năng biến dạng dẻo lớn mà không có sự bắt đầu nứt Nói chung, tính dẻo của kim loại phụ thuộc vào ứng suất thủy tĩnh, điều kiện gia tải (trạng thái ứng suất), nhiệt độ, … Nói chung, các số đo khác nhau về tính dẻo cho mỗi kim loại dẻo thu được từ ba loại thí nghiệm: kéo, nén và xoắn
Hai đại lượng được xem là số đo biến dạng của tính dẻo kim loại trong thí nghiệm kéo: với l o và l f là chiều dài mẫu thí nghiệm đầu và cuối A o và A f là diện tích mặt cắt ngang đầu và cuối của thanh
Biến dạng thật e = ln(l f / l o ) đạt đến biến dạng thật tới hạn e u :
𝑒 𝑢 = 𝑛 , thanh trụ tròn 𝑒 𝑢 = 2𝑛 , tấm mỏng với n là số mũ tái bền của vật liệu, theo Ludwik: s = K e n
Hai đại lượng được xem là số đo của tính dẻo kim loại trong thí nghiệm nén đơn trục: biến dạng dài thật theo phương trục 𝜀 và lượng giảm chiều cao r, với h o và h f là chiều cao mẫu thí nghiệm đầu và cuối
Số đo của tính dẻo kim loại trong thí nghiệm xoắn ống thành mỏng: với 𝛾 là biến dạng trượt 𝜃 là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài 𝑟 𝑚 là bán kính trung bình của ống
Mặc dù trong các thí nghiệm xoắn ống thành mỏng không có sự co thắt do độ mềm hình học, vẫn có hiện tượng tập trung chảy dẻo do độ mềm nhiệt Khi biến dạng dẻo tăng, nhiệt độ của mẫu sẽ tăng, lượng nhiệt được sinh ra phụ thuộc vào kích thước mẫu, suất biến dạng, tính chất cơ học và vật lý của vật liệu.
Kết luận chương
Đa số các vết nứt dẻo của các kim loại kỹ thuật đều do sự xuất hiện của các lỗ hổng thường ở những vị trí của các tạp chất và các hạt pha thứ hai cứng do chúng bị nứt hoặc bị xé Sau khi xuất hiện các lỗ hổng này sẽ tăng trưởng theo sự gia tăng biến dạng dẻo và cuối cùng gây ra vết nứt vi mô hay gây sự lan truyền vết nứt sẵn có
Trong chương tiếp theo ta sẽ phân tích cụ thể hơn biến dạng dẻo kim loại theo ứng suất, việc tìm các ứng suất chảy đặc biệt cho mô hình vật liệu có các lổ hổng phân bố đều 3 chiều Sau đó ta sẽ dựa vào các đặc điểm hình học của mặt chảy để xác định hàm chảy cho vật liệu xốp dẻo thông qua các ứng suất chảy đặc biệt mà ta tìm được
CƠ SỞ LÝ THUYẾT DẺO 2.1 Giới thiệu
Lý thuyết dẻo
2.2.1.Không gian ứng suất chính
Với mỗi trạng thái ứng suất chính (σ1, σ2, σ3) ta có thể biểu diễn trên 1 hệ trục tọa độ Decartes Oσ1σ2σ3 như là 1 vector có dạng OS⃗⃗⃗⃗ = (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) Hệ trục tọa độ này có 3 trục tọa độ tương ứng với 3 thành phần ứng suất chính được gọi là không gian ứng suất suất chính
Trạng thái ứng suất OS⃗⃗⃗⃗ có thể phân tích thành 2 thành phần:
Trong đó OP⃗⃗⃗⃗⃗ là thành phần nằm trên trục h là trục đi qua gốc tọa độ O và có vector chỉ phương đơn vị là n⃗⃗⃗⃗ = ( h 1
√3) và OD⃗⃗⃗⃗⃗ là vector vuông góc với OP⃗⃗⃗⃗⃗ và OS⃗⃗⃗⃗ tại O như được biểu diễn trong hình 1.1 Độ dài của OP⃗⃗⃗⃗⃗ được xác định bằng cách xem OP⃗⃗⃗⃗⃗ là hình chiếu của OS⃗⃗⃗⃗ lên trục h
√3(σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = √3p Với p là thành phần ứng suất thủy tĩnh: p = σ 1 + σ 2 + σ 3
3 Như vậy ta xác định được vector OP⃗⃗⃗⃗⃗ :
Vì các thành phần của OP⃗⃗⃗⃗⃗ là ứng suất thủy tĩnh p nên phương của của OP⃗⃗⃗⃗⃗ tức là trục h còn được gọi là trục thủy tĩnh
Và OD⃗⃗⃗⃗⃗ được tính như sau:
Hình 2.1 – Không gian ứng suất chính
OD⃗⃗⃗⃗⃗ = OS⃗⃗⃗⃗ − OP⃗⃗⃗⃗⃗ = (σ 1 − p, σ 2 − p, σ 3 − p) Ta thấy OD⃗⃗⃗⃗⃗ thể hiện thành phần ứng suất lệch si:
OD⃗⃗⃗⃗⃗ = (σ 1 − p, σ 2 − p, σ 3 − p) = (s 1 , s 2 , s 3 ) Vậy độ lớn của OD⃗⃗⃗⃗⃗ có thể tính như sau:
|OD⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(s 1 ) 2 + (s 2 ) 2 + (s 3 ) 2 = √2J 2 Vì các thành phần của OD⃗⃗⃗⃗⃗ là thành phần ứng suất lệch nên mặt phẳng chứa OD⃗⃗⃗⃗⃗ và vuông góc trục thủy tĩnh h được gọi là mặt phẳng lệch
Như vậy với mỗi vector trạng thái ứng suất trong không gian ứng suất chính ta có thể phân tích thành 2 thành phần gồm vector biểu diễn thành phần ứng suất thủy tĩnh nằm trên trục thủy tĩnh và vector biểu diễn thành phần ứng suất lệch nằm trên mặt phẳng lệch là mặt phẳng vuông góc với trục thủy tĩnh
2.2.2.Tiêu chuẩn chảy von Mises
