dạy học chủ đề đường tròn cho học sinh lớp 9 theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ THẢO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH LỚP 9 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC LUẬN VĂN T

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THẢO

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH LỚP 9 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN

NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THẢO

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH LỚP 9 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN

NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN HỌC Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Việt Cường

HÀ NỘI – 2023

i

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trần Việt Cường Thầy đã hết lòng, tận tâm, nhiệt tình hướng dẫn, góp ý cho tôi những kiến thức quý báu nhất, tinh túy nhất giúp tôi hoàn thành tốt luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hợp tác, giúp đỡ của Ban giám hiệu trường THCS Hòa Lâm đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ nhiệt tình trong quá trình thực nghiệm sư phạm giúp chúng tôi hoàn thành kết quả nghiên cứu của luận văn

Sau cùng tôi xin được cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này

Trong quá trình thực hiện luận văn, mặc dù đã cố gắng và phấn đấu hết mình với sự nỗ lực của bản thân để hoàn thành tốt luận văn nhưng chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tác giả kính mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nghiên cứu và những trích dẫn trong luận văn là trung thực; nếu sai sót tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Nguyễn Thị Thảo

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Năng lực và năng lực toán học 6

1.1.1 Khái niệm năng lực 6

1.1.2.Năng lực toán học 7

1.2 Năng lực tư duy và lập luận toán học 13

1.3 Dạy học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực 26

1.4 Nội dung chương trình, yêu cầu cần đạt và biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học trong chủ đề đường tròn trong Toán 9 28

1.4.1 Nội dung chương trình và yêu cầu cần đạt chủ đề đường tròn trong Toán 9 28

1.4.2 Biểu hiện của năng lực lập luận và tư duy toán học trong chủ đề Đường tròn 30

1.5 Thực trạng dạy học chủ đề đường tròn trong toán 9 theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học 35

1.5.1 Mục đích khảo sát 35

1.5.2 Đối tượng khảo sát 36

1.5.3 Nội dung khảo sát 36

1.5.4 Phương pháp khảo sát 36

1.5.5 Kết quả khảo sát 36

iii

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN HÌNH HỌC 9 47 2.1 Định hướng đề xuất biện pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học trong chủ đề đường tròn hình học 9 47

2.1.1 Các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS phải đảm bảo tính khoa học và tính thực tiễn 47 2.1.2 Các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS phải đảm bảo tính vững chắc và sự phát triển năng lực nhận thức của học sinh 47 2.1.3 Các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS phải đảm bảo thống nhất vai trò chủ đạo của người dạy và vai trò tích cực, tự giác, sáng tạo độc lập của học sinh trong dạy học 48 2.1.4 Các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS phải đảm bảo tính hệ thống và tính tuần tự trong dạy học 48

2.2 Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh qua dạy học chủ đề đường tròn lớp 9 49

2.2.1 Biện pháp 1: Tạo động lực học tập cho học sinh qua dạy học chủ đề đường tròn nhằm rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học 49 2.2.2 Biện pháp 2: Hướng dẫn cho học sinh sử dụng một số thao tác tư duy cơ bản thông qua dạy học nội dung chủ đề đường tròn 58 2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện học sinh vẽ hình, sử dụng các ngôn ngữ và kí hiệu toán học chính xác, hợp lí 68 2.2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh sử dụng thành thạo phương pháp chứng minh thông dụng và trình bày kết quả chứng minh có căn cứ trong chủ đề đường tròn hình học 9 77

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích, nhiệm vụ thực nghiệm 88

3.1.1 Mục đích thực ngiệm sư phạm 88

iv

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 88

3.2 Nội dung thực nghiệm 88

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 89

vi

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1: Quan niệm của các nước trên thế giới về các thành tố của NLTH 9

Bảng 1 2: Yêu cầu cần đạt về năng lực tư duy và lập luận toán học trong chương trình GDPT 2018 25

Bảng 1 3:Kết quả khảo sát giáo viên 36

Bảng 1 4:Kết quả khảo sát học sinh 39

Bảng 1 5: Kết quả khảo sát học sinh 42

Bảng 3 1:Bảng kết quả phân tích điểm kiểm tra 91

Bảng 3 2: Bảng phân bố tần số kiểm tra 91

DANH MỤC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1: Kết quả khảo sát giáo viên 37

Biểu đồ 3.2: Kết quả điểm kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 92

1

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

Hiện nay, đổi mới phương pháp dạy - học là một trong những nhiệm vụ trọng tâm của ngành giáo dục Thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và tăng cường vận dụng kiến thức vào thực tế của học sinh Giáo viên là người tổ chức các hoạt động học, gợi mở, dẫn dắt để học sinh tự trải nghiệm, hoạt động tương tác thông qua sách giáo khoa, tư liệu, vật thật, đồ dùng, trao đổi với bạn, để hình thành và chiếm lĩnh tri thức Nhờ đó mà năng lực, phẩm chất học sinh được hình thành và phát triển

Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT

ngày 26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục Toán học hình thành và phát triển cho học

sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: Năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống

thực tiễn’’ [1]

Chương trình môn Toán giúp học sinh hình thành và phát triển NL toán học với các thành tố: NL TD&LL toán học; mô hình hoá toán học; giải quyết vấn đề toán học; giao tiếp toán học; sử dụng công cụ, phương tiện học toán

2 Trong đó NL TD&LL toán học là NL cốt lõi, có vai trò hết sức quan trọng giúp học sinh thực hiện các thao tác tư duy (ở mức độ đơn giản), đặc biệt biết quan sát, tìm kiếm sự tương đồng, khác biệt trong những tình huống quen thuộc và mô tả được kết quả của việc quan sát; nêu được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận; nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Trong chương trình môn Toán cấp trung học cơ sở đòi hỏi học sinh phải có khả năng lập luận hợp lý khi giải quyết vấn đề, biết chứng minh được mệnh đề toán học Đặc biệt trong phần Hình học, đòi hỏi học sinh khi lập luận phải chặt chẽ có căn cứ, chính xác, rõ ràng Tuy nhiên trong thực tế, NL này vẫn còn nhiều hạn chế, ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình tiếp thu kiến thức, cũng như vận dụng kiến thức vào giải toán Việc phát triển NL TD&LL toán học sẽ giúp HS hệ thống hóa các kiến thức một cách logic, khắc sâu kiến thức và hình thành kĩ năng, thái độ học tập tích cực nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán

