dạy học mô hình hóa chủ đề hàm số bậc hai cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông thông qua sử dụng các bài toán thực tiễn luận văn thạc sĩ sư phạm toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC• • •

vũ PHƯƠNG NAM

DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA sử DỤNG

CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

LUẬN VẲN THẠC sĩ sư PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC Bộ MÔN TOÁN HỌC • • •

Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Đức Hiệp

HÀ NỘI - 2024

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam kêt răng các kêt quả trình bày trong luận văn này không bị trùng với các bài luận văn truớc đây Nguồn tài liệu được tìm kiếm cho việc hoàn thành luận văn là các nguồn tài liệu mở Các trích dẫn sử dụng trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày tháng năm 2023

rp r • 9 "I /\

Tác giả luận văn

Vũ Phương Nam

1

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nồ lực cố gắng của bản thân tìm tòi, nghiên cứu, sáng tạo, không thể thiếu sự giúp đỡ, động viên, hướng dẫn của thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp Tôi xin chân thành cám ơn thầy cô giáo Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn trong suốt quá trình tôi học tập và nghiên cứu tại trường.

Với sự trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Phạm Đức Hiệp - Giàng viên Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đõ’ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.

Xin cảm ơn gia đình, nhà trường, các thầy cô, đồng nghiệp và các em học sinh trường trung học phổ thông Nguyễn Huệ đã luôn ủng hộ, động viên, giúp đờ tôi.

Mặc dù có nhiều sự cố gắng song luận văn vẫn không tránh khỏi sự thiếu sót Kính nhờ sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp và những bạn quan tâm tới vấn đề này để luận văn được hoàn thiện hơn.

Xin trân trọng cảm ơn !

Hà Nội, ngày tháng năm 2023

Tác giả luận văn

Vũ Phương Nam

1 Lý do chọn đề tài 1

1.1 Xuất phát từ yêu cầu đồi mới của nền giáo dục 1

1.2 Xuất phát từ nhu cầu cùa người dạy và người học 2

1.3 Xuất phát từ đặc điểm môn học và chương trình sách giáo khoa trung học phổ thông 2

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Giả thuyết khoa học 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Khách thế và đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

5.1 Khách thể nghiên cứu 2

5.2 Đối tượng nghiên cứu 2

5.3 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Cấu trúc của luận văn 4

Chương 1 5

Cơ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Mô hình hóa toán học í1.1.1 Mô hình í1.1.2 Mô hình toán học

1.1.3 Mô hình hóa toán học

1.1.4 Quá trình mô hình hóa toán học1.2 Dạy học mô hình hóa toán học

111

1.2.1 Dạy học mô hình hóa toán học 18

1.2.2 Đặc điểm dạy học mô hình hóa 23

1.2.3 Năng lực mô hình hóa toán học trong chương trình giáo dục phố thông môn Toán năm 2018 25

1.3 Thực trạng dạy học mô hình hóa chủ đề Hàm số bậc hai cho học sinh lớp 10 trung học phố thông thông qua các bài toán thực tiễn 30

1.4 Kết luận chương 1 31

CHƯƠNG 2 32

DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA CHỦ ĐÈ “HÀM SỐ BẬC HAI” CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỐ THÔNG THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN 32

2.1 Định hướng xây dựng biện pháp 32

2.2 Thiết kế một số bài toán thực tiễn dạy học chủ đề Hàm số bậc hai theo hướng mô hình hóa cho học sinh trung học phổ thông 35

2.2.1 Biện pháp 1: Xây dựng mô hình toán học dựa trên những sự vật thực tế có dáng điệu của parabol 35

2.2.3 Biện pháp 3: Tạo tình huống yêu cầu chuyển đổi các vấn đề thực tiễn có mục đích tối ưu dưới dạng ngôn ngữ toán học 55

3.5 Phân tích kết quả thực nghiệm 66

DANH MỰC BẢNG, BIÉU

Sơ đồ 1.1 Quá trình mô hình hóa toán học (theo Blum, 2007) 15

Sơ đồ 1.2 Quá trình mô hình hóa toán học mở rộng với sự hỗ trợ công nghệ(theo Greefrath, 2016) 16Sơ đồ 1.3: Quá trình mô hình hóa Toán học 20

Sơ đồ 1.4: Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa 21

Bảng 1.1 Bảng các yêu cầu cần đạt của học sinh khi học hàm số bậc hai theo chương trình giáo dục phổ thông mới 29

Bảng 1.2 Bảng các biêu hiện của năng lực mô hình hóa của học sinh khi họchàm sô bậc hai

Hình 2.1.1 ứng dụng của parabol trong xây dựng

Hình 2.1.2 ửng dụng của parabol trong xây dựng

Hình 2.1.3 ứng dụng của parabol trong chế tạo mặt kínhHình 2.1.4 ứng dụng của parabol trong chuyển động

Hình 2.1 Hình minh họa cho ví dụ 2.1303333343436Hình 2.2 Đồ thị minh họa cho ví dụ 2.1Hình 2.3 Hình minh họa ví dụ 2.2 39

MỎ ĐÀU

1.1 Xuất phát từ yêu cầu đối mới của nền giảo dục

Trong quá trình hội nhập và toàn cầu hóa hiện nay, mọi khía cạnh của xã hội ngày càng phát triến, việc đổi mới giáo dục là yêu cầu cần thiết, mang tính quan trọng và đang là mối quan tâm của các cấp, ngành, các nhà khoa học và toàn xã hội, nhà nước ta Trong đó Đảng và Nhà nước ta đặc biệt chú trọng việc đổi mới nội dung, chương trình, đối mới phương pháp dạy học, đổi mới phương pháp kiểm tra, đánh giá Nền giáo dục - đào tạo đang trên đà đổi mới căn bản và toàn diện, đòi hỏi giáo dục phổ thông cần chuyển từ nền giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực người học Trong đó, phát huy tính sáng tạo, tích cực và tự lực, phát triến năng lực hành động, năng lực hợp tác của người học là định hướng quan trọng trong đối mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông.

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, trong dạy học Toán, một trong những năng lực cần hình thành cho học sinh là năng lực mô hình hóa toán học Theo Tạp chí Giáo dục số 380, các thành tố của năng lực mô hình hóa trong dạy học Toán gồm: Đơn giản giả thiết toán học, loại bỏ các yếu tố phi toán học, xử lý điều kiện của bài toán; Làm rõ mục tiêu bài toán, hiểu tính thực tế của bài toán; Thiết lập vấn đề từ tình huống thực tế; Xác định

biển, tham số, hằng số liên quan, tìm mối liên hệ giữa các biển số; - Lựa chọn mô hình toán học; Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị, xử lý số liệu thực tê; Liên hệ lại vân đê trong thực tiên Vậy, những yêu câu cân đạt của năng lực này thể hiện thông qua việc thực hiện các hoạt động sau: Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) để mô tả các tình huống đặt ra trong bài toán thực tế; Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập; Thực hiện và đánh giá lời giải trong bối cảnh thực tiễn và cải tiến mô hình nếu phương án giải quyết không phù hợp với

1

thực tiễn Thông qua hoạt động mô hình hóa toán học đề mô tả các tình huống đưa ra, giải quyết các bài toán thực tiễn, giúp học sinh không những nắm vừng kiến thức, mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn mà còn hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa cho các em.

Trong chuông trình môn Toán ờ lớp 10, một phần kiến thức có mối liên hệ chặt chẽ với các hiện tượng thực tiễn và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học; có thể biểu diễn đồ thị của hàm số thông qua hình vẽ, sơ đồ là “Hàm số bậc hai” Vì vậy, việc nghiên cứu dạy học mô hình hóa cho học sinh trong dạy học nội dung “Hàm số bậc hai” là rất thiết thực.

