Luận văn này trình bày cáckhái niệm cơ bản của mô hình trường trung bình cũng như một số ứng dụng củamô hình này trong các bài toán kinh tế - xã hội.. Luận văn cũng trình bày phươngpháp
Trường trung bình
Phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman
Trước khi đi vào bài toán trường trung bình, ta xét một ví dụ đơn giản: giả sử có một người xuất phát từ vị trí x(0) trong không gian Euclide R d tại thời điểmt = 0 và muốn đi đến vị trí tốt hơnx(T) tại thời điểmt = T > 0 Mỗi vị trí xđịnh nghĩa một ’chi phí’ làu(T,x) ∈ R, chi phí sẽ nhỏ nếuxlà gần vị trí mong muốn và lớn nếu ở xa hơn, do đó ta cần cực tiểu giá trị u(T,x(T)) Trong thực tế, khi có ùn tắc giao thông, mặc dù muốn đến vị tríBtại thời điểmT, nhưng đôi lúc họ chỉ đi đến được một vị trí gần vớiB, hoặc một vị trí khác nếu không thể đến đượcB(ví dụ muốn đi ăn tối tại một nhà hàng lớn, nhưng do kẹt xe họ đành phải ghé một quán ăn nhỏ), do đó hàm chi phí có cực tiểu toàn cục tại B nhưng cũng có vài điểm cực tiểu cục bộ khác.
Bây giờ ta cộng thêm một ’chi phí về di chuyển’ vào tổng chi phí, để làm được điều này, ta định nghĩa hàm chi phí vân tốc: C : R d → R trong đó C(v)dt C(x 0 (t))dt là chi phí khi di chuyển với tốc độ v trong khoảng thời gian dt, từ đó ta có tổng chi phí: u(T,x(T)) +
Mục tiêu là lựa chọn lộ trình sao cho chi phí trên là nhỏ nhất Mô hình này đang giả sử ’chi phí di chuyển’ chỉ phụ thuộc vào vận tốc, trong thực tế, chi phí này có thể phụ thuộc vào cả vị tríx và thời giantnữa, khi đó C(x 0 (t))sẽ được thay bằng C(x 0 (t),x(t),t), tuy nhiên để đơn giản, ta tạm thời bỏ qua các yếu tố này.
Hàm chi phíCthường được chọn sao cho nó là một hàm lồi, có nghĩa làC v+w 2
C(v) +C(w) 2 , bởi vì rõ ràng việc thay đổi vận tốc liên tục (giữavvàw) sẽ tốn chi phí hơn là di chuyển với một vận tốc trung bình (trong trường hợp này là v+w
2 ) Ngoài ra ta có thể giả sửC là một hàm chẵn, vì việc di chuyển với cùng một vận tốc, cho dù theo hướng nào, thì cũng tốn một chi phí di chuyển như nhau.
Thông thường ta có thể chọn C(v) = 1
2|v| 2 , theo đó thì việc di chuyển với vận tốc càng lớn sẽ càng tốn chi phí hơn.
Một trong những phương pháp giải để tìm ra quỹ đạo di chuyển tối ưu là sử dụng phương trình Euler-Lagrange để cực tiểu (1), đây là phương trình vi phân theox(t)với điều kiện đầu làx(0)cho trước Tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ khảo sát trường hợp tổng quát hơn để thu được nhiều thông tin hơn từ kết quả của bài toán: xét trường hợp thời điểm người này bắt đầu di chuyển làt 0 với 0 ≤ t 0 ≤ T, định nghĩa chi phí tối ưuu(t0,x0)tại thời điểm(t0,x0)là cận dưới (infimum) của hàm chi phí:
Theo định nghĩa trên thì khi t 0 = T chi phí tối ưu tại x 0 trùng với chi phí cuối cùng tạix0, do đó chi phí cuốiu(T, )được xem là điều kiện biên của bài toán.
Xét trường hợp khi t0 < T, chi phí tối ưu sẽ tuân theo phương trình Hamilton- Jacobi-Bellman, là một phương trình đạo hàm riêng, sẽ được diễn giải ở phần tiếp theo.
Giả sử một người đang ở tại vị trí x0 tại thời điểmt0 < T, và đang suy nghĩ để quyết định đi đâu tiếp theo Người đó biết bản thân nên di chuyển với tốc độv là tốt nhất trong hoàn cảnh hiện tại, sau một khoảng thời giandt người đó sẽ ở vị trí x 0 +vdtvà phát sinh chi phíC(v)dt, khi đó chi phí vị trí mới sẽ làu(t 0 +dt,x 0 +vdt), theo định nghĩa củauta có công thức: u(t0,x0) = u(t0+dt,x0+vdt) +C(v)dt (1.3) Dùng khai triển Taylor đến bậc 1 (bỏ qua các bận cao hơn) ta được: u(t0,x0) = u(t0,x0) +dt[∂ tu(t0,x0) +vã ∇ x u(t0,x0) +C(v)] (1.4)
Do vđược chọn sao cho chi phí cuối cùng là nhỏ nhất, nên từ (1.4) ta thấy cần phải chọnvđể vã ∇ x u(t0,x0) +C(v) (1.5) là nhỏ nhất.
Lưu ý rằngClà một hàm lồi, nên giá trịvđể (1.5) đạt cực tiểu phải là duy nhất, và là một hàm theo∇ x u(t 0 ,x 0 ) Định nghĩa ánh xạ H : R d →Rbởi:
Khi đú giỏ trị nhỏ nhất củavã ∇ x u(t 0 ,x 0 ) +C(v)là−H(∇ x u(t 0 ,x 0 ))(lưu ý rằng Clà hàm chẵn), bởi vì nếu đổi biến:ve:=−v, ta cần giá trị nhỏ nhất của:
−veãp+C(−ve) = −(veãp−C(ve)) = −H(p) (1.7) với p:=∇ x u(t 0 ,x 0 ) Do đó (1.4) trở thành: u(t0,x0) = u(t0,x0) +dt[∂ tu(t0,x0)−H(∇ x u(t0,x0))] (1.8)
Và việc xác định giá trị nhỏ nhất của (1.8) dẫn đến phương trình Hamilton-Jacobi- Bellman:
Giá trị củaevthỏa yêu cầu có thể xem như một hàm theo pdo:
∂ve(veãp−C(ve)) =0 (1.10) Như vậy vận tốc cần tìm được cho bởi: v=−ve=−H 0 (∇ x u) (1.11) Để tổng quát hơn, xét trường hợp người đó muốn di chuyển từ x0 đến x0+vdt trong khoảng thời gian dt, nhưng cuối cùng chỉ đến được x0+vdt+σdBt, với dBt là một nhiễu theo chuyển động Brownian trongR d , vàσ >0là biên độ nhiễu Bằng cách sử dụng mô hình ngẫu nhiên, thì tổng chi phí cũng là một đại lượng ngẫu nhiên (thay vì là một giá trị xác định như đã xét ở trên), do đó thay vì tìm cách tối thiểu chi phí, bài toán thay đổi thành tìm cách tối thiểukỳ vọngcủa chi phí Phương trình (1.3) được điều chỉnh thành: u(t0,x0) = E[u(t0+dt,x0+vdt+σdBt)] +C(v)dt (1.12)
Khai triển Taylor vế phải của (1.12), sử dụng công thức Ito dBt = O(dt 1/2 ) ta được: u(t 0 ,x 0 ) = E[u(t 0 ,x 0 )] + ∂ t u 0 (t 0 ,x 0 )dt+vã ∇ x u 0 (t 0 ,x 0 )dt +σdBtã ∇ x u 0 (t 0 ,x 0 ) + σ
Do chuyển động BrowniandBt trong khoảng thời giandtcó kỳ vọng bằng 0, nên (1.13) trở thành: u(t0,x0) = u(t0,x0) +∂ tu0(t0,x0)dt+vã ∇ x u0(t0,x0)dt
So sánh (1.14) và (1.4) ta thấy việc xuất hiện nhiễu sẽ sinh ra thành phần σ 2
2 ∇ 2 u(x0,t0)dt, do thành phần này không phụ thuộc vàovnên sẽ không ảnh hưởng đến các bước phân tích ở trên, nên cuối cùng ta sẽ thu được phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman như sau:
2σ 2 , và vận tốc tối ưu vẫn được tính theo (1.11).