Chủ đề đường tròn trong chương trình Toán 9 là nội dung rất thuận lợi trong việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh

Hình thành và phát triển năng lực cho học sinh là vấn đề quan trọng luôn được quan tâm của ngành giáo dục, là chủ đề thu hút của nhiều tác giả trong bối cảnh đổi mới nền giáo dục hiện nay, đến nay đã có một số công trình nghiên cứu và đã đưa ra được các giải pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh Tuy nhiên chưa có công trình nào đi sâu nghiên cứu và đưa ra biện pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học qua dạy học chủ đề đường tròn lớp 9

Từ những lý do đó, tác giả chọn đề tài: “Dạy học chủ đề đường tròn cho học sinh lớp 9 theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học” để nghiên cứu, góp phần vào sự đổi mới phương pháp dạy học và nâng

cao chất lượng dạy học môn Toán 2 Mục đích nghiên cứu

3 Luận giải một số vấn đề về lý luận và thực tiễn dạy học theo chủ đề đường tròn trong Toán 9, trên cơ sở đó đề xuất các biện pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh, nhằm mục đích góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Hệ thống các cơ sở lý luận về NL TD&LL toán học cho học sinh

lớp 9 thông qua dạy học theo chủ đề đường tròn

3.2 Xác định các biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học trong dạy học chủ đề đường tròn hình học 9

3.3 Điều tra thực trạng dạy học phát triển NL TD&LL toán học cho học sinh lớp 9 thông qua dạy học chủ đề đường tròn trên địa bàn huyện Ứng

Hòa, thành phố Hà Nội

3.4 Đề xuất các biện pháp sư phạm để phát triển NL TD&LL toán học

cho học sinh lớp 9 thông qua dạy học chủ đề đường tròn

3.5 Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp được đề xuất

4 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được biện pháp sư phạm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học phù hợp với đối tượng học sinh thông qua dạy học chủ đề đường tròn lớp 9 thì sẽ giúp học sinh phát triển tốt năng lực tư duy và lập luận toán học trong quá trình học tập môn toán, từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán

5 Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu: Dạy học chủ đề đường tròn trong Toán 9

theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

* Phạm vi nghiên cứu:

- Phạm vi nội dung: Năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh trong dạy học hình học 9

4 - Phạm vi không gian: Một số trường trung học cơ sở trên địa bàn huyện Ứng Hòa, thành phố Hà Nội

6 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu tác giả sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phân tích, tổng hợp các tài liệu lý luận về năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực tư duy toán học, các tài liệu liên quan để các định cơ sở lý luận của đề tài

- Phân tích nội dung, phương pháp dạy học chủ đề đường tròn trong Toán 9: Xem phân phối chương trình, chuẩn kiến thức kỹ năng, nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên

6.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Phương pháp điều tra: Điều tra khảo sát việc dạy học sử dụng các biện pháp phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học trong dạy học chủ đề đường tròn trong toán 9

- Phương pháp quan sát: Thăm lớp, dự giờ lớp học - Thực nghiệm sư phạm: Thực hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một đối tượng, Thu thập kết quả, thống kê, phân tích để đánh giá tính khả thi của biện pháp đề xuất

6.3 Phương pháp thống kê toán học

Xử lý số liệu của quá trình thực nghiệm, đánh giá kết quả của học sinh

7 Dự kiến đóng góp của luận văn

7.1 Về lý thuyết

- Luận văn đã làm sáng tỏ một số vấn đề về cơ sở lý luận: NL, NL toán học, NL TD&LL toán học; biểu hiện của NL TD&LL toán học của học sinh trong học Toán 9 Phân tích được nội dung và yêu cầu cần đạt của quá trình dạy học theo chủ đề đường tròn trong Toán 9 theo hướng dạy học phát triển

5 NL; cơ hội phát triển NL TD&LL toán học cho học sinh qua nội dung môn hình học

- Luận văn làm sáng tỏ những khó khăn cùng các nguyên nhân làm hạn chế sự phát triển NL TD&LL toán học đối với HS lớp 9 thông qua dạy học theo chủ đề đường tròn

- Luận văn đề xuất cách tổ chức DH khả thi góp phần thực hiện DH một số tình huống điển hình chủ đề đường tròn trong Toán 9 theo hướng phát triển NL TD&LL toán học

7.2 Về thực tiễn

Luận văn thành công có thể làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên Toán trung học cơ sở, sinh viên và giáo viên chuyên ngành sư phạm toán

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2: Một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực tư duy

và lập luận toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề đường tròn

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

6

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực và năng lực toán học

1.1.1 Khái niệm năng lực

Trên thế giới các nước luôn có sự quan tâm đặc biệt đến vấn đề năng lực trong lĩnh vực nghiên cứu và thực hiện Tuy nhiên, cho đến nay vẫn còn nhiều quan điểm khác nhau về khái niệm năng lực vì vậy chưa có một định nghĩa thống nhất Ở Việt Nam, kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý và giáo dục học cho thấy từ nền tảng các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động Qua quá trình hoạt động mà hình thành dần cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với mức độ mới cao hơn Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng để giải quyết được những yêu cầu của hoạt động khác thì lúc đó các em sẽ có một năng lực nhất định Dưới đây là một số quan điểm khác nhau, một số định nghĩa khác nhau về năng lực

Theo Từ điển Tiếng Việt, năng lực có nghĩa là: “Phẩm chất tâm lí và

sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó

với chất lượng cao” [Error! Reference source not found.]

Nhấn mạnh đến tính mục đích và nhân cách của năng lực, Phạm Minh

Hạc đưa ra định nghĩa: “Năng lực chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm lí

của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy” [10]

Bùi Văn Huệ: “Năng lực là tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá

nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định, nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt động đó” [12]

Hoàng Ngọc Anh: “Năng lực là khả năng thực hiện thành công hoạt

động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức,

7

kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí”

[Error! Reference source not found.]

Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực nhưng tác giả thống nhất

theo quan điểm của chương trình giáo dục phổ thông mới: “Năng lực là

thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.” [5]

Như vậy quan điểm trên xác định: - Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập rèn luyện của người học

- Năng lực là sự tích hợp của kiến thức kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,…

- Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn

Khái quát lại có thể hiểu năng lực của mỗi người được hình thành, phát triển dựa trên cơ sở tư chất kết hợp với sự tác động của rèn luyện, bồi dưỡng, dạy học và giáo dục Bản thân năng lực cần phải được gắn với một nền tảng kiến thức nhất định và một hệ thống các kĩ năng tương ứng để thực hiện công việc đạt hiệu quả

1.1.2.Năng lực toán học

1.1.2.1 Một số quan niệm về năng lực toán học

Đã có nhiều công trình nghiên cứu về năng lực toán học từ những

phương diện và dưới nhiều góc độ khác nhau

Trong tài liệu tập huấn PISA của tác giả Lê Thị Mỹ Hà (chủ biên): “Năng lực toán học là khả năng của một cá nhân biết lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh Nó bao gồm suy luận toán học và

8 sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự việc và công cụ để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng Nó giúp cho con người nhận ra vai trò của toán học trên thế giới và đưa ra phán đoán và quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm” [9]

Theo Trần Luận (2011), “Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau” [16]

Tác giả Hoàng Ngọc Anh quan niệm: “Năng lực toán học là khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng về môn Toán và các thuộc tính cá nhân

khác như hứng thú, niềm tin, ý chí [Error! Reference source not found.]

Niss cũng xác định tám thành tố của NL toán học và chia thành hai cụm (xem Hình 1) Cụm thứ nhất bao gồm:

NL tư duy toán học (mathematical thinking competency); NL giải quyết vấn đề toán học (problems tackling competency); NL mô hình hóa toán học (modelling competency); NL suy luận toán học (reasoning competency) Cụm thứ hai bao gồm: NL biểu diễn (representing competency); NL sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, hình thức (symbols and formalism competency); NL giao tiếp toán học (communicating competency); NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Hình 1 1 Các thành tố của năng

lực toán học

9 (aids and tools competency)

Tám NL đó tập trung vào những gì cần thiết để cá nhân có thể học tập và ứng dụng toán học Các NL này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau

Ngoài ra, khi phân tích các nghiên cứu quốc tế, chúng tôi liệt kê trong Bảng dưới đây quan niệm của các nước về các thành tố của NL toán học

Bảng 1.1: Quan niệm của các nước trên thế giới về các thành tố của NLTH

Nước/Tổ chức

Các thành tố của NL

toán học PISA NL tư duy và suy luận; NL lập luận; NL mô hình hóa; NL đặt

và giải quyết vấn đề; NL giao tiếp; NL biểu diễn; NL sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu hình thức; NL sử dụng các phương tiện hỗ trợ và công cụ

TIMSS Miền nhận thức toán học: Hiểu biết; Suy luận; p dụng Bang Ontario

(Canada)

NL lập luận và chứng minh; NL giải quyết vấn đề; NL giao tiếp; NL phản hồi; NL kết nối; NL biểu diễn; NL lựa chọn công cụ và chiến lược tính toán

Bang Alberta (Canada)

NL giao tiếp; NL kết nối; NL tính nhẩm và ước lượng; NL giải quyết vấn đề; NL suy luận; NL công nghệ (technology); NL trực quan (visualization)

Bang Niedersachsen (Cộng hòa liên bang Đức)

NL lập luận; NL mô hình hóa; NL giải quyết vấn đề; NL giao tiếp; NL sử dụng các biểu diễn toán học; NL làm việc với các biểu tượng và kí hiệu của môn Toán

NCTM (Hiệp hội giáo viên Toán của Mĩ)

Giải quyết vấn đề; Suy luận và chứng minh; Giao tiếp; Kết nối; Biểu diễn

10 Ireland NL suy luận; NL tích hợp và kết nối; NL áp dụng và giải

quyết vấn đề; NL giao tiếp và trình bày Vương quốc Anh Nhấn mạnh 3 NL cốt lõi: Hiểu; Suy luận toán học; Giải quyết

vấn đề toán học Singapore NL suy luận; NL áp dụng kiến thức toán học và mô hình

hóa; NL giao tiếp và kết nối Xuất phát từ quan niệm: mục đích then chốt của việc học toán là để trở thành những con người “thông minh hơn”, biết cách suy nghĩ giải quyết các vấn đề trong học tập và đời sống Muốn vậy, mỗi người cần biết cách “chuyển dịch”, mô tả các tình huống (có ý nghĩa toán học) đặt ra trong các vấn đề thực tiễn phong phú sang một bài toán hay một mô hình toán học thích hợp, tìm cách giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập, từ đó đối chiếu, giải quyết các vấn đề thực tiễn đề ra Mặt khác, việc giải quyết các vấn đề toán học gắn liền với việc đọc hiểu, ghi chép, trình bày, diễn đạt các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận, phản biện) với người khác, gắn liền với việc sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể Hơn nữa, NL toán học còn được thể hiện ở việc sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học Cùng với những phân tích ở trên, để đưa ra quan niệm về NL toán học, chúng tôi chọn cách tiếp cận phổ biến của các tổ chức và các quốc gia trên thế giới, đó là tiếp cận theo cách nghiên cứu các thành tố của NL toán học

Vì vậy, chúng tôi quan niệm NL toán học bao gồm các thành tố: NL tư duy và lập luận toán học; NL mô hình hóa toán học; NL giải quyết vấn đề toán học; NL giao tiếp toán học; NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán

1.1.2.2 Biểu hiện của các thành tố của năng lực toán học và yêu cầu cần đạt cuối cấp trung học cơ sở trong chương trình giáo dục phổ thông mới

11 CTGDPT 2018 được xây dựng theo mô hình phát triển năng lực, thông qua những kiến thức cơ bản, thiết thực, hiện đại và các phương pháp tích cực hóa hoạt động của người học, giúp học sinh hình thành và phát triển những phẩm chất và năng lực mà nhà trường và xã hội kì vọng Theo cách tiếp cận này, kiến thức được dạy học không nhằm mục đích tự thân Nói cách khác, giáo dục không phải để truyền thụ kiến thức mà nhằm giúp học sinh hoàn thành các công việc, giải quyết các vấn đề trong học tập và đời sống nhờ vận dụng hiệu quả và sáng tạo những kiến thức đã học Quan điểm này được thể hiện nhất quán ở nội dung giáo dục, phương pháp giáo dục và đánh giá kết quả giáo dục Theo chương trình GDPT 2018 thì biểu hiện của các thành tố

của năng lực toán học như sau:

Một là, năng lực tư duy và lập luận toán học biểu hiện của năng lực

này là học sinh thực hiện được các hành động sau: So sánh; Phân tích; Tổng hợp; Đặc biệt hóa, Khái quát hóa; Tương tự; Quy nạp; Diễn dịch; Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học

Hai là, năng lực mô hình hóa toán học biểu hiện của năng lực này là

học sinh thực hiện được các hành động sau: Học sinh sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị ) để mô tả các tình huống đã đặt ra trong các bài toán thực tế Tiến hành giải quyết các vấn đề của toán học trong mô hình đã được thiết lập Tiến hành thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Như vậy thông qua tìm hiểu, phân tích vấn đề chưa có cách giải quyết, học sinh đi tìm cách đưa vấn đề về mô hình toán học đã biết cách giải quyết, qua đó học sinh có cơ hộ được phát triển mô hình hóa toán học

Ba là, năng lực giải quyết vấn đề toán học biểu hiện của năng lực này

là học sinh thực hiện được các hành động sau: Hoạc sinh có thể nhận biết,

12 phát hiện được vấn đề mà mình cần giải quyết bằng toán học Trên cơ sở đó đề xuất, lựa chọn được những cách thức, giải pháp để giải quyết vấn đề Biết sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự

Thông qua quá trình phân tích, thảo luận và đưa ra phương án giải quyết của nhóm mình, học sinh có cơ hội được phát triển năng lực, học sinh có cơ hội được phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học

Bốn là, năng lực giao tiếp toán học biểu hiện của năng lực này là học

sinh thực hiện được các hành động sau: Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra Học sinh có hả năng trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác) Trong quá trình đó học sinh sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic, ) ngoài ra kết hợp phù hợp giữa ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể trong khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác

Như vậy thông qua hoạt động mua bán giả định, học sinh được cùng nhau thảo luận, trao đổi và đưa ra quyết định của mình đã tạo cơ hội cho học sinh được phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực giao tiếp toán học

Năm là, năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán biểu hiện của

năng lực này là học sinh thực hiện được các hành động sau: Trước hết học sinh biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt là phương tiện sử dụng công nghệ thông tin), phục vụ cho việc học toán Sau đó học sinh sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương

13 tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi) Học sinh phải nắm được các ưu điểm, hạn chế của các công cụ, phương tiện hỗ trợ để từ đó sử dụng hợp lí Qua quá trình thực hành thao tác trên các mảnh giấy đã giúp học sinh có cơ hội được phát triển năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán

1.2 Năng lực tƣ duy và lập luận toán học

1.2.1 Tư duy

1.2.1.1 Quan niệm về tư duy

Dưới góc độ tâm lý học, tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong, có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết

Theo tác giả M.N Sacđacov: “Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó” [23]

Tư duy là trình độ cao và phức tạp của sự phản ánh, trong đó nó tạo ra sản phẩm tinh thần một cách gián tiếp bằng những phương thức trừu tượng hóa, khái quát hóa trong phân tích và tổng hợp… Đó là quá trình vận dụng khái niệm theo quy luật logic và cả trực giác để đạt được chân lý Đó là quá trình không ngừng bổ sung, tìm tòi, “cải tạo” thế giới hiện thực của tư duy trong con người và sử dụng những kết quả ấy làm cơ sở để giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra

Tư duy bao gồm cả lý trí và lý tính Trong nhận thức cảm tính, các hình ảnh và thông tin ghi nhận được là nhờ sức mạnh cảm giác của giác quan sinh học, còn lý tính là bản tính tinh thần của tư duy, dựa trên hệ thần kinh trung ương ở não người, điều khiển khả năng suy nghĩ của con người Cái lý tính

14 ấy, chỉ ở con người mới có Do đó nói nhận thức của con người là chủ yếu nói tới lý tính tức là tư duy

Như vậy, Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong của sự vật, hiện tượng Tư duy làm cho con người có nhận thức đúng đắn về sự vật xung quanh và ứng xử tích cực với nó; tư duy là quá trình nhận thức ở trình độ cao giúp con người khái quát bản chất, quy luật của các sự việc, hiện tượng Do đó, tư duy của não bộ vận hành sẽ mang đến cho con người những tri thức về thế giới và các sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết.Tư duy không chủ giải quyết những tình huống trước mắt mà còn đưa ra hướng giải quyết cho những tình huống trong tương lai Thông qua tư duy tiếp nhận, sàng lọc, cải tạo, sắp xếp làm cho những thông tin, dữ liệu có ý nghĩa hơn trong quá trình giải quyết vấn đề

Ví dụ: Khi giải một bài toán, học sinh sẽ nhận được yêu cầu, nhiệm vụ của bài toán Sau đó, học sinh nhớ lại các quy tắc, công thức, định lý có liên

quan đến đề bài đã cho Quá trình suy nghĩ, chứng minh để giải ra kết quả

chính là tư duy 1.2.1.2 Đặc điểm của tư duy

Một là, tính có vấn đề của tư duy

Không phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh đều dẫn đến Tư duy, trên thực tế Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề Khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống mà vốn hiểu biết cũ, phương pháp hành động đã biết của con người không đủ để giải quyết, muốn giải quyết nó đòi hỏi phải tìm cách thức mới, phải vượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết cũ và tìm ra cái mới, có nghĩa là con người phải có tư duy

Như vậy tư duy chỉ nảy sinh khi đồng thời thoả mãn hai điều kiện: Điều kiện thứ nhất, con người phải gặp hoàn cảnh có vấn đề

15 Điều kiện thứ hai, hoàn cảnh có vấn đề phải được cá nhân nhận thức, được chuyển thành nhiệm vụ và cá nhân phải có những tri thức cần thiết liên quan đủ để giải quyết vấn đề đó

Ví dụ: Để giải một bài toán mới, học sinh phải nhận thức được những dữ kiện và yêu cầu của đề bài Từ đó mới nhớ lại các công thức, định lý liên quan, xâu chuỗi chúng lại và tìm cách vận dụng chúng để tìm ra đáp án của bài toán Như vậy thì tư duy mới xuất hiện

Trong dạy học, người dạy luôn tìm cách tạo ra tình huống có vấn đề, tạo ra những mâu thuẫn giữa cái đã có với cái chưa có trong nhận thức của người học, nhưng những mâu thuẫn đó phải đảm bảo điều kiện là kích thích được tư duy của người học hay của trẻ em theo từng lứa tuổi tuỳ từng khả năng của từng em Đồng thời tìm cách lôi cuốn các em vào việc tìm cách giải quyết vấn đề như sử dụng phương pháp dạy học “Nêu vấn đề” để kích thích tích cực nhận thức của học sinh

