M c tiêu luận văn bao gồm i xây dựng được mô hình toán cho hệ cầu tr c được mô tả nhưcòn lac đôi với day đủ các bậc tự do trong không gian; ii xây dựng bộ điều khi ntrượt giúp vật nặng b
TONG QUANHiện nay cau tr c được sử d ng nhiều trong thực tế đ nâng ha, di chuy n vật nặng trong các môi trường làm việc chuyên d ng như: nhà xưởng, công trình xây dựng, bến cảng kho hang Đặc tính của cầu tr cla nâng được vật nặng quá sức của con người, cóth di chuy n trong một phạm vi hoạt động tùy vào loại và kết cau cau tr c.
OOM 07074760705404 12478024742 | CRATE TODS IISCƠ SỞ LÝ THUYETChương này sẽ giới thiệu về các lý thuyết được sử d ng đ ph cv cho quá trình nghiên cứu Trong đó, phan (2.1) sẽ trình bày về phương trình Euler-Lagrange, là lý thuyét d xây dựng mô hình động lực học ở CHƯƠNG 3 Phân (2.2) trình bày về lý thuyết ôn định của Lyapunov và phương pháp xây dựng bo điều khi n trượt dựa trên ly thuyết 6n định Lyapunov d làm côngc_ xây dựng bộ điêu khi n sẽ được trình bày ở CHUONG 4 Sau cùng, phân (2.3) trình bày phương pháp xoay tr c tọa độ Euler d làm tiên dé cho nội dung CHUONG 5.
Xét một chuy n động r bất kỳ, ta có định luật 2 Newton được viết như sau: mĩ =F+F,
Từ đó ta mở rộng trong | hệ có I chuy n động, ta có:
Do luc rang buộc không tao công tại một thời di m nhat dinh nao, chúng ta sẽ nhân thêm độ dời ảo (vi phân của tọa độ không ph thuộc thời gian) ð? đ triệt tiêu lực ràng buộc, từ đó ta có 2 phương trình sau như trình bày ở trên, dược gọi là nguyên lý D Alembert, trong đó N tông số chất đi m trong hệ can xét.
Ta nhận thấy vẫn còn quá nhiêu tọa độ mà chúng ta cần phải xem xét trong phương trình trên, do đó ta chuy n hệ tọa độ Decartes thông thường thành một hệ tọa độ tong quát đ, nơi các thành phân 4,.q›.q: đặc trưng cho f bậc tự do của hệ Trong đó:
= r4 ›đ; 0-05 ›f) (2.5) Với f là số bậc tự do của hệ Phương trình trên còn được viết như sau:
Từ day, chỳng ta cúth suy ra độ dời ảo va đạo ham của ù;: ð =3) hô j= 1 Og, 0g, (2.7)
Lay đạo hàm từng phân r theo q, , chung ta sẽ có:
Thay phương trình độ dời ao vào phương trình nguyên lý D’Alembert chúng ta có:
Sử d ng quy tac nhân trong đạo ham, chung ta có ay Oe ie Oe (2.12) dt “Tô, 0q, 0q,
Ap d ng vào phương trình trên, chung ta có f N d N N or. m, — -~S F— bq, = 0 (2.13)
Ta xét động nang cua hệ
Dao ham từng phan cua động năng theo các toa độ tông quát la
34, ‘a 34, ‘a oq, Đông thoi ta có lực tông quát được định nghĩa như sau
Do các tọa độ tong quát q, là các tọa độ tự do va không chịu bất kỳ sự chi phôi nào, đ phương trình trên b ng 0, chúng ta cân phải đáp ứng yêu câu sau cho từng bậc tự do J: ado OT | dt 0q, 04, J Q,=0 (2.19)
Chung ta phan t ch thanh phan luc thanh cac luc bao toan (luc thé) va cac luc khac. fo ye S49 (2.20)dt 0g, 0q, i=l 0q, Mà các lực thé lai ch nh là trừ gradient của thé năng:
Vậy chúng ta cóth viết lại phương trình chuy n động tong quát như sau: d OT oT oV
Boi vi thé năng chi ph thuộc vào vi tr của vat, do đó đạo hàm theo vận tốc của nó b ng 0: đêV _, di aq, (2.24)
Thêm bi u thức trên (2.22) vào (2.21), chúng ta có: d ỉO(T-V) ề(T-V £AN 9, (2.25) dt 0q, Og,
Chúng ta định nghĩa da thức Lagrange như sau:
L=T-V (2.26) Chúng ta sẽ có phương trình rút gọn: d AL) ô1)_ dt 0q, 0q, J QO (2.27)
Nếu hệ là bảo toàn (co năng không bi thất thoát hay được cap thêm, tức các thành phân lực tông quát b ng 0) thì chúng ta có phương trình sau: d OL) OL) - dt 0q, 04q,
0 (2.28) Đây ch nh là phương trình Euler-Lagrange d mo ta chuy n động của một hệ bao toàn.
