Luận văn thạc sĩ Cơ kỹ thuật: Phân tích ảnh hưởng của sự tăng độ xốp đến tính chất cơ học của vật liệu xốp dẻo

Về phương pháp nghiên cứu, độ tin cậy của các số liệu Luận văn đã dựa vào việc phân tích các hàm chảy để tìm các đặc trưng về mặt toán học cũng như các đặc trưng hình học của mặt chảy k

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

NGUYỄN KHÔI NGUYÊN

PHÂN TÍCH ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ TĂNG ĐỘ XỐP

Cán bộ hướng dẫn khoa học :

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Cán bộ chấm nhận xét 1 :

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Cán bộ chấm nhận xét 2 :

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày tháng năm

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) 1

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: NGUYỄN KHÔI NGUYÊN MSH: 12884968 Ngày, tháng, năm sinh: 16-10-1988 Nơi sinh: Long An Chuyên ngành: Cơ Kỹ Thuật Mã số : 60520101

I TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ TĂNG ĐỘ XỐP ĐẾN

TÍNH CHẤT CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU XỐP DẺO

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: Tìm hàm chảy của vật liệu xốp dẻo với mô hình

khối vật liệu von Mises dẻo lý tưởng chứa các lổ hổng hình cầu phân bố đều Sau đó dùng hàm chảy này phân tích các đặc trưng kéo đơn trục của vật liệu có mô hình như trên có tính tới biến cứng đẳng hướng của vật liệu mạng và dự đoán lượng tăng bán kính lổ hổng trên phương kéo

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 20-01-2014 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 21-11-2014 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Ghi rõ học hàm, học vị, họ, tên):

KHOA

NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ

(Nhận xét của CB hướng dẫn■ Nhận xét của CB phản biện )

Họ và tên học viên: NGUYỄN KHÔI NGUYÊN MSHV: 12884968 Đề tài luận văn: PHÂN TÍCH ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ TĂNG ĐỘ XỐP ĐẾN

TÍNH CHẤT CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU XỐP DẺO Chuyên ngành: Cơ học kỹ thuật

Người nhận xét: PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN Cơ quan công tác: Trường Đại học Bách khoa – Đại học Quốc gia Tp.HCM

Ý KIẾN NHẬN XÉT

1 Về nội dung

Nội dung luận văn bao gồm 3 chương:

Chương 1: Giới thiệu sơ lược các mô hình hàm chảy của vật liệu xốp dẻo

trước đây, phân tích 1 số đặc trưng cũng như những khác biệt của các mô hình này để làm cơ sở nghiên cứu trong các chương sau

Chương 2: Phân tích các mô hình hàm chảy của vật liệu xốp dẻo đã có để tìm

ra dạng mô hình chung của chúng Từ các phân tích này, luận văn đã xem hàm

tĩnh, sau đó dựa vào đặc trưng hình học của mặt chảy trong không gian ứng suất chính để tìm mặt chảy dạng ellipsoid Việc xác định các ứng suất chảy đặc biệt này dựa vào kết quả phân tích các hàm chảy đã có và áp dụng chúng vào mô hình vật liệu mà luận văn đang xem xét là mô hình khối vật liệu von Mises dẻo lý tưởng hình lập phương chứa các lổ hổng hình cầu phân bố đều 3 chiều Hàm chảy tìm được đã được kiểm tra với kết quả mô phỏng phần tử hữu hạn bằng phần mềm ANSYS và so sánh với các mô hình đã có trước đây

Chương 3: Chương này đã sử dụng hàm chảy trong chương 2 để phân tích các

đặc trưng ứng xử của vật liệu trong trường hợp kéo đơn trục có tính tới biến cứng đẳng hướng của vật liệu theo quy luật hàm mũ Các đặc trưng được phân tích gồm có: ứng suất chảy đơn trục mô đun đàn hồi và đường quan hệ ứng suất biến dạng Từ các kết quả này, hàm chảy được tìm trong chương 2 đã được chuyển về dạng hàm phụ thuộc ứng suất chảy đơn trục của chính bản thân vật liệu xốp dẻo Ngoài ra dựa vào đặc trưng biến dạng đơn trục đề tài đã tính lượng tăng biến dạng của lổ hổng trên phương kéo Các kết quả trên được đã được kiểm tra với kết quả mô phỏng phần tử hữu hạn bằng phần mềm ANSYS

2 Về phương pháp nghiên cứu, độ tin cậy của các số liệu

Luận văn đã dựa vào việc phân tích các hàm chảy để tìm các đặc trưng về mặt toán học cũng như các đặc trưng hình học của mặt chảy khi biểu diễn trong không gian ứng suất chính để tìm hàm chảy như là hàm của các ứng suất chảy đặc biệt chứ không tìm trực tiếp như là hàm của độ xốp như các hàm trước đây Các kết quả về hàm chảy cũng như việc áp dụng hàm chảy để phân tích các đặc trưng kéo đơn trục của vật liệu đã cho kết quả phù hợp với kết quả phần tử hữu hạn của phần mềm ANSYS và các mô hình trước đây Tác giả cũng đã nghiên cứu và nắm vững quy

3 Về kết quả khoa học của luận văn

Kết quả hàm chảy tìm được với các ứng suất chảy đặc biệt được sử dụng như là những tham số cho thấy rằng các ứng suất chảy đặc biệt này có thể được tìm 1 cách độc lập với dạng hàm chảy Như vậy đối với các dạng mô hình vật liệu khác ta có thể sử dụng các ứng suất chảy đặc biệt có dạng khác với dạng trong đề tài cũng như sử dụng các dạng mặt cong khác, nhưng vẫn có thể thực hiện theo các bước như trong đề tài này

4 Về kết quả thực tiễn của luận văn

Hàm chảy giúp ta tính được điểm chảy ban đầu của vật liệu xốp dẻo tùy thuộc vào độ xốp ban đầu của vật liệu và độ cao trục của tải Đồng thời hàm chảy giúp ta dự đoán được đường quan hệ ứng suất biến dạng của vật liệu xốp dẻo với giả thuyết vật liệu xốp dẻo sẽ biến cứng theo ảnh hưởng của tham số ứng suất chảy của vật liệu mạng nằm trong hàm chảy của vật liệu xốp dẻo