1.2 Xuất phát từ nhu cầu của người dạy và người học

Trong quá trình học tập và rèn luyện môn Toán, bên cạnh mong muốn làm chủ tri thức, người học còn mong muốn có được những kĩ năng, năng lực nhất định nhằm giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác Người dạy cũng có nguyện vọng truyền đạt tri thức, kích thích sự hứng thú, say mê nghiên cứu, rèn luyện những kĩ năng, năng lực cho người học nhằm tạo ra những con người mới toàn diện.

1.3 Xuẩt phát từ đặc điếm môn học và chương trình sách giáo khoa trung học phổ thông

Toán học liên hệ mật thiết với cuộc sống hàng ngày Nhờ vào áp dụng kiến thức và kỳ năng cơ bản của Toán học, mọi người đã giải quyết các vấn đề thực tế một cách có hệ thống và chính xác hơn, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển Ở trường trung học phổ thông, Toán học còn góp phần hình thành và phát triển nhân cách và tính cách của học sinh, phát triển kiến thức, kỳ năng quan trọng và tạo cho học sinh cơ hội để trải nghiệm, áp dụng toán học vào cuộc sống thực tiễn, giữa tư duy toán học, toán học và thực hành toán học.

Nội dung môn Toán có đặc thù là trừu tượng, khái quát Do đó đế học được và áp dụng được Toán thì người học cần cân đối giữa việc học lý thuyết và vận dụng thực hành.

2

2.Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu cơ sở lý luận và đề xuất một số biện pháp sư phạm đề dạy học nội dung “Hàm sổ bậc hai” theo hướng mô hình hóa một số bài toán thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông và góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán.

Neu thiết kế chủ đề có thêm các bài toán thực tế cho học sinh tìm tòi, mô hình hóa, hoạt động trong dạy học chủ đề “Hàm số bậc hai” thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề “Hàm số bậc hai”, tăng hứng thú học tập bộ môn Toán cho học sinh.

- Nghiên cứu hệ thống các quan điểm lý luận về dạy học mô hình hóa.

- Nghiên cứu nội dung chương trình “Hàm số bậc hai” trong chương trình THPT, thực trạng dạy học mô hình hóa chủ đề “Hàm số bậc hai” cho

Việc dạy học mô hình hóa chủ đề Hàm số bậc hai cho học sinh THPT.

5.2 Đối tượng nghiên cứu

Dạy học mô hình hóa cho học sinh trung học phổ thông thông qua các bài toán thực tế trong dạy học chủ đề Hàm số bậc hai.

Quá trình dạy học chủ đề Hàm số bậc hai trong chương trình trung học phổ thông theo quan điểm mô hình hóa.

3

6.Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu mở về giáo dục học môn

toán, lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán, các sách, tạp chí khoa học toán các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.

- Điều tra quan sát: Dự giờ và quan sát việc dạy học trực tiếp của giáo

viên trên lớp Phòng vấn các giáo viên trực tiếp trong quá trình giảng dạy môn Toán ở trường trung học phổ thông, phát phiếu hỏi giáo viên và học sinh để tìm hiểu thực trạng vấn đề dạy học tích họp ở trường trung học phổ thông Tổng kết các câu trả lời và kinh nghiệm để tìm ra những kết luận khoa học cần thiết cho luận văn.

- Thực nghiệm sư phạm: Thể hiện các biện pháp sư phạm đã đề ra qua

một số giờ dạy thực nghiệm ở một số lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lóp đối tượng.

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung luận văn gồm ba chương:

- Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

- Chương 2 Dạy học mô hình hóa chủ đề “Hàm số bậc hai” cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông thông qua các bài toán thực tiễn

- Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

4

Chương 1

Cơ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1.1 Mô hình

Theo Lesh và Thomas ([23], tr 7), mô hình là một hệ thống dùng để mô tả lại (thiết kế hoặc giải thích) một hệ thống nhằm giải quyết một số mục đích được chỉ định rõ ràng.

Một hệ thống là một tập hợp các đối tượng liên quan, có thể là thực hoặc ảo, vật chất hoặc tinh thần, đon giản hoặc phức tạp Cấu trúc của một hệ thống là một tập hợp các mối quan hệ giữa các đối tượng của nó Bản thân hệ thống được gọi là tham chiếu của mô hình.

Theo Mason và cộng sự của minh (trích dẫn theo [12], tr 15), mô hình được mô tả như một thứ dùng để thay thế qua đó mô tả và thấy được các đặc trưng của sự vật hoặc sự việc trên thực tế Thông qua mô hình ta có thế thao tác, khám phá đặc điểm, thuộc tính, tính chất của đối tượng cần nghiên cứu mà không phải tìm kiếm đối tượng thật, về trực giác, mô hình thường được tư duy theo ý nghĩa vật lý, tức là một bản sao của đối tượng thực tế, chỉ khác về kích thước Bên cạnh đó, N.D.Nam ([12], tr 16) đưa ra khái niệm mô hình là tập hợp các quy tắc biểu diễn một sự vật, hiện tượng diễn ra trong suy nghĩ của người quan sát.

Tuy nhiên, theo góc nhìn của Greefrath và các cộng sự ([24], tr 9), mô hình được coi là sự biểu diễn một cách đơn giản hóa các vấn đề trong thực tế, tức là, các mô hình chỉ phản ánh được một phần khía cạnh nào đó ở một mục tiêu nào đó Đối với mồi mục tiêu, phần quan sát của thực tế thường bị loại bỏ, không được xem xét đến và các mối quan hệ giữa các yếu tố trong thực tiễn thì bị hạn chế trong quá trình biểu diễn bằng mô hình.

Theo L.T.H Châu [1]: “Mô hình là một mầu, một đại diện, một minh

5

họa được thiết kế để mô tả cấu trúc của hệ thống, cách vận hành của một hoặc các sự vật, hiện tượng thuộc hệ thống này” Tác giả chì ra rằng khái niệm mô hình cũng được hiểu theo hai nghĩa: nghĩa thứ nhất là coi như một bản sao và nghĩa thứ hai là cái thu được từ việc diễn đạt các đặc trưng chủ yếu của một tình huống theo một ngôn ngữ nào đó.

Như vậy, có hai quan điểm về định nghĩa mô hình: một là mô hình là một mẫu vật, một đại diện minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của sự vật, hệ thống, hai là mô hình được coi là một bản sao của các vấn đề mang tính lý thuyết Khi mô hình là đồ vật thì gọi là mô hình vật chất, còn khi mô hình là tư duy thì gọi là mô hình lý thuyết (hay mô hình quan niệm)

Thường thì ta sẽ áp dụng cả hai mô hình trong nghiên cứu.Chức năng chung của mô hình bao gồm:

- Tái tạo sự vật, quá trình đã từng tồn tại hoặc đang có thật, ví dụ mô hình hệ mặt trời, mô hình kim tự tháp, Chức năng này của mô hình được dùng đê dạy học, đào tạo, minh họa, giải thích, hoặc khái quát hóa đê người khác có thể hiểu được sự vật khi nó không tồn tại trực tiếp trước mắt.

- Phản ánh bằng dự đoán, suy luận, giả tưởng về sự vật sẽ xuất hiện hoặc mong muốn sẽ có Chức năng này của mô hình được sử dụng trong nghiên cứu Khi mô hình được khai thác chức năng này , nó giúp tiến trình nghiên cứu, logic nghiên cứu, kết quả thực nghiệm, xác lập giả thuyết minh

bạch hơn, chi tiết hơn, cụ thể hơn.

Nếu căn cứ vào chức năng của mô hình thì ta có thể phân loại các mô hình như sau:

- Mô hình cấu trúc hay tổ chức.

- Mô hình vận hành hay hoạt động.

