Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Phương pháp sai phân cho phương trình Parabolic ngẫu nhiên

Tìm được kết quả mới về sự hội tụ và tính ổn định của phươngpháp sai phân cho phương trình parabolic ngẫu nhiên.. Giới thiệuChương này sẽ trình bày một số kiến thức thiết yếu về phương t

Phương trình đạo hàm riêng Parabolic

Phương trình truyền nhiệt là một phương trình khuếch tán mô tả mật độu của các đại lượng vật lớ như nhiệt, nồng độ húa chất,ã ã ã Chuyển động Brown được sử dụng để nghiên cứu phương trình truyền nhiệt Ta xem xét phương trình truyền nhiệt ở dạng thuần nhất u t (x, t) =u xx (x, t) và dạng không thuần nhất u t (x, t) = u xx (x, t) +f(x, t),với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu phù hợp Ở đây, t >0 và x ∈U, U ⊂R n là một tập mở, hàm cần tìm u: ¯U ×(0,∞)→R, u=u(x, t);f :U ×(0,∞)→R.

2 4t , (x∈R, t >0) 0, (x∈R, t ≤0), được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt Lưu ý, với mỗi t >0 thì

Xét bài toán Cauchy hay còn gọi là bài toán giá trị ban đầu.

Giả thiết g ∈C(R)∩L ∞ (R) và u được xác định trong (1.2) là nghiệm của (1.1) Khi đó

Xét bài toán Cauchy không thuần nhất.

Khi đó, nếu u(x, t)trong (1.4) là nghiệm của (1.3) thì (i) u∈C 1 2 (R×(0,∞)),

Ta điểm qua một số tính chất của nghiệm. Định lý 1.1.1 (Nguyên lí cực đại mạnh của phương trình truyền nhiệt).

Giả sử u∈C 1 2 (U T )∩C( ¯U T ) là nghiệm của phương trình truyền nhiệt trong U T

(ii) Nếu U là liên thông và tồn tại 1 điểm (x 0 , t 0 )∈U T sao cho u(x 0 , t 0 ) = max

U ¯ T u khi đó u là hằng số trong U¯ t 0 Ở đây (i) là nguyên lí cực đại; (ii) là nguyên lí cực đại mạnh của phương trình truyền nhiệt Những khẳng định trên vẫn đúng nếu ta thay maxbởi min.

Một ứng dụng quan trọng của nguyên lý cực đại là định lí duy nhất nghiệm. Định lý 1.1.2 Tính duy nhất trên miền giới nội.

Giả sử u ∈ C(U T ) Khi đó tồn tại không quá một nghiệm u ∈ C 1 2 (U T ∩C( ¯U T )) của bài toán biên giá trị đầu

 ut(x, t) =uxx(x, t) +f(x, t) trong UT u=g trên Γ T

Tiếp theo, ta sẽ giới thiệu nguyên lí cực đại dành cho bài toán Cauchy Do miền xác định của nghiệm là không giới nội nên ta phải xét đến dáng điệu của nghiệm khi

|x| đủ lớn. Định lý 1.1.3 Nguyên lí cực đại của bài toán Cauchy.

Giả sử u∈C 1 2 (R×(0, T])∩C(R×[0, T]) là nghiệm của bài toán Cauchy

 u t (x, t) = u xx (x, t) trong R×(0, T) u=g trên R× {t= 0}. và thỏa mãn điều kiện u(x, t)≤Ae ax 2 , x∈R×(0, T), với các hằng số A, a >0 Khi đó sup

Tiếp theo, ta sẽ đưa ra định lí duy nhất nghiệm dành cho bài toán Cauchy dựa trên nguyên lí cực đại vừa nêu. Định lý 1.1.4 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy.

Cho g ∈ C(R), f ∈ C(R ×[0, T]) Khi đó tồn tại không quá 1 nghiệm u ∈ C 1 2 (R×(0, T])∩C(R×[0, T]) của bài toán Cauchy

 u t (x, t) =u xx (x, t) +f(x, t) trong R×(0, T) u=g trên R× {t= 0}. thỏa mãn điều kiện bị chặn

|u(x, t)| ≤Ae ax 2 , x∈R,0≤t≤T,với các hằng số A, a >0.

Quá trình ngẫu nhiên và Quá trình Brown

Định nghĩa 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên.

Cho (Ω,F, P) là không gian xác suất Một bộ lọc là một họ {F t }t≥0 của các σ− đại số con tăng của F (nghĩa là F t ⊂ F s ⊂ F với mọi 0 ≤ t < s < ∞) Bộ lọc này được gọi là liên tục phải nếu F t =∩ s>t F s ,với mọi t ≥0 Nếu không gian xác suất là đầy đủ, bộ lọc này được gọi là tự nhiên nếu nó liên tục phải và F 0 chứa tất cả P− tập lồi.

Một họ {X t }t∈I của R d − giá trị các biến ngẫu nhiên được gọi là quá trình ngẫu nhiên với tham số tập hợp (hoặc chỉ số tập hợp)I và không gian trạng thái R d Lưu ý, tham số tập hợp I thường là nửa đường thẳng R + = [0,∞), nhưng nó cũng có thể là 1 khoảng [a, b].

Với mỗi t ∈I cố định, ta có biến ngẫu nhiên

Tiếp theo, ta đưa ra định nghĩa của quá trình Brown, đây là một trong những ví dụ tiêu biểu cho quá trình ngẫu nhiên Dưới giả định không gian xác suấtΩ,F, P, quá trình Brown có thể được xây dựng trên không gianΩ =C 0 (R+) các hàm thực liên tục trên R+ bắt đầu từ 0. Định nghĩa 1.2.2 Quá trình Brown Quá trình Brown chuẩn là một quá trình ngẫu nhiên (B t ) t∈ R + thỏa (i) B 0 = 0 hầu khắp nơi.

(ii) Quỹ đạo t7→B t là liên tục, với xác suất là 1.

(iii) Với hữu hạn cỏc dóy thời gian t0 < t1 0, x∈R u(0, x) =u 0 (x), x∈R, trong đó {W(t, x), t ≥ 0, x ∈ R} là một chuyển động Brown 2 chiều và các hệ số b, σ : [0,∞)×R×R→R là liên tục, phi tuyến Bài toán này là sự khái quát của các hiện tượng về quần thể sinh học, lý thuyết lượng tử, thống kê vật lí.

Một ví dụ cho cách tiếp cận dựa trên lý thuyết L p của Krylov như sau (xem [2]).

∂xu(0, t) = ∂x ∂ u(L, t) = 0, t >0 u(x,0) =u 0 (x), x∈[0, L], trong đó dW là nhiễu trắng với bộ lọc {F t }t≥0 và u 0 : [0, L]→ R là hàm không ngẫu nhiên, đo được, và là hàm bị chặn.

Cuối cùng, ta xét phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên đặc trưng cho cách tiếp cận bởi mô hình Martingale như sau (xem [3])

∂x 2 (t, x)−u(t, x) +g(u(t, x))dW(t, x),trong đó dW(x, t) là nhiễu trắng.

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên (PTĐHRNN)

đạo hàm riêng ngẫu nhiên (PTĐHRNN)

Trong mục này, ta trình bày ngắn gọn sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình đạo hàm riêng parabolic ngẫu nhiên Nội dung này được trình bày dựa theo [27] (định lí 5.3, trang 148). Đầu tiên, ta xét toán tử elliptic trong R n với mỗi t∈[0, T] như sau

∂x i +c(x, t)u (1.5) Khi đó phương trình parabolic tương ứng như sau

∂t =f(x, t) trong R n ×(0, T], (1.6) với điều kiện đầu u(x,0) =φ(x) trên R n (1.7)

Việc giải các bài toán (1.6), (1.7), với f, φ cho trước, được gọi là bài toán Cauchy.

Nghiệm này được hiểu là liên tục trongR n ×[0, T]và có các đạo hàm ∂u x i, ∂x ∂ 2 u i ∂x j, u t liên tục trong R n ×(0, T].