Tiêu chuẩn chảy von Mises: Chảy khi bất biến J 2 đạt giá trị tới hạn bằng thường được biểu diễn toán học:
J 2 = k 2 J2 là bất biến thứ 2 của tensor ứng suất lệch:
Gọi σ o là ứng suất chảy đơn trục của vật liệu, khi đó hàm chảy von Mises có thể viết dưới dạng:
(σ 1 −σ 2 ) 2 + (σ 2 −σ 3 ) 2 + (σ 3 −σ 1 ) 2 = 2(σ o ) 2 Tiêu chuẩn chảy von Mises lúc này được biểu diễn trong không gian ứng suất chính có dạng 1 mặt trụ tròn có bán kính bằng √2/3σ o như trong hình 2.2
Và trong trường hợp tải 2 trục sẽ được biểu diễn dưới dạng 1 đường ellipse có tâm tại gốc tọa độ và các bán trục nằm xiên 45 o so với các trục chính như trong hình 1.3 Hàm chảy von Mises 2 trục có dạng:
Ta gọi σ e là ứng suất tương đương von Mises:
Hình 2.2 - Mặt chảy von Mises 3 trục Mặt phẳng lệch
Hình 2.3 – Hàm chảy von Mises 2 trục
Khi đó hàm chảy von Mises được viết dưới dạng ứng suất tương đương như sau: σ e =σ o
Vật liệu xốp dẻo
Các nghiên cứu về vật liệu có chứa lỗ hổng sớm nhất có thể kế đến các nghiên cứu tăng trưởng kích thước lỗ hổng đơn độc tồn tại trong phân tố vật liệu von Mises chủ yếu dùng dự đoán tăng trưởng lỗ hổng và sự liên kết lỗ hổng gây ra nứt dẻo của kim loại Các nghiên cứu có thể ra đây như Mclintock [1] dựa trên mô hình lỗ hổng hình trụ tròn trong vật liệu mạng dẻo lý tưởng chịu kéo dọc theo trục lỗ hổng và trên phương bán kính vuông góc với trục lỗ hổng và Rice và Tracey [2] dựa trên mô hình lỗ hổng hình cầu nằm trong vật liệu dẻo lý tưởng Các nghiên cứu này giới thiệu được hàm tăng trưởng kích thước của lỗ hổng thông qua lượng tăng bán kính lỗ hổng theo tải và biến dạng
Nghiên cứu được sử dụng rộng rãi nhất là nghiên cứu của Gurson [3] vì đưa ra được hàm chảy cho mô hình lỗ hổng đơn độc hình trụ tròn và hình cầu chứa trong phân tố vật liệu von Mises đẳng hướng dẻo lý tưởng
Hình 2.4 – Mô hình lỗ hổng hình trụ tròn và hình cầu lỗ hổng vật liệu σ1 σ3 σ2 lỗ hổng vật liệu σ1 σ2 σ3
Trong đó hàm chảy Gurson gần đúng cho mô hình lỗ hổng hình cầu có dạng:
2σ o ) − 1 − f 2 = 0 (2.1) với σ o là ứng suất chảy của vật liệu mạng, trong trường hợp vật liệu mạng biến cứng đẳng hướng σ o được xem như hàm theo biến dạng σ e và p lần lượt là thành phần ứng suất tương đương và ứng suất thủy tĩnh của tải: σ e = √3
3 và f là độ xốp thể tích được tính bằng tỉ số của thể tích lỗ hổng chia cho thể tích toàn bộ phân tố
Như vậy khi ta xem vật liệu mạng như là vật liệu von Mises và giả thuyết vật liệu có đặc tính kéo nén giống nhau, hàm chảy trên được biểu diễn trong không gian ứng suất chính với dạng hình tròn xoay đối xứng quanh trục thủy tĩnh h Lúc này mặt chảy biểu diễn bởi (2.1) sẽ nằm gọn trong mặt chảy dạng mặt trụ von Mises của vật liệu mạng như minh họa trong hình 2.4 Hình dáng của mặt chảy (2.1) sẽ thay đổi cùng với độ xốp của vật liệu
Vì mặt chảy này có dạng mặt tròn xoay đối xứng quanh trục thủy tĩnh h nên ta có thể biểu diễn thông quan hệ σe-p Để tiện lợi khi biểu diễn, quan hệ σe - p được thay bằng quan hệ σ e σ o− p σ o với cùng ý nghĩa như trong hình 2.5 Khi độ xốp bằng 0, vật liệu có ứng xử giống như vật liệu mạng dạng von Mises và khi độ xố tăng dần lên thì vật liệu bị mềm hóa và mất dần khả năng chịu tải nên mặt mặt giảm dần về gốc tọa độ khi độ xốp tăng dần tới 1 tức là khi không còn vật liệu mạng
Hình 2.6- Hàm chảy Gurson biểu diễn bằng quan hệ σ e /σ o - p/σ o
Hình 2.7 – Mô hình hổng của Tvergaard [4] và [5] σ1 σ2
Dựa trên kết quả mô phỏng số cho thấy mô hình Gurson chỉ cho kết quả đúng với các độ xốp nhỏ và mô hình lý tưởng lỗ hổng hình cầu trong phân tố vật liệu hình cầu, Tvergaard [4], [5] điều chỉnh hàm chảy Gurson (2.1) cho mô hình lỗ hổng tròn phân bố đều 2 chiều như hình 2.7a và lỗ hổng cầu phân bố đều dọc theo thanh trụ tròn như hình 2.7b:
Hàm điều chỉnh Tvergaard có dạng:
2σ o ) − 1 − (q 1 f) 2 = 0 (2.2) Các kết quả từ [4] và [5] đề nghị q1 = 1.5 và q2 = 1 để có kết quả phù hợp với mô phỏng số cho các mô hình nêu trên Ta thấy hàm (2.1) chính là hàm (2.2) với các hệ số q1
