dạy học mô hình hóa chủ đề hàm số bậc hai cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông thông qua sử dụng các bài toán thực tiễn luận văn thạc sĩ sư phạm toán học

Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu cơ sở lý luận và đề xuất một số biện pháp sư phạm đề dạy học nội dung “Hàm sổ bậc hai” theo hướng mô hình hóa một số bài toán thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông và góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán.

Giả thuyết khoa học

Neu thiết kế chủ đề có thêm các bài toán thực tế cho học sinh tìm tòi, mô hình hóa, hoạt động trong dạy học chủ đề “Hàm số bậc hai” thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề “Hàm số bậc hai”, tăng hứng thú học tập bộ môn Toán cho học sinh.

Khách thế và đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Khách thể nghiên cứu

Việc dạy học mô hình hóa chủ đề Hàm số bậc hai cho học sinh THPT.

Đối tượng nghiên cứu

Dạy học mô hình hóa cho học sinh trung học phổ thông thông qua các bài toán thực tế trong dạy học chủ đề Hàm số bậc hai.

Phạm vi nghiên cứu

Quá trình dạy học chủ đề Hàm số bậc hai trong chương trình trung học phổ thông theo quan điểm mô hình hóa.

Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu mở về giáo dục học môn toán, lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán, các sách, tạp chí khoa học toán các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.

- Điều tra quan sát: Dự giờ và quan sát việc dạy học trực tiếp của giáo viên trên lớp Phòng vấn các giáo viên trực tiếp trong quá trình giảng dạy môn Toán ở trường trung học phổ thông, phát phiếu hỏi giáo viên và học sinh để tìm hiểu thực trạng vấn đề dạy học tích họp ở trường trung học phổ thông Tổng kết các câu trả lời và kinh nghiệm để tìm ra những kết luận khoa học cần thiết cho luận văn.

- Thực nghiệm sư phạm: Thể hiện các biện pháp sư phạm đã đề ra qua một số giờ dạy thực nghiệm ở một số lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lóp đối tượng.

Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung luận văn gồm ba chương:

- Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

- Chương 2 Dạy học mô hình hóa chủ đề “Hàm số bậc hai” cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông thông qua các bài toán thực tiễn

- Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Dạy học mô hình hóa toán học

Henry Pollak là một trong những người đầu tiên trong lĩnh vực ứng dụng và mô hình hóa trong giáo dục toán học Ngay từ những năm sáu mươi của thế kỷ trước, ông đã nghiên cứu việc áp dụng mô hình hóa trong giảng dạy toán học Dạy học mô hình hóa toán học giúp cho sự quan tâm của học sinh đối với toán sẽ trở nên lâu dài hơn.

Trong giáo dục, dạy học mô hình hóa được đề cập đến như một phương pháp dạy học đổi mới, cung cấp cho học sinh những quan sát thực tế, những cách tiếp cận thực tế thông qua lý thuyết, giúp học sinh nắm được khái niệm của vấn đề, giúp học sinh đọc hiểu, thiết lập và giải quyết các vấn đề cụ thể dựa trên các tình huống thực tế Mô hình hóa cũng giống như một phương pháp nghiên cứu khoa học, giúp học sinh biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào thực tiễn.

Trong nhũng năm trở lại đây, sử dụng mô hình hóa trong dạy học toán học ngày càng được quan tâm Nhiều ý kiến khác nhau về dạy học mô hình hóa được đưa ra, tuy nhiên đều xoay quanh hai mục đích của dạy học mô hình hóa

Mô hình hóa là một phương tiện dạy học toán học Người học sẽ tiếp thu và vận dụng những khái niệm toán học khi thực hiện giải quyết các tình huống thực tiễn thông qua quá trình mô hình hóa các tình huống thực tiền đó.

Mô hình hóa là mục đích của dạy học toán (cải thiện năng lực mô hình hóa cho người học): năng lực mô hình hóa là một năng lực cơ bản và mục đích giảng dạy toán học là trang bị cho người học năng lực này để giải quyết vấn đề trong toán học và trong các ngành học khác trên thực tiễn.

Theo các nghiên cún ([12], tr.86, [1J), dạy học mô hình hóa toán học sẽ làm rõ nhất vai trò động cơ cùa các bài toán thực tiễn Đây là quá trình người dạy tổ chức các hoạt động giúp người học xây dựng mô hình toán học đế giải

18 quyết các vấn đề trong thực tiễn.

Trong khi dạy học mô hình với mục đích là nhấn mạnh vào kết quả (là các mô hình) thì trọng tâm của dạy học mô hình hóa toán học là quá trình người dạy hướng dẫn người học đưa ra những miêu tả phù hợp với tình huống thực tiễn Khi đó, việc dạy học mô hình hóa toán học sẽ bắt đầu từ một vấn đề thực tiễn và theo đó là quá trình từng bước hướng tới giải pháp cụ thể.

Một số mục tiêu cơ bản của dạy học mô hình hóa toán học đó là: các • • • J • • mục tiêu về hành vi (behavioral objectives') như các sự việc và kỳ năng cơ bản nhận biết sự việc đó; mục tiêu của quá trình (process objectives) đạt được là các kỳ năng, kỳ xảo; mục tiêu mang tính ảnh hưởng (affective objectives) như thái độ, niềm tin, cảm giác; mục tiêu về nhận thức (cognitive objectives) như nhận biết các loại mô hình, hệ thống khái niệm đe xây dựng, mô tả, giải thích, vận dụng và kiểm tra các mô hình toán học.