Tiếp theo, ta xét PTĐHRNN như trong mục 1.3 Khi đó, ta giả sử:

(A 1 ) Tồn tại hằng số dương àthỏa

(A 2 ) Các hàm a ij , b i bị chặn trong R n ×[0, T] và liên tục Lipschitz theo (x, t) trong các tập con compact trongR n ×[0, T] Các hàma ij là liên tục Holder theo x và liên tục đều theo(x, t) trong R n ×[0, T].

(A 3 ) Hàmc bị chặn trongR n ×[0, T] và liên tục Holder đều theo (x, t)trong các tập con compact củaR n ×[0, T].

Ta cũng giả sử: f(x, t) là liên tục trong R n ×[0, T], liên tục Holder theo x và liện tục đều theo (x, t)∈R n ×[0, T], và

|f(x, t)| ≤A(1 +|x| α ) trong R n ×[0, T], (1.8) φ(x) là liên tục trong R n và |φ(x)| ≤A(1 +|x| α ) (1.9) trong đó A, α là các hằng số dương.

Nếu các điều kiện(A 1 ),(A 2 ),(A 3 )được thỏa mãn, (1.8) và (1.9), thì tồn tại nghiệm duy nhấtu của bài toán Cauchy (1.6) (1.7) thỏa

|u(x, t)| ≤const(1 +|x| α ) (1.10) Định lý 1.4.1 Nếu các giả thiết (A1),(A2),(A3) được thỏa mãn, (1.8) và (1.9) thì nghiệm của bài toán Cauchy (1.6),(1.7) và (1.10) có dạng u(x, t) = E x,t φ(ξ(0)) exphZ T t c(ξ(s), s)dsi

Hơn nữa, việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm dành cho PTĐHRNN tựa tuyến tính đã được tìm thấy trong [21] bởi X Mao, I Gyongy và E Pardoux; J.G.Gaines(xem [27]); P.E.Kloeden, E Platen (xem [9]) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán PTĐHRNN phi tuyến đã được T Garrido chứng minh (xem [30]).

Khái niệm về sai phân và khai triển Taylor

Các khái niệm về sai phân và khai triển Taylor trong mục này được dựa trên [5].

Việc áp dụng các phương pháp của giải tích số để giải phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học với mục đích đưa ra nghiệm số một cách nhanh chóng và đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ này so với nghiệm giải tích (nếu có) Do đó, trong mục này, ta sẽ trình bày phương pháp đưa một PTĐHRNN về dạng bài toán rời rạc để xác định nghiệm. Đầu tiên, ta xét một miền phân hoạch đều cho miền [0, L], với bước không gian

∆x = 1/M với cỏc điểm chia lần lượt là x k , k = 0,ã ã ã , M, trong đú x k = k∆x, k 0,ã ã ã , M Tương tự, ta rời rạc húa thời gian bởi bước chiah = ∆t Như vậy, ta đó rời rạc hóa toàn bộ miền xác định của bài toán PTĐHRNN theo không gian và thời gian.

Tiếp theo, ta sẽ xấp xỉ nghiệm của bài toán PTĐHRNN tại các nút lưới Gọi u n k là hàm tại điểm (k∆x, nh) Khi dố u n k là xấp xỉ nghiệm u(k∆x, nh) của bài toán PTĐHRNN tại điểm(k∆x, nh).

Vì ut(t, x) = lim h→0 u(x, t+h)−u(x, t) h , nên u t (k∆x, nh) có thể được xấp xỉ bởi u n+1 k −u n k h Để tìm các xấp xỉ dành cho các đạo hàm theo biếnx u x (t, x), u xx (t, x)ta sử dụng khai triển Taylor u n+1 k =u(k∆x,(n+ 1)h) =u(k∆x, nh) + h

2!u tt (k∆x, nh) +ã ã ã Như vậy u n+1 k −u n k h ≈u t (k∆x, nh) Bởi cách tiếp cận như trên, ta đi xây dựng các xấp xỉ cho u x , u xx Ta có u n k+1 =u n k + ∆xu x (x k ) + 1

.được gọi là lược đồ sai phân trung tâm Tương tự, u x = u n k+1 −u n k

2 u xx ((k+α),∆x) được gọi là lược đồ sai phân tiến. u x = u n k −u n k−1

2 u xx ((k−α 0 ),∆x) được gọi là lược đồ sai phân lùi.

Mặt khác, ta cũng có u n k+1 =u n k + (∆x)u x + 1

Phương pháp sai phân nhấn mạnh đến việc xác định các hệ số, từ đó ta sẽ tìm được các xấp xỉ của các đạo hàm với bậc mong muốn Điều này chỉ ra rằng, ta không thể tìm được xấp xỉ u xx đến bậc 4 nếu chỉ sử dụng các điểm x=k∆x vàx= (k±1)∆x Như vậy, để xác định 1 xấp xỉ bậc 4 củauxx ta sẽ sử dụng các điểmx=k∆x,x= (k±1)∆x và x= (k±2)∆x.

Do đó, ta sẽ dùng phương pháp hệ số bất định để tìm các hệ số cho xấp xỉ của u xx như sau:

∆ 4 u k =c 1 uk−2+c 2 uk−1+c 3 u k +c 4 u k+1 +c 5 u k+2 , trong đú cỏc hệ số c 1 ,ã ã ãc 5 chưa biết Ta sử dụng khai triển ∆ 4 u k theo x = k∆x, x= (k±1)∆x và x= (k±2)∆x Khi đó, ta được: u xx (x, t)≈ 1

Một số định nghĩa cho tính vững, tính ổn định và hội tụ của sai phân ngẫu nhiên

và hội tụ của sai phân ngẫu nhiên

Sự hội tụ, tính vững và tính ổn định là các tính chất quan trọng cần quan tâm khi nghiên cứu lý thuyết tất định dành cho phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên Sự hội tụ là tính chất quan trọng nhất của xấp xỉ nghiệm bằng phương pháp sai phân; nghĩa là, nghiệm này xấp xỉ với nghiệm giải tích (nếu có) của PTĐHRNN Hơn nữa, nghiệm xấp xỉ bằng lược đồ sai phân sẽ tiến dần về nghiệm giải tích khi bước thời gian h và bước không gian ∆x tiến dần về 0 Ta sẽ giới thiệu các kí hiệu cần thiết cho việc định nghĩa các khái niệm Ta xét một phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên

Lv =G (1.12) trong đó L là toán tử khả vi vàG∈L 2 (R)không là thuần nhất Với lưới chia như đã nêu trong mục 1.5, ta định nghĩa xấp xỉ nghiệmu n k , yếu tố không thuần nhấtG n k thỏa

L n k u n k =G n k (1.13) vàL n k là xấ xỉ của toán tử L Khi đó, ta gọiu n k thỏa (1.13) và là một nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.12), trong đó n tương ứng với bước thời gian, k tương ứng với bước không gian Các định nghĩa sự hội tụ, tính vững và tính ổn định được trình bày dựa theo C Roth (xem [31]). Định nghĩa 1.6.1 Ta nói lược đồ sai phân (1.13) hội tụ theo nghĩa trung bình bình phương, nếu

∆x→0,h→0lim E||u n+1 −v n+1 || 2 = 0, trong đó u n+1 và v n+1 là các vectơ vô hạn chiều u n+1 ã ã ã , u n+1 k−2 , u n+1 k−1 , u n+1 k , u n+1 k+1 , u n+1 k+2 ,ã ã ãT và v n+1 ã ã ã , v k−2 n+1 , v n+1 k−1 , v k n+1 , v k+1 n+1 , v n+1 k+2 ,ã ã ãT

. Định nghĩa 1.6.2 Ta nói lược đồ sai phân (1.13) cho PTĐHRNN (1.12) là vững theo nghĩa trung bình bình phương tại điểm (x, t) nếu với mọi hàm khả vi liên tục Φ = Φ(x, t) bất kì thì

E||(LΦ−G)| n k −[L n k Φ(k∆x, nh)−G n k ]|| 2 →0, với bước chia ∆x cố định, h→0 , và (k∆x,(n+ 1)h)→(x, t). Định nghĩa 1.6.3 Ta nói lược đồ sai phân (1.13) được gọi là ổn định có điều kiện với chuẩn theo nghĩa trung bình bình phương nếu tồn tại các hằng số dương ∆x0, h0, các hằng số không âm K, β và 0≤t= (n+ 1)h thỏa

E||n n+1 || 2 ≤Ke βt E||u 0 || 2 , với mọi 0≤∆x≤∆x 0 và 0≤h≤h 0 Định nghĩa 1.6.4 Ta nói lược đồ sai phân (1.13) được gọi là ổn định không điều kiện khi

E||n n+1 || 2 ≤Ke βt E||u 0 || 2 ,với bước chia ∆x cố định, h→0 , và (k∆x,(n+ 1)h)→(x, t).