Phương trình Fokker-Planck
Bây giờ ta xét một số lượng rất lớn Nngười cùng di chuyển trên đường Để đơn giản, ta giả sử họ có cách di chuyển giống nhau, tức là bất kỳ người nào nếu ở vị trí(t0,x0) thì đều di chuyển với cùng một vận tốc tức thờiv(t0,x0) Khi N →∞ ta xét hàm mật độm(t,x), là một hàm không âm vàR
R d m(t,x)dx =1tại mọi thời điểmt, khi đó trong khoảng[x,x+dx]sẽ có Nm(t,x)|dx|người.
Giả sử mật độ ban đầum(0,x)đã biết, ta sẽ tìm mật độm(t,x)tại thời điểmt, sử dụng lý thuyết phân phối với hàm thử F(x), là một hàm trơn và không phụ thuộc thời gian Gọixi(t)là vận tốc di chuyển của người thứitại thời điểmt, ta có:
Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian:
ChoN →∞, vế phải của (1.17) trở thành tích phân:
Kết hợp các phương trình trên lại ta được:
Cũng giống như phần trước, nếu xét thêm nhiễu, tức là vị trí tại thời điểmt+dt là x+vdt+σdBt (thay vì chỉ là x+vdt), và nhiễu Brownian là khác nhau cho mỗi người, ta sẽ có phương trình:
Khai triển Taylor vế phải, sau đó lấy giới hạn khi N → ∞ như ở phần trước ta được:
Tiếp tục lấy tích phân từng phần và rút gọn, ta được phương trình Fokker-Planck:
Trong phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman ở trên, ta đang giả sử chi phí của mỗi người không phụ thuộc vào vị trí của những người khác Bài toántrường trung bìnhxét trường hợp tổng quát hơn, ví dụ như chi phíC(v)không chỉ phụ thuộc vào vận tốc v(t,x) mà còn phụ thuộc vào mật độ người tham gia giao thôngm(t,x) tại thời điểm đó. Để đơn giản, ta chỉ xét mô hình cộng, có nghĩa là hàm chi phí có dạng: u(T,x(T)) +
0 F(m(t,x(t)))dt (1.23) trong đóF: R + → Rđại diện cho chi phí về mật độ giao thông tại vị tríx,Ftăng khi người đó cảm thấy khó chịu và muốn thoát khỏi vị trí có mật độ giao thông cao và ngược lại Với hàm chi phí mới này, có thể suy ra hàm Hamilton-Jacobi-Bellman mới:
Vận tốc v vẫn theo (1.11) và phương trình Fokker-Planck trở thành (sau khi đã đổi dấu):
Hệ (1.24) và (1.25) với các giá trịu(T,x)vàm(0,x)cho trước là một ví dụ của bài toán trường trung bình Lời giải của (1.24) thể hiện quyết định của mỗi cá nhân dựa vào việc họ đang muốn đi đến đâu, trong khi lời giải của (1.25) thể hiện vị trí (hay chính xác hơn là mật độ phân bố) của họ tại thời điểmt.
Trường trung bình
Phần này ta tìm hiểu phương pháp xây dựng mô hình trường trung bình một cách tổng quát hơn.
Bài toán tĩnh: Điểm cân bằng Nash
Xét tình huống có Nngười tham gia (N ≥1) với động thái của họ được cho bởi: dX t i = σ i dW t i − α i dt,X i 0 = x i ∈ R d , 1 ≤i≤ N (1.26) trong đód ≥ 1,σ i ≥ 0,∀i,(W t 1 , ,W t N ) là N chuyển động Brownian trongR d vàα i tương ứng với chiến thuật của người tham gia thứitại thời điểmt≥0phù hợp với
W t i Để đơn giản trong trình bày, ta giả sử X i t ∈ T d (miền khảo sát) và các mô tả sau đây đều tuần hoàn với chu kỳ 1 theox i j (1 ≤i ≤ N, 1 ≤ j≤d) Hàm chi phí cho mỗi X = (x 1 , ,x N ) ∈ Q N như sau:
(1.27) vớiF i vàL i là các hàm liên tục, và: inf x i L i (x i ,α i )/|α i | → +∞ i f |α i | →+∞ (1.28) Định nghĩa điểm cân bằng Nash:(α¯ 1 , , ¯α N )là một điểm cân bằng Nash nếu:
Cuối cùng, ký hiệu H i (x,p) = sup α ∈ R d (p.α−L i (x,α)) với p ∈ R d ,x ∈ Q, và ν i = 1 2(σ i ) 2 ,∀i : 1≤i ≤d Giả sử rằng H i ∈ C 1 theo p(với mọii,x).
Sự tồn tại của điểm cân bằng Nash phụ thuộc vào một số điều kiện nào đó của dữ liệu Ở đây ta chỉ xét một trường hợp điểm cân bằng Nash tồn tại khi hàm Hamliton H i thõa điều kiện sau:
(1.30) với mọi giá trị1≤i ≤N)và|p|có giá trị lớn.
Các định lý sau đây đã được chứng minh, có thể xem thêm [1], nên phần chứng minh sẽ không trình bày lại ở đây. Định lý 1.1.1: i Tồn tạiλ 1, ,λ N ∈ R,v1, ,vN ∈ C 2 và các giá trịm1, ,mN sao cho (∀1 ≤i ≤ N):
(1.33) ii Với mọi nghiệm( λ 1 , ,λ N),(v 1 , ,v N ),(m 1 , ,m N )của hệ phương trình trên, thì: λ i = J i (α¯ 1 , , ¯α N ) = lim
(1.34) trong đóX¯ i t là nghiệm của (1.26) Định lý 1.1.2:Nếu giả sử rằngν i =ν,H i = Hvới ∀1 ≤i≤ NvàF i (x 1 , ,x N ) F j (x 1 , ,x i − 1 ,x j ,x i + 1 , ,x j − 1 ,x i ,x j + 1 , ,x N )với∀1≤i< j≤ N, khi đó nghiệm của hệ phương trình ở Định lý 1.1 sẽ có dạngλ 1 = =λ N,v1 = =vN,m1= =mN.
Bài toán tĩnh: khi N →+∞Khi số lượng người tham gia tình huống là rất lớn, N → +∞, và giả sử rằng hành vi của mỗi người là giống nhau (ví dụ các công ty trong cùng một lĩnh vực đều muốn thu lợi nhuận, hoặc ai trong đám đông kẹt xe cũng muốn nhanh chóng thoát ra ngoài v.v ) do đóν i =ν,H i = Hvới∀1≤i≤ N Ngoài ra, giả sử hàmF i chỉ phụ thuộc vàox i cũng như mật độ phân bố 1
Một ví dụ thường gặp làV[m](x) = F(K?m(x),x), trong đóKlà một hàm Lips- chitz trênR d ×Q,K?m(x) = R
QK(x,y)m(y)dy Trong thực tế, ta có thể giả sử rằng V[mn]hội tụ đều trênQnếumn hội tụ yếu đếnm. Định lý 1.1.3: Với các điều kiện đã liệt kê ở trên, bất kỳ điểm cân bằng Nash
(λ N 1 , ,λ N N ),(v 1 N , ,v N N ),(m N 1 , ,m N N )nào cũng thõa các tính chất sau: i.(λ i N ) i,N bị chặn trênR,(v i N ) i,N và(m N i ) i,N là các tập compact. ii.sup i,j
| λ N i − λ N j |+kv N i −v N j k ∞ +km i N −m N j k ∞ →0khiN →∞. iii Các giá trị nghiệm ( λ N i ,v N i ,m i N ) đều hội tụ về (λ,v,m) khi N → ∞ và thõa mãn:
Hệ phương trình (1.36) - (1.38) chính là mô hình trường trung bình của bài toán tĩnh (bài toán phân bố xác lập, không phục thuộc và thời gian).