- Mô hình nguyên lý chung (thường là các học thuyết, lý thuyết).Nếu căn cứ vào công cụ hay phương tiện tạo dựng mô hình thì có thề nói về các loại mô hình sau:

6

- Mô hình toán học, ví dụ mô hình toán học tam giác vuông, mô hình toán học khối đa diện, Loại mô hình này phổ biến ở mọi lĩnh vực nghiên cứu, quản lý, kinh doanh, tài chính, quân sự,

- Mô hình logic hoặc đồ họa, ví dụ các sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ, đồ thị, ma trận được sử dụng đế mô tả sự vật, quá trình nào đó.

/ 1.2 Mô hình toán học

Theo Ang Keng Cheng [25], một mô hình toán học là một hình thức toán học của các vấn đề thực tiễn (có thể phức tạp) hoặc các tình huống trong thế giới thực, được thực hiện bằng cách đơn giản hóa hay trừu tượng hóa, tức là những vấn đề thực tiễn có thể được chuyển đồi thành vấn đề mang tính chất toán học Theo đó, các vấn đề toán học được giải quyết bằng việc sử dụng tất cả các công cụ, giải pháp toán học.

N.D.Nam ([12], tr 16) dựa trên định nghĩa về mô hình lý thuyết để đưa ra quan điểm về mô hình toán học, khi các quy tắc tạo nên mô hình là quy tắc toán học thì một mô hình toán được tạo ra Theo tác giả, mô hình toán học là một cấu trúc toán học gồm các ký hiệu, mối quan hệ toán học biểu diễn, mô tả các thuộc tính của đối tượng nghiên cứu.

Theo L.T.H Châu [1], mô hình toán học là sự mô tả bàng toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này.

Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ của toán học để mô phỏng về một vật thể, quá trình, hay một hệ thống nào đó Mô hình toán học được sử dụng đặc biệt nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và kỳ thuật (sinh học, vật lý, kỹ thuật điện tử, cơ học, ) đồng thời có cả trong khoa học xã hội (xã hội học, kinh tế, khoa học chính trị, ) Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Mô hình toán học khác các mô hỉnh trong các khoa học khác ở chồ nó bỏ các thuộc tính về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác để diễn tả đúng nhũng quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra

7

quan hệ sô lượng khác” [12],

về mặt nhận thức, mô hình toán học là sản phẩm của quá trình tư duy, ra đời bởi nhu cầu trừu tượng hóa các đổi tượng cụ thể Mô hình toán học được sử dụng để mô tả các tình huống trong thực tiễn hoặc các tình huống phi toán học theo các định dạng toán học Mô hình toán học được tạo ra để xử lý • • • • • • • Jcác dữ liệu thực mà có thể quản lý được Do đó, chỉ một số dữ kiện trong thực tể mới có thể chuyền được vào toán học thông qua mô hình hóa và được phát triển trong quá trình mô hình hóa Các mô hình khác nhau về tính hiệu quả hay độ phức tạp phụ thuộc vào sự hiểu biết toán học và thông qua việc sử dụng chúng để giãi quyết vấn đề.

Theo Shafi’i [26], có sự đối lập giữa mức độ đơn giản của việc tính

toán với độ chính xác của mô hình Một mô hình càng sát với thực tế thì công cụ tính toán được sử dụng càng phức tạp.

Herzt [27] đưa ra ba tiêu chí để lựa chọn một mô hình toán học sử dụng đế giải quyết vấn đề thực tiễn nào đó là tính chấp nhận được, tính chính xác và tính phù hợp.

Tinh chấp nhận được: Một mô hình toán học được chấp nhận nếu nó

không mâu thuẫn với các nguyên tắc về tư duy logic.

Tính chính xác: Một mô hình toán học chính xác nếu mô hình thế hiện • • •ở các mối quan hệ trong thế giới thực đều được biểu diễn trên mô hình.

Tính phù hợp: Herzt cho rằng một mô hình được coi là phù hợp nếu mô hình mô tả nội dung thích hợp cùng những thông tin liên quan tới nó Neu một mô hình được lựa chọn phù họp, nó có thể đánh giá, dự đoán được các vấn đề thực tiễn.

Theo Meyer [28] khi đo lường một mô hình cần thực hiện sáu nguyên tắc: Độ chính xác, mức độ rõ ràng, độ mạnh của mô hình, tính mô tả thực tế, tính tổng quát và hiệu quả.

Tính chính xác: kết quả đưa ra từ mô hình là đúng hoặc gần đúng.

8

Tính mô tả thực tế: dựa trên các giả thuyết đúng.

Tính rõ ràng: dự đoán và mô hình lựa chọn phải đồng nhất.

Tính mạnh: ít bị ảnh hưởng bởi lỗi của bộ dữ liệu ban đầu.

Tính tổng quát: áp dụng được với nhiều tình huống.

Tính hiệu quả: kết quả cuối cùng có ý nghĩa hoặc có thế gợi mở cho việc sử dụng những mô hình khác.

Sử dụng một mô hình có sẵn thì chưa thực sự có hiệu quả trong việc giải quyết một tình huống nào đó, hoặc cũng có thể có các mô hình có sẵn hiệu quả hơn để sử dụng trong cùng một tinh huống Do đó, việc dựa vào một số nguyên tắc đánh giá mô hình từ đó lựa chọn mô hình thích họp nhất cho việc giải quyết vấn đề.

Như vậy, theo quan điểm của tác giả thì một mô hình toán học là một tập hợp các ký hiệu và các mối quan hệ toán học, nó đại diện cho một tình huống, một hiện tượng thực tiễn hoặc một vấn đề nào đó cần nghiên cứu Trong mồi một tình huống đưa ra, việc xây dựng hay lựa chọn, đánh giá, kiểm tra một mô hình là quan trọng để đưa ra lời giải cuối cùng hợp lý nhất.

1.1.3 Mô hình hóa toán học* Mô hình hóa

Tác giả xem xét trong môi trường toán học và cho thấy mô hình hóa là một quá trình chuyển đồi giữa thực tiễn và toán học và nó được lặp đi lặp lại

nhiều lần.

Theo Hestenes ([23], tr 34), cấu trúc của một chu kỳ mô hình hóa bao gồm bốn giai đoạn chính: xây dựng mô hình, phân tích, xác nhận và triển khai Tuy nhiên, Hestenes nhấn mạnh rằng các giai đoạn có thể khác nhau trong mỗi chu kỳ, phụ thuộc vào mục tiêu của người thực hiện mô hình hóa Hơn nữa, các giai đoạn không nhất thiết phải được thực hiện theo thứ tự tuyến tính.

Xây dựng mô hình: phối hợp tất cả các công cụ khác nhau để xây dựng một mô hình khoa học hoàn chỉnh tương ứng với tình huống thực tế.

9

Phân tích mô hình: giai đoạn này liên quan đên việc khai thác thông tin một mô hình, chẳng hạn như giải thích các yếu tố, dự đoán thử nghiệm, hoặc trả lời những vấn đề về các đối tượng được mô hình hóa, thực hiện giải quyết vấn đề,

Xác nhận mô hình: liên quan đến việc đánh giá tính đầy đủ của mô hình để mô tả đặc điểm của hệ thống, quy trình cần tìm hiểu ban đầu.

Triên khai mô hình: Gồm việc điều chỉnh một mô hình trong bối cảnh khác đế mô tả các hệ thống, quy trình tương ứng phù hợp với bối cảnh đó.

Mô hình hóa là bước đầu tiên và cần thiết trong việc áp dụng toán học Vì mô hình hóa không phản ánh đúng - sai, quá trình lại diễn ra từ từ theo từng bước nên thuận lợi cho việc sáng tạo và cải tiến Từ đó, nhóm các nhà nghiên cứu đưa ra định nghĩa mô hình hóa như một quá trình trong đó tồn tại những hệ thống khái niệm và sử dụng những mô hình để sáng tạo và phát triền mô hình mới trong bối cảnh mới.