Một số bất đẳng thức

Bất đẳng thức Holder

LấyX là một R d −giá trị biến ngẫu nhiên Khi đó X cảm sinh ra một độ đo xác suất trên không gian đo được Borel(R d ,B d ), được định nghĩa bởi à X (B) = P{w:X(w)∈B}, B ∈ B d và à X được gọi là phõn phối của X Kỳ vọng củaX là

Tổng quát, nếu g :R d →R m là tập Borel đo được, thì ta có công thức chuyển sau

Với p ∈ (0,∞), đặt L p = L p (Ω, R d ) là họ R d −giá trị các biến ngẫu nhiên X với E|X| p < ∞ Trong L 1 , ta có |EX| ≤ E|X| Hơn nữa ta có bất đẳng thức sau Bất đẳng thức Holder

Bất đẳng thức Jensen

Lấy(Ω,F, P)là một không gian xác suất và đặt X : Ω→R d là biến ngẫu nhiên thỏa EX < ∞ Với σ− đại số H ⊂ F, xác suất của X dưới điều kiện H được kí hiệu là E[X|H] Định nghĩa cụ thể của E[X|H] như sau. Định nghĩa 1.7.1 E[X|H] là hàm từΩ vào R d thỏa các điều kiện sau:

Bất đẳng thức Jensen Nếuφ :R→R là hàm lồi và E[φ(X)]0 bất kỳ và c= 1 +δ 1 h > 1 Với giả thiết 0< γρ≤ 1 2 , kết hợp phương trình (2.8) và (2.9), ta suy ra E|z k n+1 | 2

Lấy sup hai vế theo k, ta được

3 + 4σ 2 h. Vế phải của bất đẳng thức trên sẽ tiến về 0 khi h→0.

Vậy lược đồ sai phõn ngẫu nhiờn (2.4) là hội tụ theo chuẩn || ã ||∞, với điều kiện γρ≤ 1 2

Sai phân hướng tâm năm điểm cho nghiệm của phương trình khuếch tán

Giới thiệu

Trong chương này, ta dùng công thức sai phân hướng tâm năm điểm để ước lượng nghiệm của phương trình đạo hàm riêng parabolic ngẫu nhiên chỉ có khuếch tán Nội dung chương này được dựa vào bài báo [7], ta sẽ làm rõ các chứng minh về tính vững và sự hội tụ của xấp xỉ nghiệm đối với bài toán khuếch tán Hơn nữa, ta sẽ bổ sung lược đồ sai phân 3 điểm dành cho 2 vị trí ứng với k = 1 và k =n−1 vào lược đồ sai phân Đây là điểm mới của luận văn so với bài báo [7].

Xét bài toán khuếch tán u t (x, t) = γu xx (x, t) +σu(x, t)dW(t), với mọit∈[0, T], x∈[0, X] u(x,0) =u 0 (x), với mọi x∈[0, X] u(0, T) = u(X, T) = 0

(3.1) trong đó, W(t) là quá trình Brown, vàγ và σ là các hằng số.

Sai phân ngẫu nhiên (với 5 điểm)

Ta xét một lưới đều với các bước chia theo không gian x và thời gian t lần lượt là

∆x và h Để đơn giản, với mọi k và n, ta ký hiệu u n k là xấp xỉ của u(x, t) tại điểm(k∆x, nh), nghĩa là u(k∆x, nh)≈u n k ≈u(x k , t n ). Đạo hàm cấp một theo biến thời gian t được xấp xỉ bởi công thức thức sai phân tiến ut(x, t)≈ u n+1 k −u n k h

Ngoài ra, ta sẽ xấp xỉ đạo hàm cấp hai xuất hiện trong bài toán (3.1) bằng công thức sai phân trung tâm năm điểm như sau u xx (x, t)≈ 1

Nhắc lại rằng, điểm mấu chốt của phương pháp sai phân thực chất là xác định các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các giá trị xấp xỉu n k một cách thích hợp sao cho tổ hợp tuyến tính này có giá trị gần bằng đạo hàm (cấp cao) của hàm số mà ta quan tâm với bậc sai số như mong đợi Chẳng hạn, ta có thể xấp xỉ đạo hàm cấp hai u xx bằng công thức ∆ ∆x 2 u 2 với sai số bậc 2 u xx ≈ ∆ 2 u

∆x 2 +O(∆ 2 x) Tương tự, u xx cũng có thể được ước lượng bằng công thức ∆ ∆x 4 u 2 với sai số bậc 4 u xx ≈ ∆ 4 u

∆x 2 +O(∆ 4 x) Dễ thấy, ta không thể xấp xỉ u xx với sai số bậc 4 nếu chỉ sử dụng ba điểm x = k∆x và x= (k±1)∆x Thay vào đó, ta sẽ sử dụng năm điểm x=k∆x, x= (k±1)∆x và x= (k±2)∆x cho lược đồ sai phân

∆ 4 u k =c 1 uk−2+c 2 uk−1+c 3 u k +c 4 u k+1 +c 5 u k+2 trong đó, c 1 , , c 5 là các hệ số cần được xác định Vì u xx (x, t) = 1

+O(∆x 4 ) nên ta suy ra công thức ước lượng năm điểm bài toán (3.2). Áp dụng các công thức sai phân hướng tâm, phương trình (3.1) được biến đổi thành u n+1 k −u n k h =γ 1

Nhân hai vế với h và cộng u n k vào hai vế, ta được u n+1 k =u n k +γ h

(3.3) Đặt ρ = ∆x h 2 Vỡ [W(ã, t)−W(ã, s)] cú phõn phối chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai(t−s)nên u n k và W k n+1 −W k n = [W(k∆x,(n+ 1)h)−W(k∆x, nh)]là hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó, bài toán (3.3) trở thành u n+1 k

Theo chương 2, ta nhắc lại lược đồ sai phân 3 điểm cho bài toán (3.1) như sau u n+1 k = (1−2γρ)u n k +γρ u n k−1 +u n k+1

Như vậy, để chứng minh sự hội tụ, tính vững, tính ổn định của lược đồ sai phân(3.4) đối với bài toán (3.1), thì các điều kiện cũng phải thỏa đối với sai phân trung tâm 3 điểm tại các nút ứng với k = 1 và k =n−1trong (3.5).

Tính giải tích của lược đồ sai phân

Tính vững

Định lý 3.3.1 Lược đồ sai phõn ngẫu nhiờn (3.4) là vững theo chuẩn || ã || ∞ (theo (1.6.2)).

Chứng minh Giả sửΦ(x, t) là một hàm trơn Ta kí hiệu

−σΦ(k∆x, nh)(W((n+ 1)h)−W(nh)). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Holder ta được

E|Φ(k∆x, s)−Φ(k∆x, nh)ds| 2 Để chứng minh sự hội tụ của bất đẳng thức trên, ta phải đưa ra các xấp xỉ của đạo hàm cấp một Φ x với sai số bậc 1 và xấp xỉ đạo hàm cấp hai củaΦ xx với sai số bậc 4 Để thực hiện điều này ta áp dụng khai triển Taylor đối với Φ((k−2)∆x, s),Φ((k− 1)∆x, s),Φ((k+ 1)∆x, s) và Φ((k+ 2)∆x, s) Khi đó Φ n k+1 =Φ n k + (∆x)Φ x +1

Với t = (n + 1)h, khi h → 0,∆x → 0 thì (k∆x, nh) → (x, t) Ta đi đến kết luậnE|H k n Φ−L n k Φ| 2 →0, khin, k → ∞.