Dạy học mô hình hóa là phương pháp xây dựng mô hình toán học nhằm diễn đạt và mô tả các bài toán thực tiễn Qua các lần thực nghiệm, kiếm chứng và nghiên cứu, các nhà giáo dục học đã nhận thấy rằng phương pháp dạy học mô hình hóa trong quá trình dạy học toán có vai trò quan trọng Phương pháp này giúp học sinh quen với việc sử dụng các lại dừ liệu khác nhau, lựa chọn và sử dụng công cụ khác nhau, phương pháp toán học phù họp để giải quyết các bài toán thực tế, qua đó giúp học sinh hiểu sâu hơn và nắm chắc kiến thức, nắm được cách xây dựng mối quan hệ giữa thực tế và lý thuyết Do vậy giáo viên càn phát triển hơn về cách xây dựng dạy học mô hình hóa cho học sinh.

Quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề với mô hình hóa có những đặc điểm tương đồng nhau giúp rèn luyện cho học sinh những kỳ năng toán học cần thiết Do đó hỗ trợ và bổ sung cho nhau Quy trình mô hình hóa toán học được xem là khép kín vì nó được dùng để mô tả và giải quyết các tình huống được nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn Sử dụng mô hình hóa ở trường phổ thông nhằm giúp học sinh giải quyết vấn đề bằng cách

- Thu thập thông tin, hiêu và phân tích các kiên thức Toán học.

- Vận dụng Toán học để mô hình hóa các tình huống thục tiễn.

- Áp dụng được lý thuyết Toán học để giải bài toán sau khi mô hình hóa.

Do vậy mô hình hóa toán học được cụ thê hóa theo sơ đô sau đây

Sơ đô 1.3: Quá trình mô hình hóa Toán học

Tuy nhiên, trong thực tê dạy học ờ trường phô thông, quy trình mô hình hóa ở trên luôn có sự điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm vấn

20 đề trở nên dễ hiểu hơn đối với học sinh phổ thông Cơ chế này thể hiện mối quan hệ mật thiết giữa Toán học và các vấn đề thực tiễn (Sơ đồ 1.4).

Từ đó, các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa trong quá trình dạy học môn Toán được đề xuất như sau:

- Bước 1: Tìm hiểu, mô tả cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thiết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế.

- Bước 2: Thiết lập mối quan hệ giữa các giả thiết đã đưa ra Xây dựng bài toán bằng các ngôn ngữ Toán học phù hợp để mô tả tình huống thực tiễn.

- Bước 3: Sử dụng các công cụ Toán học thích hợp để giải quyết bài toán.

- Bước 4: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình hóa Toán học trong thực tiễn Kiểm điểm tính hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng Neu chưa hợp lý, quay lại bước 3.

- Bước 5: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình.

Thực tiễnMối liên hệ Toán Toán học • • • học và thực tiễn

Sư đô 1.4: Cơ chê điêu chỉnh quá trình mô hình hóa

Nhăm vận hành linh hoạt quy trình mô hình hóa, giáo viên cân hướng dẫn học sinh nắm được các yêu cầu cụ thể sau đây :

Năng lực mô hình hóa toán học trong chương trình giáo dục phố thông môn Toán năm 2018

* Năng lực mỏ hình hóa toán học

Có nhiều định nghĩa về năng lực mô hình hóa toán học, có nhiều tác giả

25 cho răng năng lực mô hình hóa toán học như là khả năng vận dụng kiên thức toán học vào thực tiễn, hay là khả năng áp dụng những hiểu biết toán học để mô tã một tình huống thực tiễn về dạng toán học Do đó trọng tâm cùa hoạt động mô hình hóa toán học là việc xây dựng được mô hình toán học cho bài toán đó Năng lực mô hình hóa toán học tình huống thực tiễn của học sinh phụ thuộc hoàn toàn vào trình độ toán học và sự hiếu biết của bản thân về thế giới xung quanh Các thành tố của năng lực mô hình hóa của học sinh trung học phổ thông bao gồm :

- Năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn : Khả năng tưởng tượng, quan sát tinh huống thực tiễn, chuyển đổi các ý tưởng từ thực tiễn sang ngôn ngữ Toán học; khả năng ước lượng, dự đoán các khả năng có thể xảy ra.

- Năng lực định hướng đến các yếu tố trọng tâm của tình huống: khả năng xác định các yếu tố quan trọng của tình huống, khả năng thiết lập các mối liên hệ giữa các yếu tố đó, đánh giá mức độ phụ thuộc, khả năng loại bò những gì không bản chất, khả năng nêu ra bài toán có nội dung thực tiễn.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học: Khả năng sử dụng ngôn ngữ xúc tích, ngắn gọn, chính xác để mô tả các tình huống; khả năng sử dụng ngôn ngữ Toán học để chuyển đổi các tình huống thực tiễn sang dạng toán học.

- Năng lực xây dựng mô hình toán học: khả năng phát hiện ra các yếu tổ trọng tâm, khả năng biểu diễn các đại lượng thực tế bằng ngôn ngữ toán học, biểu diễn các mối quan hệ giữa các đại lượng.

- Năng lực làm việc mới mô hình toán học: khả năng giải toán trên mô hình toán học và nêu ra được kết quả của mô hình thông qua bài toán, khả năng dùng mô hình phán đoán tình huống thực tiễn.

