Phương pháp số cho bài toán trường trung bình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN PHƯỚC BẢO DUY PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO BÀI TỐN TRƯỜNG TRUNG BÌNH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2018 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG TP HCM Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Tiến Dũng Cán chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Bá Thi Cán chấm nhận xét 2: PGS.TS Nguyễn Văn Kính Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 11 tháng 01 năm 2018 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Chủ tịch: PGS.TS Nguyễn Đình Huy Thư ký: TS Huỳnh Thị Hồng Diễm Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Văn Kính Ủy viên: TS Lê Xuân Đại Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn chỉnh sửa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS.TS HUỲNH QUANG LINH ii ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Nguyễn Phước Bảo Duy Ngày, tháng, năm sinh: 28/11/1987 Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng MSHV: 7140269 Nơi sinh: Đồng Nai Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO BÀI TỐN TRƯỜNG TRUNG BÌNH II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: i Thiết lập phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman Fokker-Planck mơ hình trường trung bình ii Trình bày phương pháp sai phân hữu hạn để giải số hệ phương trình đạo hàm riêng mơ hình trường trung bình iii Mơ trường hợp cụ thể mơ hình trường trung bình nhận xét kết III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 10/07/2017 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 03/12/2017 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS Nguyễn Tiến Dũng Tp HCM, ngày tháng năm 2018 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO TS NGUYỄN TIẾN DŨNG PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PGS.TS HUỲNH QUANG LINH iii Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn đến Tập thể thầy cô giáo Bộ mơn Tốn ứng dụng, thuộc Khoa Khoa học ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG Tp HCM dạy dỗ truyền đạt kiến thức cho tơi suốt q trình học tập nơi TS Nguyễn Tiến Dũng, cán hướng dẫn, người giới thiệu tơi đề tài có định hướng, góp ý q báu q trình thực luận văn PGS TS Nguyễn Đình Huy, chủ nhiệm Bộ mơn Tốn ứng dụng - Khoa Khoa học ứng dụng, giảng dạy hướng dẫn để giúp hồn thành kịp thời thủ tục hành Tập thể thầy giáo Bộ mơn Cơ sở Kỹ thuật điện, Khoa Điện - Điện tử, trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG Tp HCM, đồng nghiệp, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa học Cuối tơi xin cám ơn gia đình bạn bè ủng hộ động viên mặt tinh thần để tơi hồn thành luận văn Tp.HCM, ngày 03/12/2017 Nguyễn Phước Bảo Duy iv Tóm tắt luận văn Trường trung bình lý thuyết Lý thuyết trò chơi, nghiên cứu tình số lượng người tham gia lớn N → ∞ Luận văn trình bày khái niệm mơ hình trường trung bình số ứng dụng mơ hình toán kinh tế - xã hội Luận văn trình bày phương pháp sai phân hữu hạn để giải hệ phương trình mơ tả mơ hình trường trung bình đồng thời minh họa phương pháp thơng qua toán cụ thể vi Abstract Mean Field Games is a novel brand of Games Theory, investigating the situations where the number of agents involved tends to infinity N → ∞ This thesis presents basic concepts of Mean Field Games as well as some of its applications in economical