= q2 = 1 Một số tác giả cũng thực hiện tương tự với q2 = 1 và các kết quả q1 như sau:
Koplik và Needleman [6] với q1 = 1.25, Perrin và Leblond [7] với q1 = 1.47 Ngoài ra các tác giả như Mear - Hutchinson [8], Dũng [9], Leblond [10], Thiện [11] cũng sử dụng dạng (2.2) nhưng có kể đến đặc tính biến cứng của vật liệu mạng
Perrin - Leblond [7] cũng nhận xét dựa theo kết quả thực nghiệm của Hancock [12] và Becker [13] rằng q1 trong khoảng 1.5 tới 2 Có thể thấy các giá trị dựa vào mô phỏng số nhỏ hơn thực nghiệm do không kể đầy đủ ảnh hưởng của việc hình thành lỗ hổng mới cũng như sát nhập lỗ hổng
Ngoài dạng hàm cosh như đã nêu trên còn có dạng hàm hàm chảy thể hiện quan hệ σe
- p hàm đa thức dạng đường ellipse như của Guennouni - Francois [14], dù hàm chảy của các tác giả này cho kết quả phù hợp với kết quả số hơn hàm chảy Gurson nhưng dạng hàm giải tích lại rất phức tạp Ngoài ra các tác giả Perrin và Leblond [7] cũng đề nghị dùng dạng hàm gần đúng được đề nghị từ Gurson [3] với dạng:
A(σ e ) 2 + B(p) 2 − 1 = 0 (2.3) với A và B là các hàm theo độ xốp f Tuy nhiên việc tìm trực tiếp các hàm A và B dẫn đến các kết quả phức tạp nên các tác giả đền nghị tìm A và B sao cho (2.3) có kết quả phù hợp với (2.2)
Các kết quả đáng chú ý khác của của tác giả Castaneda [15] sử dụng phương pháp được đề nghị bởi Talbot và Willis [16] và các kết quả có dạng tương tự [15] của Willis [17], Talbot và Willis [18], Haghi - Anand [19] như đã được phân tích bởi Leblond [20]
Kết quả từ [15] thể hiện ở (2.4) cũng có quan hệ σe - p là hàm đa thức dạng tương tự như (2.3):
Như vậy, tổng hợp các hàm chảy các dạng từ [2.1]…[2.4] như đã nêu trên ta thấy các dạng đường cong quan hệ σe - p là tương đối giống nhau, khác biết lớn nhất là ở chính là ở 2 điểm A và B như trong hình 2.7 Ta có thể dễ dàng thấy rằng 2 điểm A và B này lần lượt là điểm chảy khi tải là thuần túy ứng suất lệch (tại A ta có p = 0) và thuần túy thủy tĩnh (tại B ta có σe = 0)
Từ các hàm chảy trên, các tác giả đưa ra giả thuyết rằng vì bản thân vật liệu mạng là vật liệu không nén được nên lượng thể tích vật liệu mạng là không thay đổi trong quá trình biến dạng, như vậy lượng thể tích toàn bộ vật liệu xốp dẻo tăng thêm chính là lượng
Gurson Tvergaard, q1=1.5 Ponte Castaneda σ e /σ o p/σ o von Mises f = 0.05
Hình 2.8 - So sánh các mặt chảy dạng với độ xốp 0.05 A
B thể tích lỗ hổng tăng thêm Giả thuyết này giúp dự đoán lượng tăng độ xốp trong quá trình biến dạng qua đó giúp dự đoán sự phá hủy vật liệu do nứt dẻo khi độ xốp tăng tới một gía trị nhất định Các tác giả sử dụng mô hình này này để dự đoán nứt dẻo bằng cách xem độ xốp là hàm tăng theo biến dạng làm vật liệu giảm dần khả năng chịu tải trong quá trình biến dạng như Tvergaard – Needleman [21], Becker – Needleman [22], Zhang [23], Liang Xue [24], Nahshon – Hutchinson [25]
2.4 Hàm chảy của vật liệu xốp dẻo
2.4.1 Mô hình chung của các hàm chảy trước đây
Kết luận chương
Như vậy qua chương này ta đã tìm hàm chảy thông qua 2 ứng suất chảy đặc biệt là ứng suất chảy trong trường hợp tải thuần túy ứng suất lệch và trường hợp tải thuần túy ứng suất thủy tĩnh Các ứng suất chảy này được dùng như là các tham số để tìm hàm chảy thông qua việc tìm phương trình của mặt chảy có dạng mặt ellipsoid đối xứng quanh trục thủy tĩnh Mặt chảy tìm được có kích thước thay đổi tùy thuộc vào độ lớn của các ứng suất chảy đặc biệt nêu trên và bản thân các ứng suất chảy đó cũng là hàm phụ thuộc vào độ xốp của vật liệu Khi độ xốp bằng 0 thì vật liệu có ứng xử như vật liệu mạng von Mises, mặt chảy lúc này chính là mặt trụ von Mises, khi độ xốp tăng dần thì mặt chảy
Hình 2.31 - Hàm chảy 2 trục chuyển thành dạng mặt ellipsoid và giảm dần về gốc tọa độ khi độ xốp đạt tới giá trị độ xốp tới hạn thể hiện sự mềm hóa của vật liệu cùng với sự độ xốp
Trong chương tiếp theo ta sẽ dùng hàm chảy tìm được để xác định ứng xử của vật liệu trong trường hợp kéo đơn trục với các tính chất được quan tâm là ứng suất chảy đơn trục, mô đun đàn hồi và đường quan hệ ứng suất - biến dạng.
