rèn luyện kĩ năng giải toán trong dạy học chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ ÁNH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ ÁNH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ ÁNH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ

MÔN TOÁN HỌC Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Định

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Ban Giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Sư phạm, Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN đã tận tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức, kinh nghiệm, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội

Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Lê Đình Định - Giảng viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN - Người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tác giả nghiên cứu đề tài

Xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường THPT Cao Bá Quát - Quốc Oai, các thầy cô giáo và các em học sinh đã tham gia, hợp tác và tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân và bạn bè - Chỗ dựa tinh thần vững chắc đã luôn động viên, ủng hộ, giúp tác giả hoàn thành luận văn này

Với rất nhiều cố gắng của bản thân, song do nhiều hạn chế về điều kiện thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được sự chỉ dẫn, góp ý của các nhà khoa học, quý thầy cô, bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 10 năm 2022

Tác giả

Nguyễn Thị Ánh

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ

PPDH Phương pháp dạy học THPT Trung học phổ thông TNSP Thực nghiệm sư phạm

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 2

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 3

5 Giả thuyết nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Những đóng góp mới của đề tài 4

8 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Một số vấn đề về kỹ năng 5

1.1.1.Khái niệm kỹ năng 5

1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng 6

1.1.3.Sự hình thành kỹ năng 6

1.2 Kỹ năng giải toán 7

1.2.1 Khái niệm kỹ năng giải toán 7

1.2.2 Rèn luyện kỹ năng giải toán 8

1.2.3 Các mức độ của kỹ năng giải toán 10

1.3 Dạy học giải bài tập toán về chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn 11

1.3.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 11

1.3.2 Trang bị các kiến thức về phương pháp giải toán cho học sinh 12

1.3.3 Dạy học giải bài tập toán về chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn 13

1.4 Thực trạng dạy học chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn 18

Tiểu kết chương 1 22

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN CHO HỌC SINH LỚP 10 THPT 23

2.1 Hệ thống bài tập theo chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn 23

2.1.1.Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss 23

2.1.3.Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải một số vấn đề thực tiễn 34

2.1.4 Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải một số bài toán vật lí 38

2.1.5 Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải một số bài toán hóa học 43

2.1.6 Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải một số bài toán sinh học 48

2.2 Rèn luyện kỹ năng giải một bài tập bằng nhiều cách khác nhau 56

2.3 Rèn luyện kỹ năng giải toán qua phương pháp dạy học phân hóa 59

2.3.1 Phân hóa vĩ mô 59

2.3.2 Phân hóa vi mô 60

2.4 Xây dựng bộ câu hỏi định hướng giúp học sinh giải một số bài toán thực tiễn, bài toán có tính liên môn 62

2.4.1 Xây dựng bộ câu hỏi định hướng để giúp học sinh giải một số bài toán Vật lí 62

2.4.2 Xây dựng bộ câu hỏi định hướng để giúp học sinh giải một số bài toán Hóa học 64

2.4.3 Xây dựng bộ câu hỏi định hướng để giúp học sinh giải một số bài toán Sinh học 65

2.4.3 Xây dựng bộ câu hỏi định hướng để giúp học sinh giải một số bài toán cân bằng cung - cầu 67

3.4 Nội dung thực nghiệm 71

3.4.1 Thiết kế kế hoạch dạy học thực nghiệm 71

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ

Bảng 3.1 Bảng thống kê điểm kiểm tra cuối chuyên đề 75 Bảng 3.2 Bảng tổng hợp kết quả kiểm tra cuối chuyên đề 76 Bảng 3.3 Bảng tính tần suất và tần suất tích lũy bài kiểm tra chuyên đề

của lớp TN và ĐC 77 Bảng 3.4 So sánh các tham số thống kê đặc trƣng của lớp TN và ĐC 78

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ phân loại kết quả bài kiểm tra của lớp thực nghiệm

và lớp đối chứng 77 Biểu đồ 3.2 phân bố tần suất tích lũy bài kiểm tra chuyên đề của lớp TN

và ĐC 78

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

Đảng đã nêu rõ quan điểm chỉ đạo về giáo dục trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ VIII Ban chấp hành Trung ương khóa XI, số 29- NQ/TW ngày

04/11/2013 như sau: “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”

Mục tiêu đổi mới được nghị quyết 88/2014/QH13 của Quốc hội quy định: “Đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mĩ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh”

Nhiều học sinh có suy nghĩ rằng Toán học là một môn học khó, trìu tượng và có tính khô khan Vậy nên vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh có hứng thú, say mê học tập và áp dụng được toán học vào giải quyết các bài toán thực tế, ứng dụng của toán học trong các môn khoa học khác là một câu hỏi lớn đặt ra cho mỗi giáo viên

Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là một nội dung của chuyên đề lớp 10: “Ứng dụng toán học vào giải quyết vấn đề liên môn thực tiễn” Yêu cầu cần đạt của chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn trong chương trình giáo dục phổ thông 2018 có điểm khác hơn với chương trình hiện hành là ở việc vận dụng được cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải quyết một số bài toán Vật lí (tính điện trở, tính cường độ dòng điện trong dòng điện không đổi,…), Hóa học

(cân bằng phản ứng,…), Sinh học (bài tập nguyên phân, giảm phân,…), vận dụng vào giải quyết một số vấn đề thực tiễn cuộc sống (ví dụ: bài toán lập kế hoạch sản xuất, mô hình cân bằng thị trường, phân bố vốn đầu tư,…)

Qua nghiên cứu thực tế giảng dạy chủ đề hệ phương trình ở chương trình giáo dục phổ thông hiện hành, tác giả nhận thấy giáo viên chủ yếu rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss và bằng máy tính cầm tay, vận dụng cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải quyết một số ít bài toán thực tế Với cách giảng dạy đó chưa đáp ứng được yêu cầu cần đạt trong chương trình giáo dục phổ thông 2018 sẽ được triển khai ở lớp 10 từ năm học 2022

Vì vậy để có tư liệu phục vụ cho việc giảng dạy của bản thân và tư liệu

tham khảo cho đồng nghiệp, tác giả chọn và nghiên cứu đề tài “Rèn luyện kỹ

năng giải toán trong dạy học chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán, phân tích chủ đề hệ phương

trình bậc nhất ba ẩn trong chương trình sách giáo khoa hiện hành và sách giáo khoa mới theo chương trình giáo dục phổ thông 2018, từ đó xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, qua đó phát triển năng lực giải toán cho học sinh đáp ứng được yêu cầu đổi mới trong giáo dục

3 Nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu

3.1 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán - Đề xuất một số biện pháp dạy học nhằm giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán

- Xây dựng hệ thống bài tập theo các mức độ nhận thức về hệ phương trình

2018 - Thực nghiệm sư phạm (TNSP) nhằm kiểm tra giả thuyết khoa học của đề tài

- Rút ra kết luận của việc dạy học chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

3.2 Phạm vi nghiên cứu

- Đề tài tìm hiểu về những biện pháp dạy học chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn nhằm mục đích rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10 - Mẫu khảo sát: Học sinh lớp 10 trường THPT Cao Bá Quát- Quốc Oai - Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 6 năm 2022 đến tháng 1 năm 2023

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Các kỹ năng giải toán và các biện pháp rèn kỹ năng giải toán về hệ phương trình bậc nhất ba ẩn cho học sinh THPT

4.2 Khách thể nghiên cứu

Học sinh lớp 10 tại trường THPT Cao Bá Quát - Quốc Oai

5 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu xây dựng hệ thống bài tập hợp lý và sử dụng phương pháp dạy học tích cực thì có thể giúp học sinh có hứng thú hơn đối với việc học toán và rèn luyện được kỹ năng giải toán cho học sinh

6 Phương pháp nghiên cứu

Tác giả sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau để phục vụ cho quá trình nghiên cứu của mình:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu và tìm hiểu các tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn

- Nghiên cứu qua thực tiễn: (Quan sát, điều tra) - Phương pháp thực nghiệm khoa học: phỏng vấn một số giáo viên, học sinh ở trường THPT, thực nghiệm trên học sinh

- Xử dụng thống kê toán học để xử lý số liệu

7 Những đóng góp mới của đề tài

Góp phần hệ thống hóa các dạng toán về chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn theo yêu cầu cần đạt của chương trình giáo dục phổ thông 2018 và đưa ra được một số giải pháp dạy học toán nhằm mục đích rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn được dự kiến trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán trong dạy học chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn cho học sinh lớp 10 THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề về kỹ năng

1.1.1.Khái niệm kỹ năng

Trong cuộc sống, chúng ta đã nghe rất nhiều về hai từ kỹ năng Những người nắm vững các kỹ năng thường xử lý, vượt qua những trở ngại trong cuộc sống dễ dàng hơn Trong dạy học, rèn luyện các kỹ năng cho học sinh là mục tiêu đặt ra ở mỗi bài học Vậy kỹ năng là gì?

Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức, hiểu biết của con người để thực hiện một việc gì đó, có thể là việc nghề nghiệp mang tính kỹ thuật, chuyên môn hoặc việc liên quan cảm xúc, sinh tồn, giao tiếp,

Trong từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [12, tr 426] Tác giả Nguyễn Xuân Thức nhận định: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [16, tr 149]

Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [7, tr 131]

Tác giả Vũ Dũng khẳng định: “Kỹ năng là năng lực vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động đã được chủ thể lĩnh hội để thực hiện những nhiệm vụ tương ứng” [2, tr 36]

Chưa có khái niệm cụ thể, đồng nhất về kỹ năng Tùy mỗi người sẽ có những định nghĩa khác nhau Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu tôi nhận thấy kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, ) để giải quyết một nhiệm vụ mới trong học tập hoặc trong cuộc sống Nói đến kỹ năng là nói đến cách thức thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được hiệu quả của nhiệm vụ đề ra Cơ sở của kỹ năng là kiến

thức

1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng

Kỹ năng có cấu trúc bao gồm: Hiểu được mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai những cách thức đó - vận dụng tri thức và những cách thức đó để giải quyết vấn đề

Yếu tố cơ sở của kỹ năng là kiến thức, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

Kỹ năng có tính linh hoạt và có thể uyển chuyển trong những tình huống khác nhau và trong các điều kiện khác nhau

Kỹ năng được hình thành trong quá trình hoạt động và luyện tập của con người

Có thể bắt chước từ những cái có sẵn và rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải qua quá trình đủ dài Lặp đi lặp lại hành động hoặc cách thức hành động nhiều lần

1.1.3.Sự hình thành kỹ năng

Cơ sở của kỹ năng là kiến thức Kỹ năng có thể được chia thành nhiều cấp bậc khác nhau Ban đầu kỹ năng có thể còn ít hoặc chưa được thuần thục nhưng sau thời gian, sau rèn luyện kỹ năng sẽ được hình thành và được thuần thục hơn

Để hình thành bất kỳ kỹ năng nào trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy giải quyết các nhiệm vụ đặt ra

Sự hình thành kỹ năng rất đa dạng và phong phú Nó phụ thuộc vào các yếu tố như: Kiến thức xác định kỹ năng, yêu cầu rèn kỹ năng, mức độ chủ động tích cực của người học Kiến thức cơ bản để hiểu được những mục đích

kết quả Chắt lọc những kết quả đã thực hiện để đạt kết quả tốt nhất và nhanh nhất

Khi giúp học sinh hình thành kỹ năng cần chú ý các điểm sau: - Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải những bài toán cùng dạng

- Xác lập được mối liên hệ giữa các bài toán tổng quát và kiến thức tương ứng

- Nội dung của bài toán, yêu cầu đặt ra thường được trừu tượng hóa hay bị che giấu bởi một số yếu tố làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

- Tâm thế và thói quen học tập của học sinh cũng là yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

1.2 Kỹ năng giải toán

1.2.1 Khái niệm kỹ năng giải toán

Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hóa học, Sinh học Năng lực toán học được thể hiện qua kỹ năng giải toán của người học

Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học

Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có và giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học

Tác giả Thái Duy Tuyên khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những tri thức khoa học vào các vấn đề thực tiễn”

Theo G.Polya khẳng định: “Trong toán học kỹ năng là khả năng giải bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được” [4]

Để có kỹ năng giải toán thì người học cần dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: Kiến thức, kỹ năng, phương pháp Người học sau khi hiểu lý thuyết thì sẽ tìm ra hướng giải của bài toán dựa trên cơ sở lý thuyết đó Trong quá trình luyện tập, củng cố, trình bày lời giải của bài toán thì kỹ năng giải toán của người học được hình thành, phát triển, đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức toán học

1.2.2 Rèn luyện kỹ năng giải toán

Nội dung môn Toán thường mang tính logic, trừu tượng, khái quát Sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ Do đó giáo viên cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện khác nhau

Giáo viên cần lưu ý các điểm sau khi hình thành kỹ năng giải toán cho học sinh:

- Khi gặp một bài toán thì điều đầu tiên học sinh cần nghiên cứu, hiểu đầu bài, xác định được các yếu tố đã cho và yếu tố phải tìm để tìm mối liên hệ giữa chúng

- Học sinh cần tóm tắt được yêu cầu của đề bài, xác định được một hướng đi để giải quyết bài toán, từ đó xây dựng mô hình khái quát để giải các bài toán tương tự

- Để giải quyết được yêu cầu bài toán thì cần xác định được cơ sở lý

Các hoạt động để hình thành kỹ năng, kỹ xảo trong giải toán bao gồm tìm ra hướng giải và thực hành giải các bài toán theo các cấp độ từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao Sự vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn; Sự vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các bài toán liên môn Nếu quá trình hoạt động học tập luôn có kèm cả hoạt động trí tuệ và sự tích cực của người học thì sự hình thành các kỹ năng giải toán sẽ diễn ra nhanh hơn, sáng tạo hơn

Kỹ năng giải toán bao gồm những dạng kỹ năng sau: - Kỹ năng tính toán: Là một kỹ năng quan trọng đối với học sinh trong học tập và trong cuộc sống sau này Trong dạy học toán thì việc rèn luyện kỹ năng tính toán cần được chú trọng bởi toán học luôn đòi hỏi sự chính xác, khoa học