and social problems This thesis also illustrates the Finite Difference Scheme in order to solve the system of partial differential describing the Mean Field Games and demonstrates the method through a specific problem vii Lời cam đoan Tôi tên Nguyễn Phước Bảo Duy, MSHV: 7140269, học viên cao học chuyên ngành Toán ứng dụng trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG Tp.HCM khóa 2014 Tơi xin cam đoan rằng, ngoại trừ kết tham khảo từ công trình khác ghi rõ luận văn, cơng việc trình bày luận văn tơi thực với hướng dẫn TS Nguyễn Tiến Dũng Tp.HCM, ngày 03/12/2017 Nguyễn Phước Bảo Duy v Mục lục Chương Giới thiệu đề tài 1.1 Trường trung bình 1.1.1 Phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman 1.1.2 Phương trình Fokker-Planck 1.1.3 Trường trung bình 1.2 Một số ứng dụng trường trung bình 1.2.1 Ứng dụng toán quản lý sản xuất 1.2.2 Ứng dụng mơ hình phân bố dân cư 1.2.3 Ứng dụng tài 1.3 Tổng kết chương 4 14 14 17 21 24 25 26 26 29 30 30 33 36 37 37 40 42 43 Chương Mô kết 3.1 Mơ tả tốn cần mơ 3.2 Một số phương trình quan trọng dùng để mơ 3.3 Kết mô 44 44 45 47 Kết luận đề xuất 53 Tài liệu tham khảo 54 Phụ lục 55 Chương Phương pháp số cho toán trường trung bình 2.1 Phương pháp sai phân hữu hạn 2.1.1 Đề xuất phương án 2.1.2 Tổng hợp 2.2 Phân tích tốn tĩnh 2.2.1 Một vài kết ban đầu 2.2.2 Sự tồn nghiệm 2.2.3 Tính nghiệm 2.3 Xấp xỉ hệ phương trình độ 2.3.1 Định lý tồn nghiệm 2.3.2 Tính nghiệm 2.4 Tính hội tụ toán 2.5 Tổng kết chương Danh sách hình vẽ 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 Căn phịng đám đơng bên Minh họa với h = 0.1 Phân bố mật độ ban đầu Trường hợp 1: Phân bố mật độ sau 30 giây Trường hợp 1: Phân bố mật độ sau 60 giây Trường hợp 1: Phân bố mật độ sau phút Trường hợp 1: Phân bố mật độ sau phút Trường hợp 1: Phân bố mật độ sau phút 30 giây Trường hợp 2: Phân bố mật độ sau 30 giây Trường hợp 2: Phân bố mật độ sau 60 giây Trường hợp 2: Phân bố mật độ sau phút Trường hợp 2: Phân bố mật độ sau phút Trường hợp 2: Phân bố mật độ sau phút 30 giây 44 46 47 48 48 48 49 49 50 50 51 51 52 Chương Giới thiệu đề tài Trường trung bình (Mean field games, tiếng Pháp Jeux champ moyen) nhánh lý thuyết trò chơi, nghiên cứu phát triển độc lập nhóm nhà khoa học Pierre-Louis Lions, Jean-Michael Lasry, Oliver Guéant (Pháp) Peter Caines (Canada) vào khoảng năm 2006-2007 Hiện lý thuyết trò chơi nghiên cứu phịng thí nghiệm MFG (MFG Labs) Paris, Pháp, phịng thí nghiệm thành lập Pierre-Louis Lions Jean-Michael Lasry, hai giáo sư trường Collège de France Đối tượng nghiên cứu lý thuyết trường trung bình toán ngẫu nhiên động với số lượng lớn thành viên tham gia lĩnh vực tài chính, quản lý lượng, mạng xã hội , lấy ý tưởng từ việc thống kê đặc tính động học hạt vật lý, phương pháp trường trung bình cịn ứng dụng vào tốn điều khiển tự động Phương pháp nghiên cứu xét trị chơi (một tình cần nghiên cứu) với N người chơi tham gia, sau xét giới hạn N → ∞, hành vi cá nhân không ảnh hưởng tới kết chung tình Bài tốn trường trung bình biểu diễn phương trình Hamilton - Jacobi - Bellman phương trình Fokker - Planck Lời giải tốn trường trung bình giúp việc định cho vấn đề mà không cần ý nhiều đến chi tiết hệ thống Luận văn giới thiệu lý thuyết tốn trường trung bình đưa số ứng dụng thực tế mơ hình lĩnh vực kinh tế, xã hội, điều khiển học, đồng thời luận văn trình bày phương pháp giải số cho tốn trường trung bình minh họa thơng