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG KHỐI BIẾN DẠNG DẺO 3.1 Giới thiệu
Phần tử khối biến dạng dẻo (suy biến ba chiều)
Phần tử điểm phần tư ba chiều có thể được xây dựng bằng cách quét phần tử dạng hai chiều dọc theo mặt nứt trước (crack front) Để mô hình vết nứt ba chiều, phần tử cơ bản được sử dụng là phần tử điểm phần tư lục diện 20 nút Đối với mặt nứt trước thẳng được minh họa như trong hình (3.1), nếu các điểm nút được đặt tại các vị trí sao cho phần tử lục diện 20 nút có dạng khối chữ nhật thì suy biến căn bậc hai sẽ nằm trên tất cả cạnh xuất phát từ mặt nứt trước trong mỗi mặt cắt vuông góc với mặt nứt trước
Hình 3.1 Phần tử điểm phần tư lục diện 20 nút
Phần tử điểm phần tư lục diện 20 nút có thể biến đổi trở thành phần tử điểm phần tư hình chóp được minh họa trong hình (3.2) Các điểm nút 1,4,5,8,12,16,17,20 sáp nhập với nhau và các điểm nút 9,11,13,15 di chuyển đến vị trí điểm phần tư Suy biến căn bậc hai sẽ nằm trên tất cả cạnh xuất phát từ đỉnh hình chóp
Hình 3.2- Phần tử điểm phần tư lục diện biến đổi thành hình chóp
Một loại phần tử suy biến khác là phần tử điểm phần tư tứ diện 10 nút Phần tử này ít được dùng trong thực tế vì ứng xử suy biến chỉ quan sát được tại duy nhất một điểm trong phần tử Phần tử này có ưu điểm khi mô hình mặt nứt trước gặp một mặt tự do (free surface) với một góc tương đối lớn hoặc tương đối nhỏ
Hình 3.3-Phần tử điểm phần tư tứ diện tự nhiên Đối với mặt nứt trước cong, phần tử điểm phần tư lăng trụ tam giác nên được sử dụng Để suy biến căn bậc hai nằm trên tất cả các cạnh xuất phát từ mặt nứt trước thì vị trí của các điểm nút trong không gian được ràng buộc như sau
Các tọa độ y và z cũng được ràng buộc tương tự như trên
Hình 3.4- Phần tử điểm phần tư lục diện 20 nút biến đổi thành lăng trụ tam giác
Phần tử điểm phần tư lăng trụ tam giác tự nhiên được sử dụng nhiều trong thực tế khi mặt nứt trước cong Vị trí của các điểm nút trong không gian được ràng buộc như sau
Các tọa độ y và z cũng được ràng buộc tương tự như trên
Hình 3.5 Phần tử điểm phần tư lăng trụ tam giác tự nhiên
Với mặt nứt trước dạng cung tròn, ứng xử căn bậc hai được quan sát trong tất cả mặt phẳng vuông góc với mặt nứt trước khi các cạnh của phần tử nằm trên và song song với mặt nứt trước có hình dạng cung tròn Với loại phần tử khối hình thang, suy biến căn bậc hai chỉ nằm trên bề mặt ngoài của phần tử chứ không nằm trên các mặt cắt
Hình 3.6- Phần tử điểm phần tư 20 nút lục diện cạnh cung tròn
Hình 3.7- Phần tử điểm phần tư khối hình thang
Với mặt nứt trước dạng ellipse, nếu mặt bên hyperbola của phần tử trực giao với mặt nứt trước thì suy biến căn bậc hai được quan sát trên tất cả các mặt của phần tử vuông góc với mặt nứt trước
Hình 3.8 - Phần tử điểm phần tư lục diện cạnh ellipse và hyperbola.
Phương pháp phần tử hữu hạn cho vật liệu biến dạng dẻo
3.3.1.1 Nguyên lý công ảo cho mối quan hệ ứng suất- biến dạng đàn hồi tuyến tính
Nguyên lý công ảo đã được áp dụng một cách rất hiệu quả trong việc giải các bài toán cũng như việc đưa ra các cơ sở chuẩn cho những lý thuyết tổng quát trong cơ học vật rắn
Phương trình công ảo, nhận được từ nguyên lý này, được dùng để khảo sát về tính ổn định và tính duy nhất của các mối quan hệ ứng suất-biến dạng tổng quát Các mối quan hệ này có thể không hồi phục và phụ thuộc vào lịch sử biến dạng Trong mối quan hệ ứng suất- biến dạng đàn hồi, các chuyển vị được giả thiết là đủ nhỏ sao cho những thay đổi về hình học của vật thể có thể bỏ qua và cấu hình chưa biến dạng ban đầu có thể được dùng để thiết lập các phương trình cho hệ thống Điều này ngụ ý rằng các thành phần phi tuyến trong sự tương thích của biến dạng và chuyển vị được bỏ qua Lúc này, ứng suất ij trong vật phải thỏa các phương trình cân bằng: trong V (3.3) trên A T (3.4) và các mối quan hệ tương thích của biến dạng ij và chuyển vi u i : trong V (3.5) trên A u (3.6) với: F i là ngoại lực phân bố trong thể tích V , T i là ngoại lực phân bố lên bề mặt A T của vật, là chuyển vị trên bề mặt A u , ij là trường ứng suất tùy ý - thật hoặc không - cân bằng với hệ ngoại lực (hình 3.9)
Phương trình công ảo đề cập đến hai tập hợp riêng rẽ và không liên quan nhau: tập hợp cân bằng và tập hợp tương thích Hai tập hợp này được hòa lẫn, hỗ trợ nhau nhưng độc lập, trong phương trình công ảo (3.7)
Chuyển vị u i Ứng suất ij
Các định luật ứng xử
Hình 3.9 a Hình 3.9 b Các biến số Mối quan hệ giữa các biến.