- Kỹ năng vận dụng các quy tắc: Học sinh cần vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo và hợp lí các quy tắc đã học nhưng cần tránh sự vận dụng máy móc

- Kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán: Học sinh được rèn luyện kỹ năng này trong quá trình tìm lời giải cho bài toán

- Kỹ năng chứng minh toán học: Để hình thành kỹ năng này thì học sinh cần có những tri thức phương pháp về chứng minh và các phép suy luận; rèn luyện các hoạt động thành phần trong chứng minh; nắm vững mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài toán

- Kỹ năng đọc, vẽ hình và đo đạc: Đây là kỹ năng cần thiết và giáo viên cần phải rèn luyện cẩn thận, tỉ mỉ cho học sinh

- Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều là một phần tư duy không thể thiếu trong Toán học Kỹ năng này giúp học sinh nắm vững và vận dụng được kiến thức

- Kỹ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn: Toán học rất quan trọng trong cuộc sống, học toán không phải là chỉ để làm các bài toán áp dụng

công thức, thay số, học toán là để trở thành những con người “thông minh hơn”, biết cách suy nghĩ và giải quyết các vấn đề trong học tập và đời sống Muốn vậy, mỗi người học cần biết cách “chuyển dịch”, mô tả các tình huống (có ý nghĩa toán học) đặt ra trong các vấn đề thực tiễn phong phú sang một bài toán hay một mô hình toán học thích hợp, tìm cách giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập, từ đó đối chiếu, giải quyết các vấn đề thực tiễn đề ra Rèn luyện kỹ năng này tạo động cơ học tập tích cực cho người học

- Kỹ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng Hoạt động tư duy hàm là hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng, nghiên cứu tương ứng

- Kỹ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh sai lầm khi giải toán: Việc phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm của lời giải là một thành công lớn của người học Giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen phát hiện những sai lầm nếu có và phân tích những nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó

1.2.3 Các mức độ của kỹ năng giải toán

Trong toán học, ta có thể chia thành ba nhóm kĩ năng giải toán như sau:

- Kỹ năng giải các bài tập toán cơ bản - Kỹ năng giải các bài tập toán tổng hợp - Kỹ năng giải các bài toán thực tiễn (liên quan đến toán học), các bài toán liên môn

Trong mỗi nhóm, ta có thể chia thành ba mức độ khác nhau:

- Biết làm: Học sinh vận dụng được lý thuyết để giải những bài toán cơ bản hình thành các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, kí hiệu, giải được các bài tập dạng mẫu

- Thành thạo: Học sinh có thể đưa ra lời giải nhanh, ngắn gọn, chính

- Linh hoạt, mềm dẻo, sáng tạo: Học sinh tìm ra được những cách giải ngắn gọn, độc đáo, chuyển hóa vấn đề khéo léo

1.3 Dạy học giải bài tập toán về chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

1.3.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Theo tác giả Bùi Thị Hường (2011) “Trong giáo dục - đào tạo, môn Toán được coi là một trong những môn học hàng đầu giúp mở mang trí tuệ và phát triển tư duy loogic cho lớp trẻ Trong dạy học toán ở cấp học phổ thông, hoạt động giải toán là cơ hội tốt nhất để học sinh được vận dụng, bộc lộ và phát triển khả năng sáng tạo qua quá trình để những tri thức Toán học đã được trang bị vào giải các bài toán cũng như giải quyết các vấn đề trong cuộc sống thực tiễn liên quan tới Toán học Trên thực tế dạy học toán ta thấy: bài tập toán được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau Một bài tập có thể dùng tạo tiền đề xuất phát, gợi động cơ nghiên cứu hoặc tham gia vào làm việc với nội dung mới, tham gia vào củng cố luyện tập hoặc kiểm tra ” [8, trang 69]

Cũng theo tác giả Bùi Thị Hường (2011) “Mỗi bài tập đặt ở thời điểm khác nhau của quá trình dạy học toán đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng các chức năng, giá trị khác nhau Chúng ta có thể nói rằng: “Tổ chức hiệu quả việc dạy học giải toán có vai trò quyết định nâng cao hiệu quả chất lượng dạy học toán” [8, trang 69]

Giải bài tập góp phần rèn luyện khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết, tác động tích cực trong việc bồi dưỡng tính mềm dẻo của tư duy

Đặc biệt là đối với bài tập có tính mở, tính liên hệ thực tế thì có khả năng kích thích được óc tò mò khoa học, làm cho học sinh thấy có nhu cầu, có hứng thú và quyết tâm huy động vốn kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm của bản thân để tìm tòi, phát hiện cách giải quyết bài toán từ đó phát triển năng lực toán học cho học sinh

1.3.2 Trang bị các kiến thức về phương pháp giải toán cho học sinh

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán mà học sinh cần biết cách làm thế nào để giải được bài toán Giáo viên cần định hướng cho học sinh thực hiện được một quy trình chung, xác định được phương pháp tìm lời giải cho một bài toán