5 Những thiếu sót & vấn đề cần làm rõ

Luận văn chỉ quan tâm tới mặt chảy ban đầu của vật liệu khi lổ lổng là dạng hình cầu, chưa quan tâm đến quá trình lổ hổng thay đổi hình dáng và kích thước trong quá trình vật liệu biến dạng

Luận văn cần kết hợp với các lý thuyết về tăng trường lổ hổng cũng như liên kết lổ hổng và nứt dẻo để có thể dự đoán đầy đủ ứng xử của vật liệu cho đến khi phá hủy

Với các kết quả đạt được, người thực hiện luận văn đã chứng tỏ có hiểu biết khá tốt về lý thuyết cơ học và sử dụng phần mềm phân tích kết cấu thương mại tốt Luận văn đã đáp ứng được các nhiệm vụ cơ bản đã được đặt ra cho đề tài, các yêu cầu đối với một luận văn thạc sĩ và xứng đáng được bảo vệ trước Hội đồng

Điểm đánh giá: /10 điểm

Ngày 08 tháng 12 năm 2014

Người nhận xét

PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô và bạn bè đang công tác và học tập đại bộ môn Cơ Kỹ Thuật trường Đại Học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh, chính sự giúp đỡ và hỗ trợ nhiệt tình của quý thầy cô và bạn bè trong thời gian qua đã giúp tôi giải quyết được nhiều vấn đề khó khăn trong lúc thực hiện luận văn này Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Trương Tích Thiện là thầy hướng dẫn luận văn của tôi, những kiến thức thầy đã truyền đạt trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn luận văn chính là nền tảng khoa học vững chắc để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Luận văn này được thực hiện với sự động viên to lớn và những điều kiện thuận lợi nhất mà gia đình đã dành cho tôi

Luận văn này phân tích sự mềm hóa cơ học của vật liệu xốp dẻo khi độ xốp liệu tăng lên Vật liệu xốp dẻo ở đây được mô hình hóa dưới dạng vật liệu von Mises đẳng hướng chứa các lỗ hổng hình cầu phân bố đều 3 chiều, các ảnh hưởng của hình dáng lổ hổng cũng như sự nứt dẻo và liên kết các lổ hổng gần nhau đều được bỏ qua Cùng với sự tăng độ xốp, tức là tăng tỉ lệ thể tích của các lổ hổng so với thể tích toàn bộ vật liệu, sẽ làm biến đổi hàm chảy từ dạng hàm von Mises thành hàm phụ thuộc vào độ xốp và ứng suất thủy tĩnh, hàm này thể hiện sự mềm hóa của vật liệu bằng việc làm giảm giá trị ứng suất chảy Trong luận văn này trước tiên ta sẽ đi tìm hàm chảy của vật liệu xốp dẻo, tuy nhiên ta không tìm trực tiếp hàm chảy như là hàm phụ thuộc độ xốp và ứng suất thủy tĩnh, mà ta sẽ tìm hàm chảy phục thuộc vào 2 ứng suất chảy đặc biệt khi tải thuần túy ứng suất lệch và khi tải thuần túy thủy tĩnh Sau đó dùng hàm chảy tìm được ta sẽ phân tích ứng xử của vật liệu trong trường hợp tải đơn trục và sự tăng bán kính lổ hổng trên phương kéo đơn trục

ABSTRACT

This thesis investigates the softening effect caused by the increasing of its porosity in porous ductile material The porous ductile material is modeled as an isotropic von Mises matrix contains 3d periodically arrayed spherical voids, the effects of void shape, ductile fracture and void coalescence are not included With the increasing of porosity, the von Mises yield function of matrix material will transform into a yield function influenced by the porosity and hydrostatic pressure where the softening effect is represented by the reduction of the yield stress In this thesis, first the yield function is formulated, not as function of porosity and hydrostatic pressure, but as function of 2 special yield stresses that are the yield tresses in the cases of pure deviatoric and pure hydrostatic loadings, then the above yield function will be used to predict the behavior of the material under uniaxial loadings condition and the increasing of void radius in the direction of uniaxial tension

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu và kết quả nêu trong luận văn này là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

MỞ ĐẦU……….………1

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu……….…2

1.2 Lý thuyết dẻo……… …2

1.2.1 Không gian ứng suất chính……… …2

1.2.2 Tiêu chẩn chảy chảy von Mises………4

2.2.1.Các ứng suất chảy đặc biệt……… 17

2.2.2.1 Ứng suất chảy trường hợp tải thuần túy ứng suất lệch………18

2.2.2.2 Ứng suất chảy trường hợp tải thuần túy thủy tĩnh……… …19

2.2.2.3 Đặc điểm chung của các suất chảy đặc biệt……….…22

2.3 Mô hình vật liệu có lỗ hổng phân bố đều 3 chiều……… …25

2.3.1 Mô hình vật liệu……… …25

2.3.2.Ứng suất chảy thuần túy ứng suất lệch………28

2.3.3.Ứng suất chảy thuần túy thủy tĩnh……… …30

2.3.4 So sánh với kết quả phần tử hữu hạn……… …32

2.4 Hàm chảy……… ……35

2.5 Kết luận chương……….……51

3.2 Các đặc tính kéo đơn trục……… …52

3.2.1 Ứng suất chảy đơn trục……… ……52

3.2.2 Mô đun đàn hồi……… …54

3.2.3 Quan hệ ứng suất - biến dạng……… …57

3.3 Hàm chảy sử dụng ứng suất chảy đơn trục………61

3.4 Tăng trưởng bán kính lỗ hổng trên phương kéo đơn trục……… 64

3.5 Kết luận……… ………69

TỔNG KẾT……… ……70

MỞ ĐẦU

Thông thường khi khảo sát các đặc tính biến dạng cơ học của kim loại, vật liệu được giả thuyết như là không phụ thộc vào ứng suất thủy tĩnh Khi đó các đặc tính ứng suất - biến dạng của vật liệu thường được phân tích bằng hàm chảy von Mises Trong thực tế, khi vật liệu kim loại trải qua quá trình gia công chế tạo có biến dạng dẻo lớn thì bên trong vật liệu sẽ xuất hiện các lổ hổng chủ yếu là do các tạp chất tồn tại trong kim loại gây ra Dù kích các lổ hổng là không lớn nhưng lúc này bản chất của kim loại đã trở thành dạng vật liệu xốp và phải được phân tích như là một loại vật liệu xốp dẻo