qua ví dụ cụ thể Nội dung luận văn gồm chương: - Chương 1: Giới thiệu lý thuyết trường trung bình - Chương 2: Trình bày phương pháp giải số cho toán trường trung bình - Chương 3: Minh họa tốn trường trung bình ví dụ cụ thể Cộng hai phương trình (2.97) (2.98) vế theo vế ta có NT −1 n Mi,j g( xi,j , [ Dh U n+1 ]i,j − g( xi,j , [ Dh U n+1 ]i,j −[ Dh (U n+1 − U n+1 )]i,j · ∇q g( xi,j , [ Dh U n+1 ]i,j ∑ Mi,jn g( xi,j , [ Dh U n+1 ]i,j − g( xi,j , [ Dh U n+1 ]i,j −[ Dh (U n+1 − U n+1 )]i,j · ∇q g( xi,j , [ Dh U n+1 ]i,j ∑ ∑ 0= n=0 i,j NT −1 + ∑ n=0 i,j NT −1 + ∑ Vh [ Mn ] − Vh [ Mn ], Mn − Mn n =0 + V0,h [ M0 ] − V0,h [ M0 ], M0 − M0 ∆t (2.99) Do tính đơn điệu g V nên bốn số hạng vế phải phương trình đầu khơng âm, chúng phải khơng, từ ta có Vh [ Mn ] = Vh [ Mn ], ∀n = 0, 1, , NT V0,h [ M0 ] = V0,h [ M0 ] Điều dẫn đến U = U ⇒ U n = U n , ∀n = 0, 1, , NT Cuối tính nghiệm (2.93) nên Mn = Mn , ∀n = 0, 1, , NT Như phần chứng minh tính tồn tính hệ phương trình rời rạc xấp xĩ hệ phương trình q độ, phần nói tính hội tụ tốn rời rạc 2.4 Tính hội tụ toán Định lý 2.4.1: Giả sử ta có giả thiết Định lý 2.3.2 tồn số thực c > 0, s > cho ∀h < với hàm lưới M M thì: h2 Vh [ M ] − Vh [ M], M − M ≥ c Vh [ M] − Vh [ M] s ∞ (2.100) Khi hệ liên tục (2.1) - (2.4) có nghiệm u m xác định T2 × [0, T ], hệ rời rạc (2.92) - (2.96) có nghiệm (U n , Mn ) n lim sup u( xi,j , tn ) − Ui,j =0 (2.101) h,∆t→0 i,j,n Chứng minh: Gọi U n Mn hai hàm lưới cho    Un = u( x, n∆t)dx i,j h2 | x− xi,j |∞ ≤ γ < 4( β − 1)/β Các điều kiện nhằm đảm bảo cho hệ phương trình có nghiệm chứng minh Lions xem thêm [6] Hàm H( x ) mô cho hoảng loạn phòng, ta chọn H( x ) = −k, với k ≥ Các đường biên Γ N tương ứng với tường xung quanh phòng, điều kiện biên Γ N điều kiện biên Neumann cho u: ∂u/∂n = 0, có nghĩa vận tốc người phải theo phương tiếp tuyến với tường, tương tự cho m ∂m/∂n = 0, có nghĩa khơng thể (hoặc vào) phịng thơng qua Γ N Tóm lại điều kiện biên Γ N là: ∂m ∂u (t, x ) = (t, x ) = Γ N ∂n ∂n (3.4) Khi giải số, ta thêm vào lớp nút ảo bên Ω sau áp dụng điều kiện biên Neumann cho lớp ảo này, tức giá trị u (hoặc m) nút thuộc lớp ảo với giá trị u (hoặc m) nút liền kề Γ N , ta sử dụng giá trị cho hệ (2.92) - (2.96) nút Γ N Điều kiện biên cửa chọn điều kiện biên Dirichlet sau: u = c với c giá trị đủ nhỏ, phần mô ta chọn u = 0, cịn với m xem ngồi mật độ 0, tóm lại ta có: u(t, x ) = m(t, x ) = 0, Γ D (3.5) Trong phương pháp số, ta thêm lớp ảo bên Ω áp dụng hệ (2.92) (2.96) cho nút Γ D với giá trị u m cố định không với nút lớp ảo liền kề với nút Γ D 3.2 Một số phương trình quan trọng dùng để mơ Trong phần mô phỏng, ta chọn Φ(m) = m H ( x, m, p) = −0.1 + | p |2 (1 + 4m)3/2 u( x, 0) = (3.6) (3.7) (3.8) Còn điều kiện đầu m( x, 0) tùy vào kích thước lưới chia vị trí phân bố ban cho đầu, ta Mi,j h2 ∑ Mi,j =1 (3.9) i,j Hàm Hamilton rời rạc chọn theo [6]: g( x, q) = −0.1 + p21 + p22 + p23 + p24 | p |2 = (1 + 4m)3/2 (1 + 4m)3/2 45 (3.10) ui+1,j − ui,j h ui,j − ui−1,j = h ui,j+1 − ui,j = h ui,j − ui,j−1 = h p1 = ( D1+ u)i,j = p2 = ( D1+ u)i−1,j p3 = ( D2+ u)i,j p4 = ( D2+ u)i,j−1 Để minh họa cho phương trình rời rạc, giả sử ta chia lưới với h = 0.1 Hình 3.2 Hình 3.2: Minh họa với h = 0.1 Căn phịng phần màu xám nhạt, vị trí màu vàng vị trí tập trung ban đầu, cửa minh họa cát nút màu xanh Phần màu xám đậm lớp nút ảo thêm vào để áp dụng điều kiện biên Ví dụ cửa vào với điều kiện biên Dirichlet