Bài toán tĩnh: tính duy nhất của nghiệm Ở phần trước ta đã xác định được hệ phương trình mô tả bài toán trường trung bình tĩnh, phần này sẽ chứng minh về tính duy nhất nghiệm của hệ (1.36) - (1.38) với một số điều kiện cho trước. Định lý 1.1.4:Giả sửV là hàm đơn điệu trongL 2 , tức là:
Q(V[m1]−V[m2]) (m1−m 2 )dx≥0,∀m 1 , m 2 (1.39) hoặc có thể viết:
Q(V[m1]−V[m2]) (m1−m2)dx≤0,⇒m1≡m2 vàHlà hàm lồi với mọi(x,p) ∈ Q×R d :
∂p(x,p).q =0⇒q =0 (1.40) hoặc có thể dùng một điều kiện yếu hơn cho hàm Hamilton:
∂p(x,p) Khi đó hệ (1.36) - (1.38) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh:Nếu hệ (1.36) - (1.38) có hai nghiệm(λ 1 ,v 1 ,m 1 ) và(λ 2,v2,m2), khi đó ta nhân (1.36) với(m 1 −m2)và (1.38) với(v 1 −v2), sau đó trừ hai phương trình sẽ thu được:
Do V đơn điệu và H là hàm lồi nên cả ba số hạng của phương trình trên đều không âm, nên có thể suy ra ∇v1 ≡ ∇v2 nên v1 ≡ v2, từ đó có thể thấy được m1 ≡m2 Như vậy hệ (1.36) - (1.38) có nghiệm duy nhất.
Bài toán động: một số phân tích
Bài toán động hay có thể nói cách khác là bài toán quá độ, khi đó các đại lượng trong bài toán không chỉ phụ thuộc vào biến không gian x mà còn phụ thuộc vào biến thời giant Giả sử ta khảo sát trong khoảngt ∈ (0,T), khi đó ta có hệ phương trình:
=0trênQ×(0,T) (1.43) với các điều kiện biên: v| t = 0=V0[m(0)]trênQ,m| t = T =m 0 trênQ (1.44)
Các giả thiết cho ν vàH giữ nguyên như trong bài toán tĩnh Các hàmV[m]và V[m(0)]có thể chọn tùy ý, thông thường được chọn như sau:
Trong đó F,F 0 lần lượt là các hàm xác định trên R×Q×[0,T] và R×Q Cuối dùng,m 0 là hàm trơn và dương trênQsao choR
Nếu số lượng người tham gia Nlà hữu hạn, thì nghiệm của (1.42) - (1.44) sẽ thu được bằng cách giải hệ phương trình:
# (x i ) và hệ phương trình Fokker-Planck:
Lưu ý rằngm N (t)là mật độ người tham gia tại thời điểmT−t. Định lý 1.1.5: (Tính duy nhất của nghiệm) giả sửV vàV 0 là các hàm đơn điệu, lần lượt trên L 2 (Q×(0,T))vàL 2 (Q), H làm hàm lồi, khi đó hệ (1.42) - (1.44) sẽ có nghiệm duy nhất.
Phần chứng minh định lý 1.5 cũng tương tự như ở định lý 1.4, đó là nhân (1.42) với(m 1 −m2)và nhân (1.43) với(v 1 −v2), trong đó(v 1 ,m 1 ),(v2,m2)là hai nghiệm của (1.42) - (1.44), sau đó trừ hai vế của phương trình, ta suy rav1 =v2vàm1 =m2. Định lý 1.1.6:(Điều kiện để tồn tại nghiệm) Hệ (1.42) - (1.44) sẽ có nghiệm nếu có các điều kiện sau: i Điều kiện choVvàV0: -V(hoặcV 0 ) ánh xạ tập conX ∈ C([0,T];L 1 (Q))(hoặcC(L 1 (Q))) định nghĩa bởi m≥0,R
Qmdx≡1thành một tập bị chặn trongL ∞ (0,T;W 1,∞ (Q))(hoặcW 1,∞ (Q)).
-Vlà hàm ánh xạ liên tục từXsang(Q×[0,T]). -V,V 0 là ánh xạ bị chặn từC k,α sangC k + 1,α (∀k≥0,∀ α ∈ (0, 1)). ii Điều kiện cho H: Hphải là hàm trơn trênQ×R d và với C≥0thì:
Trong trường hợp thông thường (1.45) thì điều kiện tồn tại nghiệm có thể được viết lại đơn giản hơn như sau: Giả sử F,F 0 ,Hlà các hàm liên tục và với a > 1,b >
∂p(x,p) ≤C|p| q − 1 +C (1.52) Định lý 1.1.7:Nếu có các điều kiện (1.50) - (1.52) thì hệ (1.42) - (1.44) có nghiệm.
Luận văn này chỉ trình bày ngắn gọn một số nội dung và các định lý, phần chứng minh các định lý, có thể xem thêm ở [1], [4] và [5].
Như vậy, ở phần này ta đã xây dựng mô hình trường trung bình trong trường hợp tổng quá, phần tiếp theo sẽ mô tả một số ứng dụng của bài toán trường trung bình trong một số lĩnh vực cụ thể.
Một số ứng dụng của trường trung bình
Ứng dụng trong bài toán quản lý sản xuất
Phần này sẽ giới thiệu cách áp dụng mô hình trường trung bình cho bài toán sản xuất dầu mỏ, với giả sử rằng có một số lượng lớn các công ty tham gia và cạnh tranh trong lĩnh vực này.
Giả sử có một số lượng đủ lớn (để có thể xem là liên tục) các nhà sản xuất dầu mỏ, mỗi nhà sản xuất có một lượng dầu dự trữ ban đầu là R 0 , các khoảng dự trữ này ban đầu được phân phối theom(0, ), và chúng sẽ đóng góp vào sản phẩmqcủa công ty, ta có: dR(t) = −q(t)dt+νR(t)dWt (1.53) Mục tiêu của các công ty là tối ưu hóa lợi nhuận: max( q ( t )) E Z ∞
-rlà lợi nhuận mong muốn.
2. - plà giá cả, được xác định theo quy luật cân bằng cung cấp - nhu cầu trên thị trường tại thời điểm đang xét Nhu cầu được biểu diễn bởiD(t,p), còn lượng hàng cung cấp chính là tổng sản lượng dầu mỏ của công ty.
Mô hình trên có thể áp dụng trong trường hợp xác định (ν = 0) hoặc trong trường hợp ngẫu nhiên (ν6=0).
Trong mô hình xác định, trạng thái cân bằng được đặc trưng bởi các phương trình sau, trong đó p,qvàλlà các hàm chưa biết, R 0 là mức dự trữ dầu ban đầu:
Phần chứng minh của các phương trình trên có thể xem thêm ở [2]. Để tính toán trạng thái cân bằng, ta xét hệ phương trình động:
Khi mô hình động đã được chọn, lời giải choR 0 7→ λ(R 0 ),t7→ p(t)và sản lượng của các công ty sản suất sẽ được xác định bởi: lim θ →+ ∞ p(t,θ) = p(t) (1.61) lim θ →+ ∞ λ(R 0 ,θ) = λ (R 0 ) (1.62)
Ta thấy trong trường hợp này có thể không cần sử dụng đến các phương trình của trường trung bình, tuy nhiên trong trường hợp ngẫu nhiên thì cần phải sử dụng.
Mô hình ngẫu nhiên là mô hình khi có tác động của các nguồn nhiễu từ bên ngoài Trước tiên ta định nghĩa hàm Bellman như sau: u(t,R) = max
Phương trình Hamilton Jacobi Bellman - HJB:
Ký hiệum(t,R)là phân phối của lượng dầu dự trữ tại thời điểmt, phân phối này được thay đổi phụ thuộc vào quyết địnhq ∗ (t, R), trong đóRlà lượng dự trữ tại thời điểmt Phương trình của sự thay đổi này là:
Ta thấymvàulà hai hàm phụ thuộc lẫn nhau, bởi vìmphụ thuộc vào quyết định tối ưu của công ty, được mô tả bởi phương trình HJB, mà quyết định tối ưu này lại phụ thuộc vàou, được cho bởi: q ∗ (t,R) p(t)− α − ∂ R u(t,R) β
Trong khi đó, rõ ràng uđịnh nghĩa bởi hàm Bellman ở trên phụ thuộc vào hàm giá cảp(t), mà giá cả phụ thuộc vào phân phốim Nếup(t)được giữ cố định để cân bằng cung - cầu thì: p(t) = D(t, ) − 1
Khi đó hệ phương trình HJB và Fokker-Plank cho mô hình này sẽ là:
Hệ phương trình (1.68) - (1.69) chính là mô hình trường trung bình cho bài toán phân phối sản lượng dầu mỏ, lời giải chomcủa hệ này sẽ cho ta biết phân phối dầu hiện tại của các công ty, tất nhiên đây chỉ là con số ước lượng vì thực tế con số này ảnh hưởng bởi rất nhiều yếu tố mà ta không thể đưa hết vào mô hình được.