Hình 3.9 - Sự thiết lập bài toán cơ học vật rắn
T là trường biến dạng tùy ý tương thích với trường chuyển vị thật hoặc ảo của các điểm chịu tác động ngoại lực (hình 3.9) Điều quan trọng là cả tập hợp cân bằng ( T i , F i , ij ) và tập hợp tương thích ( , ) không cần là trạng thái thật, mà cả hai tập hợp này cũng không cần có quan hệ với nhau theo cách thức nào đó Dấu ( * ) trong phương trình (3.7) được dùng cho tập hợp tương thích để nhấn mạnh rằng hai tập hợp này hoàn toàn độc lập Khi các trạng thái thật hoặc ảo (chúng thỏa cả hai điều kiện cân bằng và tương thích) được thay thế vào (3.7), các dấu
Kiểm chứng phương trình công ảo
Khảo sát công ảo của ngoại lực, W e , được cho bởi biểu thức bên vế trái của phương trình (3.7) Với T i = ij n j trên A , ta có:
(a) Tập hợp cân bằng (b) Tập hợp tương thích.
Hình3.10 - Hai tập hợp độc lập trong phương trình công ảo
F dV u F dV u u dV u F dV u dV u F dA u n W
Số hạng đầu tiên trong ngoặc đơn của (3.8) triệt tiêu do thỏa điều kiện cân bằng (3.1)
Bây giờ khảo sát công ảo của nội lực, W i , được biểu diễn bởi biểu thức bên vế phải của (3.7) Dùng (3.4), ta có:
Vì i, j là các chỉ số câm (được lặp lại hai lần trong mỗi số hạng), và ij là tensor đối xứng ( ij = ji ), nên:
(3.10) Vậy W e = W i và phương trình công ảo (3.4) đã được kiểm chứng
Phương trình công suất ảo
Tập hợp cân bằng và tập hợp tương thích tùy ý có thể được thay vào phương trình (2.24) Đặc biệt, tốc độ thay đổi của các ngoại lực và ứng suất có thể được dùng như là một tập hợp cân bằng và tốc độ thay đổi của chuyển vị và biến dạng như là một tập hợp tương thích Do đó, phương trình công suất ảo có dạng:
* ij ij i dV u u dV u u dV
3.3.1.2 Nguyên lý công ảo cho mối quan hệ ứng suất- biến dạng dẻo
Phương trình chi phối tổng quát của phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán tĩnh có thể thu được từ nguyên lý công ảo (3.13), hay có thể viết dưới dạng:
(3.14) với u I , ij là các gia số chuyển vị ảo, biến dạng ảo, và chúng mô tả một tập hợp biến dạng tương thích; T I và q i là ngoại lực phân bố bề mặt và thể tích; và ij với T i và q i hình thành một tập hợp cân bằng Dạng ma trận của (3.14):
(3.15) trong đó các véc tơ chuyển vị { u } , biến dạng {} và ứng suất {} được định nghĩa như sau:
(3.18) Đối với bài toán tuyến tính hình học, hay bài toán biến dạng nhỏ, ta có:
V i i A i i V ij ij dV T u dA q u dV
B U , B U trong đó { U } là véc tơ chuyển vị của các diểm nút, được liên hệ với véc tơ chuyển vị phân bố { u } bởi:
(3.20) trong đó [ N ] là ma trận của hàm nội suy chuyển vị, hoặc hàm tạo dáng, và ma trận biến dạng-chuyển vị [ B ] là một ma trận được xác định bởi đẳng thức:
(3.22) với [ L ] là ma trận toán tử vi phân được xác định như (3.23) Thay phương trình (3.19) và (3.20) vào phương trình (3.14), ta thu được phương trình chi phối đối với bài toán biến dạng bé như (3.24)
(3.24b) ở đây { R } là véc tơ ngoại lực tương đương tác động lên các điểm nút,
Hơn nữa, nếu mối quan hệ ứng suất - biến dạng đàn hồi tuyến tính được dùng,
(3.26) ta sẽ thu được phương trình chi phối cho một bài toán tuyến tính,
(3.27a) với [ K ] là ma trận độ cứng của cấu trúc,
(3.28b) trong đó [ C ] là ma trận độ cứng đàn hồi
Trong bài toán đàn-dẻo, mối quan hệ giữa ứng suất {} và biến dạng {} được biểu diễn dưới dạng gia số:
d C ep d C ep B dU với [ C ep ] là ma trận độ cứng đàn-dẻo Vì [ C ep ] thay đổi theo quá trình biến dạng, nên phương trình (2.41) là một phương trình phi tuyến của biến dạng, và do đó, là một hàm phi tuyến của chuyển vị nút, { U } Phương pháp lặp thường được sử dụng để giải phương trình (3.24) đối với { U } tương ứng với hệ ngoại lực đã cho Ngoài ra, do mối quan hệ đàn- dẻo phụ thuộc vào lịch sử biến dạng, một phép tính gia số theo một sự biến thiên thật của ngoại lực nên được sử dụng để theo vết sự biến thiên của chuyển vị, biến dạng và ứng suất cùng với ngoại lực
Trong phép tính gia số, lực tổng tác động lên cấu trúc được thêm dần từng bước Ở bước thứ ( m +1 ), tải trọng có thể được biểu diễn như sau:
(3.30) ở đây ký hiệu phía trên bên trái m đã được dùng để biểu thị bước gia tăng thứ m Giả sử rằng lời giải ở bước thứ m , đã được biết, và ở bước thứ ( m+1 ), ta có, tương ứng với gia tăng tải { R },
Trong hai phương trình (2.47) và (2.48) các ký hiệu phía trên bên trái của các gia số đã được bỏ đi Phương trình (2.41) trở thành:
(3.33a) ở đây là lực tương đương của ứng suất tác động lên các điểm nút,
Phương trình (3.33a), thực tế, mô tả sự cân bằng của ngoại lực ,với nội lực
Hai loại giải thuật được xây dựng để giải phương trình (3.33) đối với gia số chuyển vị và gia số ứng suất Một là giải thuật được dùng để giải các phương trình đồng thời phi tuyến Hai là giải thuật được dùng để xác định gia số ứng suất, , tương ứng với một gia số biến dạng, , đối với một trạng thái ứng suất và lịch sử biến dạng đã cho.