Theo N.D.Nam ([12], tr 16), quá trình tạo ra các mô hình áp dụng trong việc giải quyết các vấn đề toán học là mô hình hóa.

Như vậy, theo tác giả, mô hình hóa là quá trình gồm các bước có thê được lặp đi lặp lại: đơn giản hóa vấn đề/tình huống, xây dựng/sử dụng mô hình, làm việc với mô hình và xác minh kết quả Mô hình hóa sử dụng trong

nghiên cứu này được coi như là một phương tiện để giải quyết vấn đề.

* Mô hình hóa toán học

Có nhiều định nghĩa và mô tả của mô hình hóa toán học.

Theo từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa là sự chuyển đổi trừu tượng một thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hoặc thế giới đã được quan niệm hóa bàng ngôn ngữ tự nhiên Mô hình hóa là một trong những phương pháp nghiên cứu khoa học để định hướng nghiên cứu, thiết kế nghiên cứu, tiến hành các hoạt động nghiên cứu, tức là dựa vào mô hình mà mình tạo ra để nghiên cứu đối tượng thực.

10

Mô hình hóa toán học là sự chuyển đổi giữa thực tiền và toán học Mô hình hóa toán học là quá trình biểu diễn lại những vấn đề thực tiễn theo ngôn ngữ toán học trong việc tìm kiếm phương án giải quyết vấn đề đó.

Mô hình hóa toán học thường được sử dụng trong trường hợp không thể quan sát trực tiếp hoặc tác động đến đối tượng thực hoặc cần hình dung ra được đối tượng khi đối tượng chưa xuất hiện, hoặc khi khái quát những thuộc tính bản chất của đối tượng và loại bỏ những đặc điểm phụ, không cần thiết, những yếu tố nhiễu để tập trung phân tích bản chất sự việc hơn, hoặc khi thiết kế tiến trình và các hoạt động nghiên cứu hoặc khi trình bày, tranh luận, giải thích,

Cơ sớ logic cơ bản là phép loại suy (theo logic và quan sát thực mà tước bỏ dần các yếu tố ngoại lai, yếu tố gây nhiễu để giữ lại những thuộc tính bản chất) Tất nhiên mô hình hóa toán học phụ thuộc nhiều vào lĩnh vực nghiên cứu cụ thể Có rất nhiều vấn đề khoa học không thể dựa vào mô hình hóa hoàn toàn mà phải quan sát thêm, đánh giá tác động trực tiếp mới thu được dữ liệu thực và giải quyết được Vấn đề Nghĩa là chỉ sử dụng mô hình

hóa ở giai đoạn hoặc nhiệm vụ nào đó phù hợp.

Edwards và Hamson [15] đưa ra khái niệm “mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học thông qua việc thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong tình huống thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp

nhận” Nó đồng nghĩa với việc mô hình hóa toán học chính là quá trình giải quyết vấn đề thực tế bằng công cụ và ngôn ngữ toán học vấn đề của tình huống thực tế được chuyển đồi sang vấn đề toán học phù hợp và ngược lại.

Theo Aristides c Barreto (2010): “Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học (các đồ thị, phương trình, hệ phương trình, hàm số, các ký hiệu toán học, ) để biểu diễn và mô tả đặc điểm của

một sự vật, hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu”.

11

Theo L.T.H Châu [1]: Mô hình toán học là việc giải thích một hệ thông ngoài toán học bằng ngôn ngừ toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này Quá trình mô hình hóa toán học là quá trình xây dựng một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề bàng ngôn ngừ toán học trong mô hình đó, rồi kiểm tra và đánh giá kết quả trong ngữ cảnh thực tiễn, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận.

Theo Haines và Crouch ([23], tr 418), mô hình hóa toán học là một quá trình tuần hoàn, trong đó các vấn đề trong thế giới thực được tóm tắt, toán học hóa, thực hiện các phương án giải quyết và đánh giá qua sáu giai đoạn: nêu vấn đề trong thực tiễn; xây dựng mô hình; giải toán; giải thích kết quả; đánh giá phương án giải quyết vừa thực hiện; điều chỉnh mô hình trước khi đưa ra kết luận cuối cùng cho vấn đề ban đầu và lặp lại chu trình Có thể bao gồm một giai đoạn thứ bảy: làm báo cáo sau giai đoạn năm Tuy vậy, các nhà nghiên cứu đưa ra rằng, quá trình mô hình hóa toán học không nhất thiết phải trải qua đầy đủ các giai đoạn như vậy.

Galbraith và Stillman [29] tin rằng việc áp dụng mô hình hóa ở trường học trung học phổ thông cần liên tục đối chiếu với bối cảnh thực tiễn ở các giai đoạn cùa quá trình mô hình hóa mà không chi thực hiện tại giai đoạn 5: đánh giá một giải pháp, hoặc giai đoạn 6: tinh chỉnh mô hình.

Theo Shafi’i [26], một mô hình hóa toán học là một mô hình được tạo ra bởi các công cụ toán học Và do đó, ông cho rằng bằng việc một mô hình hóa toán học giúp cho người học hiểu được phương pháp tạo ra mô hình Các loại một mô hình hóa toán học được Shafi’i đưa ra như sau:

- Mô hình hóa định lượng: được coi là phương pháp truyền thống, dựa trên lý thuyết gần đúng, phân tích thống kê và phân tích số, Loại mô hình hóa này thường khá là rõ ràng và sử dụng bộ dữ liệu cụ thế thu được từ các phép đo thực nghiệm Kết quả của mô hình hóa định lượng thì thường được xử lý bởi các nhà toán học hoặc có sự trợ giúp của phần mềm toán học.

12

- Mô hình hóa định tỉnh: sử dụng để mô hình hóa các tình huống thực

1 /\ _ r 4- J?1_ ? • 1 11 • _ 1 \ 1 1/\4- Ạ 1 Ặ 1 1_ W _1y _ > •

tê, nó được mô tả bởi bộ dữ liệu chưa rõ ràng, không đông nhât hoặc là rời rạc Các biến không được đại diện bởi số mà bàng các dấu hiệu Mô hình hóa định tính thường chứa không nhiều toán học nhưng nó là phương pháp trợ giúp quá trình giảng dạy toán học bởi định hướng ban đầu để thực hiện mô hình hóa gắn liền với các nguyên tắc mô hình hóa và phân tích trục quan.

Hiện nay có rất nhiều định nghĩa mô tả khái niệm Mô hình hóa toán

học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán học, tùy vào quan điểm mà tác giả lựa chọn Nói một cách đơn giản Mổ hình hỏa toán học được hiểu là sử dụng các công cụ toán học đê mô phỏng các tình huống thực tiền, thê hiện các tình huống đó dưới dạng ngôn ngữ toán học, đưa bài toán thực tiền thành bài toán phù họp Quá trình mô phỏng và chuyển đổi giữa tỉnh huống thực tế

và tình huống toán học phải tuân theo những yêu cầu nhất định với những quy tắc đặc biệt để xây dựng được giả thuyết toán học, từ đó để học sinh dễ dàng quan sát, nhìn nhận các vấn đề thực tiễn Mô hình hóa toán học là một hoạt động phức tạp, chuyển đổi giữa thực tế và toán học theo cả hai chiều vì vậy đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học khác nhau, đồng thời có kiến thức liên quan đến tình huống thực tiễn.