Hai là, tính trừu tượng và khái quát của tư duy - Tính trừu tượng: Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện

tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt, cụ thể chỉ giữ lại những

thuộc tính bản chất, chung cho nhiều sư vật hiện tượng

Ví dụ như khi phân loại học sinh theo học lực, giáo viên đã gạt bỏ ở các em tất cả những đặc điểm riêng về hình dáng, hoàn cảnh gia đình, hứng thú, sở thích… chỉ giữ lại một thuộc tính bản chất nhất, đó là điểm học tập của em đó

Ví dụ: Nói về khái niệm "cái cốc", con người trừu xuất những thuộc tính không quan trọng như chất liệu, kiểu dáng mà chỉ giữ lại những thuộc tính cần thiết như: hình trụ, tính năng của cái cốc Đó là trừu tượng

- Tính khái quát của tư duy: Tư duy phản ánh cái bản chất nhất, chung

cho nhiều sự vật hiện tượng hợp thành một nhóm, một loại, một phạm trù

16 Chẳng hạn khi nói tới “cái bảng” thì ta nghĩ đến cái bảng chung, không phải

là một cái bảng cụ thể nào

Nhờ tính trừu tượng và khái quát của tư duy mà con người không chỉ giải quyết được những nhiệm vụ trong hiện tại mà còn giải quyết được những

nhiệm vụ trong tương lai của xã hội

Ba là, tính gián tiếp của tư duy

Tư duy phản ánh sự vật hiện tượng một cách gián tiếp bằng ngôn ngữ Tư duy được biểu hiện bằng ngôn ngữ Các quy luật, quy tắc, các sự kiện, các mối liên hệ và sự phụ thuộc được khái quát và diễn đạt trong các từ Mặt khác những phát minh, những kết quả tư duy của người khác, cũng như kinh nghiệm cá nhân của con người đều là những công cụ để con người tạo ra cũng giúp chúng ta hiểu biết được những hiện tượng có trong hiện thực mà không thể tri giác chúng một cách trực tiếp được

Ví dụ: Dự báo thời tiết, dự báo khí hậu, dự báo tình hình phát triển kinh tế…

Bốn là, tư duy của con người có quan hệ mật thiết với với ngôn ngữ

Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết với nhau Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể diễn ra được, đồng thời các sán phẩm của tư duy (những khái niệm, phán đoán…) cũng không dược

chủ thể và người khác tiếp nhận

Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của tư duy, là vỏ vật chất của tư duy và là phương tiện biểu đạt kết quả tư duy, do đó có thể khách quan hoá kết quả tư duy cho người khác và cho bản thân chù thể tư duy Ngược lại, nếu không có tư duy (với những sản phẩm của nó) thì ngôn ngữ chi là những chuỗi âm thanh vô nghĩa Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ chí là phương tiện của tư duy Đó là mối liên hệ giữa nội dung và hình

thức

17 Ví dụ như trong quá trình tư duy giải bài tập toán thì phải sử dụng các công thức, kí hiệu, khái niệm được biểu hiện dưới dạng ngôn ngữ, nếu không có

ngôn ngữ thì chính bản thân người đang tư duy cũng không thể giải được bài tập

Năm là, tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

Tư duy và nhận thức cảm tính thuộc hai mức độ nhận thức khác nhau, nhưng không tách rời nhau, có quan hệ chặt chẽ bổ sung cho nhau, chi phối lẫn nhau trong hoạt động thống nhất và biện chứng Tư duy được tiến hành trên cơ sở những tài liệu nhận thức cảm tính mang lại, kết quả của tư duy được kiểm tra bằng thực tiễn dưới hình thức trực quan, ngược lại tư duy và kết quả của nó có ảnh hưởng đến quá trình nhận thức cảm tính

1.2.1.3 Các thao tác tư duy cơ bản

- Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn, từ khi cá nhân gặp phải tình huống có vấn đề và nhận thức được vấn đề, cho đến khi vấn đề được giải quyết, có thể chia thành các giai đoạn sau:

Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề; Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm; Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết; Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết;

Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy

- Tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác tư duy để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra Cá nhân có tư duy hay không chính là ở chỗ họ có tiến hành các thao tác tư duy trong đầu mình hay không Do vậy, thao tác tư duy còn được gọi là quy luật bên trong của tư duy Các thao tác tư duy cơ bản bao gồm:

+ Phân tích – Tổng hợp

18 Phân tích: là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các thành phần khác nhau Nó giúp chủ thể nhận thức đối tượng đầy đủ hơn, sâu sắc hơn

Tổng hợp: là quá trình dùng trí óc để hợp nhất các thành phần đã được tác ra qua phân tích thành một chỉnh thể Tổng hợp cho phép chủ thể đưa các bộ phận thành phần vào chỉnh thể theo những liên hệ mới

Phân tích và tổng hợp tuy có chức năng trái ngược nhau, nhưng không tách rời nhau trong quá trình tư duy thống nhất Chúng quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung cho nhau: phân tích được tiến hành theo hướng của tổng hợp, còn tổng hợp được thực hiện trên kết quả của phân tích Phân tích và tổng hợp không chỉ liên quan với nhau mà còn quan hệ chặt chẽ với các thao tác tư duy khác Chúng có mặt ở mọi giai đoạn của quá trình tư duy cũng như ở mọi sự vận hành của các thao tác khác

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC

có AB = 3, AC = 4, BC = 5 Vẽ đường tròn (B; BA) Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm B?

Hình 1 2 Hình vẽ ví dụ 1

Xuất phát từ điều cần chứng minh: “AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm B” ta phân tích thành 2 nhiệm vụ cần thực hiện:

Chứng minh AC AB (nhiệm vụ 1) Chứng minh A là tiếp điểm (nhiệm vụ 2) Từ kết quả của hai nhiệm vụ trên, ta tổng hợp lại điều phải chứng minh Lời giải:

Ta có

} =>

19 Theo định lý Pytago đảo thì vuông tại A => AC AB (1) Vì BA là bán kính của đường tròn (B; BA)

=> A thuộc đường tròn => A là tiếp điểm (2) Từ (1) và (2) suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm B (tổng hợp)

+ So sánh

Theo Hoàng Chúng thì “So sánh là sự xác định sự giống nhau và khác

nhau của các sự vật và hiện tượng Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng), ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính bản chất giữa chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật đó có gì giống và khác nhau” [7]

Còn theo quan điểm của Hoàng Ngọc Anh thì “Trong giảng dạy và học tập, so sánh luôn luôn phục vụ cho một mục đích nhận thức nào đó, nó luôn có mục đích Do đó, các sự vật và hiện tượng có thể giống nhau theo quan

điểm (mục đích) này, và khác nhau theo quan điểm (mục đích) khác” [Error! Reference source not found.]