Trong các nghiên cứu trước đây về vật liệu xốp dẻo, đặc tính biến dạng cơ học của vật liệu được phân tích thông qua việc xây dựng các dạng hàm chảy phụ thuộc vào độ xốp và ứng suất thủy tĩnh Hàm chảy dạng này thể hiện 2 tính chất của vật liệu xốp dẻo là mềm hóa do các lổ hổng tồn tại trong vật liệu và phụ thuộc vào ứng suất thủy tĩnh Đồng thời khi sử dụng hàm chảy kết hợp với các kết quả về tăng trưởng độ xốp, kích thước lổ hổng và nứt dẻo giúp ta có thể phân tích đầy đủ quá trình biến dạng và phá hủy của vật liệu xốp dẻo

Với tầm quan trọng đó của hàm chảy, trong đề tài này ta sẽ đi tìm hàm chảy cho vật liệu xốp dẻo với mô hình là khối vật liệu von Mises lập phương chứa các lỗ hổng hình cầu phân bố đều 3 chiều Ở đây thay vì đi tìm trực tiếp hàm chảy như là hàm phụ thuộc độ xốp và ứng suất thủy tĩnh, hàm chảy sẽ được phân tích như là hàm của 2 ứng suất chảy đặc biệt là ứng suất chảy trong trường hợp tải thuần túy ứng suất lệch và thuần túy thủy tĩnh Từ 2 ứng suất chảy này ta sẽ tìm hàm chảy dựa vào các đặc tính hình học của mặt chảy khi biểu diễn trong không gian ứng suất chính Sau đó dùng hàm chảy tìm được ta sẽ phân tích ứng xử của vật liệu trong trường hợp kéo trục và sự tăng bán kính lổ hổng trên phương kéo đơn trục Trong đề tải này ta bỏ qua các ảnh hưởng nứt dẻo và sát nhập lổ hổng khi xem xét quá trình biến dạng của vật liệu xốp dẻo

Chương I: TỔNG QUAN

1.1 Giới thiệu

Trong chương này trước khi giới thiệu sơ lược các mô hình lý thuyết về vật liệu xốp dẻo ta sẽ tóm tắt một số vấn đề cơ bản về lý thuyết dẻo của vật liệu mạng không có độ xốp Vật liệu mạng được quan tâm ở đây là loại vật liệu von Mises đẳng hướng, các lý thuyết về hàm chảy von Mises và biểu diễn hàm chảy trong không gian ứng suất chính sẽ được trình bày trong phần đầu chương này Tiếp theo đó các mô hình hàm chảy của vật liệu xốp dẻo đã có sẽ được phân tích sơ lược để ta có thể thấy được sự khác biệt của chúng, từ các đặc điểm này trong chương tiếp theo ta sẽ áp dụng chúng để xác định hàm chảy

1.2 Lý thuyết dẻo 1.2.1 Không gian ứng suất chính

Với mỗi trạng thái ứng suất chính (σ1, σ2, σ3) ta có thể biễn trên 1 hệ trục tọa độ Decartes Oσ1σ2σ3 như là 1 vector có dạng OS = (σ, σ , σ) Hệ trục tọa độ này có 3 trục tọa độ tương ứng với 3 thành phần ứng suất chính được gọi là không gian ứng suất suất chính

Trạng thái ứng suất OS có thể phân tích thành 2 thành phần:

OS = OP + OD Trong đó OP là thành phần nằm trên trục h là trục đi qua gốc tọa độ O và có vector chỉ phương đơn vị là n = ( √ ,√ ,√) và OD là vector vuông góc với OP và OS tại O như được biểu diễn trong hình 1.1

Độ dài của OP được xác định bằng cách xem OP là hình chiếu của OS lên trục h

OP = OS. n OP = 1

√3(σ+ σ + σ) = √3p Với p là thành phần ứng suất thủy tĩnh:

p =σ+ σ3 + σ

Như vậy ta xác định được vector OP :

OP = (p, p, p) Vì các thành phần của OP là ứng suất thủy tĩnh p nên phương của của OP tức là trục h còn được gọi là trục thủy tĩnh

Và OD được tính như sau:

O σ1

σ2

σ3

h S

P D

Mặt phẳng lệch

Hình 1.1 – Không gian ứng suất chính

OD = OS − OP = (σ− p, σ − p, σ− p) Ta thấy OD thể hiện thành phần ứng suất lệch si:

OD = (σ− p, σ − p, σ− p) = (s, s , s) Vậy độ lớn của OD có thể tính như sau:

OD = (s) + (s ) + (s) = 2JVì các thành phần của OD là thành phần ứng suất lệch nên mặt phẳng chứa OD và vuông góc trục thủy tĩnh h được gọi là mặt phẳng lệch

Như vậy với mỗi vector trạng thái ứng suất trong không gian ứng suất chính ta có thể phân tích thành 2 thành phần gồn vector biểu diễn thành phần ứng suất thủy tĩnh nằm trên trục thủy tĩnh và vector biểu diễn thành phần ứng suất lệch nằm trên mặt phẳng lệch là mặt phẳng vuông góc với trục thủy tĩnh

1.2.2 Tiêu chẩn chảy chảy von Mises

Tiêu chuẩn chảy von Mises: Chảy khi bất biến J đạt giá trị tới hạn bằng thường

được biểu diễn toán học:

J = k J2 là bất biến thứ 2 của tensor ứng suất lệch:

J =16(σ− σ ) + (σ − σ) + (σ− σ)

Gọi σ! là ứng suất chảy đơn trục của vật liệu, khi đó hàm chảy von Mises có thể

viết dưới dạng:

(σ− σ ) + (σ − σ) + (σ− σ) = 2(σ!)Tiêu chuẩn chảy von Mises lúc này được biểu diễn trong không gian ứng suất chính có dạng 1 mặt trụ tròn có bán kính bằng 2/3σ! như trong hình 1.2

Và trong trường hợp tải 2 trục sẽ được biểu diễn dưới dạng 1 đường ellipse có tâm tại gốc tọa độ và các bán trục nằm xiên 45o so với các trục chính như trong hình 1.3 Hàm chảy von Mises 2 trục có dạng:

(σ) + (σ ) − σσ = (σ!)Hình 1.2 - Mặt chảy von Mises 3 trục

Mặt phẳng lệch O

σ2σo

σo-σo

-σo

Ta gọi σ#là ứng suất tương đương von Mises:

σ# = $32 s%&s%& = $12(σ− σ ) + (σ − σ) + (σ− σ) Khi đó hàm chảy von Mises được viết dưới dạng ứng suất tương đương như sau:

σ# = σ!

1.2.3 Biến cứng đẳng hướng

Ở đây ta chỉ xem xét trường hợp biến cứng đẳng hướng, tức là khi biểu biễn bề mặt chảy chỉ thay đổi kích thước chứ không thay đổi hình dạng hay di chuyển Từ mặt chảy von Mises ban đầu:

σ# = σ!Khi biến cứng sẽ trở thành:

σ# = φ(ε#) > σ!Ta thấy rằng trong quá trình biến cứng mặt trụ von Mises trong không gian ứng suất chính sẽ chỉ tăng kích thước bán kính và hình ellipse von Mises trong trường hợp tải 2 trục cũng sẽ tăng kích thước bán trục nhưng vẫn đồng dạng với hình ellipse ban đầu như minh họa trong hình 1.4

σ2

O

Ban đầu Biến cứng

Hình 1.4 - Biến cứng đẳng hướng

Để xác định hàm φ ta cần phải dựa vào quan hệ ứng suất biến dạng đơn trục và 2 thông số: ứng suất tương đương và biến dạng tương đương Ta định nghĩa biến dạng tương đương ε# tương tự như ứng suất tương đương σ#:

σ# = ((3/2)s%&s%& dε# = (Cdε%&dε%&Với C là hệ số cần tìm, ta tìm C thông qua trường hợp tải đơn trục và giả thiết vật liệu không nén được và đẳng hướng, khi tải trên phương σ1 ta có:

,dε + dε + dε = 0dε = dε →/ dε = dε = −dε2→ dε# = (Cdε%&dε%& = $C13 02 132 dε2 3 = $C32 dε

Vậy để có thể đảm bảo rằng quan hệ ứng suất biến dạng tương đương tổng quát sẽ trở thành quan hệ ứng suất biến dạng đơn trục trong trường hợp tải đơn trục thì lúc này trong biến dạng đương đương phải đúng bằng biến dạng đơn trục trên phương chịu tải:

dε# = $C32 dε = dε → C =23 → dε# = $23 4dε%&dε%&5 Khi đã có ứng suất tương đương σ# và biến dạng tương đương ε#, ta giả định mối

quan hệ σ#− ε# có dạng hàm tương tự như trong trường hợp tải đơn trục tức là hàm φ trong:

σ# = φ(ε#) cũng chính là hàm quan hệ ứng suất - biến dạng trong trường hợp tải đơn trục với ứng suất tương đương thay cho ứng suất tải đơn trục và biến dạng tương đương thay cho biến dạng trên phương chịu tải

Thông thường quan hệ ứng suất - biến dạng đơn trục thực nghiệm được giả định có dạng hàm phụ thuộc biến dạng tổng ε và các hằng số vật liệu k%:

σ = φ(ε, k%)

Các hằng số k% được tìm dựa theo kết quả thực nghiệm sao cho hàm φ phù hợp nhất với kết quả thực nghiệm trong vùng biến dạng dẻo, còn trong vùng đàn hồi quan hệ ứng suất biến dạng vẫn tuân theo định luật Hooke như minh họa trong hình 1.4

Nghiên cứu được sử dụng rông rải nhất là nghiên cứu của Gurson [3] vì đưa ra được hàm chảy cho mô hình lổ hổng đơn độc hình trụ tròn và hình cầu chứa trong phân tố vật liệu von Mises đẳng hướng dẻo lý tưởng, các mô hình vật liệu này có hình dạng như minh họa trong hình 1.5

σ!

ε σ

σ = Eε

σ = φ(ε)

Hình 1.4 – Quan hệ ứng suất biến dạng đơn trục

Trong đó hàm chảy Gurson gần đúng cho mô hình lổ hổng hình cầu có dạng:

1σσ#

!2 + 2fcosh 12σ3p

!2 − 1 − f = 0 (1.1) với σ! là ứng suất chảy của vật liệu mạng, trong trường hợp vật liệu mạng biến cứng đẳng hướng σ! được xem như hàm theo biến dạng

σ# và p lần lượt là thành phần ứng suất tương đương và ứng suất thủy tĩnh của tải:

Hình 1.5 – Mô hình lổ hổng đơn độc hình trụ tròn và hình cầu Gurson

lổ hổng vật liệu

σ1

σ3σ2

lổ hổng vật liệu

σ1

σ2

σ3

Vì mặt chảy này có dạng mặt tròn xoay đối xứng quanh trục thủy tĩnh h nên ta có thể biểu diễn thông quan hệ σe-p Để tiện lợi khi biểu diễn, quan hệ σe - p được thay bằng quan hệ ?@