- Năng lực kiềm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình: khả năng kiểm tra, kiểm định kết quả thu được, khả năng vận dụng suy luận có lý vào

26 việc đưa ra các mô hình toán học cho tình huông thực tiên và so sánh tìm mô hình hợp lý hơn.

Tuy nhiên, thực tế nhiều tác giả cũng cho rằng không thể đồng nhất năng lực mô hình hóa toán học với năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn Theo Blum và Jensen, năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quả trình mô hình hóa một tình huống cho trước Các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học bao gồm

(4) Xác định được biến số, tham số, hằng số;

(5) Thiết lập mệnh đề toán học;

(7) Biểu diễn được mô hình thích hợp;

(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn.

Trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018, năng lực mô hình hóa toán học thể hiện qua việc

- “Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn Học sinh phồ thông hướng tới thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, ) để mô tả tình huống đặt ra trong một sổ bài toán thực tiễn.”

- “Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập.”

- “Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp, hướng tới lý giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bố sung thêm giả thiết,

27 tổng quát hóa, ) để đưa đến những bài toán giải được.”

Trong nghiên cứu này, để phù hợp với thực tiễn giáo dục của Việt Nam trong giai đoạn hiện tại, chúng tôi sử dụng mô tả về năng lực mô hình hóa của học sinh mà đã được xác định trong chương trình giáo dục phổ thông 2018.

* Đặc điêm nội dung hàm số trong chương trình môn toán ở trường phô thông

Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, nội dung hàm số và đồ thị được dạy một cách tường minh cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12 Cụ thể:

- Lớp 8 : Học sinh được nghiên cứu về hàm số và đồ thị, hàm số bậc nhất y = ax + b (a ự: 0) và đồ thị Hệ số góc của đường thẳng.

- Lớp 9 : Học sinh được nghiên cứu về hàm số y — ax2 (a * 0) và đồ thị.

- Lớp 10 : Học sinh được nghiên cứu về hàm số bậc hai, đồ thị hàm số bậc hai tống quát và ứng dụng.

- Lớp 11 : Học sinh được nghiên cứu về hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit.

- Lớp 12 : Học sinh được nghiên cứu về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Như vậy hàm số bậc hai là nội dung mà học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình lóp 9 và 10 Nội dung chi tiết và các yêu cầu cần đạt của học sinh khi học hàm số bậc hai được quy định cụ thể trong chương trình giáo dục phổ thông 2018.

Yêu cầu cần đạt y = ax2 (a * 0) và đồ thị

Thiêt lập được bảng giá trị của hàm sô y — ax2 (a * 0).

Vẽ được đồ thị hàm số y = ax2 (ữ / 0).

Nhận biết được tính đối xứng (trục) và trục đối xứng của đồ thị hàm số.

Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với hàm số y = ax2 (a 0) và đồ thị

10 Hàm số bậc hai, đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng.

Thiết lập được bảng giá trị của hàm số bậc hai.

Vẽ được đồ thị hàm số bậc hai.

Nhận biết được tính chất cơ bản của đồ thị hàm số bậc hai.

Giải thích được tính chất của hàm số bậc hai thông qua đồ thị.

Vận dụng được kiến thức về hàm sổ bậc hai và đồ thị vào giải quyết bài toán thực tiễn.

Bảng 1.1 Bảng các yêu câu cân đạt của học sinh khi học hàm sô bậc hai theo chương trình giáo dục phổ thông mới

* Năng lực mô hình hỏa toán học của học sinh trong nghiên cứu Hàm số bậc hai

Qua các mục tiêu và yêu cầu cần đạt của học sinh khi học nội dung Hàm số bậc hai vừa được trình bày ở trên, ta nhận thấy qua việc thực hiện các yêu cầu “thiết lập được bảng giá trị của hàm số”, “nhận biết được tính chất cơ bản của đồ thị hàm số bậc hai”, “vận dụng được kiến thức về hàm số bậc hai và đồ thị vào giải quyết bài toán thực tiễn” là cơ hội đế học sinh phát triến các năng lực thành tố của năng lực mô hình hóa Học sinh đi xa hơn trong việc tìm kiếm các giải pháp, kiến thức toán học cần áp dụng và đòi hởi học sinh để kiểm tra tính khả thi của các giải pháp trong bối cảnh thực tế Dựa vào bảng mô tả năng lực mô hình hóa và các yêu cầu cần đạt của học sinh khi học nội dung “Hàm số bậc hai” được quy đinh trong chương trình giáo dục phổ thông

2018, tôi xin đề xuất các biểu hiện của năng lực mô hình hóa toán học của học sinh khi học Hàm số bậc hai như sau:

Lựa chọn được công thức xác định hàm sô bậc hai phù hợp với tình huống thực tiễn.

Thiết lập được bảng giá trị của hàm số bậc hai tương thích với tình huống cho trước, từ đó xác định được hàm số bậc hai tương ứng. Đặt ẩn, xác định được mối tương quan giữa hàm số bậc hai với tình huống thực tiễn.

Giải quyết vấn đề toán học trong mô hình hàm số bậc hai vừa được thiết lập.

Liên hệ được lời giải trong hoàn cảnh thực tế và cải tiến được mô hình khi các phương án giãi quyết không phù hợp.