Từ những quan niệm trên có thể thấy So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật, hiện tượng

Ví dụ 2: Cho ba điểm A, B, C

thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C Chứng minh rằng độ dài của nửa đường tròn đường kính AC bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính AB và BC

Hình 1 3 Hình vẽ ví dụ 2

Gọi độ dài các nửa đường tròn đường kính AC, AB, BC lần lượt là C1; C2;C3

Ta cần chứng minh C1 = C2 + C3

20 Đầu tiên ta xác định các đối tượng cần so sánh gồm: C1(đối tượng 1) và C2 +C3 (đối tượng 2)

Hai đối tượng cần so sánh này có đặc điểm giống nhau: cùng là cung tròn, cùng được tính theo công thức nửa chu vi đường tròn Trong công thức cùng xuất hiện nhân tử “ “

Sự khác nhau của hai đối tượng cần so sánh đó là: độ dài đường kính khác nhau => dẫn tới nửa chu vi khác nhau Đối tượng 1 có độ dài đường kính là AC; đối tượng 2 gồm 2 nửa đường tròn có đường kính lần lượt AB và BC trong đó AB + BC = AC

Như vậy muốn so sánh 2 đối tượng này, ta cần nắm được công thức tính toán, cần xác định được các yếu tố khác nhau trong thuộc tính của chúng

Sau khi tính toán cụ thể, rút ra kết luận của việc so sánh Lời giải:

Ta có:

Như vậy ta được điều phải chứng minh

+ Tương tự hóa

Theo G Polya cho rằng Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thể

nói tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn và mức độ đó được phản ánh bằng khái niệm “Sự khác nhau căn bản giữa tương tự và những loại

giống nhau khác là ở ý định của người đang suy nghĩ Những đối tượng giống nhau phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó Nếu bạn có ý định quy mối quan hệ trong đó các đối tượng phù hợp với nhau về những khái niệm đã định thì bạn sẽ xem những đối tượng giống nhau ấy như là những đối tượng tương tự Và nếu bạn đạt tới những khái niệm rõ ràng, thì tức là bạn làm sáng tỏ sự tương tự” [21]

21 Tương tự là sự phát hiện bằng trí óc sự giống nhau giữa các đối tượng để từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với các đối tượng kia

Chẳng hạn, khi cho học sinh giải bài toán:

Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm O, đường kính AD Kẻ hai dây cung AC,

DB cắt nhau tại E nằm trong đường tròn Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung điêm của DE Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABEH nội tiếp b) Tứ giác DCEH nội tiếp Ở ví dụ này, giáo viên phân tích và định hướng để học sinh giải được câu “a” Khi học sinh đã hiểu quy trình thực hiện câu “a”, thì câu “b” cách chứng minh tương tự

Lời giải a) Ta có ̂ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

̂ (do EH AD)  ̂ ̂  Tứ giác ABEH nội tiếp b) Chứng minh tương tự: Tứ giác DCEH nội tiếp

Hình 1 4 Hình vẽ ví dụ 3

+ Trừu tượng hóa – Khái quát hóa

Theo Nguyễn Bá Kim “Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất ra khỏi những đặc điểm không bản chất Khái quát hóa là chuyển một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu

bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập xuất phát” [15]

22 Nguyễn Bá Kim cho rằng “Khái quát hóa có mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa Trừu tượng hóa là sự nêu bật và tách những đặc điểm không bản chất ra khỏi đặc điểm bản chất Trừu tượng hóa là điều kiện cần nhưng chưa đủ để khái quát hóa” [15]

Như vậy có thể hiểu Trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ những dấu hiệu thứ yếu, không cần thiết và giữ lại những yếu tố cần thiết cho tư duy Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những dấu hiệu chung nhất định

Trừu tượng hóa và khái quát hóa có mối quan hệ qua lại mật thiết với nhau: trừu tượng hóa được tiến hành theo hướng của khái quát hóa, còn khái quát hóa được thực hiện trên kết quả của trừu tượng hóa Ngoài ra, chúng còn có liên hệ chặt chẽ với các thao tác tư duy khác như: phân tích, so sánh, …Tuy mỗi thao tác trên đều có chức năng riêng, nhưng trong bất kỳ một quá trình tư duy cụ thể nào chúng đều có mặt dù ít, dù nhiều và khi tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể, chúng thường diễn ra theo một chiều hướng thống nhất do chủ thể tư duy tiến hành nhằm giải quyết nhiệm vụ tư duy

1.2.2 Tư duy toán học

Cho đến nay, vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất về tư duy toán học Có thể nghiên cứu khái niệm tư duy toán học duoqia góc độ sau:

Tư duy toán học được hiểu là: Thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học toán học hay trong quá trình áp dụng toán học vào các khoa học khác như kỉ thuật, kinh tế, quốc dân…

Thứ hai, tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất của khoa học toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng

23 Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học của học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển một cách có phương hướng thì không thể đạt hiệu quả trong việc truyền thụ cho học sinh một hệ thống các kiến thức và kĩ năng toán học

Công thức: p, q… => r Với p, q… là (các) lí lẽ (luận cứ), r là kết luận Trong sách ngữ văn lớp 10 (tập 2) định nghĩa: “lập luận là đưa ra lí lẽ, bằng chứng nhằm dẫn dắt người đọc đến một kết luận nào đó mà người viết muốn đạt tới” [19]

Tác giả Nguyễn Duy Thuận quan niệm: “Lập luận là sắp xếp lí lẽ một cách có hệ thống để trình bày, nhằm chứng minh cho một kết luận về một vấn đề” [20]

Lập luận là thuật ngữ với hai cách hiểu Theo hướng thứ nhất, lập luận dùng để chỉ hành vi, hoạt động của con người thực hiện các thao tác nhằm mục đích lập luận Ở cách hiểu thứ hai, lập luận là kết quả (sản phẩm) của hoạt động lập luận bao gồm cả cách thức và nội dung của quá trình tiến hành lập luận