?A−?B

A với cùng ý nghĩa như trong hình 1.7 Khi độ xốp bằng 0, vật liệu có ứng xử giống như vật liệu mạng dạng von Mises và khi độ xố tăng dần lên thì vật liệu bị mềm hóa và mất dần khả năng chịu tải nên mặt mặt giảm dần về gốc tọa độ khi độ xốp tăng dần tới 1 tức là khi không còn vật liệu mạng

00.20.40.60.81

σe/σo

p/σof = 0.05

Gurson

σ1

σ2

σ3h mặt phẳng lệch

σ1

σ3σ2

Dựa trên kết quả mô phỏng số cho thấy mô hình Gurson chỉ cho kết quả đúng với các độ xốp nhỏ và mô hình lý tưởng lổ hổng hình cầu trong phân tố vật liệu hình cầu, Tvergaard [4], [5] điều chỉnh hàm chảy Gurson 1.1 cho mô hình lổ hổng tròn phân bố đều 2 chiều như hình 1.8a và lổ hổng cầu phân bố đều dọc theo thanh trụ tròn như hình 1.8b:

Hàm điều chỉnh Tvergaard có dạng:

1σσ#

!2 + 2qfcosh 13q2σp

! 2 − 1 − (qf) = 0 (1.2) Các kết quả từ [4] và [5] đề nghị q1 = 1.5 và q2 = 1 để có kết quả phù hợp với mô phỏng số cho các mô hình nêu trên Ta thấy hàm (1.1) chính là hàm (1.2) với các hệ số q1 = q2 = 1 Một số tác giả cũng thực hiện tương tự với q2 = 1 và các kết quả q1như sau: Koplik và Needleman [6] với q1 = 1.25, Perrin và Leblond [7] với q1 = 1.47 Ngoài ra các tác giả như Mear - Hutchinson [8], Dũng [9], Leblond [10], Thiện [11] cũng sử dụng dạng (1.2) nhưng có kể đến đặc tính biến cứng của vật liệu mạng

Hình 1.8 – Mô hình lổ hổng của Tvergaard [4] và [5] σ1

Perrin - Leblond [7] cũng nhận xét dựa theo kết quả thực nghiệm của Hancock [12] và Becker [13] rằng q1 trong khoảng 1.5 tới 2 Có thể thấy các giá trị dựa vào mô phỏng số nhỏ hơn thực nghiệm do không kể đầy đủ ảnh hưởng của việc hình thành lổ hổng mới cũng như sát nhập lổ hổng

Ngoài dạng hàm cosh như đã nêu trên còn có dạng hàm hàm chảy thể hiện quan hệ σe - p hàm đa thức dạng đường ellipse như của Guennouni - Francois [14], dù hàm chảy của các tác giả này cho kết quả phù hợp với kết quả số hơn hàm chảy Gurson nhưng dạng hàm giải tích lại rất phức tạp Ngoài ra các tác giả Perrin và Leblond [7] cũng đề nghị dùng dạng hàm gần đúng được đề nghị từ Gurson [3] với dạng:

A(σ#) + B(p) − 1 = 0 (1.3) với A và B là các hàm theo độ xốp f Tuy nhiên việc tìm trực tiếp các hàm A và B dẫn đến các kết quả phức tạp nên các tác giả đền nghị tìm A và B sao cho (1.3) có kết quả phù hợp với (1.2)

Các kết quả đáng chú ý khác của của tác giả Castaneda [15] sử dụng phương pháp được đề nghị bởi Talbot và Willis [16] và các kết quả có dạng tương tự [15] của Willis [17], Talbot và Willis [18], Haghi - Anand [19] như đã được phân tích bởi Leblond [20] Kết quả từ [15] thể hiện ở (1.4) cũng có quan hệ σe - p là hàm đa thức dạng tương tự như (1.3):

Từ các hàm chảy trên, các tác giả đưa ra giả thuyết rằng vì bản thân vật liệu mạng là vật liệu không nén được nên lượng thể tích vật liệu mạng là không thay đổi trong quá trình biến dạng, như vậy lượng thể tích toàn bộ vật liệu xốp dẻo tăng thêm chính là lượng thể tích lổ hổng tăng thêm Giả thuyết này giúp dự đoán lượng tăng độ xốp trong quá trình biến dạng qua đó giúp dự đoán sự phá hủy vật liệu do nứt dẻo khi độ xốp tăng tới một gía trị nhất định Các tác giả sử dụng mô hình này này để dự đoán nứt dẻo bằng cách xem độ xốp là hàm tăng theo biến dạng làm vật liệu giảm dần khả năng chịu tải trong quá trình biến dạng như Tvergaard – Needleman [21], Becker – Needleman [22], Zhang [23], Liang Xue [24], Nahshon – Hutchinson [25]

Ngoài ra nhiều tác giả cũng nghiên cứu ảnh hưởng của hình dáng lổ hổng như Gologanu - Leblond – Devaux [26], Danas [27] và ảnh hưởng của tính chất bất đẳng hướng của vật liệu mạng như Wang [28], Monchiet [29] Các kết quả trên cho thấy lúc này mặt chảy không còn dạng tròn xoay quanh trục thủy tĩnh mà có hình dạng lệch đi tùy thuộc vào hình dáng lổ hổng và sự bất đẳng hướng của vật liệu mạng

00.20.40.60.81

GursonTvergaard, q1=1.5Ponte Castaneda

σe/σo

p/σovon Mises

f = 0.05

Hình 1.9 - So sánh các mặt chẳy dạng với độ xốp 0.05A

B

1.4 Kết luận chương

Qua chương mở đầu này ta đã gới thiệu các mô hình vật liệu xốp dẻo với hàm chảy là hàm phụ thuộc vào độ xốp vật liệu và ứng suất thủy tĩnh của tải Các hàm của mô hình lổ hổng hình cầu biểu diển trên không gian ứng suất chính có dạng mặt trơn đối xứng quanh trục thủy tĩnh Khi độ xốp tăng dần từ 0 thì hàm chảy sẻ thay đổi dần từ mặt chảy von Mises của chính vật liệu mạng giảm dần về gốc tọa độ So sách các mô hình này ta thấy khác biết lớn nhất chính là 2 điểm chảy khi tải là thuần túy ứng suất lệch và thuần túy thủy tĩnh Như vậy ta thấy mấu chốt của hàm chảy vật liệu xốp dẻo chính là xác định 2 điểm chảy vừa nêu trên và xác định mối quan hệ giữ chúng Mối quan hệ này chính là hàm chảy của vật liệu xốp dẻo cần tìm