Bảng Ĩ.2 Bảng các biểu hiện của năng lực mô hình hóa của học sinh khi học hàm sổ bậc hai

Thực trạng dạy học mô hình hóa chủ đề Hàm số bậc hai cho học sinh lớp

Khi dạy học sinh các mô hình toán học, có nhiều khả năng bị hạn chế Học sinh có thể không thuận lợi để hiểu được vấn đề, gặp khó khăn trong việc xây dựng giả thiết và xác định các biến số quan trọng cần thiết để xây dựng các mô hình toán học Thêm vào đỏ, học sinh cũng bị hạn chế bởi kiến thức toán học và khả năng lựa chọn phương án thích hợp để giải quyết các vấn đề và giải thích bài toán Sự hiểu biết về những hạn chế cung cấp cái nhìn sâu vào suy nghĩ và học tập của học sinh khi học sinh trải qua quá trình mô hình hóa Điều quan trọng là giáo viên cung cấp giàn ý và những câu hởi theo hướng gợi mở và định hướng để hướng dẫn học sinh khi họ trài qua các yếu tố khác nhau của quá trình mô hình hóa toán học Giáo viên phải xác định được và bổ sung kiến thức và kỹ năng cần thiết cho học sinh để xây dựng được các mô hình toán học và giải quyết nó Học sinh có thể làm việc theo dự án, nhóm, hợp tác và có thể sử dụng công nghệ đề giải quyết các vấn đề.

Các mô hình chỉ là định dạng ban đầu và mô hình hóa sẽ thực hiện

30 những chu trình kiểm tra và sửa đổi Có những mô hình có thể tồn tại trong thời gian dài, có thể chia sẻ và tái sử dụng trong nhiều tình huống tương tự về cấu trúc Trong quá trình mô hình hóa toán học, có thể có nhiều cách biểu diễn mô hình khác nhau nhưng chúng sẽ được sắp xếp, lựa chọn hoặc tích hợp lại với nhau Sau đó, những cách biểu diễn này được phân tích, giải thích, thử nghiệm để từ đỏ có thể điều chỉnh, sửa đổi hoặc loại bỏ không sử dụng trong các bước tiếp theo của quá trình mô hình hóa toán học.

Như vậy, theo các nghiên cửu đã đưa ra, tại tất cả các giai đoạn thực hiện quá trình mô hình hóa toán học thì học sinh đều gặp khó khăn Những khó khăn thường tập trung ở các hoạt động: nhận biết tình huống, chuyển đổi ngôn ngữ, lập chiến lược giải và đánh giá quá trình giải quyết vấn đề bằng mô hình hóa toán học.

Kết luận chương 1

Chương 1 đã trình bày tương đối cụ thể và làm rõ được khái niệm mô hình toán học, giới thiệu phương pháp cũng như tầm quan trọng của dạy học mô hình hóa cho học sinh trung học phổ thông để học sinh giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn Thêm nữa chương 1 chỉ ra rằng việc rèn luyện học sinh năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn là vấn đề có tính cần thiết và là một nhiệm vụ giáo dục của nước ta.

Định hướng xây dựng biện pháp

Trong quá trình dạy học cho học sinh trung học phổ thông, phương pháp dạy học mô hình hóa là một phương pháp dạy học đổi mới Đẻ xây dựng những hoạt động dạy học mô hình hóa có ý nghĩa và phù hợp với học sinh, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

- Mở đầu với một tình huống thực tế, tình huống phải phù hợp với đổi tượng học sinh và chứa đựng được nội dung toán học mà học sinh đã được học.

- Dự kiến được nhũng kiến thức, kĩ năng toán học mà học sinh càn có để sử dụng và thiết lập mô hình toán học và giải được bài toán.

- Làm rõ ràng tình huống, tạo mối liên kết giữa tình huống thực tế với toán học bang cách:

• Đơn giản hỏa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa.

• Đưa ra các giả thiết phù họp.

• Nhận ra các tham số trong tình huống đe biểu diễn các đặc điểm cần thiết.

• Thu thập dữ liệu từ thực tế để cung cấp thêm thông tin cho tình huống, các dữ liệu này sẽ gợi ý loại mô hình toán phù hợp với tình huống.

• Các câu hỏi được đặt ra một cách rõ ràng.

- Đối chiếu mô hình với thực tế và đưa ra kết luận cần thiết.

Trong thực tế, học sinh có thể bắt gặp rất nhiều những hình ảnh của đồ thị hàm số bậc hai, có thể kể đến hình ảnh các cây cầu Người ta làm cầu có hình dạng parabol với bề lõm quay xuống dưới để lực mà cây cầu gánh chịu được chia đều sang hai bên chân cầu, đế giảm lực lên cả cây cầu và giúp cầu khó bị sập hơn Vì trên mặt cầu hình dạng parabol thì xe luôn có khuynh

32 hướng đi theo phương tiếp tuyến của mặt cầu làm lực tác dụng lên mặt cầu càng nhở Tại các công viên vui chơi giải trí, đường ray tàu lượn siêu tốc được thiết kế theo các cung đường parabol để tăng cảm giác mạnh cho người chơi đồng thời tạo động lực cho tàu di chuyển.