Tóm lại, sử dụng lập luận để nói hay để viết thì mục đích của lập luận đều hứng tới kết quả cuối cùng mà người lập luận mong muốn đạt được Lập luận hiểu đơn giản là cách trình bày lí lẽ của ngừơi lập luận dùng để thuyết phục người khác tin vào quan điểm đưa ra Trong DH chủ đề đường tròn

24 trong hình học lớp 9, việc rút ra kết luận bằng các lập luận dựa trên cơ sở vận dụng các quy tắc theo mẫu Như vậy, trong môn Toán việc lập luận logic là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học để đưa ra các kết luận đúng Đó là kết quả của quá trình tư duy logic, bằng một chuỗi các suy luận để giải quyết vấn đề

Tư duy và lập luận có mối quan hệ biện chứng với nhau Lập luận là kết quả của của quá trình tư duy và ngược lại tư duy để đưa ra các lập luận Và cả tư duy và lập luận đều phải thông qua ngôn ngữ để thực hiện các thao tác, hoạt động

1.2.4 Năng lực tư duy và lập luận toán học

Năng lực tư duy là khả năng tự mình suy nghĩ và giải quyết vấn đề để mang lại kết quả tốt Đối với những người sở hữu sức mạnh tư duy, người đó có tính linh hoạt cao, sức chú ý và quan sát để đưa ra quyết định đúng đắn và hiệu quả

Năng lực toán học là khả năng tiếp cận và làm việc với các con số, các hình vẽ, các định lý, tính chất, khái niệm, hệ quả, công thức, linh hoạt trong việc tổng hợp, phân tích và đưa ra các phán đoán khoa học, logic và trí nhớ tốt Với khả năng này sẽ đạt được các lĩnh vực khoa học, tin học và thiên văn học

Theo tinh thần chương trình giáo dục phổ thông mới thì Năng lực tư

duy và lập luận toán học thể hiện qua việc người học thực hiện được các thao tác tư duy: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch Người học chỉ ra được chứng cứ lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học

Yêu cầu cần đạt đối với năng lực tư duy và lập luận toán học trong chương trình GDPT 2018 [4] được thể hiện trong bảng dưới đây:

25

Bảng 1 2: Yêu cầu cần đạt về năng lực tư duy và lập luận toán học trong

chương trình GDPT 2018

Yêu cầu cần đạt nói chung Đối với cấp THCS

Thực hiện được các thao tác tư duy như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch

Thực hiện được các thao tác tư duy, đặc biệt biết quan sát, giải thích được sự tương đồng và khác biệt trong nhiều tình huống và thể hiện được kết quả của việc quan sát - Chỉ ra được chứng cứ, lý lẽ và biết

lập luận hợp lý trước khi kết luận - Giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học

- Thực hiện được việc lập luận hợp lý khi giải quyết vấn đề

- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Chứng minh được mệnh đề toán học không quá phức tạp

Chẳng hạn, sau khi HS học xong khái niệm về góc nội tiếp đường tròn, các em vận dụng vào giải bài tập: “So sánh hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung” hoặc “so sánh hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau trong một đường tròn” Lúc đó các em sẽ tư duy được số đo của 2 góc nội tiếp được tính theo công thức nào? Có liên quan gì đến số đo cung chắn góc đó Sau đó, các em sẽ lập luận và trình bày được kết quả của bài tập này

Cũng như vậy, năng lực tư duy và lập luận của HS còn được thể hiện qua việc phát hiện ra cách làm mới khác với cách làm phổ thông ở một số dạng bài tập chứng minh hình học Cùng là “chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn”, HS có thể chứng minh theo cách thông dụng là tổng 2 góc đối diện nhau bằng 1800, tuy nhiên cũng sẽ có HS tư duy theo hướng khác, chứng minh 4 điểm của tứ giác đó cùng nằm trên 1 đường tròn…Như vậy năng lực tư duy và lập luận toán học của HS nếu được rèn luyện sẽ được

26 phát triển nhiều hơn, và mức độ tư duy sẽ tăng khi mức độ khó của bài toán tăng lên

Ở một ví dụ khác, khi chứng minh “một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn”, học sinh sẽ có khả năng biết được cần chứng minh điều kiện gì để đường thẳng đó là tiếp tuyến HS tư duy theo những kiến thức, kỹ năng được học ở phần khái niệm và phần dấu hiệu nhận biết, sau đó phân tích đưa ra câu hỏi:

“Một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi nào?”; Câu trả lời sẽ là” đường thẳng đó vuông góc với bán kính của đường tròn tại tiếp điểm”

“Làm thế nào để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng?” Câu trả lời: “Dựa vào các phương pháp chứng minh vuông góc đã học: Góc bằng 90 độ; sử dụng tính vuông góc và tính song song; sử dụng định lý Pytago đảo; chứng minh tứ giác là hình chữ nhật, hình vuông, sử dụng tính chất trực tâm của tam giác, sử dụng các yếu tố về góc trong các tam giác đồng dạng,…”

Từ những chứng cứ và lý lẽ được phân tích đưa ra, HS sẽ lựa chọn cách trình bày và lập luận hợp lý để giải quyết bài toán đó

1.3 Dạy học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực

1.3.1 Đặc điểm dạy học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực

Thực chất của dạy học theo tiếp cận năng lực là lấy năng lực làm cơ sở (tham chiếu) để tổ chức chương trình và thiết kế nội dung học tập Điều này cũng có nghĩa là năng lực của người học sẽ là kết quả cuối cùng cần đạt được của quá trình dạy học hay giáo dục Nói cách khác, thành phần cuối cùng và cơ bản của mục tiêu giáo dục là các phẩm chất và năng lực của người học Năng lực vừa được coi là điểm xuất phát đồng thời là sự cụ thể hóa của mục tiêu giáo dục Vì vậy, những yêu cầu về phát triển năng lực của người học cần được đặt đúng chỗ của chúng trong mục tiêu giáo dục

27 Dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực toán học có các đặc điểm chủ yếu sau:

- Năng lực Toán học bao gồm: kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, động cơ, thái độ hứng thú và niềm tin trong học toán… Muốn có năng lực toán học người học phải rèn luyện, thực hành, trải nghiệm trong học tập môn Toán