Lý do mà toán học luôn chiếm thời lượng lớn trong chương trinh giáo dục ở các nước trên thế giới là vì những lợi ích to lớn của toán học áp dụng được trong thực tiễn, được áp dụng dưới nhiều hình thức khác nhau trong nhiều môn học như vật lý, hóa học, sinh học, kĩ thuật, trong công việc và trong cuộc sống hàng ngày của mỗi người Ngoài việc dạy toán cần giúp học sinh phát triển kỹ năng kết nối các kiến thức đó để giãi quyết những vấn đề thực tiễn thì còn cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng liên quan tới toán học như khái niệm, định lý, công thức, quy tắc Mô hình hóa toán học và quá trình mô hình hóa toán học là những công cụ cần thiết khi sử dụng toán học để giải quyết các vấn đề nằm ngoài lĩnh vực toán học Đối với học

13

sinh, mô hình hóa toán học là cần thiết bởi những lý do sau đây:

- Cho phép học sinh hiểu được mối liên hệ giữa toán học với cuộc sống môi trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên thú vị và ý nghĩa hơn.

- Trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán học đế giải quyết các vấn đề xuất hiện trong nhũng tình huống thực tiễn Khi đó học sinh có thể thấy được tính hữu ích của toán học trong thực tế, khả năng sử dụng toán học vào các tình huống ngoài toán không phải là kết quá tự động của sự thành thạo toán học thuần túy mà đòi hòi phải có sự chuẩn bị và rèn luyện

- Góp phàn tạo nên một bức tranh toàn diện và phong phú của toán học, giúp học sinh thấy được đó không chỉ là một ngành khoa học mà còn là một phần của lịch sử văn hóa loài người.

- Các ví dụ thực tiễn dùng để hình thành và củng cố nội dung toán học, điều này giúp học sinh hiểu sâu các chủ đề hoặc phát triển thái độ tích cực của

các em đối với toán học, từ đó tạo động cơ thúc đấy việc học toán.

- Là một công cụ phù họp góp phần phát triển các năng lực toán học của học sinh như suy luận, tìm tòi, khám phám, sáng tạo, giải quyết các vấn đề trong cuộc sống.

1.1.4 Quá trình mô hình hóa toán học

Quá trinh mô hình hóa các tình huống hay bài toán thực tế sử dụng các công cụ Toán học phổ biến như thuật toán, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hàm sổ, đồ thị hàm sổ,

Mô hình hóa toán học thường được biểu diễn như một quá trình bắt đầu với một vấn đề đặt ra trong tình huống thực tiễn, tiếp theo tình huống được trừu tượng hóa thành các biểu diễn toán học và được giải quyết thông qua sử dụng các quá trình toán học Người thực hiện mô hình hóa dựa trên kết quả toán có được để đưa ra phương pháp giải quyết đối với vấn đề ban đầu, tuy nhiên nếu cách giải quyết không phù hợp với ngữ cảnh thực tế thì quá trình

14

trên được lặp lại Các nhà nghiên cứu giáo dục thường sử dụng những sơ đô khác nhau, tùy thuộc vào cách tiếp cận, mục đích nghiên cứu, để chỉ ra bản chất của quá trình mô hình hóa, nhưng tất cả sơ đồ đều nhằm minh họa các bước chính trong một quá trình, các giai đoạn có thể được lặp đi lặp lại để thực hiện hoàn chỉnh quá trình mô hình hóa toán học nhằm mục tiêu giải quyết vấn đề đặt ra.

Quả trình mô hình hóa theo nghiên cứu của Blum (2007)

rest ofthe world

Sơ đồ 1.1 Quá trình mô hình hóa toán học (theo Blunt, 2007)

Sơ đồ 1.1 do Blum đưa ra được coi là cơ sở cho hầu hết các hoạt động mô hình hóa toán học Với sơ đồ này, Blum cho thấy tầm quan trọng của việc

làm thế nào để xuất phát từ tình huống thực có thể xây dựng được mô hình

tình huống và phân biệt rõ chúng mô hình thực Từ đó, Blum đưa ra quá trình mô hình hóa toán học gồm 7 bước [31 ]

Bước 1: Nhận biết được tình huống thực tế, khám phá, mô tả và xây dựng mô hình cho tình huống.

Bước 2: Đơn giản hóa tình huống, xác định các biến và lựa chọn các

15

biên phù hợp vào mô hình thực cùa tình huông.

Bước 3: Chuyển mô hình thực tiễn sang mô hình toán bằng cách tạo, lựa chọn các cách biểu diễn toán học, mô tả các biến trong môi trường toán học.

Bước 4: Làm việc trong môi trường toán để đưa ra kết luận, nếu mô hình chưa hợp lý thì xác định lại các biến và các mối quan hệ ở bước 3.

Bước 5: Diễn giải kết quả trong ngữ cảnh thực.

Bước 6: Kiềm tra và đánh giá kết quả, thực hiện lặp lại các bước trên nếu kết quả chưa tối ưu.

Bước 7: Áp dụng mô hình cho các tình huống tương tự

Quá trình mô hình hóa theo nghiên cứu của Greefrath

Theo Greefrath ([31], tr 22), các chức năng khác nhau của máy tính và công nghệ kỹ thuật số có thể hỗ trợ trong quá trình thực hiện mô hình hóa Do đó, dựa trên quá trình mô hình hóa toán học của Blum và LeiB, Greefrath đưa ra sơ đồ mở rộng như sau:

Thẻ £101Toan ho<

Kêt quả trên máy

Công nghe

Sơ đồ 1.2 Quá trình mô hình hóa toán học mở rộng vói sự hỗ trợ công nghệ (theo Greefrath, 2016)

Trong quá trình này, các giai đoạn quan trọng là

1 Tình huống thực tế của vấn đề phải được hiểu và chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học.

16

2 Các biểu diễn toán học tiếp tục được chuyển đổi sang ngôn ngữ của máy tính, hay nói cách khác là một mô hình máy tính cụ thế phải được xây dựng.

3 Kết quả có được trong môi trường công nghệ phải được chuyển đổi ngược lại vào môi trường toán học.

4 Chuyển đổi kết quả toán thu được sang kết quả trong tình huống thực tế ban đầu.

Các miền: thế giới thực, toán học, công nghệ trong chu trình trên có ảnh hường qua lại lẫn nhau Sự phát triển của một mô hình toán học trong môi trường công nghệ một mặt phụ thuộc vào kiến thức về tình huống và kiến thức toán, mặt khác chịu ảnh hưởng bởi khả năng sử dụng công nghệ Sử

dụng công nghệ trong quá trình MHH giúp đơn giản hóa quá trình, mở rộng khả năng dự đoán, thứ nghiệm các phương án giải quyết các mô hình toán học mà đôi khi sẽ rất khó thực hiện nếu chỉ dùng giấy viết thông thường Tuy nhiên mô hình mà Greefrath đưa ra chỉ thể hiện vai trò hỗ trợ cùa CNTT trong môi trường toán học: phân tích, xử lý số liệu và giải toán.

Quá trình mô hình hóa theo Swetz & Hartzler ([30])

Giai đoạn 1: Nhận biết vấn đề thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện được các yếu tố quan trọng (tham số) có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn.

Giai đoạn 2: Lập giả thiết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán sử dụng ngôn ngữ Toán học, từ đó thiết lập mô hình Toán học tương ứng.

Giai đoạn 3: Mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình bằng cách áp dụng các phương pháp và công cụ Toán học cụ thế, phù hợp.

Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiếu mô hình và kết quả với thực

tiễn, từ đó đưa ra kết luận.

Tổng quát, khi thực hiện mô hình hóa, tùy thuộc vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tình huống thực tiễn được xem xét, hoặc mục đích nghiên

cứu, mà quá trình mô hình hóa được thực hiện theo giai đoạn/bước khác nhau Nhưng tất cả các sơ đồ về quá trình thực hiện mô hình hóa toán học đều xuất phát từ vấn đề thực tiễn (hoặc tình huống thực), chuyển đổi sang thành

17

các vân đê toán học, giải quyêt chúng trong môi trường toán học và kêt thúc là lời giải/ quyết định tối ưu trong thực tiễn đó hoặc lặp lại quá trình ờ một ngữ cảnh mới nhằm đối chiếu dự đoán trước đó.