2.2 Phương pháp xây dựng bộ điều khiến trượt 2.2.1 Nguyên lý 6n định Lyapunov
Nguyên lý ôn định Lyapunov được phat bi u như sau:
Cho phương trình trạng thái hệ phi tuyến có dạng x= f (x,u,t), x(t, ) (2.29)
Gia sử hệ có di m cân b ng tại 0
Hệ thông được gọi là ồn định Lyapunov tại đi m can b ng x=0 nêu với e>0 bât kỳ luôn tôn tại ð ph thuộc esao cho nghiệm x(t) của phương trình hệ thông th a mãn
Hệ thông được gọi là 6n định tiệm cận Lyapunov tại đi m cân b ng x=0 nêu với e>0 bat kỳ luôn tôn tại ò ph thuộc e sao cho nghiệm x(t) của phương trình hệ thông th a mãn
On định Lyapunov On định tiệm cận Lyapunov
Hình 2.1: So sánh giữa ôn định Lyapunov và 6n định tiệm cận Lyapunov. Định lý Lyapunov:
Cho phương trình trạng thái hệ phi tuyến có dạng
X= f(x,u,t), xứ, ) (2.31) Gia sử hệ có di m cân b ng tại 0
Nếu tổn tại ham V(x) sao cho trong miền De”, V(x) th a:
V(x) x,,y, > y,.z¿ > z,,bi u diễn bởi ma trận quay R} 3x3, mỗi phan tử là tích vô huớng giữa hai vector đơn vi, và chính là cos của góc giữa hai vector.
Cho đi m A, bi u thi b ng vector a’ =| đụ dy a, | va a =| đụ Ayo đa | lan luot trong hệ tọa độ 1 va 0, sự chuy n dồi giữa đ và a’ được xác dịnh bởi a`=p`+Ra (2.42) a =p +ẹ`a (2.43)
P là tọa độ di m gôc O, trong hệ tọa độ 1 v 3ì
Pe BF ee 4 , P \ _ a nn Ft y * () a y &2
Hình 2.2: Quy ước bàn tay phải và sự dịch chuy n giữa hai gốc tọa độ
2.3.2- Phương pháp quay Euler theo thứ tự ZYX
Có nhiều phương pháp quay tr c tọa độ nh m t nh toán hướng của vật trong không gian thông qua ma trận quay, ở đây ta xét tới phương pháp quay Euler theo thứ tự ZYX.
Giả sử cú hệ tr c O,X,Ơ%Z, ta thực hiện phộp quay gúc ứ quanh z„, lỳc nay x,
— x,y, y,,tiépt c quay góc 0 quanh y,, x, > x,,z0— z,, cuỗi cùng quay góc quanh x, Fa có ma trận quay la
Do đó singcos@ singsin@siny+cosgcosy singsin@écosy—cosgsiny cos@siny cos@ cosy
Ta dinh nghia ma tran biến đổi thuần nhất Hà như sau:
COS@COSđ_ cosgsin@ésiny—singcosy cosgsin@cosy+singsiny
Trong đó 0: vector hàng [0 0 0Ị R,: Ma trận quay chuy n hệtr c 0 sang hệ tr c 1 p° vector tịnh tiễn từ gốc O,dén gốc O, Xét đi m A tịnh tiến và quay đối với hệ toa dé sốc, khi đó tọa độ đi mA trong hê tọa độ 0 được tính theo tọa độ của chính A trong hệ tọa độ | theo công thức:
A° =H)A' (2.45) Đồng thời ma trận H¿ còn được bị u diễn với dạng như sau
H,=|n s a dl My Sy ay ay
F0 0 O 14 Với n: vector don vi huớng của tr c x, trong hệ tr c 0 s: vector don vi huớng của fr c y, trong hé tr c0 t: vector don vi huớng của tr c z, trong hệ tr c 0 đ : vector khoảng cách hai gốc tọa dé từ O, đến O,
XÂY DỰNG MÔ HÌNH ĐỘNG LỰC HỌC3.1 Xây dựng mô hình động lực học te y2
Hình 3.1: Mô hình động lực học con lắc đôi
M,: Khối lượng ban trượt theo phương x M,: Khối lượng ban trượt theo phương y m,: Khôi lượng móc
Mp: Khối lượng vật nặng a: chiều dài dây treo vật nặngI: biến chiều dai dây treo hook x7: biến vị tr theo phương x yr: bién vị tr theo phương yPix, 1y,82x,ỉ;y: cỏc biến gúc lac theo như hỡnh vẽ
Ta có dễ dàng t nh được các bi u thức sau
‘Vg = y; tl cosG,, sin@,, +acos@,, sin 6, [ig =lcosG,, cosG, +acos@,, cosG,, cr
+ = y, +l cos@,, sin@,, —16,, sm 6, sind, +16,, cosG,, cos G, , [