- Chú trọng đến kết quả đầu ra của người học, những gì người học làm được sau khi kết thúc chương trình học hoặc kết thúc bài học, đồng thời khích người học tìm tòi khám phá tri thức toán học và vận dụng vào giải quyết các tình huống thực tiễn Đích cuối cùng cần đạt là phải hình thành được năng lực học tập môn Toán ở học sinh

- Định hướng về cách học, yếu tố tự học của người học Giáo viên là

người hướng dẫn và thiết kế, còn người học phải xây dựng kiến thức và hiểu biết toán học của riêng mình

- Xây dựng môi trường dạy học tương tác tích cực Phối hợp các hoạt

động tương tác giữa người học với nhau, giữa người dạy với người học trong quá trình dạy học môn Toán

- tang cường ứng dụng công nghệ, thiết bị dạy học môn Toán nhằm tối ưu hóa việc phát huy năng lực của người học

1.3.2 Yêu cầu dạy học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực

- Xác định rõ các yêu cầu về năng lực toán học mà người học cần phải có trong quá trình học tập ở nhà trường để hoạt động hữu ích và có hiệu quả trong thực tế đời sống

- Xác định các yếu tố của quá trình dạy học cần phải được đối chiếu với các yêu cầu của năng lực toán học cần hình thành và phát triển ở học sinh và kết quả đầu ra cần đạt là phải hình thành được năng lực học tập môn Toán ở các em

- Khi chọn lựa, tổ chức nội dung dạy học không chỉ dựa vào tính hệ thống logic của khoa học toán học mà ưu tiên những nội dung phù hợp trình

28 độ nhận thức của học sinh, thiết thực với đời sống thực tế hoặc có tính tích hợp, liên môn, góp phần giúp học sinh hình thành, rèn luyện và làm chủ các “kỹ năng sống”

- Tạo dựng môi trường dạy học tương tác tích cực Các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học dựa trên cơ sở tổ chức các hoạt động để học sinh được trải nghiệm, khám phá phát hiện, học tập độc lập, tích cực, tự học dưới sự hướng dẫn của giáo viên

- Đánh giá sự phát triển năng lực học tập môn Toán của học sinh bằng nhiều hình thức: tự đánh giá, đánh giá thường xuyên, đánh giá định kì, đánh giá thông qua sản phẩm của học sinh… Tăng cường nhận xét cụ thể bằng lời, động viên, giúp học sinh tự tin, hứng thú, tiến bộ trong học tập môn Toán

- Tăng cường sự gắn kết giữa nhà trường và gia đình cũng là yếu tố quan trọng thúc đẩy sự phát triển năng lực học tập môn Toán của học sinh

- Khi xây dựng chương trình hay thiết kế bài học môn Toán cần chú ý đến tính tổng thể, tính tích hợp, liên môn vì việc hình thành, phát triển các năng lực đòi hỏi sự vận dụng phối hợp các kiến thức, kĩ năng…

Chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra mong muốn của quá trình dạy học, trên cơ sở đó đưa ra những hướng dẫn chung về việc lựa chọn nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện được mục tiêu dạy học

1.4 Nội dung chương trình, yêu cầu cần đạt và biểu hiện của năng lực tư

duy và lập luận toán học trong chủ đề đường tròn trong Toán 9 1.4.1 Nội dung chương trình và yêu cầu cần đạt chủ đề đường tròn trong Toán 9

1.4.1.1 Nội dung chương trình chủ đề đường tròn trong Toán 9

Chương trình môn toán của lớp 9 gồm 2 phần: Đại số và hình học

được chia đều trong thời lượng học tập của HS Trong phần hình học, kiến

29

thức về đường tròn chiếm phần lớn thời lượng học tập của HS, đồng thời là kiến thức rất quan trọng không chỉ với HS lớp 9 mà đối với các em HS học tập sau này Chủ đề đường tròn trong chương trình môn toán lớp 9 được thể

hiện rõ ở 2 chương trong SGK Toán lớp 9 với số tiết thực dạy 38 tiết

§7 Vị trí tương đối của hai đường tròn §8 Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp theo)

Chương 3 Góc và Đường tròn

§1 Góc ở tâm Số đo cung §2 Liên hệ giữa cung và dây §3 Góc nội tiếp

§4 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung §5 Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn §6 Cung chứa góc

§7 Tứ giác nội tiếp §8 Đường tròn ngoại tiếp- đường tròn nội tiếp §9 Độ dài đường tròn

§10 Diện tích hình tròn

1.4.1.2 Yêu cầu cần đạt chủ đề đường tròn trong Toán 9

- Nhận biết được tâm đối xứng, trục đối xứng của đường tròn - So sánh được độ dài của đường kính và dây

30 - Nhận biết được ba vị trí tương đối của hai đường tròn (hai đường tròn cắt nhau, hai đường tròn tiếp xúc nhau, hai đường tròn không giao nhau)

- Nhận biết được ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (đường thẳng và đường tròn cắt nhau, đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau, đường thẳng và đường tròn không giao nhau)

- Nhận biết được tiếp tuyến của đường tròn và tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

- Nhận biết được góc ở tâm, góc nội tiếp - Nhận biết được mối liên hệ giữa số đo của cung với số đo góc ở tâm, số đo góc nội tiếp

- Nhận biết được mối liên hệ giữa số đo góc nội tiếp và số đo góc ở tâm cùng chắn một cung

- Nhận biết được định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác - Xác định được tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác - Nhận biết được định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác

- Xác định được tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác - Nhận biết được tứ giác nội tiếp đường tròn và định lí về tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp

- Xác định được tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông

- Tính được độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên (hình giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm)

- Tính được diện tích một số hình phẳng có thể đưa về những hình phẳng gắn với hình tròn dạng đơn giản

1.4.2 Biểu hiện của năng lực lập luận và tư duy toán học trong chủ đề Đường tròn

Một là, thực hiện được các thao tác tư duy

31 Thực hiện đúng các thao tác tư duy, biết quan sát, định hướng phương pháp và giải thích được sự giống và khác nhau trong cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, hoặc chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, hoặc có thể là các phương pháp tính số đo góc có đỉnh nằm trong đường tròn, góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn, góc nội tiếp có sự giống nhau và phân biệt nhau trong công thức như thế nào

Ví dụ 4: Khi giải bài toán sau: Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy

nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E Chứng minh:

a) BD2 = AD.CD b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp c) BC song song với DE