1.2.1 Dạy học mô hình hóa toán học

Henry Pollak là một trong những người đầu tiên trong lĩnh vực ứng dụng và mô hình hóa trong giáo dục toán học Ngay từ những năm sáu mươi của thế kỷ trước, ông đã nghiên cứu việc áp dụng mô hình hóa trong giảng dạy toán học Dạy học mô hình hóa toán học giúp cho sự quan tâm của học

sinh đối với toán sẽ trở nên lâu dài hơn.

Trong giáo dục, dạy học mô hình hóa được đề cập đến như một phương pháp dạy học đổi mới, cung cấp cho học sinh những quan sát thực tế, những cách tiếp cận thực tế thông qua lý thuyết, giúp học sinh nắm được khái niệm của vấn đề, giúp học sinh đọc hiểu, thiết lập và giải quyết các vấn đề cụ thể dựa trên các tình huống thực tế Mô hình hóa cũng giống như một phương pháp nghiên cứu khoa học, giúp học sinh biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào thực tiễn.

Trong nhũng năm trở lại đây, sử dụng mô hình hóa trong dạy học toán học ngày càng được quan tâm Nhiều ý kiến khác nhau về dạy học mô hình hóa được đưa ra, tuy nhiên đều xoay quanh hai mục đích của dạy học mô hình hóa

Mô hình hóa là một phương tiện dạy học toán học Người học sẽ tiếp

thu và vận dụng những khái niệm toán học khi thực hiện giải quyết các tình huống thực tiễn thông qua quá trình mô hình hóa các tình huống thực tiền đó.

Mô hình hóa là mục đích của dạy học toán (cải thiện năng lực mô hình hóa cho người học): năng lực mô hình hóa là một năng lực cơ bản và mục đích giảng dạy toán học là trang bị cho người học năng lực này để giải quyết vấn đề trong toán học và trong các ngành học khác trên thực tiễn.

Theo các nghiên cún ([12], tr.86, [1J), dạy học mô hình hóa toán học sẽ làm rõ nhất vai trò động cơ cùa các bài toán thực tiễn Đây là quá trình người dạy tổ chức các hoạt động giúp người học xây dựng mô hình toán học đế giải

18

quyết các vấn đề trong thực tiễn.

Trong khi dạy học mô hình với mục đích là nhấn mạnh vào kết quả (là các mô hình) thì trọng tâm của dạy học mô hình hóa toán học là quá trình người dạy hướng dẫn người học đưa ra những miêu tả phù hợp với tình huống thực tiễn Khi đó, việc dạy học mô hình hóa toán học sẽ bắt đầu từ một vấn đề thực tiễn và theo đó là quá trình từng bước hướng tới giải pháp cụ thể.

Một số mục tiêu cơ bản của dạy học mô hình hóa toán học đó là: các • • • J • •mục tiêu về hành vi (behavioral objectives') như các sự việc và kỳ năng cơ bản nhận biết sự việc đó; mục tiêu của quá trình (process objectives) đạt được

là các kỳ năng, kỳ xảo; mục tiêu mang tính ảnh hưởng (affective objectives)

như thái độ, niềm tin, cảm giác; mục tiêu về nhận thức (cognitive objectives) như nhận biết các loại mô hình, hệ thống khái niệm đe xây dựng, mô tả, giải thích, vận dụng và kiểm tra các mô hình toán học.

Dạy học mô hình hóa là phương pháp xây dựng mô hình toán học nhằm diễn đạt và mô tả các bài toán thực tiễn Qua các lần thực nghiệm, kiếm chứng và nghiên cứu, các nhà giáo dục học đã nhận thấy rằng phương pháp dạy học mô hình hóa trong quá trình dạy học toán có vai trò quan trọng Phương pháp này giúp học sinh quen với việc sử dụng các lại dừ liệu khác nhau, lựa chọn và sử dụng công cụ khác nhau, phương pháp toán học phù họp để giải quyết các bài toán thực tế, qua đó giúp học sinh hiểu sâu hơn và nắm chắc kiến thức, nắm được cách xây dựng mối quan hệ giữa thực tế và lý thuyết Do vậy giáo viên càn phát triển hơn về cách xây dựng dạy học mô hình hóa cho học sinh.

Quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề với mô hình hóa có những đặc điểm tương đồng nhau giúp rèn luyện cho học sinh những kỳ năng toán học cần thiết Do đó hỗ trợ và bổ sung cho nhau Quy trình mô hình hóa toán học được xem là khép kín vì nó được dùng để mô tả và giải quyết các tình huống được nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn Sử dụng mô hình hóa ở trường phổ thông nhằm giúp học sinh giải quyết vấn đề bằng cách

19

- Thu thập thông tin, hiêu và phân tích các kiên thức Toán học.- Vận dụng Toán học để mô hình hóa các tình huống thục tiễn.

- Áp dụng được lý thuyết Toán học để giải bài toán sau khi mô hìnhhóa.

Do vậy mô hình hóa toán học được cụ thê hóa theo sơ đô sau đây

Vân đê thực tê

Mô hình toán học

Giải pháp toán học

thực tiên không)

Châp nhận giải pháp

Sơ đô 1.3: Quá trình mô hình hóa Toán học

Tuy nhiên, trong thực tê dạy học ờ trường phô thông, quy trình mô hình hóa ở trên luôn có sự điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm vấn

20

đề trở nên dễ hiểu hơn đối với học sinh phổ thông Cơ chế này thể hiện mối quan hệ mật thiết giữa Toán học và các vấn đề thực tiễn (Sơ đồ 1.4).

Từ đó, các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa trong quá trình dạy học môn Toán được đề xuất như sau:

- Bước 1: Tìm hiểu, mô tả cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thiết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế.

- Bước 2: Thiết lập mối quan hệ giữa các giả thiết đã đưa ra Xây dựng bài toán bằng các ngôn ngữ Toán học phù hợp để mô tả tình huống thực tiễn.

- Bước 3: Sử dụng các công cụ Toán học thích hợp để giải quyết bài toán.

- Bước 4: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình hóa Toán học trong thực tiễn Kiểm điểm tính hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng Neu chưa hợp lý, quay lại bước 3.

- Bước 5: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình.

Thực tiễnMối liên hệ Toán Toán học • • •học và thực tiễn

> r n

Sư đô 1.4: Cơ chê điêu chỉnh quá trình mô hình hóa

21

Nhăm vận hành linh hoạt quy trình mô hình hóa, giáo viên cân hướng dẫn học sinh nắm được các yêu cầu cụ thể sau đây :

- Bước 1 (Nhận biết được tình huống thực tiễn): Nhận biết rõ vấn đề thực tiễn gặp phải, từ đó xây dựng giả thuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngừ toán học Đây là quá trình chuyển giao tình huống thực tế và toán học bằng cách xây dựng mô hình hóa tương ứng.

- Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải quyết bài toán đã được toán học hóa Để giải quyết được bài toán, học sinh cần phải có phương pháp thích hợp, công cụ toán học tối ưu để giải quyết bài toán một cách hiệu quả nhất.

- Bước 3 (Thông hiểu): Giải thích được lời giải của bài toán với tình huống thực tiễn ban đầu.

- Bước 4 (Đối chiểu): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa ra, học sinh cần phát hiện ưu và nhược điểm của kết quả toán học vào tình huống thực tiễn, tìm hiều những hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán, xem xét lại công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu đế cải tiến mô hình, xây dựng mô hình mới Ở bước này xảy ra hai trường hợp:

Trường họp 1: Kết quả tính toán và mô hình phù hợp với thực tiễn Khi

đó công nhận cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng.

Trường họp 2: Mô hình và kết quả không phù họp với thực tiễn Khi đó cần đưa ra nguyên nhân và hạn chế của quá trình hô hình hóa Mô hình toán học xây dựng đã phù hợp chưa, đã phản ảnh đầy đủ thực tế chưa? Neu chưa, cần điều chỉnh lại cho phù hợp.