Hình 2.1.1 ứng dụng của parabol trong xây dựng

Hình 2.1.2 ủng dụng của parabol trong xây dựng

Trong thiên văn, các kính thiên văn được chế tạo có dáng điệu vì bộ phận quan trọng nhất của kính thiên văn phản xạ là gương cầu và gương cầu đó phải được chế tạo theo dạng parabol là tốt nhất Khi đó thì kinh thiên văn mới phản chiếu chính xác nhất vật về tiêu điểm gương (tia tới song song với trục chính) Không những thế việc sử dụng dạng mặt cầu parabol cho đèn pin,

33 đèn chiếu sáng giúp ánh sáng lan tỏa xa và mạnh hơn so với mặt cầu phẳng bình thường. r 9 V Ă _

Hình 2.1.3 ưng dụng của parabol trong chê tạo mặt kính

Ngoài ra, các chuyên động ném xiên học sinh cũng gặp rât thường xuyên trong cuộc sống Chuyển động ném xiên là chuyển động của một vật được ném lên với vận tốc ban đầu v0 hợp với phương ngang một góc a (gọi là góc ném) Vật ném xiên chỉ chịu tác dụng của trọng lực Khi đó, quỹ đạo của vật sẽ di chuyên theo hình dáng của một parabol 2

Hĩnh 2.1.4 ửng dụng của parabol trong chuyển động

2 - r r Đây sẽ là sơ sở quan trọng đê tác giã đê xuât xây dựng một sô mô hình dạy học mô hình toán học được trình bày trong chương 2.

Thiết kế một số bài toán thực tiễn dạy học chủ đề Hàm số bậc hai theo hướng mô hình hóa cho học sinh trung học phổ thông

2.2.1 Biện pháp 1: Xây dựng mô hình toán học dựa trên những sự vật thực • J l ỉ J • O • • O • • • tế có dáng điệu của parabol

Dạy học mô hình hóa toán học là quá trình hướng dẫn học sinh chuyển đổi từ các bài toán thực tiễn sang mô hình toán học bằng các ngôn ngừ toán học Ngôn ngừ và các công cụ toán học cần thiết bao gồm các biến số, tham số, ký hiệu, đồ thị, công thức, Khi xác định được các yếu tố toán học học sinh cần phải xây dựng được mối liên hệ giữa các đại lượng, các yếu tố đó

Do vậy việc rèn luyện cho học sinh xác định biến số và mối liên hệ giữa các biến số đó là vô cùng cần thiết Sau khi đã xác định được các yếu tố, quy luật của tình huống, học sinh cần làm công việc tiếp theo là đặt biến cho các đại lượng, yếu tố đó Hoạt động này thể hiện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ thực tiễn sang ngôn ngữ toán học Thông qua đó mà học sinh phát triển được năng lực mô hình hóa toán học sau đây:

Qua các yêu cầu cần đạt của học sinh khi học nội dung hàm số bậc hai vừa được trình bày ở trên, ta nhận thấy việc chuyển đối từ bài toán thực tiễn sang mô hình toán học được thể hiện thông qua “thiết lập được bảng giá trị của hàm số”, “nhận biết được tính chất cơ bản của hàm số bậc hai”, “vận dụng được kiến thức về hàm số bậc hai và đồ thị vào giải quyết vấn đề thực tiễn” Từ đó học sinh có cơ hội phát triền các năng lực thành tố của năng lực mô hình hóa Dựa vào mô tả của các yếu tố cần đạt của học sinh khi học xong bài “Hàm số bậc hai” trong quy định chương trình giáo dục phổ thông 2018, tôi đề xuất các biểu hiện của năng lực mô hình hóa của học sinh khi học xong bài “Hàm số bậc hai”:

- Tim được bảng giá trị, công thức xác định hàm số bậc hai phù họp với tình huống.

- Đặt ẩn, xác định được mối liên hệ giữa hàm số bậc hai với tình huống thực tiễn.

- Giải quyết các vấn đề toán học được đặt ra trong bài toán vừa được thiết lập để trả lời cho bài toán thực tiễn.

- Đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tiễn và cải tiến mô hình trong trường hợp các giải quyết không phù hợp.

2.2.I.2 Cách thực hiện, Giáo viên sử dụng các ví dụ minh họa liên quan đến các hình ảnh thực tiễn trong cuộc Sống (ví dụ hình ảnh của cây cầu, cổng, )

Ví dụ 2.1 (Bài toán về công Arch) cổng Arch (Gateway Arch) là một cống vòm được làm bằng thép không gỉ tại thành pho St Louis (Hoa Kỳ) Cống Arch đang là công trình kiến trúc vòm cao nhất thế giới và là tượng đài nhân tạo cao nhất ở Tây bán càu được hoàn thành xây dựng vào năm 1965 Cổng Arch có dáng điệu của một đồ thị parabol Giả sứ ta lập một hệ trục tọa độ Oxy sao cho một chân cồng đi qua gốc tọa độ ơ(0;0) và chân kia của cổng ở vị trí (162;0) Biết một điểm M trên cổng có tọa độ (10; 43). a) Xác định đồ thị hàm số biểu diễn hình dạng của cổng Arch.

A 9 - r ° r b) Xác định chiêu cao của công (tính từ đỉnh cao nhât trên công đên mặt đất).

Hình 2.1 Hình minh họa cho vỉ dụ 2.1

- Thiết lập hàm số có đồ thị biểu diễn hình dạng của cổng Arch (đường parabol).

- Tính chiều cao của cổng (xác định tung độ đĩnh của parabol trên).

- Qua hoạt động này, giáo viên có thế rèn luyện cho học sinh các kĩ nang

• Thiết lập và biểu diễn đồ thị của hàm số bậc hai.