thì: u7 = u8 = m7 = m8 = Còn biên tường với điều kiện biên Neumman thì: u2 = u14 ; u3 = u15 ; m2 = m14 ; m3 = m15 ; Tại nút bên phịng áp dụng phương trình (2.92) (2.93), ví dụ, nút đánh số 27 ta có phương trình HJB rời rạc:  u128 − u127  + 0.1 (1 + 4m027 )3/2 u127 − u027 − ν (u115 + u126 + u128 + u139 − 4u127 ) − 0.1 ∆t 0.1  + u127 − u126 0.1 46 + u139 − u127 0.1 + u127 − u115 0.1  = m027 phương trình Fokker-Planck rời rạc: m127 − m027 + ν (m015 + m026 + m028 + m039 − 4m027 ) ∆t 0.1 u28 − u127 u127 − u126 1 + 2m027 + 2m 26 0.1 0.1 0.1 (1 + 4m027 )3/2 (1 + 4m026 )3/2 0= +2m028 u127 − u115 u128 − u127 1 + 2m 27 0.1 0.1 (1 + 4m028 )3/2 (1 + 4m027 )3/2 +2m027 u127 − u115 u139 − u127 1 + 2m 15 0.1 0.1 (1 + 4m027 )3/2 (1 + 4m015 )3/2 +2m039 u127 − u115 u139 − u127 1 + 2m27 0.1 0.1 (1 + 4m039 )3/2 (1 + 4m027 )3/2 Trong luận văn sử dụng phần mềm MATLAB thuật tốn LevenbergMarquardt để giải hệ phương trình phi tuyến 3.3 Kết mơ Hình 3.3: Phân bố mật độ ban đầu 47 Hình 3.4: Trường hợp 1: Phân bố mật độ sau 30 giây Hình 3.5: Trường hợp 1: Phân bố mật độ sau 60 giây Hình 3.6: Trường hợp 1: Phân bố mật độ sau phút 48 Hình 3.7: Trường hợp 1: Phân bố mật độ sau phút Hình 3.8: Trường hợp 1: Phân bố mật độ sau phút 30 giây 49 Bây giờ, ta giữ nguyên thông số mô hình, thay đổi hàm Hamilton thành: H ( x, m, p) = | p |2 (1 + 8m)1.8 (3.11) với ý nghĩa người cảm thấy áp lực (hoặc lo lắng) đám đơng muốn khỏi phòng nhanh trường hợp ban đầu Phân bố mật độ ban đầu giống trường hợp Hình 3.9: Trường hợp 2: Phân bố mật độ sau 30 giây Hình 3.10: Trường hợp 2: Phân bố mật độ sau 60 giây 50 Hình 3.11: Trường hợp 2: Phân bố mật độ sau phút Hình 3.12: Trường hợp 2: Phân bố mật độ sau phút 51 Hình 3.13: Trường hợp 2: Phân bố mật độ sau phút 30 giây Ta thấy kết mô trường hợp phù hợp với thực tế là: người ta muốn nhanh chóng khỏi phịng ban đầu họ nhanh chóng rời khỏi vị trí lấp vào chỗ trống sẵn có phịng, nhiên sau việc cửa khó khăn bị kẹt đám đông dồn cửa 52 Kết luận đề xuất Luận văn trình bày vấn đề sau: - Trình bày sở lý thuyết mơ hình trường trung bình số ứng dụng trường trung bình lĩnh vực kinh tế - xã hội - Trình bày phương pháp sai phân hữu hạn để giải hệ phương trình đạo hàm riêng mơ hình trường trung bình, cụ thể hệ phương trình Hamilton-JacobiBellman Fokker-Planck với điều kiện đầu điều kiện biên cho trước Các chứng minh tồn nghiệm, tính hội tụ nghiệm trình bày với số giả thiết hợp lý - Minh họa phương pháp sai phân hữu hạn để giải hệ phương trình đạo hàm riêng mơ hình trường trung bình thơng qua ví dụ cụ thể Các kết đạt luận văn số hạn chế sau: - Việc lựa chọn hệ số ν hàm Hamilton, hàm Φ(m) nhìn chung dựa vào suy luận túy lý thuyết, muốn có mơ hình xác cần phải xây dựng hàm hệ số dựa vào đo đạc, thống kê thực tế - Việc giải hệ phương trình phi tuyến dùng thuật tốn Levenberg-Marquardt cần khối lượng tính tốn lớn, dẫn đến thời gian tính tốn lâu, việc tăng số nút (để có kết xác hơn) khó thực hiện, thực tế tính tốn cho thấy từ 3-5 phút để tính tốn cho bước tính (theo thời gian) với kích thước lưới chia (10 × 10), để mơ tốn ta cần thực đến vài chục bước tính, chí hàng trăm bước tính Phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng luận văn áp dụng cho miền Ω có dạng bất kỳ, khơng thiết phải miền dạng hình vng Ví dụ phần mơ trên, bên phịng có thêm vật cản chẳng hạn, nhiên vấn đề phải phải số nút phải đủ lớn Một số đề xuất Để mơ hình áp dụng