Khi dạy học giải bài tập cho học sinh, giáo viên cần chú ý cách thức xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập theo nguyên tắc: Hệ thống bài tập phải đi từ đơn giản đến phức tạp; đa dạng, phong phú; có thể phân loại học sinh; giúp học sinh hiểu và ghi nhớ được phương pháp giải các bài tập điển hình Hệ thống bài tập phải phù hợp với các hoạt động (hoạt động khởi động, hoạt động hình thành kiến thức, hoạt động luyện tập, hoạt động củng cố, hoạt động vận dụng sáng tạo) trong dạy học Hệ thống bài tập được biên soạn theo hướng rèn luyện kỹ năng, phát triển tư duy và năng lực sáng tạo cho học sinh

Theo Polya thì một bài toán được giải theo quy trình bốn bước: Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

- Tìm hiểu bài toán cách tổng quát - Phân biệt đâu là dữ kiện bài toán cho, đâu là yếu tố phải tìm - Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài Bước 2: Xây dựng chương trình giải toán

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tương tự, một trường hợp riêng, một trường hợp tổng quát, - Kiểm tra lời giải bằng cách xem kỹ lại từng bước thực hiện

- Tìm những cách giải khác, so sánh chúng để tìm được cách hợp lí nhất Bước 3: Trình bày lời giải

- Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự và thực hiện các bước đó

- Kiểm tra lại lập luận trong quá trình giải - Nhìn nhận lại bài toán và rút ra cách giải cho bài toán tổng quát - Thêm cách giải khác (nếu có)

- Khai thác kết quả của bài toán và đề xuất bài toán tương tự - Rút ra những kinh nghiệm cần thiết khi giải xong một bài toán

1.3.3 Dạy học giải bài tập toán về chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

1.3.3.1 Yêu cầu cần đạt của chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Để dạy học giải bài tập toán về chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đạt hiệu quả thì trước tiên, giáo viên và học sinh cần hiểu rõ mục tiêu và yêu cầu cần đạt của chuyên đề trong chương trình giáo dục phổ thông 2018 Cụ thể mục tiêu của chuyên đề như sau:

- Nhận biết được khái niệm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn - Giải được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss - Tìm được nghiệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy tính cầm tay - Vận dụng được cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải quyết một số bài toán Vật lí (tính điện trở, tính cường độ dòng điện trong dòng điện không đổi, ), Hóa học (cân bằng phản ứng, ), Sinh học (bài tập nguyên phân, giảm phân, )

- Vận dụng được cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải quyết một số vấn đề thực tiễn cuộc sống (ví dụ: bài toán lập kế hoạch sản xuất, mô hình cân bằng thị trường, phân bố vốn đầu tư, )

1.3.3.2 Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán “Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn”

Để giải toán về chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn thì cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng cơ bản như sau:

- Trong phần khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn thì học sinh cần rèn luyện kỹ năng nhận biết được khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, nhận biết được một bộ số có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn hay không dựa

vào kiến thức cơ bản sau: Trong sách “Chuyên đề học tập toán 10” bộ Kết nối tri thức với cuộc sống có viết:

 Phương trình bậc nhất ba ẩn là phương trình có dạng tổng quát là

,

ax byczd

trong đó x y z, , là ba ẩn; a b c d, , , là các hệ số và a b c, , không đồng thời bằng 0 Mỗi bộ ba số x y z0,0,0 thỏa mãn ax0by0cz0 dgọi là một nghiệm của phương trình bậc nhất ba ẩn đã cho

 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ gồm một số phương trình bậc nhất ba ẩn Mỗi nghiệm chung của các phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ phương trình đã cho

 Nói riêng, hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

a x b yc zda x b yc zda x b yc zd



   

   

Trong đó x y z, , là ba ẩn; các chữ số còn lại là các hệ số Ở đây, trong mỗi phương trình, ít nhất một trong các hệ số a b ci, , ,ii i1, 2,3phải khác 0

- Để rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss thì các kỹ năng thành phần cần rèn luyện cho học sinh là:

+ Nhân hay chia hai vế của một phương trình của hệ với một số khác 0 + Đổi vị trí hai phương trình của hệ

+ Cộng hay trừ mỗi vế của một phương trình với vế tương ứng của một phương trình khác để được phương trình mới có số ẩn ít hơn

+ Kỹ năng tính toán - Rèn luyện kỹ năng tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy tính cầm tay

- Trong phần ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn thì cần rèn luyện cho học

Vận dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải một số bài toán vật lí, hóa học và sinh học

Vận dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải quyết một số vấn đề thực tiễn cuộc sống