Các phương trình xác địnhu vàmnêu trên tập trung vào yếu tố phụ thuộc lẫn nhau của các đại lượng, nên sẽ không thực tế và trực quan như dạng cổ điển của các phương này Mặc dù vậy chúng thể hiện một đặc tính thật sự quan trọng là: điểm cân bằng theo các phương pháp cổ điển chỉ là một trường hợp đặc biệt của mô hình trường trung bình, do đó khi có nhiều yếu tố khác nhau cùng tác động lên các đại lượng cần khảo sát, thì các phương pháp cổ điển sẽ rất khó giải quyết vấn đề, trong khi đó với mô hình trường trung bình, ta chỉ cần cộng thêm các số hạng có nghĩa vào hệ phương trình đạo hàm riêng mà thôi.
Ví dụ, trong trường hợp này, các công ty sản xuất dầu mỏ không chỉ muốn tối đa lợi nhuận mà còn cố gắng để tránh không để cho mình là những nhà sản xuất cuối cùng, bởi vì kỷ nguyên dầu mỏ rồi cũng sẽ chấm dứt và lúc đó thì không ai biết số phận của các công ty dầu mỏ sẽ ra sao Nên đa số các công ty sẽ rời bỏ lĩnh vực này sớm khi cảm thấy lợi nhuận giảm sút và không có khả năng tăng trở lại.
Yếu tố ảnh hưởng này rất khó tiếp cận nếu sử dụng các phương pháp cổ điển.
Trong khi đó với mô hình trường trung bình thì chỉ cần cộng thêm một hàm phụ thuộcmvào phương trình HJB Một trường hợp điển hình có thể là:
=0 (1.70) với H là một hàm giảm Phương trình trên có nghĩa là nhà sản xuất vừa muốn tối ưu lợi nhuận, vừa muốn có lượng dầu tồn kho ít hơn các đối thủ cạnh tranh của họ. Đây chỉ là một ví dụ trong rất nhiều trường hợp có thể gặp trong thực tế, tuy nhiên rõ ràng nó thể hiện được ưu thế của cách tiếp cận bài toán bằng mô hình trường trung bình.
Ứng dụng trong mô hình phân bố dân cư
Ta xét một lượng lớn cư dân, mỗi cư dân sinh sống tại một tọa độ trong không gian và có các đặc tính (vị trí địa lý, tình hình kinh tế, đặc trưng trong xã hội ) được ký hiệu bởiX∈ R n
Do mỗi cư dân đều chịu ảnh hưởng của môi trường xã hội và các cư dân ở chung quanh, có lúc họ phải chuyển trạng thái trong không gianR n Khi phải di chuyển một khoảng cách có kích thướcαthì họ phải trả một chi phí là |α| 2
2 , và chịu một ảnh hưởng của nhiễu Brownian:dX t i =α(t,X i t )dt+σdW t i , khi đó vấn đề có thể biểu diễn bằng phương trình: sup
(1.71) trong đómlà phân bố của cư dân trong không gian, glà hàm mô tả sự ảnh hưởng của môi trường xã hội và các cư dân xung quanh Để đơn giản, giả sửglà hàm phụ thuộc vàomnhư sau: g(t,x,m) =ln(m(t,x)) (1.72) Khi đó ta có hệ phương trình trường trung bình như sau:
Lời giải cho bài toán tĩnh
Trước tiên ta xét bài toán tĩnh để tìm lời giải chouvàm.
Mệnh đề 1.2.1:(Lời giải Gauss) Giả sửρ < 2 σ 2
Tồn tại 3 hằng số:s 2 > 0,η >0vàωsao cho ∀à ∈ R n , nếumlà hàm phõn phối tuõn theo phõn phối Gauss N(à,s 2 In)vàu(x) = −η|x−à| 2 +ω, thỡ (u,m) là một nghiệm của bài toán.
Ba hằng số trên được cho bởi:
Trước tiên ta xét phương trình (1.74), khi ở trạng thái tĩnh thì:
Tiếp đến xét phương trình (1.73) và thaymbởiK exp( 2 σ 2 u), vớiKlà giá trị được chọn sao chomlà một hàm phân phối xác suất Lời giảiucần tìm có dạng: u(x) =− η |x− à | 2 + ω (1.77) Thay giá hàmuở trên vào (1.73) ta được:
2η 2 |x− à | 2 + ρη |x− à | 2 − ρω −ηnσ 2 =−ln(K) +2η |x−à| 2 σ 2 −2ω σ 2 (1.78) Điều kiện đầu tiên để (1.78) đúng là:
2 (1.79) Để tìmωta cần điều kiện thứ hai: ln(K) =ρω+ηnσ 2 −2ω σ 2 (1.80)
Lưu ý rằngmlà hàm phân phối xác suất, do đóηphải dương, và có giả thiếtρσ 2 0nếux < p0, f B 0 (x) = 0nếux ≥ p0 (1.105) f V 0 (x)>0nếux > p 0 , f V 0 (x) = 0nếux ≤ p 0 (1.106) với một giá trị nào đó củap0 ∈ R.
Một đặc tính tự nhiên của các hệ phương trình trên là tính bất biến theo thời gian t của tổng lượng hàng hóa cũng như tổng số người tham gia mua bán, nên có thể viết: d dt
∂t (x,t)dx (1.107) Do fB biến mất tạip(t)nên: d dt
∂x (p(t),t) +λ(t) =0 (1.108) Tương tự cho hàm fV: d dt
R fV(x,t)dx= d dt Z ∞ p ( t ) fV(x,t)dx Z ∞ p ( t )
Phần tiếp theo sẽ trình bày mốt số kết quả được rút ra từ hệ phương trình (1.101) - (1.103).
Một số kết quả chính
Trước hết ta xét một dạng thu gọn của (1.101) - (1.103), giúp ta có thể trình bày bài toán đơn giản hơn Xét hàm: f(x,t) ( f B (x,t)nếux ≤p(t)
Khi đó hệ (1.101) - (1.103) sẽ viết lại như sau:
Chúng ta giả sử rằng f 0 là một hàm trơn trênRvà giảm nhanh khi x → ∞ (có nghĩa là có thể giả sử f0 ≤ C
1+|x| 2 với C >0chẳng hạn), và: f0(x)>0nếux < p0, f0(x) p0 (1.112)
Các giả thiết trên đây là cần thiết để cho p0 là một mức giá tại điểm cân bằng khit = 0, tức là f 0 (p0 +) = f 0 (p0 −)hay(f B 0 ) 0 (p0) = −f( 0 V ) 0 (p0) Nếu không có các giả thiết này thì f 0 không thể trơn tại p 0 và sẽ dẫn đến một vài kết quả không đồng nhất mà chúng ta không muốn gặp phải ở đây Khi có các giả thiết này thì ta có một nghiệm trơn(f,p)duy nhất cho hệ (1.111) Dạng xấp xĩ rời rạc cho (1.111) là:
(1.113) trong đó λ > 0 vàλ 2 = 2 σ 2 ∆t với ∆t là bước thời gian rời rạc Hàm g là một hàm trơn (và suy giảm nhanh) sao cho: g>0nếux < p0,g p0 (1.114)
Do 1 2λe − λ | x | làm hàm Green của toán tửλ 2 − σ
1nên nghiệm của (1.113) có thể viết dưới dạng: f =G− 1
2λe − λ | x | ?g Có thể thấy từ (1.115) là khix = pthì f(p) = G(p), do đópsẽ xác định duy nhất nếu ta chứng minh đượcGcó điểm zero duy nhất (hay phương trình G(x) = 0có nghiệm duy nhất) Để làm điều đó, ta có thể giả sử (vẫn không làm mất tính tổng quát của bài toán) làp 0 =0, khi đó có thể viết:
0 e λy g−(y)dy−e 2λx R+ ∞ x e − λy g−(y)dyi nếux >0 (1.116) Quan sát thấy rằng
Z + ∞ 0 e − λy g−(y)dy làm hàm giảm khix lim x →+ ∞ S+(x)
1 Hàm Green G ( x, s ) của một toán tử L = L ( x ) là nghiệm của phương trình LG ( x, s ) = δ ( s − x )
Như vậy ta đã chứng minh được nghiệm của (1.113) tồn tại và duy nhất khi điều kiện (1.117) được thõa mãn.