Kết luận chương
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một phương pháp toán dùng để giải hệ phương trình vi phân nói chung và, đặc biệt, các bài toán cơ học vật rắn biến dạng dẻo với sự hỗ trợ của máy tính Ngày nay, FEM là một công cụ làm việc đầy hiệu lực cho ngành phương pháp tính số, nó giúp mô phỏng một cách rất đáng tin cậy nhiều hiện tượng vật lý (Cơ học vật rắn, Cơ học lưu chất, Trường nhiệt độ, Từ trường, Truyền âm, …), và lời giải của nó được dùng thay thế cho các số liệu thí nghiệm
Một tiêu chuẩn hội tụ hợp lý để kết thúc bước lặp là một phần cần thiết của chiến lược giải gia số hiệu quả Có ba tiêu chuẩn hội tụ: tiêu chuẩn chuyển vị, tiêu chuẩn lực, tiêu chuẩn nội năng
CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN
Trong chương này ta sẽ sử dụng hàm chảy tìm được trong chương 2 để phân tích các tính chất vật liệu xốp dẻo trong kéo đơn trục, ba trục Các mô hình vật liệu được sử dụng tương tự như trong chương 2, trong đó ta sẽ dùng vật liệu mạng von Mises biến cứng đẳng hướng theo quy luật hàm mũ Các đặc tính được quan tâm trong chương này gồm có ứng suất chảy đơn trục, ba trục, môđun đàn hồi và đường quan hệ ứng suất - biến dạng của vật liệu xốp dẻo so với vật liệu mạng ban đầu không có độ xốp Sau đó từ ứng suất chảy đơn trục, ba trục của bản thân vật liệu xốp dẻo ta sẽ chuyển hàm chảy trong chương 2 thành hàm phụ thuộc vào ứng suất chảy đơn trục và độ xốp vật liệu Ngoài ra ta cũng sử dụng đặc tính biến dạng của vật liệu để xác định lượng tăng bán kính lỗ hổng trên phương kéo ba trục.
Sự tăng trưởng lỗ hổng
Với i , ( i i a b , ) là ứng suất, biến dạng, pháp theo phương a, b; eM là ứng suất tương đương của mạng (không lỗ); n là số mũ tái bền theo Ludwik n , eM K e
K là hằng số vật liệu Đối với vật liệu là xốp với các lỗ hổng hình trụ ellipse, phương trục c phân bố đều thì khoảng cách giữa các lỗ l l a , b và các kích thước lỗ a, b nên được đưa vào tính toán sự tăng trưởng lỗ ( hình 4.1) Hai hệ số tăng trưởng lỗ hổng theo 2 phương bán trục của ellipse a, b được định nghĩa,
Với chỉ số 0 biểu thị giá trị ban đầu
Hình 4.1 Mô hình tăng trưởng lỗ hổng
Theo MClintock, hệ số tăng trưởng theo hướng a của lỗ tròn ban đầu trong nhóm các lỗ cùng loại,
Suất phá hủy theo phương a,
Do đó, suất tăng trưởng lỗ hổng theo hướng a, b,
3 3(1 ) 3 ln 2(1 ) 2 4 a b b a ca e eM eM d F sh n d n
3 3(1 ) 3 ln 2(1 ) 2 4 a b a b cb e eM eM d F sh n d n
(4.6b) Tuy nhiên thí nghiệm với một hạt tạp chất nhân tạo được bao quanh trong bề mặt xích đạo của hình trụ chất dẻo dưới sự nén, chỉ ra rằng mô hình (4.6) không phù hợp.N.L.Dũng và các cộng sự đã hiệu chỉnh mô hình MClintock bằng cách thêm vào mô hình thứ hai(4.1c) vào mô hình gốc (4.1b) để mô tả sự tăng trưởng lỗ hổng hình trụ trong hình (4.1a), với,
Các hệ số tăng trưởng lỗ hổng cho mô hình hiệu chỉnh được định nghĩa,
Trong đó các thành phần biến dạng thêm cũng được xác định theo Von Mises,
Từ () một biểu thức cho suất phá hủy, kể cả ảnh hưởng lệch tâm có thể viết dưới dạng,
3 3(1 ) 3 ln 2(1 ) 2 4 a b a b ca e ca e eM eM d F sh n d f d n
3 3(1 ) 3 ln 2(1 ) 2 4 a b b a cb e cb e eM eM d F sh n d f d n
Đối với mô hình lỗ hổng 3 chiều, suất phá hủy có thể nhận được nếu các bề mặt cầu giả sử bị biến dạng trở thành ellipsoid
Hình 4.2 Mô hình lập phương vật liệu
Suất phá hủy của bán trục a tức thời được ngoại suy từ phương trình (4.1), (4.2), (4.8), (4.9) đối với lỗ hổng hình trụ bằng phương pháp cộng nghiệm
3 3(1 ) 3 1 3 ln 2(1 ) 2 4 4 a b c b c a b c a a e eM eM eM n n d F sh ch f d n
3 3(1 ) 3 1 3 ln 2(1 ) 2 4 4 a b c c b b c a b b e eM eM eM n n d F sh ch f d n
3 3(1 ) 3 1 3 ln 2(1 ) 2 4 4 a b c a b c a b c c e eM eM eM n n d F sh ch f d n
(4.11c) Với hệ số tăng trưởng,
Lúc bắt đầu tăng trưởng, ta có a 0 b 0 c 0 R R 0 ( 0 là bán kính hình cầu ban đầu) Các phương trình (4.10), (4.11) củng đúng cho sự tăng trưởng các lỗ ellipsoid ban đầu Thể tích tức thời của một lỗ hổng,
V 3 abc (4.13) Tổng quát, suất tăng trưởng lỗ hổng theo hướng i có viết dưới dạng,