vào thực tế, tác giả có số đề xuất sau: - Xây dựng mơ hình mơ xác hơn, dựa vào số liệu thực tế - Tìm kiếm giải thuật để tuyến tính hóa hệ phương trình phi tuyến, với sai số chấp nhận được, để giảm khối lượng thời gian tính tốn, từ giải tốn với số nút nhiều hơn, cho kết tính tốn xác 53 Tài liệu tham khảo [1] J.M Lasry and P.L Lions, Mean field games, Japanese Journal of Mathematics, pp 229-260, 2007 [2] J.M Lasry and P.L Lions, Mean field games and applications, MFG Labs, Collège de France, 2007 [3] Y Achdou and I.C Dolcetta, Mean field games: Numerical methods, SIAM Journal of Numerical Analysis, Vol 48, No 3, pp 1136-1162, 2010 [4] J.M Lasry and P.L Lions, Jeux champ moyen I Le cas stationnaire, C R Acad Sci Paris, Ser I 343, pp 619-625, 2006 [5] J.M Lasry and P.L Lions, Jeux champ moyen II Horizon fini et contrôle optimal, C R Acad Sci Paris, Ser I 343, pp 679-684, 2006 [6] Y Achdou, G Barles, H Ishii and G.L Litvinov, Hamilton-Jacobi Equations: Approximations, Numerical Analysis and Applications, Lecture Notes in Mathematics, Heidelberg, Germany: Springer 2013 [7] Y Achdou, F.J Buera, J.M Lasry, P.L Lions and B Moll, Partial differential equation models in macroeconomics, Philosophical transactions of the Royal Society, Springer 2014 [8] A Bensoussan, J Frehse and P Yam, Mean Field Games and Mean Field Type Control Theory, SpringerBriefs in Mathematics, 2013 [9] Y Achdou, F Camilli, I.Capuzzo-Dolcetta, Mean field games: convergence of a finite difference method, SIAM Journal of Numerical Analysis, Vol 51, No 5, pp 2585-2612, 2013 54 Phụ lục Phương trình nút bên biên miền khảo sát, viết phần mềm MATLAB: f u n c t i o n F = root2d ( uu ) dx =1/10; dt = ; %s t e p s i z e nu = ; NN= ; %number o f ’ r e a l ’ n o d e s p e r row / columm load uu0 mat ; f o r j j = :NN+1 f o r i i = :NN+1 F ( i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) = ( uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu0 ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)))/ dt + nu/( dx ^ ) ∗ ( ∗ uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i +1+(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i − 1+(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j ) ) − uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) − +(1/dx )^2/(1+8∗uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ^ ) ∗ ( ( uu ( , i i +1+(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)))^2 + ( uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i − 1+(NN+ ) ∗ ( j j − 1)))^2 + ( uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j )) − uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)))^2 + ( uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) ^ ) / dx^2 − uu0 ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ; F ( (NN+2)^2+ i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) = ( uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu0 ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)))/ dt − nu/( dx ^ ) ∗ ( ∗ uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i +1+(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i − 1+(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j ) ) − uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) + (2/ dx ^ ) ∗ ( uu0 ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ∗ ( uu ( , i i +1+(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) / ( + ∗uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) ^ − uu0 ( , i i − 1+(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ∗ ( uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i − 1+(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) / ( + ∗uu ( , i i − 1+(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) ^ + uu0 ( , i i +1+(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ∗ ( uu ( , i i +1+(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) / ( + ∗uu ( , i i +1+(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) ^ − uu0 ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ∗ ( uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i − 1+(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) / ( + ∗uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) ^ + uu0 ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ∗ ( uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j ) ) − uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) / ( + ∗uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) ^ − uu0 ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ∗ ( uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) 55 − uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) / ( + ∗uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) ^ + uu0 ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j ) ) ∗ ( uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j ) ) − uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) / ( + ∗uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j ) ) ) ^ − uu0 ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ∗ ( uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − 1)) − uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) / ( + ∗uu ( , i i +(NN+ ) ∗ ( j j − ) ) ) ^ ) ; end end F ( ) = uu ( , ) ; F ( ) = uu ( , ) ; %b o u n d a r y f o r u a t d o o r F ( (NN+2)^2 + ) = uu ( , ) ; F ( (NN+2)^2 + ) = uu ( , ) ; %b o u n d a r y f o r m a t d o o r f o r k = :NN+1 i f ( k~=7)&&(k~=8) %b o u n d a r y on t h e b o t t o m F ( k )=uu ( , k)−uu ( , k + ) ; F ( (NN+2)^2 + k )=uu ( , k)−uu ( , k + ) ; end F (132+ k )=uu ( , + k)−uu ( , + k ) ; %b o u n d a r y on t h e t o p F ( (NN+2)^2 + 132+ k )=uu ( , + k)−uu ( , + k ) ; F ( ∗ ( k − 1)+1)=uu ( , ∗ ( k − 1)+1) − uu ( , ∗ ( k − ) + ) ; F ( (NN+2)^2 +12∗( k − 1)+1)=uu ( , ∗ ( k − 1)+1) − uu ( , ∗ ( k − ) + ) ; F ( ∗ k )=uu ( , ∗ k)−uu ( , ∗ k − 1); %b o u n d a r y on t h e r i g h t F ( (NN+2)^2 +12∗k )=uu ( , ∗ k)−uu ( , ∗ k − 1); end Để giải hệ phương trình này, sử dụng thuật tốn Levenberg-Marquardt phương pháp giải hệ phi tuyến khác, nhiên thời gian khối lượng tính tốn lớn Một giải pháp khác sử dụng phương pháp Newton để tuyến tính hóa hệ phương trình trước giải, nhiên vấn đề nằm nhiệm vụ luận văn nên khơng trình bày 56 ... lý thuyết trường trung bình - Chương 2: Trình bày phương pháp giải số cho tốn trường trung bình - Chương 3: Minh họa tốn trường trung bình ví dụ cụ thể 1.1 1.1.1 Trường trung bình Phương trình... bày phương pháp số để giải hệ phương trình HJB FP, cung cấp số chứng minh tính hội tụ nghiệm 24 Chương Phương pháp số cho tốn trường trung bình Phần trình bày phương pháp giải số cho hệ phương. .. Fokker-Planck mơ hình trường trung bình ii Trình bày phương pháp sai phân hữu hạn để giải số hệ phương trình đạo hàm riêng mơ hình trường trung bình iii Mơ trường hợp cụ thể mơ hình trường trung bình nhận