Tính ổn định

Định lý 3.3.2 Nếu γρ ≤ 2 5 thì lược đồ sai phân ngẫu nhiên (3.4) là ổn định theo chuẩn || ã ||∞ với bước chia ∆x ổn định(theo (1.6.3)).

Chứng minh Ta nhắc lại xấp xỉ sai phân (3.4) u n+1 k

Tiếp theo, ta sẽ khai triển và đánh giá E|u n+1 k | 2 bởi các bất đẳng thức Cauchy và Holder như sau.

E|X+Y| 2 ≤k(E|X| 2 +E|Y| 2 ) với k = 1 khi s= 1 và k = 2 s−1 khi s≥1, khi đó ta có E|u n+1 k | 2

Ta thực hiện lấy sup hai vế bất phương trình trên, ta được: sup k∈I

E(u n k ) 2 Chứng minh tương tự: sup k∈I

Kết hợp với kết quả ở về tính ổn định dành cho sai phân 3 điểm (từ 2.3.2) ứng với k = 1 và k=n−1 Khi đó, với h= n+1 t , ta suy ra

Ta kết luận lược đồ sai phân ngẫu nhiên (3.4) ổn định có điều kiện theo chuẩn

Sự hội tụ

Để chứng minh sự hội tụ của lược đồ sai phân ngẫu nhiên (3.4), ta cần chứng minh (3.4) hội tụ theo sai phân 5 điểm và kết hợp điều kiện hội tụ theo sai phân 3 điểm ứng với trường hợp k = 1 và k=n−1 (từ (2.3.2)). Định lý 3.3.3 Nếu γρ ≤ 2 5 thì lược đồ sai phân ngẫu nhiên (3.4) hội tụ theo chuẩn

Chứng minh Ta xét lược đồ sai phân u n+1 k =u n k +γ h

(3.8) Để đơn giản, ta ký hiệu v n k là giá trị của nghiệm chính xác của phương trình (3.1) tại (x k , t n ) = (k∆x, nh) Vì v(xk+i, s) = v(xk, s) + (∆x)vx(xk, s) + 1

720(∆x) 6 v (6) (x k +θ k+i (s)∆x, s), và v(xk−i, s) =v(xk, s)−(∆x)vx(xk, s) + 1

720(∆x) 6 v (6) (xk−θk−i(s)∆x, s), trong đó, 0< θ k+i , θk−i 0 bất kỳ Sử dụng bất đẳng thức

(a+b) 2 ≤ca 2 + c c−1b 2 (3.13) với c= 1 +δ 1 h >1 kết hợp với phương trình (3.11) và bất đẳng thức (3.12), ta suy ra E|z k n+1 | 2 ≤(1 +δ 1 h)

E|z k n | 2 +Kh Lấysup hai vế theo k, ta được

E||z n+1 || 2 ∞ ≤(1 +δ 1 h) 2 E||z n || 2 ∞ +Kh (3.14) Cho k tiến tới vô cùng, ta được

Vế phải của bất đẳng thức trên sẽ về 0 khi h→0.

Kết hợp với kết quả về sự hội tụ cho sai phân ba điểm γρ ≤ 1 2 (từ 2.3.3) Ta kết luận, lược đồ sai phân (3.4) hội tụ với điều kiệnγρ ≤ 2 5

Xấp xỉ nghiệm của phương trình khuếch tán bình lưu ngẫu nhiên - công thức sai phân hướng tâm

Giới thiệu

Trong chương này, ta đã dùng công thức sai phân trung tâm ba điểm để ước lượng nghiệm của phương trình khuếch tán bình lưu ngẫu nhiên Nội dung chương này được trình bày dựa trên [33] Xét bài toán u t (x, t) +νu x (x, t) =γu xx (x, t) +σu(x, t)dW(t), với mọi t∈[0, T], x∈[0, X] u(x,0) =u 0 (x), với mọix∈[0, X] u(0, T) =u(X, T) = 0

Sai phân ngẫu nhiên cho KT-BL (với 3 điểm)

Tương tự như trong phương pháp sai phân tiến, ở đây ta xét một lưới đều với các bước chia theo không gian x và thời gian t lần lượt là ∆x và h Để đơn giản, với mọi k và n, ta ký hiệu u n k là xấp xỉ của u(x, t)tại điểm (k∆x, nh), nghĩa là u(k∆x, nh)≈u n k Đạo hàm cấp một theo biến thời gian t được xấp xỉ bởi công thức thức sai phân tiến u t (x, t)≈ u n+1 k −u n k h và đạo hàm cấp một theo biến không gianx được xấp xỉ bởi công thức sai phân trung tâm ux(k∆x, n∆t)≈ u n k+1 −u n k−1

2∆x Ngoài ra, ta cũng xấp xỉ đạo hàm cấp hai xuất hiện trong bài toán (4.1) bằng công thức sai phân trung tâm ba điểm như sau u xx (x, t)≈ 1

∆x 2 +O(∆ 2 x) Tương tự, u xx cũng có thể được ước lượng bằng công thức ∆ ∆x 4 u 2 với sao số bậc 4 u xx ≈ ∆ 4 u

+O(∆x 4 ) nên ta suy ra công thức ước lượng ba điểm bài toán (4.2). Áp dụng các công thức sai phân hướng tâm, phương trình (4.1) được biến đổi thành u n+1 k −u n k h =γ 1

2∆x +σu n k (W(n+ 1)−W(n)) Nhân hai vế với h và cộng u n k vào hai vế, ta được u n+1 k =u n k +γ h

(4.3) Đặt λ= ∆x h và ρ= ∆x h 2 Vỡ [W(ã, t)−W(ã, s)]cú phõn phối chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai (t−s) nên u n k và W k n+1 −W k n = [W(k∆x,(n+ 1)h)−W(k∆x, nh)] là hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó, bài toán (4.3) trở thành u n+1 k

Tính giải tích của sai phân ngẫu nhiên

Tính vững

Định lý 4.3.1 Lược đồ sai phõn ngẫu nhiờn (4.4) là vững theo chuẩn || ã || ∞ (theo 1.6.2).

Chứng minh Giả sửΦ(x, t) là một hàm trơn Ta ký hiệu

Z (n+1)h nh Φ(k∆x, s)dW(s), và L n k Φ =Φ(k∆x,(n+ 1)h)−Φ(k∆x, nh) +νh Φ((k+ 1)∆x, nh)−Φ(k∆x, nh)

−σΦ(k∆x, nh)(W((n+ 1)h)−W(nh)). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Holder ta được E|H k n Φ−L n k Φ| 2

Do Φ(x, t) là hàm không ngẫu nhiên nênE|H k n Φ−L n k Φ| 2 →0, khi n, k → ∞ theo(1.6.2).

Tính ổn định

Định lý 4.3.2 Nếu γρ ≤ 1 2 thì lược đồ sai phân ngẫu nhiên (4.4) với bước chia ∆x xỏc định là ổn định cú điều kiện theo chuẩn || ã ||∞ (theo 1.6.3).

Ta xét các trường hợp sau: a Nếuγρ≥ νλ 2 thì bài toán (4.5) trở thành E|u n+1 k | 2 ≤E

E|u n k | 2 với mọin ≥0 Do đó sup k

Trong trường hợp này, ta kết luận lược đồ sai phân (4.4) là ổn định không điều kiện với γρ≥ νλ 2 (theo (1.6.4)). b Nếuγρ≤ νλ 2 thì bài toán (4.5) trở thành E|u n+1 k | 2 ≤E

E|u n k | 2 Đặt β 2 = νλ 2 −2γρ và α 2 = E β 2 2 + 2β 2 +hσ 2 Chọn δ 2 >0 sao cho α 2 ≤δ 2 h Ta suy ra sup k

(4.7) Đặt δ= max{δ 1 , δ 2 } Khi đó, các bài toán (4.6) và (4.7) suy ra sup k

Trường hợp này, ta kết luận lược đồ sai phân là ổn định có điều kiện với γρ ≤ νλ 2 (theo (1.6.3)).