• Đọc đồ thị của hàm số bậc hai và nhận dạng được một số tình huống hình ảnh trong thực tế có biểu diễn là đường parabol.

- Giai đoạn 1: (Toán học hóa): Giáo viên chia lóp thành các nhóm học sinh và yêu cầu các nhóm quan sát hình ảnh cổng Arch Các nhóm thảo luận và đưa ra dự đoán rằng hình dạng cổng giống như một phần của đường parabol.

Giáo viên đưa ra các câu hởi mở để học sinh có thể tìm được các yếu tố liên quan đến đường parabol:

+) Hàm số bậc hai có dạng là gì?

+) Từ hình đặt hệ trục như nào?

+) Các điểm đề bài đã cho khai thác thế nào?

Sau đỏ giáo viên yêu cầu các nhóm xác định dạng biểu diễn của parabol đó thông qua các giả thiết thu thập được Các nhóm thảo luận đưa ra cách xác định phương trình biểu diễn.

- Giai đoạn 2: (Giải bài toán): Các nhóm học sinh dựa theo quan sát và các dữ kiện đề bài đưa ra để tìm phương trình parabol đó.

Gọi hàm sô bậc hai cỏ dạng y = ax2 + bx + c thỏa mãn các điều kiện sau: Đồ thị hàm số đi qua các điểm ơ(0;0),A(162;0),Af (10;43) nên ta

2 _ F thay tọa độ các điêm vào hàm sô.

Từ đú ta cú hệ phương trỡnh < 100ô + 10b + c = 43 Dựng mỏy tớnh ữ.1622+ 162Ồ + C = 0

V f r 9 - - A bâm hệ phương trình bậc nhât ba ân ta thu được kêt quả sau

Vậy phương trình parabol là y = - 43

760 cổng Ac-xơ à Mĩ Hình 2.22

Hình 2.2 Đồ thị minh họa cho vỉ dụ • • •

Khi đó chiều cao của cổng bằng tung độ đỉnh của paraooi 00, vậy nên h = f = f (81)®188(m)

- Giai đoạn 3: (Hiểu và thông dịch): Khi dự đoán về hình dạng cổng

Arch dựa theo số liệu thực tế và kiến thức toán học đã được học thì học sinh • • • • • • • có thể dễ dàng tìm ra được hàm số bậc hai có đồ thị là đường parabol Từ đó tìm ra được độ cao của cống là 188m.

- Giai đoạn 4: (Đổi chiếu thực tế): Dựa vào kết quả tính được đối chiếu với số liệu thực tế xem mô hình đã phù hợp Trên thực tế có rất nhiều công trình được thiết kế có hình dạng tương tự cong Arch, việc thiết kế và thi công các công trình sẽ được tính toán một cách cẩn thận vừa đảm bảo được chất lượng công trình vừa đảm bảo được độ thấm mĩ cao.

Phân tích kết quá hoạt động:

Các nhóm học sinh đã thảo luận và tìm ra kết quả của bài toán Khoảng 60% số học sinh hoàn thành nhiệm vụ và hiếu rõ bài toán Nói cách khác, số • • • 2 học sinh này có thể thiết lập công thức biểu diễn hàm số, vẽ và đọc được đồ thị của hàm số Với bài toán này, theo đánh giá hầu hết học sinh đạt được kĩ năng mô hình hóa và hứng thú với dạng bài sưu tập hình ănh parabol trong thực tiễn và thiết lập phương trình biểu diễn bằng các phần mềm hình học động như Geogebra, Geometry,

Ví dụ 2.2 (Bài toán cầu treo) Dây truyền đỡ trên cầu treo có dạng

Parabol ACB như hình vẽ Đầu, cuối của dây được gắn vào các điểm A, B trên mỗi trục AÁ và BB với độ cao 30 m Chiều dài đoạn A B trên nền cầu bằng 200m Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên cầu là oc = 5m Gọi

Q ,p ,H ,0,1 ,J ,K là các điềm chia đoạn ÁB thành các phần bằng nhau

Các thanh thẳng dửng nối nền cầu với đáy dây truyền:

QQ ,pp ,HH ,oc, II ,JJ , KK gọi là các dây cáp treo Tính tồng độ dài của các dây cáp treo.

Hình 2.3 Hình minh họa vỉ dụ 2.2 • •

Bài toán yêu cầu xác định chiều dài các dây cáp treo Qua đó, giáo viên có thể đánh giá được kỹ năng sau đây của học sinh:

- Kỳ năng xây dựng hàm số bậc hai.

- Kỳ năng giải hệ phương trình bậc nhất ba ấn.

- Kỹ năng đọc hiểu tinh huống thực tế.

Giáo viên chia lớp thành các nhóm học sinh và tổ chức cho nhóm giải quyết theo các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa)

Hình 2.4 Hình minh họa ví dụ 2.2

Giáo viên cần hướng dần học sinh phân tích và hiểu được vấn đề thực tiễn:

Dây truyền của cầu dây cáp treo có dạng một phần đường parabol ACB Xây dựng được hàm số bậc hai có đồ thị là parabol này, ta sẽ tìm được tọa độ các điếm trên parabol, từ đó tính được khoảng cách từ điểm đó xuống mặt đất.

Việc đặt trụ Oxy được minh họa như hình vẽ Việc tính tống độ dài dây treo là tính tổng các đoạn oc,BBppHHII.1.1',KK'.