Trong quá trình thực hiện mô hình hóa toán học, bước 4 đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá toàn bộ quá trình thực hiện mô hình hóa toán học nhằm giải quyết vấn đề thực tiễn đưa ra có hợp lý hay không? Neu như kết quả không phù hợp với thực tiễn thì có nghĩa là người thực hiện mô hình hóa toán học chưa có sự chính xác ở một hay một vài bước nào đó.

22

Dạy học mô hình hóa toán học là là một phương pháp giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bàng công cụ và ngôn ngữ toán học ớ trường phổ thông mô hình hóa diễn tả mối quan hộ giữa các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội với nội dung kiến thức toán học trong sách giáo khoa thông qua ngôn ngừ toán học, từ đó có thế thấy dạy học mô hình hóa giúp học sinh phát triển sự thông hiểu các khái niệm và quá trình toán học, hệ thống hóa các khái niệm, ý tưởng Toán học và nắm được cách xây dựng mồi quan hệ giữa các ý tưởng đó Cách tiếp cận kiến thức này giúp việc học toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say

mê toán học.

Do đó giáo viên có thể sử dụng mô hình giãi thích, giúp học sinh hiểu về các hiện tượng trong thực tế cuộc sống và tính ứng dụng thực tiễn của toán học bằng tri thức toán học Trong dạy học mô hình hóa có thể được thể hiện bởi các dự án học tập, giáo viên chia học sinh thành các nhóm nhỏ để cùng tìm tòi, khám phá thế giới bằng phương tiện toán học với sự hướng dẫn của giáo viên Mô hình hóa được sử dụng để giải quyết các vấn đề thực tiễn như một phương tiện để dạy và học toán ở trường phố thông bởi vì nó là môi trường để học sinh tìm hiểu, khám phá các kiến thức toán học cũng như các

kiến thức liên môn khác.

Việc sử dụng mô hình hóa nhằm mục đích sau:

- Để hiểu: Muốn hiểu được các ý tưởng thì ta càn hình dung được nó, tức là hình thành một hình ảnh xác thực và giản lược về đối tượng được tìm hiểu Nhờ vào mô hình mà ta có thể nhận thức vấn đề đơn giản và nhanh

- Để hoàn chỉnh: Nhờ sự minh bạch của mô hình mà ta có thể dễ dàng nhận thấy vấn đề đã phù họp với nhu cầu hay chưa, đã đầy đủ và chặt chẽ chưa, từ đó hoàn thiện tiếp Thêm nữa, mô hình còn giúp ta kiểm định, mô phỏng và thực hiện.

Do đó mô hình hóa phải có những đặc điểm sau:- Dễ đọc.

- Dễ hiểu.

- Dễ trao đổi.- Xác thực.

- Chặt chẽ.- Đầy đủ.

- Dễ thực hiện.

Ông muốn cắt ra một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất để làm mái che bể cá Hỏi ông nên cắt tấm tôn như nào cho phù hợp mong muốn ?

Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tể)

Mô phóng bài toán bằng hình vẽ

Gọi các điểm A,B,C,D,0 như hình vẽ.Diện tích hình chữ nhật là s = AB.BC.Bước 2 (Giải bài toán)

Đặt BC = x(0<x<l) Khi đó AB = 2ƠB = 2^1 - X2 Diện tích hình

24

chữ nhật là S' = 2x V1 — X2 = 2 Jx2 (1 - X2 j.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

Vậy s lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi X2Bước 3 (Thông hiểu)

Học sinh hiểu được vì diện tích s lớn nhất khi X = -T~, nên cắt tấm tôn

sao cho cạnh BC =I-y- Nhung làm sao đê dựng được cạnh BC = ——, đó là 4 2A/ /,

đường kính là cạnh tấm tôn tại A và ổ Ta có được ABCD là hình chữ nhật thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bước 4 (Đối chiếu)

Việc cắt miếng tôn như lời giải bài toán đưa ra là hợp lý, khi đó diện tích hình chữ nhật là lớn nhất và quy trình cắt được hình chữ nhật là khả thi Trong thực tế hình dạng miếng tôn sử dụng để cắt có thể là một hình khác mà khi tìm mối liên hệ giữa các cạnh của hình chữ nhật khó khăn hơn.

thông môn Toán năm 2018

* Năng lực mỏ hình hóa toán học

Có nhiều định nghĩa về năng lực mô hình hóa toán học, có nhiều tác giả

25

cho răng năng lực mô hình hóa toán học như là khả năng vận dụng kiên thức toán học vào thực tiễn, hay là khả năng áp dụng những hiểu biết toán học để mô tã một tình huống thực tiễn về dạng toán học Do đó trọng tâm cùa hoạt động mô hình hóa toán học là việc xây dựng được mô hình toán học cho bài toán đó Năng lực mô hình hóa toán học tình huống thực tiễn của học sinh phụ thuộc hoàn toàn vào trình độ toán học và sự hiếu biết của bản thân về thế giới xung quanh Các thành tố của năng lực mô hình hóa của học sinh trung học phổ thông bao gồm :

- Năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn : Khả năng tưởng tượng, quan sát tinh huống thực tiễn, chuyển đổi các ý tưởng từ thực tiễn sang ngôn ngữ Toán học; khả năng ước lượng, dự đoán các khả năng

có thể xảy ra.

- Năng lực định hướng đến các yếu tố trọng tâm của tình huống: khả năng xác định các yếu tố quan trọng của tình huống, khả năng thiết lập các mối liên hệ giữa các yếu tố đó, đánh giá mức độ phụ thuộc, khả năng loại bò những gì không bản chất, khả năng nêu ra bài toán có nội dung thực tiễn.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học: Khả năng sử dụng ngôn ngữ xúc tích, ngắn gọn, chính xác để mô tả các tình huống; khả năng sử dụng ngôn ngữ Toán học để chuyển đổi các tình huống thực tiễn sang

dạng toán học.

- Năng lực xây dựng mô hình toán học: khả năng phát hiện ra các yếu tổ trọng tâm, khả năng biểu diễn các đại lượng thực tế bằng ngôn ngữ toán học, biểu diễn các mối quan hệ giữa các đại lượng.

- Năng lực làm việc mới mô hình toán học: khả năng giải toán trên mô hình toán học và nêu ra được kết quả của mô hình thông qua bài toán, khả năng dùng mô hình phán đoán tình huống thực tiễn.

- Năng lực kiềm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình: khả năng kiểm tra, kiểm định kết quả thu được, khả năng vận dụng suy luận có lý vào

26

việc đưa ra các mô hình toán học cho tình huông thực tiên và so sánh tìm mô hình hợp lý hơn.

Tuy nhiên, thực tế nhiều tác giả cũng cho rằng không thể đồng nhất năng lực mô hình hóa toán học với năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn Theo Blum và Jensen, năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy

đủ các giai đoạn của quả trình mô hình hóa một tình huống cho trước Các

thành tố của năng lực mô hình hóa toán học bao gồm(1) Đơn giản giả thuyết;

(2) Làm rõ mục tiêu;(3) Thiết lập vấn đề;

(4) Xác định được biến số, tham số, hằng số;(5) Thiết lập mệnh đề toán học;

- “Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập.”- “Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến

được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp, hướng tới lý giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bố sung thêm giả thiết,

27

tổng quát hóa, ) để đưa đến những bài toán giải được.”

Trong nghiên cứu này, để phù hợp với thực tiễn giáo dục của Việt Nam trong giai đoạn hiện tại, chúng tôi sử dụng mô tả về năng lực mô hình hóa của học sinh mà đã được xác định trong chương trình giáo dục phổ thông 2018.