Phần này ta xét một ví dụ về trường hợp tĩnh (xác lập) của phương trình (1.111).
Trong khoảng(0,A)cố định, vớiA >2a, ta có hệ:
2 d f dx(p)(δ p − a−δ p + a)trên(0,A) d f dx(0) = d f dx(A) =0 f(x)>0nếux < p, f(x) pvới a< p p+a d f dx = d f dx(p)nếu p−a0, từ đó tính được:
A−a (1.121) và nghiệm sẽ tồn tại khi và chỉ khi:
A−a (1.122) tương ứng với p ∈ (a,A−a) Hơn nữa ta có thể thấy p là một hàm tăng theo tỉ lệN1/N2, hay nói cách khác là giá cả sẽ tăng khi lượng người mua tăng cao hơn lượng người bán và ngược lại, điều này rất bình thường theo quan điểm kinh tế học
Phương pháp số cho bài toán trường trung bình 25
Phương pháp sai phân hữu hạn
2.1.1 Đề xuất phương án Để đơn giản, trước hết ta xem xét hệ phương trình tĩnh (2.5) - (2.7) Đặt T 2 h là miền đã được chia lưới đều với khoảng cách giữa các điểm làh, vớiN h =1/hlà một số nguyên Ký hiệuxi,jlà một điểm trênT 2 h , giá trị củauvàmtạixi,jđược xấp xĩ lần lượt bởiU i,j vàM i,j
Tiếp đến chúng ta đề xuất một vào giả thiết cho toán tửVnhư sau:
• V : m → V[m] là một ánh xạ từ một tập độ đo xác suất sang một tập các hàm Lipschitz bị chặn trênT 2 1
•Nếumn hội tụ yếu vềm, thìV[mn]sẽ hội tụ đều vềV[m]trênT 2 Một cách xấp xỉ thường được sử dụng là:
(Vh[M]) i,j =V[mh](xi,j) (2.12) với m h là hằng số có giá trị bằng M i,j , với ý nghĩa là giá trị xấp xĩ của hàm m trên miền|x−x i,j | ∞ ≤h/2, và giả sử rằngV[m h ]có thể tính được trong thực tế.
Ký hiệu các toán tử sai phân hữu hạn như sau:
Ký hiệu hàm Hamilton số là g : T 2 × R 4 → R, khi đó phép xấp xĩ sai phân hữu hạn củaH(x,∇u)là:
(2.14) Từ đó ta có phiên bản rời rạc của (2.5) như sau:
(∆ h W) i,j =− 1 h 2 (4W i,j −W i + 1,j−W i − 1,j−W i,j + 1−W i,j − 1) (2.16) [D h W] i,j = (D 1 + W) i,j ,(D + 1 W) i − 1,j ,(D + 2 W) i,j ,(D 2 + W) i,j − 1 (2.17) Đối với hàm Hamilton rời rạc g : (q 1 ,q 2 ,q 3 ,q 4 ) → g(x,q 1 ,q 2 ,q 3 ,q 4 ), ta có các giả thiết sau:
(H 1 ): Tính đơn điệu: glà hàm không tăng theo q 1 và q3, và là hàm không giảm theoq−2vàq 4
(H 3 ): Tính khả vi:glà hàm thuộc không gianC 1 Dạng rời rạc của phương trình (2.6) được lựa chọn dựa vào các yêu cầu sau:
1 Hàm f ( x ) được gọi là hàm Lipschitz nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho | f ( x ) − f ( y )| ≤C | x − y | , ∀ x, y.
•Khi cố định giá trị củau, thì (2.6) trở thành một phương trình elliptic tuyến tính theom Do đó, khi cố định giá trị củaU, dạng rời rạc của (2.6) phải tạo nên một ma trận với các phần tử trên đường chéo chính dương, các phần tử còn lại không âm để có thể sử dụng được các nguyên lý cực đại rời rạc.
• Các lập luận về tính duy nhất nghiệm của hệ (2.1) - (2.4) cũng như hệ (2.5) - (2.7) vẫn giữ nguyên giá trị đối với trường hợp rời rạc Vì lý do này, dạng rời rạc g của hàm Hamilton giới thiệu ở trên cũng được sử dụng trong dạng rời rạc của (2.6), nên ta có thêm một giả thiết chognhư sau:
(H 4 ): Tính lồi: hàmq1,q2,q3,q4)→ g(x,q1,q2,q3,q4)là hàm lồi. Ý tưởng chính của phần này là xét dạng yếu của (2.6), trong đó tồn tại số hạng:
∂p(x,∇u)ã ∇w (2.19) và được xấp xĩ bởi: h 2 ∑ i,j m i,j ∇ q g(x i,j ,[D h U] i,j )ã[D h W] i,j (2.20)
Từ đó có thể suy ra dạng rời rạc của (2.6):
(2.21) Để đơn giản hơn, ta sử dụng ký hiệu:
(2.22) giúp ta có thể viết (2.21) ngắn gọn:
−ν(∆ h M) i,j −Bi,j(U,M) = 0 (2.23)Một lưu ý quan trọng là toán tử M → −ν(∆ h M) i,j −Bi,j(U,M)là tổ hợp tuyến tính của toán tửU → −ν(∆hM) i,j +g(xi,j,[DhU] i,j )sau khi đã tuyến tính hóa.
Ta cần thêm một giả thiết cho hàmgnhư sau:
(H 5 ): Giả thiết rằng toán tử rời rạc trong (2.23) là một xấp xỉ nhất quán của toán tử vi phân trong (2.6), có nghĩa là tồn tại mốt số nguyên dươngl, một số thựcδ 0∈ (0, 1) và một số thực dươngrsao cho với mọiv,m ∈ C l,δ 0 ( T 2 ), tồn tại một hằng sốKphụ thuộc vào chuẩn củavvàmtrong không gian này, sao cho với mọih < 1, gọiVe và Me là hàm lưới định nghĩa bởi:
≤Kh r ,∀i,j (2.25) Giả thiết này luôn được bảo đảm nếugthõa (2.18) và g,Hlà những hàm trơn.
Kết hợp các phương trình trên, cuối cùng ta được hệ phương trình (2.5) - (2.7) được xấp xĩ bằng phương pháp sai phân hữu hạn như sau:
M i,j =1vàM i,j ≥0,∀i,j: 0≤i,j< N h (2.29) với các biến cần tìm là U,M, (V h [M]) i,j cho bởi (2.12), B i,j (U,M) được định nghĩa bởi (2.22) và hàm Hamilton sốg : T 2 × R 4 → R ít nhất phải thỏa mãn các giả thiết (H 1 ) - (H3) ở trên.
Phương pháp tương tự cũng được sử dụng cho hệ (2.1) - (2.4), sẽ được trình bày kỹ hơn ở phần ba của chương này.
Trước khi bắt đầu phần tiếp theo, ta nêu ra một bổ đề, bổ đề này sẽ được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm ở các phần sau.