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán)

Chọn trục Oxy như hình vẽ minh họa Khi đó ta có tọa độ điểm • • • • • ẩ (100;30), C(0;5) Từ đó ta tìm được phương trình parabol có dạng

40 y = ax1 +bx + c có đinh là c và đi qua điểm A.

Ta có hệ phương trình sau:

Từ đó ta có phương trình parabol là /(x)

Bài toán đưa vê việc xác định tông chiêu dài các dây của cáp treo, có

9 nghĩa là tính tông tung độ của các diêm B,Q,P,H,C,I,7,K,A Tuy nhiên do tính đối xứng nên ta thấy rằng tổng độ dài sẽ bằng oc + 2yt + 2y2 + 2y3 với yi,y7,y3 lần lượt là tung độ của các điểm I,J,K.

Do đó tổng độ dài dây là 5 + 2.-^ + 2,— + 2.^- = — = 78,75 m.

- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch)

Vậy sau khi giải bài toán, ta tính được tổng độ dài dây là 78,75m, và ta có thế thấy ta hoàn toàn có thể xác định được hàm số biểu diễn parabol ACB, ta có thể tìm được mọi yếu tố liên quan đến parabol này.

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế)

Trên thực tế, ngay trên bản vẽ người ta đã cần đưa ra các con số chính xác của từng chi tiết để đi vào xây dựng Bài toán trên chính là tính chiều dài các dây cáp treo, đưa ra các con số chính xác để tính toán sự phù hợp và đế bên thi công xử lý.

Hoạt động này cho học sinh thấy việc đưa tình huống thực tế sang ngôn

Kết luận chương 2

THỰC NGHIỆM Sư PHẠM • • • 3.1 Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiên hành nhăm đánh giá tính khả thi và phù hợp, hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất Đồng thời đánh giá sự hứng thú trong học tập và khả năng giải quyết các vấn đề thực tiễn của học sinh Thông qua thực tế dạy học tại các lớp ở trường trung học phố thông Nguyễn Huệ, nghiên cứu bước đâu đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất trong chương 2.

3.2 Nhiệm vụ thực nghiêm SU’ phạm • • • ” • > •

- Biên soạn tài liệu theo hướng dạy học mô hình hóa toán học trong dạy học nội dung hàm số bậc hai với từng tiết học cụ the Tài liệu được trình bày dưới dạng kê hoạch bài dạy

- Chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đôi chứng ;tiên hành dạy thực nghiệm một số tiết.

- Đánh giá kêt quả thực nghiệm sư phạm theo góc độ : chât lượng, hiệu quả và khả thi của việc xây dựng biện pháp dạy học mô hình hóa toán học bằng dạy học nội dung hàm số bậc hai trong chương trình lớp 10 thông qua các bài toán thực tiên.

Thời gian thực nghiệm sư phạm : từ ngày 1 tháng 11 năm 2023 đên 30 tháng 11 năm 2023.

Học sinh ở các lóp được lựa chọn tham gia thực nghiệm và đôi chứng ở hai lóp 10 trường Trung học phô thông Nguyên Huệ.

+ Lớp thực nghiệm 10A12 (32 học sinh) do tác giả giảng dạy.

+ Lớp đối chứng 10A13 (34 học sinh).

Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiên hành nhăm đánh giá tính khả thi và phù hợp, hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất Đồng thời đánh giá sự hứng thú trong học tập và khả năng giải quyết các vấn đề thực tiễn của học sinh Thông qua thực tế dạy học tại các lớp ở trường trung học phố thông Nguyễn Huệ, nghiên cứu bước đâu đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất trong chương 2.

3.2 Nhiệm vụ thực nghiêm SU’ phạm • • • ” • > •

- Biên soạn tài liệu theo hướng dạy học mô hình hóa toán học trong dạy học nội dung hàm số bậc hai với từng tiết học cụ the Tài liệu được trình bày dưới dạng kê hoạch bài dạy

- Chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đôi chứng ;tiên hành dạy thực nghiệm một số tiết.

- Đánh giá kêt quả thực nghiệm sư phạm theo góc độ : chât lượng, hiệu quả và khả thi của việc xây dựng biện pháp dạy học mô hình hóa toán học bằng dạy học nội dung hàm số bậc hai trong chương trình lớp 10 thông qua các bài toán thực tiên.

3.3.3 Hình thức tô chức thực nghiệm

Giáo viên tồ chức dạy học trên lớp, triển khai và dặn dò học sinh trong các tiết học trước: chia nhóm học tập, các nhóm bầu nhóm trưởng và triển khai các nhiệm vụ Bên cạnh đó, kiểm tra tình hình hoạt động của các nhóm và tiến độ hoạt động của các nhóm.

Cuối đợt thực nghiệm sư phạm, giáo viên tiến hành phát phiếu điều tra mức độ đồng tình về tiết học cho học sinh lớp thực nghiệm để đánh giá tính khả thi của tiết học có áp dụng biện pháp dạy học mô hình hóa toán học.

Thông qua phiếu điều tra mức độ đồng tình, thống kê và nhận xét kết quả thực nghiệm sư phạm.

Trong thời gian thực nghiệm tại trường phố thông, tác giả đã tiến hành thực nghiệm dạy học phát triển mô hình hóa với chủ đề hàm số bậc hai. Đánh giá tính khả thi và hiệu quả của dạy học mô hình hóa thông qua các bài toán thực tiễn nội dung hàm số bậc hai lớp 10.