Sự hội tụ

Định lý 4.3.3 Nếu γρ ≤ 1 2 thì lược đồ sai phân ngẫu nhiên (4.4) hội tụ theo chuẩn

Chứng minh Ta xét lược đồ sai phân u n+1 k =u n k +γ h

(4.8) Để đơn giản, ta ký hiệu v n k là giá trị của nghiệm chính xác của phương trình (4.1) tại (x k , t n ) = (k∆x, nh) Vì v(x k+1 , s) =v(x k , s) + (∆x)v x (x k , s) + 1

+1 6(∆x) 3 v xxx (x k −ξk−1(s)∆x, s) với 0< ξk+1(s), ξk−1(s)0 bất kỳ Sử dụng bất đẳng thức

(a+b) 2 ≤ca 2 + c c−1b 2 (4.14) với c= 1 +δ 1 h >1, kết hợp với phương trình (4.12) và bất đẳng thức (4.13), ta suy ra

Chứng minh tương tự như trong trường hợp γρ≥ νλ 2 , ta được

E||z n+1 || 2 ∞ ≤(1 +δ 2 h) 2 E||z n || 2 ∞ +Kh (4.16) trong đó, δ 2 được chọn sao cho

Chọn δ= max(δ 1 , δ 2 ) Ta suy ra

3 + 4δhVế phải của bất đẳng thức trên sẽ dần về 0 khi h tiến về 0.

Xấp xỉ nghiệm của phương trình trình khuếch tán-bình lưu ngẫu nhiên bằng phương pháp sai phân hỗn hợp năm điểm

Giới thiệu

Ở chương 3, ta đã dùng công thức sai phân hướng tâm năm điểm để ước lượng nghiệm của phương trình đạo hàm riêng parabol ngẫu nhiên khuếch tán Trong chương này, ta sẽ sử dụng công thức sai phân tiến dành cho đạo hàm cấp một theo không gian để ước lượng cho phương trình đạo hàm riêng parabol ngẫu nhiên khuếch tán-bình lưu Nội dung chương này được dựa chủ yếu vào bài báo [6] Điều đặc biệt, ta đã hiệu chỉnh chứng minh (trang 10, [6]) Đồng thời ta đã bổ sung chứng minh sự ổn định tại k= 1 và k=n−1.

Xét bài toán khuếch tán bình lưu u t (x, t) +νu x (x, t) =γu xx (x, t) +σu(x, t)dW(t), với mọi t∈[0, T], x∈[0, X] u(x,0) =u 0 (x), với mọix∈[0, X] u(0, T) =u(X, T) = 0

(5.1) trong đó, W(t) là quá trình Brown, vàγ và σ là các hằng số dương.

Sai phân ngẫu nhiên cho KT-BL(với 5 điểm)

Ta xét một lưới đều với các bước chia theo không gian x và thời gian t lần lượt là

∆x và h Để đơn giản, với mọi k và n, ta ký hiệu u n k là xấp xỉ của u(x, t) tại điểm (k∆x, nh), nghĩa là u(k∆x, nh)≈u n k Đạo hàm cấp một theo biến thời gian t được xấp xỉ bởi công thức thức sai phân tiến u t (x, t)≈ u n+1 k −u n k h và đạo hàm cấp một theo biến không gianx cũng được xấp xỉ bởi công thức sai phân tiến/lùi u x (k∆x, n∆t)≈ u n k+1 −u n k

∆x Ngoài ra, ta cũng xấp xỉ đạo hàm cấp hai xuất hiện trong bài toán (5.1) bằng công thức sai phân trung tâm năm điểm như sau u xx (x, t)≈ 1

∆x 2 +O(∆ 2 x) Tương tự, u xx cũng có thể được ước lượng bằng công thức ∆ ∆x 4 u 2 với sai số bậc 4 u xx ≈ ∆ 4 u

Dễ thấy, ta không thể xấp xỉ u xx với sai số bậc 4 nếu chỉ sử dụng ba điểm x = k∆x và x= (k±1)∆x Thay vào đó, ta sẽ sử dụng năm điểm x=k∆x, x= (k±1)∆x và x= (k±2)∆x cho lược đồ sai phân

∆ 4 uk =c1uk−2+c2uk−1+c3uk+c4uk+1+c5uk+2 trong đó, c 1 , , c 5 là các hệ số cần được xác định Vì u xx (x, t) = 1

∆x +σu n k (W(n+ 1)−W(n)). Nhân hai vế với h và cộng u n k vào hai vế, ta được u n+1 k =u n k +γ h

W((n+ 1)∆t)−W(n∆t) (5.3) Đặt λ= ∆x h và ρ= ∆x h 2 Vỡ [W(ã, t)−W(ã, s)]cú phõn phối chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai (t−s) nên u n k và W k n+1 −W k n = [W(k∆x,(n+ 1)h)−W(k∆x, nh)] là hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó, bài toán (5.3) trở thành u n+1 k

Tính vững

Định lý 5.3.1 Lược đồ sai phõn ngẫu nhiờn (5.4) là vững theo chuẩn || ã ||∞ (theo(1.6.2)) (theo 1.6.2).

Z (n+1)h nh Φ(k∆x, s)dW(s), và L n k Φ =Φ(k∆x,(n+ 1)h)−Φ(k∆x, nh) +νh Φ(k+ 1)∆x, nh)−Φ(k∆x, nh)

−σΦ(k∆x, nh)(W((n+ 1)h)−W(nh)). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Holder ta được E|H k n Φ−L n k Φ| 2

E|Φ(k∆x, s)−Φ(k∆x, nh)ds| 2 Để chứng minh sự hội tụ của bất đẳng thức trên, ta phải đưa ra các xấp xỉ của đạo hàm cấp một Φ x với sai số bậc 1 và xấp xỉ đạo hàm cấp hai của Φ xx với sai số bậc 4. Để thực hiện điều này ta áp dụng khai triển Taylor đối với Φ((k−2)∆x, s), Φ((k−1)∆x, s),Φ((k+ 1)∆x, s) và Φ((k+ 2)∆x, s) Khi đó Φ n k+1 =Φ n k + (∆x)Φ x + 1

Với t = (n + 1)h, khi h → 0,∆x → 0 thì (k∆x, nh) → (x, t) Ta đi đến kết luậnE|H k n Φ−L n k Φ| 2 →0, khin, k → ∞.

Tính ổn định

Định lý 5.3.2 Nếu γρ ≤ 2 5 (1 +νλ) thì lược đồ sai phân ngẫu nhiên (5.4) với bước chia ∆x xỏc định là ổn định theo chuẩn || ã ||∞ (theo 1.6.3).

(5.5) a Nếuγρ≥ 3νλ 4 thì bài toán (5.5) trở thành

Chọn δ 1 >0 sao cho α 1 ≤δ 1 h Ta suy ra sup k∈I

E|u n k | 2 với mọin ≥0, I ={2,3,ã ã ã , n−2} Do đú sup k∈I

Kết hợp với điều kiện γρ ≥ νλ 2 đã nêu trong chương 4 (xem (4.3.2)) đối với 2 nút ứng vớik = 0 và k=n−1, ta kết luận, lược đồ sai phân (5.4) là ổn định có điều kiện với 2 5 (1 +νλ)≥γρ≥ 3νλ 4 b Nếuγρ≤ 3νλ 4 thì bài toán (5.5) trở thành E|u n+1 k | 2 ≤E

E|u n k | 2 với mọin ≥0 Lấy sup hai vế bất phương trình trên theo k, ta được sup k∈I

E|u 0 k | 2 Đặt δ= max{δ 1 , δ 2 }, suy ra sup k∈I

Kết hợp với điều kiện γρ ≤ νλ 2 (theo (4.3.2)) dành cho 2 nút ứng với k = 1 và k=n−1, ta suy ra điều kiện ổn định trong trường hợp này là γρ ≤ νλ 2 Do đó,xấp xỉ sai phân ngẫu nhiên (5.4) là ổn định có điều kiện.