Trong chương tiếp theo ta sẽ phân tích cụ thể hơn các hàm chảy đã có như đã nêu ở trên để tìm các ứng suất chảy đặc biệt này của chúng, từ đó ta sẽ áp dụng vào việc tìm các ứng suất chảy đặc biệt cho mô hình vật liệu có các lổ hổng phân bố đều 3 chiều Sau đó ta sẽ dựa vào các đặc điểm hình học của mặt chảy để xác định hàm chảy cho vật liệu xốp dẻo thông qua các ứng suất chảy đặc biệt mà ta tìm được

Chương II: HÀM CHẢY CỦA VẬT LIỆU XỐP DẺO

2.1 Giới thiệu

Trong chương này ta sẽ tìm hàm chảy bằng cách xem hàm chảy là hàm của 2 ứng suất chảy đặc biệt là ứng suất chảy trong trường hợp tải thuần túy ứng suất lệch và trường hợp thuần túy ứng suất thủy tĩnh, cách phân tích này giúp ta tìm hàm chảy thuận lợi hơn so với việc tìm hàm chảy trực tiếp như là hàm phụ thuộc vào độ xốp vật liệu Ta sẽ bắt đầu bằng việc phân tích các hàm chảy đã có qua đó ta sẽ tìm dạng chung của các hàm chảy này cũng như tìm dạng chung của các ứng suất chảy đặc biệt nêu trên Từ đó ta sẽ áp dụng vào mô hình vật liệu mạng von Mises đẳng hướng dẻo lý tưởng chứa các lổ hổng hình cầu phân bố đều 3 chiều để tìm 2 ứng suất chảy đặc biệt của mô hình này Từ đây ta sẽ dùng chúng như là 2 tham số để tìm hàm chảy thông qua việc xác dịnh dạng hình học của mặt chảy trên không gian ứng suất chính Ở đây ta không xét tới các ảnh hưởng của sự sát nhập lổ hổng và nứt dẻo

2.2 Mô hình chung của các hàm chảy trước đây 2.2.1 Mô hình chung

Dạng chung của các mô hình vật liệu xốpdẻo như đã giới thiệu trong chương 1 từ (1.1) tới (1.4) là đi hàm mô tả ảnh hưởng của ứng suất thủy tỉnh và độ xốp lên ứng suất chảy của vật liệu, thay vì phânt tích đồng thời ảnh hưởng đồng thời của độ xốp và ứng suất thủy tĩnh, ta có thể phân tích riêng biệt ảnh hưởng của chúng như sau: Vât liệu mạng ban đầu là vật liệu von Mises không có độ xốp thì hàm chảy chỉ phụ thuộc vào ứng suất tương đương σ
của tải và ứng suất chảy σ của vật liệu:

σ
= σKhi chỉ xét đến ảnh hưởng độ xốp và không xét tới ảnh hưởng của ứng suất thủy

tĩnh thì lúc này hàm chảy có dạng:

σ
= gf, σ ≤ σ 2.1 Hàm này thể hiện sự mềm hóa vật liệu xốp so với vật liệu mạng không xốp do ảnh hưởng của các lỗ hổng tồn tại trong vật liệu

Và khi xét thêm ảnh hưởng của thành phần ứng suất thủy tĩnh p của tải thì hàm chảy có dạng:

σ
= gf, σ − hf, p ≤ gf, σ 2.2 hàm này thể hiện rằng vật liệu xốp dẻo là vật liệu phụ thuộc ứng suất thủy tĩnh, ứng suất thủy tĩnh làm giảm ứng suất chảy tương đương của vật liệu

Thực tế là ta có thể chuyển các tất cả các hàm chảy từ (1.1) tới (1.4) về dạng tương tự như (2.2) với quan hệ σe – p dạng đường cong, ví dụ như:

1.2 : σσ

+ 2qfcosh 3q2σp

  − 1 − qf  = 0 → σ
 = 1 + qf σ − 2σ qfcosh 3q2σp

 

1.4 : 1 +23 f σσ

+94 f σp

− 1 − f  = 0 → σ
 = 1 − f 

"1 + 23f#σ

94 f"1 + 23f#p



Từ (2.2) ta nhận thấy sự tồn tại của 2 nghiệm đặc biệt σ
và p của (2.2) có dạng:

$%&%'(σp = 0
= σ
 = gf, σ )

(σp = p
= 0  = pf, σ

 )) 2.3

Gọi tên các nghiệm trong (2.3) này lần lượt là: - σ
: ứng suất chảy tương đương trong trường hợp tải thuần túy ứng suất

lệch, tức là khi tải có thành phần thủy tĩnh p = 0 - p: ứng suất chảy trong trường hợp tải thuần túy thủy tĩnh, tức là khi tải có

thành phần ứng suất tương đương σ
= 0

Như vậy ta có thể viết lại hàm chảy (2.2) như là hàm của σ
 và pdưới dạng:

F+σ
, p, σ
, p, = 0 2.4 Từ đây ra thấy rằng để tìm được hàm chảy dạng (2.4) ta cần phải xác định được σ
và p sau đó tìm mối quan hệ của chúng với các thành phần ứng suất tương đương σ
và ứng suất thủy tĩnh p của tải

Ở phần tiếp theo ta sẽ phân tích ứng suất chảy đặc biệt σ
 và p của các hàm chảy đã giới thiệu để tìm các đặc điểm chung của chúng để từ đó có thể áp dụng vào mô hình vào mô hình vật liệu mà ta đang khảo sát