Bổ đề 2.1.1:ChoVlàm một hàm xác định trên lướiT 2 h vàρlà một số dương Giả sửgthõa (H 1 ) - (H 3 ), khi đó tồn tại duy nhất một hàm lướiUsao cho: ρUi,j+g(xi,j,[DhU] i,j )−ν(∆ h U) i,j =Vi,j (2.30)
Chứng minh:Xét ánh xạF :R N 2 h → R N 2 h :
Do tính liên tục của gnên Flà ánh xạ liên tục từ Br = {U ∈ R N h 2 : kUk ∞ ≤ r} đến
R N h 2 Giả sửU ∈ ∂Br, phải tồn tại ít nhất một cặp(i0,j0) sao choUi 0 ,j 0 = ±r Trường hợpU i 0 ,j 0 =rta có ν(∆ h U) i 0 ,j 0 −g(x i 0 ,j 0 ,[D h U] i 0 ,j 0 ) ≤ −H(x i 0 ,j 0 , 0) (2.33) do tính đơn điệu và tính nhất quán củag Do đó:
[F(U)] i 0 ,j 0 ≤ 1 ρ(−H(x i 0 ,j 0 , 0) +V i 0 ,j 0 )≤r (2.34) và [F(U)] i 0 ,j 0 6= λU i 0 ,j 0 khi λ > 1 Tương tự cho trường hợp U i 0 ,j 0 = −r, khi đó[F(U)] i 0 ,j 0 ≥ −rnên[F(U)] i 0 ,j 0 6=λU i 0 ,j 0 Từ đó ta thấyF(U)6=λUvới mọiλ>1vàU ∈ ∂Br Theo định lý điểm cố định của Leray-Schauder thì phương trình (2.30) có nghiệm trongBr Tính duy nhất của nghiệm thì có thể suy ra thì tính đơn điệu của g.
Phân tích bài toán tĩnh
Sự tồn tại nghiệm của hệ (2.26) - (2.29) có thể được chứng minh với một số giả thiết cho các hàmgvàV h , bằng các sử dụng định lý Brouwer cho một ánh xạχxác định trên tập compact và lồi: κ
Tập trên có thể xem như tập độ đo xác suất rời rạc Định nghĩa ánh xạΦ : M ∈κ → Uvới(U,λ)là nghiệm của (2.26) với các ràng buộc (2.28) Sau đó ánh xạM→ χ (M) thu được bằng các giải (2.27) với các ràng buộc trong (2.29).
Hàm rời rạc U = Φ(M) thu được bằng cách lấy giới hạn khi ρ → 0 của hàm Hamilton-Jacobi-Bellman sau: ρU i,j ( ρ ) +g(xi,j,[D h U ( ρ ) ] i,j )−ν(∆ h U ( ρ ) ) i,j = (V h [M]) i,j (2.36)
Ta sẽ xem xét phương trình (2.36) để có được các giá trị biên củaU ρ theoρvàM, sau đó suy ra các giá trị biên củaU theoM(và có thể là theoh).
2.2.1 Một vài kết quả ban đầu
Xét bài toán liên tục, trong các bài báo [1] và [4] có chứng minh rằng tồn tại θ ∈ (0, 1)sao cho với|p|đủ lớn thì: xinf∈ T 2
Ngoài ra chúng ta cần thêm một vài giả thiết nữa cho các hàmHvàg Trước hết ta sử dụng các ký hiệu sau:
Giả thiết 1:(a) Hàm HamiltonHcó dạng
H(x,p) =max α ∈ A(pãα−L(x,α)) (2.38) với Alà tập compact con của R 2 và Llà một hàm C 1 trên T 2 ×A HàmH liên tục theoxvà là hàmC 1 theo p.
(b) Hàm Hamilton rời rạcg : T 2 × R 4 → R,(x,q) → g(x,q) là hàm liên tục đều
2theox Với∀h≤h0, hàmgphải thõa các điều kiện (H 1 ), (H2) và (H3).
(c) Định nghĩa hàm F : T 2 × R 4 → R,(x,q 1 ,q2,s 1 ,s2) ⇒ F(x,q 1 ,q2,s 1 ,s2) cho bởi:
−ν(∆ h U) i,j +g(xi,j,[D h U] i,j ) = F(xi,j,(D c 1 U) i,j ,(D c 2 U) i,j ,(D 2 1 U) i,j ,(D 2 2 U) i,j ) (2.39) ta giả sử tồn tại các hằng số dươnga0,a1vàb0sao cho vớih =1/Nh ≤h 0 thì a0 ≤ − ∂F
(d) Tồn tại hàmg ∞ : R 4 → R với các điều kiện:
• g ∞ không tăng theoq 1 ,q3và không giảm theoq2vàq 4
Ví dụ 1:Với A ={α ∈ R 2 ,|α ≤1}vàL(x,α) = L(α) = |α| γ vớiγ>1, thì
(2.41) và sử dụng phương pháp của Godunov: g(x,q 1 ,q2,q3,q 4 ) = H q (q − 1 ) 2 + (q − 3 ) 2 + (q + 2 ) 2 + (q + 4 ) 2
2 Liên tục đều (uniform continuity): Một hàm g, có thể là hàm liên tục hoặc rời rạc, được gọi là liên tục điều nếu ∀ e > 0 thì ∃ δ > 0 sao cho ∀ x, y, | x − y | < δ ⇒ | g ( x ) − g ( y )| < e.
Trong ví dụ trên thì giả thiết 1 được thõa mãn với g ∞ (x,q1,q2,q3,q4) q (q − 1 ) 2 + (q − 3 ) 2 + (q + 2 ) 2 + (q + 4 ) 2 (2.43)
Giả thiết 2:(a) Hàm HamiltonHở (2.38), với Alà tập compact con củaR 2 vàLlà hàm trênT 2 ×A Hlà làm liên tục Lipschitz theoxvà liên tục đều theop.
(b) Hàm Hamilton rời rạc gthõa điều kiện (b) ở giả thiết 1.
(c) Hàm Hamilton rời rạc gcó dạng g(x,q 1 ,q 2 ,q 3 ,q 4 ) = sup β ∈ B
•các hàmal,bl : T 2 ×B → R là liên tục theoβ, vàblliên tục Lipschitz theo x,
•với ∀h ≤h 0 ,(x,β) ∈ T 2 ×B, max hb + 1 (x,β)−a 1 (x,β),hb − 2 (x,β)−a 2 (x,β),hb + 3 (x,β)−a 3 (x,β),hb 4 − (x,β)−a 4 (x,β) ≤0
(d) Hàm Hamilton rời rạc gthõa điều kiện (d) của giả thiết 1.
Ví dụ 2: Sử dụng H ở ví dụ 1, nhưng thay vì phương pháp của Godunov thì ở đây sử dụng phương pháp của Lax-Friedrichs với hệ sốθđủ lớn g(x,q1,q2,q3,q4) = H x, q 1 +q 2 2 ,q 3 +q 4
Ví dụ này thõa mãn cả giả thiết 1 cũng như giả thiết 2.
Mệnh đề 2.2.1:Giả sử H vàgthõa giả thiết 1 và 2 ở trên,V là hàm lưới trênT 2 h
(dùng ký hiệuV thay choV h vì không có sự nhầm lẫn ở đây) vàρlà một số không âm.
Vớih ≤h0, gọi hàmU xác định trênT 2 h là nghiệm của: ρUi,j+g(xi,j,[D h U] i,j )−ν(∆ h U) i,j =Vi,j (2.46)
(xem lại Bổ đề 2.1.1) Nếu Giả thiết 1 được thõa mãn vàkVk ∞ bị chặn vớih≤h0bởi c0, khi đó tồn tại hai hằng sốδ∈ (0, 1)vàC >0phụ thuộc vàoa0,a1,b0,c0vàkUk ∞ nhưng độc lập vớihvàρsao cho∀h ≤h 0 , 0 0, cả hai đều độc lập vớihvàρsao cho∀ ρ, 0 < ρ ≤1, nghiệm của (2.46) sẽ thõa điều kiện: max ξ 6= ξ 0 ∈ T 2 h
2 Nếu Giả thiết 2 được thõa mãn vàkVk ∞ +kD h Vk ∞ bị chặn vớih ≤ h 0 bởic 0 , khi đó tồn tại hằng sốCđộc lập vớihvàρsao cho ∀ρ, 0 0sao cho∀h =1/N h 0vàδ ∈ (0, 1)độc lập với h,Mvà ρ để (2.49) nghiệm đúng Do đó sẽ tồn tại hằng sốc(h) ∼ h δ − 1 độc lập với M vàρ mà kD h U ( ρ ) k ∞ ≤c(h) (2.53)
Từ đó suy ra nếu ρ → 0, U ( ρ ) −h 2 ∑i,jU i,j ( ρ ) sẽ hội tụ về một hàm lưới U mà
∑i,jUi,j =0 vàρh 2 ∑i,jU i,j ( ρ ) hội tụ vềρ ∈ R Có thể kiểm tra được rằng (U,λ) thõa mãn (2.52) và các điều kiện (2.49) và (2.53).