Sự hội tụ

Định lý 5.3.3 Nếu γρ≤ 2 5 (1 +νλ) thì lược đồ sai phân ngẫu nhiên (5.4) hội tụ theo chuẩn || ã ||∞ (theo 1.6.2).

Chứng minh Ta nhắc lại lược đồ sai phân ngẫu nhiên (5.4) u n+1 k =u n k +γ h

∆x +σu n k (W((n+ 1)∆t)−W(n∆t)). Để chứng minh lược đồ sai phõn (5.4) là hội tụ theo chuẩn || ã ||∞, ta sẽ đưa ra các xấp xỉ của đạo hàm cấp một v x với sai số bậc 1 và xấp xỉ đạo hàm cấp hai của v xx với sai số bậc 4 Để thực hiện điều này ta áp dụng khai triển Taylor đối với v((k−2)∆x, s), v((k−1)∆x, s), v((k+ 1)∆x, s) và v((k+ 2)∆x, s) Khi đó v k+1 n =v n k + ∆xvx+ 1

Nghiệm v k n+1 được biểu diễn bởi khai triển Taylor vxx(x, s)theo biến không gian x như sau. v n+1 k =v k n −ν

+σ Z (n+1)h nh v(x k , s)dW(s), Đặt z k n =v k n −u n k , khi đó ta có z n+1 k

Tiếp theo, ta sẽ đánh giá sự sai khác giữa (5.4) và nghiệm xấp xỉ v n+1 k bởi việc áp dụng E| ã | 2 , ta dẫn đến bất đẳng thức sau

Ta có đánh giá sau

Ta đi đến kết quả sau

Cho k tiến tới vô cùng, ta được

3 + 4δhVế phải của bất đẳng thức trên sẽ về 0 khi h→0.

Xấp xỉ nghiệm của phương trình trình khuếch tán bình lưu ngẫu nhiên - công thức sai phân trung tâm năm điểm

Giới thiệu

Trong chương 5, ta đã dùng công thức sai phân tiến để ước lượng nghiệm cho bài toán khuếch tán bình lưu Chương này, ta sẽ xây dựng lược đồ sai phân 5 điểm trung tâm cho bài toán trên Cụ thể, ta sẽ áp dụng sai phân hướng tâm đối vớiu x , u xx và sai phân tiến đối vớiu t Nội dung chương này được trình bày dựa vào [33].

Xét bài toán khuếch tán bình lưu u t (x, t) +νu x (x, t) =γu xx (x, t) +σu(x, t)dW(t), với mọi t∈[0, T], x∈[0, X] u(x,0) =u 0 (x), với mọix∈[0, X] u(0, T) =u(X, T) = 0

Sai phân ngẫu nhiên cho KT-BL(với 5 điểm)

Tương tự như trong phương pháp sai phân tiến, ở đây ta xét một lưới đều với các bước chia theo không gian x và thời gian t lần lượt là ∆x và h Để đơn giản, với mọi k và n, ta ký hiệu u n k là xấp xỉ của u(x, t)tại điểm (k∆x, nh), nghĩa là u(k∆x, nh)≈u n k Đạo hàm cấp một theo biến thời gian t được xấp xỉ bởi công thức thức sai phân tiến ut(x, t)≈ u n+1 k −u n k h và đạo hàm cấp một theo biến không gianx được xấp xỉ bởi công thức sai phân trung tâm u x (k∆x, n∆t)≈ u n k+1 −u n k−1

2∆x Ngoài ra, ta cũng xấp xỉ đạo hàm cấp hai xuất hiện trong bài toán (6.1) bằng công thức sai phân trung tâm năm điểm như sau uxx(x, t)≈ 1

∆x 2 +O(∆ 2 x) Tương tự, u xx cũng có thể được ước lượng bằng công thức ∆ ∆x 4 u 2 với sao số bậc 4 u xx ≈ ∆ 4 u

Dễ thấy, ta không thể xấp xỉ u xx với sai số bậc 4 nếu chỉ sử dụng ba điểm x = k∆x và x= (k±1)∆x Thay vào đó, ta sẽ sử dụng năm điểm x=k∆x, x= (k±1)∆x và x= (k±2)∆x cho lược đồ sai phân

∆ 4 u k =c 1 uk−2+c 2 uk−1+c 3 u k +c 4 u k+1 +c 5 u k+2 trong đó, c 1 , , c 5 là các hệ số cần được xác định Vì u xx (x, t) = 1

2∆x +σu n k (W(n+ 1)−W(n)) Nhân hai vế với h và cộng u n k vào hai vế, ta được u n+1 k =u n k +γ h

W((n+ 1)∆t)−W(n∆t) (6.3) Đặt λ= ∆x h và ρ= ∆x h 2 Vỡ [W(ã, t)−W(ã, s)]cú phõn phối chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai (t−s) nên u n k và W k n+1 −W k n = [W(k∆x,(n+ 1)h)−W(k∆x, nh)] là hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó, bài toán (6.3) trở thành u n+1 k 1−5 2γρ u n k +4

Tính vững

Định lý 6.3.1 Lược đồ sai phõn ngẫu nhiờn (6.4) là vững theo chuẩn || ã ||∞ (theo (1.6.2)).

Z (n+1)h nh Φ(k∆x, s)dW(s), và L n k Φ =Φ(k∆x,(n+ 1)h)−Φ(k∆x, nh) +νh Φ((k+ 1)∆x, nh)−Φ(k∆x, nh)

−σΦ(k∆x, nh)(W((n+ 1)h)−W(nh)). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Holder ta được

Do Φ(x, t) là hàm không ngẫu nhiên nênE|H k n Φ−L n k Φ| 2 →0, khin, k → ∞.

Tính ổn định

Định lý 6.3.2 Nếu γρ ≤ 2 5 thì lược đồ sai phân ngẫu nhiên (6.4) với bước chia ∆x xỏc định là ổn định theo chuẩn || ã ||∞ theo (1.6.3).

Ta xét các trường hợp sau: a Nếuγρ≥ 3νλ 8 thì bài toán (6.5) trở thành

E|u n k | 2 với mọin ≥0 Do đó sup k∈I

(6.6) với I ={2,3,ã ã ã , n−2} Kết hợp với điều kiện hội tụ cho 2 vị trớ ứng với k= 1 và k=n−1là γρ≥ νλ 2 đã nêu trong chương 4 (xem định lí (4.3.2)) Ta suy ra, lược đồ (6.4) là ổn định có điều kiện với νλ 2 ≤γρ. b Nếuγρ≤ 3νλ 8 thì (6.5) trở thành

(6.7) Đặt δ= max{δ 1 , δ 2 } Khi đó, các bài toán (6.6) và (6.7) suy ra sup k∈I

Kết hợp với điều kiện ổn định cho 2 vị trí ứng với k = 1 và k = n−1 đã nêu trong chương 4 là γρ≤ νλ 2 (xem định lí (4.3.2)), ta suy ra (6.4) ổn định với điều kiện γρ≤ 3νλ 8

Sự hội tụ

Định lý 6.3.3 Nếu γρ ≤ 2 5 thì lược đồ sai phân ngẫu nhiên (6.4) hội tụ theo chuẩn

2∆x +σu n k (W((n+ 1)∆t)−W(n∆t)) Để đơn giản, ta ký hiệuv k n là giá trị của nghiệm chính xác của phương trình (6.1) tại (x k , t n ) = (k∆x, nh) Vì v(xk+1, s) =v(xk, s) + (∆x)vx(xk, s) + 1

− 1 6(∆x) 3 v xxx (x k −ξk−1(s)∆x, s) Do đó v x (x k , s) = v(xk+1, s)−v(xk−1, s)

720(∆x) 6 v (6) (x k +θ k+i (s)∆x, s), và v(xk−i, s) =v(xk, s)−(∆x)vx(xk, s) + 1

720(∆x) 6 v (6) (x k −θ k−i (s)∆x, s), trong đó, 0< θk+i, θk−i 0 bất kỳ Sử dụng bất đẳng thức

(a+b) 2 ≤ca 2 + c c−1b 2 (6.13) với c= 1 +δ 1 h >1 kết hợp với phương trình (6.11) và bất đẳng thức (6.12), ta suy ra

Chứng minh tương tự như trong trường hợp γρ≥ 3νλ 8 , ta được

E||z n+1 || 2 ∞ ≤(1 +δ 2 h) 2 E||z n || 2 ∞ +Kh (6.15) trong đó, δ 2 được chọn sao cho

Chọn δ= max(δ 1 , δ 2 ) Ta suy ra

3 + 4δhVế phải của bất đẳng thức trên sẽ tiến về 0 khi h→0.