2.2.2 Các ứng suất chảy đặc biệt

Các mô hình màm chảy hàm chảy từ (1.1) tới (1.4) như đã giới thiệu đều có thể phân tích để tìm các ứng suất chảy σ
 và p bằng cách lần lượt thay các trường hợp tải p = 0 và σ
= 0 trực tiếp vào hàm chảy Các hàm chảy đã nên mặc dù cho các kết quả có dạng khác nhau nhưng đều thể hiện σ
 và p như là các hàm của độ xốp f và ứng suất chảy của vật liệu mạng là σo, ở đây ta xét dạng hàm tổng quát được sử dụng rộng rãi là hàm chảy dạng (1.2) với q2 = 1:

σσ

+ 2qfcosh 2σ3p

 − 1 − qf  = 0 ↔ σσ

 = 1 + qf − 2qfcosh 2σ3p

 2.5

Để tiện lợi cho việc tính toán thay vì khảo sát trực tiếp σ
 và p ta sẽ khảo sát các tỉ số của chúng với ứng suất chảy của vật liệu mạng là σ01

σ1 và 21

σ1 với ý nghĩa hoàn tòa tương tự

2.2.2.1 Ứng suất chảy trường hợp tải thuần túy ứng suất lệch

Để tìm ứng suất chảy tương đương khi tải thuần túy ứng suất lệch σ
 ta thay điều kiện tải σ
= σ
 và p = 0 vào (2.5) ta có:

σσ

 = 1 + qf − 2qfcosh 2σ3p

 → σσ


 = 1 + qf − 2qf vì cosh0 = 1 → σσ


 = 1 − qf 

→σσ


 = |1 − qf| Để phù hợp với tính tính chất vật lý là khi độ xốp liên tục tăng thì độ cứng vật liệu liên tục giảm thì hàm σ01

σ1 phải là hàm liên tục giảm khi f tăng, như vậy σ01

σ1 phải có dạng:

σσ01

1 0 = 1
σσ01

1 "7

8# = 0
σσ01

1 f giảm trong 0 ≤ f ≤7

8

2.2.2.2 Ứng suất chảy trường hợp tải thuần túy thủy tĩnh

Tương tự như trên, để tìm ứng suất chảy thủy tĩnh p khi tải thuần túy thủy tĩnh ta thay điều kiện tải p = p và σ
= 0 vào (2.5), ta có:

σσ

 = 1 + qf − 2qfcosh 2σ3p

 → 1 + qf − 2qfcosh 3p2σ

 = 0 → cosh 3p2σ

 =1 + q2q f 

f→ 3p2σ

2qf ≥ 0 →1 + qf



2qf ≥ 1 (q1 là hệ số dương)

f σ


σ1

1/q1 O

Hình 2.1 - Biểu diễn σ01

σ1 = 1 − qf

f khi: f ≤q12

3 lnqf khi: f > q1

 )

Để đảm bảo tính liên tục giảm khi độ xốp f tăng thì hàm 21

σ1 phải có dạng:

pσ

 =23 ln q1

f với f ≤q1 2.7

Với dạng hàm logarithm như trên, biểu diển quan hệ 21

σ1 và f có dạng như minh họa trong hình 2.2:

Ta thấy được các đặc trưng toán học của hàm 21

σ1 như sau:

2σ1

10 → ∞
2σ1

1"7

8# = 0
2σ1

1f giảm trong 0 ≤ f ≤ 7

8

f p

σ

1/q1→∞

O Hình 2.2 - Biểu diễn 21

σ1 =Mln "7

8N#

Chú ý rằng với q = 1 thì 2σ1

1 trở thành:

pσ

 =23 ln 1fĐây chính là kết quả giải tích chính xác của Gurson [3] cho trường hợp lỗ 1 hổng hình cầu trong phân tố hình cầu vật liệu dẻo lý tưởng kết quả này cũng phù hợp với các phân tích trong [30], [31] và [32], tuy nhiên hàm này chỉ cho kết quả tốt với điều kiện là độ xốp nhỏ, trong trường hợp sử dụng q > 1 thì chỉ có kết quả tốt khi độ xốp tương đối lớn

2.2.2.3 Đặc điểm chung của các suất chảy đặc biệt

Ngoài hàm chảy đã phân tích ở trên, các hàm chảy đã giới thiệu cũng cho kết quả có dạng tương tự, ở đây ta phân tích hàm Castaneda (1.4) tương tự như trên với kết quả như sau:

σ = 1 − fO1 + 23fp

σ =1 − fO94f

1 fN = 0
σσ01

1 f giảm trong 0 ≤ f ≤ fN

2σ1

10 → ∞
2σ1

1fN = 0
2σ1

1f giảm trong 0 ≤ f ≤ fN

Trong đó ff là 1 giá trị độ xốp tới hạn mà tại đó vật liệu mất hoàn toàn khả năng chịu tải tức là σ01

σ1 và 21

σ1 đều bằng 0 Biểu diễn chính xác các hàm σ01

σ1 và 21

σ1 của các mô hình được thể hiện trong hình 2.3 và hình 2.4:

00.20.40.60.81

Gurson (q1=1)Tvergaard (q1=1.5)Ponte Castaneda

fσeo/σo

Hình 2.3 - So sánh các dạng hàm σeo/σo

012345

Gurson (q1=1)Tvergaard (q1=1.5)Ponte Castaneda

fpo/σo

→∞

Hình 2.4 - So sánh các dạng hàm σeo/σo

σ1 dạng tuyến tính và 21

σ1 dạng đường cong logarithm chỉ khác biệt ở giá trị ứng suất tới hạn tùy thuộc vào giá trị q1, trong khi hàm chảy dạng Castaneda (1.4) lại có σ01

σ1 và 21

σ1 dạng đường cong phân thức với giá trị độ xốp tới hạn tại f = 1 So sánh những đặc điểm này ta thấy rõ sự khác biệt lớn nhất là nằm ở việc xác định giá trị độ xốp tới hạn mà tại đó ta có σ01