Trong phần ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn thì cần rèn luyện cho học sinh các kỹ năng thành phần sau: kỹ năng tìm hiểu nội dung bài toán cần phân biệt đâu là yếu tố đã cho, đâu là yếu tố phải tìm; kỹ năng tìm tòi, phát hiện và toán học hóa các tình huống thực tế; kỹ năng đặt ẩn và tìm điều kiện cho ẩn; kỹ năng lập phương trình, lập hệ phương trình, kỹ năng giải hệ phương trình, kỹ năng kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải; kỹ năng vận dụng các quy tắc

1.3.3.3 Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải bài toán cân bằng phương trình phản ứng hóa học

- Một số khái niệm

Phản ứng hóa học: Là quá trình biến đổi một hay nhiều chất này thành một hay nhiều chất khác có thành phần và cấu tạo không giống với các chất ban đầu Trong phản ứng hóa học chất ban đầu được gọi là chất phản ứng, chất thu được sau phản ứng gọi là chất sản phẩm

Phương trình hóa học: Là cách biểu diễn một phản ứng hóa học dưới dạng sơ đồ hóa Ở bên vế trái của phương trình người ta viết ký hiệu và công thức hóa học của các chất phản ứng, còn ở bên vế phải của phương trình là kí hiệu và công thức hóa học của các chất sản phẩm, tất cả các chất phản ứng và chất sản phẩm đều có hệ số tỉ lượng thích hợp nhằm thỏa mãn định luật bảo toàn khối lượng

Lập phương trình hóa học: Lập phương trình hóa học thực chất là bổ sung các chất còn thiếu trong phản ứng và tìm hệ số tỉ lượng thích hợp cho các chất trong phản ứng hóa học đó

Số oxi hóa của một nguyên tố: Là một khái niệm có tính hình thức, không

phản ánh một trạng thái thực của nguyên tố ở trong hợp chất, nó là một đại lượng cho biết điện tích của nguyên tử nguyên tố đó trong phân tử nếu giả định rằng liên kết giữa các nguyên tử trong phân tử đều là liên kết ion

Số oxi hóa của một nguyên tố được xác định theo các quy tắc sau: + Quy tắc 1: Số oxi hóa của nguyên tố trong các đơn chất bằng 0 + Quy tắc 2: Trong một phân tử, tổng số oxi hóa của các nguyên tố bằng 0 + Quy tắc 3: Số oxi hóa của các ion đơn nguyên tử bằng điện tích của các ion đó Trong ion đa nguyên tử, tổng số oxi hóa của các nguyên tố bằng điện tích của ion đó

+ Quy tắc 4: Trong hầu hết các hợp chất số oxi hóa: Của H bằng +1 (trừ các hợp chất hydride kim loại như NaH, CaH2 …) Của O bằng - 2 (trừ các hợp chất OF2; peroxide như: H2O2 …; Superoxide như: KO3 …)

- Nguyên tắc lập phương trình hóa học theo phương pháp đại số

Dựa trên cơ sở định luật bảo toàn nguyên tố và định luật bảo toàn điện tích để lập phương trình cho các phản ứng hóa học

Định luật bảo toàn nguyên tố: Trong một phản ứng hóa học không có sự biến đổi nguyên tố này thành nguyên tố khác, tổng số nguyên tử của một nguyên tố trước và sau phản ứng là không đổi

Định luật bảo toàn điện tích: Trong một phản ứng hóa học, tổng điện tích của các ion trước và sau phản ứng không thay đổi

- Các bước tiến hành cân bằng phản ứng hóa học

Bước 1: Đặt hệ số cho các chất trong phản ứng là các ẩn số: x, y, z, t, … Bước 2: Dựa trên nguyên tắc bảo toàn nguyên tố, bảo toàn điện tích lập phương trình đại số liên quan đến các ẩn số x, y, z, t, …

Bước 3: Giải hệ phương trình và đặt hệ số cho các chất

Lưu ý khi giải hệ phương trình:

Có thể chọn một giá trị bất kì cho một trong các ẩn số Sau đó tiến hành giải bình thường để tìm ra các ẩn số còn lại Các ẩn số còn lại này có thể là phân số, phương trình hóa học thu được có hệ số là phân số, lúc đó, nhân tất cả các hệ số tìm được với một số thích hợp ta được phương trình hóa học với các hệ số nguyên

1.3.3.4 Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải bài toán về mạch điện, chuyển động

 Trong đó:

+ I là cường độ dòng điện tức thời (đơn vị A) + q là điện lượng di chuyển qua các tiết diện thẳng của vật dẫn (đơn vị C) + t là thời gian di chuyển (đơn vị s)

Dòng điện có cường độ chiều không đổi theo thời gian gọi là dòng điện không đổi (cũng gọi là dòng điện một chiều) Cường độ của dòng điện này có thể tính bởi công thức q  