Trong chương cuối này, ta sẽ thực hiện một số mô phỏng cho các phương pháp sai phân đã được trình bày trong luận văn.

Mô phỏng bài toán khuếch tán với sai phân hướng tâm ba điểm

Xét bài toán khuếch tán u t (x, t) =γu xx (x, t) +σu(x, t)dW(t), với mọi t∈[0,1], x∈[0,1] u(x,0) =x 2 (1−x 2 ), với mọix∈[0,1] u(0,1) =u(X,1) = 0,

(7.1) với γ = 0.001, σ= 1 Lược đồ sai phân trung tâm của (7.1) là u n+1 k = (1−2γρ)u n k +γρ u n k−1 +u n k+1

+σu n k (W k n+1 −W k n ) (7.2) Đặt h = N 1 ,∆x = M 1 Theo (2.3.2), thì lược đồ sai phân trung tâm 3 điểm (7.2) ổn định với γρ ≤ 1 2 Do đó, nếu M = 150 và N ≥ 45 thì lược đồ sai phân (7.2) cho bài toán (7.1) là ổn định Ngoài ra, theo chứng minh định lí (2.3.2), ta thấy rằng lược đồ sai phân (7.2) là ổn định không điều kiện Do đó, tính ổn định của xấp xỉ nghiệm bằng lược đồ sai phân sẽ biến thiên rất lớn Để minh họa cho nhận xét trên, ta sẽ biểu diễn trên cùng lược đồ có bước chia thời gian cố định N = 50 kết hợp với bước chia thời gian N = 51, N = 52 và N = 53, trong đó bước chia không gian được cố địnhM = 150(xem hình (1)).

Hình 1: Sự ổn định tại u(x,1)với các giá trị N khác nhau.

Hình 2: Sự hội tụ tại u(x,1) với các giá trị N khác nhau.

Tiếp theo, ta sẽ minh họa cho sự hội tụ của sai phân (7.2) đối với bài toán (7.1) với M = 150 và các giá trị N thay đổi (xem hình (2)) Do tính ổn định có sự biến thiên lớn nên sự hội tụ của lược đồ sai phân (7.2) cũng sẽ không nhanh.

Cuối cùng, vì nghiệm chính xác của bài toán (7.1) không biết nên ta sẽ chọn nghiệm cố định tại thời điểmt = 1 với N = 120và M = 150 (xem (3a)) Hình (3b) là tỉ lệlog về sự sai khác giữa các xấp xỉ nghiệm giữaN = 500và N = 60 Hiển nhiên, cách chọn tỉ lệ log này sẽ chứa nghiệm cố định với N = 120.

Hình 3: Log-scale cho nghiệm xấp xỉ.

Mô phỏng bài toán khuếch tán với sai phân hướng tâm năm điểm

Xét bài toán khuếch tán u t (x, t) =γu xx (x, t) +σu(x, t)dW(t), với mọi t∈[0,1], x∈[0,1] u(x,0) =x 2 (1−x 2 ), với mọix∈[0,1] u(0,1) =u(X,1) = 0,

(7.3) với γ = 0.001, σ= 2 Lược đồ sai phân trung tâm năm điểm của (7.3) là u n+1 k

(7.4) Đặt h = N 1 ,∆x = M 1 Theo định lí (3.3.2), điều kiện ổn định đối với lược đồ sai phân (7.4) là γρ ≤ 2 5 Như vậy, nếu M0 thì N ≥ 57 Ta minh họa sự ổn định của lược đồ sai phân (7.4) với các giá trị N = 50, N = 60, N = 80 và N = 200 trong cùng điều kiện M = 150 Các đồ thị trong hình (4) thể hiện rõ ràng về tính ổn định của lược đồ (7.4).

Hơn nữa, theo chứng minh định lí (3.3.3), giả sử có 1 9 E(γρ) 2 + 2 3 E(γρ) + E(σ 2 )h≤ δ 1 h, khiM = 150, ta tính các giá trị tối thiểu của δ 1 để lược đồ sai phân (7.4) hội tụ.

Các giá trị cụ thể củaδ1 được thể hiện trong Bảng 1, khi N có các giá trị khác nhau.

Cuối cùng, vì nghiệm chính xác của bài toán (7.3) không biết nên ta sẽ chọn nghiệm cố định tại thời điểmt = 1 với N = 120và M = 150 (xem (5a)) Hình (5b) là tỉ lệlog

Hình 4: Sự ổn định của u(x,1)với các giá trị N khác nhau.

Bảng 1: δ1 cho sự hội tụ

Hình 5: Log-scale cho nghiệm xấp xỉ. về sự sai khác giữa các xấp xỉ nghiệm giữaN = 250và N = 90 Hiển nhiên, cách chọn tỉ lệ log này sẽ chứa nghiệm cố định với N = 150 (Hình (5)).

7.3 Mô phỏng bài toán khuếch tán-bình lưu với sai phân trung tâm ba điểm

Xét bài toán khuếch tán bình lưu ngẫu nhiên u t (x, t) =γu xx (x, t) +νu x (x, t) +σu(x, t)dW(t), với mọi t∈[0, T], x∈[0, X] u(x,0) =x 2 (1−x) 2 , với mọix∈[0, X] u(0, T) =u(X, T) = 0

(7.5) trong đó, W(t) là quá trình Brown, và γ = 0.001, ν = σ = 1 Từ (4.4) công thức sai phân trung tâm ba điểm để ước lượng nghiệm của bài toán (7.5) u n+1 k 1−2γρ u n k + γρ− νλ 2 u n k−1 + γρ+νλ 2 u n k+1 +σu n k ∆W n (7.6) Đặt h = N 1 ,∆ = M 1 Theo định lí (4.3.2), điều kiện ổn định của lược đồ sai phân (7.6) là γρ ≤ 1 2 Khi đó, nếu M = 150 thì N ≥ 45 Tuy nhiên, nếu ta chấp nhận kết quả biện luận về mối tương quan giữa M và N như trên thì kết luận sẽ sai Do đó, ta phải kết hợp đánh giáνλ≤ 1 2 Do đó, điều kiện tối thiểu để lược đồ sai phân (7.6) ổn định là M ≤N.

Tiếp theo, với M = 150 cố định và N nhận các giá trị khác nhau sao cho M ≤N, ta minh họa sự ổn định của lược đồ sai phân (7.6) (Hình (6)). Đồng thời, dưới điều kiện 150 =M ≤N, ta thể hiện sự hội tụ của lược đồ sai phân (7.6) (Hình (7)).

Hơn nữa, vì nghiệm chính xác của bài toán (7.5) không biết nên ta sẽ chọn nghiệm cố định tại thời điểm t = 1 với N = 350 và M = 150 (xem (8a)) Hình (8b) là tỉ lệ log về sự sai khác giữa các xấp xỉ nghiệm giữa N = 700và N = 180 Hiển nhiên, cách chọn tỉ lệlog này sẽ chứa nghiệm cố định với N = 150 (Hình (8)).

Hình 7: Sự hội tụ của u(x,1) với các giá trị N khác nhau.