3 3(1 ) 3 1 3 ln 2(1 ) 2 4 4 i j k j k i j k i i e eM eM eM n n d F sh ch f d n
(4.14) với i, j, k =a, b, c theo thứ tự khép kín, i j k và là hệ số xét đến ảnh hưởng tương hỗ giữa các lỗ hổng,
Lỗ đơn độc lỗ trong môi trường xốp
4 Sự tăng trưởng lỗ hổng dưới tác động của trường ứng suất – biến dạng dẻo Lỗ hổng tăng trưởng đến trạng thái giới hạn sẽ gây ra liên kết giữa các lỗ hổng Để giảm kích thước bài toán, các lỗ hổng được xem có dạng hình cầu và phân bố đều bên trong vật liệu
(4.12c) lúc ban đầu Do đó, mô hình khảo sát sự tăng trưởng lỗ hổng là hình lập phương chứa 1 lỗ hổng hình cầu ở giữa như hình 4.3
Hình 4.3 Mô hình tính toán Với, Độ xốp ban đầu được tính theo công thức
Trong kết quả nghiên cứu chỉ nghiên cứu với 2 trường hợp độ xốp ban đầu
0 0, 01; 0 0,1 f f và ứng với hai loại vật liệu n=0,2 đã tính toán
Bảng 1 Các trường ứng suất tác động lên phân tố
Kết quả
4.3.1 Kết quả sự tăng trưởng hệ số bán kính lỗ hổng kéo ba trục
Hình 4.4a -Sự thay đổi bán kính lỗ hổng theo các hàm chảy trong kéo ba trục
Hình 4.4b - Sự thay đổi bán kính lỗ hổng theo các hàm chảy trong kéo ba trục
Sự tăng trưởng bán kính lỗ hổng kéo ba trục
Sự tăng trưởng bán kính lỗ hổng kéo ba trục
4.3.2.Kết quả sự tăng trưởng độ xốp của vật liệu chịu kéo ba trục
Sự tăng trưởng độ xốp vật liệu chịu kéo ba trục
Hình 4.5b Sự thay đổi độ xốp theo các hàm chảy trong kéo ba trục
Sự tăng trưởng độ xốp vật liệu chịu kéo ba trục
Biến dạng tương đương e Hình 4.5a Sự thay đổi độ xốp theo các hàm chảy trong kéo ba trục
4.3.3 Kết quả đánh giá sự mềm hóa của vật liệu theo các hàm chảy trong kéo ba trục
Bài toán kéo ba trục
Hình 4.6a Sự mềm hóa vật liệu theo các hàm chảy trong kéo ba trục
Hình 4.6b Sự mềm hóa vật liệu theo các hàm chảy trong kéo ba trục cao.
Kết luận chương
Mô hình này phù hợp với sự biến đổi hình dạng lỗ hổng dạng ellip trong môi trường biến dạng dẻo
Sự tăng trưởng và sự hợp nhất các khoảng trống phụ thuộc vào nhiệt độ của vật chất, sức căng thủy tĩnh của tải, Dưới sự chồng chất của ứng suất thủy tĩnh, sự tăng trưởng của những khoảng trống sẽ bị cản trở vì vậy sự hợp nhất của các lỗ rỗng sẽ không xảy ra Đây là một phương pháp quan trọng để tránh trong kim loại hình thành
Khoảng trống tăng trưởng do biến dạng dẻo gây ra làm mềm và tăng tích lũy thiệt hại về vật chất Các kết quả của mô hình đề xuất mô hình và mô hình thí nghiệm phù hợp với nhau
Như vậy trong đề tài này ta đã phân tích hàm chảy như là hàm của các ứng suất chảy đặc biệt, với cách phân tích này ta thấy rằng ta có thể tìm hàm chảy qua 2 bước độc lập với nhau Trước tiên ta đi 2 ứng suất chảy đặc biệt là ứng suất chảy trong trường hợp tải thuần túy thủy tĩnh và tải thuần túy ứng suất lệch, sau đó dùng các ứng suất chảy này như là các tham số để tìm hàm chảy Hàm chảy được tìm dựa vào đặc điểm hình học của mặt chảy khi biểu diễn trong không gian ứng suất chính đó là dạng mặt tròn xoay đối xứng quanh trục thủy tĩnh Trong đề tài này ta đã sử dụng mặt chảy dạng ellipsoid, mặt chảy này hoàn toàn thỏa mãn các đặc trưng về toán học và vật lý của vật liệu xốp dẻo đồng thời có dạng hàm đơn giản và có thể phân tích dễ dàng Ta thấy rằng việc tìm 2 ứng suất chảy đặc biệt là độc lập với việc xác định dạng hàm chảy thông qua việc xác định mối quan hệ của 2 ứng suất chảy đặc biệt này nên dù ta có sử dụng 2 ứng xuất chảy đặc biệt với dạng khác với kết quả trong đề tài và sử dụng dạng hình học của mặt chảy khác với dạng ellipsoid thì các bước thực hiện vẫn tương tự như trong đề tài này, cách phân tích này giúp ta tìm hàm chảy dễ dàng hơn cách phân tích trực tiếp hàm chảy là hàm của độ xốp
Dựa dạng hàm chảy ellipsoid ta cũng đã tìm được ứng suất chảy đơn trục của bản thân vật liệu xốp dẻo, sau đó ta đã thay ứng suất chảy đơn trục này vào lại trong hàm chảy, qua đó chuyển hàm chảy thành hàm phụ thuộc vào ứng suất chảy đơn trục và độ xốp vật liệu, hàm này có ý nghĩa trong thực tế nếu ta có thể xác định được độ xốp và ứng xuất chảy đơn trục của chính bản thân vật liệu xốp dẻo.