Hiệu điện thế hay điện áp (kí hiệu tắt U hoặc V ) là sự chênh lệch điện thế giữa hai cực, công thực hiện để di chuyển một hạt điện tích trong trường tĩnh điện từ điểm này đến điểm kia

Đơn vị hiệu điện thế là Von- viết tắt V (nghĩa tiếng anh là: Volt) Đơn vị này được lấy từ tên nhà vật lý học người Ý đã có công phát minh ra pin

điện - bá tước Alessandro Volta

- Một số công thức

Công thức tính cường độ dòng điện không đổi là q  

t

 Trong đó: + I là cường độ dòng điện tức thời (đơn vị A)

+ q là điện lượng di chuyển qua các tiết diện thẳng của vật dẫn (đơn vị C) +t là thời gian di chuyển (đơn vị s)

Công thức tính cường độ dòng điện theo định luật ôm là IU

R

 Trong

đó: + I là cường độ dòng điện tức thời (đơn vị A) + U là hiệu điện thế (đơn vị V)

nR R  R  R Công thức tính hiệu điện thế trong đoạn mạch +Mạch nối tiếp: U U1U2  Un

+Mạch song song: U U1 U2   Un

1.4 Thực trạng dạy học chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là một trong ba chuyên đề học tập toán 10 Chuyên đề cung cấp thêm cho học sinh những hiểu biết toán học sâu sắc hơn, mở rộng hơn với nhiều ứng dụng của toán học trong thực tiễn Khi học tập chuyên đề, các em học sinh được tiến thêm một bước trên con đường khám phá thế giới bí ẩn và đẹp đẽ của toán học, đặc biệt là được

- Đưa bài học vào cuộc sống”

Ở chương trình giáo dục phổ thông cũ, bài học hệ phương trình bậc nhất ba ẩn chỉ được đưa ra là chủ đề với phân phối 2 tiết và yêu cầu chỉ là giải hệ phương trình bằng phương pháp Gaus, giải hệ phương trình bằng máy tính cầm tay và giới thiệu một số ít bài toán liên hệ thực tiễn Còn ở chương trình giáo dục phổ thông 2018 thì chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn được đưa ra với phân phối 10 tiết Chuyên đề có nhiều điểm mới so với chương trình cũ, chuyên đề đưa ra thêm nhiều ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải các bài toán liên hệ thực tế, bài toán liên môn, bài toán cân bằng cung - cầu,

Qua trao đổi, hầu hết các giáo viên toán THPT đều nhận định bài học “Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn” là vấn đề mới và còn gặp không ít khó khăn khi rèn luyện kĩ năng giải các bài toán ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Qua khảo sát học sinh lớp 10D1, 10A2 trường THPT Cao Bá Quát - Quốc Oai, tác giả nhận được kết quả như sau:

+ Về bài toán giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss thì có 56,7% học sinh được hỏi thấy khó khăn ở kỹ năng khử ẩn thứ nhất để được hệ có hai phương trình chứa hai ẩn

+ Qua tìm hiểu trước bài học thì hầu hết các em học sinh đều thấy rằng hệ

phương trình bậc nhất ba ẩn có nhiều ứng dụng vào bài toán thực tế và ứng dụng liên môn Các em rất hào hứng để biết được cách giải của các bài toán đó

+ Khi hỏi về khó khăn của các em khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thì hầu hết các em gặp khó khăn ở các kỹ năng: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn, biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết, lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

+ Trong bài toán ứng dụng hệ phương trình giải một số bài vật lí, hóa học thì các em thấy khó khăn ở kiến thức lý thuyết liên môn, kỹ năng lập hệ phương trình

+ Ứng dụng hệ phương trình giải bài toán cung cầu và bài toán cân bằng thu nhập quốc dân thì hầu hết học sinh đều thấy đây là kiến thức mới và khó hiểu

Qua khảo sát tìm hiểu thì tác giả nhận thấy việc tìm ra phương pháp giúp học sinh rèn luyện các kĩ năng giải toán chuyên đề hệ phương trình là vấn đề cần thiết hiện nay để góp phần tạo ra hiệu quả của việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực phẩm chất của học sinh

Tiểu kết chương 1

Chương 1 của luận văn đã hệ thống lại và trình bày rõ ràng các vấn đề về lí luận của việc dạy học rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải các bài toán trong chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Cụ thể:

- Trình bày và phân tích khái niệm, đặc điểm, các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng, từ đó cho thấy sự cần thiết của dạy học rèn luyện kỹ năng để phát triển năng lực và phẩm chất của học sinh

- Làm rõ khái niệm, vai trò, các thành phần liên quan đến kỹ năng giải toán - Tìm hiểu thực trạng của vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn hiện nay

Qua cơ sở lí luận có được ở chương I, tác giả xác định phương hướng nghiên cứu, đề xuất giải pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn cho học sinh lớp 10 THPT