Bảng 2: δ 2 cho sự hội tụ

7.4 Mô phỏng bài toán khuếch tán-bình lưu với sai phân tiến năm điểm

Xét bài toán khuếch tán-bình lưu sau u t (x, t) = γu xx (x, t) +νu x (x, t) +σu(x, t)dW(t), với mọit ∈[0,1], x∈[0,1] u(x,0) =x 2 (1−x 2 ), với mọi x∈[0,1] u(0, t) =u(1, t) = 0,

(7.7) trong đó γ = 0.001 và ν =σ= 1 Lược đồ sai phân của (7.7) là u n+1 k

(7.8) Đặt h = N 1 ,∆x = M 1 Theo định lí (5.3.2), điều kiện ổn định đối với lược đồ sai phân (7.8) là γρ ≤ 2 5 (1−λ) Như vậy, nếu M0 thì N ≥ 207 Ta minh họa sự ổn định của lược đồ sai phân (7.8) với các giá trịN = 200, N = 207, N = 210 vàN = 250 trong cùng điều kiện M = 150 Các đồ thị trong hình (9) thể hiện rõ ràng về tính ổn định của lược đồ (7.8) đối với bài toán (7.7).

Hơn nữa, theo chứng minh định lí (5.3.3), giả sử có 181 36 E(γρ) 2 + 2 3 E(γρ) + E(σ 2 )h≤ δ 2 h, khi M = 150, ta tính các giá trị tối thiểu của δ 2 để lược đồ sai phân (7.8) hội tụ.

Các giá trị cụ thể củaδ 2 được thể hiện trong Bảng 2, khi N có các giá trị khác nhau.

Hình 11: Nghiệm xấp xỉ u(x,t) với N00, N50

7.5 Mô phỏng bài toán khuếch tán-bình lưu với sai phân trung tâm năm điểm

Xét bài toán khuếch tán-bình lưu sau u t (x, t) = γu xx (x, t) +νu x (x, t) +σu(x, t)dW(t), với mọit ∈[0,1], x∈[0,1] u(x,0) =u 0 (x), với mọi x∈[0,1] u(0, t) =u(1, t) = 0,

(7.9) trong đó γ = 0.001, ν= 1 và σ = 1 Lược đồ sai phân của (7.9) là u n+1 k

Ta nhắc lại, điều kiện ổn định của lược đồ sai phân (7.10) là γρ ≤ 2 5 theo định lí (6.3.2) Như vậy, nếu ta cho trước số bước không gian M = 150 thì số bước thời gian được chia N ≥ 5 4 M = 188 Do đó, ta minh họa sự ổn định của lược đồ sai phân (7.10) một số mô phỏng với các giá trị N khác nhau và M = 150 cố định (xem Hình 12).

Tiếp theo, ta minh họa sự ổn định của lược đồ sai phân (7.10) với N thay đổi và M = 300 Khi đó, điều kiện ổn định của lược đồ sai phân là N ≥375 (xem Hình 13)

Một điều thú vị đó là sự hội tụ của sai phân tiến năm điểm (xem Hình 14a) sẽ chậm hơn rất nhiều so với sự hội tụ của sai phân trung tâm (xem Hình 14b) khi các bước chia không gian lớn Ta sẽ minh họa cho điều này (Hình 14).

Hình 12: Sự ổn định của u(x,1) với các giá trị N khác nhau và M = 150.

Hình 13: Sự ổn định của u(x,1) với các giá trị N khác nhau và M = 300.

Hình 14: Sự hội tụ của u(x,1)với N = 570, M = 450.

Qua luận văn này, với nhiều kiểu xấp xỉ của sai phân khác nhau được áp dụng dành cho phương trình parabolic ngẫu nhiên, ta nhận thấy rằng đây là phương pháp giải tích số hiệu quả để đi tìm các nghiệm xấp xỉ của bài toán parabolic ngẫu nhiên Hơn nữa, bởi hướng tiếp cận bằng phương pháp sai phân, ta có thể đánh giá được các bậc của sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm giải tích (nếu có) của chúng Bên cạnh đó, ta còn đánh giá được tốc độ hội tụ của các lược đồ sai phân áp dụng cho từng bài toán PTĐHRNN cụ thể Điều này làm nổi bật lên mối tương quan trong việc chia lưới các bước không gian và thời gian Ngoài ra ta có thể mở rộng các thuật toán sai phân để xấp xỉ nghiệm cho bài toán PTĐHRNN có điều kiện biên không thuần nhất.

Một vấn đề mở của luận văn là liệu ta có thể áp dụng các phương pháp khác trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng tất định vào trường hợp phương trình đạo hàm riêng có yếu tố ngẫu nhiên được hay không.

[1] G.D.Prato, L.Tubaro, Stochastic partial differential equations and application, Longman scientific and technical, Harlow, 1992.

[2] N V Krylov and B L Rozovski , Itô equations in Banach spaces and strongly parabolic stochastic partial differential equations, Dokl Akad Nauk SSSR 249(2), 285-289 (in Russian), 1979a.

[3] J Walsh,An introduction to stochastic partial differential equations, Ecole d’été de Probabilités de Saint Flour XIV, Lecture Notes in Math 1180, 265–439, Springer 1986.

[4] L C Evans, Partial Differential Equations Graduate Studies in Mathematics, Vol 19, AMS, Providence, 1991.

[5] J.W Thomas, Numerical Partial Differential Equations, Finite Difference Meth- ods, Texts in Applied Mathematics, 22, Springer Verlag, New York, 1995.

[6] Mehran Najmoo and Ali Mohebbian, Approximation of stochastic diffusion equations with finite difference scheme, Journal of Mathematical Modeling Vol 4, No.

[7] Momammed A Sohaly,Mean square convergent three and five points finite difference scheme for stochastic parabolic partial differential equations , Electronic Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 2(1) Jan 2014, pp 164- 171.

[8] Mohammed, W.W., Sohaly, M.A., El-Bassiouny, A.H and Elnagar, K.A, Mean Square Convergent Finite Difference Scheme for Stochastic Parabolic PDEs, Amer- ican Journal of Computational Mathematics, 4, 280-288.

[9] P.E.Kloeden, E Platen, Numerical Solution of Stochastic Differential Equations.

Applications of Mathematics 23 Springer, Berlin, 1992.

[10] Y.Komori, T Mitsui, Stable ROW-type weak scheme for stochastic differential equations Monte Carlo Methods Appl 1, 1995, 275-300.

[11] G.N Milstein, Numerical Integration of Stochastic Differential Equations Transl. from the Russian Mathematics and its Applications 313 Kluwer Academic Pub- lishers, Dordrecht, 1994.

[12] A.R¨oβler, Stochastic Taylor expansions for functionals of diffusion processes.

[13] E.J.Allen, S.J Novosel, Z.Zhang, Finite element and difference approximation of some linear stochastic partial differential equations Stochastics Stochastics Rep.

[14] A.M.Davie, J.G Gaines, Convergence of numerial shemes for the solution of parabolic stochastic partial differential equations Math Comput 70,2001, 121- 134.

[15] S.McDonald,Finite difference approximation for linear stochastic partial differential equation with method of lines MPRA Paper No 3983, 2006

[16] Stefania Sardellitti, Massimiliano Giona, and Sergio Barbarossa, Fast Distributed Average Consensus Algorithms Based on Advection-Diffusion Processes, IEEE Transactions on signal processing, Vol 58, No 2, Feb, 2010.

[17] W.F.Ames,Numerial Methods for Partial Differential Equations, 3.ed Computer Science and Scientific Computing Academic Press, Boston, 1992.

[18] L.J Campbell and B.Yin,On the stability of alternating direction explicit methods for advection diffusion equations, Numer Methods Partial Differential Equations, 23, 2007, 1429-1444.

[19] V.K.Saul’yev, Integration of Equation of Parabolic Type by the Method of Nets, Translated by G.J.Tee International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics Vol.54(K.L.Stewart,ed.).Pergamon Press, Oxford, 1964.

[20] V.K.Saul’yev, On a method of numerical integration of a diffusion equation Dokl.Akad Nauk SSSR, 115, 1957, 1077-1080.

[21] Xuerong Mao-Stochastic Differential Equations and Applications, Woodhead Pub- lishing, 2011.

Tiêu đề	Phương pháp sai phân cho phương trình Parabolic ngẫu nhiên
Tác giả	Nguyễn Anh Trà
Người hướng dẫn	TS. Nguyễn Tiến Dũng
Trường học	Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG-HCM
Chuyên ngành	Toán Ứng Dụng
Thể loại	Luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2016
Thành phố	TP.HCM

Định dạng
Số trang	96
Dung lượng	0,91 MB