Trong phần cuối của luận văn ta đã phân tích ứng xử cơ học biến dạng ba trục của vật liệu xốp dẻo và xác định lượng tăng bán kính lổ hổng trên phương kéo đơn trục với lượng tăng bán kính đã được tìm dưới dạng hàm tăng theo biến dạng trên phương kéo Tuy nhiên để phân tích chính xác quan hệ ứng suất biến dạng của vật liệu xốp dẻo ta cần phải kết hợp hàm chảy với mô hình tăng trưởng lổ hổng theo biến dạng thì khi đó mới có thể kể đến các ảnh hưởng của sự nứt dẻo tới quá trình biến dạng dẻo vật liệu
[1] F A McClintock, “A Criterion for Ductile Fracture by Growth of Holes”,
Journal of Applied Mechanics, v35, pp 363–371, 1968
[2] J R Rice and D M Tracey, “On The Ductile Enlargement of Voids in Triaxial Stress Fields”, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, v17, pp.201–217,
[3] A L Gurson, “Continuum Theory of Ductile Rupture by Void Nucleation and Growth: Part I - Yield Critetria and Flow Rules for Porous Ductile Media”, Journal of Engineering Materials and Technology, v99, pp 2–15, 1977
[4] V Tvergaard, “Influence of Voids on Shear Band Instabilities under Plane Strain Conditions”, International Journal of Fracture, v17, 389–407, 1981
[5] V Tvergaard, “On Localization in Ductile Materials Containing Spherical Voids”, International Journal of Fracture, v18, pp.237–252, 1982
[6] J Koplik and A Needleman, “Void Growth and Coalescence in Porous Plastic Solid”, International Journal of Solid Structure, v24, pp 835–853, 1988
[7] G Perrin and J.B Lebond, “Analytical Study of Hollow Sphere Made of Plastic Porous Material and Subjected to Hydrostatic Tension – Application to Some Problems of Ductile Fracture of Materials”, International Journal of Plasticity, v6, pp 677–699, 1990
[8] M E Mear and J W Hutchinson, “Influence of Yield Surface Curvature on Flow Local-Ization in Dilatant Plasticity”, Mechanics of Materials, v4, pp 395–
[9] N L Dũng, “A Simple Model for The Three-Dimensional Growth of Voids Inclusions in Plastic Materials”, International Journal of Fracture, v53, pp 19-25, 1992
[11] T.T Thiện, “The Softening in Plastic Deformation of Metal”, Science &
[12] J W Hancock, “Plasticity of Porous Metals, Yield, Flow and Fracture of Polycrystals”, Applied Science Publishers, pp 151-183, 1982
[13] R Becker et al., “Void Growth and Failure in Notched Bars”, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, v36, pp 317, 1988
[14] T Guennouni and D Francois, “Constitutive Equations for Rigid Plastic or Viscoplastic Materials Containing Voids”, Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, v10, pp 399–418, 1987
[15] Ponte Castaneda P (1990), “The Effective Mechanical Properties of Nonlinear Isotropic Materials”, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, v39, 45-71
[16] D R S Talbot and J R Willis, “Variational Principles for Inhomogeneous Nonlinear Media”, IMA Journal of Applied Mathematics, v35, pp 39–54, 1985
[17] J R Willis, “On Methods for Bounding the Overall Properties of Nonlinear Composites”, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, v39(1), pp 73–86,
[18] D R S Talbot and J R Willis, "Some Simple Explicit Bounds for the Overall Behaviour of Nonlinear Composites", International Journal of Solids and Structure, v29(14-15), pp.1981-1987, 1992
[19] Haghi M and Anand L (1991), “A Constitutive Model for Isotropic Porous Elastic-Viscoplastic Metal”, Mechanics of material, v13, 37-53
[20] Lebond J.B et al (1994), “Exact Results and Approximate Models for Porous Viscoplastic Solids”, International Journal of Plasticity, v10, 213–235
[22] R Becker and A Needleman, "Effect of Yield Surface Curvature on Necking and Failure in Porous Plastic Solids", Journal of Applied Mechanics, v53, pp 499, 1986
[23] Z.L Zhang, “A Complete Gurson Model Approach for Ductile Fracture”,
[24] Liang Xue, “Constitutive Modeling of Void Shearing Effect in Ductile Fracture of Porous Materials”, Engineering Fracture Mechanics, v75, pp 3343–3366, 2008
[25] K Nahshon and J.W Hutchinson, “Modification of the Gurson Model for Shear Failure”, European Journal of Mechanics A/Solids, v27, pp 1–17, 2008
[26] M Gologanu, J.B Leblond and J Devaux, “Approximate Models for Ductile Metals Containing Non-Spherical Voids - Case of Axisymmetric Prolate Ellipsoidal Cavities”, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, v41(11), pp 1723–1754, 1993
[27] K Danas, “Porous Materials with Evolving Microstructure: Constitutive Modeling, Numerical Implementation and Applications”, PhD Thesis, Laboratoire de Mécanique des Solides, École Polytechnique, France, 2008
[28] D.A Wang et al., “An Anisotropic Gurson Yield Criterion for Porous Ductile Sheet Metals with Planar Anisotropy”, International Journal of Damage Mechanics, v13(1), pp.7-33, 2004
[29] V Monchiet, “Macroscopic Yield Criteria for Plastic Anisotropic Materials Containing Spheroidal Voids”, International Journal of Plasticity, v24(07), pp
[30] R Hill, “The Expansion of a Spherical Shell”, in The Mathematical Theory of
Plasticity, Oxford University Press, 1998, pp 97 - 106 ed., 1951, pp 356 - 359
[32] J Chakrabarty, "Expansion of a Thick Spherical Shell", in Theory of Plasticity, 3rd ed., Elsevier Butterworth-Heinemann, 2006, pp 323 - 333.