Tính duy nhất choλxuất phát từ nguyên tắc so sánh sau: NếuUlà một nghiệm của (2.52) vớiλ = λ 1 vàW là một nghiệm khác của (2.52) với λ = λ 2, thì λ 2 ≤ λ 1. Tính duy nhất củaUthu được bằng cách áp dụng liên tục nguyên tắc cực đại rời rạc từ tính đơn điệu củag.
Bước 2:tính liên tục củaΦ Xét dãy các hàm lướiM ( k ) trongκtiến về M∈ κ khik tiến ra vô cùng Từ các giả thiết củaV vàV h có thể suy raV h [M ( k ) ]hội tụ vềV h [M]. Với λvàU là một nghiệm của (2.52), và gọiλ ( k ) ,U ( k ) là một nghiệm của (2.52) khi M = M ( k ) Từ cách định nghĩa trên ta có các dãy(λ k ) k và(kU ( k ) k ∞ ) k đều bị chặn.
Nếu có thể tách ra một dãy con(λ ( k
0 ))tiến đếneλvàU ( k 0 ) tiến đếnUe với
Tính duy nhất nghiệm cho (2.52) suy raeλ= λ vàUe =U, nên toàn bộ dãy( λ k ) k và(U k ) k và sẽ tiến vềλ,U Từ đó ta chứng minh được ánh xạΦlà liên tục.
Bước 3:Với M∈ κvàU =Φ(M), xét bài toán tuyến tính sau: Tìm Me sao cho àMe i,j −ν(∆ h Me) i,j −B i,j (U,Me) = àM i,j (2.55) trong đúàlà một số dương đủ lớn và sẽ được chọn sau Bài toỏn tuyến tớnh này cú thể viết lại như sau: àMe +AMe = à M (2.56) với Alà một toán tử tuyến tính phụ thuộc vàoU.
Từ các giả thiết về tính đơn điệu củagcó thể suy ra rằng ∂g
∂q 4 ≥ 0, do đó ma trận A có các phần tử trên đường chéo dương còn các phần tử khác thì không dương Hơn nữa, do g ∈ C 1 , từ (2.53) có thể suy ra rằng tồn tại một hằng số C không phụ thuộc vào M (có thể phụ thuộc vào h) sao cho
Từ đõy ta thấy rằng vớiàđủ lớn và khụng phụ thuộc vào Mthỡ ma trậnàId+Alà ma trận khả nghịch Hệ phương trình tuyến tính (2.55) sẽ có nghiệm duy nhấtM, vàe
Me là không âm doMkhông âm.
Tiếp đến ta chứng minhh 2 (M, 1e ) 2 =h 2 (M, 1) 2 =1 Với hai hàm lướiW vàZ, ta sẽ tính(AW,Z) 2 Tích phân (tổng) rời rạc từng phần ta có
Có thể kiểm tra rằng với mọi hàmW thì(AW, 1) 2 =0, do đó khi lấy tích vô hướng của (2.56) vớiZ =1, ta sẽ cóh 2 (M, 1e ) 2 =h 2 (M, 1) 2 =1, và Me ∈ κ.
Gọiχ: κ→κlà ánh xạ định nghĩa bởiχ: M →M.e
Xấp xỉ hệ phương trình quá độ
Với N T là một số nguyên và ∆t = T/N T ,tn = n∆t với n = 0, 1, ,N T Giá trị củauvàmtại(x i,j ,tn)được xấp xĩ bởiU i,j n vàM n i,j ChoM 0 ∈ κ (tập compactκđịnh nghĩa bởi (2.35)) vàU 0 , bài toán rời rạc sẽ làm xác định (U n ,M n ) với n =0, 1, ,N T sao cho
(2.72) với mọin,i,j : 0 ≤ n ≤ N T , các ký hiệu đã định nghĩa ở trên, đặc biệt là B i,j định nghĩa ở (2.22) và h 2 ∑ i,j
2.3.1 Định lý về sự tồn tại của nghiệm Định lý 2.3.1:Giả sử rằng
• gthõa mãn (H 1 ) - (H3) và tồn tại hằng sốCsao cho
•V là toán tử đơn điệu với các giả sử ở phần 2.1.
NếuM 0 ∈κ, thì hệ (2.72) - (2.73) có nghiệm Nếu tồn tại hằng sốCkhông phụ thuộc vàohvàkD h U 0 k ∞ ≤C, thì∀n,kD h U n k ∞ ≤cvớiclà một hằng số không phụ thuộc vàohvà∆t.
Chứng minh: Phương pháp chứng minh ở đây cũng tương tự như ở Định lý 2.2.1 Trước hết xây dựng ánh xạ liên tụcχ : κ N T → κ N T và dùng định lý điểm bất động của Brouwer, thực hiện lần lượt qua các bước.
Bước 1:Cho(U i,j 0 ) 0 ≤ i,j ≤ N h , xét ánh xạ Φ : (M n ) i ≤ n ≤ N T ∈ κ N T → (U n ) 1 ≤ n ≤ N T , với U n là một nghiệm của phương trình đầu tiên trong hệ (2.72), có nghĩa là
∆t −ν(∆ h U n + 1 ) i,j +g(x i,j ,[D h U n + 1 ] i,j ) = (V h [M n + 1 ]) i,j (2.75) với n = 0, 1, ,NT−1và 0 ≤ i,j ≤ N h Sự tồn tại của U n + 1 được chứng minh sử dụng Bổ đề 2.1.1 ở mỗi bước thời gian vớiρ=1/∆tvàVi,j =U i,j n /∆t+ (V h [M n + 1 ]) i,j
Bước 2:Ở phần chứng minh của định lý 2.2.1 ta thấy kU n + 1 k ∞ ≤max i,j
(2.76) nên có thể suy ra rằng tồn tại một hằng sốCphụ thuộc vàokU 0 knhưng độc lập với (M n )sao chokU n k ∞ ≤C(1+T) Do đó,Φánh xạ tậpκ N T đến một tập con bị chặn của( R N 2 h ) N T Hơn nữa, bằng cách sử dụng giả thiết về tính liên tục củaV, ta có thể suy ra rằng ánh xạΦlà liên tục từκ N T đến( R N h 2 ) N T
Bước 3:Nghiệm của (2.75) được ký hiệu
Do tính đơn điệu, nên vớiM ∈ κ,U,W ∈( R N h 2 ) N T thì k(Ψ(U,M)−Ψ(W,M) + k ∞ ≤ k(U−W) + k ∞ (2.78) k(Ψ(U,M)−Ψ(W,M)k ∞ ≤ k(U−W)k ∞ (2.79) Với(l,m) ∈ Z 2 , gọiτ l,m Ulàm hàm rời rạc định nghĩa bởi
(τ l,m U) i,j =U l + i,m + j (2.80) Ta kiểm tra được rằng
−g(x i + l,j + m,[D h ( τ l,m U n + 1 )] i,j ) +g(x i,j ,[D h ( τ l,m U n + 1 )] i,j ) (2.81) và do đó τ l,mU n + 1 =Ψ( τ l,m U n +∆tE,M n + 1 ) (2.82) E i,j = (V h [M n + 1 ]) i + l,j + m −(V h [M n + 1 ]) i,j
Từ các giả thiết củaV và g, đặc biệt là (2.74), sẽ tồn tại một hằng sốC (độc lập với n,M n ,hvà∆t) sao cho kEk ∞ ≤C(1+kD h U n + 1 k ∞ )hp l 2 +m 2 (2.83)
Kết hợp với (2.79) có thể suy ra kτ l,m U n + 1 −U n + 1 k ∞ ≤ kτ l,m U n −U n k ∞ +Ch∆t pl 2 +m 2 (1+kD h U n + 1 k ∞ )
Theo dạng rời rạc của bổ đề Gronwall 4 thì sẽ tồn tại một hằng số L chỉ phụ thuộc vàoC,Tvà điều kiện đầukD h U 0 k ∞ sao cho∀n, 1 ≤n≤ NT mà kDhU n + 1 k ∞ ≤ L (2.87)
Bước 4: bài toán điểm bất động cho (M n ) 1 ≤ n ≤ N T Với (M n ) 1 ≤ n ≤ N T ∈ κ N T và (U n ) 1 ≤ n ≤ N T = Φ((M n ) 1 ≤ n ≤ N T ) và một số thực dương à, xột bài toỏn tuyến tớnh: tìm(Me n ) 1 ≤ n ≤ N T sao cho
∆t +àMe i,j n + 1 −ν(∆ h Me n + 1 ) i,j −B i,j (U n + 1 ,Me n + 1 ) = àMe i,j n + 1 (2.88) với điều kiện đầu Me 0 =M 0 vàh 2 ∑i,jM 0 i,j ,M 0 ≥0.