+) Giới thiệu về mô hình hóa toán học cho học sinh.

+) Tổ chức học sinh thực hiện các hoạt động dạy học đã thiết kế, tập trung cho học sinh giải một số bài toán có nội dung thực tiễn, tập dượt xử lý một số tình huống thực tế bằng mô hình toán học.

+) Quan sát học sinh về khả năng tiếp thu và thực hiện.

+) Kiểm tra khả năng mô hình hóa thông qua bài kiểm tra viết.

Cuối đợt thực nghiệm tác giả đã đánh giá kết quả thực nghiệm ở các lóp thực nghiệm và đối chứng thông qua một bài kiểm tra 45 phút nhằm kiểm tra kết quà.

3.5 Phân tích kết quả thực nghiệm

3.5.1 Một so nhận xét chung

Học sinh khi tiếp cận với phưong pháp dạy học mới đặc biệt là làm việc nhóm nên học sinh còn thụ động trong hoạt động nhóm và rụt rè trong

66 việc phát biểu ý kiến trước lớp Thường trong nhóm chỉ có vài thành viên tích cực, chăm chỉ làm bài và tương tác với nhau Tuy nhiên học sinh đã dần chủ động nhận nhiệm vụ thực hiện một cách hiệu quả hon.

Nhiệm vụ học tập đặt ra bám sát mục tiêu dạy học theo chương trình giáo dục phố thông năm 2018 và bám theo cuốn sách giáo khoa bộ Kết nối tri thức với cuộc sống Do đó mồi hoạt động đều được triển khai phù họp với nhận thức và khả năng của học sinh Trong quá trình dạy học, tác giả cổ gắng khích lệ học sinh ganh đua giữa các nhóm, tạo không khí thoải mái đế học tập Vì thế thực tế các giờ dạy học trên lóp học sinh đã được thu hút và cảm thấy việc học toán không bị nặng nề Các hoạt động của học sinh có thể thấy là

+) Học sinh hăng hái tham gia thảo luận nhóm để giải quyết các nhiệm vụ học tập chung và khi càn tập trung lúc giáo viên triển khai bài và chừa bài.

+) Các nhóm học sinh đã đưa ra được những nhận xét cho những nhóm khác, góp phần xây dựng bài học.

+) Khả năng hoàn thành nhiệm vụ của học sinh tăng dần sau mồi tiết học, có thế ghi nhớ lại được các bài toán thực tế và thực hiện việc đo khi nhìn thấy những vật mà có dáng điệu của parabol.

Theo dõi tiến trình thực nghiệm sư phạm, tác giả thấy rằng nhìn chung học sinh học tập tích cực, sôi nổi hơn, thích thú với những bài toán có nội dung thực tiễn Sự hấp dẫn của các bài toán có nội dung thực tiễn cũng chính là ở chồ gắn các kiến thức toán học với các ứng dụng thực tế đa dạng và sinh động của nó trong học tập cũng như đời sống Các tiềm năng ứng dụng và ý nghĩa to lớn của những bài toán có nội dung thực tiễn được gợi mở và dần dần được củng cố bởi các kiến thức đã học Điều đó khiến học sinh cảm thấy hứng thú của cả thầy và trò trong thời gian thực nghiệm.

Tiết học được thực hiện ở lóp 10A12 và 10A6 trường trung học phổ thông Nguyễn Huệ Kết quả điều tra ý kiến học sinh về giờ dạy được cho

67 trong bảng dưới đây (đánh giá theo thang điềm 10 về mức độ đồng ý)

Em thây giờ học hâp dân Cách giảng bài của giáo viên đã thu hút em

Nội dung bài học đã được đối mới và hấp dẫn

Em đã bị cuôn hút vào bài học, chủ động tìm tòi và giải quyết vấn đề của mình

Em đã nắm được các kiến thức của bài học

Em đã học thêm được nhiều điều mới Những câu hỏi, mẩu chuyện, hình ảnh đã phù họp với nội dung bài học

Em đã thấy một phần mối liên hệ của Toán học và thực tiễn

Em mong muốn có nhiều giờ học như thế này

Bảng 3.1 Bảng thống kê ỷ kiến học sinh

Thông qua kết quả điều tra thể hiện ở bảng 3.1 cho thấy đa số học sinh được hỏi ý kiến đều thích và muốn học các tiết học có những nội dung có liên quan đến những ứng dụng của Toán học trong thực tế (ngay cả khi chưa hiểu hết những nội dung trong bài).

Tuy nhiên, hầu hết học sinh cho mình là đã hiểu bài, nhung thông qua kết

68 quả hoạt động cho thây chưa phải tât cả hoc sinh đạt được mục đích bài học.

Nguyên nhân dẫn tới việc học sinh chưa hoàn thành mục tiêu bài học :

- Giáo viên chưa huy động được tất cả học sinh cùng tham gia nhiệm vụ, dẫn tới nhiều học sinh còn làm việc riêng.

- Các thành viên trong nhóm chưa có sự phối hợp ăn ý, chưa có nhiều sự hợp tác trong hoạt động.

- Học sinh tính toán còn nhầm lẫn, chưa có thói quen phân tích vấn đề thực tiễn.

- Đây là bài học vận dụng nên một số học sinh không muốn tiếp thu.

Kế hoạch thực nghiệm