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN CHO HỌC SINH

LỚP 10 THPT 2.1 Hệ thống bài tập theo chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

2.1.1.Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss

2.1.1.1 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác Phương pháp giải: Để giải hệ phương trình dạng tam giác, trước hết ta giải từ

phương trình chứa một ẩn, sau đó thay giá trị tìm được của ẩn này vào phương trình chứa hai ẩn để tìm giá trị của ẩn thứ hai, cuối cùng thay các giá trị tìm được vào phương trình còn lại để tìm giá trị của ẩn thứ ba

 

Vậy hệ phương trình bậc nhất ba ấn đã cho có nghiệm x y z; ;   2;5; 4 

Nhận xét: Việc giải hệ này đơn giản, kỹ năng tính toán nhanh, chính xác là cần thiết

Bài tập tự luyện Giải các hệ phương trình bậc nhất ba ấn sau:

xyz



    

2)

510.

xyzxyx

  

  

3)

xyzyz

z





4)

3.

xyzyyz

 

Từ đó ta có thể giải hệ đã cho Phương pháp này được gọi là phương pháp Gauss

Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình bậc nhất ba ấn, [13, tr 80]

  

xyz

  



    

Phân tích: Để khử số hạng chứa x:

- Trừ theo từng vế của phương trình  1 cho phương trình  2 , ta được biến đổi

xyzyzxyz

  

   

    

- Nhân hai vế của phương trình  1 với 2 rồi trừ theo từng vế cho phương trình  3 ta được

  

xyzyz

yz

   

 

   

Để khử số hạng chứa y: Nhân hai vế của phương trình  4 với 3, nhân hai vế của phương trình  5 với 4, rồi trừ theo từng vế hai phương trình vừa tìm được ta có

xyzyz

z

  

   

   

sinh đã được học ở lớp 9

Ví dụ 2.3 Giải hệ phương trình bậc nhất ba ấn, [9, tr 8]

  

xyz

 



   

 

  

   

- Nhân hai vế của phương trình  1 với 2 rồi cộng theo từng vế cho phương trình  3 ta được

  

2

xyzxyxy

  

 

 

Để khử số hạng chứa x: Nhân hai vế của phương trình  5 với 2, rồi trừ theo từng vế cho phương trình

 4 , sau đó thay phương trình mới vào vị trí phương trình thứ ba ta được

2

xyzxyy

 

  

Sau khi khử được số hạng chứa zvà số hạng chứa x ta đưa được về hệ tam giác

 

   

   

Phân tích: Để khử số hạng chứa x: - Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai ta được hệ phương trình

3

xyzxyzxyz

 

   

   

- Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với 2 rồi trừ theo từng vế cho phương trình thứ hai ta được

3

xyzyzxyz

 

   

- Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi trừ theo từng vế cho phương trình thứ ba, sau đó thay phương trình mới vào vị trí phương trình thứ ba ta được

3

xyzyzyz

 

  

  

Từ hai phương trình cuối, suy ra 1 5 , điều này vô lí Vậy hệ phương trình bậc nhất ba ấn đã cho vô nghiệm

   

  

Phân tích: Để khử số hạng chứa x: - Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ với 3 rồi trừ theo từng vế cho phương trình thứ nhất ta được

  

- Cộng theo từng vế cho phương trình thứ nhất với phương trình thứ ba ta được



- Hai phương trình cuối tương đương Khi đó, hệ phương trình đưa về

xyzyz

 

Để khử số hạng chứa y:

xzyz



  

x y z; ;  2t1;3 ;t t Nhận xét: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm

Bài tập tự luyện Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp

xyz

 

  

    

  

   

3)

 

   

    

 

   

    

   

  

  

 

 

  

   



   

  

9)

32.

xyzxyxyz

  

 

   

 

   

  

2.1.2 Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy tính cầm tay

Ta có thể tìm nghiệm của hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn bằng cách sử dụng máy tính cầm tay Mỗi máy tính khác nhau có thể có các phím khác nhau Tuy nhiên, đều có quy tắc chung là phải mở chương trình giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn rồi mới nhập dữ liệu

Ta có thể dùng máy tính cầm tay để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Sau khi mở máy, ta lần lượt thực hiện các thao tác sau:

+ Vào chương trình giải phương trình, ấn Màn hình máy tính sẽ hiển thị như sau:

+ Chọn hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ấn Màn hình máy tính sẽ hiển thị như sau:

  

    

   

Bài làm: Ta có thể dùng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ Sau khi mở máy, ta ấn liên tiếp các phím sau đây

Tức là x 4.

Ấn tiếp phím ta thấy màn hình hiện ra như sau:

   

   

 

   

   

Bài làm: a) Ta ấn liên tiếp các phím

Thấy hiện ra trên màn hình dòng chữ “No- Solution” như sau:

Tức là hệ phương trình đã cho vô nghiệm b) Ta ấn liên tiếp các phím