Trước hết ta chứng minh vớiàđủ lớn thỡ (2.88) cú nghiệm duy nhất(Me n ) 1 ≤ n ≤ N T ∈ κ N T và sau đó là ánh xạ (M n ) 1 ≤ n ≤ N T →(Me n ) 1 ≤ n ≤ N T có một điểm bất động, khi đó sẽ suy ra được sự tồn tại nghiệm của (2.72) - (2.73).
Bước 5:sự tồn tại nghiệm của (2.88) Ta thấy (2.88) là dạng rời rạc của một phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện đầu, có thể viết phương trình này lại thành:
Me n + 1 +∆t(àMe n + 1 +A n + 1 Me n + 1 ) = Me n + à∆tM n + 1 (2.89) với A n + 1 là toán tử tuyến tính phụ thuộc vàoU n + 1 Như ở phần chứng minh Định lý 2.2.1, các giả thiết về tính đơn điệu của g dẫn đến việc ma trận Id+∆tA n + 1 có các phần tử trên đường chéo dương còn các phần tử còn lại đều âm Hơn nữa, vì glà hàm liên tục rời rạc nên từ (2.87) có thể suy ra rằngC chỉ phụ thuộc vàokD h U 0 k, sao cho ∀n, 1 ≤ n ≤ N T ,∀i,j : 0 ≤ i,j ≤ N h và vớil =1, 2, 3, 4thì
4 Dạng rời rạc của bổ đề Gronwall (Discrete version of Gronwall’s Lemma): Cho ( u n ) và ( w n ) là hai dãy không âm sao cho: u n ≤ α + n−1 ∑ k=0 u k w k , ∀ n (2.86) thì khi đó u n ≤ α exp
Trong trường hợp này có thể chọn α = C∆t
Từ đõy ta thấy với à là giỏ thị đủ lớn và khụng phụ thuộc vào (M n ) thỡ ma trận tương ứng với Id+∆t(àId+A n + 1 ) là ma trận loại M (M-matrix) 5 và là ma trận khả nghịch, do đó hệ phương trình tuyến tính (2.89) có nghiệm duy nhất.
Hơn nữa, vỡ M 0 ≥0,∀n = 0, 1, ,NT và Id+∆t(àId+A n + 1 ) là ma trận loại M
Phần còn lại ta chứng minh rằng h 2 ∑i,jMe n i,j = 1,∀n, 1 ≤ n ≤ NT Như ở phần chứng minh của Định lý 2.2.1, với hai hàm lướiWvàZta có
Từ hai phương trình (2.89) và (2.91), có thể chứng minh bằng quy nạp rằng nếu h 2 (M 0 , 1) 2 =1thì sẽ cóh 2 (Me n , 1) 2 =1,∀n, 1 ≤n≤ NT.
Bước 6: sự tồn tại điểm bất động củaχ Từ tính liên tục của ánh xạΦvà các giả thiết củag, có thể suy ra rằngχlà ánh xạ liên tục Do đó có thể ứng dụng định lý điểm bất động của Brouwer (Brouwer’s fixed point theorem) để suy ra rằng ánh xạχtồn tại một điểm bất động.
Tóm lại, với M 0 >0vàh 2 (M 0 , 1) 2 =1, ta đã chứng minh được ánh xạχcó điểm bất động là(M n ) 1 ≤ n ≤ N T Gọi(U n ) 1 ≤ n ≤ N T =Φ((M n ) 1 ≤ n ≤ N T ), và khi đó(M n ),(U n ) là nghiệm của (2.72) và (2.73).
2.3.2 Tính duy nhất của nghiệm Để đơn giản, thực tế ta sử dụng sơ đồ ẩn sau đây của hệ (2.1) - (2.4) để dễ chứng minh hơn
U i,j 0 = (V 0,h (M 0 )) i,j ≡V0[m 0 h ](xi,j) (2.96) Định lý 2.3.2:Với các giả thiết như ở Định lý 2.3.1 vàV thõa mãn cái giả thiết ở phần 2.1, nếu M N T ≥0và∑i,jM i,j N T =1, thì hệ (2.92) - (2.96) có nghiệm Khi đó tồn tại một hằng sốCkhông phụ thuộc vào hvà∆tsao chokD h U n k ∞ ≤C,∀n.
5 Ma trận loại M (M-matrix) là một ma trận loại Z (Z-matrix) với các trị riêng dương (hoặc có phần thực dương nếu là số phức).
Ma trận loại Z (Z-matrix) là ma trận có các phần tử không nằm trên đường chéo chính nhận các giá trị không dương, tức là z i,j ≤ 0, i 6= j.
Phần chứng minh định lý này tương tự như Định lý 2.3.2, có thể xem thêm ở [3]. Định lý 2.3.3:Sử dụng các giả thiết như ở Định lý 2.3.2, hơn nữa giả sửgphải là hàm lồi theo (q 1 ,q2,q3,q 4 ) (giả thiếtH 4 ), và các toán tửV h ,V 0,h là đơn điệu, có nghĩa là
2≤0⇒V 0,h [M] = V 0,h [Me] Khi đó hệ (2.92) - (2.96) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh: Gọi (U n ,M n ) và (Ue n ,Me n ) là hai nghiệm của (2.92) - (2.96) Nhân (2.92) khi nghiệm là(Ue i,j n ,Me n i,j ) n,i,j với M n i,j −Me i,j n , làm tương tự với (2.92) khi nghiệm là(U i,j n ,M n i,j ) n,i,j , sau đó trừ hai phương trình vế theo vế rồi lấy tổng vớin =0, ,NT− 1,∀i,j, ta được:
Tiếp đến, thay lần lượt các nghiệm(Ue i,j n ,Me i,j n ) n,i,j và(U i,j n ,M n i,j ) n,i,j và phương trình (2.93) sau đó trừ hai vế phương trình với nhau, rồi nhân kết quả thu được vớiU i,j n + 1 − Ue i,j n + 1 , cuối cùng lấy tổng vớin =0, 1, ,NT−1,∀i,jsẽ thu được:
Cộng hai phương trình (2.97) và (2.98) vế theo vế ta có
Do tính đơn điệu củagvàVnên cả bốn số hạng ở vế phải của phương trình trên đầu không âm, do đó chúng phải bằng không, từ đó ta cóV h [M n ] = V h [Me n ],∀n 0, 1, ,N T vàV 0,h [M 0 ] = V 0,h [Me 0 ] Điều này dẫn đếnU 0 = Ue 0 ⇒ U n = Ue n ,∀n 0, 1, ,NT Cuối cùng do tính duy nhất nghiệm của (2.93) nên M n = Me n ,∀n 0, 1, ,NT.
Như vậy phần này đã chứng minh được tính tồn tại và tính duy nhất của hệ phương trình rời rạc xấp xĩ của hệ phương trình quá độ, phần tiếp theo sẽ nói về tính hội tụ của bài toán rời rạc.
Tính hội tụ của bài toán
Định lý 2.4.1: Giả sử ta có các giả thiết của Định lý 2.3.2 và tồn tại các số thực c >0,s >0sao cho∀h 0,c 1 ≥0,β> 1và0 ≤ γ