* Đặc điêm nội dung hàm số trong chương trình môn toán ở trường phô thông

Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, nội dung hàm số và đồ thị được dạy một cách tường minh cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12 Cụ thể:

- Lớp 8 : Học sinh được nghiên cứu về hàm số và đồ thị, hàm số bậc nhất y = ax + b (a ự: 0) và đồ thị Hệ số góc của đường thẳng.

- Lớp 9 : Học sinh được nghiên cứu về hàm số y — ax2 (a * 0) và đồ thị.

- Lớp 10 : Học sinh được nghiên cứu về hàm số bậc hai, đồ thị hàm số bậc hai tống quát và ứng dụng.

- Lớp 11 : Học sinh được nghiên cứu về hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit.

- Lớp 12 : Học sinh được nghiên cứu về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Như vậy hàm số bậc hai là nội dung mà học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình lóp 9 và 10 Nội dung chi tiết và các yêu cầu cần đạt của học sinh khi học hàm số bậc hai được quy định cụ thể trong chương trình giáo dục phổ thông 2018.

Lóp õ-

Nội dungHàm số

Yêu cầu cần đạt

y = ax2 (a * 0) và đồ thị

Thiêt lập được bảng giá trị của hàm sô

Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với hàm số y = ax2 (a 0) và đồ thị

10 Hàm số bậc hai, đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng.

Thiết lập được bảng giá trị của hàm số bậc hai.

sinh khi học Hàm số bậc hai như sau:

29

Lựa chọn được công thức xác định hàm sô bậc hai phù hợp với tình huống thực tiễn.

Thiết lập được bảng giá trị của hàm số bậc hai tương thích với tình huống cho trước, từ đó xác định được hàm số bậc hai tương ứng.

Đặt ẩn, xác định được mối tương quan giữa hàm số bậc hai với tình huống thực tiễn.

Giải quyết vấn đề toán học trong mô hình hàm số bậc hai vừa được thiết lập.

Liên hệ được lời giải trong hoàn cảnh thực tế và cải tiến được mô hình khi các phương án giãi quyết không phù hợp.

Bảng Ĩ.2 Bảng các biểu hiện của năng lực mô hình hóa của học sinh khi học hàm sổ bậc hai

lớp 10 trung học phổ thông thông qua các bài toán thực tiễn

Khi dạy học sinh các mô hình toán học, có nhiều khả năng bị hạn chế Học sinh có thể không thuận lợi để hiểu được vấn đề, gặp khó khăn trong việc xây dựng giả thiết và xác định các biến số quan trọng cần thiết để xây dựng các mô hình toán học Thêm vào đỏ, học sinh cũng bị hạn chế bởi kiến thức toán học và khả năng lựa chọn phương án thích hợp để giải quyết các vấn đề và giải thích bài toán Sự hiểu biết về những hạn chế cung cấp cái nhìn sâu vào suy nghĩ và học tập của học sinh khi học sinh trải qua quá trình mô hình hóa Điều quan trọng là giáo viên cung cấp giàn ý và những câu hởi theo hướng gợi mở và định hướng để hướng dẫn học sinh khi họ trài qua các yếu tố khác nhau của quá trình mô hình hóa toán học Giáo viên phải xác định được và bổ sung kiến thức và kỹ năng cần thiết cho học sinh để xây dựng được các mô hình toán học và giải quyết nó Học sinh có thể làm việc theo dự án, nhóm, hợp tác và có thể sử dụng công nghệ đề giải quyết các vấn đề.

Các mô hình chỉ là định dạng ban đầu và mô hình hóa sẽ thực hiện

30

những chu trình kiểm tra và sửa đổi Có những mô hình có thể tồn tại trong thời gian dài, có thể chia sẻ và tái sử dụng trong nhiều tình huống tương tự về cấu trúc Trong quá trình mô hình hóa toán học, có thể có nhiều cách biểu diễn mô hình khác nhau nhưng chúng sẽ được sắp xếp, lựa chọn hoặc tích hợp lại với nhau Sau đó, những cách biểu diễn này được phân tích, giải thích, thử nghiệm để từ đỏ có thể điều chỉnh, sửa đổi hoặc loại bỏ không sử dụng trong

các bước tiếp theo của quá trình mô hình hóa toán học.

Như vậy, theo các nghiên cửu đã đưa ra, tại tất cả các giai đoạn thực hiện quá trình mô hình hóa toán học thì học sinh đều gặp khó khăn Những khó khăn thường tập trung ở các hoạt động: nhận biết tình huống, chuyển đổi ngôn ngữ, lập chiến lược giải và đánh giá quá trình giải quyết vấn đề bằng mô hình hóa toán học.

Chương 1 đã trình bày tương đối cụ thể và làm rõ được khái niệm mô hình toán học, giới thiệu phương pháp cũng như tầm quan trọng của dạy học mô hình hóa cho học sinh trung học phổ thông để học sinh giải quyết các bài

toán có nội dung thực tiễn Thêm nữa chương 1 chỉ ra rằng việc rèn luyện học sinh năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn là vấn đề có tính cần thiết và là một nhiệm vụ giáo dục của nước ta.

31

CHƯƠNG 2

SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHÓ THÔNG THÒNG QUA CÁC BÀI TOÁN THỤC TIỀN

Trong quá trình dạy học cho học sinh trung học phổ thông, phương pháp dạy học mô hình hóa là một phương pháp dạy học đổi mới Đẻ xây dựng những hoạt động dạy học mô hình hóa có ý nghĩa và phù hợp với học sinh, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

- Mở đầu với một tình huống thực tế, tình huống phải phù hợp với đổi tượng học sinh và chứa đựng được nội dung toán học mà học sinh đã được học.

- Dự kiến được nhũng kiến thức, kĩ năng toán học mà học sinh càn có để sử dụng và thiết lập mô hình toán học và giải được bài toán.

- Làm rõ ràng tình huống, tạo mối liên kết giữa tình huống thực tế với toán học bang cách:

• Đơn giản hỏa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa.• Đưa ra các giả thiết phù họp.

• Nhận ra các tham số trong tình huống đe biểu diễn các đặc điểm cần thiết.• Thu thập dữ liệu từ thực tế để cung cấp thêm thông tin cho tình huống,

các dữ liệu này sẽ gợi ý loại mô hình toán phù hợp với tình huống.• Các câu hỏi được đặt ra một cách rõ ràng.

- Đối chiếu mô hình với thực tế và đưa ra kết luận cần thiết.

Trong thực tế, học sinh có thể bắt gặp rất nhiều những hình ảnh của đồ thị hàm số bậc hai, có thể kể đến hình ảnh các cây cầu Người ta làm cầu có hình dạng parabol với bề lõm quay xuống dưới để lực mà cây cầu gánh chịu được chia đều sang hai bên chân cầu, đế giảm lực lên cả cây cầu và giúp cầu khó bị sập hơn Vì trên mặt cầu hình dạng parabol thì xe luôn có khuynh

32

hướng đi theo phương tiếp tuyến của mặt cầu làm lực tác dụng lên mặt cầu càng nhở Tại các công viên vui chơi giải trí, đường ray tàu lượn siêu tốc được thiết kế theo các cung đường parabol để tăng cảm giác mạnh cho người

chơi đồng thời tạo động lực cho tàu di chuyển.

Hình 2.1.1 ứng dụng của parabol trong xây dựng

Hình 2.1.2 ủng dụng của parabol trong xây dựng

Trong thiên văn, các kính thiên văn được chế tạo có dáng điệu vì bộ

phận quan trọng nhất của kính thiên văn phản xạ là gương cầu và gương cầu đó phải được chế tạo theo dạng parabol là tốt nhất Khi đó thì kinh thiên văn mới phản chiếu chính xác nhất vật về tiêu điểm gương (tia tới song song với trục chính) Không những thế việc sử dụng dạng mặt cầu parabol cho đèn pin,

33