σ1 và 21

σ1 bằng 0 tức là lúc vật liệu mất hết khả năng chịu tải

Từ các phân tích này, trong phần tiếp theo ta sẽ tìm σ01

σ1 và 21

σ1 bằng cách tìm giá trị độ xốp tới hạn mà tại đó vật liệu mất hết khả năng chịu tải, sau đó áp dụng các dạng hàm σ01

σ1 và 21

σ1 vừa phân tích mô tả sự giảm độ cứng vật liệu khi độ xốp tăng từ 0 tới độ xốp tới hạn

2.3 Mô hình vật liệu có lỗ hổng phân bố đều 3 chiều 2.3.1 Mô hình vật liệu

Mô hình vật liệu được sử dụng ở đây là mô hình lỗ hổng phân bố đều 3 chiều n × n × n trong 1 khối vật liệu hình lập phương với vật liệu mạng là von Mises đẳng hướng dẻo lý tưởng Như mô hình 1/8 khối vật liệu được minh họa trong hình 2.5a, ta có thể thấy ngay rằng nếu phân tích dưới dạng những phân tố vật liệu hình cầu như hình 2.5c thì sẽ không thể mô tả mô tả được toàn bộ thể tích vật liệu mạng, để tránh điều này ta phải phân tích vật liệu dưới dạng các phân tố vật liệu hình lập phương như hình 2.5b

Khi phân tích dưới dạng các phân tố hình lập phương ta thấy rằng độ xốp thể tích của toàn bộ khối vật liệu lúc này chính là độ xốp của từng phân tố lập phương, ta có thể chứng minh dễ dàng như sau: Giả sử khối vật liệu có n × n × n phân tố như hình 2.6, gọi v là thể tích của 1 phân tố vật liệu và vv là thể tích lổ hổng chứa trong phân tố đó, khi đó thể tích toàn bộ khố vật liệu là V = nMv và thể tích toàn bộ các lổ hổng trong khối vật liệu là VR = nMvR nên ta có độ xốp toàn khối vật liệu chính là độ xốp từng phân tố:

Hình 2.5 – Mô hình khối vật liệu lập phương với

các lổ hổng phân bố đều 3 chiều

f =VV =R nnMMvv =R vvR

Như vậy từ đây ta có thể tính độ xốp toàn khối vật liệu thông qua độ xốp từng phân tố Chú ý rằng khi đường kính lỗ hổng nhỏ hơn kích thước cạnh hình lập phương, tức là r ≤ 0.5a như hình 2.7a, thì độ xốp về mặt thể tích được tính thông qua tỉ số thể tích lổ hổng hình cầu và thể tích phân tố lập phương như sau:

f =vv =R 4πr3aMM

a r=0.5a

a r>0.5a

Hình 2.7 – So sánh kích thước lỗ hổng với phân tố

ve

Hình 2.6 – Mô hình phân tố vật liệu

Và khi đường kính lổ hổng lớn hơn kích thước cạnh hình lập phương tức là r > 0.5a thì bề mặt lổ hổng sẽ vượt ra khỏi phân tố như hình 2.7b và 2.7c, lúc đó để tính độ xốp thể tích, ta phải trừ bớt lượng thể tích lổ hổng vượt ra khỏi hình lập phương Độ xốp lúc này được tính bằng:

f =vR− 6vv
=

4πrM

3 − 6πh

3r − h 3aM

với v
và h là thể tích và chiều cao 1 chỏm cầu vượt ra ngoài phân tố:

v
=πh3r − h 3h = r − 0.5a Với cách xây dựng mô hình vậy ta thấy rằng khi kích thước lổ hổng đạt tới 1 giá trị nhất định thì toàn bộ vật liệu của phân tố sẽ bị cắt rời như hình 2.8, lúc này bán kính lỗ hổng là:

r = D"a2#+ "a2# ≈ 0.7a

a r≈0.7a

a/2

a/2

Hình 2.8 - Lỗ hổng cắt đứt phân tố vật liệu khi r ≈ 0.7a

Như vậy khác với giả thuyết khi sử dụng mô hình phân tố hình cầu là vật liệu chỉ mất khả năng chịu tải khi không còn vật liệu, ở đây ta thấy với mô hình lỗ hổng phân bố đều thì vật liệu sẽ mất khả năng chịu tải khi vẫn còn vật liệu vì lượng vật liệu này đã bị các lỗ hổng cắt rời, ở đây ta không xét tới các ảnh hưởng nứt dẻo và liên kết lổ hổng mà chỉ xét quan hệ thuần túy hình học trong phân bố các lổ hổng 3 chiều Dựa trên các phân tích này ở phần tiếp theo ta sẽ tìm giá trị độ xốp tới hạn cho các hàm σ01

σ1 và 21

σ1

2.3.2 Ứng suất chảy thuần túy ứng suất lệch

Nếu ta lấy giá trị độ xốp tới hạn chính xác khi bán kính lổ hổng đạt tới 0.7a thì ta thấy rằng đường hàm σ01

σ1 sẽ có dạng đường cong phân thức như trong hàm Castaneda (1.4) dựa theo kết quả mô phỏng số mà ta sẽ đưa ra trong các phần tiếp tiếp theo Để có thể dạng hàm đơn giản hơn ta đưa ra giả thuyết rằng tại các giá trị bán kính lổ hổng lân cận r = 0.7a thì ta có giá trị σ01

σ1 rất nhỏ nên ta xem như σ01

σ1 = 0 khi bán kính lổ hổng r < 0.7a, từ đây để tiện tính toán ta xem như bán kính lổ hổng này nằm giữ 0.5a ≤ r ≤ 0.7a, Ở đây ta sử dụng giá trị r = 0.6a và áp dụng dạng hàm tuyến tính của σ01

σ1 như minh họa trong hình 2.9 Khi đó độ xốp về mặt thể tích là:

f =vR− 6vv
=

4πrM

3 − 6πh

3r − h 3

trong đó h = r − 0.5a = 0.1a